EPR-Paradoxon, Bellsche Ungleichung

EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
EPR-Paradoxon, Bellsche Ungleichung
Gibt es eine Alternative zur Quantentheorie?
Timo Häußermann
Hauptseminar theoretische Physik 2011
Timo Häußermann
EPR-Paradoxon, Bellsche Ungleichung
EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Table of Contents
1
EPR-Paradoxon
EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
2
Verborgene Parameter
Intro
Verborgene Parameter in 2D
3
Bellsche Ungleichung
Verborgene Parameter bei zwei Teilchen
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Timo Häußermann
EPR-Paradoxon, Bellsche Ungleichung
EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Can quantum-mechanical description of physical reality be
considered complete?
Paper von A. Einstein, B. Podolski, N. Rosen (1935)
Annahmen: Vollständigkeit, Lokalität, Realität & perfekte
Korrelation
Vollständige Theorie enthält ein Element für jedes Element
der Realität.
Element der Realität: Wert kann mit Sicherheit vorhergesagt
werden, ohne das System zu stören
QM: Zwei durch nicht kommutierende Operatoren dargestellte
Elemente können nicht gleichzeitig vorhergesagt werden
(Heisenberg).
Folgerung: Die Beschreibung der Realität durch die QM
(Wellenfunktionen) ist unvollständig.
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Gedankenexperiment von EPR
Zwei Teilchen wechselwirken miteinander und entfernen sich
dann voneinander.
Beschreibung durch einen (verschränkten) Zustand,
An Teilchen 1 wird der Impuls gemessen → der Impuls von
Teilchen 2 kann exakt vorhergesagt werden.
Dies geschieht ohne Störung am zweiten Teilchen.
Geht aber auch andersrum...
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
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EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Zwei Möglichkeiten:
1
QM-Beschreibung der Realität durch Wellenfunktion
unvollständig.
2
Nur eine der beiden nicht kommutierenden Observablen
gehört zur physikalischen Realität.
Gilt jedoch (1) nicht, so gilt auch (2) nicht.
⇒ Die Quantenmechanik ist unvollständig!
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Zwei Spin-1/2-Teilchen
z.B. π-Meson-Zerfall: π 0 → e + + e −
Spin = 0 erhalten
Zerfall in den Bellzustand |Bi =
A
√1 (|
2
+ −i − | − +i)
B
n1
n2
A und B messen unabhängig voneinander den Spin in
Richtung n 1 bzw. n 2 .
Für n 1 = n 2 ist das Produkt der Messwerte immer
(1)
(2)
hB|σn ⊗ σn |Bi = −1
Timo Häußermann
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EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Einsteins Überlegungen
Angewandt auf zwei Spin 1/2-Teilchen
1
Nach Messung bei A (Teilchen 1) in Richtung n ist Spin bei B
in Richtung n bekannt.
2
Entscheidung in welche Richtung n bei A gemessen wird
beeinflusst Teilchen 2 bei B nicht.
3
Spin von Teilchen 2 muss für jede Richtung vorher festgelegt
sein.
4
In der QM gilt das nicht ⇒ QM ist unvollständig!
Timo Häußermann
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EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Mögliche Interpretationen
Die simpelste:
Messung bei A
+
Wskt
50%
50%
Timo Häußermann
Messung bei B
+
+
-
Wskt
100%
100%
50%
50%
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EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Viele bunte Smarties!
|Bi =
√1 (|
2
+ −i − | − +i) → |Bz i =
Keine Vorzugsachse ⇒ |Bx i =
√1 (|z+, z−i
2
√1 (|x +, x −i
2
− |z−, z+i).
− |x −, x +i)
A misst in z-Richtung, B in x-Richtung: keine/zufällige
Korrelation.
A misst in x-Richtung, B in x-Richtung: 100%-ige Korrelation.
A misst nicht → B misst (in alle Richtungen) zufällige Werte.
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
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Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Messwerte
Messrichtung A
z
z
z
z
z
z
x
x
x
x
x
x
Messwert A
+
+
+
+
+
+
-
Messrichtung B
z
x
x
x
x
z
x
z
z
z
z
x
x,y
Timo Häußermann
Messwert B
+
+
+
+
+
+
±
EPR-Paradoxon, Bellsche Ungleichung
Wskt
100 %
50 %
50 %
50 %
50 %
100 %
100 %
50 %
50 %
50 %
50 %
100 %
50 %
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
EPR-Paper
Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Quantenmechanische Interpretation
Beide Teilchen gehören zum selben System.
Messung an einem Teilchen ist eine Messung am gesamten
System.
(Und beeinflusst damit auch das gesamte System)
Timo Häußermann
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Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
Prinzip der Lokalität
Einstein - mit verborgenen Parametern gegen die QM.
„But on one supposition we should, in my opinion,
absolutely hold fast: the real factual situation of system
S2 is independent of what is done with the system S1,
which is spatially separated from the former.“
Timo Häußermann
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Bohm’s Veranschaulichung
Interpretationen
„Gott würfelt nicht“
Einstein - mit verborgenen Parametern gegen die QM.
„Die Theorie liefert viel, aber dem Geheimnis des Alten
bringt sie uns doch nicht näher. Jedenfalls bin ich
überzeugt davon, dass der nicht würfelt.“
„Es scheint hart, dem Herrgott in die Karten zu gucken.
Aber dass er würfelt und sich telepathischer Mittel
bedient (wie es ihm von der gegenwärtigen
Quantentheorie zugemutet wird), kann ich keinen
Augenblick glauben.“
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Verborgene Parameter
Entfernen den Zufall aus der Quantenmechanik. Reiner
Determinismus.
Tauchen in der QM nicht auf ⇒ keine Messverfahren bekannt.
Erklären Verschränkung ohne Wechselwirkung über große
Distanzen.
Von Einstein bis zu seinem Tode 1955 verfolgt.
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Verborgene Parameter im Zweizustandssystem
2D-Hilbertraum, z.B. ein Spin-1/2-Teilchen.
Zusätzlich zu |z+i wird ein Paramter χ eingeführt, der
angibt, welchen Wert eine Messung in n-Richtung ergibt.
Gesucht: f (n, χ, |z+i) = ±1 und p(χ) in Einklang mit der
QM.
QM: hσn i = hz + |σn |z+i = cos(ϑ).
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Die Lösung
Im 2D-Hilbertraum (ein Teilchen) gibt es tatsächlich eine!
χ Einheitsvektor auf der Kugel.
(
f (n, χ, |z+i) =
+1 für (e z + χ) · n > 0
−1 für (e z + χ) · n < 0
χ gleichverteilt auf der Kugel: p(χ) =
Timo Häußermann
.
1
4π .
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EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Konstruktion von f (n, χ, |z+i)
z
n
θ
(
f (n, χ, |z+i) =
+1 für (e z + χ) · n > 0
−1 für (e z + χ) · n < 0
Timo Häußermann
.
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Konstruktion von f (n, χ, |z+i)
z
n
z. n
θ
(
f (n, χ, |z+i) =
+1 für (e z + χ) · n > 0
−1 für (e z + χ) · n < 0
Timo Häußermann
.
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EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Konstruktion von f (n, χ, |z+i)
z
n
z. n
θ
(
f (n, χ, |z+i) =
+1 für (e z + χ) · n > 0
−1 für (e z + χ) · n < 0
Timo Häußermann
.
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Konstruktion von f (n, χ, |z+i)
z
n
z. n
θ
(
f (n, χ, |z+i) =
+1 für (e z + χ) · n > 0
−1 für (e z + χ) · n < 0
Timo Häußermann
.
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EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Konstruktion von f (n, χ, |z+i)
z
n
z. n
θ
(
f (n, χ, |z+i) =
+1 für (e z + χ) · n > 0
−1 für (e z + χ) · n < 0
Timo Häußermann
.
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Intro
Verborgene Parameter in 2D
Konstruktion von f (n, χ, |z+i)
z
n
z. n
θ
hσn i =
=
Z
dχ f (n, χ, |z+i) p(χ)
1
((+1) · weiße Fläche + (−1) · blaue Fläche) = cos(ϑ)
4π
Timo Häußermann
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EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Verborgene Parameter bei zwei Teilchen
Anschaulich
2
2
1
3
1
A
3
B
Zeigerstellung nach Emission frei wählbar.
Messwerte werden getrennt notiert und nach X Messungen
verglichen.
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Verborgene Parameter bei zwei Teilchen
Anschaulich
2
2
1
3
A
Zeigerstellung A
1
2
1
3
3
2
1
..
.
Messwert A
R
G
G
R
R
G
G
Timo Häußermann
1
3
B
Zeigerstellung B
2
1
1
3
1
3
2
Messwert B
R
R
G
R
R
R
R
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EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Verborgene Parameter bei zwei Teilchen
Anschaulich
2
2
1
3
1
A
3
B
Gleiche Zeigerstellung ⇒ gleiche Lampe.
Bei untersch. Stellung nur in x% gleiche Lampe.
Die 100%-ige Korelation ist nur möglich, wenn jedes Teilchen einen
Parameter trägt, der den Messwert bei allen drei Zeigerstellungen
vorgibt.
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Verborgene Parameter bei zwei Teilchen
Anschaulich
Mögliche Parameter:
1
R
G
R
R
G
R
G
G
2
R
G
R
G
R
G
R
G
Typ RRG für verschiedene
Zeigerstellungen
3
R
G
G
R
R
G
G
R
1 und 2: gleiche Lampe
2 und 1: gleiche Lampe
1 und 3: versch. Lampen
2 und 3: versch. Lampen
3 und 1: versch. Lampen
3 und 2: versch. Lampen
(gilt für alle Typen außer
RRR/GGG)
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Verborgene Parameter bei zwei Teilchen
Anschaulich
2
2
1
3
1
A
3
B
Gleiche Zeigerstellung ⇒ gleiche Lampe.
Bei untersch. Stellung nur in x% gleiche Lampe.
Die 100%-ige Korelation ist nur möglich, wenn jedes Teilchen einen
Parameter trägt, der den Messwert bei allen drei Zeigerstellungen
vorgibt.
x ≥ 33.3
(QM: cos2 (ϑ/2)
Timo Häußermann
ϑ=120◦ 1
=
)
4
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Verborgene Parameter bei zwei Teilchen
Die Rechnung
A
B
n1
n2
Es muss gelten: f1 (n, χ) = −f2 (n, χ)
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Verborgene Parameter bei zwei Teilchen
Die Rechnung
Erwartungswert des Messwertprodukts:
Z
E (n 1 , n 2 ) =
dχ p(χ) f1 (n 1 , χ) f2 (n 2 , χ)
Z
=−
dχ p(χ) f1 (n 1 , χ) f1 (n 2 , χ)
Z
E (n, m) − E (n, l ) =
dχ p(χ) (−f1 (n, χ) f1 (m, χ) + f1 (n, χ) f1 (l , χ))
Z
=
dχ p(χ) (−f1 (n, χ) f1 (m, χ))(1 − f1 (m, χ) f1 (l , χ))
|
{z
≤1
}
⇒ |E (n, m) − E (n, l )| ≤ 1 + E (m, l )
Gilt für jede Theorie mit verborgenen Parametern.
Timo Häußermann
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EPR-Paradoxon
Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Vergleich mit der Quantenmechanik
(1)
(2)
E (n, m) = hB|σn ⊗ σm |Bi
1
(2)
(2)
(1)
(h+ − | − h− + | σz (σz cos(ϑ) + σx sin(ϑ)) | + −i − | − +i
2
= − cos(ϑ)
=
Einsetzen in die Bellsche Ungleichung:
n
m
θ
θ
l
|E (n, m) − E (n, l )| ≤ 1 + E (m, l )
| − cos(ϑ) + cos(2ϑ) ≤ 1 − cos(ϑ)
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Vergleich mit der Quantenmechanik
|E (n, m) − E (n, l )| ≤ 1 + E (m, l )
| − cos(ϑ) + cos(2ϑ) ≤ 1 − cos(ϑ)
Timo Häußermann
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Das Ende vom Lied
Theorie mit verborgenen Parametern und QM liefern
unterschiedliche Voraussagen.
Der Unterschied ist messbar.
Alle Messungen haben die Bellsche Ungleichung z.T. deutlich
verletzt.
QM liegt innerhalb der Fehlerbereiche.
Quantenmechanik
1 : 0
Timo Häußermann
Verborgene Parameter
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Verborgene Parameter
Bellsche Ungleichung
Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Das Ende vom Lied
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
Timo Häußermann
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Anschaulich
Die Rechnung
Schlussfolgerung
Quellen
„Modern quantum mechanics“, Jun John Sakurai & San Fu
Tuan, Addison-Wesley Pub. Co. (1994)
„Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be
Considered Complete?“, Einstein et al, Phys. Rev. vol. 47, p.
777 (1935)
Script zur Vorlesung „Fortgeschrittene Vielteilchentheorie“,
Seifert, WS 10/11
„Bringing home the atomic world: Quantum mysteries for
anybody“, Mermin, Am. J. Phys, vol. 49, p. 940 (1981)
„Albert Einstein, Philosopher-Scientist“, Edited by P. A.
Schilp, Library of Living Philosophers, Evanston, Illinois (1949)
Timo Häußermann
EPR-Paradoxon, Bellsche Ungleichung