Klausur (18.7.2007) - qoqi.physik.uni

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10
P
Note
————————————————————————————–
Experimentalphysik für Physiker IV: Atom- und Molekülphysik
Universität Erlangen–Nürnberg
SS 2007
Klausur (18.7.2007)
————————————————————————————–
Name:
Matrikel-Nummer:
Studiengang:
Benötigen Sie einen Schein mit/ohne Note?
Um die Bestnote zu erhalten, müssen Sie nur 48 Punkte der maximalen Punktzahl (64 Punkte) erreichen.
Aufgabe 1: Radius von Helium (8 Punkte)
Neben der van-der-Waals Gleichung sind auch noch andere Zustandsgleichungen für ein reales Gas vorgeschlagen
worden. Zwei einfache Beispiele sind z.B. die Berthelot’sche Zustandsgleichung und die Zustandsgleichung von Dieterici. Für ein Mol eines realen Gases lauten sie:
Berthelot’sche Zustandsgleichung: (p +
a
)(V
TV 2
− b) = RT
Zustandsgleichung von Dieterici: p(V − b) = RT exp{− RTa V }.
Der kritische Druck pc , das kritische Volumen Vc und die kritische Temperatur Tc sind für diese Zustandsgleichungen
wie beim van-der-Waals Gas definiert.
a) Drücken Sie den kritischen Druck pc , das kritische Volumen Vc und die kritische Temperatur Tc in Abhängigkeit
der Parameter a und b aus.
b) Experimentell erhält man für Helium: pc = 2, 24 bar und Tc = 5, 17 K. Berechnen Sie damit den Radius eines
Helium-Atoms. Welche der beiden Zustandsgleichungen liefert den realistischeren Wert?
Hinweis: Als Kovolumen eines Atoms bezeichnet man bei einem van-der-Waals Gas den Ausdruck b/4NA , mit
NA = 6, 02 · 1023 der Avogadro-Konstante. Die allgemeine Gaskonstante lautet R = 8, 32 J/(mol · K).
SOLUTION
(a) To define crytical parameters, one needs to take function p = p(T, V ) and take its derivatives at constant T :
∂p
∂2p
( ∂V
)T = 0 and ( ∂V
2 )T = 0.
1
Berthelot
a
RT
−
V − b TV 2
∂p
RT
2a
2a
RT
(
)T = −
+
=0 ⇒
=
(∗)
∂V
(V − b)2 T V 3
TV 3
(V − b)2
p=
(
∂2p
2RT
6a
)T =
−
=0
2
3
∂V
(V − b)
TV 4
⇒
6a
2RT
=
(∗∗)
4
TV
(V − b)3
Dividing (*) by (**) one gets:
Ra
8a
, p2c =
27Rb
216b3
Vc = 3b, Tc2 =
Dieterici
RT
a
· exp{−
}
V −b
RT V
a
a
RT
∂p
)T = exp{−
}·( 2
−
)=0
(
∂V
RT V
V (V − b) (V − b)2
p=
(
a
RT
=
(∗)
2
V
V −b
a
a2
a
2a
a
2RT
∂2p
)
=
exp{−
}
·
(
− 2
− 3− 2
+
)=0
T
2
4
∂V
RT V
RT V
V (V − b) V
V (V − b) (V − b)2
⇒
a
2a
a
2RT
a2
−
−
−
+
= 0 (∗∗)
RT V 4 V 2 (V − b) V 3 V 2 (V − b) (V − b)2
Setting (*) into (**) one gets:
Vc = 2b, Tc =
Berthelot: b =
RTc
8pc
Ra =
r
3
q
3Va
4π
=
3b
=
16πNA
s
(b) Kovolumen Va = b/4NA , radius Ra =
Dieterici b =
⇒
3
3
q
3
a
a
, pc = 2 2
4Rb
4e b
3b
16πNA
3RTc
=
128πNA pc
s
3kB Tc
= 1.33 Å
128πpc
3RTc
=
16πNA e2 pc
s
3kB Tc
= 6.35 Å
16πe2 pc
3
RTc
e2 pc
Ra =
r
3
3b
=
16πNA
s
3
3
Dieterici shows bad result, this model is good for heavy strongly interacting gases, but not Helium. (Exponent also
gives a hint about a strong interaction.)
2
Name:
Matrikel-Nummer:
Aufgabe 2: Wirkungsquerschnitt der Reaktion p+ + p+ → D+ + e+ (8 Punkte)
Im Kernbereich der Sonne, der einen Radius von R ≈ 1, 75 · 105 km hat, verschmelzen Protonen zu Helium und
setzen damit Energie frei. Der dominierende Zyklus ist dabei:
p+ + p+ → D+ + e+
;
D+ + p+ → 3 He2+
;
3 He2+
+ 3 He2+ → 4 He2+ + p+ + p+
Die langsamste Reaktion ist hierbei die Startreaktion, denn alle Deuteriumatome reagieren praktisch instantan weiter
zu Helium. Im Kern herrscht eine Protonendichte von n = 5 · 1029 m−3 und eine Temperatur von T = 1, 5 · 107 K.
Der Massenverlust der Sonne durch Umwandlung in Energie beträgt M = 4, 295 · 109 kg/s und pro Umwandlung von
vier Protonen in einen Heliumkern 4 He2+ werden 27 MeV frei. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit und die
mittlere Stoßzeit der Protonen und daraus den Wirkungsquerschnitt der Reaktion p+ + p+ → D+ + e+ .
Lösung:
Für die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen gilt:
s
hvi =
3kB T
m
= 6, 1 · 105
mp
s
Die mittlere Stosszeit lässt sich ermitteln aus der Gesamtzahl der Teilchen N und der Anzahl der Reaktionen pro
Sekunde r:
4
πR3 n
N
1, 12 · 1055
τ=
= 3 M c2 =
s = 1, 26 · 1017 s
r
8, 92 · 1037
27 MeV
Daraus ergibt sich der Wirkungsquerschnitt zu:
σ=
1
= 2.60 · 10−53 m2
nhviτ
3
Name:
Matrikel-Nummer:
Aufgabe 3: Rutherford-Streuung (8 Punkte)
Mit Rutherford-Streuung wird die elastische Streuung von schnellen α-Teilchen (Z = 2) an einer dünnen Metallfolie bezeichnet. Dabei ist die Folie so dünn, dass Mehrfachstreuung ausgeschlossen werden kann. Wir betrachten
hier α-Teilchen mit einer kinetischen Energie von 3,65 MeV.
a) Welchen minimalen Abstand zu einem Atomkern in einer Goldfolie (Kernladungszahl Z=79) können diese αTeilchen erreichen?
b) Wie nahe kommen sie dem Atomkern, wenn sie unter θ = 90◦ gestreut werden? Berechnen Sie hierfür zuerst den
zugehörigen Stoßparameter b mit Hilfe der Rutherfordschen Streuformel:
θ
Z1 Z2 e2 1
cot
b=
4πǫ0 mv0
2
Verwenden Sie, um den Punkt der nächsten Annäherung zu berechnen, daraufhin die Energie- und Drehimpulserhaltung. Hinweis: Die kinetische Energie des Systems in Polarkoordinaten lautet:
1
L2
Ekin = mṙ2 +
2
2mr2
c) Bei großen kinetischen Energien der α-Teilchen kommt es zu Abweichungen der experimentellen Ergebnisse von
der Rutherfordschen Streuformel. Warum?
Lösung:
4
Name:
Matrikel-Nummer:
Aufgabe 4: Tunnel-Effekt (8 Punkte)
Gegeben sei ein
Form trifft:
x ∈ [−∞, 0[
x ∈ [0, a[
x ∈ [a, ∞[
Teilchen mit der Energie E, welches von x = −∞ kommend auf ein Potential V der folgenden
→ V (x) = 0
→ V (x) = V mit V > E
→ V (x) = 0
Bestimmen Sie die Wellenfunktion ψ(x) in den Bereichen
x ∈ [−∞, 0[,
x ∈ [0, a[ und
x ∈ [a, ∞[,
indem Sie die stationäre Schrödingergleichung lösen. Beachten Sie, dass an den Unstetigkeitsstellen des Potentials
xU1 = 0 und xU2 = a für die Wellenfunktion gelten muss:
ψx∈[0,a[
(xU ) = ψx∈[0,a[ (xU ) und
/
∂
∂
(xU ) = ∂x
ψx∈[0,a[ (xU )
/
∂x ψx∈[0,a[
Bestimmen Sie die Koeffizienten des von der Potentialbarriere reflektierten und des durch die Barriere durchgelassenen Anteils der Wellenfunktion, wenn gilt ψ(x = 0) = 1.
5
Name:
Matrikel-Nummer:
Aufgabe 5: Wasserstoffartiges Zinn (Sn) (8 Punkte)
a) Berechnen Sie nach dem Bohrschen Atommodell den Bahnradius und die Gesamtenergie im Grundzustand für ein
negatives Myon µ− (mµ ≈ 207·me ) im Feld eines Zinn-Kerns (Z=50, A=112, Elektronenkonfiguration: [36 Kr]4d10 5p2 3 P0 ).
b) Wie groß ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Myons
q im 1s-Zustand innerhalb des (Volumens des) Zinnα3
2
Kerns? Verwenden Sie die radiale Wellenfunktion R10 (r) =
2
R
2
Hinweis: x2 eax dx = eax xa − 2x
+
a2
a3
α
· e− 2 r mit α =
2Z
a0 .
c) Nehmen Sie nun an, ein Anti-Proton p̄ (Ladung q = e− , Masse und alle Quantenzahlen ansonsten wie beim Proton) werde von einem Zinn-Kern eingefangen. Welche ist die tiefste Bohrsche Bahn, auf der das Anti-Proton den Kern
noch nicht berührt?
d) Wie groß ist die Bindungsenergie für diese Bahn?
Lösung
a) Den Bahnradius rn im Bohrschen Atommodell
n2
a0 ,
Z
rn =
erhält man mit dem Bohrschen Radius
4πε0 ~2
= 5, 29 · 10−11 m,
e2 me
wobei me hier die Masse des Elektrons ist. Die Rydberg-Energie ist R∞ = ER = 13, 6 eV. Man erhält damit für die
Energieniveaus En zu ganzzahligen n:
Z2
En = − 2 ER
n
Für den Grundzustand des Zinns (n = 1 und Z = 50) erhält man somit
a0 =
r1 (Sn) = 1, 06 · 10−12 m
E1 (Sn) = −34 keV
Mit n = 1, Z = 50 und mµ = 207 · me erhält man für a0 und ER im Fall eines negativen Myons µ− :
4πε0 ~2
e2 mµ
2 2
1
me Z 2
e
ER =
2 4πε0
~2 n 2
⇒ aµ0 =
a0 =
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt
1
a0
207
µ
⇒ ER
= 207ER
r1µ (Sn) = 5, 12 · 10−15 m
E1µ (Sn) = −7, 04 MeV
b) Die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit erhält man durch Integration bis zum Kernrand
P10 (R) =
ZR
r2 |R10 (r)|2 dr
α3
2
ZR
0
=
0
6
r2 e−αr dr
Mit α(µ) =
2Z
(µ) ,
a0
1
R ≈ 1, 3 · A 3 = 6, 3 · 10−15 m und dem Hinweis aus der Angabe erhält man für die Aufenthalts-
wahrscheinlichkeit
2
α3
R
2R
2
2
+ 2 + 3 + 3
−e−αR
2
α
α
α
α
2 2
α R
= 1 − e−αR
+ αR + 1
2
P10 (R) =
Damit ergibt sich für das Myon
P10 (R) = 0, 45
c) Der Bahnradius für ein Anti-Proton ergibt sich mit dem Bohrschen Radius zu
rnp̄ =
me
n2
a0 n2
5, 29 · 10−11 m 2
· a0
=
=
· n = 5, 8 · 10−16 m · n2
mp̄
Z
1836 Z
1836 · 50
1
mit mp̄ ≈ 938 MeV/c2 , me− ≈ 511 keV. Damit sich das Anti-Proton und der Zinn-Kern (RA ≈ 1, 3 · A 3 , Formel
bekannt aus Übungsblatt 9) nicht berühren, muss gelten
!
rnp̄ > R = RSn + Rp̄
rnp̄ = 5, 8 · 10−16 m · n2 > R = (6, 3 + 1, 3) · 10−15 m
⇒ n = 4 : r4p̄ = 9, 28 · 10−15 m
d) Die Bindungsenergie En erhält man aus
En = −
mp̄
Z2
· ER · 2
me
n
Einsetzen der Zahlwerte ergibt
E4 = −1836 ·
50
4
2
· 13, 6 eV = −3, 9 MeV
7
Name:
Matrikel-Nummer:
Aufgabe 6: Laserkühlung (8 Punkte)
In dieser Aufgabe soll das untere Temperaturlimit bei der Laserkühlung hergeleitet werden. Dieses lautet kB Tmin =
~γ
2 , wobei γ die Zerfallsrate (die Rate, mit der Photonen spontan vom oberen Niveau emittiert werden) ist.
a) Erklären Sie qualitativ in einigen Sätzen die Laserkühlung in einer Dimension.
b) Bestimmen Sie die Varianz ∆p2 des Atom-Impulses nach N Streuprozessen.
c) Die Absorptions- und Emissionsrate (Photonenstreurate) beträgt
.
N=
γ
2
s0
2 γδ
2
.
+ 1 + s0
Hierbei ist s0 = I/I0 , mit I0 der Sättigungsintensität, und δ = ωL − ω0 die Verstimmung
der
Laserfrequenz ωL
∆p2
d
bezüglich der atomaren Resonanzfrequenz ω0 . Bestimmen Sie damit die “Heizleistung“ dt 2m .
2
p
d
d) Bestimmen Sie die Kühlleistung“ dt
2m , die sich aus der effektiven Reibungskraft F = −αp ergibt. Hierbei ist
”
α=
8~kL2 δ
γm s0
2 γδ
2
+ 1 + s0
2 .
e) Welche Beziehung gilt zwischen Heiz- und Kühlleistung im Gleichgewicht? Formen Sie diese Beziehung so um,
dass Sie sie mit der thermischen Energie 12 kB T gleichsetzen können.
f) Nehmen Sie s0 ≪ 1 an und formen Sie die Gleichung für kB T so um, dass einer der Faktoren dem oben angegebenen Doppler-Limit entspricht. Welche Bedingung für δ muss gelten, um das Doppler-Limit zu erreichen?
Lösung:
a) Zwei entgegengesetzt gerichtete Laserstrahlen bestrahlen das Atom. Die Lichtdruck-Kraft berechnet sich aus dem
Impulsübertrag pro Photon multipliziert mit der Rate, mit der das Atom die Photonen spontan absorbiert und emittiert.
Die Dopplerverstimmung ist unterschiedlich, je nachdem, ob sich das Atom auf einen Laser zubewewegt oder davon
wegbewegt. Eine Abbremsung (durch eine effektive Reibungskraft) ergibt sich, wenn die Laser rotverstimmt sind.
b) Zufällig gerichteter Rückstoß ~kL bei der Emission eines Photons entspricht Brownscher Bewegung. Die Varianz
nach N Prozessen beträgt
∆p2 = N ~2 kL2 .
c)
d
dt
∆p2
2m
d)
d
dt
=
p2
2m
~2 kL2 γ
2m 2
=
e)
D−
s0
2 γδ
2
+ 1 + s0
α
2p dp
·
= − p2
2m dt
m
α 2
p =0
m
D
1
p2
=
= kB T
2m
2α
2
8
=: D
f)
kB T =
D
~γ
=
·
α
8
2 γδ
2
+1
4 γδ
Der Betrag des zweiten Bruches wird minimal (=1) für 2 γδ = ±1, also δ = − γ2 (δ ist negativ, weil rotverstimmt).
Gegenüber dem oben angegebenen Dopplerlimit ergibt sich ein um einen Faktor 4 kleinerer Wert. Der Unterschied
erklärt sich unter Berücksichtigung von (Rückstoß)termen höherer Ordnung, die hier jedoch nicht betrachtet werden
sollten.
9
Name:
Matrikel-Nummer:
Aufgabe 7: Zeeman-Abbremser (8 Punkte)
Ein mit Hilfe eines Lasers abgebremstes Atom gerät durch die Geschwindigkeitsänderung aufgrund des Dopplereffektes schnell aus der Resonanz. Um den Laser nicht zeitlich synchron zur Abbremsung nachstimmen zu müssen,
kann das Atom für die weitere Abbremsung durch ein räumlich veränderliches Magnetfeld geführt werden, wobei der
Zeeman-Effekt die Verschiebung durch den Dopplereffekt kompensiert. Betrachten Sie ein Atom, das sich durch ein
derart räumlich veränderliches Magnetfeld auf einen Laserstrahl zubewegt.
a) Wie hängt das magnetische Feld B von der Geschwindigkeit des Atoms ab, wenn der Zeeman-Effekt den DopplerEffekt genau kompensieren soll?
b) Das Atom habe beim Eintreten in den Zeeman-Abbremser die Geschwindigkeit v0 . Wie lautet die Ortsabhängigkeit
von B unter Annahme einer konstanten negativen Beschleunigung?
Lösung:
a)
kL v =
µB
~
mit µ = µB (me ge − mg gg )
B(v) =
b) negative konstante Beschleunigung ⇒ v(x) =
~kL
v
µ
p
v02 − 2ax
(a ist hier positiv.)
q
~kL
v02 − 2ax
B(x) =
µ
p
~kL v0
2a
mit B0 =
= B0 1 − x/x0
, x0 = 2
µ
v0
10
Name:
Matrikel-Nummer:
Aufgabe 8: Elektron im elektromagnetischen Feld (8 Punkte)
a) Berechnen Sie die Energiedifferenz der beiden möglichen Orientierungen des Elektronenspins in einem äußeren
Magnetfeld der Amplitude B = 0.6 T.
b) Trifft ein Photon eines magnetischen Wechselfeldes, das dieser Energiedifferenz entspricht, auf das Elektron, so
kann dessen Spin umklappen. Bestimmen Sie die Wellenlänge der Photonen, die diesen Übergang im oben angegebenen Magnetfeld hervorrufen.
c) Otto Stern und Walther Gerlach haben 1922 ein berühmtes Experiment in Frankfurt am Main mit Silberatomen
durchgeführt. Es gilt heute als eines der fundamentalen Experimente der Quantenphysik. Erklären Sie, warum aus der
beobachteten Aufspaltung des Atomstrahls in zwei Teilstrahlen auf die Existenz eines Elektronenspins geschlossen
werden musste. Warum kommt ein Bahndrehimpuls als Ursache für die Aufspaltung nicht in Frage?
11