Fronten von Reaktions-Diffusions-Gleichungen

Technische Universität Berlin
Fronten von
Reaktions-Diffusions-Gleichungen
Technische Universität Berlin
Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Markus Osenberg
Magnus Happach
Inhalt
Motivation
Nernstlampe
Eisendraht in Wasserstoff
Das Schlögl-Modell
Front zwischen zwei stabilen Zuständen
Front zwischen einem stabilen und einem instabilen Zustand
Ausblick
Zusammenfassung
Nernstlampe
1897 vom Physikochemiker Prof. Walther Nernst erfunden
Leuchtmittel ist ein Ionenleiter (ab 600°C) aus
Zirkon(IV)-oxid
dotiert mit Yttrium(III)-oxid
Nernstlampe
Eisendraht im Wasserstoff
13.07.12
Magnus Happach, Markus Osenberg
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Eisendraht im Wasserstoff
In einem Strombereich entstehen 3 Schnittpunkte zwischen Q +
und QDie Schnittpunkte bei T1 und T3 sind stabil der bei T2 nicht
Es können sich also Wellenfronten zwischen den beiden
stabilen Zuständen ausbilden
Für genau ein IKr bewegen sich diese Fronten nicht, je weiter wir
uns von IKr entfernen desto schneller werden diese
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Eisendraht im Wasserstoff
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Magnus Happach, Markus Osenberg
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Eisendraht im Wasserstoff
Wird hingegen die Spannung konstant gehalten, so stellt sich
ein IKr ein.
Die Fronten wandern nun so lange, bis sich der „richtige“
Widerstand eingestellt hat und die Fronten stehen bleiben.
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Motivation
Reaktions-Diffusions-Gleichungen sind im Allgemeinen nur
schwer lösbar.
Wie z.B. im Vortrag zu Tumoren zu sehen wahr, reicht es
allerdings oft aus, nur die Reaktionsfronten zu betrachten.
Ziel sind Aussagen über z.B. Geschwindigkeit, Form, und
Stabilität
Sowohl die Mechanik als auch die Quantenmechanik helfen bei
der Lösung
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Das Schlögl-Modell
Das Schlögl-Modell beschreibt das Phänomen mit 3 Fixpunkten
(2 stabil, 1 instabil)
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Mechanisches Analogon
Wie schnell ist die Wellenfront?
Übergang in mitlaufendes Koordinatensystem
Diese Formel ist aus der Mechanik bekannt, wobei die
Frontgeschwindigkeit durch die Reibung dargestellt wird
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Mechanisches Analogon
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Analytische Lösung
Für die Frontlösung muss gelten:
Mit den Randbedingungen eingesetzt erhällt man die
Geschwindigkeit (bzw. Reibung) und die Frontlösung
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Analytische Lösung
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Stabilitätsanalyse
Nun wird eine lineare Stabilitätsanalyse durchgeführt:
Wir erhalten mit diesem Ansatz eine bekannte Gleichung:
Dies entspricht der Schrödingergleichung mit
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.
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Stabilitätsanalyse
Das Potential der Schrödingergleichung sieht dann wie folgt
aus:
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Stabilitätsanalyse
Aus der Schrödungergleichung kann nun über die
Quantenmechanik 3 Fälle abgeleitet werden
Es existiert eine stabile Mode (Grundzustand) mit
Es existiert ein kontinuierliches Spektrum von Eigenmoden mit
Für spezielle R existieren diskrete Eigenmoden z.B. eine
Zusammensetzung aus unterschiedlichen Cosinus
Die Frontlösung ist Translationsinvariant, die
Grundzustandsmode entspricht genau der Verschiebung der
Front, die Stabilität bleibt also erhalten
Alle anderen Moden relaxieren exponentiel schnell.
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Wellenfront - Lösungen
Reaktions-Diffusionsgleichung:
̇  x ,t = ' '  x ,t  f  
Koordinatentransformation:
y= x−v⋅t
gewöhnliche DGL:
 V 
'
  y=
−v⋅ v  y

''
v
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Betrachtung des Potentials
Das Potential V   sei:
2 4
V  = −
2
4
bei t=−∞ startet das Teilchen bei =1 mit infinitesimaler
Geschwindigkeit
bei t=∞ wird das Teilchen zur Ruhe kommen, wenn „Reibung
v“ nicht Null ist.
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Amplitudenbetrachtung
Kugel in Potential
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Amplitude
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Phasenraum
Kugel in Potential
Phasenraum
Die Extrema des Potentials werden zu Fixpunkten des Phasenraums
Welche Lösungen sind stabil gegen Störungen?
lineare Stabilitätsanalyse
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v kr =2 √ v (0)=2
''
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lineare Stabilitätsanalyse
Ansatz:   x ,t = v  x−vt  v  x , t 
lineare  -Näherung:
''
''
'
̇=  f  v  v − f  v ≈  f  v  v
in einem mit v bewegten Koordinatensystem: ̇ ̇−v⋅
'
''
'
'
˙v  x ,t =v⋅v  x , t v  x ,t  f  v  x⋅ v  x , t
'
''
wobei f  v  x=V  v  x
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lineare Stabilitätsanalyse
2
vc
''
''
Grenzwertbetrachtung: x ∞ strebt V  v  xV 0= =1
4
damit erhält man eine lineare PDGL mit konstanten Koeffizienten
'
''
˙v  x ,t =v⋅v  x , t v  x ,t v  x ,t 
Der Lösungsansatz
 v~e
i⋅K⋅x
e
⋅t
führt in der Grenzwertbetrachtung auf
i⋅v 1
2
=i⋅K⋅v−k 1⇔ K = ±  4−v −4⋅
2 2
2
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lineare Stabilitätsanalyse
2
v
2
ℜ=1− −q
4
Für v2 sind die um =0 oszillierenden Lösungen instabil.
Für v=2 ist die Lösung marginal stabil.
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erweiterte Stabilitätsanalyse
Sind dann alle Lösungen mit v2 stabil?
Betrachtung des Störterms in den höheren Ableitungen
1 ''
'
''
'
2
˙v  x ,t =v⋅v  x , t v  x ,t  f  v  x⋅ v  x , t ⋅f  v ⋅v ...
2
2
˙v  x ,t = Lv⋅v  x ,t −3⋅ v  x⋅ v  x ,t 
2


2
 2 1−3⋅ v  x
mit dem linearen Operator Lv =v
x x
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erweiterte Stabilitätsanalyse
Entwickeln von  v nach den Eigenfunktionen von Lv
v
v
v
Lv u n  x= n u n  x
 v  x ,t =∑n a n t u n  x
v
so folgt aus der Entwicklung des Störterms:
∑n a n uvn =∑n a n  vn uvn −3v  x2v ...
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erweiterte Stabilitätsanalyse
v

u
Durch Multiplikation mit der Eigenfunktion n des
adjungierten Operators Lv und einer Integration nach x
erhält man:
∞
v
2
3
a˙n= a n−3∫−∞ dx un  v  xv O a n 
v
n
v
'
v
Betrachtung der Translationsmode u 0  x= v  x mit 0=0
∞
−a˙0 t =3 ∫−∞ dx e  v  x v  x v  x ,t 
vx
'
2
'
Für  v≠0 und  v 0,  v 0 für v2 ist das Integral negativ.
Daher werden alle Wellenfronten mit v2 abgebremst.
Folglich sind diese nicht stabil gegen Störung.
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Ausblick
Hat der Reaktionsterm mehr als 3 Fixpunkte existieren im Fall
(stabil zu stabil) weitere langsamere diskrete
Frontgeschwindigkeiten, welche ebenfalls in die schnellste
Lösung relaxieren
Das Fischer-Kolmogorov-Modell ist neben dem Schlögl-Modell
ein weiteres Modell für einen Reaktionsterm
Es beschreibt 2 Fixpunkte (einen stabilen und einen instabilen)
R u=u 1−u
Ähnlich wie im Schlögl-Modell diskutiert, ist für die Entstehung
einer stabilen Frontlösung eine Mindestgeschwindigkeit dieser
Front notwendig.
v Kr =2  V ' ' 0
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Zusammenfassung
Schlögl-Modell analytisch lösbar
Hilfe durch Mechanik und Quantenmechanik
Schlögl-Modell kann Übergänge von stabilen zu stabilen
Zuständen beschreiben
Mit einer stabilen Frontlösung
Schlögl-Modell kann Übergänge von stabilen zu instabilen
Zuständen beschreiben
v> v kr
v=v kr
v< v kr
13.07.12
Wellenfronten ist nicht stabil
Wellenfront ist marginal stabil
Wellenfronten sind nicht stabil
Magnus Happach, Markus Osenberg
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.
13.07.12
Magnus Happach, Markus Osenberg
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Quellen
Wim van Saarloos, Three basic issues concerning interface dynamics in
nonequilibrium pattern formation Instituut-Lorentz, Leiden University
(Submitted on 23 Jan 1998)
A. Allroth, Partielle Differentialgleichungen: Dynamische Stabilitätsanalyse,
Institut für Festkörperforschung, Kernforschungsanlage Jülich
Peter Grauel, Dissertation: Das Ag/Peroxoldisulfatsystem: Grenzfläche und
raumzeiltiche Dynamik, FU-Berlin, Mai 1999
J. Löber1, M. Bär2, H. Engel1, Propagation Of Waves In PeriodicHeterogeneous Bistable Systems, 1 TU-Berlin, 2 PTB, (Submitted on 21 Mar
2012)
H.-J. Qaudbeck-Seeger, E.Diemann, Facetten einer Wissenschaft,Chemie
aus ungewöhnlichen Perspektiven, WILEY-VCH Verlag 2004 Weinheim
Seite 145
http://www.landesstelle.de/index.php/objekte-des-monatseinzeln/items/gluehlampe.html (10.07.2012)
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Magnus Happach, Markus Osenberg
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