Fronten von Reaktions-Diffusions-Gleichungen
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Technische Universität Berlin Fronten von Reaktions-Diffusions-Gleichungen Technische Universität Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Markus Osenberg Magnus Happach Inhalt Motivation Nernstlampe Eisendraht in Wasserstoff Das Schlögl-Modell Front zwischen zwei stabilen Zuständen Front zwischen einem stabilen und einem instabilen Zustand Ausblick Zusammenfassung Nernstlampe 1897 vom Physikochemiker Prof. Walther Nernst erfunden Leuchtmittel ist ein Ionenleiter (ab 600°C) aus Zirkon(IV)-oxid dotiert mit Yttrium(III)-oxid Nernstlampe Eisendraht im Wasserstoff 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 5 Eisendraht im Wasserstoff In einem Strombereich entstehen 3 Schnittpunkte zwischen Q + und QDie Schnittpunkte bei T1 und T3 sind stabil der bei T2 nicht Es können sich also Wellenfronten zwischen den beiden stabilen Zuständen ausbilden Für genau ein IKr bewegen sich diese Fronten nicht, je weiter wir uns von IKr entfernen desto schneller werden diese 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 6 Eisendraht im Wasserstoff 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 7 Eisendraht im Wasserstoff Wird hingegen die Spannung konstant gehalten, so stellt sich ein IKr ein. Die Fronten wandern nun so lange, bis sich der „richtige“ Widerstand eingestellt hat und die Fronten stehen bleiben. 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 8 Motivation Reaktions-Diffusions-Gleichungen sind im Allgemeinen nur schwer lösbar. Wie z.B. im Vortrag zu Tumoren zu sehen wahr, reicht es allerdings oft aus, nur die Reaktionsfronten zu betrachten. Ziel sind Aussagen über z.B. Geschwindigkeit, Form, und Stabilität Sowohl die Mechanik als auch die Quantenmechanik helfen bei der Lösung 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 9 Das Schlögl-Modell Das Schlögl-Modell beschreibt das Phänomen mit 3 Fixpunkten (2 stabil, 1 instabil) 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 10 Mechanisches Analogon Wie schnell ist die Wellenfront? Übergang in mitlaufendes Koordinatensystem Diese Formel ist aus der Mechanik bekannt, wobei die Frontgeschwindigkeit durch die Reibung dargestellt wird 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 11 Mechanisches Analogon 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 12 Analytische Lösung Für die Frontlösung muss gelten: Mit den Randbedingungen eingesetzt erhällt man die Geschwindigkeit (bzw. Reibung) und die Frontlösung 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 13 Analytische Lösung 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 14 Stabilitätsanalyse Nun wird eine lineare Stabilitätsanalyse durchgeführt: Wir erhalten mit diesem Ansatz eine bekannte Gleichung: Dies entspricht der Schrödingergleichung mit 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg . 15 Stabilitätsanalyse Das Potential der Schrödingergleichung sieht dann wie folgt aus: 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 16 Stabilitätsanalyse Aus der Schrödungergleichung kann nun über die Quantenmechanik 3 Fälle abgeleitet werden Es existiert eine stabile Mode (Grundzustand) mit Es existiert ein kontinuierliches Spektrum von Eigenmoden mit Für spezielle R existieren diskrete Eigenmoden z.B. eine Zusammensetzung aus unterschiedlichen Cosinus Die Frontlösung ist Translationsinvariant, die Grundzustandsmode entspricht genau der Verschiebung der Front, die Stabilität bleibt also erhalten Alle anderen Moden relaxieren exponentiel schnell. 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 17 Wellenfront - Lösungen Reaktions-Diffusionsgleichung: ̇ x ,t = ' ' x ,t f Koordinatentransformation: y= x−v⋅t gewöhnliche DGL: V ' y= −v⋅ v y '' v 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 18 Betrachtung des Potentials Das Potential V sei: 2 4 V = − 2 4 bei t=−∞ startet das Teilchen bei =1 mit infinitesimaler Geschwindigkeit bei t=∞ wird das Teilchen zur Ruhe kommen, wenn „Reibung v“ nicht Null ist. 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 19 Amplitudenbetrachtung Kugel in Potential 13.07.12 Amplitude Magnus Happach, Markus Osenberg 20 Phasenraum Kugel in Potential Phasenraum Die Extrema des Potentials werden zu Fixpunkten des Phasenraums Welche Lösungen sind stabil gegen Störungen? lineare Stabilitätsanalyse 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg v kr =2 √ v (0)=2 '' 21 lineare Stabilitätsanalyse Ansatz: x ,t = v x−vt v x , t lineare -Näherung: '' '' ' ̇= f v v − f v ≈ f v v in einem mit v bewegten Koordinatensystem: ̇ ̇−v⋅ ' '' ' ' ˙v x ,t =v⋅v x , t v x ,t f v x⋅ v x , t ' '' wobei f v x=V v x 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 22 lineare Stabilitätsanalyse 2 vc '' '' Grenzwertbetrachtung: x ∞ strebt V v xV 0= =1 4 damit erhält man eine lineare PDGL mit konstanten Koeffizienten ' '' ˙v x ,t =v⋅v x , t v x ,t v x ,t Der Lösungsansatz v~e i⋅K⋅x e ⋅t führt in der Grenzwertbetrachtung auf i⋅v 1 2 =i⋅K⋅v−k 1⇔ K = ± 4−v −4⋅ 2 2 2 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 23 lineare Stabilitätsanalyse 2 v 2 ℜ=1− −q 4 Für v2 sind die um =0 oszillierenden Lösungen instabil. Für v=2 ist die Lösung marginal stabil. 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 24 erweiterte Stabilitätsanalyse Sind dann alle Lösungen mit v2 stabil? Betrachtung des Störterms in den höheren Ableitungen 1 '' ' '' ' 2 ˙v x ,t =v⋅v x , t v x ,t f v x⋅ v x , t ⋅f v ⋅v ... 2 2 ˙v x ,t = Lv⋅v x ,t −3⋅ v x⋅ v x ,t 2 2 2 1−3⋅ v x mit dem linearen Operator Lv =v x x 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 25 erweiterte Stabilitätsanalyse Entwickeln von v nach den Eigenfunktionen von Lv v v v Lv u n x= n u n x v x ,t =∑n a n t u n x v so folgt aus der Entwicklung des Störterms: ∑n a n uvn =∑n a n vn uvn −3v x2v ... 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 26 erweiterte Stabilitätsanalyse v u Durch Multiplikation mit der Eigenfunktion n des adjungierten Operators Lv und einer Integration nach x erhält man: ∞ v 2 3 a˙n= a n−3∫−∞ dx un v xv O a n v n v ' v Betrachtung der Translationsmode u 0 x= v x mit 0=0 ∞ −a˙0 t =3 ∫−∞ dx e v x v x v x ,t vx ' 2 ' Für v≠0 und v 0, v 0 für v2 ist das Integral negativ. Daher werden alle Wellenfronten mit v2 abgebremst. Folglich sind diese nicht stabil gegen Störung. 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 27 Ausblick Hat der Reaktionsterm mehr als 3 Fixpunkte existieren im Fall (stabil zu stabil) weitere langsamere diskrete Frontgeschwindigkeiten, welche ebenfalls in die schnellste Lösung relaxieren Das Fischer-Kolmogorov-Modell ist neben dem Schlögl-Modell ein weiteres Modell für einen Reaktionsterm Es beschreibt 2 Fixpunkte (einen stabilen und einen instabilen) R u=u 1−u Ähnlich wie im Schlögl-Modell diskutiert, ist für die Entstehung einer stabilen Frontlösung eine Mindestgeschwindigkeit dieser Front notwendig. v Kr =2 V ' ' 0 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 28 Zusammenfassung Schlögl-Modell analytisch lösbar Hilfe durch Mechanik und Quantenmechanik Schlögl-Modell kann Übergänge von stabilen zu stabilen Zuständen beschreiben Mit einer stabilen Frontlösung Schlögl-Modell kann Übergänge von stabilen zu instabilen Zuständen beschreiben v> v kr v=v kr v< v kr 13.07.12 Wellenfronten ist nicht stabil Wellenfront ist marginal stabil Wellenfronten sind nicht stabil Magnus Happach, Markus Osenberg 29 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 30 Quellen Wim van Saarloos, Three basic issues concerning interface dynamics in nonequilibrium pattern formation Instituut-Lorentz, Leiden University (Submitted on 23 Jan 1998) A. Allroth, Partielle Differentialgleichungen: Dynamische Stabilitätsanalyse, Institut für Festkörperforschung, Kernforschungsanlage Jülich Peter Grauel, Dissertation: Das Ag/Peroxoldisulfatsystem: Grenzfläche und raumzeiltiche Dynamik, FU-Berlin, Mai 1999 J. Löber1, M. Bär2, H. Engel1, Propagation Of Waves In PeriodicHeterogeneous Bistable Systems, 1 TU-Berlin, 2 PTB, (Submitted on 21 Mar 2012) H.-J. Qaudbeck-Seeger, E.Diemann, Facetten einer Wissenschaft,Chemie aus ungewöhnlichen Perspektiven, WILEY-VCH Verlag 2004 Weinheim Seite 145 http://www.landesstelle.de/index.php/objekte-des-monatseinzeln/items/gluehlampe.html (10.07.2012) 13.07.12 Magnus Happach, Markus Osenberg 31
