Tutorium Mathematik IWB1 Aufgabenblatt T1 – Trigonometrie 1

Prof. Dr. Peter Plappert
Fakultät Grundlagen
Tutorium Mathematik IWB1
Aufgabenblatt T1 – Trigonometrie 1
Allgemeine Hinweise zu diesem Aufgabenblatt:
•
Das Symbol
•
Die Benutzung eines Taschenrechners (TR) ist bei den meisten Aufgaben erforderlich.
Sofern kein TR benutzt werden soll, ist dies ausdrücklich angegeben.
•
Ab Seite 6 ist ein kleines „Ergänzungsskript zur Trigonometrie“ abgedruckt.
bezeichnet in den Skizzen stets einen rechten Winkel.
Aufgabe 1
C
a) Bei dem in der Skizze rechts gezeigten Dreieck ist a = 10 m,
γ = 40°. Berechnen Sie die Seitenlängen b und c.
γ
b) Bei dem unten dargestellten Dreieck ist a = 80 cm, β = 35°.
C
α
γ
a
b
α
A
a
b
β
A
B
c
β
c
B
b1) Berechnen Sie die Länge der Seite c.
b2) Berechnen Sie die Länge der Seite b.
A
α
c) Bei dem rechts dargestellten Dreieck ist a = 2 m, α = 37,5°.
c1) Berechnen Sie die Länge der Seite c.
b
γ
β
c
c2) Berechnen Sie die Länge der Seite b.
C
a
B
d) Bestimmen Sie bei den Dreiecken aus den Aufgabenteilen
a), b), c) die Größen der nicht angegebenen Winkel.
C
e) Bei dem rechts gezeigten Dreieck ist a = 2 m, c = 4 m.
e1) Berechnen Sie die Seitenlänge b.
γ
b
e2) Berechnen Sie die Größen der Winkel.
β
α
A
c
a
B
Aufgabe 2
Wie groß ist die Resultierende zweier senkrecht aufeinander stehender Kräfte von 3,5 kN
bzw. 3 kN? Welchen Winkel bildet die Resultierende mit den beiden Kräften?
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Trigonometrie
Blatt T1 Seite 1/11
Aufgabe 3
Die in der Skizze dargestellten Vektoren
haben die folgenden Beträge:
F1 = 5 kN, F2 = 4 kN,
F3 = 4,5 kN, F4 = 4 kN.
r
Der Winkel zwischen F1 und der x-Achse
r r
beträgt 35°. Weiter sind ∠ ( F1 , F2 ) = 105° ,
r r
r r
∠ ( F2 , F3 ) = 90° , ∠ ( F3 , F4 ) = 95° .
r
F1
y
r
F2
105°
35°
a) Berechnen Sie die x- und y-Koordinaten
der vier Vektoren.
b) Berechnen Sie x- und y-Koordinate der
r r
r
r
resultierenden Kraft F1 + F2 + F3 + F4 .
x
90°
r
F4
95°
r
F3
c) Skizzieren Sie die resultierende Kraft.
d) Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft.
e) Bestimmen Sie rechnerisch den Winkel, den die resultierende Kraft mit der x-Achse
bildet.
Aufgabe 4
Eine 2 m lange Leiter lehnt unter einem Winkel
von 70° an einer Hauswand (siehe Skizze).
2m
a) Wie weit ist das untere Ende der Leiter von
der Hauswand entfernt?
70°
b) Wie weit ist das obere Ende der Leiter vom
Erdboden entfernt?
Aufgabe 5
C
Die nebenstehende Abbildung zeigt ein gleichschenkliges
Dreieck.
8m
a) Wie groß ist hc , also die Höhe auf die Seite c ?
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
50°
A
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Trigonometrie
8m
hc
c
B
Blatt T1 Seite 2/11
Aufgabe 6
Ein Körper mit dem Gewicht G = 200 N befindet sich auf einer
r
schiefe Ebene mit Neigungswinkel 27°. Die Gewichtskraft G kann
r
die zwei Komponenten Hangabtriebskraft FH tangential zur Ebene
r
und Normalkraft Fn senkrecht zur Ebene zerlegt werden.
Welche Beträge haben diese beiden Kräfte?
r
FH
r
Fn
r
G
27°
Aufgabe 7
[Diese Aufgabe ist keine Trigonometrie-Aufgabe, sondern eine Vorübung zu Aufgabe 8.]
Gesucht ist die Lösung des linearen Gleichungssystems
2x − 4 y = 8
.
6x + 6 y = 6
Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) diese Lösung mit verschiedenen Methoden.
Aufgabe 8
Ein Körper mit dem Gewicht G = 4 kN ist an
einem Drahtseil befestigt. Berechnen Sie (mit TR)
die Zugkräfte in den beiden Seilsträngen,
wenn die Befestigungspunkte A und B auf
gleicher Höhe sind und α = 20° sowie β = 43° ist.
A
B
α
β
r
G
Aufgabe 9
(Aufgabenstellung auf der nächsten Seite)
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Trigonometrie
Blatt T1 Seite 3/11
Aufgabe 9 (Fortsetzung)
Die Abbildung auf der vorigen Seite zeigt den nördlichen Polarkreis als rote Linie auf einer
Weltkarte. Wie groß ist (ungefähr) der Umfang des Polarkreises auf der Erdoberfläche?
Benutzen Sie zur Berechnung die folgenden Informationen:
•
Die Erde ist näherungsweise eine Kugel
mit Radius 6371 km.
•
Verbindet man einen Punkt P des
Polarkreises mit dem Erdmittelpunkt
M, so schneidet die Verbindungslinie
die Äquatorebene unter einem
Winkel von etwa 66,5°. Siehe dazu
auch den nebenstehenden Querschnitt,
in dem außerdem der Nordpol N und
der Südpol S eingetragen sind.
N
P
66,5°
M
Äquatorebene
S
Ergebnisse zum Aufgabenblatt T1
Hier sind nur Endergebnisse aufgeführt und nicht eventuell notwendige Zwischenschritte oder
Überlegungen. Bei Fragen und Problemen wenden Sie sich bitte an mich und vereinbaren ggf.
einen Termin für eine Sprechstunde!
Bitte machen Sie mich darauf aufmerksam, wenn Sie Fehler in dieser Ergebnisliste finden.
Aufgabe 1 a) b ≈ 7,66 m, c ≈ 6,43 m
b1) c ≈ 97,66 cm, b ≈ 56,02 cm
c1) c ≈ 3,29 m, b ≈ 2,61 m
d) in a) ist β = 50° ; in b) ist α = 55° ; in c) ist β = 52,5°
e) b ≈ 4,47 m, α ≈ 26,57° , γ ≈ 63,43°
r
Aufgabe 2: Fres ≈ 4,61 kN; der Winkel mit der Kraft von 3,5 kN beträgt ca. 40,60°; der
Winkel mit der Kraft von 3 kN beträgt ca. 49,40°.
(Ergebnisse von Aufgabe 3ff. auf der nächsten Seite)
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Blatt T1 Seite 4/11
Aufgabe 3 a)
F1x ≈ 4,10 kN, F1 y ≈ 2,87 kN,
F2 x ≈ −3,06 kN, F2 y ≈ 2,57 kN,
r
F1
y
r
F2
F3x ≈ −2,89 kN, F3 y ≈ −3,45 kN,
1
F4 x ≈ 3,28 kN, F4 y ≈ −2,29 kN
1
b) Fres, x ≈ 1,42 kN, Fres, y ≈ −0,30 kN
c) siehe Skizze rechts
r
d) Fres ≈ 1,45 kN
r
Fres
x
r
F4
e) ≈ −12° , d. h. ca. 12° im Uhrzeigersinn
von der positiven x-Achse
r
F3
Aufgabe 4 a) ca. 0,68 m
Aufgabe 5 a) hc ≈ 6,13 m
r
Aufgabe 6: FH ≈ 90,8 ,
b) ca. 1,88 m
b) ca. 31,51 m²
r
Fn ≈ 178,2 N
Aufgabe 7: x = 2, y = −1
Aufgabe 8:
r
Betrag der Kraft im linken Seilstrang F1 ≈ 3,28 kN;
r
Betrag der Kraft im rechten Seilstrang F2 ≈ 4,22 kN.
r ⎛ − 3,09 ⎞
r ⎛ 3,09 ⎞
⎟⎟ kN.
⎟⎟ kN; F2 ≈ ⎜⎜
In Vektorschreibweise sind die Kräfte gegeben durch F1 ≈ ⎜⎜
⎝ − 2,88 ⎠
⎝ − 1,12 ⎠
Aufgabe 9: Die Rechnung ergibt einen Umfang von ca. 15962 km.
[Anmerkung: Der tatsächliche Wert weicht ein wenig davon ab, da die Erde nicht exakt
kugelförmig ist.]
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Ergänzungsskript zur Trigonometrie
Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
C
Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck
Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt
Hypotenuse. In der Abbildung rechts ist das die Seite c.
γ
a
b
α
β
Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
A
Betrachtet man einen der beiden spitzen Winkel
c
B
(d. h., der Winkel < 90°), dann heißt die dem Winkel
anliegende Seite die Ankathete des Winkels und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die
Gegenkathete des Winkels. Beispiel: In der Abbildung ist die Seite b die Ankathete des
Winkels α und die Seite a die Gegenkathete des Winkels α . Für den Winkel β ist
umgekehrt die Seite a die Ankathete und die Seite b die Gegenkathete.
Definition der Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
sin ϕ =
Gegenkathete
,
Hypotenuse
cos ϕ =
Ankathete
,
Hypotenuse
tan ϕ =
Gegenkathete
.
Ankathete
Dabei steht ϕ für einen der beiden spitzen Winkel.
In dem oben gezeigten Dreieck ist also für den Winkel α
sin α =
a
b
a
, cos α = und tan α = .
c
c
b
Für den Winkel β wäre entsprechend sin β =
Gegenkathete b
= usw.
Hypotenuse
c
Anmerkung: Die Formeln in diesem Abschnitt sind kurz und einprägsam, aber nicht ganz
präzise formuliert. Gemeint ist natürlich stets die Länge der betreffenden Seite in
Längeneinheiten, also z. B. die Länge der Hypotenuse bzw. die Länge von c usw.
Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionen
1.) Zusammenhang zwischen sin und cos:
Falls α + β = 90° ist, also z. B. wenn α und β die beiden spitzen Winkel in einem
rechtwinkligen Dreieck sind, dann gilt sin α = cos β sowie umgekehrt sin β = cos α .
Beispielsweise ist sin 20° = cos 70° und sin 70° = cos 20° .
2.) Zusammenhang zwischen tan und sin, cos: Es gilt für alle Winkel tan α =
Kurz zusammengefasst:
cosα = sin(90° − α ) ,
tan α =
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sin α
.
cos α
sin α
.
cos α
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Vektoren in der Ebene
Kräfte, die in einer Ebene wirken, werden mathematisch oft durch Vektoren (= Klassen
paralleler, gleich langer und gleich orientierter Pfeile) im R 2 beschrieben.
r
In vielen Fragestellungen kennt man dabei von einem Vektor F den Betrag (= die Länge)
r
F und den (mit Vorzeichen versehenen) Winkel α von der positiven x-Achse zum Vektor
r
F . Hieraus kann man die x- und die y-Koordinate Fx bzw. Fy mit der folgenden Formel
berechnen:
r
Fx = F ⋅ cos α ,
r
Fy = F ⋅ sin α .
y
r ⎛ Fx ⎞
F =⎜ ⎟
⎝ Fy ⎠
Fy
r
F
α
x
Fx
r ⎛ Fx ⎞
Für den Vektor selbst schreibt man F = ⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ Fy ⎠
In der Mechanik verwendet man auch die Schreibweise F (ohne Vektorpfeil!) für den Betrag
r
eines Vektors, dort schreibt man also F = F . Damit lauten dann die oben genannten
Formeln wie folgt:
Fx = F ⋅ cosα ,
Fy = F ⋅ sin α .
Bei Anwendung dieser Formeln auf einen Vektor im zweiten, dritten oder vierten Quadranten
treten Winkel > 90° auf – oder negative, also im Uhrzeigersinn gemessene Winkel. Man kann
das umgehen, indem man statt dessen die folgende Formel benutzt.
r ⎛ ± F ⋅ cos β ⎞
⎟⎟
F = ⎜⎜
⎝ ± F ⋅ sin β ⎠
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Blatt T1 Seite 7/11
r
Hierbei bezeichnet β den zwischen 0° und 90° liegenden Winkel zwischen F und der
positiven oder negativen x-Achse, je nachdem, welcher Winkel kleiner ist. Dann sind
zunächst (als Zwischenergebnis) sowohl cos β als auch sin β positiv, und man muss
nachträglich noch die richtigen Vorzeichen hinzufügen (so ist das Symbol „ ± “ in den
Formeln zu verstehen). Die Vorzeichen ergeben sich aus folgender Tabelle:
Quadrant II
Quadrant I
Fx < 0 , Fy > 0
Fx > 0 , Fy > 0
Quadrant III
Quadrant IV
Fx < 0 , Fy < 0
Fx > 0 , Fy < 0
Die nachfolgenden Beispiele illustrieren, dass die beiden oben genannten Methoden, die xund y-Koordinate eines Vektors zu berechnen, gleichwertig sind.
Methode A:
Methode B:
Fx = F ⋅ cosα , Fy = F ⋅ sin α ;
r
α = Winkel mit Vorzeichen von der positiven x-Achse hin zum Vektor F
Fx = ± F ⋅ cos β , Fy = ± F ⋅ sin β ; Vorzeichen siehe oben;
r
β = positiver spitzer Winkel zwischen x-Achse und Vektor F
r
In allen Beispielen soll der Vektor F den Betrag F = 4 haben.
II. Quadrant
r
F
III. Quadrant
y
y
α
α
β
x
IV. Quadrant
y
α = 300°
x
x
β
β
r
F
α = −60°
r
F
Methode A:
α = 135°
Fx = F ⋅ cos 135° = −2 2
α = 210°
Fx = F ⋅ cos 210° = −2 3
α = 300° oder α = −60° (*)
Fx = F ⋅ cos 300° = 2
Fy = F ⋅ sin 135° = 2 2
Fy = F ⋅ sin 210° = − 2
Fy = F ⋅ sin 300° = −2 3
(*) diese beiden Winkel liefern
das gleiche Ergebnis
oder (Methode B):
β = 45°
β = 30°
Fx = − F ⋅ cos 45° = −2 2
Fx = − F ⋅ cos 30° = −2 3
β = 60°
Fx = + F ⋅ cos 60° = 2
Fy = + F ⋅ sin 45° = 2 2
Fy = − F ⋅ sin 30° = − 2
Fy = − F ⋅ sin 60° = −2 3
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Winkelfunktionen in einem beliebigen Dreieck
Wenn in einem Dreieck nicht alle Seitenlängen oder Winkelgrößen angegeben sind, kann man
die folgenden Formeln benutzen, um die anderen Werte auszurechnen.
In jedem (auch nicht rechtwinkligen) Dreieck gelten die folgenden Formeln:
Winkelsumme:
α + β + γ = 180°
Sinussatz:
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
Kosinussatz:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
Die drei Formeln des Kosinussatzes haben die gleiche Struktur: Diejenige Dreiecksseite, die
links vom Gleichheitszeichen auftritt, kommt rechts nicht vor; hingegen kommt der Winkel,
der dieser Seite gegenüberliegt, rechts im Kosinus vor.
Im Falle γ = 90° (rechtwinkliges Dreieck) ist cos γ = 0 , der Kosinussatz ergibt dann
c2 = a 2 + b2 ,
also den Satz von Pythagoras. Der Kosinussatz ist sozusagen das Gegenstück des Satzes von
Pythagoras für nicht rechtwinklige Dreiecke.
Bei Dreiecksberechnungen müssen im Allgemeinen drei Größen (Seitenlängen oder Winkel)
gegeben sein, wobei mindestens eine dieser drei Größen eine Seitenlänge sein muss.
Aus diesen drei Größen kann man die anderen drei durch Anwendung von Sinussatz und
Winkelsumme oder durch Anwendung von Kosinussatz und Winkelsumme ausrechnen
Den Sinussatz kann man anwenden, wenn
•
•
eine Seite zwei Winkel gegeben sind oder wenn
zwei Seiten und der einer Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind.
Den Kosinussatz kann man anwenden, wenn
•
•
zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind oder wenn
alle drei Seiten gegeben sind.
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Blatt T1 Seite 9/11
Winkelfunktionen im Einheitskreis; Bogenmaß
Ein Punkt P befindet sich auf dem Einheitskreis der Ebene.
P
x = Länge dieses
Kreisbogens
1
0
α
sin x
cos x Q
(1 | 0)
Die Lage des Punktes P kann auf verschiedene Arten angegeben werden:
•
Durch den Winkel α von der positiven x-Achse zur (1 Längeneinheit langen) Strecke 0P,
die den Koordinatenursprung 0 mit dem Punkt P verbindet.
Gibt man α in Grad an, spricht man vom „Gradmaß“ des Winkels.
•
Durch die (in Längeneinheiten gemessene) Länge x des Kreisbogens, der vom Punkt
(1 | 0) zum Punkt P geht. Man nennt x das „Bogenmaß“ des Winkels α .
Sowohl im Gradmaß als auch im Bogenmaß gibt das Vorzeichen des Winkels die
Orientierung an:
positives Vorzeichen, wenn der Winkel im mathematisch positiven Drehsinn (= gegen
den Uhrzeigersinn) gemessen wird;
negatives Vorzeichen, wenn der Winkel im mathematisch negativen Drehsinn (= im
Uhrzeigersinn) gemessen wird.
•
Durch die beiden Koordinaten des Punktes P.
Liegt P im ersten Quadranten, ist im rechtwinkligen Dreieck 0QP ist die blau gezeichnete
Strecke QP die Gegenkathete des Winkels α und daher die Länge der Strecke QP =
sin α ⋅ Hypotenuse = sinα ⋅1 = sinα . Also ist sin α die zweite Koordinate von P und
analog cos α die erste Koordinate von P, d. h., es ist P (cosα | sin α ) .
Häufig gibt man den Winkel im Gradmaß x an und hat dann cos x als waagrechte und
sin x als senkrechte Koordinate des Punktes; also P (cos x | sin x).
Auch wenn P im II., III. oder IV. Quadranten liegt, nennt man die erste Koordinate von P
cos x und die zweite Koordinate sin x. (Der einzige Unterschied zum I. Quadranten ist,
dass in den anderen Quadranten cos x und / oder sin x negativ ist und dann nicht mehr die
Länge einer Dreiecksseite darstellt, sondern zu der Länge noch ein Vorzeichen
hinzukommt.)
Ergänzungsskript Trigonometrie; © Prof. Dr. Peter Plappert 27.03.2009 Blatt T1 Seite 10/11
Ein Punkt P im Einheitskreis hat die Koordinaten
P (cos x | sin x) ,
wobei die Position des Punktes durch das Bogenmaß x beschrieben ist,
d. h. die (mit einem Vorzeichen für den Drehsinn versehene) Länge des
Kreisbogens, der vom Punkt (1 | 0) zum Punkt P geht.
Winkelumrechnung von Gradmaß in Bogenmaß und umgekehrt
Die Umrechnung erfolgt mit folgender Formel:
α
360°
=
x
2π
α Gradmaß, x Bogenmaß
Beispiele: α = 90° ↔ x =
π
2
, α = 180° ↔ x = π .
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