Elektrizitätslehre und Magnetismus - Institut für Experimentelle Physik
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Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti ∣ 02. 07. 2009 ∣ Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Exkursion Wir könnten eine Exkursion nach Garching zum Tokamak machen und dort uns über die Anwendung von Mikrowellen zur Heizung informieren. Gibt es Interesse? Was wären gute Zeiten für die Exkursion? Seite 3 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Elektromotor Bestandteile eines Elektromotors. Links der Stator, rechts der Rotor mit dem Kommutator. Seite 4 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Elektromotor Dieses Bild zeigt einen aufgebauten Elektromotor. Seite 5 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Elektromotor Links ist die Schaltung des Nebenschlussmotors, rechts die des Hauptschlussmotors gezeigt. Seite 6 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Kennlinien Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor 6 Nm TN(ω) TH(ω) 5 Nm T 4 Nm 3 Nm 2 Nm 1 Nm 0 Nm 0 s-1 100 s-1 200 s-1 ω 300 s-1 400 s-1 500 s-1 Kennlinien von Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren. Die Kurven wurden mit N = 1000, A = 0.001 m2 , U = 5 V, R = 0.1 Ω und B = 0.1 T. Die beiden Motoren sind so berechnet, dass sie das gleiche Startdrehmoment und dassRE = R/2 ist (eine vernünftige Annahme). Seite 7 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Kennlinien Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor 5 Nm TN(ω) TR=0 Nm TH(ω) TR=0 Nm TN(ω),TR=0.1 Nm TH(ω) TR=0.1 Nm TN(ω),TR=0.5 Nm TH(ω) TR=0.5 Nm TN(ω),TR=2 Nm TH(ω) TR=2 Nm TN(ω),TR=4 Nm TH(ω) TR=4 Nm 4 Nm T 3 Nm 2 Nm 1 Nm 0 Nm 0 s-1 100 s-1 200 s-1 ω 300 s-1 400 s-1 500 s-1 Kennlinien von Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren. Die Kurven wurden mit N = 1000, A = 0.001 m2 , U = 5 V, R = 0.1 Ω und B = 0.1 T. Die beiden Motoren sind so berechnet, dass sie das gleiche Startdrehmoment und die gleiche Anfangssteigung haben. Seite 8 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Kennlinien Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor 10 Nm TN(ω) TR=0 Nm TH(ω) TR=0 Nm TN(ω),TR=0.1 Nm TH(ω) TR=0.1 Nm TN(ω),TR=0.5 Nm TH(ω) TR=0.5 Nm TN(ω),TR=2 Nm TH(ω) TR=2 Nm TN(ω),TR=4 Nm TH(ω) TR=4 Nm T 1 Nm 100 mNm 10 mNm 1 mNm 1 s-1 10 s-1 100 s-1 ω 1 ks-1 10 ks-1 Kennlinien von Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren. Die Kurven wurden mit N = 1000, A = 0.001 m2 , U = 5 V, R = 0.1 Ω und B = 0.1 T. Die beiden Motoren sind so berechnet, dass sie das gleiche Startdrehmoment und die gleiche Anfangssteigung haben. Seite 9 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Betatron Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem zeitabhängigen B-Feld nach rot E = −∂B/∂t auch ein zeitabhängiges E-Feld existiert. Skizze eines Betatrons Seite 10 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Betatron 1. Induktionsgesetz! 2. Zentripetalkraft ∮ ∫∫ d d B̄(t) E(t) ⋅ ds = E(t) ⋅ 2𝜋R = − ⋅ 𝜋R 2 B(t) ⋅ da = dt dt S(R) A(R) wobei B̄ das über die Fläche des Kreises gemittelte B-Feld ist. 3. Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die Wideroe-Bedingung B̄(t) = 2 ⋅ B(t) Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe erreicht werden. Seite 11 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Skin-Effekt Berechnung des Skin-Effektes Seite 12 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Skin-Effekt 1. Nach dem Induktionsgesetz gilt für die Kurve S, die auf einer Ebene, in der auch die Zylinderachse liegt, liegt ∮ d E ⋅ ds = − dt S ∫∫ B ⋅ da A(S) 2. betragsmässige Bedingung ∂E (r , t) ∂B (r , t) = ∂r ∂t Seite 13 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Energie des Magnetfeldes (analog zum elektrischen Feld) U(t) = L ⋅ İ(t) + R ⋅ I(t) Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist PU (t) = U(t) ⋅ I(t) = ⋅ sin 𝜔t ⋅ cos 𝜔t 𝜔L 2 U 1 − 0 ⋅ sin(2𝜔t) 𝜔L 2 = − U02 PU = U(t) ⋅ I(t) = L ⋅ I ⋅ İ = Berechnung der Energie im Magnetfeld d dt ( L 2 I 2 ) L 2 I 2 Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine Spule EL = wB = B2 2𝜇0 Seite 14 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Kugeln im inhomogenen Magnetfeld Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld. Seite 15 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Kreisströme Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus ∂Bz (z, 0) ∂z wobei mz das induzierte magnetische Moment des Kreisstromes ist. Fz = mz ⋅ Seite 16 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Satz von Larmor Illustration zum Satz von Larmor Der Betrag des magnetischen Momentes ist dann 1 ∣m∣ = 𝜋r 2 I = e ⋅ v ⋅ r 2 Seite 17 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Larmor Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert. Seite 18 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Satz von Larmor Da v ≫ Δv ist, können wir nach Taylor entwickeln ) me ( 2 F ≈ − v − 2v ⋅ Δv r ( ) e⋅r me v 2 + 2v ⋅ ⋅B = − r 2me me 2 = − v − e⋅v ⋅B r = F0 + FL Ω≡ e⋅B Δv = r 2me Seite 19 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Larmorwinkelgeschwuindigkeit Larmorwinkelgeschwindigkeit Ω= e B 2me In einem mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert. Seite 20 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Satz von Larmor (oder Kreisel sind wichtig!) Der Satz von Larmor gilt allgemein, auch bei beliebiger Orientierung von Magnetfeld und Bahnebene des Elektrons. Der Satz von Larmor bildet die Grundlage des Verständnisses des Diamagnetismus Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel Seite 21 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Satz von Larmor (oder Kreisel sind wichtig!) Man kann den Satz von Larmor aus der Kreiseltheorie ableiten. Das Elektron ist, bei einer Bahn mit konstantem Radius, ein starrer Körper. Dieser Kreisel hat den Drehimpuls L = m ⋅ (r × v ) Das magnetische Moment des Kreisstromes ist m=− e 2m L Der Kreisel erfährt ein mechanisches Drehmoment T =m×B Der Drehimpulssatz bedeutet, dass dL dt =T =− e 2m L×B = e 2m B×L Wir erhalten also eine Präzessionsbewegung des Drehimpuslvektors L um B mit der Winkelgeschwindigkeit Ω dL dt =Ω×L Seite 22 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Satz von Larmor (oder Kreisel sind wichtig!) Wir erhalten die vektorielle Schreibweise der Larmorfrequenz Ω= e B 2m Seite 23 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Diamagnetismus Berechnung des Diamagnetismus mA = ∑ j mj = 0 Seite 24 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Diamagnetismus Wenn ein B-Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment mA , das zum Diamagnetismus führt. Seite 25 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Diamagnetismus Zur vereinfachten Berechnung nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der Ladungsdichte Ze 𝜌el = − (4/3)𝜋R 3 wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist. Ein einzelner Kreisstrom Physik ∣ Seite 26 Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Diamagnetismus Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit Ω= e 2m B Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom 𝛿I = 𝜌el ⋅ r ⋅ dr ⋅ d𝜑 ⋅ v (r , 𝜑) mit v (r , 𝜑) = Ω ⋅ r ⋅ sin 𝜑 Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment mA entgegengesetzt zu Ω und entgegengesetzt zu B, hier also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische Moment ist 2 2 𝛿mA (r , 𝜑) = Fläche ⋅ Strom = 𝜋r sin 𝜑 ⋅ 𝛿I oder 𝛿mA (r , 𝜑) = = = 2 2 2 2 4 3 𝜋r sin 𝜑 ⋅ 𝜌el ⋅ r ⋅ dr ⋅ d𝜑 ⋅ v (r , 𝜑) 𝜋r sin 𝜑 ⋅ 𝜌el ⋅ r ⋅ dr ⋅ d𝜑 ⋅ Ω ⋅ r ⋅ sin 𝜑 𝜋r sin 𝜑 ⋅ 𝜌el ⋅ Ω ⋅ dr ⋅ d𝜑 Seite 27 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Diamagnetismus Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Integration über r und 𝜑 Er ist ∫R ∫𝜋 ∣mA ∣ = ∫R 0 0 ∫R 4 r ⋅ dr ⋅ 0 = 𝜋⋅ ∫𝜋 4 r ⋅ dr ⋅ 0 = 𝜋 ⋅ 𝜌el ⋅ Ω ⋅ = =𝜋 ⋅ 𝜌el ⋅ Ω ⋅ 𝛿mA (r , 𝜑) drd𝜑 Z ⋅e 4𝜋 R 3 3 ⋅Ω⋅ R5 5 ⋅ 4 3 4 =𝜋 ⋅ 𝜌el ⋅ Ω ⋅ =𝜋 ⋅ 3 Z ⋅e 4𝜋 R 3 3 ⋅ 3 sin 𝜑 ⋅ d𝜑 0 R5 5 ⋅ eB 2me 4 3 ⋅ R5 5 ⋅ 4 3 Z ⋅ e2 ⋅ B ⋅ R 2 10me Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment mA = − Z ⋅ e2 ⋅ R 2 10me B Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt. Seite 28 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Magnetisierung Atomare Kreisströme Seite 29 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Spin: Magnetisches Moment des Elektrons Elektronenspin Seite 30 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Paramagnetismus magnetisches Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches Moment hebt sich nicht vollständig auf. mA ∕= 0 Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die Grössenordnung eines Bohrsche Magneton 1𝜇B . Ohne äusseres Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die einzelnen atomaren magnetischen Momente ungeordnet sind. Im äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente teilweise, da die thermische Brownsche Bewegung, temperaturabhängig, für Unordnung sorgt. Die Magnetisierung kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden. Wir setzen an H = m = (m sin Θ cos 𝜙, m sin Θ sin 𝜙, m cos Θ) dΩ = sinΘdΘd𝜙 = −d(cos Θ)d𝜙 (0, 0, H) Die Energie des magnetischen Dipols m im Magnetfeld H hängt nur von Θ ab. Wir machen eine Koordinatentransformation auf u = cos Θ. Die Energie ist dann Epot = −mA ⋅ B = −mA ⋅ (𝜇0 H) = −𝜇0 mA H cos Θ = −𝜇0 mA Hu Seite 31 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Paramagnetismus Die Magnetisierung Mz in der z-Richtung, der Richtung des Magnetfeldes H, ist ) 1 (∑ Mz = mA = NmA ⟨cos Θ⟩ = NmA ⟨u⟩ z V Bei endlichen Temperaturen müssen die potentiellen Energien Epot nach der Boltzmannstatistik verteilt sein, also ∫ 2𝜋 ∫ 𝜋 ∫ x cos Θ sin ΘdΘd𝜙 cos Θe−Epot /kB T dΩ 0 cos Θe = 0 ∫ 2𝜋 ⟨cos Θ⟩ = Ω ∫ −E /k T ∫𝜋 pot x cos Θ sin ΘdΘd𝜙 B dΩ Ωe 0 0 e mit x = 𝜇0 mH/kB T . ∫1 −1 ⟨u⟩ = ∫ 1 uexu du −1 exu du Wir wechseln auf û = −u und erhalten ∫1 −x û d û 1 −1 ûe ⟨u⟩ = ∫ 1 = coth x − = L(x) −x û d û x e −1 wobei L(x) die Langevin-Funktion ist. Also ist ( ) 𝜇0 mA H Mz = NmA L kT Seite 32 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Paramagnetismus Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also kt ≫ mA B verifizierbar. Da für x ≪ 1 die Reihenentwicklung L(x) = x/3 + O(x 2 ) gilt bekommen wir das Curie-Gesetz 1 NmA2 C M= B= B 3 kb T T Hier ist C die Curie-Konstante C= mA2 3kb Seite 33 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Paramagnetismus Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für kleine B). MS ist die Sättigungsmagnetisierung. Seite 34 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Bestimmung der Magnetisierungskurven Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis. Seite 35 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Bestimmung der Magnetisierungskurven Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis dB(t) Q(t) −A ⋅ − = R2 ⋅ I2 (t) dt C Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche Ableitung der Ladung. A dB(t) Q(t) dQ(t) − ⋅ = + R2 dt R2 C dt Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1 (t), der die Frequenz 𝜔 hat. Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)/dt ≈ 𝜔Q(t) ist. Wenn 1/RC ≪ 𝜔 ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt Q(t) = const ⋅ B(t) und damit für die Spannung am Kondensator UC (t) = Q(t)/C ∝ B(t) Der Ausgangsstrom I(t) selber erzeugt das anregende Feld. Seite 36 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Hysterese Hysteresekurve eines Ferromagneten Seite 37 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Ferromagnetische Domänen Ferromagnetische Domänen Seite 38 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Ferromagnetische Domänen: Änderung des Magnetfeldes r Bext = 0 r Bext r Bext r M Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld Seite 39 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Domänenstrukturänderung Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse. Seite 40 Physik ∣ Elektrizitätslehre und Magnetismus ∣ 02. 07. 2009 Remanenten Magnetismus löschen Löschen des remanenten Magnetismus
