Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut

Physik IV
Atome, Moleküle, Wärmestatistik
Vorlesungsskript zur Vorlesung im SS 2003
Prof. Dr. Rudolf Gross
Walther-Meissner-Institut
Bayerische Akademie der Wissenschaften
und
Lehrstuhl für Technische Physik (E23)
Technische Universität München
Walther-Meissner-Strasse 8
D-85748 Garching
[email protected]
c
Rudolf Gross — Garching, März 2003
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
xiii
I
Physik der Atome und Moleküle
1
1
Einführung in die Quantenphysik
3
1.1
Der Welle-Teilchen Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1
Dualismus des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Dualismus der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Materiewellen und Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.2
Die Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.3
Messprozess und Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.4
Dispersion von Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.5
Gegenüberstellung Quantenphysik – klassische Physik . . . . . . . . . . . . . .
19
Grundlagen der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.3.1
Schrödinger-Gleichung und Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.3.2
Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.3.3
Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3.4
Eigenwerte und Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.3.5
Zulässige Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.3.6
Vertiefungsthema:
Quantenmechanische Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Vertiefungsthema:
Vertauschungsrelationen und Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . . . .
38
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.4
Ununterscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.5
Fermionen und Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.2
1.3
1.3.7
1.3.8
iii
iv
R. G ROSS
1.6
1.7
2
1.5.1
Der Spin von Quantenteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.5.2
Quantenteilchen mit ganz- und halbzahligem Spin . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Austauschsymmetrie und Pauli-Verbot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.6.1
Die Austauschsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.6.2
Das Pauli-Verbot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Vertiefungsthema:
Zur Axiomatik der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Aufbau der Atome
57
2.1
Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.2
Experimenteller Nachweis der Existenz von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.3
Größe, Masse und elektrischer Aufbau von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.3.1
Größe von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.3.2
Der elektrische Aufbau von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.3.3
Bestimmung der Atommasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Die Struktur von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.4.1
Gechichtliche Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.4.2
Grundlagen zu Streuexperimenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.4
3
INHALTSVERZEICHNIS
Das Einelektronenatom
81
3.1
Experimentelle Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.1.1
Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.1.2
Anregung von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.1.3
Das Spektrum des Wasserstoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.2
Das Bohrsche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.3
Die Schrödinger-Gleichung für Einelektronenatome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.3.1
Schwerpunkt- und Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.3.2
Teilchen im kugelsymmetrischen Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.3.3
Winkelabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.3.4
Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3.5
Die Radialabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.6
Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.7
Aufenthaltswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4
Der Elektronenspin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.1
Experimentelle Fakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.2
Vertiefungsthema:
Theoretische Beschreibung des Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
c
Walther-Meißner-Institut
INHALTSVERZEICHNIS
4
P HYSIK IV
Das Wasserstoffatom
v
135
4.1
Experimentelle Befunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2
Relativistische Korrektur der Energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3
Die Spin-Bahn-Kopplung: Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3.1
Der Spin-Bahn-Kopplungsterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3.2
Der Gesamtdrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3.3
Energieniveaus des Wasserstoffatoms bei Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . 143
4.3.4
Die Feinstruktur beim Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4
Die Lamb-Shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5
Die Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6
Das Wasserstoffatom im Magnetfeld: Normaler Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7
4.6.1
Klassisches Teilchen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.6.2
Vertiefungsthema:
Quantenmechanische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Anomaler Zeeman- und Paschen-Back-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.7.1
Der anomale Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.7.2
Der Paschen-Back-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.8
Der Stark-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.9
Vollständiges Termschema des Wasserstoffatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.10 Vertiefungsthemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.10.1 Das Modell des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.10.2 Vertiefungsthema:
Das Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5
Wasserstoffähnliche Systeme
185
5.1
He+ , Li++ und Be+++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.2
Die schweren Wasserstoffisotope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3
Rydbergatome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4
Exotische Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4.1
Myonische Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4.2
Anti-Wasserstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.4.3
Positronium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.5
Quarkonium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.6
Exzitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
2003
vi
R. G ROSS
6
Übergänge zwischen Energieniveaus
6.1
199
Übergangswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.1.1
Spontane und stimulierte Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.2
Lebensdauer angeregter Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.3
Linienbreiten von Spektrallinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.4
7
INHALTSVERZEICHNIS
6.3.1
Natürliche Linienbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.3.2
Dopplerverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3.3
Stoßverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Übergangsmatrixelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.4.1
Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.4.2
Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.4.3
Auswahlregeln für die Bahndrehimpulsquantenzahl – Paritätsauswahlregeln . . . 222
6.4.4
Auswahlregeln für die magnetische Quantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.4.5
Auswahlregeln für die Spinquantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.4.6
Stärke des Dipolübergangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.4.7
Vertiefungsthema:
Multipol-Übergänge höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.4.8
Vertiefungsthema:
Zwei-Photonen-Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.4.9
Vertiefungsthema:
Spektrales Lochbrennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Mehrelektronenatome
7.1
7.2
7.3
7.4
237
Das Heliumatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.1.1
Die Zentralfeldnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.1.2
Symmetrie der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Numerische Methoden und Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.2.1
Das Modell unabhängiger Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.2.2
Das Hartree-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Der Gesamtdrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.3.1
Die L-S- oder Russel-Saunders-Kopplung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.3.2
Die j-j-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.3.3
Termschema bei L-S-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.3.4
Beispiele für Drehimpulskopplungen und Termschemata . . . . . . . . . . . . . 256
Der Grundzustand des Vielelektronenatoms – Hundsche Regeln . . . . . . . . . . . . . 258
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Walther-Meißner-Institut
INHALTSVERZEICHNIS
Vertiefungsthema:
Atomarer Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.6
Die Elektronenstruktur von Vielelektronenatomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.6.1
Schalen und Unterschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.6.2
Aufbau der Atomhülle mit zunehmender Kernladungszahl . . . . . . . . . . . . 265
7.6.3
Das Periodensystem der Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Spektren der Mehrelektronenatomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.7.1
Termschema des Heliumatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.7.2
Alkalimetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.7.3
Erdalkalimetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Angeregte Atomzustände
8.1
8.2
8.3
281
Einfachanregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.1.1
9
vii
7.5
7.7
8
P HYSIK IV
Anregung und Rekombination durch Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Komplexere Anregungsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.2.1
Anregung mehrerer Elektronen – Autoionisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.2.2
Innerschalenanregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
8.3.1
Erzeugung von Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.3.2
Das Röntgenspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8.3.3
Die Feinstruktur der Röntgenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.3.4
Vertiefungsthema:
Streuung und Absorption von Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.3.5
Vertiefungsthema:
Röntgenfluoreszenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.3.6
Vertiefungsthema:
Monochromatisierung von Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Moleküle
9.1
9.2
313
Das Einelektronen-Molekül — H+
2 -Molekülion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
9.1.1
Die Schrödinger-Gleichung des Einelektronenmoleküls . . . . . . . . . . . . . . 316
9.1.2
Die adiabatische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.1.3
Lösung der elektronischen Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Das Vielelektronen-Molekül — H2 -Molekül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.2.1
Die Molekülorbitalnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.2.2
Die Heitler-London Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
2003
viii
R. G ROSS
II
INHALTSVERZEICHNIS
9.2.3
Vergleich der Näherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.2.4
Die Molekülbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.3
Elektronische Zustände zweiatomiger Moleküle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.4
Die Kernbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.4.1
Der starre Rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.4.2
Molekülschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Wärmestatistik
349
10 Grundlagen der Wärmelehre
351
10.1 Systeme, Phasen und Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.1.1 Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.1.2 Phasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
10.1.3 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.2 Zustandsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
10.2.1 Definitionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
10.2.2 Die Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.2.3 Der Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.2.4 Teilchenzahl, Stoffmenge und Avogadrozahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.2.5 Die Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.3 Die thermodynamischen Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
10.3.1 Prinzip der maximalen Entropie und minimalen Energie . . . . . . . . . . . . . 360
10.3.2 Innere Energie als Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
10.3.3 Entropie als thermodynamisches Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.3.4 Die freie Energie oder das Helmholtz-Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.3.5 Die Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.3.6 Die freie Enthalpie oder das Gibbsche Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
10.3.7 Die Maxwell-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.3.8 Thermodynamische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.4 Die kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.4.1 Druck und Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.4.2 Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.4.3 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.4.4 Der Gleichverteilungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
c
Walther-Meißner-Institut
INHALTSVERZEICHNIS
P HYSIK IV
ix
10.5 Energieformen, Zustandsänderungen und Hauptsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10.5.1 Energieformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10.5.2 Energieumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
10.5.3 Die Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
10.5.4 Zustandsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11 Statistische Beschreibung
377
11.1 Grundbegriffe der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
11.1.1 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
11.1.2 Mittelwert, Mittelwert der Abweichung, Schwankung . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.2 Phasenraum und Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
11.2.1 Mikro- und Makrozustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
11.2.2 Der Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
11.2.3 Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
11.3 Das Spin-1/2 System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
11.3.1 Die Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
11.3.2 Entartung der Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
11.3.3 Statistische Eigenschaften der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
11.3.4 Die Gauß-Verteilung für große N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
11.3.5 Die Energie des Spin-1/2-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.4 Grundlegende Annahmen der Wärmephysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
11.4.1 Zeitmittel und Scharmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
11.5 Systeme in thermischem Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
11.6 Entropie, Temperatur und chemisches Potenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
11.6.1 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
11.6.2 Statistische Definition der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
11.6.3 Statistische Definition des chemischen Potenzials . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
11.6.4 Der 3. Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.6.5 Der 2. Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.6.6 Wärmefluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11.6.7 Teilchenfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
11.6.8 Zusammenhang zwischen statistischen und thermodynamischen Größen . . . . . 412
11.7 Der Zeitpfeil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.8 Magnetische Kühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
2003
x
R. G ROSS
12 Verteilungsfunktionen
INHALTSVERZEICHNIS
423
12.1 Repräsentative Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
12.1.1 Abgeschlossenes System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
12.1.2 System in Kontakt mit einem Wärmereservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
12.1.3 System in Kontakt mit einem Wärme- und Teilchenreservoir . . . . . . . . . . . 425
12.2 Gibbs- und Boltzmann-Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
12.2.1 Der Gibbs-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
12.2.2 Der Boltzmann-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
12.3 Zustandssummen und Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
12.3.1 Große Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
12.3.2 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
12.3.3 Zustandssumme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
12.3.4 Verteilungsfunktionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
12.4 Anwendungen der Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
12.4.1 Das ideale einatomige Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
12.4.2 Gültigkeit der klassischen Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
12.4.3 Der Gleichverteilungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
12.5 Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
12.5.1 Verteilung des Geschwindigkeitsbetrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
12.5.2 Verteilung einer Geschwindigkeitskomponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
12.5.3 Die barometrische Höhenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
12.5.4 Thermalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
13 Quantenstatistik
461
13.1 Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
13.1.1 Klassischer Fall: Maxwell-Boltzmann-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
13.1.2 Quantenmechanischer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
13.2 Die quantenmechanischen Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
13.2.1 Quantenstatistische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
13.2.2 Photonen-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
13.2.3 Die Fermi-Dirac-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
13.2.4 Die Bose-Einstein-Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
13.2.5 Quantenstatistik im klassischen Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
13.3 Die Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
c
Walther-Meißner-Institut
INHALTSVERZEICHNIS
P HYSIK IV
xi
13.3.1 Das freie Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
13.3.2 Das Photonengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
13.4 Vertiefungsthema:
Die Bose-Einstein Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
13.4.1 Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
13.4.2 Temperatur der Bose-Einstein Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
13.4.3 Realisierung eines Bose-Einstein Kondensats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
13.4.4 Beobachtung der Bose-Einstein Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
13.4.5 Atomlaser und Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
III
Anhang
505
A
Rutherfordsche Streuformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
B
Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
C
bi , L
b2 in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
L
D
bi , L
b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
Vertauschungsrelationen L
E
Heliumatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
F
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
G
SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
H
G.1
Geschichte des SI Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
G.2
Die SI Basiseinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
G.3
Einige von den SI Einheiten abgeleitete Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
G.4
Vorsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
G.5
Abgeleitete Einheiten und Umrechnungsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
Physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
2003
Teil III
Anhang
505
Anhang A: Rutherfordsche Streuformel
A
P HYSIK IV
507
Rutherfordsche Streuformel
Zur Herleitung der Rutherfordschen Streuformel wird der Zusammenhang des Stoßparameters b mit dem
Streuwinkel ϑ benötigt. Wir wollen deshalb in diesem Abschnitt den Ausdruck für den Stossparameter
beim Stoß eines α-Teilchens (Ladung +2e) mit dem Coulomb-Potenzial eines Atomkerns der Ladung
+Ze ableiten. Da die zwischen Kern und α-Teilchen wirkende Coulomb-Kraft stets parallel zu dem
vom Kern zum α-Teilchen weisenden Ortsvektor ist, gilt der Flächensatz. In diesem Fall ist die Bahn
des α-Teilchens eben und es ist zweckmäßig, den Bahnverlauf in Polarkoordinaten ρ, ϕ zu betrachten.
Ferner können wir das Zweiteilchenproblem auf ein Einteilchenproblem zurückführen, indem wir die
Kernmasse mK als in Ruhe befindlich betrachten und für die Masse des α-Teilchens die reduzierte Masse
µ =
mα mK
mα + mK
(A.1)
und für seine Geschwindigkeit die Relativgeschwindigkeit
v = vα − vK
(A.2)
verwenden. Den Ursprung des Koordinatensystems legen wir in den ruhenden Atomkern (siehe
Abb. A1).
Für ρ → ∞, also sehr weit weg vom Atomkern, soll das α-Teilchen die Energie
Ekin =
1 2
µv
2 0
(A.3)
besitzen. Seine Bahn verläuft dort geradlinig. Nähert sich das α-Teilchen dem Kern, so wird es von
dieser geradlinigen Bahn abgelenkt. Wir wollen zuerst den Bahnverlauf ρ(ϕ) berechnen. Nach dem
Coulombschen Gesetz und F = qE bewegt sich das α-Teilchen im elektrischen Feld E bzw. Potenzial V
des Kerns (q = +Ze)
E =
Ze
ρb
4πε0 ρ 2
V =
Ze
,
4πε0 ρ
(A.4)
wobei ρb der Einheitsvektor in ρ-Richtung ist, also vom Kernort zum Ort des α-Teilchens.
Wegen rotE = rotF/q = 0, d.h. rotF = 0, gilt für das betrachtete Problem der Energieerhaltungssatz
der klassischen Mechanik. Da für die potentielle Energie Epot = qV = +2eV gilt, da die Ladung des
α-Teilchens +2e beträgt, so folgt aus dem Energieerhaltungssatz
Ekin + Epot =
1 2 2e · Ze
= const.
µv +
2 0 4πε0 ρ
(A.5)
2003
508
R. G ROSS
Anhang A
b
v0
α - Teilchen
+ 2e
ρ
ϕ=α/2
ϑ
α
Atomkern
+ Ze
Bahnkurve
Abbildung A1: Zur Herleitung des Zusammenhangs zwischen Streuwinkel ϑ und Stoßparameter b.
Da für ρ → ∞ die Geschwindigkeit des α-Teilchens gegen v0 gehen muss, ergibt sich die Konstante zu
1
2
2 mv0 .
Mit der Abkürzung V (ρ) = k/ρ, d.h. k = 2e·Ze/4πε0 ρ, und der Bahngeschwindigkeit v = ds/dt erhalten
wir mit dem Quadrat des Linienbelements ds in Polarkoordinaten
ds2 = dρ 2 + ρ 2 dϕ 2
den Ausdruck für die Gesamtenergie zu
Ekin + Epot = E =
µ
2
"
dρ
dt
2
+ ρ2
dϕ
dt
2 #
+
k
1
= µv20 .
ρ
2
(A.6)
b wodurch das Drehmoment
Der vom Kern zum α-Teilchen gerichtete Kraftvektor ist immer parallel zu ρ,
M = ρ × F = 0 wird. Das heißt, neben dem Energieerhaltungssatz gilt auch der Drehimpulserhaltungssatz.
Zur Berechnung des Drehimpulses betrachten wir in großer Entfernung vom Kern die Parallele zur dort
geradlinigen Bahn des α-Teilchens, die durch den Koordinatenursprung geht (siehe Abb. A1). Der Abstand der beiden Geraden definiert den Stoßparameter b. Mit der Definition L = m(r × v) bzw. L = Θω ω
des Drehimpulses, wobei Θω = mρ 2 und ω = dϕ/dt ist, erhalten wir den Betrag des Drehimpulses zu
b v0 ) = µv0 b = const.
|L| = µ|ρ × v0 | = µv0 ρ sin(ρ,b
c
Walther-Meißner-Institut
(A.7)
Anhang A: Rutherfordsche Streuformel
P HYSIK IV
509
sowie zu
|L| = Θω ω = µρ 2
dϕ
= const.
dt
(A.8)
Hieraus erhalten wir durch Gleichsetzen von (A.7) und (A.8) schließlich
dϕ
dt
=
v0 b
.
ρ2
(A.9)
Setzen wir diesen Ausdruck in (A.6) ein, so erhalten wir
µ
2
"
dρ
dt
2
#
v20 b2
k
+ 2 +
ρ
ρ
=
1 2
µv .
2 0
(A.10)
Ersetzen wir schließlich die zeitliche Ableitung von ρ durch
dρ
dρ dϕ
dρ v0 b
=
=
=−
dt
dϕ dt
dϕ ρ
v0 d
b
ρ
dϕ
,
so folgt

 2
b
2
d
µ 2  ρ 
b  k
v0 
+ 2+
2
dϕ
ρ
ρ
=
1 2
µv .
2 0
(A.11)
Teilen wir durch Ekin = 12 µv20 , so erhalten wir

 2
b
b2 
k
 d ρ 
+ 2+

dϕ
ρ
Ekin ρ
= 1 .
(A.12)
2 b2 , so können wir weiter umformen zu
Addieren wir auf beiden Seiten k2 /4Ekin
 2
2
2
d ρb

 +b + k + k
2 b2
dϕ
ρ 2 Ekin ρ 4Ekin
= 1+
k2
2 b2
4Ekin
2003
(A.13)
510
R. G ROSS
Anhang A
bzw. zu
 2
2
d b
k2
 ρ  + b+ k
= 1+ 2 2 .
dϕ
ρ 2Ekin b
4Ekin b
Mit der Substitution
u=
2
k
b
+
ρ
2Ekin b
(A.14)
du = d
b
ρ
und unter Benutzung von
k
C = 1+
2Ekin b
2
2
können wir zu
du
dϕ
2
+ u2 = C 2
(A.15)
vereinfachen, woraus wir durch Trennung der Variablen
du
du
dϕ = ± √
= ± q
2
2
2
C −u
C 1 − Cu 2
(A.16)
erhalten. Integration ergibt
ϕ = arcsin
u
u
+ ϕ0 = − arccos + ϕ0
C
C
(A.17)
oder
u
.
C
cos(ϕ0 − ϕ) =
(A.18)
Wir legen nun die Winkelmessung so fest, dass durch u = C der Winkelnullpunkt ϕ = 0 bestimmt ist.
Dann geht (A.18) unter Benutzung der obigen Substitutionen in
cos(ϕ) =
b
ρ
r
+ 2Ekkin b
2
1 + 2Ekkin b
c
(A.19)
Walther-Meißner-Institut
Anhang A: Rutherfordsche Streuformel
P HYSIK IV
511
über. Durch Auflösen nach ρ erhalten wir schließlich die gewünschte Bahnkurve ρ(ϕ) des α-Teilchens
2
ρ =
b
− 2Ekin
k
r
.
2
2Ekin b
cos ϕ
1− 1+
k
(A.20)
Die Teilchenbahn r
stellt einen Hyperbelast mit dem Brennpunkt im streuenden Kern und der numerischen
2
Exzentrizität ε = 1 + 2Ekkin b dar.
In Experimenten misst man allerdings nicht die Bahnkurve, sondern den Streuwinkel ϑ . Der Streuwinkel
ist durch
ϑ = 180◦ − α
gegeben, wobei α der Schnittwinkel der beiden Asymptoten an die Bahnkurve für ρ → ∞ ist (siehe
Abb. A1). Das heißt
α
π −ϑ
=
2
2
ϕ →
für ρ → ∞ .
(A.21)
Mit der Polargleichung des Hyperbelastes
ρ=
−p
1 − ε cos ϕ
erhalten wir für ρ → ∞
1 − ε cos(α/2)
−p
(A.22)
1
α
π −ϑ
ϑ
= 0 = cos = cos
= sin
ε
2
2
2
(A.23)
1
= 0 =
ρ
oder
und unter Benutzung der Bahngleichung weiter
2Ekin b
k
2
=
1 − sin2 ϑ2
cos2 ϑ2
1
ϑ
−
1
=
=
= cot2
2ϑ
2ϑ
2ϑ
2
sin 2
sin 2
sin 2
(A.24)
Durch Auflösen nach dem Stoßparameter erhalten wir den Ausdruck
b =
k
ϑ
k
ϑ
cot
=
cot
.
2Ekin
2
2
µv20
(A.25)
2003
512
R. G ROSS
B
Anhang B
Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
Wir betrachten einen vom Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems zum Punkt P = (u, v, w)
weisenden Ortsvektor r, der eine Funktion der drei beliebigen unabhängigen Variablen u, v, w ist (siehe
Abb. B2):
b .
r = r(u, v, w) = x(u, v, w)bi + y(u, v, w)bj + z(u, v, w)k
(B.1)
b die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems.
Hierbei sind bi, bj und k
Das Linienelement dr besitzt die Darstellung
dr =
∂r
∂r
∂r
du + dv +
dw .
∂u
∂v
∂w
(B.2)
Ist u = const und v = const, die Koordinate w dagegen variabel, dann beschreibt die Raumkurve ru,v (w)
eine bestimmte Raumkurve. Entsprechendes gilt für die anderen Koordinaten. Wir erhalten also insgesamt drei Raumkurven ru,v (w), ru,w (v) und rv,w (u), die ein räumliches Koordinatennetz bilden.
Wir wollen im Folgenden orthogonale Systeme voraussetzen, für die
∂r ∂r
∂r ∂r
∂r ∂r
·
=
·
=
·
∂u ∂v
∂u ∂w
∂v ∂w
= 0 .
(B.3)
Mit diesen Bedingungen können wir drei zueinander orthogonale Einheitsvektoren definieren (siehe
Abb. B2):
∂r
b =
u
∂u
∂r ∂u
∂r
b
v = ∂ v ∂∂ rv ∂r
b = ∂w .
w
∂r ∂w
(B.4)
Mit Hilfe dieser Einheitsvektoren können wir das Linienelement dr schreiben als:
∂r
∂r
∂r w
b du + b
b dw .
v dv + dr = u
∂u
∂v
∂w
(B.5)
Die durch Gleichung (B.4) festgelegten Einheitsvektoren bilden die Achsen eines orthogonalen Koordinatensystems mit dem Punkt P = P(u, v, w) als Ursprung. Wir können auch einen anderen Punkt
P0 = P(u0 , v0 , z0 ) betrachten. Auch an diesem Punkt bilden die durch (B.4) definierten Einheitsvektoren
b0 , b
b 0 ein orthogonales System, dass aber im Allgemeinen eine andere Orientierung besitzt. Die
u
v0 und w
c
Walther-Meißner-Institut
Anhang B: Krummlinige Koordinaten
P HYSIK IV
513
w
v
P
u
z
r
x
y
Abbildung B2: Zur Definition von krummlinigen Koordinaten.
b des
b, b
b unterscheiden sich von den Einheitsvektoren bi, bj und k
orthogonalen Einheitsvektoren u
v und w
kartesischen Koordinatensystems dadurch, dass sie von Ort zu Ort ihre Richtung ändern. Wir nennen sie
deshalb krummmlinigen Koordinaten.
Wir betrachten jetzt ein Vektorfeld A = A(u, v, w). Man bezeichnet nun auch in krummlinigen Koordinab, Av von A auf b
b als die Komponenten von A
ten die Projektionen Au von A auf u
v und Aw von A auf w
und wir können schreiben:
A = Au + Av + Aw .
(B.6)
Die Komponenten Au , Av und Aw sind dann wie in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben
durch
b
Au = Au u
Av = Av b
v
b .
Aw = Aw w
(B.7)
b, b
b.
Die Zahlen Au , Av und Aw heißen Koordinaten von A in Bezug auf die Einheitsvektoren u
v und w
Da (B.6) und (B.7) ganz analog zu den entsprechenden Darstellungen im rechtwinkligen kartesischen
Koordinatensystem festgelegt sind, bleiben auch die für das kartesische Koordinatensystem gegebenen
Ausdrücke für die skalare und vektorielle Produktbildung in krummlinigen orthogonalen Koordinaten
b, b
b ein Rechtssystem
erhalten. Einzige Voraussetzung ist hierbei, dass die Einheitvektoren u
v und w
b×b
b
u
v = w
b
b = u
b
v×w
b ×u
b = b
w
v
2003
(B.8)
514
R. G ROSS
Anhang B
bilden. Wir können also schreiben:
A · B = Au Bu + Av Bv + Aw Bw
(B.9)
A × B = (Av Bw − Aw Bv )b
u + (Aw Bu − Au Bw )b
v + (Au Bv − Av Bu )b
w .
(B.10)
Wir können damit das vollständige Differential der Funktion f = f (u, v, w) schreiben als
df
=
∂f
∂f
∂f
du +
dv +
dw = ∇ f · dr .
∂u
∂v
∂w
(B.11)
Mit Hilfe von (B.7) können wir ∇ f darstellen als
∇f
b + ∇v f b
b ,
= ∇u f u
v + ∇w f w
(B.12)
woraus weiter mit (B.12), (B.5) und (B.9)
∂r
∂r
∂r ∂f
∂f
∂f
∇w f dw
du +
dv +
dw = ∇u f du + ∇v f dv + ∂u
∂v
∂w
∂u
∂v
∂w
(B.13)
folgt. Diese Gleichung ist für beliebige du, dv und dw nur dann erfüllt, wenn der Gradient die Koordinaten
∇u f
=
1 ∂f
∂r ∂ u
∂u
1 ∂f
∇v f = ∂r ∂ v
∂v
1 ∂f
∇w f = ∂r ∂ w
∂w
(B.14)
hat.
Die Vektordifferentialoperation Divergenz
Zur Herleitung der Vektordifferentialoperation Divergenz in krummlinigen Koordinaten betrachten wir
ein quaderförmiges Volumenelement ∆V mit den Kantenlängen ∆u, ∆v und ∆w. Sein Volumen beträgt
∆V
∂r
∂r
∂r ∆w .
= ∆u · ∆v · ∂u
∂v
∂w
c
Walther-Meißner-Institut
(B.15)
Anhang B: Krummlinige Koordinaten
P HYSIK IV
515
b, b
b sind gegeben durch
Seine Seitenflächen senkrecht zu den Einheitsvektoren u
v und w
∆Fu
∆Fv
∆Fw
∂r
∂r ∆w
= ∆v ∂v
∂w
∂r
∂r ∆w
= ∆u ∂u
∂w
∂r
∂r
= ∆u ∆v .
∂u
∂v
(B.16)
(B.17)
(B.18)
Die Divergenz eines Vektorfeldes A ist nun definiert als die Volumenableitung
R
∇·A =
lim
A · dF
S∆V
∆V →0
∆V
.
(B.19)
Hierbei ist S∆V die Oberfläche des Volumenelements ∆V und dF ein Vektor, der senkrecht auf dem
Oberflächenelement steht und dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des Oberflächenelements ist. Wir
können somit schreiben:
1
∇ · A = lim
∆V →0 ∆V
∂r ∂r ∂r ∂r − Au dvdw
Au ∂ v ∂ w u+∆u
∂v ∂w u
∂r ∂r ∂r ∂r Av −
A
dudw
v
∂ u ∂ w v+∆v
∂u∂w v
∂r∂r
∂r∂r
Aw − Aw dudv .
∂ u ∂ v w+∆w
∂u ∂v w
(B.20)
Benutzen wir
∂
Au ∂∂ rv ∂∂wr ∂r ∂r ∂r ∂r =
Au +
∆u + O(∆u)n
Au ∂ v ∂ w u+∆u
∂v ∂w u
∂u
mit n = 2, 3, 4, . . .
(B.21)
und den Ausdruck (B.15) für das Volumenelement ∆V , so erhalten wir
∇·A =
1
∂r ∂r ∂r ∂u∂v∂w

 ∂ Au ∂∂ rv ∂∂wr ∂ Av ∂∂ ur ∂∂wr ∂ Aw ∂∂ ur ∂∂ rv  .
·
+
+
∂u
∂v
∂w
2003
(B.22)
516
R. G ROSS
Anhang B
Die Vektordifferentialoperation Rotation
Die Berechnung der Rotorkoordinaten auf krummlinigen Koordinaten lässt sich analog zum vorangegangenen Abschnitt durchführen. Die Rotation eines Vektorfeldes, ∇ × A, ist ein Vektor, der durch die
mit dem umgekehrten Vorzeichen genommenen Volumenableitung dieses Feldes dargestellt wird:
R
∇ × A = − lim
S∆V
∆V →0
R
A × dF
∆V
= + lim
dF × A
S∆V
.
∆V
∆V →0
(B.23)
Wir können somit schreiben
∇u × A =
∇v × A =
∇w × A =

 ∂r
∂
A
∂
Av ∂∂ rv w ∂w
1


−
∂r ∂r ∂v
∂w
∂v∂w

 ∂r
∂
A
∂
Aw ∂∂wr u
∂u
1


−
∂r ∂r ∂
w
∂
u
∂u∂w

 ∂r
∂ Av ∂ v ∂ Au ∂∂ ur 1
 .

−
∂r ∂r
∂u
∂v
∂u∂v
(B.24)
(B.25)
(B.26)
Der ∇2 Operator
Mit ∇2 f = ∇ · ∇ f erhalten wir aus (B.14) und (B.22)
∇2 f
=
1
∂r ∂r ∂r ∂u∂v∂w
!

| ∂∂ rv || ∂∂wr | ∂∂ uf ∂
∂
| ∂∂ ur |

·
+

∂u

!
| ∂∂ ur || ∂∂wr | ∂∂ vf | ∂∂ rv |
∂v
∂
+
!
| ∂∂ ur || ∂∂ rv | ∂∂ wf | ∂∂wr |
∂w


 .


(B.27)
Anwendung auf Kugelkoordinaten
Der Ortsvektor nimmt für Kugelkoordinaten (r, ϑ , ϕ) die Form
b
r = r sin ϑ cos ϕbi + r sin ϑ sin ϕbj + r cos ϑ k
c
Walther-Meißner-Institut
(B.28)
Anhang B: Krummlinige Koordinaten
P HYSIK IV
517
an. Damit erhalten wir
∂r
= 1
∂r
∂r ∂ϑ = r
∂r ∂ ϕ = r sin ϑ
(B.29)
(B.30)
(B.31)
und demnach aus den oben abgeleiteten Beziehungen für die verschiedenen Differentialoperatoren die
Ausdrücke
∇r f
=
∇·A =
∇r × A =
∇ϑ × A =
∇ϕ × A =
∇2 f
=
∂f
∂r
∇ϑ f =
1 ∂f
r ∂ϑ
∇ϕ =
1
∂f
r sin ϑ ∂ ϕ
1 ∂ (r2 Ar )
1 ∂ (sin ϑ Aϑ )
1 ∂ Aϕ
+
+
2
∂r
∂r
r sin ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ ϕ
∂ (sin ϑ Aϕ ) ∂ Aϑ
1
−
r sin ϑ
∂ϑ
∂ϕ
1 ∂ Ar ∂ (rAϕ )
1
−
r sin ϑ ∂ ϕ
∂r
1 ∂ (rAϑ ) ∂ Ar
−
r
∂r
∂ϑ
1 ∂
1
∂
∂f
1
∂2 f
2∂ f
r
+
sin
ϑ
+ 2 2
.
2
2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ ϕ 2
2003
(B.32)
(B.33)
(B.34)
(B.35)
(B.36)
(B.37)
518
R. G ROSS
C
Anhang C
bi und L
b2 in Kugelkoordinaten
Darstellung von L
In kartesischen Koordinaten gilt für die Komponenten des Drehimpulsoperators
∂
∂
b
+ cot ϑ cos ϕ
Lx = ih̄ sin ϑ
∂ϑ
∂ϕ
by = ih̄ − cos ϑ ∂ + cot ϑ sin ϕ ∂
L
∂ϑ
∂ϕ
bz = −ih̄ ∂ .
L
∂ϕ
(C.1)
(C.2)
(C.3)
b2 = L
bx2 + L
by2 + L
bz2 bekannt.
Damit ist auch der Operator L
Zwischen den kartesischen Koordinaten (x, y, z) und den Kugelkoordinaten (r, ϑ , ϕ) besteht der Zusammenhang
p
x2 + y2 + z2
z
ϑ = arccos p
2
x + y2 + z2
y
ϕ = arctan .
x
x = r sin ϑ cos ϕ
r=
y = r sin ϑ sin ϕ
z = r cos ϑ
(C.4)
(C.5)
(C.6)
Wir betrachten zunächst Jbz . Mit
∂
∂x
=
∂r ∂
∂ϑ ∂
∂ϕ ∂
+
+
∂x ∂r ∂x ∂ϑ
∂x ∂ϕ
(C.7)
können wir die Beziehungen
∂r
∂x
∂ϑ
∂x
∂ϕ
∂x
=
=
=
x
= sin ϑ cos ϕ
r
xz
cos ϑ cos ϕ
p
=
r
r 2 x 2 + y2
y
sin ϕ
p
= −
r sin ϑ
x2 + y2
(C.8)
(C.9)
(C.10)
gewinnen. Setzen wir diese Beziehungen in (C.7) ein, so erhalten wir
∂
∂x
= sin ϑ cos ϕ
∂
cos ϑ cos ϕ ∂
sin ϕ ∂
+
−
.
∂r
r
∂ ϑ r sin ϑ ∂ ϕ
c
Walther-Meißner-Institut
(C.11)
bi , L
b2 in Kugelkoordinaten
Anhang C: L
P HYSIK IV
519
Analog erhalten wir
∂
∂y
= sin ϑ sin ϕ
∂
cos ϑ sin ϕ ∂
cos ϕ ∂
+
+
.
∂r
r
∂ ϑ r sin ϑ ∂ ϕ
(C.12)
Setzen wir (C.11) und (C.12) sowie (C.4) bis (C.6) in (C.3) ein, so folgt
bx = −ih̄ ∂
L
∂ϕ
(C.13)
und analog
L̂x
by
L
∂
∂
+ cot ϑ cos ϕ
= ih̄ sin ϑ
∂ϑ
∂ϕ
∂
∂
= ih̄ − cos ϑ
+ cot ϑ sin ϕ
.
∂ϑ
∂ϕ
(C.14)
(C.15)
b2 = L
bx2 + L
by2 + L
bz2 erhalten wir nach einigen elementaren Umformungen
Für L
b2 = −h̄2
L
1 ∂
sin ϑ ∂ ϑ
∂2
∂
1
.
sin ϑ
+ 2
∂ϑ
sin ϑ ∂ ϕ 2
2003
(C.16)
520
R. G ROSS
D
Anhang D
Vertauschungsrelationen der Drehimpulskomponenten
bx , L
by ] der Drehimpulsoperatoren (3.3.37) bis (3.3.39) bestimmt werden.
Wir wollen den Kommutator [L
Nach Definition (1.3.59) gilt
bx , L
by ] = −[L
by , L
bx ] = L
bx L
by − L
by L
bx
[L
(D.1)
und damit unter Benutzung von (3.3.37) bis (3.3.39)
bx , L
by ] = L
bx (b
bx
[L
z pbx − xbpbz ) − (b
z pbx − xbpbz ) L
(D.2)
b der eine Funktion der Impulsoperatoren pbi und der Ortsoperatoren qbi
Für einen beliebigen Operator A,
ist, können wir schreiben:
b
b pbi , qbi ) Ψ = −ih̄ ∂ A(
b pbi , qbi )Ψ = −ih̄ ∂ A Ψ + A(
b pbi , qbi )(−ih̄) ∂ Ψ .
pbi A(
∂ qi
∂ qi
∂ qi
(D.3)
Mit der Definition des Kommutator folgt daraus
b
∂A
∂ qi
=
b
∂A
i b b i
b .
=
pbi A − A pbi = [ pbi , A]
∂ qbi
h̄
h̄
(D.4)
=
i b
b = i [A,
b qbi ] .
Ab
qi − qbi A
h̄
h̄
(D.5)
Analog gilt
b
∂A
∂ pbi
bx weder von xb noch von pbx abhängt, folgt mit (D.4) und (D.5)
Da pbx nicht von b
z und L
pbxb
z −b
z pbx = 0
bx pbx − pbx L
bx = 0
L
bx xb− xbL
bx = 0
L
(D.6)
und damit für (D.2)
bx , L
by ] = pbx L
bxb
bx − x L
bx pbz − pbz L
bx L
bx
[L
z −b
zL
c
Walther-Meißner-Institut
(D.7)
bi , L
b2
Anhang D: Vertauschungsrelationen L
P HYSIK IV
521
bx in (D.4) und (D.5) die Beziehungen
Weiter gewinnen wir durch Einsetzen von L
bx − L
bx pbz = ih̄ pby
pbz L
bx = ih̄b
bxb
z −b
zL
y ,
L
(D.8)
womit (D.7) unter Benutzung von (3.3.37) bis (3.3.39) in
bx , L
by ] = −ih̄ ( pbx yb− xbpby ) = ih̄L
bz
[L
(D.9)
übergeht. Analog folgen die Beziehungen
by , L
bz ] = ih̄L
bx
[L
bz , L
bx ] = ih̄L
by .
[L
(D.10)
(D.11)
bz , L
b2 ] berechnen. Mit der Beziehung L
b2 = L
bx2 + L
by2 + L
bz2 gilt:
Wir wollen nun den Kommutator [L
bz , L
b2 ] = [L
bz , L
bx2 ] + [L
bz , L
by2 ] + [L
bz , L
bz2 ]
[L
bz , L
bx ]L
bx + L
bx [L
bz , L
bx ] + [L
bz , L
by ]L
by + L
by [L
bz , L
by ]
= [L
by L
bx + L
bx L
by − L
bx L
by − L
by L
bx ]
= ih̄[L
= 0 .
(D.12)
Analog erhalten wir
bx , L
b2 ] = 0
[L
by , L
b2 ] = 0 .
[L
(D.13)
(D.14)
2003
522
R. G ROSS
E
Anhang E
Effektives Potenzial beim Heliumatom
Das Potenzial Φ(r1 ) für das erste Elektron eines Heliumatoms ist durch die Abschirmung des zweiten
Elektrons gegeben durch
Ze
e
Φ(r1 ) = −
+
4πε0 r1 4πε0
Z Z Z
ϑ ϕ r2
Ψ?2 Ψ2
dV2 .
r12
(E.1)
Zur Lösung des Integrals benutzen wir (siehe Abb. E3)
2
r12
= r12 + r22 − 2r1 r2 cos ϑ ,
(E.2)
woraus
r12 dr12 = r1 r2 sin ϑ dϑ
(E.3)
folgt. Weiterhin gilt
dV2 = r22 dr2 sin ϑ dϑ dϕ ,
(E.4)
womit wir
dV2
r12
=
r2 dr2 dϕdr12
r1
(E.5)
erhalten. Wir sehen, dass wir bei der Integration das Integral über sin ϑ dϑ in ein Integral über dr12
ersetzen können. Für die Wellenfunktion des 1s-Zustandes benutzen wir
Ψ1s =
Z 3/2
√ 3/2 exp(−Zr2 /aB )
πaB
mit Z = 2. Setzen wir Ψ1s in (E.1) ein, so erhalten wir für das Integral
c
Walther-Meißner-Institut
(E.6)
Anhang E: Heliumatom
P HYSIK IV
523
r12
-e2
-e1
r1
ϑ
r2
+2e
Abbildung E3: Zur Definition der Größen beim Heliumatom.
|Ψ1s |2 2
r dr2 sin ϑ dϑ dϕ =
r12 2
Z
Int =
Mit
R 2π
0
Z
|Ψ1s |2
r2 dr2 dr12 dϕ .
r1
(E.7)
dϕ = 2π erhalten wir
Int =

Zr1
2Z 3 
exp(−Z · 2r2 /aB ) r2
dr2
3
r1
aB
r2 =0
Z∞
+
r2 =r1
exp(−Z · 2r2 /aB ) r2
dr2
r1
rZ
1 +r2
dr12
r12 =r1 −r2

rZ
2 +r1
dr12  ,
(E.8)
r12 =r2 −r1
da für die Integrationsgrenze ϑ = 0
r12 =
r1 − r2
r2 − r1
für r2 < r1
für r2 > r1
(E.9)
gilt und für ϑ = π die Beziehung r12 = r2 + r1 folgt. Ausführen der Integration und Addition der beiden
Summanden in (E.8) ergibt
(Z − 1)e
e
Φ(r1 ) = −
−
4πε0 r1
4πε0
Z
1
+
aB r1
−2Zr1
exp
aB
wobei wir für Helium Z = 2 setzen müssen.
2003
,
(E.10)