Lösungen

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Georg Nöldeke
Herbstsemester 2010
Intermediate Microeconomics
Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 1
1. Für die Wettbewerbsmenge gilt
PD (q ∗ ) = PS (q ∗ ) ⇔ 42 − q ∗ = 2q ∗ ⇔ q ∗ = 14.
Der Wettbewerbspreis ist p∗ = PD (q ∗ ) = PS (q ∗ ) = 28.
2. Die Elastizität beschreibt das Verhältnis der prozentualen Änderungen. Dieses ist hier
8.3/21 ≈ 0.4. Da die Nachfrage bei einem Preisanstieg fällt, ist die Preiselastizität der
Marktnachfrage also ca. −0.4
3. Die Preiselastizität einer Marktnachfragefunktion der Form
D(p) = (p + A)α mit α > 0 und A > 0
ist
(p) =
αp
α · (p + A)α−1 · p
=
.
(p + A)α
p+A
Diese Preiselastizität ist streng kleiner als Null, da α < 0 und A > 0 angenommen
wurde.
Die Preiselastizität der Ausgaben R(p) = pD(p) ist
ρ(p) = 1 + (p) = 1 +
αp
(1 + α)p + A
=
.
p+A
p+A
Die Marktnachfrage ist genau dann elastisch, wenn
(p) < −1 ⇔
αp
< −1 ⇔ (1 + α)p < −A
p+A
gilt. Setzt man in diese Bedingung α = −2 und A = 50 ein, so erhält man −p < −50
oder p > 50. In diesem Beispiel ist die Marktnachfragefunktion also für niedrige Preise
unelastisch und für hohe Preise elastisch. Dies gilt entsprechend für alle α < −1. Für
α > −1 ist die Marktnachfragefunktion hingegen bei allen Preisen unelastisch.
4. (a) Es handelt sich um eine Marktnachfragefunktion mit konstanter Preiselastizität,
die durch = −0.4 gegeben ist. Ebenso besitzt die Marktangebotsfunktion eine
konstante Preiselastizität, nämlich η = 2.1. Da > −1 gilt, ist die Marktnachfragefunktion unelastisch. Da η > 1 gilt, ist die Marktangebotsfunktion elastisch.
(b) Laut Aufgabenstellung steigt der Parameter b um 5 Prozent an. (Die prozentuale
Änderung ist 100 · (210 − 200)/200 = 5.) Die Elastizität des Marktangebotes
bezüglich des Parameters ist 1:
ηb (p, b) = p2.1
b
= 1.
bp2.1
Somit gilt
ηb (p∗ (b), b)
1
dp∗ (b) b
=
=
= −0.4
∗
∗
db p (b)
(p (b)) − η(p∗ (b), b)
−0.4 − 2.1
1
und
dq ∗ (b) b
dp∗ (b) b
∗
=
(p
= −0.4 · (−0.4) = 0.16.
(b))
·
db q ∗ (b)
db p∗ (b)
Dies bedeutet, dass der Wettbewerbspreis um 0.4 · 5 = 2 Prozent fällt und die
Wettbewerbsmenge um 0.16 · 5 = 0.8 Prozent steigt.
Intuitiv kann man diese Ergebnisse wie folgt verstehen: Bei unverändertem Preis
würde nach der Parameteränderung das Angebot die Nachfrage um 5 Prozent
übersteigen, so dass eine Preissenkung erforderlich ist, um Marktangebot und
Marktnachfrage wieder zur Übereinstimmung zu bringen. Fällt der Preis um x
Prozent, so steigt die Nachfrage um −x Prozent, während das Angebot um
ηx Prozent fällt. Der Unterschied zwischen Angebot und Nachfrage nach einer
solchen Änderung beträgt also 5 − ηx + x Prozent. Setzt man dieses Ausdruck
gleich Null, erhält man x = 5/(η − ), also x = 2, d.h. der Wettbewerbspreis
muss um 2 Prozent fallen. Damit steigt die nachgefragte - und somit auch die
Wettbewerbsmenge - um −x = 0.8 Prozent. (Das gleiche Ergebnis erhält man
natürlich auch, wenn man die Mengenänderung mit Hilfe der Angebotsfunktion
bestimmt: Die Parameteränderung lässt das Marktangebot um 5 Prozent steigen;
die Preisänderung lässt es um ηx = 2.1 · 2 = 4.2 Prozent fallen, so dass sich
insgesamt ein Anstieg um 0.8 Prozent ergibt.)
5. Die Elastizität des Wettbewerbspreis in Bezug auf eine Einkommensänderung ist:
7
0.7
=
.
12 + 0.5
125
Fällt das Einkommen um 5 Prozent, wird der Wettbewerbspreis also um 5·7/125 = 0.28
Prozent fallen. Die Wettbewerbsmenge fällt um 12 · 0.28 = 3.36 Prozent. Die hohe
Elastizität des Marktangebotes führt dazu, dass die Mengenänderung sehr viel grösser
als die Preisänderung ist.
6. (a) Der Konsumentenpreis löst die Gleichung D(p∗d (τ )) = S(p∗d (τ ) − τ ), also:
A−ap∗d (τ ) = B +b[p∗d (τ )−τ ] ⇒ A−B +τ b = (a+b)p∗d (τ ) ⇒ p∗d (τ ) =
A − B + bτ
.
a+b
Aus dem Zusammenhang p∗s (τ ) = p∗d (τ ) − τ folgt damit
p∗s (τ ) =
A − B + bτ
A − B − aτ
−τ =
.
a+b
a+b
Zur Bestimmung der Gleichgewichtsmenge q ∗ (τ ) kann man die Gleichung q ∗ (τ ) =
D(p∗d (τ )) oder die Gleichung q ∗ (τ ) = S(p∗s (τ )) verwenden. Das Ergebnis ist:
q ∗ (τ ) =
bA + aB − abτ
.
a+b
Die zu bestimmenden Ableitungen sind:
dp∗d (τ )
b
=
> 0,
dτ
a+b
∗
a
dps (τ )
=−
< 0,
dτ
a+b
dq ∗ (τ )
ab
=−
< 0.
dτ
a+b
2
(b) Die Änderung des Steuersatzes beträgt ∆τ = 1.2. Multipliziert man diesen Wert
mit der jeweiligen Ableitung erhält man die gesuchten Änderungen:
b
∆τ = 0.80,
a+b
a
∆p∗s = −
∆τ = −0.40,
a+b
ab
∆τ = −2.40.
∆q ∗ = −
a+b
∆p∗d =
7. Aus den Formeln
dp∗d (0)
η(p∗ )
=
,
∗
dτ
η(p ) − (p∗ )
dp∗s (0)
(p∗ )
=
.
∗
dτ
η(p ) − (p∗ )
und den Angaben in der Aufgabenstellung erhält man
dp∗d (0)
= 5/6,
dτ
dp∗s (0)
= −1/6.
dτ
Multipliziert man diese Ableitungen mit der Änderung des Steuersatzes, die drei Einheiten beträgt, erhält man die Antwort, dass der Konsumentenpreis um ca. 2.50 steigen
wird, während der Produzentenpreis um ca. 0.50 fällt. Für die Änderung der Gleichgewichtsmenge gilt
dq ∗ (0)
(p∗ )η(p∗ ) q ∗
−20 200
=
=
= −20/3,
dτ
η(p∗ ) − (p∗ ) p∗
12 50
so dass die Gleichgewichtsmenge um ca. 20 Einheiten fallen wird. Also gilt q ∗ (3) =
200 − 20 = 180. Die Steuereinnahmen sind
T (3) = 3q ∗ (3) = 540.
3
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