Grundkurs Optik 1 Geometrische und Technische Optik

Grundkurs Optik 1
Geometrische und Technische Optik
Eine Zusammenfassung
Balthasar Reuter
WS 2009/2010 - N. Lindlein
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Geometrischen Optik
1.1 Eikonal-Gleichung . . . . . . . . . . .
1.1.1 Strahlen-Differentialgleichung .
1.1.2 Grenzen der Eikonal-Gleichung
1.2 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . .
1.3 Paraxiale Optik . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Meridional- und Sagittalebene
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3
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2 Paraxiale Matrizenoptik
2.1 Allgemeine Abbildung . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Berechnung der Kardinalpunkte . . . . . . . . .
2.2.1 Hauptebene . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Knotenpunkte . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Brennpunkte . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Brennweite . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Wichtige Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Freiraumausbreitung . . . . . . . . . . .
2.3.2 Brechung an planer Fläche . . . . . . .
2.3.3 Brechung an sphärischer Fläche . . . . .
2.3.4 Reflexion an planer Fläche . . . . . . .
2.3.5 Reflexion an sphärischer Fläche . . . . .
2.3.6 Dünne Linse (d → 0) . . . . . . . . . . .
2.3.7 Dicke Linse . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Sonderfall: n = n′ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Erweiterung auf 3x3-Matrizen . . . . . . . . . .
2.5.1 Beugung an Gitter . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Brechung an gekippter Fläche . . . . . .
2.5.3 Transformation des Koordinatensystems
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6
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6
3 Abbildungsgleichungen
3.1 Linsengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Newtongleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
4 Blenden
4.1 Aperturblende . . . . . . . . .
4.1.1 Eintrittspupille . . . . .
4.1.2 Austrittspupille . . . . .
4.1.3 Lage der Aperturblende
7
7
7
7
7
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INHALTSVERZEICHNIS
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5 Raytracing
5.1 Vorausetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Vorgehen beim Raytracing eines Strahls . . . . . . . . . .
5.2.1 Mathematische Beschreibung eines Strahls . . . . .
5.2.2 Bestimmung des Schnittpunktes . . . . . . . . . .
5.2.3 Brechungs-/Reflexionsgesetzt in vektorieller Form .
5.3 Optische Pfadlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Aberrationen
6.1 Berechnung der Wellenaberration . . .
6.2 Berechnung der Strahlaberration . . .
6.2.1 Graphische Veranschaulichung
6.3 Aberrationsarten . . . . . . . . . . . .
6.4 Zernike-Polynome . . . . . . . . . . . .
6.5 Chromatische Aberrationen . . . . . .
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7 Optische Elemente
7.1 Diffraktive (beugende) Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Diffraktive Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Phasenfunktion eines diffraktiven optischen Elementes (DOE):
7.2 Aplanatischer Meniskus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Achromat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Spektrograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Prismen-Spektrograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Gitter-Spektrograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Kamera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Film vs. CCD/CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Farb-CCD-Kameras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Menschliches Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Farbsehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.1 Galilei-Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.2 Kepler-/Astronomisches Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.3 4F-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7.4 Auflösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1 Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.2 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Vergleich Teleskop - Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Radiometrie und Photometrie
8.1 Radiometrische und Photometrische Größen .
8.2 Abbildung kleiner (punktartiger) Lichtquellen
8.3 Ausgedehnte Lichtquellen . . . . . . . . . . .
8.3.1 Verallgemeinerte Strahlungsformeln .
8.3.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . .
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4.2
4.3
4.4
4.5
4.1.4 Aperturwinkel .
Hauptstrahl . . . . . . .
Numerische Apertur N A
Bildfeldblende . . . . . .
4.4.1 Eintrittsluke . .
4.4.2 Austrittsluke . .
Vignettierung . . . . . .
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1 GRUNDLAGEN DER GEOMETRISCHEN OPTIK
1
3
Grundlagen der Geometrischen Optik
Aus den Maxwellgleichungen für die Wellenoptik lässt sich die Eikonal-Gleichung ableiten.
1.1
Eikonal-Gleichung
(∇L(r))2 = n2 (r)
Dabei stellt L die optische Weglänge dar, die oftmals auch als Eikonal bezeichnet wird, d.h. den
kürzesten Weg zwischen zwei durch optische Medien getrennten Punkten. n ist die Brechzahl des
Mediums. Ein Strahl zeigt dabei in die Richtung von ∇L und die Eikonal-Gleichung ist somit
Grundlage der geometrischen Optik.
1.1.1
Strahlen-Differentialgleichung
Aus der Eikonal-Gleichung folgt, dass Strahlen immer senkrecht auf Flächen mit konstanter optischer Weglänge stehen. Grund dafür ist, dass die Wellenvektoren h, e sowie die Weglänge ∇L
senkrecht aufeinander stehen.
Aus der Eikonal-Gleichung lässt sich die Strahlen-DGL ableiten:
dr
d
(n · ) = ∇n
ds
ds
Ist die Brechzahl n abhängig vom Ort, so spricht man von GRIN-Materialien (graded index).
Meist gilt aber n = const.. Dann gilt
d2 r
=0
ds2
und die Lösung für r lautet dann
r =s·a+p
1.1.2
Grenzen der Eikonal-Gleichung
Die Eikonal-Gleichung trifft nicht mehr zu, wenn sich die Amplitude der Welle schnell ändert (z.B.
in der Nähe des Brennpunktes). Im Allgemeinen jedoch ist sie hinreichend genau für RaytracingBerechnungen, da dort die Brennweite üblicherweise ein Vielfaches der beugungsbegrenzten Fokusgröße beträgt.
1.2
Energieerhaltung
Die Energie wird entlang der Lichtstrahlen transportiert. Somit bleibt die Gesamtenergie konstant,
wenn nirgends Licht absorbiert wird. Der Leistungsfluss lässt sich dabei durch den PoyntingVektor ausdrücken.
1.3
Paraxiale Optik
Paraxial bedeutet, die Strahlhöhen x sind klein verglichen mit anderen Parametern wie Durchmesser der Linsen oder Brennweiten. Außerdem sind die Strahlwinkel ϕ so klein, dass mit guter
Näherung sin ϕ ≈ tan ϕ ≈ ϕ gilt.
Die Paraxiale Optik vernachlässigt Aberrationen und gilt für achsenferne Strahlen nicht. Sie lässt
sich durch die paraxiale Matrizenoptik beschreiben.
1.3.1
Meridional- und Sagittalebene
Die Meridionalebene ist die Ebene, die den abzubildenden Objektpunkt sowie die optische Achse
enthält.
Die Sagittalebene steht senkrecht auf der Meridionalebene und enthält den Hauptstrahl.
4
2 PARAXIALE MATRIZENOPTIK
2
Paraxiale Matrizenoptik
2.1
Allgemeine Abbildung
Abbildungsmatrix M’
Abbildungsmatrix M
d
Objektebene P
d’
Optisches System
Bildebene P’
.
A B
M hat die Form M =
.
C D
′
M besteht aus M und zwei Freiraumausbreitungen:
′
A + C · d′ A · d + B + C · d · d′ + D · d′
A
′
M =
=
C
C ·d+D
C′
B′
D′
Damit eine Abbildung erfolgt, gilt: B ′ = 0. Damit gilt für M ′ :
β
0
M′ =
− f1′ D′
2.2
Berechnung der Kardinalpunkte
Zum Berechnen der Kardinalpunkte wählt man die Objekt- und Bildebenen gleich den gesuchten
Ebenen. Die Abstände bezeichnen jeweils die Entfernung vom Scheitel der ersten Linse auf Objektseite bzw. von der letzten Linse auf Bildseite.
Der Abstand d ist dabei positiv, wenn der Punkt links von der ersten Linse liegt, der Abstand d′
ist positiv, wenn der Punkt rechts von der letzten Linse liegt.
2.2.1
Hauptebene
Bildet Objekt auf Bild mit identischer Größe (x = x′ ) und Vergrößerungsfaktor β = +1 ab.
⇒ dU = (A − 1) ·
2.2.2
D
−B
C
d′U ′ =
1−A
C
Knotenpunkte
Strahlen durch Knotenpunkte besitzen Winkelvergrößerung γ = 1, d.h. x = x′ = 0 und ϕ = ϕ′ .
⇒ dN =
2.2.3
1−D
C
dN ′ = (D − 1) ·
A
−B
C
Brennpunkte
Strahlen ausgehend von Brennpunkt F werden zu Parallelstrahlen gebrochen, Parallelstrahlen werden gebrochen und durchlaufen F ′ , d.h. wähle x = x′ = 0 und ϕ = 0 für ϕ′ 6= 0 bzw. umgekehrt.
⇒ dF = −
D
C
d′F ′ = −
A
C
5
2 PARAXIALE MATRIZENOPTIK
2.2.4
Brennweite
Gibt Abstand zwischen Brennpunkt und Hauptebene an. f ist negativ, wenn F links von der
Hauptebene U liegt, f ′ ist positiv, wenn F rechts von der Hauptebene U ′ liegt.
⇒f =
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
det(M )
C
f′ = −
1
C
f′
n′
=−
f
n
und
Wichtige Matrizen
Freiraumausbreitung
1
0
d
1
1
0
0
Brechung an planer Fläche
Brechung an sphärischer Fläche
n
n′
1
0
′
n
− nn′−n
·R
n′
R ist positiv, wenn der Mittelpunkt der Krümmung rechts vom Scheitel liegt.
2.3.4
Reflexion an planer Fläche
Bei Reflexion wird nicht der reflektierte Strahl betrachtet, da sonst das Licht von rechts nach links
läuft, sondern die Spiegelung des reflektierten Strahls an der Reflexionsebene.
1 0
0 1
2.3.5
2.3.6
Reflexion an sphärischer Fläche
1
2
R
0
1
Dünne Linse (d → 0)
1
L
− nn′−n
·R2 −
′
0
nL −n
n′ ·R1
n
n′
Haupt- und Knotenpunkte fallen hierbei zusammen und liegen in der Linsenebene.
2.3.7
Dicke Linse
′
L
− nn′−n
·R2 −
2.4
−n
1 − d nnLL·R
1
nL −n
n′ ·R1
+
(nL −n)(n′ −nL )
nL ·n′ ·R1 ·R2
d nnL
n
n′
′
−nL )
− d n(n
nL ·n′ ·R2
!
Sonderfall: n = n′
Befindet sich um Linse/optisches System ein konstantes Medium, d.h. sind Brechungsindex davor
und dahinter identisch, so
• fallen die Haupt- und Knotenpunkte zusammen (dN = dU und d′N ′ = d′U ′ )
• gilt f ′ = −f
Die Matrix der dünnen Linse vereinfacht sich zu
1
− f1′
0
.
1
6
3 ABBILDUNGSGLEICHUNGEN
2.5
Erweiterung auf 3x3-Matrizen
Die Beschränkung auf 2x2-Matrizen erlaubt keine Brechung an gekippten oder lateral verschobenen
Instrumenten bzw. die Beugung an Gittern.
Aus diesem Grunde ist es möglich, die Matrizenoptik auf 3x3-Matrizen der Form


A B ∆x
M3×3 = C D ∆ϕ
0 0
1
zu erweitern.
2.5.1
Beugung an Gitter

1
MG = 0
0

0
0
λ
1 m· Λ
0
1
mit m als Ordnung der Beugung und Λ als Gitterkonstante.
2.5.2
Brechung an gekippter Fläche
MR,α

1
= 0
0
mit α als Winkel zwischen Ebene und Lot.
2.5.3
0
n
n′
0
0

n′ −n 
n′ α
1
Transformation des Koordinatensystems
Meist ist es am einfachsten, eine Transformation in ein gekipptes, verschobenes Koordinatensystem
vorzunehmen. Die Transformationsmatrix mit ∆x als Verschiebung und ∆ϕ als Drehwinkel lautet


1 0 −∆x
MG→L = 0 1 −∆ϕ
0 0
1
Die Rücktransformation lautet
ML→G

1
= 0
0

0 ∆x
−1
1 ∆ϕ = MG→L
0 1
Dabei muss ebenfalls die Reihenfolge ”von hinten nach vorne”beachtet werden, z.B.:
M = ML→G · MS · MG→L
3
3.1
Abbildungsgleichungen
Linsengleichung
Objektweite dO ist Abstand vom Objekt zur Hauptebene U , Bildweite dI ist Abstand von der
Hauptebene U ′ zum Bild.
n
n′
n
n′
−
= ′ =−
dI
dO
f
f
für n = n′ :
1
1
1
−
= ′
dI
dO
f
7
4 BLENDEN
3.2
Newtongleichung
Gibt Gegenstands- und Bildweite relativ zu den Brennpunkten an:
Z · Z′ = f · f ′
wobei dO = Z + f und dI = Z ′ + f ′ .
′
Der Abbildungsmaßstab ergibt sich zu β = − Zf = − Zf ′ .
′
′
ff
Der Tiefenmaßstab ergibt sich zu dZ
dZ = − Z 2 .
Das Verhältnis von Abbildungs- und Tiefenmaßstab ergibt sich zu
4
4.1
dZ ′
dZ
=
n′ 2
nβ
Blenden
Aperturblende
Für jede Blende (Linsendurchmesser, reale Blenden) eines optischen Systems lässt sich der Öffnungswinkel
bestimmen:
di
tan ϕi =
mit di : Durchmesser, li : Abstand vom Objektpunkt
2li
Die Blende mit dem kleinsten Öffnungswinkel ϕO ist die Aperturblende.
4.1.1
Eintrittspupille
Das Bild der Aperturblende an dem optischen Element, das der Aperturblende voraus geht.
4.1.2
Austrittspupille
Das Bild der Aperturblende an dem optischen Element, das der Aperturblende nachfolgt.
4.1.3
Lage der Aperturblende
Meist innerhalb des Systems, d.h. Eintritts- und Austrittspupille liegen entsprechend und können
reale oder virtuelle Bilder sein.
Liegt sie vor dem System, fallen Eintrittspupille und Aperturblende zusammen.
Liegt sie hinter dem System, fallen Austrittspupille und Aperturblende zusammen.
4.1.4
Aperturwinkel
Objektseitig: 2 · ϕO
Bildseitig: 2 · ϕI , wobei
dI
(lI ist Abstand des Bildes von der Austrittspupille, dI ihr Durchmesser)
tan ϕI = 2l
I
4.2
Hauptstrahl
Strahl vom Objektpunkt, der durch die Mitte der Aperturblende läuft (und damit auch durch die
Mitten von Eintritts- und Austrittspupille).
4.3
Numerische Apertur NA
Objektseitig: N AO = nO · sin ϕO
Bildseitig: N AI = nI · sin ϕI
N AO
β
Die Numerische Apertur gibt an, wieviel Licht das optische System vom Objekt sammeln kann.
Treten keine Aberrationen auf, ist sie außerdem ein Maß für das Auflösungsvermögen des Systems
bzgl. Beugungserscheinungen.
Zusammenhang: N AI =
8
5 RAYTRACING
4.4
Bildfeldblende
Die Bildfeldblende gibt Auskunft über die maximale Größe eines Objektes, das mit dem optischen
System abgebildet werden kann.
Dazu werden erneut alle Öffnungswinkel berechnet, diesmal aber inklusive Blenden in der Objektund Bildebene (z.B. Größe eines CCD-Chips). Der Kleinste Wert ϕO liefert die Bildfeldblende:
tan ϕi =
di
2Li
Der Bildfeldwinkel ist 2 · ϕO .
4.4.1
Eintrittsluke
Das Bild der Bildfeldblende an dem optischen Element, das der Bildfeldblende voraus geht.
4.4.2
Austrittsluke
Das Bild der Bildfeldblende an dem optischen Element, das der Bildfeldblende nachfolgt.
4.5
Vignettierung
Falls der Hauptstrahl vom Objektpunkt zur Eintrittspupille durch die Eintrittsluke blockiert ist,
ist eine Abbildung meist nicht möglich, da die Strahlen dann die Bildfeldblende nicht passieren
können.
Ist dennoch eine Abbildung unter Verwendung anderer Strahlen möglich, so ist auf Bildseite keine
klare Begrenzung des Objektfeldes mehr sichtbar und die äußeren Bereiche werden mit reduzierter
Intensität abgebildet. Dieses Phänomen nennt man Vignettierung.
5
Raytracing
Die Berechnung der Strahlen mit lediglich den Einschränkungen der Geometrischen Optik - also
ohne weitere Annäherungen wie Paraxialstrahlen - erlaubt eine genaue Betrachtung von optischen
Systemen.
5.1
Vorausetzungen
Für Raytracing müssen genaue Kenntnisse über das optische System vorhanden sein, ins Besondere
über
• Art der Oberfläche (sphärisch, planar, parabolisch, ...)
• Charakteristische Daten zur Oberfläche (Radius o.ä.)
• Form und Größe der Grenzen der Fläche
• Position und Ausrichtung in allen drei Raumdimension
• Brechzahl in Abhängigkeit von der Oberfläche
5.2
Vorgehen beim Raytracing eines Strahls
1. Bestimme Schnittpunkt von Strahl und optischer Fläche
2. Berechne Flächennormale in dem Schnittpunkt
3. Wende Brechungs- oder Reflexionsgesetz an
4. Wiederhole von Anfang mit der nächsten Oberfläche (falls vorhanden)
9
6 ABERRATIONEN
5.2.1
Mathematische Beschreibung eines Strahls
Vektorielle Darstellung notwendig:
r= p+s·a
mit |a| = 1, p Ausgangspunkt des Strahls
Dabei repräsentiert s > 0 den realen Teil, s < 0 den virtuellen Teil eines Strahls.
5.2.2
Bestimmung des Schnittpunktes
Flächen/Ebenen lassen sich durch eine Funktion F (r) = 0 beschreiben. Der Schnittpunkt ergibt
sich dann aus der Gleichung
F (p + s0 · a) = 0
durch das Einsetzen des ermittelten s0 in die Strahlgleichung. Das Finden der Lösung erfolgt i. A.
numerisch.
5.2.3
Brechungs-/Reflexionsgesetzt in vektorieller Form
N × (n2 · a1 − n1 · a1 ) = 0
a1 ist der einfallende Strahl, a2 der reflektierte bzw. gebrochene Strahl. Auflösen nach a2 ergibt
den resultierenden Strahl.
5.3
Optische Pfadlänge
Mit einer bekannten Pfadlänge L0 am Ausgangspunkt p eines Strahls kann die optische Pfadlänge
an jeder beliebigen Stelle des Strahls bestimmt werden:
L = L0 + n · s
6
Aberrationen
Bei optischen Systemen können Abbildungsfehler auftreten, so genannte Aberrationen.
Betrachtet man eine Wellenfront in der Austrittspupille mit identischer optischer Weglänge, so hat
diese in der paraxialen Näherung eine Kugelform mit Mittelpunkt im Brennpunkt des Systems.
Damit treffen alle Strahlen (Flächennormalen der Kugel) im Brennpunkt zusammen.
10
6 ABERRATIONEN
In der Realität besitzt die Wellenfront keine Kugelform. Dadurch schneiden sich die Strahlen - ins
Besondere in größerer Entfernung von der optischen Achse - nicht mehr im Brennpunkt, sondern
davor oder dahinter. Diese Verschiebung bezeichnet man als Strahlaberration.
Zusätzlich besitzt ein beliebiger Strahl in der Austrittspupille mit Koordinaten (x′ , y ′ ) nun eine
andere optische Weglänge als im paraxialen Fall. Diese Differenz bezeichnet man als Wellenaberration W (x′ , y ′ ).
6.1
Berechnung der Wellenaberration
Mittels Raytracing lässt sich die Wellenaberration bestimmen. Zu diesem Zweck legt man eine
sphärische Fläche in die Austrittspupille mit dem (paraxialen) Brennpunkt als Mittelpunkt. Nun
berechnet man für einen beliebigen Strahl auf dieser Fläche die optische Weglänge L(x′ , y ′ ). Die
Differenz gegenüber der optischen Weglänge des Hauptstrahls L(0, 0) liefert die Wellenaberration:
W (x′ , y ′ ) = L(x′ , y ′ ) − L(0, 0)
Häufig wird statt des paraxialen Brennpunktes der ”beste Fokusäls Mittelpunkt der Fläche gewählt.
Dabei handelt es sich um den Punkt, an dem Wellen- oder Strahlaberrationen minimal sind.
6.2
Berechnung der Strahlaberration
Ebenfalls mittels Raytracing lässt sich die Strahlaberration bestimmen. Dazu bestimmt man den
Schnittpunkt ri eines beliebigen Strahls mit der Brennebene. Aus der Ortsdifferenz zwischen
Schnitt- und Brennpunkt P ergibt sich die Strahlaberration:
∆x = (ri − P) · nx
∆y = (ri − P) · ny
6.2.1
Graphische Veranschaulichung
Ein Spotdiagramm erlaubt es, die Strahlaberrationen graphisch zu veranschaulichen. Dazu zeichnet
man auf der x-y-Ebene durch den Brennpunkt jeden Strahl als Punkt ein. Damit sind Abweichungen
vom Brennpunkt unmittelbar zu erkennen.
6.3
Aberrationsarten
Bei den folgenden Aberrrationen handelt es sich, im Gegensatz zu chromatischen Aberrationen
(Farbfehler), um monochromatische Bildfehler.
Man unterscheidet in erster Linie Punktbildaberrationen, die bewirken, dass das Bild unscharf
oder unsauber wird, und Feldaberrationen, die auch scharfe Abbildungen zulassen, aber das Bild
verzerren.
Punktbildaberrationen
Sphärische Aberrationen
Koma
Astigmatismus
Feldaberrationen
Bildfeldkrümmung
Verzeichnung
Sphärische Aberrationen Sphärische Aberrationen (auch bezeichnet als Öffnungsfehler ) treten als einzige auch für Objektpunkte auf der optischen Achse auf. Sie entstehen dadurch, dass
in einer Linse in größerer Entfernung von der optischen Achse Strahlen stärker gebrochen werden,
als in unmittelbarer Nähe. Dadurch schneiden diese Strahlen die optische Achse bereits vor dem
Brennpunkt und erzeugen ein weiches, verschwommenes Bild. Dabei gilt mit N A als Numerische
Apertur:
sphärische Aberration ∝ N A4
11
6 ABERRATIONEN
Koma Die Koma tritt nur für Punkte auf, die nicht auf der optischen Achse liegen. Sie ist
benannt nach der Deformation des Bildpunktes, die wie die Koma eines Kometen aussieht. Mit rO
als Höhe des Objektpunktes über der optischen Achse gilt:
Koma ∝ rO · N A3
Sie tritt vor allem bei großer Numerischer Apertur auf, bei kleinen Werten dominiert der Astigmatismus. Z.B. durch Verschieben einer Linse nach oben oder unten kann sie erzeugt werden.
Astigmatismus Astigmatismus tritt auf, wenn die Strahlen der Meridional- und Sagittalebene
in unterschiedlichen Ebenen fokussieren. Damit existieren
• zwei Ebenen, in denen der Objektpunkt auf eine Linie abgebildet wird.
• eine Ebene dazwischen, in der der Objektpunkt auf einen unscharfen Kreis abgebildet
wird.
• unendlich viele Ebenen, in denen eine Abbildung auf eine Ellipse mit Ausrichtung entsprechend der Linie erfolgt.
Er tritt im Allgemeinen nur für Punkte außerhalb der optischen Achse auf und es gilt:
2
Astigmatismus ∝ rO
· N A2
6 ABERRATIONEN
12
Bildfeldkrümmung Die Bildfeldkrümmung oder Bildfeldwölbung erlaubt eine scharfe Abbildung, die jedoch gegenüber dem idealen, paraxialen Bildpunkt verschoben ist. Dies bedeutet, dass
die Abbildung durch das System nicht auf eine plane Bildebene sondern eine gekrümmte
Bildebene erfolgt.
Verzeichnung Verzeichnung entsteht, wenn der Abbildungsmaßstab eines Systems ins Besondere
für achsferne Punkte nicht konstant ist. Dadurch werden gerade Linien im Bild zwar scharf, aber
gekrümmt dargestellt.
6.4
Zernike-Polynome
Sie erlauben eine Berechnung der Punktaberrationen, da verschiedene Ordnungen der Polynome
dem Wert der Aberration entsprechen. Voraussetzung dafür ist, dass die Apertur des Systems
kreisformig ist, da die Polynome orthogonal auf dem Einheitskreis sind.
• 0. Grad: Konstante
7 OPTISCHE ELEMENTE
13
• 1. Grad: Tilt x/y
• 2. Grad: Astigmatismus 0 ◦ /45 ◦ , Defokus
• 3. Grad: Trifoli 0 ◦ /30 ◦ , Coma x/y
• 4. Grad: Tetrafoli 0 ◦ /22, 5 ◦, Astigmatismus 2. Ordnung 0 ◦ /45 ◦, sphärische Aberration
6.5
Chromatische Aberrationen
Chromatische Aberrationen oder Farbfehler entstehen dadurch, dass die Brechzahl eines Mediums
von der Wellenlänge des Lichtes abhängig ist und somit unterschiedliche Farbanteile durch ein
optisches System unterschiedlich abgebildet werden. Auskunft über die Stärke der Dispersion gibt
die Abbe-Zahl, die bei geringer Dispersion große Werte annimmt. Ihr Vorzeichen zeigt an, wie
eine Veränderung der Wellenlänge die Brennweite des Systems beeinflusst: Positiv bedeutet eine
Vergrößerung der Brennweite bei wachsender Wellenlänge.
7
7.1
Optische Elemente
Diffraktive (beugende) Elemente
λ
a) Amplitudengitter erzeugt positive Interferenz falls gilt: sinϕ′ = sinϕ + m Λ
Maximale Beugungseffizienz von 10.1% in 1. Ordnung
λ
b) Binäres Phasengitter ∆h = 2(n−1)
Maximale Beugungseffizienz von 40.5% in 1. Ordnung
(N −1)λ
c) Mehrstufiges Phasengitter ∆h = N
(n−1)
Symmetrisch zwischen +1. und -1. Ordnung gebrochen.
Je nach Stufenzahl Beugungseffizienz von 40.5% bis 100% in 1.Ordnung
14
7 OPTISCHE ELEMENTE
λ
d) Geblaztes Phasengitter ∆h = n−1
Theoretisch Beugungseffizienz bis zu 100% in 1.Ordnung
Binäres Phasengitter Beim binären Phasengitter interferieren für ungerade m doppelt soviele
Strahlen, das bedeutet dass auch die Amplitude verdoppelt wird und die Intensität wird verglichen mit einem Amplitudengitter - um Faktor 4 vergrößert.
Maximale Beugungseffizienz in 1. Ordnung
ergibt sich mit einem mehrstufigen Phasengitter
mit N Stufen. Die ideale Gesamttiefe lautet
d=
(N − 1)λ
N (n − 1)
Dabei gilt:
• Identische Höhe und Breite aller Stufen
• Senkrechter Lichteinfall
• Fresnel Reflexionsverluste vernachlässigt
7.1.1
Diffraktive Linse
Eine diffraktive Linse (z.B. Fresnel-Zonen-Linse) besitzt eine konstante Abbe Zahl Vd = −3, 452,
unabhängig vom verwendeten Material. Der kleine, negative Wert bedeutet, dass sie eine hohe
Dispersion besitzt. Damit gilt für ihre Brennweite bei einer Wellenlänge λ:
f ′ (λ) =
7.1.2
λ0 ′
f (λ0 )
λ
Phasenfunktion eines diffraktiven optischen Elementes (DOE):
Die Phasenfunktion Φ eines DOEs beschreibt, an welchen Stellen sich die lokalen Gitterlinien
befinden, d.h. an welchen Stellen die Phase relativ um jeweils 2 π zu- oder abnimmt.
Zwischen der Phasenfunktion Φ und der lokalen Gitterfrequenz ν lässt sich ein Zusammenhang
beschreiben:
1
1
=
|∇Φ(x, y)|
ν(x, y) =
Λ(x, y)
2π
Lineares Phasengitter Hier lautet die Phasenfunktion:
Φ(x, y) = 2π(ax + by)
√
Die Gitterfrequenz ist konstant: ν = a2 + b2
Fresnel-Zone-Linse In paraxialer Näherung lautet ihre Phasenfunktion
Φ(x, y) = 2π(x2 + y 2 )
p
Die Gitterfrequenz wird beschrieben durch: ν(x, y) = 2a x2 + y 2
15
7 OPTISCHE ELEMENTE
7.2
Aplanatischer Meniskus
Eine Kugel mit Radius R erlaubt die Abbildung eines Bildpunktes P auf einer konzentrischen
′
Kugel mit Radius nn R auf einen Bildpunkt P’ in einer inneren, konzentrischen Kugel mit Radius
n
n′ R. Dabei treten keinerlei sphärische Aberrationen auf!
“Schneidet“ man nun die Kugel auf und verwendet als Rückwand eine sphärische Fläche, die ihren
Krümmungsmittelpunkt in P’ besitzt, so erfährt der Strahl an dieser Rückwand keine Brechung
und die Abbildung auf P’ erfolgt ohne sphärische Aberrationen.
Damit vergrößert sich der bildseitige Aperturwinkel und somit die Numerische Apertur.
Für Bildpunkte außerhalb der optischen Achse können wieder geringe sphärische Aberrationen
auftreten.
7.3
Achromat
Eine achromatische Linse besitzt für zwei Wellenlängen die identische Brennweite. Dazu werden
zwei Linsen benötigt.
Analog existiert ein Apochromat, der für drei Wellenlängen die identische Brennweite besitzt
und aus drei Linsen besteht.
Zur Berechnung kann eine Annäherung durch zwei dünne Linsen mit einem Abstand von 0 erfolgen:
1
0
1
0
1
0
M = M2 M1 = − 1 1
− 1 1 = −( 1 + 1 ) 1
f2′
f1′
f1′
f2′
1
1
1
= ′ + ′
f′
f1
f2
Darüber hinaus existiert eine zweite Brennweite für eine dritte Wellenlänge, die zwischen den beiden Wellenlängen mit identischer Brennweite liegt - die “Normalbrennweite“.
Die Produkte aus Abbe-Zahlen und Brennweiten der beiden Linsen müssen gegensätzliche Vorzeichen haben. Das bedeutet, ein Achromat besteht entweder aus zwei verkitteten Linsen unterschiedlicher Art (refraktiver Achromat, positive Abbe-Zahlen und Brennweiten mit unterschiedlichem
Vorzeichen) oder aus einer reflektierenden und beugenden Linse (hybrider Achromat).
⇒
7 OPTISCHE ELEMENTE
16
a) refraktiver Achromat: nur zwei der Krümmungsradien sind durch die Achromasie festgelegt,
der dritte Radius kann z.B. zum Erfüllen der Sinus-Bedingung gewählt werden.
b) hybrider Achromat: Sinus-Bedingung ist nicht leicht erfüllbar, dafür ist eine Reduktion der
sphärischen Aberrationen möglich.
7.4
Spektrograph
Ein Spektrograph zerlegt einfallendes Licht in seine Wellenlängen-Anteile. Er besteht immer
aus einer Linse zum Kollimieren des von der Lichtquelle stammenden Lichts, einem dispersiven
Element sowie einer Linse zum Abbilden der Zerlegung auf einen Detektor.
Prismen-Spektrograph Hier wird ein Prisma als dispersives Element verwendet. Die Auflösung
ist jedoch durch Beugung stark begrenzt.
Gitter-Spektrograph Hier wird ein Gitter als dispersives Element verwendet. Die Auflösung
liegt dabei wesentlich höher (ca. 10×) als bei Verwendung eines Prismas.
Um eine noch höhere Auflösung zu erreichen ist die Verwendung von Geräten nötig, die wellenoptische Effekte ausnutzen. Diese fächern meist einen Teil des von einem Gitter- oder Prismenspektrograph zerlegten Lichts noch weiter auf.
7.5
Kamera
Eine Kamera besteht immer aus einer Linse bzw. einem Linsensystem und einer Blende (die z.B.
die Fassung der Linse sein kann), die ein Objekt invertiert auf eine Lichtempfindliche Oberfläche
(Film, CCD-Chip, ...) abbilden.
Dabei gilt meist:
• Brennweite ≪ Objektweite, d.h. dI ≈ f ′
• Detektorfläche begrenzt die Auflösung (p: Abstand der Bildpunkte/Pixel)
Die Linse bildet Punktförmige Objekte auf der idealen Objektebene als Punkte auf die ideale
Bildebene ab, Objektebenen davor oder dahinter jedoch unscharf, d.h. als dünne Scheiben, auf die
ideale Bildebene. Ist der Durchmesser dieser Scheiben jedoch kleiner als p, so erfolgt die Aufnahme
trotzdem ohne Auflösungsverlust.
Damit existieren neben der idealen Objektebene eine Nahe und Ferne Objektebene, die gerade
noch scharf aufgenommen werden können.
17
7 OPTISCHE ELEMENTE
Als Schärfentiefe wird der Abstand der beiden Grenzebenen bezeichnet: dO,F − dO,N .
′
Die Blendenzahl f # = fD (mit D: Blendendurchmesser) bestimmt die Belichtungszeit, da für die
Lichtenergie gilt:
E = a · t · D2 = a · t · (
f′ 2
)
f#
mit a = const., t: Belichtungszeit
Außerdem existiert eine kritische Objektweite dO,C : Beim Scharfstellen auf diese oder weiter entfernte Objektebenen, werden alle Objektpunkte dahinter scharf abgebildet, d.h. dO,F → ∞.
7.5.1
Film vs. CCD/CMOS
Ein Film besitzt tendenziell ein viel größeres Auflösungsvermögen (bis zu 74 MPixel) als ein digitaler Sensor (max. ca. 20 MPixel), jedoch eine wesentlich geringere Lichtausbeute (5 bis 10% ggü.
bis zu 90%).
7.5.2
Farb-CCD-Kameras
Digitale Farbkameras besitzen in der Regel einen Farbfilter vor dem Chip und dahinter Pixel, die
jeweils für einen bestimmten Farbbereich sensitiv sind.
7.6
Menschliches Auge
Das menschliche Auge arbeitet prinzipiell wie eine Kamera: Es besitzt ebenfalls eine Linse, die
Hornhaut und Augenlinse, eine Blende, die Iris bzw. Regenbogenhaut, sowie einen Detektor, die
Netzhaut.
18
7 OPTISCHE ELEMENTE
Die Brechkraft = 1/Brennweite wird in Dioptrien angegeben, dpt = m−1 . Der Hauptanteil der Brechung erfolgt an der Hornhaut, ca. 43 dpt. Die Augenlinse besteht aus Schichten unterschiedlicher
Brechkraft und ist durch Akkomodation (Muskel krümmt Linse) zu einer Brechkraft zwischen 19
und 34 dpt in der Lage. Die Winkelauflösung beträgt dabei bis zu ∆ϕ = 30”.
Das Scharfsehen erfolgt jedoch nur in einem kleinen Bereich, deshalb erfolgt ständig ein unbewusstes “Abscannen“.
7.6.1
Farbsehen
Das Farbsehen erfolgt durch unterschiedliche Rezeptoren auf der Netzhaut:
• Stäbchen: sehr empfindlich, reagieren schon auf einzelne Photonen; erlauben jedoch nur
Schwarz-Weiß-Sehen
• Zapfen: drei Typen (S, M, L) für je einen Farbbereich; weniger Lichtempfindlich - fallen bei
geringer Helligkeit aus
Stäbchen sind in einem Ring um die Sehgrube auf der Netzhaut angeordnet, die Zapfen befinden
sich in der Sehgrube, deshalb ist das Scharfsehen allein mit den Stäbchen (z.B. in der Nacht) kaum
möglich.
Eine Rot-Grün-Schwäche entsteht, wenn von den M- oder L-Zapfen nur ein Typus vorhanden ist.
Dann ist keine Unterscheidung der Farbanteile möglich.
7.7
Teleskop
Ein Teleskop ist ein System aus zwei Linsen (oder Spiegeln), von denen der bildseitige Brennpunkt
der ersten Linse (Objektiv) sowie der objektseitige Brennpunkt der zweiten Linse (Okular) zusammenfallen. Damit gilt für den Abstand d = f1′ + f2′ .
Die Abbildungsmatrix lautet:
!
f′
− f2′ f1′ + f2′
1
0
1
0
1 d
1
M= −1 1
f′
− f1′ 1 =
0 1
f2′
0
− f1′
1
2
Dabei ist C ′ = 0 = − f1′ , d.h. f ′ → ∞.
Man unterscheidet zwei Typen von Teleskopen: Das Kepler-Teleskop, bestehend aus zwei Sammellinsen, sowie das Galilei-Teleskop, das aus einer Sammel- sowie einer Zerstreuungslinse besteht.
′
Ein Teleskop vergrößert Objekte durch eine Winkelvergrößerung γ = ϕϕ . Für |f1′ | > |f2′ | gilt |γ| > 1.
7.7.1
Galilei-Teleskop
Liefert ein aufrechtes Bild, d.h. γ > 0, kann jedoch kein reelles Bild liefern. Es besitzt jedoch eine
sehr kurze Baulänge, da d = f1′ + f2′ = |f1′ | − |f2′ |. Ein Nachteil ist jedoch, dass die Austrittspupille
meist vor dem Okular liegt und damit das Auge nicht mit der Pupille in der Austrittspupille liegen
kann. Dadurch ensteht ein “Schlüssellocheffekt“.
Sinnvolle Anwendungen des Galilei-Teleskops sind z.B. Strahlaufweitung oder Operngläser.
7.7.2
Kepler-/Astronomisches Teleskop
f′
Das Bild steht auf dem Kopf, da γ < 0. Für 0 ≤ d1 ≤ f1′ + f1′ f1′ liefert es ein reelles Bild. Bei mo2
dernen Teleskopen erfolgt meist eine Abbildung auf einen CCD-Sensor, nur selten die Betrachtung
unmittelbar mit dem Auge.
Da Linsen zum Betrachten weit entfernter Objekte sehr groß und damit auch sehr dick sein müssten,
werden meist nur Spiegel-Teleskope verwendet.
Einige Beispiele für Kepler-Teleskope:
19
7 OPTISCHE ELEMENTE
Newton-Teleskop Besteht aus einem sphärischen oder Parabolspiegel sowie einem planen Spiegel, der das Licht nach oben in das Okular lenkt.
Cassegrain-Teleskop Besteht aus einem konkaven Parabolspiegel als Primärspiegel sowie einem
konvexen Hyperbolspiegel als Sekundärspiegel. Der optische Brennpunkt des Primärspiegels fällt
dabei mit einem Kegelschnitt-Brennpunkt des Sekundärspiegels zusammen. Es zeichnet sich durch
lange Brennweiten trotz kurzer Bauform aus.
Schmidt-Cassegrain-Teleskop Hier wird der Primärspiegel durch einen sphärischen Spiegel
ersetzt und am Eingang eine asphärische Phasenplatte eingefügt, die sphärische Aberrationen des
Spiegels ausgleicht.
Schmidt-Kamera Anstelle des Sekundärspiegels wird hier ein (CCD-)Detektor in den Krümmungsmittelpunkt
des sphärischen Primärspiegels gesetzt. Dadurch tritt kaum Koma und Astigmatismus auf, dafür
eine Bildfeldwölbung.
Ritchey-Chrétien-Cassegrain-Teleskop Hier werden zwei hyperbolische Spiegel verwendet.
Dadurch tritt keine Koma auf, dafür aber Bildfeldkrümmung.
7.7.3
4F-System
Ein besonderer Fall ist das 4F-System. Bei diesem besitzen beide Linsen eine identische Brennweite
und somit gilt dO +dI = const. = 2f ′ , d.h. β = −1. Das bedeutet, dass durch achsiale Verschiebung
sich nichts an der Abbildung ändert.
Eine typische Anwendung ist z.B. die reale Abbildung eines (virtuellen) (Zwischen)Bildes.
7.7.4
Auflösungsvermögen
Das Auflösungsvermögen eines Teleskops ist beugungsbegrenzt. Dabei gilt für den Winkel ∆ϕ
zwischen zwei weit entfernten, punktförmigen Objekten:
∆ϕ = k ·
λ
D
D stellt dabei den Durchmesser des Primärspiegels dar, k eine Konstante, die etwa k ≈ 1 ist.
Bei erdgestützten Teleskopen ist das Auflösungsvermögen durch Luftturbulenzen noch stärker
begrenzt: Durch Turbulenzen entstehen unterschiedliche Druckverhältnisse und damit unterschiedliche Brechzahlen. Damit unterscheiden sich die optischen Weglängen der einfallenden Strahlen.
20
8 RADIOMETRIE UND PHOTOMETRIE
Damit wird die Auflösung auf etwa ∆ϕ = 1′ begrenzt.
Zusätzlich ist eine Korrektur der optischen Weglängendifferenz nötig. Dies erfolgt durch eine Adaptive oder Aktive Optik. Diese verformt den Spiegel, um Aberrationen auszugleichen. Den Grad
der Aberrationen misst sie dabei anhand eines fernen Leitsterns, der nahezu eine Punktlichtquelle
darstellt.
7.8
7.8.1
Mikroskop
Lupe
Das (menschliche) Auge besitzt eine minimale Entfernung, auf die es entspannt scharf stellen kann:
dS ≈ 25cm. Unter Verwendung einer Sammellinse direkt vor dem Auge, kann man ein vergrößertes
Bild mit |dI | = dS erzeugen. Für die Vergrößerung gilt dabei β = 1 + dfS′ .
Um eine starke Vergrößerung zu erreichen muss f ′ also sehr klein sein, das Objekt sehr nah an die
Lupe heran.
7.8.2
Mikroskop
Die Lösung ist das Mikroskop, das eine Lupe als Okular verwendet und damit ein von einem
Mikroobjektiv mit Vergrößerung β1 < 0 erzeugtes Bild nochmals um β2 > 0 vergrößert. Für die
Gesamtvergrößerung gilt damit
β = β1 · β2 < 0
β1 besitzt dabei typischerweise einen Wert von 5 bis 100, β2 meist 5 bis 20.
Das Mikroobjektiv muss achromatisch sein, eine hohe Numerische Apertur und ein aberrationsfreies Feld besitzen sowie die Sinus-Bedingung erfüllen. Das bedeutet es handelt sich dabei um
ein komplexes System mit vielen Linsen. Ggf. muss es außerdem Aberrationen eines Deckglases
korrigieren.
Das Auflösungsvermögen des Mikroskops ist durch Beugung begrenzt, wird jedoch meist
durch das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges noch stärker eingeschränkt. Meist sind
Gesamtvergrößerungen bis 500 oder 1000 sinnvoll.
Ein Inspektions-Mikroskop arbeitet mit einem CCD-Chip als Detektor und benötigt deshalb
ein reelles Bild, d.h. das Okular entfällt. Die Betrachtung erfolgt an einem Bildschirm.
Ein UV-Mikroskop mit Wasser-Immersion erlaubt eine weitere Verbesserung der Auflösung.
Dabei wird Licht mit geringerer Wellenlänge (UV-Bereich) verwendet und die Numerische Apertur
durch eine Immersionsflüssigkeit zwischen Objekt und Objektiv vergrößert.
7.9
Vergleich Teleskop - Mikroskop
Zweck
Prinzip
Auflösung
8
Teleskop
vergrößerte Abbildung (unendlich) weit entfernter Objekte
′
Winkelvergrößerung γ = ϕϕ
λ
∆ϕ = kT · D
Mikroskop
vergrößerte Abbildung naher,
sehr kleiner Objekte
Laterale Vergrößerung β =
∆x = km · NλA
x′
x
Radiometrie und Photometrie
Physikalisch gesehen erfolgt keine Abbbildung von punktartigen Objekten, sondern der Transport
von Strahlungsleistung (Photonen) vom Objekt zum Bild. Dies kann quantitativ durch strahlungsphysikalische (Radiometrie) bzw. lichttechnische Größen (Photometrie, Größen bezogen auf
21
8 RADIOMETRIE UND PHOTOMETRIE
menschliches Auge) ausgedrückt werden.
Die Größen sind dabei äquivalent und können einfach ausgetauscht werden - sie dürfen nur nicht
gemischt verwendet werden!
Eigenschaften realer Lichtquellen
Einfluss des optischen Systems auf
Strahlung
• Größe und Form
• Absorption
• Richtungsabstrahlcharakteristik
• spektrale Verteilung der Lichtleistung
Φe,λ (λ)
• Gesamte
abgestrahlte Lichtleistung
R
Φe = Φe,λ (λ)dλ
8.1
• Reflexion
• Transmission
• Streulicht
• Dispersion
Radiometrische und Photometrische Größen
Der Raumwinkel wird dabei in der Einheit Steradiant angegeben. Der Raumwinkel Ω einer Kugel
beträgt beispielsweise 4πsr.
Strahlungsphysikalische Größen
Lichttechnische Größen
Können mit Detektoren quantitativ gemessen werden, tragen den Index e.
Berücksichtigen die subjektive Hellempfindlichkeit des menschlichen Auges auf
verschiedene Wellenlängen.
Strahlungsfluss bzw. -leistung:
gesamte betrachtete Lichtleistung
([Φe ] = W = Watt)
Lichtfluss bzw. -strom:
gesamte betrachtete Lichtleistung
([Φ] = lm = Lumen)
Φe
Strahlstärke:
Strahlungsfluss je Raumwinkel Ω: Ie =
Watt
([Ie ] = W
sr = Steradiant )
Bestrahlungsstärke:
Strahlungsfluss
je
Flächenelement dF : Ee =
dΦe
dF
dΦe
dΩ
bestrahltem
W
([Ee ] = m
2)
Strahldichte:
Anteil an Strahlungsfluss, der vom
Flächenelement dA der Lichtquelle in
den Raumwinkel
dΩ emittiert wird:
2
Φe
e
= cosdIϑdA
([Le ] = mW
Le = cosdϑdAdΩ
2 sr )
cos ϑ
erzeugt
die
Projektion
des
Flächenelements in die Emissionsrichtung.
Lichtstärke:
Lichtfluss je Raumwinkel Ω: I
([I] = cd = Candela = lm
sr )
Beleuchtungsstärke:
Strahlungsfluss
je
Flächenelement dF : E
lm
lx = Lux = m
2)
=
=
Φ
dΦ
dΩ
beleuchteten
([E] =
dΦ
dF
Leuchtdichte:
Anteil an Strahlungsfluss, der vom
Flächenelement dA der Lichtquelle in
den Raumwinkel dΩ emittiert wird:
2
Φ
lm
cd
L = cos dϑdAdΩ
= cosdI
ϑdA ([L] = m2 sr = m2 )
Zusammenhang zwischen den Größen
Φ=K·
Z
780nm
Φe,λ (λ)Vλ (λ)dλ
380nm
e
mit Φe,λ = δΦ
δλ und Vλ (λ) als Funktion, die in Abhängigkeit von der Wellenlänge die Empfindlichkeit des Auges auf Licht beschreibt.
22
8 RADIOMETRIE UND PHOTOMETRIE
Effizienz der Lichterzeugung
Leistung
beschreibt das Verhältnis des Lichtstroms zur aufgewendeten
η=
Φ
Φe
Typische Werte
HeNe-Laser
100 W-Birne
8.2
Lichtstärke
lediglich Φ = 0.18lm
aber I ≈ 180000cd
(sehr enger Strahl)
Φ ≈ 1500lm
I ≈ 125cd
Straßenbeleuchtung
Schreibtischlampe
Kinoleinwand
Beleuchtungsstärke
15lx
300lx
100lx
Abbildung kleiner (punktartiger) Lichtquellen
Die Beleuchtungsstärke auf einer Kugeloberfläche mit Radius a ergibt sich mit dem Raumwinkel
dΩ = dF
a2 zu:
I
E= 2
a
Für die Lichtstärke bedeutet dies nach der Abbildung:
I ′ = β2 · I
Anwendung findet dies z.B. beim Projektor. Dort wird eine punktförmige Lichtquelle (die
Lampe) mit einem Kondensor vergrößert in die Eintrittspupille des Objektivs abgebildet:
8.3
Ausgedehnte Lichtquellen
Man unterscheidet verschiedene Strahlertypen nach Straubel anhand der Lichtstärke I in
Abhängigkeit von der Beobachtungsrichtung ϑ:
I(ϑ) = I0 · cosm ϑ
23
8 RADIOMETRIE UND PHOTOMETRIE
Kugelstrahler m = 0, d.h. die Lichtstärke ist in alle Richtungen gleich groß.
Lambert-Strahler
m = 1, d.h. die Leuchtdichte L ist konstant:
L=
I0
= const.
A
Damit erscheint er aus allen Richtungen gleich hell, da die Leuchtdichte für den
Helligkeitseindruck einer Fläche verantwortlich ist.
Glühbirnen und LEDs können annhähernd als Lambert-Strahler betrachtet
werden.
Keulen-Strahler m = 3
Verhältnis der Lichstärken
strom ΦHalbraum lautet:
Das Verhältnis der Lichtstärken bei gleichem abgestrahlten LichtI0
m+1
=
ΦHalbraum
2π
Kugelstrahler
2πI0
ΦHalbraum = 1
Beleuchtungsstärke
breitung
Lambert-Strahler
2πI0
ΦHalbraum = 2
Keulenstrahler
2πI0
ΦHalbraum = 4
auf ebenem Schirm im Abstand a0 von der Lichtquelle bei FreiraumausE(ϑ) = E0 · cosm+3 ϑ
mit E0 =
I0
a20
Abbildung einer Lambert-Strahler-Fläche erfolgt genau dann, wenn das Abbildungssystem
die Sinus-Bedingung erfüllt. Dann gilt für die Beleuchtungsstärke im Bild:
E ′ = L · dΩ′ =
8.3.1
1
·E
β2
Verallgemeinerte Strahlungsformeln
Für ein Flächenelement dA, das um ǫr gekippt ist, und ein Flächenelement dF , das um ǫd gekippt
ist, gilt für den Strahlungsfluss zwischen den beiden Flächen mit Abstand r und Strahldichte L:
dΦ =
L
· cos ǫr · dA cos ǫd · dF
r2
Der gesamte Strahlfluss lässt sich durch Integration über beide Flächen ermitteln:
Z Z
dΦ
Φ=
A
8.3.2
F
Anwendungen
Ulbricht-Kugel Eine diffus strahlende Kugel, die als Lambert-Strahler angenommen werden
kann. Der Strahlungsfluss zwischen zwei Flächenelementen der Kugel ist dabei unabhängig von der
Position:
Fa Fb
Φ=L·
4R2
24
8 RADIOMETRIE UND PHOTOMETRIE
Abbildung eines Schirms Mit dem Winkel ω des Hauptstrahls und der Fläche F der Eintrittspupille ergibt sich für den Strahlungsfluss:
ΦAF (ω) = L ·
8.3.3
AF
· cos4 ω
s2
Zusammenfassung
Für die Abbildung einer strahlenden Fläche gilt:
• Strahlungsfluss Φ und die effektive Leuchtdichte Lef f =
• Beleuchtungsstärke E ′ =
′2
• Lichtstärke I ′ = β 2 nn2 · I
1
β2
·E
L
n
=
L′
n′
sind konstant.