Unterlagen - mathcourses.ch

Unabhängigkeit / disjunkt
Prüfung FS12 - Frage 10: Die Erreignisse A (Pr(A) = 0.5) und B (Pr(B) = 0.5) sind unabhängig voneinander.
Berechnen Sie Pr(A ∩ B).
Prüfung FS09 - Frage 4: Gegeben sei P (A) = 0.5, P (B) = 0.3 und P (A ∪ B) = 0.6. Bestimmen sie P (A ∩ B).
Prüfung FS11 - Frage 8: Die Ereignisse A (Pr(A) = 0.6) und B (Pr(B) = 0.3) sind unabhängig. Berechnen sie
Pr(A∩B)
Pr(A|B) .
Prüfung FS11 - Frage 11: Gegeben seien zwei Ereignisse C1 und C2 mit den Wahrscheinlichkeiten
Pr(C1 ) = 0.4, Pr(C2 ) = 0.4, Pr(C1 |C2 ) = 0.7. Bestimmen sie Pr(C1 ∪ C2 ).
Prüfung FS12 - Frage 13: Ein Zufallsexperiment hat endlich viele Elementarereignisse (alle mit strikt positiver
Wahrscheinlichkeit). Betrachten Sie zwei Ereignisse, A und B, mit Wahrscheinlichkeiten P (A) = 0.2 und P (B) = 0.6
und P (A ∪ B) = 0.3. Was ist die konditionale Wahrscheinlichkeit von A gegeben B, P (A|B)?
Prüfung FS10 - Frage 3: Ein Zufallsexperiment hat endlich viele Elementarereignisse (alle mit strikt positiver
Wahrscheinlichkeit). Betrachten Sie zwei Ereignisse, A und B, mit Wahrscheinlichkeiten P (A) = 0.2 und P (B) = 0.6.
Wenn es zusätzlich bekannt ist, dass P (A|B) = 0.0, dann sind A und B
a) unabhängig aber nicht disjunkt.
b) disjunkt aber nicht unabhängig.
c) unabhängig und disjunkt.
d) weder unabhängig noch disjunkt.
Prüfung FS10 - Frage 6: Welche der folgenden Eigenschaften ist nicht gleichbedeutend mit Unabhängigkeit der
Ereignisse A und B?
a) P (A ∩ B) = P (A)P (B)
b) P (A|B) = P (A)
c) P (B|A) = P (B)
d) P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Lösung:
F 10: 0.25
F 4: 0.2
F 8: 0.3
F 11: 0.52
1
F 13: 5/6 ≈ 0.8333
F 3: b)
F 6: d)
Bedingte W’keit
Prüfung FS12 - Frage 15: Sie wollen testen, ob ein Student des Wirtschaftsstudiums fähig ist. Sie wissen, dass in der
Bevölkerung 5% tauglich sind (P (A) = 0.05). Sie lassen einen Einstufungstest schreiben, der in 70% der Fälle einen
tauglichen Student als tauglich klassifiziert (P (B|A) = 0.7) und in 30% einen untauglichen als tauglich klassifiziert
(P (B|Ac ) = 0.3, wobei Ac das Komplement beschreibt).
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein als tauglich eingestufter Student tatsächlich tauglich ist (P (A|B))?
Prüfung FS11 - Frage 14: Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass sich im Korb eines Pilzsammlers giftige Pilze
befinden, betrage 50%. Man weiss, dass der Verzehr solcher Pilze in 60% aller Fälle zu Beschwerden führt. Im
Durchschnitt treten nach 30% aller Pilz-Mahlzeiten Beschwerden auf. Was ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sich
in der Mahlzeit des Sammlers giftige Pilze befanden, wenn er danach keine Beschwerden hatte? (Bei der Anagabe in
%, %-Zeichen nicht vergessen.)
Prüfung FS12 - Frage 16: Nehmen Sie an, dass die Wahrscheinlichkeit eines positiven Dopingtestes 90% betrage,
wenn der untersuchte Sportler gedopt hat. Falls der Sportler nicht gedopt hat, betrage die Wahrscheinlichkeit eines
positiven Befundes 10%. Weiter wissen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit eines positiven Befundes unter allen Sportlern
50% betrage. Berechnen Sie mit diesen Angaben den Anteil an gedopten Sportlern in der Population.
Prüfung FS11 - Frage 13: In der Zeitung steht, dass die Wahrscheinlichkeit tatsächlich gedopt zu sein, gegeben dass
der erste Doping-Test positiv ausfällt, 60% beträgt. Weiter wissen sie, dass der erste Test in jedem Fall positiv
ausfällt, wenn der Sportler gedopt ist. In 10% der Fälle ist der erste Test positiv, wenn der Sportler nicht gedopt ist.
Berechnen sie unter diesen Annahmen den Anteil der gedopter Sportler. (Bei der Angabe in Prozent, das %-Zeichen
nicht vergessen.)
Lösung:
F 15: 7/64=0.109375
F 14: 0.286
F 16: 0.5=50%
2
F 13: 0.13
diskrete Verteilungens
Prüfung FS09 - Frage 8: Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit folgender Verteilung:
E(X) beträgt?
PrüfungFS10 - Frage 5: Gegeben sei folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen X

x/15 für x = 1, 2, 3, 4, 5
f (x) =

0
sonst
Dann ist P (1 < X ≤ 3)?
Prüfung FS10 - Frage 4: Die Variable X nimmt die Werte 1,2,3 mit je einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 an. Was ist
die Varianz von X?
Prüfung FS09 - Frage 7: Die Varianz der Bernoulli-Verteilung beträgt:
a) π
b) 1 − π
c) (1 − π)2
d) π − π 2
Prüfung FS10 - Frage 11: Gegeben sind folgende Dichtefunktionen der beiden Zufallsvariablen X und Y
Die Dichte der beiden Zufallsvariablen ausserhalb des Intervalls (0,10) beträgt 0. Welche der folgenden Aussagen ist
richtig?
a) E(X) > E(Y ) und E(Y ) > Median(Y ).
b) E(X) < E(Y ) und E(Y ) > Median(Y ).
c) E(X) > E(Y ) und E(Y ) < Median(Y ).
d) E(X) < E(Y ) und E(Y ) < Median(Y ).
Lösung:
F 8: 2.3
F 5: 1/3 oder 0.33
F 4: 2/3 oder 0.67
3
F 7: d)
F 11: a)
stetige Zufallsgrössen
Prüfung FS12 - Frage 18: Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable sei charakterisiert durch folgende Gleichung:
f (x) =


0.1 + ax für 0 ≤ x ≤ 2

0
sonst,
wobei a eine Konstante ist. Berechnen Sie a, so dass eine gültige Dichtefunktion entsteht.
Prüfung FS11


0.5



f (x) = 0.25




0
- Frage 16: Berechnen sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X, wobei
f ür 0 ≤ x ≤ 1
für 2 ≤ x ≤ 4
sonst
PrüfungFS10 - Frage 8: Eine stetige Zufallsvariable X hat die folgende Dichtefunktion:

c(1 − x2 ) falls −1 ≤ x ≤ 1
f (x) =

0
sonst
wobei c eine gewisse Konstante ist. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 0.5).
PrüfungFS09 - Frage 9: Sei X eine stetige Zufallsvariable mit

2x für 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =

0
sonst
P (X < 0.5) beträgt?
Prüfung FS12 - Frage 19: Sei X eine stetige Zufallsvariable mit
f (x) =


0.5
für −2 ≤ x ≤ 0

0
sonst
Weiter sei Y = 5 − 3X. Berechnen Sie den Erwartungswert von Y .
Prüfung FS09 - Frage 11: Sei X ∼ N (1, 25), (V ar(X) = 25). Wie lautet die Verteilung von Y = 5X + 5?
a) Y ∼ N (5, 25)
b) Y ∼ N (10, 25)
c) Y ∼ N (10, 125)
d) Y ∼ N (10, 625)
Lösung:
F 18: 0.4
F 16: 1.75
F 8: 27/32 oder 0.84
4
F 9: 0.25
F 19: 8
F 11: d)
CLT / z-Wert
Probetest 2 FS09 - Frage 15: In einem bestimmte Spiel werden zwei Würfel geworfen mit dem Ziel, eine Augensumme
von mindestens 10 zu erreichen. Finden Sie die (ungefähre) Wahrscheinlichkeit, dass dieses in 120 Würfen zwischen 15
und 40 mal (beides inklusive) gelingen wird. Hinweis: benutzen Sie die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur.
a) 0.81
b) 0.91
c) 0.71
d) 0.61
Prüfung FS11 - Frage 18: Sie würfeln einen Würfel 400 mal. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der
gewürfelten Augenzahlen über 1420 liegt? (Benutzen sie die Normalapproximation ohne Stetigkeitskorrektur.)
Prüfung FS12 - Frage 17: Y sei normalverteilt mit Erwartungswert µ = 10 und Varianz σ 2 = 4. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass Y zwischen 7 und 21 liegt.
Prüfung FS09 - Frage 14: Das Gewicht von Goldbarren X sei normalverteilt mit Mittelwert 1000 und Varianz 100.
Sie nehmen eine Stichprobe von n = 25 Goldbarren. Die Wahrscheinlichkeit P (X < 999) beträgt dann?
Prüfung FS12 - Frage 20: Sie würfeln einen fairen ”dreiseitigen” Würfel 400 Mal (die Wahrscheinlichkeit einer Eins
beträgt somit 1/3, die einer Zwei und einer Drei ebenfalls 1/3). Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der
gewürftelten Augenzahlen über 810 liegt? (Benutzen Sie die Normalapproximation ohne Stetigkeitskorrektur.)
Prüfung FS10 - Frage 14: Ein fünfseitiger Würfel enthält die Zahlen eins bis fünf, alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
Wenn Sie diesen Würfel 50-mal würfeln, was ist die approximative Wahrscheinlichkeit, dass die Durchschnittszahl
grösser gleich 3.2 sein wird? Benutzen Sie hierzu die Normal-Approximation mit Stetigkeitskorrektur.
Prüfung FS10 - Frage 18: Ein Versandhaus verschickt Geräte und möchte erfahren, mit welcher Wahrscheinlichkeit
ein Paket über der Tarifgrenze von einem Kg liegt, wenn das Gewicht der Geräte approximativ normalverteilt ist mit
µ1 = 990 Gramm und σ12 = 25 Gramm2 , und die Verpackung ebenfalls approximativ normalverteilt ist mit µ2 = 10
Gramm und σ22 = 11 Gramm2 (es kann angenommen werden, dass zwischen dem Geräteund dem Verpackungsgewicht
keine Abhängigkeit besteht). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt?
Prüfung FS11 - Frage 15: Y sei normalverteilt mit Erwartungswert 100 und Varianz 64. Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass Yi zwischen 116 und 124 liegt, gegeben Yi ist grösser als 92. (Bei der Angabe in Prozent, das %-Zeichen
nicht vergessen.)
Prüfung FS09 - Frage 10: Das 3. Quartil einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen Z ist 0.6745. Das 3. Quartil
der normalverteilten Zufallsvariable Y mit E(Y ) = 4 und V ar(Y ) = 4 beträgt daher?
Lösung:
0.0256
F 15:
b
F 18:
0.28
F 17:
0.9332
F 10: 5.35
5
F 14:
30.85%
F 20:
0.27
F 14:
0.17
F 18:
0.5
F 15:
Median / Quartile / emp. Varianz
Prüfung FS12 - Frage 1: Gegeben seien die Werte 2, 7, 17, 5, 9. Berechnen Sie die Standardabweichung (wie in der
Vorlesung).
Prüfung FS12 - Frage 2: Gegeben seien die Werte 6, 1000, 77, 44, 8, 1, -10. Berechnen Sie den Median (wie Vlsg).
Prüfung FS12 - Frage 3: Gegeben seien die Werte 5, 30, 6, 49, 9, 1, -10. Berechnen Sie das dritte Quantil (wie Vlsg).
Prüfung FS11 - Frage 1: Gegeben seien die Werte 1, 3, 5, 7, 9. Berechnen sie die Varianz.
Prüfung FS11 - Frage 2: Gegeben seien die Werte 1, 2, 5, 7, 10, 13, 15, 19, 99. Berechnen sie den Median.
Prüfung FS09 - Frage 1: Gegeben seien die Werte 1 3 4 5 7 2 1. Welche Aussagen treffen zu:
a) Der Wert 7 ist ein Ausreisser
b) Der Median ist 4
c) a) und b)
d) weder a) noch b)
Prüfung FS12 - Frage 6: Wir betrachten drei Kantone mit folgender Einkommensverteilung:
Wie hoch ist das totale durchschnittliche Pro-Kopf-Einkommen dieser drei Kantone?
Prüfung FS11 - Frage 3: Eine repräsentative Erhebung der Mieten von jeweils 1000 Wohnungen in zwei Städten ergab
Durchschnittsmieten von 2100 in Stadt A und 1450 in Stadt B. Zudem wurden Informationen zum Baujahr erhoben:
Wie hoch wäre die Durchschnittsmiete in Stadt A, wenn die Baujahrverteilung in A derjenigen von Stadt B entsprechen
würde?
Prüfung FS11 - Frage 4: Wir betrachten drei Kantone mit folgender Einkommensverteilung:
Wie hoch ist das totale durchschnittliche Pro-Kopf-Einkommen dieser drei Kantone?
Lösung:
F 1: µ = 8, var(x) = 32, sd(x) =
F 6: 50’400
F 3: 1950
√
32 ≈ 5.657
F 2: 8
F 4: 52’400
6
F 3: 30
F 1: 10
F 2: 10
F 1: d)
Histogramm / Boxplot
Prüfung FS11 - Frage 5: Unten stehende Graphik zeigt die Boxplots + Histogramme von drei verschiedenen Variablen.
Welches Histogramm gehört zu Boxplot 1?
Prüfung FS10 - Frage 1: Untenstehende Graphik zeigt die Boxplots und Histogramme von drei verschiedenen Variablen.
Welches Histogramm gehört zu welchem Boxplot?
a) (A,1) (B,2) (C,3).
b) (A,1) (B,3) (C,2).
c) (A,3) (B,2) (C,1).
d) (A,3) (B,1) (C,2).
Prüfung FS12 - Frage 5: Welcher der Boxplots entspricht einer Standard Normalverteilung?
Lösung:
F 5: A
F 1: c)
F 5: 2
7
Wahrscheinlichkeiten / Diverses
Prüfung FS12 - Frage 12: Eine Urne enthalte 10 Bälle (3 schwarze, 3 weisse und 4 rote). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter drei zufällig gezogener Bälle, kein roter Ball befindet (ohne zurücklegen)?
Prüfung FS12 - Frage 14: Sie werfen eine faire Münze (Wahrscheinlichkeit von ”Kopf” beträgt folglich 50%) fünf Mal.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zwei oder mehr Mal ”Kopf” werfen?
Prüfung FS11 - Frage 9: Sie würfeln einen (sechsseitigen) Würfel drei mal. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
Produkt (Multiplikation) der drei Würfe grösser ist als 80, gegeben zwei der drei Würfe sind gleich 6? (Bei der Angabe
in Prozent, das %-Zeichen nicht vergessen.)
Prüfung FS11 - Frage 12: Eine Urne enthält je zur Hälfte weisse und schwarze Kugeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter vier gezogenen Kugeln (mit Zurücklegen) sich genau zwei weisse Kugeln befinden?
Prüfung FS10 - Frage 7: Gegeben sei ein Spiel mit zwei Würfeln. Sei X1 die Augenzahl des ersten Würfels, X2 die
Augenzahl des zweiten Würfels und Y = X1 · X2 . Wie gross ist P (Y < 15)?
Prüfung FS12 - Frage 11: Gegeben sei ein Spiel mit zwei sechsseitigen fairen Würfeln. Sei X1 die Augenzahl des
ersten Würfels, X2 die Augenzahl des zweiten Würfels und Y = X1 + X2. Wie gross ist P (Y < 10)?
Prüfung FS09 - Frage 5: Gegeben sei ein Spiel mit zwei Würfeln. Sei X1 die Augenzahl des ersten Würfels, X2 die
Augenzahl des zweiten Würfels und Y = 2X1 + X2 . Dann ist P (Y < 5)?
Prüfung FS09 - Frage 6: Ein Würfel wird zweimal geworfen. X1 sei die Augenzahl nach dem ersten Wurf, X2 die
Augenzahl nach dem 2. Wurf. Für Y gelte: Y = max(X1 , X2 ). Die Wahrscheinlichkeit, dass Y = 5 ist, beträgt?
Prüfung FS09 - Frage 12: Angenommen, 5 Prozent der Bevölkerung seien von einer Infektionskrankheit betroffen.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 zufällig ausgewählten Personen sich mehr als eine infizierte Person
befindet?
Prüfung FS09 - Frage 13: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer elektronischen Komponente eines Herstellers
während 12 Stunden kein Fehler auftritt, betrage 77.9%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Gerät, in
dem vier solche, voneinander unabhängigen Komponenten in Betrieb sind, während 12 Stunden kein Fehler auftritt?
Prüfung FS11 - Frage 10: Ein Würfel werde so oft geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 erscheint. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass beim 3. Wurf zum ersten Mal eine 6 geworfen wird?
Lösung:
F 12: 1/6 ≈ 0.166667
F 11: 30/36=5/6
F 14: 13/16=0.8125
F 5: 0.06 oder 1/18
F 9: 0.66 oder 4/6
F 6: 0.25
8
F 12: 3/8=0.375
F 12: 45%
F 13: 36.83%
F 7: 23/36 oder 0.64
F 10: 25/216 = 0.1157
Konfidenzintervalle + Hypothesentests
Probetest 2 FS09 - Frage 8:
Sie möchten wissen, ob die Schweizerinnen und Schweizer ja zum Personen-
freizügigkeitsabkommen mit der EU sagen werden. Von 100 zufällig befragten Personen sagen 61 ja zum Abkommen.
Sie testen die Hypothese H0 : π = 0.5 gegen die Alternativhypothese H1 : π > 0.5. Der Wert der Teststatistik beträgt
a) 1.1
b) 2.2
c) 3.3
d) 4.4
Probetest 2 FS09 - Frage 12: Zwei unabhängige Stichproben von zwei Altersklassen von Bräuten (200 Bräute unter
18 Jahre alt und 100 Bräute mindestens 20 Jahre alt) zeigten das folgende: 50% der Bräute in der ersten Gruppe
(unter 18 Jahre) waren nach 15 Jahren geschieden und 40% der Bräute in der zweiten Gruppe (mindestens 20 Jahre)
waren nach 15 Jahren geschieden. Finden Sie ein 95% Konfidenz-Intervall für die Differenz der Bevölkerungsanteile
der Bräute, die nach 15 Jahren geschieden sind (Gruppe 1 minus Gruppe 2) (mit z0.975 = 1.96).
a) [−0.018, 0.218]
b) [−0.123, 0.023]
c) [−0.040, 0.160]
d) [−0.240, 0.360]
Prüfung FS12 - Frage 21: Mit einer Zufallsstichprobe n = 200 messen wir einen Mittelwert 20 mit einer Standardab√
weichung s = 2. Berechnen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert.
Prüfung FS12 - Frage 23: Ein Experiment liefert folgende Daten bezüglich einer Experimental- und einer KontrollGruppe:
Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwertunterschied.
Prüfung FS12 - Frage 24: Zwei Stichproben liefern folgende Statistiken bezüglich Einkommensverteilung in der Stadt
Bern und Basel:
Berechnen Sie eine Teststatistik für die Nullhypothese, dass sich das erwartete Einkommen in den beiden Städten
nicht unterscheidet.
Lösung:
F 8: b
F 12: a
F 21: [19.8355, 20.1645]
9
F 23: [23.04, 26.96]
F 24: 0.90236
Prüfung FS11 - Frage 19: Die Zufallsvariablen Xi seien unabhängig und identisch normalverteilt mit unbekannten
Parametern µ und σ 2 . Eine Zufallsstichprobe der Grösse n = 50 ergab einen Mittelwert x = 20 und eine Varianz
s2x = 1.21. Das 95%-Konfidenzintervall für den Parameter µ beträgt somit?
Prüfung FS11 - Frage 21: In einer repräsentativen Umfrage geben 100 von 500 Personen an, Vegetarier zu sein.
Berechnen sie das 90% Konfidenzintervall für den Anteil an Vegetariern in der Population.
Prüfung FS11 - Frage 22: Der Forscher Dr. Hans Wurst möchte herausfinden, ob sich die Bevölkerungen von Lugano
und Zürich in der durchschnittlichen Mittagessenszeit unterscheiden. Basierend auf zwei unabhängigen Zufallsstichproben, berechnet er die folgenden Statistiken (in Minuten):
Berechnen sie eine Teststatistik für die Nullhypothese, dass sich die Mittagsessenszeiten nicht unterscheiden.
Prüfung FS11 - Frage 24: Sie ziehen eine (repräsentative) Stichprobe mit n = 400 um Aussagen über den Parameter
µ in der Population zu treffen. Der Mittelwert (x) der Stichprobe ist 5 und die Standardabweichung (s) innerhalb der
Stichprobe ist 20. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (Es kann mehr als eine Antwort richtig sein.)
A) Sie können die H0 : µ = 6 zugunsten der zweiseitigen Alternative auf dem 90%- Konfidenzniveau verwerfen.
B) Sie können die H0 : µ = 6 zugunsten der zweiseitigen Alternative auf dem 95%- Konfidenzniveau verwerfen.
C) Sie können die H0 : µ = 7 zugunsten der Alternativhypothese µ > 7 auf dem 90%-Konfidenzniveau verwerfen.
D) Sie können die H0 : µ = 7 zugunsten der Alternativhypothese µ < 7 auf dem 90%-Konfidenzniveau verwerfen.
Prüfung FS11 - Frage 25: In einer Umfrage geben 200 von 1000 befragten Frauen an, Vegetarier zu sein. Bei den 2000
befragten Männern geben 350 an, Vegetarier zu sein. Berechnen sie eine Teststatistik für die Nullhypothese, dass der
Anteil an Vegetariern unter Frauen und Männer gleich gross ist.
Prüfung FS10 - Frage 15: Das 95-% Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Verteilung beträgt (1.02,2.98).
Wie lautet die untere Grenze des entsprechenden 90-% Konfidenzintervalls (n = 100)?
Prüfung FS10 - Frage 17: Mit einer Zufallsstichprobe der Grösse n = 400 soll das 95%-Konfidenzintervall für den
Parameter µ einer Grundgesamtheit geschätzt werden. Die Stichprobe liefert die Werte x = 70 und s = 2.5. Das
95%-Konfidenzintervall beträgt somit?
Prüfung FS10 - Frage 19: Bei einer Umfrage in den USA sprachen sich unter 100 25-34 Jährigen 63 Prozent für die
Abschaffung der Todesstrafe aus. Unter 100 55-64 Jährigen waren es hingegen 52 Prozent. Der z-Wert für den Test
der Nullhypothese, dass es keine altersspezifischen Unterschiede gibt, beträgt?
Lösung:
F 19: (19.7, 20.3)
F 25: ±1.6407
F 21: (0.17, 0.23) oder (17.05%, 22.95%)
F 15: 1.18
F 22: ±5.3562
F 17: (69.76, 70.25) oder (69.75, 70.24)
10
F 24: D
F 19: 1.58 oder -1.58
Prüfung FS10 - Frage 20: Der Forscher Dr. Hans Wurst möchte herausfinden, ob sich die Bevölkerungen von Lugano
und Zürich in der durchschnittlichen (oder mittleren) Mittagessenszeit unterscheiden. Basierend auf zwei unabhängigen
Zufallsstichproben, berechnet er die folgenden Statistiken (in Minuten):
Ein 95% Konfidenzintervall für die Differenz der Bevölkerungs-Mittelwerte ist?
Prüfung FS09 - Frage 15: An Hand einer Zufallsstichprobe der Grösse n = 100 soll das 95%-Konfidenzintervall für
den Parameter µ einer Grundgesamtheit geschätzt werden. Die Stichprobe liefert die Statistiken x = 80 und s2 = 36.
Das 95%-Konfidenzintervall für µ beträgt?
Prüfung FS09 - Frage 16: Sie nehmen eine Zufallsstichprobe von 500 Autofahrern und finden bei 55 Alkohol im Blut.
Das 99% Konfidenzintervall für den wahren Anteil der Autofahrer, die Alkohol im Blut haben, lautet?
Prüfung FS09 - Frage 18: Bei einer Verkehrskontrolle müssen sich 200 Autofahrer einem Alkoholtest unterziehen.
6% der überprüften Fahrer weisen werte auf, die über dem zulässigen Grenzwert liegen. Testen Sie, ob dieser Anteil
signifikant grösser als 4% ist. Die näherungsweise standardnormalverteilte Teststatistik lautet?
Prüfung FS09 - Frage 20: Es soll getestet werden, ob die durchschnittliche Studiendauer (in Jahren) für ein
Ökonomiestudium an zwei schweizerischen Hochschulen gleich ist. Die beiden erforderlichen Stichproben ergeben
folgende Werte für die Hochschule A: n1 = 100, x1 = 5.71, s21 = 1.2 und Hochschule B: n2 = 100, x2 = 5.43, s22 = 1.05.
Die Teststatistik beträgt?
Probetest 2 FS09 - Frage 6: Bei einer Erhebung wurden 100 zufällig ausgewählte Studenten danach befragt, ob sie
während des Semesters berufstätig sind. In der Stichprobe ist das für 30 Prozent aller befragter Studenten der Fall.
Bestimmen Sie das 95%-Konfidenzintervall für den wahren Anteil der Berufstätigen. Es lautet:
a) (0.23, 0.37)
b) (0.22, 0.38)
c) (0.21, 0.39)
d) (0.20, 0.40)
Prüfung FS09 - Frage 21: Der Forscher Dr. Hans Dampf möchte herausfinden in wieweit sich die Bevölkerung von
Lugano und Zürich in der durchschnittlichen (oder mittleren) Pendelzeit (d.h. der ’Reisezeit’ von zu Hause bis zur
Arbeit) unterscheiden. Basierend auf zwei unabhängigen Zufallsstichproben berechnet er die folgenden Statistiken (in
Minuten):
Ein 95% Konfidenzintervall für die Differenz der Bevölkerung-Mittelwerte (Lugano - Zürich) ist (mit z0.975 = 1.96)?
Lösung:
F 20: (6.69, 14.51) oder (-14.51, -6.69)
F 15: (78.82, 81.18)
F 16:
F 6: c
F 18: 1.44
F 20: 1.87
11
F 16: (0.074, 0.146) oder (0.07, 0.15)
F 21: (-14.33, -8.47)
Konfidenzintervalle + Hypothesentests - Theorie
Prüfung FS11 - Frage 20: Man zieht eine Stichprobe mit n = 500 aus einer Bevölkerung mit einem Linkshänderanteil
von 30%. Basierend auf der Stichprobe berechnet man ein 90% Konfidenzintervall für den Anteil der Linkshänder in
der Bevölkerung. Dieser ganzen Vorgang wird 1000 mal wiederholt. Was ist die erwartete Anzahl der Fälle, in welchen
das Konfidenzintervall den Bevölkerungsparameter enthält?
Prüfung FS11 - Frage 23: Das berechnete 90%-Konfidenzintervall für den Parameter µ lautet (1, 2). Welche der
folgenden Aussagen sind richtig? (Es kann mehr als eine Antwort richtig sein.)
A) Die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter innerhalb dieses Konfidenzintervalls liegt ist 90%.
B) Die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter ausserhalb dieses Konfidenzintervalls liegt is 10%.
C) Sie können die Nullhypothese ”µ = 1.75” auf dem 90%-Konfidenzniveau verwerfen.
D) Sie können die Nullhypothese ”µ = 2.25” auf dem 90%-Konfidenzniveau verwerfen.
Prüfung FS11 - Frage 26: Welche der folgenden Aussagen sind richtig (es kann mehr als eine Aussage richtig sein)?
A) Wenn die Stichprobengösse verdoppelt wird, verkleinert sich das Konfidenzintervall um den Faktor 2.
B) Basierende auf der gleichen Stichprobe mit positiver Varianz ist das 90%- Konfidenzintervall immer kleiner als
das 95%-Konfidenzintervall.
C) Wenn n (Stichprobengrösse) steigt, dann steigt auch die Varianz des Schätzers.
D) Es ist beinahe unmöglich etwas über einen Parameter auszusagen, wenn man nicht die ganze Population sieht.
Prüfung FS10 - Frage 12: Sei X die Zeitdauer (in Sekunden), die trainierte Ratten brauchen, um durch ein Labyrinth zu
finden, mit E(X) = µ. Für untrainierte Ratten sind die Zeiten verteilt gemäss einer Normalverteilung mit Mittelwert
65 und Varianz 15. Ein Forscher möchte zeigen, dass Training die Zeiten verkürzt. Dazu formuliert er die AlternativHypothese
a) H1 : µ > 65
b) H1 : µ < 65
c) H1 : x > 65
d) H1 : x < 65
Lösung:
F 20: 900
F 23: D
F 26: B
F 12: b)
12
Prüfung FS10 - Frage 22: Sie testen die Nullhypothese H0 : µ = 5 gegen die Alternativhypothese H1 : µ 6= 5 und
erhalten einen p-Wert von 0.04. Somit wird
a) die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau α = 0.05 angenommen.
b) die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau α = 0.05 abgelehnt.
c) die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau α = 0.01 abgelehnt.
d) die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau α > 0.04 angenommen.
Prüfung FS09 - Frage 17: Die zwei Freunde M-Tur und Hilvitec fragen sich, was der durchschnittliche (oder mittlere)
Betrag ist, den die Bevölkerung von Zürich für Urlaub ausgibt. Dieser Parameter sein µ genannt. M-Tur ist etwas faul
und wird eine Zufalls-Stichprobe mit Umfang n = 200 sammeln. Hilvitec ist fleissiger und wird eine Zufalls-Stichprobe
mit Umfang n = 1000 sammeln. Sie werden ihre Daten danach separat auswerten und jeweils ein Konfidenzintervall
für µ zum gleichen Konfidenzniveau berechnen. Angenommen, die beiden Stichproben- Standardabweichungen, die
M-Tur und Hilvitec erhalten, werden ungefähr gleich sein, dann:
a) Das Intervall von Hilvitec wird eine grössere Chance haben, µ zu enthalten.
b) Das Intervall von Hilvitec wird eine kleinere Chance haben, µ/2 zu enthalten.
c) Das Intervall von M-Tur wird ca. fünf-mal länger sein als das von Hilvitec.
d) Keine der obigen Aussagen trifft zu.
Prüfung FS10 - Frage 16: Man zieht 2000 Zufallsstichproben mit Stichprobenumfang n = 900 von einer Bevölkerung
mit einem Linkshänder-Anteil von 10%. Von jeder Stichprobe berechnet man den Stichprobenanteil der Linkshänder
und dann erstellt man ein Histogramm dieser 2000 Stichprobenanteile. Welches Intervall wird ca. 68% der Werte im
Histogramm abdecken?
Lösung:
F 22: b)
F 17: b)
F 16: (0.09,0.11)
13
Theorie Hypothesentests + Konfidenzintervalle
Prüfung FS12 - Frage 28: Wir betrachten einen Test mit Signifikanzniveau α = 0.05. Welche der folgenden Aussagen
sind richtig? (es können mehrere Aussagen richtig sein.)
A) Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese zu verwerfen, obwohl sie eigentlich richtig ist, 5%.
B) Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese zu verwerfen, obwohl sie eigentlich richtig ist, 95%.
C) Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese nicht zu verwerfen, wenn sie in der Tat richtig ist, 5%.
D) Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese nicht zu verwerfen, wenn sie in der Tat richtig ist, 95%.
Probetest 2 FS09 - Frage 1: Welche Aussage ist FALSCH?
a) Der Standardfehler misst die Variabilität des zugehörigen Schätzers.
b) Der Standardfehler, zusammen mit dem Konfidenz-Niveau, bestimmt die Länge des Konfidenz- Intervalles.
c) Der Standardfehler hängt vom Konfidenz-Niveau eines Konfidenz-Intervalls ab.
d) Wenn man den Stichprobenumfang n vervierfaacht und die Stichproben-standardabweichung s konstant bleibt,
dann schrumpft der Standardfehler des Stichprobenmittelwertes x auf die Hälfte.
Probetest 2 FS09 - Frage 7: Die zwei Freunde Dulce und Habana fragen sich, was der durchschnittliche (oder mittlere)
Betrag ist, den die Bevölkerung von Zürich für Mode ausgibt. Dulce ist etwas faul und wird eine Zufalls-Stichprobe
mit Umfang n = 200 sammeln. Habana ist fleissiger und wird eine Zufalls-Stichprobe mit Umfang n = 1000 sammeln.
Sie werden ihre Daten danach separat auswerten und jeweils ein Konfidenzintervall zum gleichen Konfidenzniveau
berechnen. Angenommen, die beiden Stichproben-Standardabweichungen, die Dulce und Habana erhalten, werden
ungefähr gleich sein, dann:
a) Dulces Konfidenzintervall wird ungefähr 1.7-mal länger sein als das von Habana.
b) Dulces Konfidenzintervall wird ungefähr 2.2-mal länger sein als das von Habana.
c) Dulces Konfidenzintervall wird ungefähr 3.1-mal länger sein als das von Habana.
d) Man muss das (gemeinsame) Konfidenzniveau wissen, um diese Frage beantworten zu können.
Prüfung FS12 - Frage 27: Welche der folgenden (ceteris paribus) Aussagen sind richtig (es können mehrere Aussagen
richtig sein):
A) Wenn sich die Varianz innerhalb der Stichprobe erhöht, vergrössert sich das Konfidenzintervall.
B) Falls eine Nullhypothese auf dem 10% Signifikanzniveau verworfen wird, wird sie auch auf dem 5% Niveau
verworfen.
C) Eine Erhöhung der Stichprobengrösse hiflt den Parameter präziser zu schätzen.
D) Eine Verdoppelung der Stichprobengrösse halbiert die Länge des Konfidenzintervalls.
Lösung:
F 28: A und D
F 1: c
F 7: b
F 27: A, C
14
Prüfung FS12 - Frage 7: Sie wollen testen ob eine Verringerung des Arbeitslosengeldes zu einer verkürzten Arbeitssuche
führt, d.h. Arbeitslose schneller einen neuen Job finden. Sie testen, ob die Verringerung keinen Effekt auf die
Suchdauer hat (H0 = 0) gegen eine Verringerung HA < 0. Sie finden einen nicht signifikanten Effekt. Sie verwerfen
die Nullhypothese nicht und schlussfolgern, dass eine Verringerung des Arbeitslosengeldes zu keiner Verkürzung der
Arbeitssuche führt. Ist dieses Vorgehen richtig oder falsch?
Prüfung FS12 - Frage 22: Man zieht eine Stichprobe mit n = 500 aus einer Bevölkerung mit einem Linkshänderanteil
von 30%. Basierend auf der Stichprobe berechnet man ein 90% Konfidenzintervall für den Anteil der Linkshänder in
der Bevölkerung. Dieser ganze Vorgang wird 900 Mal wiederholt. Was ist die erwartete Anzahl der Fälle, in denen
das Konfidenzintervall den Bevölkerungsparameter nicht enthält?
Probetest 2 FS09 - Frage 13: Professor Werwolf interessiert sich für ∆ = p1 − p2 , wobei p1 der Anteil aller männlichen
Studenten der Universität von Transsylvanien ist, die schon von einem Vampir belästigt wruden und wobei p2 der
Anteil aller weiblichen Studenten der Universität von Transsylvanien ist, die schon von einem Vampir belästigt wurden.
Der Professor will ein 90% Konfidenzintervall für ∆ berechnen basierend auf zwei unabhängigen Zufallsstichproben
des gleichen Umfanges n. Wie gross, aber nicht grösser, sollte n gewählt werden, damit die Fehlermarge garantiert
nicht mehr als 0.04 betragen wrid?
a) n = 423
b) n = 678
c) n = 846
d) n = 985
Probetest 2 FS09 - Frage 14: Es ist geplant, mittels einer repräsentativen Umfrage zu ermitteln, welcher Anteil der
Bevölkerung einem Politiker zustimmt. Wie gross muss eine Stichprobe mindestens sein, damit der Stichprobenfehler
(”margin-of-error”) bei einem Konfidenzniveau von 0.95 höchstens ± 3 Prozentpunkte beträgt?
a) 882
b) 944
c) 1068
d) 1134
Prüfung FS09 - Frage 22: Welche der folgenden Aussagen ist FALSCH?
a) Wenn n gross ist, können wir dem t-Test auch vertrauen, wenn die zugrundeliegende Bevölkerung nicht normalverteilt ist.
b) Um zu sehen, ob ein zweiseitiger Hypothesentest die Nullhypothese H0 : µ = µ0 zum Signifikanzniveau α
verwirft, können wir auch ein Konfidenzintervall für µ mit Konfidenzniveau 1 − α berechnen.
c) Ein kleiner p-Wert kann als Evidenz gegen H0 betrachtet werden.
d) Ein grosser p-Wert bedeutet, dass H0 stimmt.
Lösung:
F 7: falsch
F 22: 90
F 13: c
F 14: c
15
F 22: d)
p-Wert - Theoriefragen
Probetest 2 FS09 - Frage 10: Sie Testen die Nullhypothese H0 : µ = 5 gegen die Alternativhypothese H1 : µ 6= 5 und
erhalten einen p-Wert von 0.03. Somit wird
a) die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau α = 0.05 angenommen.
b) die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau α = 0.05 abgelehnt.
c) die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau α = 0.01 abgelehnt.
d) die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau α > 0.03 angenommen.
Prüfung FS12 - Frage 26: Sie testen die Nullhypothese H0 : µ = 5 gegen die Alternativhypothese HA : µ 6= 5 und
erhalten einen p-Wert von 0.07. Wir betrachten ein Signifikanzniveau von 5% (α = 0.05). Welche der folgenden
Aussagen ist richtig?
A) Somit wird die Nullhypothese verworfen.
B) Somit wird die Nullhypothese nicht verworfen.
Prüfung FS10 - Frage 21: Eine Forscherin glaubt fest, dass für eine gewisse Anwendung der Bevölkerungs-Mittelwert µ
ungleich null ist, anstatt µ = 0. Sie führt einen zweiseitigen Hypothesentest aus, wobei sie von einer Zufalls- Stichprobe
ausgeht, ist aber traurig zu sehen, dass der resultierend p-Wert klein ist (P W = 0.18). Welche der folgenden Aussagen
ist FALSCH?
a) Ceteris paribus, wäre die Stichproben-Standardabweichung kleiner gewesen, wäre der p-Wert kleiner gewesen.
b) Ceteris paribus, hätte sie einen einseitigen Test ausgeführt, wäre der p- Wert grösser gewesen.
c) Ceteris paribus, wäre der Stichprobenumfang grösser gewesen, wäre der p-Wert kleiner gewesen.
d) Wir wissen nicht, welchen Wert der Stichproben-Mittelwert x hatte, aber wir wissen auf jeden Fall, dass x 6= 0.
Prüfung FS09 - Frage 23: Sie testen die Nullhypothese H0 : µ = µ0 gegen die Alternativhypothese H1 : µ 6= µ0 und
berechnen aus den Daten einen p-Wert von 0.052. Sie können somit
a) die Nullhypothese auf dem 5%-Signifikanzniveau verwerfen.
b) die Alternativhpyothese auf dem 5%-Signifikanzniveau annehmen.
c) die Nullhypothese auf dem 1%-Signifikanzniveau verwerfen.
d) die Nullhypothese auf dem 10%-Signifikanzniveau, aber nicht auf dem 5%-Signifikanzniveau verwerfen.
Lösung:
F 10: b
F 26: B F 21: b)
F 23: d)
16
p-Wert
Probetest 2 FS09 - Frage 11: Gemäss einer Umfrage, in der je 100 zufällig ausgewählte Männer und Frauen befragt
wurden, sind 47% der Männer und 52% der Frauen für den EU-Beitritt der Schweiz. Der p-Wert für den Test der
Nullhypothese, wonach es keine geschlechtsspezifischen Unterschiede gibt (π1 = π2 ), gegen die Alternativhypothese
π1 6= π2 beträgt
a) 0.16
b) 0.21
c) 0.29
d) 0.48
Prüfung FS12 - Frage 25: Sie ziehen eine (repräsentative) Stichprobe mit n = 1000 um Aussagen über den Parameter µ in der Population zu treffen. Der Mittelwert (x) der Stichprobe sei 5 und die Standardabweichung (s)
innerhalb der Stichprobe sei 80. Berechnen Sie den p-Wert der Nullhypothese µ = 5.5 gegenüber einer zweiseitigen
Alternativhypothese.
Prüfung FS09 - Frage 19: Das durchschnittliche Monatseinkommen in einer ZSP von 400 Männern betrage x = 6150
Franken, mit s2 = 90000. Der p-Wert der Test-Statistik für die Nullhypothese, dass Männer im Durchschnitt 6000
Sfr. verdienen, ist dann
a) p > 0.05
b) p = 0.032
c) p = 0.01
d) p < 0.01
Probetest 2 FS09 - Frage 9: Eine Firma verkauft teuren Grappa in Flaschen mit nominellem Inhalt von 500 ml. Der
Inhalt der einzelnen Flaschen variiert natürlich etwas, aber der Mittelwert der Bevölkerung aller Flaschen µ, kann
als feste Grösse betrachtet werden. Die Firma fragt sich, ob µ = 500 in der Tat (H1 : µ 6= 500)? Die Inhalte einer
Zufallsstichprobe von n = 90 Flaschen ergeben die folgende Statistiken: x = 498.8 und s = 6.8. Der resultierende
p-Wert ist
a) 0.188
b) 0.094
c) 0.047
d) 0.024
Lösung:
F 11: d
F 25: 0.8414
F 19: d)
F 9: b
17
Güte
Prüfung FS11 - Frage 27: Sie wissen, dass die Güte eines bestimmten zweiseitigen Tests (α = 0.10) bei einer bestimmten
Null- und Alternativhypothese bei 75% liegt. Welche der folgenden Aussagen sind richtig (Es können mehr als eine
Antwort richtig sein)?
A) Wenn der Test mit 200 unabhängigen Stichproben repetiert würde, wird die Nullhypothese erwartungsgemäss
in 150 Fällen verworfen unter der Alternativhypothese.
B) Wenn man die Stichprobengrösse erhöht (der Rest bleibt unverändert), steigt die Güte des Tests.
C) Sei nun α = 0.05 (der Rest bleibt unverändert). Die Güte des Test ändert sich nicht.
D) Sei nun α = 0.05 (der Rest bleibt unverändert). Die Güte des Test erhöht sich.
Prüfung FS09 - Frage 24: Man testet H0 : p = 0.5 gegen HA : p < 0.5 zum Signifikanzniveau α = 0.05. Der
Stichprobenumfang ist n = 200. Gehen Sie davon aus, dass p = 0.41 in Wahrheit. Was ist die (ungefähre) Güte des
Tests?
Prüfung FS09 - Frage 25: Die Güte eines parametrischen Tests steigt mit:
a) zunehmendem Stichprobenumfang
b) Verkleinerung des α-Fehlers
c) Vergrösserung des β-Fehlers
d) keine der obigen Antworten ist richtig
Prüfung FS12 - Frage 30: Eine Textilfabrik stellt ein Garn mit einer mittleren Reissfestigkeit von 300 N bei einer
Standardabweichung von 144 N her (die Reissfestigkeit wird in Newton (N) gemessen). Die Entwicklungsabeilung hat
errechnet, dass ein neuer Herstellungsprozess die mittlere Reissfestigkeit um 3 N erhöht, ohne jedoch die Streuung (der
Reissfestigkeit) zu verändern. Um diese Vermutung zu überprüfen, wird eine Stichprobe vom Umfang n = 100 aus
der Produktion mit dem neuen Prozess gezogen. Es soll nun getestet werden, ob die mittlere Reissfestigkeit des neuen
Herstellungsprozesses tatsächlich über der alten liegt (einseitiger Test). Gehen Sie davon aus, dass die vermuteten
Eigenschaften des neuen Prozesses der Wahrheit entsprechen. Wenn ein Signifikanzniveau von 5% unterstellt wird,
wie gross ist dann (ungefähr) die Güte des Tests?
Prüfung FS10 - Frage 23: Man testet H0 : µ = 5 gegen HA : µ < 5 zum Signifikantsniveau α = 0.05. Die
Standardabweichung sei mit σ = 0.7 gegeben und der Stichprobenumfang ist n = 100. Gehen Sie davon auss, dass
µ = 4.8 in Wahrheit. Was ist die (ungefähre) Güte des Tests?
Lösung:
F 27: A, B
F 24: 0.82
F 25: a)
F 30: 0.0749
18
F 23: 0.89 oder 0.88