VWL 3: Mikroökonomie Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 1

Georg Nöldeke
Frühjahrssemester 2010
VWL 3: Mikroökonomie
Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 1
1. (a) Der Wettbewerbspreis löst D(p∗ ) = S(p∗ ), also:
A − ap∗ = B + bp∗ ⇒ A − B = (a + b)p∗ ⇒ p∗ =
A−B
.
a+b
Die Wettbewerbsmenge ist q ∗ = D(p∗ ) = S(p∗ ), also:
q∗ = A − a
bA + aB
A−B
=
.
a+b
a+b
(b) Die relevanten Ableitungen lassen sich mit Hilfe der Quotientenregel direkt aus
den obigen Formeln bestimmen:
A−B
dp∗ (a)
=−
da
(a + b)2
dq ∗ (a)
(a + b)B − bA − aB
A−B
=
= −b
.
da
(a + b)2
(a + b)2
Auf Grund der Annahme A > B sind beide diese Ausdrücke streng negativ, d.h.
Wettbewerbspreis und Wettbewerbsmenge fallen bei einem Anstieg von a.
Beachte: Die obigen Ableitungen stimmen mit denen überein, die man aus der
Anwendung der allgemeinen Formeln aus der Vorlesung auf den Spezialfall der
hier betrachteten linearen Funktionen gewinnt:
dp∗ (a)
=
da
∂D(p∗ (a),a)
∂a
∂S(p∗ (a))
∂D(p∗ (a),a)
−
∂p
∂p
∗
∗
=−
p∗ (a)
A−B
=−
b+a
(a + b)2
∂S(p (a)) dp (a)
A−B
dq ∗ (a)
=
= −b
.
da
∂p
da
(a + b)2
2. (a) Die Preiselastizität der Marktnachfrage ist:
D (p) = D0 (p)
p
p
= αApα−1 α = α < 0.
D(p)
Ap
Es handelt sich hier also um den Spezialfall einer Marktnachfragefunktion mit
konstanter Preiselastizität.
Die Preiselastitzität des Marktangebots ist:
S (p) = S 0 (p)
p
p
= βBpβ−1 β = β > 0.
S(p)
Bp
Es handelt sich hier also um den Spezialfall einer Marktangebotsfunktion mit
konstanter Preiselastizität.
1
(b) Die Elastizität des Marktangebots in Bezug auf den Parameter B ist konstant
gleich 1. Also gilt
1
<0
p∗ (B) =
α−β
und
q∗ (B) =
α
> 0.
α−β
Der Wettbewerbspreis wird also um 1/(β − α) Prozent fallen; die Wettbewerbsmenge wird um α/(α − β) Prozent steigen.
Hinweis: Man kann die Aufgabe auch dadurch beantworten, dass man zunächst
explizit Wettbewerbspreis und -menge bestimmt, um dann die entsprechenden
Elastizitäten zu berechnen. Diese Vorgehensweise ist allerdings ein wenig mühsam:
Der Wettbewerbspreis bestimmt sich aus:1
A
= p̃β−α ⇒ p̃ =
D(p̃) = S(p̃) ⇔ Ap̃ = B p̃ ⇔
B
α
β
A
B
1/(β−α)
.
Die Wettbewerbsmenge ist entsprechend:
α
q̃ = Ap̃ = A
A
B
α/(β−α)
= Aβ/(β−α) B −α/(β−α) .
Bestimmt man die Elastizitäten direkt aus diesen Formeln, erhält man die gleichen
Ergebnisse wie oben angegeben.
3. Die Preiselastizität einer Marktnachfragefunktion der Form
D(p) = (p + A)α mit α < 0 und A > 0
ist
D (p) =
p
α · (p + A)α−1 · p
=α
.
(p + A)α
p+A
Bemerke, dass der Absolutwert dieser Preiselastizität streng steigend in p ist. Für
α ≥ −1 ist die Marktnachfrage bei allen Preisen unelastisch, da p/(p + A) < 1 gilt.
Für α < −1 ist die Marktnachfrage hingegen für niedrige Preis unelastisch und für
hohe Preise elastisch.
Die Preiselastizität der Ausgaben R(p) = pD(p) ist
R (p) = 1 + D (p) =
p + A alphap
p
A
+
= (1 + α)
+
.
p+A
P +A
p+A p+A
Für α ≥ −1 ist dieser Ausdruck für alle p streng grösser als Null, so dass die Ausgaben
streng steigend im Preis sind. Für α < −1 steigen die Ausgaben für niedrige Preise
bei einer Preiserhöhung an; für hohe Preise fallend die Ausgaben hingegen, wenn der
Preis erhöht wird.
4. Das Verhältnis der prozentualen Änderungen ist 8.3/21 ≈ 0.39. Da die Nachfrage bei
einem Preisanstieg fällt, ist die Preiselastizität der Marktnachfrage also ca. −0.39
1 Um
die Lesbarkeit zu erleichtern, wird der Wettbewerbspreis im folgenden mit p̃ bezeichnet; die Wettbewerbsmenge ist q̃.
2
5. Die Elastizität des Wettbewerbspreis in Bezug auf eine Einkommensänderung ist:
0.7
7
=
.
12 + 0.5
125
Fällt das Einkommen um 5 Prozent, wird der Wettbewerbspreis also um 5·7/125 = 0.28
Prozent fallen. Die Wettbewerbsmenge fällt um 12 · 0.28 = 3.36 Prozent. Die hohe
Elastizität des Marktangebotes führt dazu, dass die Mengenänderung sehr viel grösser
als die Preisänderung ist.
6. Für die Wettbewerbsmenge gilt
PD (q ∗ ) = PS (q ∗ ) ⇔ 42 − q ∗ = 2q ∗ ⇔ q ∗ = 14.
Der Wettbewerbspreis ist p∗ = PD (q ∗ ) = PS (q ∗ ) = 28.
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