Einheit 6: Integralsätze von Gauß und Stokes

Einheit 6:
Integralsätze von Gauß und Stokes
Lösungen
L_06_1)
Gegeben sind zwei Vektorfelder als
.
(p,q,r const.) Bilde für die folgendermaßen beschriebene
Fläche A
b) durch Anwendung des Satz von Stokes.
Hierzu bildet man zunächst die Rotation der beiden Felder, da es gilt:
Mit:
jeweils das Umlaufintegral
a) direkt.
Das ist einigermaßen aufwendig, da man die einzelnen
Abschnitte sauber parametrisieren muß, um keine Vorzeichenfehler zu machen. Generell ist die Vorgehensweise bei geraden Verbindungen zwischen zwei Punkten:
und dem Flächenelement
1.) Schreibe die Ortsvektoren von Start p1 und Ziel p2
an.
folgt für W1 der Wert 0, und für W2 als konstantem
Vektor mal Dreiecksfläche:
2.)" Bilde den Verbindungsvektor: v = p2 – p1
3.) Parametrisiere den Ortsvektor r durch eine skalare
Variable s, die von 0 bis 1 läuft: r = p1 + s v
4.)" Demzufolge wird das vektorielle Wegelement:
ds = v ds
Das wird nun nacheinander für die drei Wegsegmente
angewandt, jeweils für beide Felder W1 und W2:
das gleiche Resultat wie aus der direkten Wegintegration
mit sehr viel geringerem Rechenaufwand.
Die gesamten Umlaufintegrale entstehen durch Summation über die drei Segmente:
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Offensichtlich trägt die komplette Kugelschale nicht zum
Integral bei. Durch Einsetzen der Poisson-Gleichung in
das Volumenintegral der ε-Kugel (wie oben) ergibt sich:
L_06_2)
Berechne für ein beliebiges Volumen V0 mit Hilfe des
Gaußschen Integralsatz:
Nutze in einem zweiten Schritt die Poisson-Gleichung
der Elektrostatik um Δφ zu ersetzen, und vergleiche die
Resultate:
Das Integral über die gesamte Kugel entsteht nun durch
einfache Summation:
Das funktioniert aber nur wegen der prinzipiellen Abhängigkeit
L_06_3)
Berechne für das elektrostatische Potential einer Punktladung im Ursprung
durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes das
Volumenintegral von Δφ über eine Kugel mit Radius R
um den Ursprung:
Das heißt, in einem integralen Sinn (man spricht von
einer „schwachen” Lösung) erfüllt die vorgegebene Potentialfunktion der Punktladung die Poisson-Gleichung
für jedes beliebige Volumen einschließlich des Orts der
Singularität.
(Zusatzaufgabe: Eigentlich darf wegen der Singularität
von φ im Ursprung der Gaußsche Satz hier nicht ohne
weiteres angewendet werden. Überlege, warum das Verfahren trotzdem auf ein korrektes Ergebnis führt:
,
des elektrostatischen Potentials. Wir haben also nochmal
Glück gehabt.)
L_06_4)
Schreibe die vierte Maxwell-Gleichung in integraler Darstellung für den Sonderfall stationärer Felder an. Wie
wird dieses Gesetz dann meist bezeichnet? Welche physikalische Bedeutung und Einheit hat die rechte Seite?
Man entfernt zunächst eine kleine Kugel Kε(0) mit Radius
ε um die Ladung aus dem Integrationsvolumen, und hat
dann durch den inneren und äußeren Rand des so entstehenden Volumens zwei Oberflächen bei der Bildung
des Gaußschen Satzes zu berücksichtigen:
Man hat also hier das Durchflutungsgesetz wiederentdeckt.
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L_06_5)
Finde eine integrale Darstellung der Kontinuitätsgleichung der elektrischen Ladung und interpretiere diese
physikalisch.
die sich nicht vom Feld einer Punktladung unterscheidet.
Es ergibt sich also:
Kontinuitätsgleichung vgl. T_05:
L_06_7)
Ein E-Feld-Meßgerät mißt überall auf der Oberfläche
eines weit über dem Erdboden frei aufgehängten Kabels
von 20 m Länge einen Feldstärkebetrag von 100 V/m.
Das Kabel hat einschließlich der Isolation einen Radius
von 9 mm.
a) Skizziere die Anordnung und die Feldverteilung.
„Ein aus einem Volumen nach außen fließender Strom
bedeutet die Abnahme der Ladung des Volumens.”
Man sollte nicht über die exorbitanten Potential- und EFeld-Werte erschrecken: 1 As ist als freie Ladung ein
sehr hoher Wert.
L_06_6)
Eine gut leitende metallische Hohlkugel hat ihr Zentrum
im Ursprung und ist auf weite Entfernungen im Vakuum.
Ihr äußerer Radius beträgt 2 cm. In ihrem Inneren befindet sich im Punkt (0/0/10 mm) eine Ladung von 1 As, im
Punkt (15 mm/0/0) eine Ladung von -0.5 As und im
Punkt (0/5 mm/0) eine Ladung von 2 As.
a) " Berechne D und E am Ort (1 m/1 m/1 m):
Hier ist es wichtig zu erkennen, daß die metallische
Hohlkugel eine Äquipotentialfläche bildet (da leitfähig),
und das folglich im Außenraum Potentialverteilung und
Feld kugelsymmetrisch sind. Das erlaubt bei Anwendung
der Maxwell-Gleichung
b) Welche Ladung ist insgesamt auf dem Draht verteilt?
b)" Wie ändert sich die Feldstärke, wenn sich am Ort
(2 m/2 m/2 m) eine zusätzliche Punktladung von
2.5 As befindet?
In guter Näherung kann wegen des hohen Abstands im
Verhältnis zum Radius vernachlässigt werden, daß sich
auf der Oberfläche der Metallkugel durch die externe
Ladung Ladungsträger verschieben, und dadurch das
Feld der Metallkugel nicht mehr ideal rotationssymmetrisch ist. Dann entspricht die Anordnung zwei gleichnamigen Punktladungen gleicher Stärke. Da man sich exakt
in der Mitte befindet, verschwinden in diesem Punkt E
und D (nicht jedoch das Potential!). (Will man es ordentlich machen, muß noch eine Spiegelladung im Inneren
der Kugel berücksichtigt werden.)
über V0 als eine Kugel um den Ursprung mit einem noch
festzulegenden Radius R > 2 cm eine elementare Auswertung des Integrals:
,
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L_06_8)
Um einen Ringkern, der selbst von kreisförmigem Querschnitt ist (Torus), ist eine Spule mit N Windungen dicht
gewickelt, durch die der Strom I fließt. Berechne die
magnetische Feldstärke im gesamten Raum!
Nur innerhalb des Ringkerns existiert ein Feld, das äußere ist feldfrei. Deswegen verwendet man Ringkerne
gerne bei Anwendungen, bei denen Ab-/Einstrahlungen
vermieden werden sollen.
L_06_9)
Ausgangspunkt ist die Maxwell-Gleichung:
Ausgangspunkt ist das Durchflutungsgesetz:
Speziell gilt für die Raumladung:
angewandt auf eine Kreisscheibe mit Radius r senkrecht
zur z-Achse mit dem Mittelpunkt bei r = 0 in der Höhe z.
Solange der Rand dieser Scheibe innerhalb des Ringkerns
verläuft, wird sie selbst von Strom durchsetzt. Liegt der
Rand außerhalb des Ringkerns ist der Gesamtstrom 0,
und folglich, wegen der Rotationssymmetrie der Anordnung, Hφ ebenfalls. (Da nirgendwo ein Strom in φ-Richtung exisitiert, können auch keine Hz-, Hr-Komponenten
auftreten.) Allerdings ist bei der Anwendung des Durchflutungsgesetz der im allgemeinen schräge Durchtritt der
stromtragenden Windungen durch die Fläche zu berücksichtigen:
Man könnte die Gesamtladung nun heldenmütig durch
anschliessende Volumenintegration lösen. Einfacher geht
es, wenn man noch den Gaußschen Satz anwendet:
Die Flächennormalen liegen beim achsenparallelen Würfel auf den Einheitsvektoren, und bei einem in der Mitte
des Würfels liegenden Ursprung sieht man leicht:
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