Dekohärenz und die Entstehung klassischer Eigenschaften aus der

Dekohärenz
und die Entstehung klassischer Eigenschaften
aus der Quantenmechanik
G. Mahler
Spezialvorlesung SS 2006
27. 4. 2006
Einführung und Übersicht
Warum und in welchem Sinn ist Kohärenz »untypisch«?
04. 5. 2006
Zur Begründung der Thermostatistik aus der Quantenmechanik
11. 5. 2006
Dekohärenz: Dynamik offener Systeme
18. 5. 2006
Coarse graining und der Zeitpfeil
1. 6. 2006
Quantenthermodynamische Maschinen
22. 6. 2006
Nichtgleichgewicht: Zum Problem der Wärmeleitung
29. 6. 2006
Fluktuationstheoreme
6. 7. 2006
Messprozesse und stochastische Entfaltung
13. 7. 2006
Nanomechanik
20. 7. 2006
Physik und Information: Maxwells Dämon u. a.
27. 7. 2006
Quantencomputing versus klassische Rechner
Literatur
D. Giulini et. al:
J. Gemmer et. al:
H. P. Breuer et. al:
Decoherence and the appearence of a classical world in quantum
theory, Springer
Quantum Thermodynamics, Springer
The theory of open quantum systems, Oxford
Dekohärenz: Dynamik offener Systeme
Harry Schmidt, 11. Mai 2006
1 Einführung
• Kleines Quantensystem, schwach gekoppelt an eine große Umgebung.
• Das Gesamtsystem ist anfangs nicht in einem reinen Zustand.
• Die Umgebung besitzt anfangs schon eine bestimmte Temperatur
und fungiert als Wärmebad.
• Zu untersuchen ist die Dynamik des kleinen Systems.
Wir betrachten die Dynamik von quantenmechanischen Systemen, die offen, also an eine sehr viel größere Umgebung gekoppelt sind. System und Umgebung
zusammen sollen während der Dynamik zwar als abgeschlossen betrachtet werden, sie stellen jedoch nicht die ganze »Welt« dar. Die Umgebung befinde sich
zu Beginn der Dynamik schon in einem gemischten Zustand, typischerweise in
einem Zustand bestimmter Temperatur, einem kanonischen Zustand. Sie soll
also als Wärmebad fungieren (und wird daher im Folgenden »Bad« genannt).
2 Die quantenmechanische Mastergleichung
• Abgeschlossene Beschreibung der Dynamik des kleinen Systems.
Der Hamiltonoperator des Gesamtsystems bestehe aus lokalen Teilen für System und Bad und einer Wechselwirkung,
Ĥ = ĤS + ĤB + V̂ .
Der Zustand des Gesamtsystems soll zu Beginn separieren,
ρ̂(0) = ρ̂S (0) ⊗ ρ̂B (0).
Die abgeschlossene Zeitentwicklung ist gegeben durch die Liouville-von-Neumann-Gleichung,
i
dρ̂
= − [ĤS + ĤB + V̂ , ρ̂].
dt
~
1
Wir wechseln nun in die Wechselwirkungsdarstellung, in der die freie Dynamik von den Operatoren getragen wird. Es gilt
i
Û0 (t) = exp − (ĤS + ĤB ) ,
~
ρ̂I (t) = Û0† (t)ρ̂(t)Û0 (t),
V̂I (t) = Û0† (t)V̂ Û0 (t).
Die Zeitentwicklung in Wechselwirkungsdarstellung ist gegeben durch
i
dρ̂I (t)
= − [V̂I (t), ρ̂I (t)].
dt
~
(1)
Im Folgenden wird der Index I der Einfachheit halber weggelassen.
Wenn man (1) formal integriert erhält man
Z
i t
ρ̂(t) = ρ̂(0) −
ds [V̂ (s), ρ̂(s)].
~ 0
Dies kann nun in (1) eingesetzt werden, man erhält eine exakte Integro-Differenzialgleichung für die Dynamik des Zustandes
Z
i
1 t
dρ̂
= − [V̂ (t), ρ̂(0)] − 2
ds [V̂ (t), [V̂ (s), ρ̂(s)]].
(2)
dt
~
~ 0
Fortgesetzte Iteration würde nun zur Dyson-Reihe führen. Die Kopplung soll
hier aber so schwach sein, dass das Problem in 2. Ordnung Störungstheorie
behandelt werden soll. Dazu würde man die Dyson-Reihe nach dem zweiten
Glied abbrechen, deshalb kann direkt (2) verwendet werden.
Ausspuren des Bades
Da nur die Dynamik des Systems von Interesse ist wird nun das Bad ausgespurt,
Z
n
o
n
o
i
1 t
dρ̂S
= − SpurB [V̂ (t), ρ̂(0)] − 2
ds SpurB [V̂ (t), [V̂ (s), ρ̂(s)]] . (3)
dt
~
~ 0
Wenn die Diagonale von V̂ in der Basis verschwindet, in der die lokalen Hamiltonoperatoren diagonal sind, verschwindet automatisch der erste Term auf der
rechten Seite. Diese Annahme ist schwach, da andernfalls die Diagonale von V̂
zur lokalen Dynamik hinzugenommen werden könnte.
2
2.1 Born-Näherung
Gleichung (3) beinhaltet auf der rechten Seite immer noch den Zustand des Gesamtsystems. Um eine abgeschlossene Bewegungsgleichung zu erhalten nehmen
wir nun weiterhin an, dass sich der Zustand des Bades während der Dynamik
nur sehr wenig ändert, der Zustand des Gesamtsystems soll also für alle Zeiten
durch
ρ̂(t) ≈ ρ̂S (t) ⊗ ρ̂B
(4)
gegeben sein. Diese Annahme wird dadurch gerechtfertigt, dass die Kopplung
sehr schwach ist.
Die Born-Näherung folgt direkt aus der Beschränkung auf die 2. Ordnung
in der Zeitentwicklung, dies kann hier jedoch nicht gezeigt werden. Trotzdem
ist sie häufig nicht gerechtfertigt. In vielen Fällen spielen die Korrelationen
zwischen System und Bad, die hier völlig vernachlässigt werden, eine große
Rolle.
Mit (4) erhält man aus (3) eine abgeschlossene, aber nicht mehr exakte
Integro-Differenzialgleichung,
Z
n
o
1 t
dρ̂S
=− 2
ds SpurB [V̂ (t), [V̂ (s), ρ̂S (s) ⊗ ρ̂B ]] ,
(5)
dt
~ 0
die allerdings noch die komplette Vergangenheit des Systems beinhaltet. Sie
ist im Allgemeinen schwierig zu lösen.
2.2 Markow-Annahme
Nimmt man weiter an, dass nur der aktuelle Systemzustand die Dynamik bestimmt, so erhält man die zeitlokale Gleichung
Z
n
o
dρ̂S
1 t
ds SpurB [V̂ (t), [V̂ (s), ρ̂(t) ⊗ ρ̂B ]] ,
=− 2
(6)
dt
~ 0
die allerdings noch nicht »markowsch« ist, siehe Abschnitt 3.3.
3 Der gedämpfte harmonische Oszillator
• Ein einzelner harmonischer Oszillator in einem Bad
bestehend aus sehr vielen harmonischen Oszillatoren (Bosonenbad).
3
Als Anwendung von (6) betrachten wir nun einen einzelnen harmonischen Oszillator (ω0 , â, ↠) in Wechselwirkung mit einer großen Zahl harmonischer Oszillatoren (ωj , b̂j , b̂†j ). Beispiele für solche Bäder sind das Strahlungsfeld und
Phononen. Die Wechselwirkung soll gegeben sein durch
V̂ (t) = ~ ↠Γ̂ (t)eiω0 t + âΓ̂ † (t)e−iω0 t ),
X
Γ̂ (t) =
gj b̂j e−iωj t .
(7a)
(7b)
j
Setzt man (7a) in (6) ein erhält man für den Doppelkommutator
[V̂ (t), [V̂ (s), ρ̂(t) ⊗ ρ̂B ]] = ~2 ↠↠ρ̂S (t) Γ̂ (t)Γ̂ (s)ρ̂B eiω0 (t+s) +
+ â↠ρ̂S (t) Γ̂ † (t)Γ̂ (s)ρ̂B e−iω0 (t−s) + · · · +
+ ↠ρ̂S (t)â Γ̂ (t)ρ̂B Γ̂ † (s) eiω0 (t−s) + · · · ).
Hier sind beispielhaft nur drei der 16 Summanden dargestellt. Sie sind bereits
nach Systemoperatoren (â, ↠, ρ̂S ) und Badoperatoren (Γ̂ , Γ̂ † , ρ̂B ) geordnet.
Die Systemoperatoren kann man aus der Teilspur über die Freiheitsgrade des
Bades (SpurB {· · ·}) sowie aus dem Integral über s herausziehen.
Badkorrelationsfunktionen
Es ergibt sich dann eine Summe aus 16 Termen der Form
Z t
†
ââ ρ̂S (t) ·
ds SpurB {Γ̂ † (t)Γ̂ (s)ρ̂B } e−iω0 (t−s) .
{z
}
|
0
hΓ̂ † (t)Γ̂ (s)i
Das Integral ist nur noch eine Zahl und somit ein (zeitabhängiger) Koeffizient
in der Bewegungsgleichung für ρ̂S (t). Der Erwartungswert hΓ̂ † (t)Γ̂ (s)i heißt
Badkorrelationsfunktion. Er gibt die Korrelationen zwischen Umgebungsoperatoren Γ̂ zu verschiedenen Zeiten an.
Wenn das Bad wenig »Erinnerung« an frühere Zeiten besitzen soll, muss
die Korrelationsfunktion schnell mit |t − s| abfallen. Dann ist das System markowsch.
3.1 Berechnung der Koeffizienten
Die Überschrift dieses Abschnitts ist etwas übertrieben. Es soll nur einer der
Koeffizienten beispielhaft berechnet werden, nämlich
Z t
ds hΓ̂ † (t)Γ̂ (s)i e−iω0 (t−s) .
(8)
I=
0
4
(7b) in (8) eingesetzt ergibt
Z t X
ds
gj∗ gk hb̂†j b̂k i ei(ωj t−ωk s)−iω0 (t−s) .
I=
0
j,k
Nun geht von den Summen über die Moden zu Integralen über Frequenzen
über,
Z ∞
Z ∞
X
dω2
dω1
σ(ω1 )
σ(ω2 ) . . .
... →
2π
2π
0
0
j,k
σ(ω) bezeichnet die Modendichte. Man erhält
Z t ZZ
dω1 dω2
I=
ds
σ(ω1 )σ(ω2 )g ∗ (ω1 )g(ω2 ) hb̂† (ω1 )b̂(ω2 )i ei(ω1 t−ω2 s)−iω0 (t−s) .
2π
2π
0
Nun soll sich die Umgebung in einem thermischen Zustand befinden. Dann
gibt es keine Korrelation zwischen verschiedenen Moden, es gilt
hb̂† (ω1 )b̂(ω2 )i = 2πN (ω1 )δ(ω1 − ω2 ).
(9)
N (ω) ist die mittlere Besetzung der Mode ω (die mittlere Photonenzahl in
dieser Mode). Für einen thermischen Zustand gilt nach Planck
N (ω) =
1
e~ω/kT − 1
.
Wegen der δ-Distribution bricht ein Integral zusammen und man erhält
Z t Z ∞
dω
ds
N (ω)σ(ω)2 |g(ω)|2ei(ω−ω0 )(t−s) =
I=
2π
Z0 t Z0 ∞
dω
N (ω)σ(ω)2 |g(ω)|2 ei(ω−ω0 )τ .
=
dτ
2π
0
0
3.2 Markow-Näherung
Nimmt man an, dass σ(ω), g(ω) und N (ω) nur langsam veränderlich sind, dann
kann man die obere Grenze im Zeitintegral nach ∞ verschieben:
Z ∞ Z ∞
dω
N (ω)σ 2 (ω)|g(ω)|2ei(ω−ω0 )τ .
I≈
dτ
2π
0
0
Unter Verwendung von
Z
∞
dτ e
0
ixτ
1
= πδ(x) + i PV
x
5
erhält man bei Vernachlässigung der kleinen Korrektur durch das Hauptwertintegral
γ
I = N (ω0 ), γ = σ 2 (ω0 )|g(ω0 )|2 .
2
3.3 Einschub: Born-Markowsche Mastergleichung
Die Näherung aus Abschnitt 3.2 kann auch schon an (6) vorgenommen werden:
ersetze s durch t − s und integriere bis ∞:
Z
n
o
dρ̂S
1 ∞
=− 2
ds SpurB [V̂ (t), [V̂ (t − s), ρ̂(t) ⊗ ρ̂B ]] .
dt
~ 0
3.4 Bewegungsgleichung des gedämpften HO
Die weiteren Koeffizienten sollen nicht mehr berechnet werden, hier nur noch
der Hinweis, dass bei einem thermischen Bad
hΓ̂ (t)Γ̂ (s)i = hΓ̂ † (t)Γ̂ † (s)i = 0
gilt. Dadurch entfallen einige Terme.
Die Bewegungsgleichung für den gedämpften Oszillator lautet (N = N (ω0 ))
γ
dρ̂S
γ
= (N + 1) 2âρ̂S ↠− ↠âρ̂S − ρ̂S ↠â + N 2↠ρ̂S â − â↠ρ̂S − ρ̂S â↠. (10)
dt
2
2
4 Einschub: Lindblad-Mastergleichung
• Allgemeine Form der Born-Markowschen Mastergleichung.
Gleichung (10) ist eine spezielle Form der allgemeinsten Born-Markowschen
Mastergleichung, der Lindblad-Mastergleichung (hier in Schrödinger-Darstellung):
dρ̂
= L (ρ̂),
dt
X i
1 †
1 †
†
L (ρ̂) = − [Ĥ, ρ̂] +
γk Âk ρ̂Âk − Âk Âk ρ̂ − ρ̂Âk Âk .
~
2
2
k
L heißt Lindblad-Operator oder Lindblad-Superoperator.
Jede Born-Markowsche Mastergleichung kann in Lindbladform geschrieben
werden, allerdings existiert nicht zu jeder beliebigen Lindbladgleichung auch
ein physikalisches System.
6
5 Dynamik des gedämpften HO
• Folgerungen aus der Bewegungsgleichung (10)
5.1 Amplitude und Photonenzahl
Aus der Mastergleichung (10) lassen sich Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte verschiedener Operatoren ableiten. Für die Amplitude erhält man
einen exponentiellen Zerfall,
dρ̂S
dhâi
γ
= Spur â
= − hâi .
dt
dt
2
Auch für die mittlere Photonenzahl ergibt sich ein exponentieller Zusammenhang, jedoch mit einem von Null verschiedenen asymptotischen Wert,
dh↠âi
= −γ h↠âi + γN,
dt
hn̂it = hn̂i0 e−γt + N (1 − e−γt ).
Die mittlere Photonenzahl im Oszillator strebt also gegen die mittlere Zahl der
Photonen im Bad (zur gegebenen Energie). Der Oszillator »thermalisiert«.
5.2 Bewegung eines kohärenten Zustandes
Die folgenden Betrachtungen beziehen sich wieder auf das Schrödingerbild.
Ein kohärenter Zustand
|αi = e
−|α|2 /2
â |αi = α |αi ,
∞
X
αn
√ |ni ,
n!
n=0
α∈
,
ist ein »quasiklassischer« Zustand des quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Die Erwartungswerte von Ort und Impuls sind periodisch in der Zeit,
das Unschärfeprodukt minimal. Es gilt
hα|↠â|αi = |α|2 ,
0 2
|hα|α0 i|2 = e−|α−α | .
Man kann jeden Zustand durch kohärente Zustände darstellen,
Z
ρ̂S (t) = d2 α P (α, α∗ , t) |αihα| .
7
Abbildung 1: Entwicklung der Verteilung P (α, α∗ , t) im gedämpften harmonischen Oszillator, α = α1 + iα2 . Der Ausgangszustand ist ein
kohärenter Zustand mit α = 1. [1]
Ist ρ̂S selbst ein kohärenter Zustand, so ist P (α, α∗ ) δ-förmig. Entwickelt sich
dieser Zustand frei, so beschreibt P (α, α∗ ) einen Kreis um den Ursprung in
der {Re(α), Im(α)}-Ebene.
Abbildung 1 zeigt die Bewegung eines anfänglich kohärenten Zustands im
gedämpften harmonischen Oszillator. Die Verteilung wird mit der Zeit breiter
und strebt spiralförmig auf den Ursprung zu, asymptotisch wird ein thermischer Zustand erreicht.
5.3 Überlagerung zweier kohärenter Zustände
Die Überlagerung zweier kohärenter Zustände, die sich nur wenig überlappen (|hα|α0 i|2 1), wird häufig als »Schrödinger-Katzenzustand« bezeichnet,
da sie eine Überlagerung von sehr verschiedenen quasiklassischen Zuständen
darstellt. Wir präparieren nun den harmonischen Oszillator in genau einer solchen Überlagerung,
√
|ψS (0)i = (|αi + |βi)/ 2,
ρ̂S (0) = (|αihα| + |βihβ| + |αihβ| + |βihα|)/2.
8
Der Zerfall der Diagonalelemente wurde im letzten Abschnitt untersucht, hier
soll nun die Dynamik der Kohärenzterme |αihβ| betrachtet werden. Die Rechnung lässt sich in [2] nachlesen.
Man erhält (λ = γN )
−λt
|αihβ|t = hα|βi1−e |αe−λt/2 ihβe−λt/2 | ,
1 X
1−e−λt
hγ|γ 0 i
|γe−λt/2 ihγ 0 e−λt/2 | .
ρ̂S (t) =
2 0
γ,γ =α,β
Man sieht, dass die Überlagerung um so schneller dephasiert wird, je weiter die
kohärenten Zustände voneinander entfernt sind. Eine Überlagerung »klassisch
verschiedener« Oszillatorzustände zerfällt sehr schnell in ein Gemisch.
5.4 Beobachtung des Zerfalls eines
Schrödinger-Katzenzustands
Abbildung 2 steigt stark schematisch den Aufbau eines Experimentes, bei dem
die Dekohärenz der Überlagerung mesoskopisch verschiedener Zustände beobachtet wurde [3]. Q ist eine Quelle für Rydbergatome in einer Überlagerung
zweier Zustände |gi und |ei, also
√
ψ A,Q = (|gi + |ei)/ 2.
Die Cavity C ist zu Beginn in einem kohärenten Zustand |αi präpariert.
Beim Durchgang der Atome durch die Cavity verändert sich die Phase des
kohärenten Zustandes abhängig vom Zustand des Atoms. Aufgrund des Überlagerungszustandes der Atome kommt es dadurch zu einer Verschränkung von
Cavityzustand und Atom:
1
√ (|ei + |gi) ⊗ α
2
→
1
√ (|e, αeiφ i + |g, αe−iφi).
2
Die Phase φ kann eingestellt werden. Ist φ groß stellt das eine Überlagerung
mesoskopisch verschiedener Zustände dar, eine Schrödingerkatze.
PSfrag replacements
Q
C
Abbildung 2: Schematischer Aufbau des Experiments.
9
Abbildung 3: Zweiatom-Korrelationssignal für kleines φ (gestrichelte Linie)
und großes φ (durchgezogene Linie). Die Linien sind die theoretische Ergebnisse. [3]
Mit einem zweiten Atom, das nach einer Zeit τ durch die Cavity läuft, und einer anschließenden Korrelationsmessung an beiden Atomen kann die Kohärenz
des Zustandes getestet werden.
Abbildung 3 zeigt das Korrelationssignal in Abhängigkeit von der Zeitdifferenz τ zwischen dem Durchgang beider Atome. Man sieht, dass das Signal
für den Fall deutlich verschiedener kohärenter Zustände stärker abfällt als für
stark überlappende Zustände.
Literatur
[1] Breuer, Petruccione: The Theory of Open Quantum Systems (Oxford, 2002)
[2] Walls, Milburn, Phys. Rev. A 31, 2403 (1985)
[3] Brune et. al, Phys. Rev. Lett. 77, 4887 (1996)
10
Merksätze
• Die Dynamik eines schwach an ein Bad gekoppelten Quantensystems
wird häufig durch die Born-Markowsche Mastergleichung
Z
n
o
dρ̂
1 ∞
ds SpurB [V̂ (t), [V̂ (t − s), ρ̂(t) ⊗ ρ̂B ]] .
=− 2
dt
~ 0
ausreichend gut beschrieben.
• Der Zustand des Bades wird dabei als nahezu stationär angenommen.
• Die Eigenschaften des Bades gehen in diese Gleichung in Form von Korrelationsfunktionen ein:
hΓ̂ (t)Γ̂ (s)i
Diese hängen häufig (bei stationärer Umgebung) nur von |t − s| ab.
• Das betrachtete System wird durch die Einwirkung des Bades im allgemeinen thermalisiert (Energieaustausch mit der Umgebung führt zu einer thermischen Energieverteilung) und dephasiert (Kohärenzterme verschwinden, Dekohärenz).
• Überlagerungen mesoskopisch (makroskopisch) verschiedener Zustände
werden im Allgemeinen sehr schnell dekohäriert und gehen in ein Gemisch
dieser Zustände über.
• Die allgemeinste Form einer Mastergleichung lautet
X i
1 †
dρ̂
1 †
†
= − [Ĥ, ρ̂] +
γk Âk ρ̂Âk − Âk Âk ρ̂ − ρ̂Âk Âk
dt
~
2
2
k
(Lindblad-Form).
11