Die Schrödinger Gleichung und ihre Anwendung:

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Die Schrödinger Gleichung und ihre Anwendung:
Zwar lehnt die SG an Gleichungen zur klassischen Beschreibung von stehenden Wellen an. Sie lässt
sich aber im Gegensatz zu jenen auf keiner weise herleiten! Es handelt sich um eine fundamentale
Gleichung ähnlich der Newtonschen Axiome (wenn auch nicht sofort einleuchtend).
Was die Gleichung kann:
- durch Lösen der SG (es handelt sich dabei um eine Differentialgleichung) kann auf die
Wellenfunktion eines Teilchens geschlossen werden. Dies ist immer dann nötig wenn man atomare
Dimensionen betrachtet. Hier versagt die Newtonsche Mechanik völlig, da Quantisierungen auftreten.
Durch Beschreibung dieser diskreten Energien eines Systems durch sehende Wellen ergibt sich eine
Quantisierung von selbst. Anschaulich entspricht die errechnete Wellenfunktion (ψ) die Amplitude
einer Welle in Abhängigkeit der Zeit und des Ortes.
- Manchmal liefert die SG komplexe Wellenfunktionen (beinhalten − 1 = i ). Folglich kann die
Wellenfunktion selber nicht interpretiert werden. Durch Bildung des Betragsquadrates der
Wellenfunktion Ψ
2
erhält man aber eine anschauliche Größe, welche man als
Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet. Durch Quadrieren fällt der komplexe Teil der Funktion weg
( − 1 ⋅ − 1 = −1 ) hierdurch erhält man eine Physikalisch interpretierbare und messbare Größe. Die
Idee welche hinter der Interpretation von
2
Ψ steckt, ist folgende: Wie bereits bekannt war ist die
Intensität (Leistung pro Fläche) von Elektromagnetische Strahlung proportional zum Quadrat der
Amplitude der Wellenfunktion der Strahlung (E-Feld) I ∝ E .
Da ψ der Amplitude (Auslenkung) der Wellenfunktion eines beliebigen Teilchens an einem bestimmten
Punkt entspricht, sollte dessen Quadrat proportional (nicht gleich!!) zur Wahrscheinlichkeit ein
Teilchen dort anzutreffen, sein.
2
Vorsicht: Eine hohe Wahrscheinlichkeitsdichte an der Stelle A bedeutet nicht, dass die
Wahrscheinlichkeit ein Teilchen dort anzutreffen groß ist. Es kommt auch auf die Größe von A an!
Z.B. hat ein Elektron eines H-Atoms im Kern (wird später durch lösen der SG gezeigt) das größte Ψ
2
also die größte Wahrscheinlichkeitsdichte. Allerdings ist der Kern so klein, dass es wiederum
unwahrscheinlich ist, ein e- dort anzutreffen.
Zur Gleichung:
Die Schrödinger Gleichung kann je nach Problem modifiziert werden. Durch anpassen an das
jeweilige Problem kann sie stark vereinfacht werden und das lösen der Differentialgleichung fällt viel
leichter. Man unterscheidet zwischen der zeitabhängigen SG
und der zeitunabhängigen SG. Die meisten Probleme lassen sich bereits mit der zeitunabhängigen
SG lösen. Da sie nur reelle Wellenfunktionen liefert ist der Rechenweg wesentlich einfacher.
Die allgemeine Form der SG lautet:
2
2
2
∂Ψ( x , y , z ,t )
h 2  ∂ Ψ( x ,t ) ∂ Ψ( y ,t ) ∂ Ψ( z ,t ) 
−
+
+
+
Ψ
=
V
i
h
( x , y , z ,t ) ( x , y , z ,t )
∂y 2
∂z 2 
2m  ∂x 2
∂t
Die Anwendungsweise wird weiter unten an vielen Beispielen erläutert. (SG Auswendiglernen)
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Betrachtet man nur eine Dimension z.B. Ein Teilchen in einen eindimensionalen „Kasten“
so vereinfacht sich die Gleichung:
2
∂Ψ( x ,t )
h 2  ∂ Ψ( x ,t ) 
−
+
Ψ
=
V
i
h
( x ,t ) ( x ,t )
2m  ∂x 2 
∂t
Nun sieht die Gleichung immer noch sehr abstakt aus. Dies wird sich legen wenn man einfach mal
anfängt mit der Gleichung zu rechnen und sie umzuformen.
h = Planckkonstante= 6.62608 x 10-34Js (Naturkonstante)
h
h≡
2π
m = Masse des Teilchens
V = Potentielle Energie (Lageenergie) des Teilchens als Funktion des Ortes und der Zeit
ψ = Wellenfunktion des Teilchens – Amplitude in abh. Des Ortes und der Zeit  ∂ 2 Ψ( x ,t ) 
 = Zweite Ableitung der Wellenfunktion nach x = Steigung der Steigung der Wellenfunktion =

 ∂x 2 


Krümmung der Welle
Nun ist die Potentielle Energie eines Teilchens (V) nur selten von der Zeit abhängig sondern meist nur
von Aufenthaltsort (stationärer Fall). Diese Überlegung führt zur Zeitunabhängigen SG:
Durch geschicktes Umformen lässt sich zeigen, dass die Wellenfunktion dann auch zeitunabhängig
ist.
Geschickt ist folgende Umformung:
Ψ( x ,t ) = ψ ( x ) ⋅ e − iωt
Man trennt also die Wellenfunktion in eine neue nur ortsabhängige
Funktionψ ( x ) und eine zeitabhängige Funktion der Form e
− iωt
.
Einsetzen ergibt:
2
− iωt
∂ (ψ ( x ) ⋅ e −iωt )
h 2  ∂ (ψ ( x ) ⋅ e ) 
−iωt
+ V ⋅ψ ⋅ e
= ih
−
 ( x) ( x)
2m 
∂t
∂x 2

Man beachte, dass V also die Potentielle Energie nur noch von x, also dem Ort des Teilchens
abhängt.
Die linke Seite der Gleichung lässt sich durch Umformen vereinfachen. Auf der rechten Seite kann nun
einfach nach der Zeit abgeleitet werden (Kettenregel).
−
2
h 2  ∂ ψ ( x )  −iωt
∂ (e − iωt )
−iωt
e
V
e
i
⋅
+
⋅
ψ
⋅
=
h
⋅ψ ( x )
( x)
( x)
2m  ∂x 2 
∂t
2
h 2  ∂ ψ ( x )  −iωt
−
⋅ e + V( x ) ⋅ψ ( x ) ⋅ e −iωt = ih ⋅ e −iωt ⋅ (−iω ) ⋅ψ ( x )
2 

2m  ∂x 
i ⋅ (−i ) = +1
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−
2
h 2  ∂ ψ ( x )  −iωt
⋅ e + V( x ) ⋅ψ ( x ) ⋅ e −iωt = h ⋅ e −iωt ⋅ ω ⋅ψ ( x )
2 

2m  ∂x 
−
2
h 2  ∂ ψ ( x ) 
+ V( x ) ⋅ψ ( x ) = h ⋅ ω ⋅ψ ( x )
2m  ∂x 2 
/: e-iωt
E = h ⋅ν
ω≡
dϕ 2π
=
= 2πυ zur Erinnerung der Definition der Winkelgeschwindigkeit.
dt
T
Î ω = 2π
E
h
2
h 2  ∂ ψ ( x ) 
E
h
E
Î−
+ V( x ) ⋅ψ ( x ) = h ⋅ 2π ⋅ψ ( x ) =
⋅ 2π ⋅ψ ( x )
2
2m  ∂x 
2π
h
h
2
h 2  ∂ ψ ( x ) 
+ V( x ) ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x ) Dies ist die Zeitunabhängige (eindimensionale) SG
Î−
2m  ∂x 2 
Durch sie (in der 3D Form) lassen sich z.B. die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms exakt
berechnen. Hierbei handelt es sich um eine gewöhnliche homogene Dgl. 2. Ordnung wie wir sie in der
Vorlesung von Prof. Pavel ein dutzend Mal gelöst haben. E ist die Gesamtenergie des Teilchens,
welche sich aus potentieller und kinetischer Energie zusammensetzt.
Hierdurch kann man sich die zweite Ableitung nach dem Ort verdeutlichen. Da es sich hierbei um die
2
Krümmung der Wellenfunktion handelt  ∂ ψ ( x )  .


 ∂x 2 


Î Nimmt bei konstanter Gesamtenergie E die Potentielle Energie V(x) ab, so muss die Krümmung der
Welle zunehmen. Hierdurch steigt die Frequenz wegen kürzerer Wellenlänge.
Bevor man nun loslegt und versucht die Dgl. Für verschiedene Systeme im atomaren Bereich
anzuwenden sollte man sich folgendes vor Augen halten:
- Eine homogene Dgl. Hat nie eine Lösung sondern unendlich viele.
(Wenn ψ eine Lösung der SG ist, so ist Nψ auch eine. Wie man N „Normierungsfaktor“ bestimmt
kommt später)
- Die Wellenfunktion muss in jedem Punkt stetig sein.
- Die Wellenfunktion muss differenzierbar sein
1.Anwendung:
Das Teilchen im eindimensionalen „Kasten“: (Teilchen kann sich nur entlang x- Achse bewegen)
0
röhre
l
Nach klassischer Mechanik würde sich der rote Ball in der
Röre hin und herbewegen. Die Energie kann jeden beliebigen
Wert annehmen. Jeder Ort des 1D-Kastens weist die gleiche
Wahrscheinlichkeit auf.
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Diese klassische Überlegung gilt aber nur für makroskopische Objekte. Im atomaren Bereich gilt
dagegen die Quantenmechanik. Das Teilchen muss dann als Wellenfunktion beschrieben werden,
welche die Zeitunabhängigen SG erfüllt.
für 0 < x < l
für 0 > x > l
Î V=0
Î V= unendlich
Wenn das Potential an einem Ort unendlich groß ist bedeutet das quantenmechanisch, dass sich ein
Teilchen dort niemals aufhalten wird. Die Wellenfunktion ist dann 0.
Î Randbedingungen:
!
ψ ( x =0 ) = 0
!
ψ ( x =l ) = 0
Anpassen der SG:
2
h 2  ∂ ψ ( x ) 
−
+ V( x ) ⋅ψ ( x ) = E ⋅ψ ( x )
2m  ∂x 2 
Da V(x) = 0 für 0 < x < l Î
2
2
h 2  ∂ ψ ( x ) 
h 2  ∂ ψ ( x ) 
−
= E ⋅ψ ( x ) Î −
− E ⋅ψ ( x ) = 0
2m  ∂x 2 
2m  ∂x 2 
Diese Dgl. Löst man nach dem allgemeinen Verfahren für homogene Dgl. 2.Ordnung.
Vgl. Skript Mathe für Naturwissenschaftler (Pavel) –stures anwenden der Formel- a la Pavels Rezept.
dψ
E ⋅ 2m
h2 2
≡λ Î −
λ − E = 0 Î λ2 +
=0
dx
2m
h2
Î λ hat zwei (Komplexe)Lösungen:
− E ⋅ 2m
E ⋅ 2m
=i⋅
2
h
h2
λ1 =
λ2 = −
− E ⋅ 2m
E ⋅ 2m
= −i
2
h
h2
Î Allgemeine Lösung der Dgl.: (noch Komplex; muss noch ins Reelle konvertiert werden)
ψ ( x) = A ⋅ e
 E ⋅2 m 
i ⋅
⋅ x
h 2 

+ B⋅e
Î zwei partikuläre Lösungen:
 E ⋅ 2m 
⋅ x 
2
h


 E ⋅ 2m 
= e 0⋅x ⋅ sin 
⋅ x 
2
h


ψ 1( x ) = e 0 x ⋅ cos 
ψ 2( x)

E ⋅2 m 
 −i⋅
⋅ x
h 2 

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Î Allgemeine Lösung der Dgl.: -reell-
 E ⋅ 2m 
 E ⋅ 2m 
⋅ x  + B ⋅ e 0⋅x ⋅ sin
⋅ x 
2
h
h2




ψ ( x ) = A ⋅ e 0 x ⋅ cos
 E ⋅ 2m 
 E ⋅ 2m 
⋅ x  + B ⋅ sin
⋅ x 
2
h
h2




ψ ( x ) = A ⋅ cos
Nun müssen nur noch die Konstanten A u. B bestimmt werden. Diese können in diesem Fall sehr
leicht aus den Randbedingungen ermittelt werden.
Bestimmung von A:
ψ ( 0) = A ⋅ cos(0) + B ⋅ sin(0) = 0
Î A=0
 E ⋅ 2m 
⋅ x 
2

h


Îψ ( x ) = B ⋅ sin
Bestimmung von B:
 E ⋅ 2m 
⋅ l  = 0
2
h


ψ ( x=l ) = B ⋅ sin
 E ⋅ 2m 
⋅ l  = 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π…= n ° π
2

h


Diese Bedingung ist erfüllt, wenn entweder B=0 oder 
B=0 ist eine triviale Lösung und wird nicht weiter berücksichtigt. n=0 ist wegen der Unschärferelation
nicht erlaubt.
Wie man erkennt ergibt sich beim verwenden von Wellenfunktionen zur Beschreibung der Mechanik in
atomarer Größenordnungen zwangsläufig ein Quantisierung der Energie:
2
2
E ⋅ 2m n ⋅ π
 n ⋅π  h
E
=
Î
erlaubte Energieniveaus
=


n
l
h2
 l  2m
Außerdem ergibt sich für jedes n eine Wellenfunktion:
 n ⋅π 
⋅ x
 l

ψ ( x ) = B ⋅ sin
Um nun noch B zu bestimmen bedient man sich der Normierungsbedingung. B entspricht hier also
dem vorher schon angesprochenen Normierungsfaktor N.
Wie schon erwähnt ist
ψ
2
ein maß für die Wahrscheinlichkeitsteilchendichte. Multipliziert mit dem
gesamten möglichen Aufenthaltsort muss die Wahrscheinlichkeit 1 sein. Der Aufenthaltsort ist im
eindimensionalen logischerweise eine Linie.
2
 n ⋅π 
⋅ x
 l

ψ ( x ) = B 2 ⋅ sin 2 
l
Î Es muss gelten:
∫
0
!

 n ⋅π
B 2 ⋅ sin 2 
⋅ x  ⋅ dx = 1

 l
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Die Formelsammlung ergibt für die Stammfunktion:
l





x
1
 n ⋅π 
1
 n ⋅ π  = B 2  l −
⋅ sin  2
l −
1 = B2  −
x
⋅ sin  2

n
⋅
π
2
l 
l


 n ⋅π 


2


4
4





 l 
 l 
0



l
1
1 = B2  −
 2 4 n ⋅ π


 l
Î B=


l

1
 n ⋅ π 
⋅ sin  2
l  = B2  −

 l 
 2 4 n ⋅ π




 l




0
1
 n ⋅π  
0
−
⋅ sin  2
2
l
 n ⋅π 
 

4


 l 


 B 2l
⋅ sin (2nπ ) =
=1
2





2
l
Î Normierte Wellenfunktionen für den Kasten:
2
 n ⋅π 
⋅ sin
⋅ x
ψ ( x) =
l
 l

MERKE:
Wie hier sehr ausführlich gezeigt wurde kann man mit Hilfe der Schrödingergleichung
Wellenfunktionen für bestimmte Systeme errechnen. Anschaulich gibt jene die Auslenkung
(Amplitude) der Materiewelle in Abhängigkeit des Ortes wieder (Zeitunabhängige
Schrödingergleichung). Bei Systemen bei denen sich die Potentielle Energie mit Ort und Zeit ändert
muss die Zeitabhängige SG verwendet werden um die Wellenfunktion zu bestimmen. Da jene
Funktionen meist komplex sind kann die Wellenfunktion nicht interpretiert werden, wohl aber die
Wahrscheinlichkeitsdichte.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch verwendet um eine allgemeine Lösung einer SG zu
normieren. Hierbei muss die Wahrscheinlichkeit eins ergeben, wird das gesamt möglich
Aufenthaltsvolumen (im Dreidimensionalen Î 2D Aufenthaltsfläche, 1D Aufenthaltslinie) mit der
Wahrscheinlichkeitsdichte multipliziert.