Angabe

Wiederholungsklausur
Mathematik I für Physiker
Prof. Dr. Andreas Nickel
21.04.2017
9:0011:30 Uhr
Name:
Vorname:
Matrikel-Nummer:
Studiengang:
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
Summe
maximale Punkte
6
6
5
6
5
4
32
erreichte Punkte
Note:
Ich bin damit einverstanden, dass meine Matrikel-Nummer zusammen mit der erreichten Punktzahl und der Note in einer Passwort-geschützten pdf-Datei im Internet
veröentlicht wird:
e
Ja.
e
Nein. Unterschrift:
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Matrikel-Nummer:
Aufgabe 1
(i) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n ∈ N gilt, dass
n
X
k(k + 1) =
k=1
n(n + 1)(n + 2)
.
3
(ii) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 2 gilt, dass
n Y
k=2
1
1− 2
k
=
n+1
.
2n
(iii) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 4 gilt, dass n! > 2n .
(2+2+2 Punkte)
Name:
Matrikel-Nummer:
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Aufgabe 2
Welche dieser reellen Folgen sind konvergent?
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
(i) Die Folge (an )n∈N mit
an =
n4 + 2n3 + n2
,
(βn2 + n + 1)2
wobei β ∈ R eine reelle Zahl ist.
(ii) Die Folge (bn )n∈N mit
√
2
bn = sin(n)( n r − 1),
wobei r > 0 eine reelle Zahl ist.
(3+3 Punkte)
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Matrikel-Nummer:
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Aufgabe 3
(i) Ist die Reihe
∞
X
k6
k=1
7k
konvergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
(ii) Es sei f : N → [−2, 2] eine Funktion.
P∞ Es seien (ak )k∈N und (bk )k∈N Folgen
reeller Zahlen, so dass die Reihe k=1 ak absolut konvergiert und die Reihe
P
∞
k=1 bk konvergiert.
P
P∞
Sind dann auch die Reihen ∞
k=1 f (k)ak und
k=1 f (k)bk stets konvergent?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(2 + 3 Punkte)
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Matrikel-Nummer:
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Aufgabe 4
Betrachten Sie die Abbildung
cot : (0, π) → R
cos(x)
,
x 7→
sin(x)
den sogenannten Kotangens.
(i) Zeigen Sie, dass die erste Ableitung cot0 (x) gegeben ist durch
cot0 (x) = −
1
.
sin (x)
2
(ii) Zeigen Sie, dass cot : (0, π) → R bijektiv ist.
(iii) Sei arccot : R → (0, π) die Umkehrfunktion von cot. Bestimmen Sie die
Ableitung arccot0 von arccot und berechnen Sie arccot0 (1).
(2+2+2 Punkte)
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Aufgabe 5
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
(i)
1
Z
3
x2 e−x dx.
2
(ii)
Z
π
sin2 (nx)dx,
0
wobei n ∈ N eine natürliche Zahl ist.
(2+3 Punkte)
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Matrikel-Nummer:
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Aufgabe 6
Sei I ⊆ R ein abgeschlossenes Intervall und f : I → R eine dierenzierbare Funktion
mit f (I) ⊆ I . Es gebe eine reelle Zahl q < 1 mit |f 0 (x)| ≤ q für alle x ∈ I . Sei
x0 ∈ I beliebig und für n ∈ N deniere induktiv xn := f (xn−1 ).
Zeigen Sie, dass die Folge (xn )n∈N gegen ein ξ ∈ I konvergiert mit f (ξ) = ξ .
Hinweis:
Schreiben Sie xn+1 = x0 +
Pn
k=0 (xk+1
− xk ).
(4 Punkte)
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