Aktives Elliptisches Filter 2. Ordnung mit Brücken-T-Glied

Aktives elliptisches TP-Glied zweiter Ordnung nach Boctor
Das Tiefpassglied nach Boctor ist ein aktives elliptisches Grundglied zweiter Ordnung mit einem
Operationsverstärker. Es erlaubt die einfache Realisation elliptischer und inverser Tschebyscheff-Filter
basierend auf gegebenen Nullstellen-/ Polfrequenzen und Polgüten. Die Besonderheit ist die
unabhängige Abgleichbarkeit der Vorgabegrössen. Gezeigt wird nachfolgend die Analyse und
Herleitung der Dimensionierungsformeln mit Vorgabe der Kondensatoren. Beispiele zeigen die
Realisationen konkreter Schaltungen.
R2
C1
C8
R3
R4
u2
u1
R5
Bild 1: Elliptisches Tiefpass-Grundglied 2. Ordnung
mit Brücken-T-Rückführung nach Boctor.
R7
R6
Grundlagen
Elliptische Grundglieder implementieren in der Tiefpass-Übertragungsfunktion neben den Polfrequenzen ωP und Polgüten QP auch endliche Nullstellenfrequenzen ωZ. Für die Nullstellengüte gilt
per Definition QZ→∝. Am Beispiel der zweiten Ordnung wird dies:
s
1+
G( s) =
+
s2
QZω Z ω Z
s
s2
1+
+ 2
QPω P ω Z
1+
QZ →∞
=
1+
s2
ωZ
s
QPω P
+
(1)
s2
ω Z2
Durch Einbringen endlicher Nullstellen wird eine grössere Flankensteilheit erreicht, jedoch auf Kosten
der maximalen Sperrdämpfung. Die Nullstellen/ Polstellen und Polgüten werden durch Rechnung oder
mit tabellierten Werten bestimmt. Diese Berechnungen werden nachfolgend als bekannt vorausgesetzt,
da sie nicht Schwerpunkt dieses Artikels sind. Eine Auswahl an ein- und weiterführender Literatur zur
Synthese der Pol-/Nullstellen ist [ZVE67], [ELL94] und [DAN74]. Direkt einsetzbare tabellierte Werte
sind beispielsweise in [HER84] aufgeführt.
Aktive Tiefpass-Schaltungen mit Implementierung endlicher Nullstellen sind in Analyse und Dimensionierung aufwändig. Dies wurde bereits in der Analyse des Tiefpasses nach Scultety [KRU02-1]
aufgezeigt. Durch Zufügen zweier Widerstände im Brücken-T-Glied erhöht sich die Anzahl der
wählbaren Parameter. Die Berechnung wird vereinfacht und ein unabhängiger Abgleich von ωP ,ωZ ,QP
und QZ wird möglich.
C1
R2
R3
u2
C8
R5
R6
Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen, 17.12.2002
Bild 2: Grundschaltung Tiefpass 2.
Ordnung nach Boctor.
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Übertragungsfunktion
Mit Hilfe eines Knoten-/Maschenansatzes wird die Übertragungsfunktion bestimmt. Ein Beispiel zum
Vorgehen ist in [KRU02-1] aufgeführt.
Die Übertragungsfunktion wird für den allgemeinen Fall mit gegebenen Elementwerten:
 R R C ( R R + R2 R5 + R3 R5 ) + R2 R5C1 ( R3 R7 − R4 R6 )  2 

R2 R3 R5C1C8
1+ s 6 7 8 2 3
+s 

R7 ( R2 R3 + R2 R5 + R2 R6 + R3 R5 + R5 R6 )
 R2 R3 + R2 R5 + R2 R6 + R3 R5 


G( s) = A0
(2)
 C ( R R + R2 R5 + R3 R )  2
1+ s 8 2 3
s
R
R
C
C
+

2 3 1 8
R5


A0 =
R7 ( R2 R3 + R2 R5 + R2 R6 + R3 R5 + R5 R6 )
(3)
R5 R6 ( R4 + R7 )
Wenn sichergestellt ist, dass die Schaltung ein präzise dimensioniertes elliptisches oder TschebyscheffTyp 2-Filter ist, kann das lineare Glied im Zähler wegen QZ→∝ ohne Fehler weggelassen werden.
Dimensionierungsgleichungen
Aus der Übertragungsfunktion werden mit Koeffizientenvergleich die Dimensionierungsgleichungen
hergeleitet. Ohne Rücksicht auf minimale Empfindlichkeiten ist es für die Praxis zweckmässig nach
Möglichkeit die Kondensatorwerte vorzugeben. Eine einfache formale Lösung entsteht, wenn man
R7,C1 und C8 und vorgibt. Die restlichen Grössen werden mit den Filterparameter ωP , ωZ , QP und A0≥1:
D = C12ω Z4 − 4C1C8 A02ω P2 (ω P2 + QP2 ω Z2 )
R2 =
R3 =
R4 =
R5 =
R6 =
A0 ≥ 1
(Hilfsgrösse)
(4)
C1ω Z2 − D
2C1C8 A0QP
2 A0QPω P
C1ω − D
2
Z
(5)
=
1
C1C8 R2ω P2
(6)
R7 (ω Z2 − A0ω P2 )
(7)
ω A0
2
P
C8
(
( A0ω − ω
2
P
2
Z
(
)(
(
)
QP C1ω Z2 − D A0ω P
)
C1ω − D + 2C8 A ω
2
Z
)
−QP C1ω Z2 − D A0ω P
(
2
0
)
2
P
(ω + ω Q − ω Q
2
2


C1ω Z2 − D ω Z C1ω Z − D
2

C8
−
+ A0ω P


2C8
2C8 A0ω P2


Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen, 17.12.2002
2
P
=
2
Z
2
P
2
P
2
P
))
=
−QP R2
R C1C8QPω P2 + QP + R2C1ω P
(8)
2
2
R7QP
C8ω P ( R2 R4C1ω P − R7 )
(9)
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Kondensatorwerte
Der Kondensatorwert C1 oder C8 wird durch Wahl vorgegeben. Der verbleibende Kondensator C8 oder
C1 kann jedoch nicht frei gewählt werden. Aus der formalen Lösung für R5 in (8) können die Restriktionen abgeleitet werden:
C8 <
C1 ω Z4 QP2 ( A0 − 1) + ω Z2 ω P2 QP2 ( A0 − A02 ) + ω P2 A0 (ω Z2 − A0ω P2 ) 
(
A Q (ω − ω
2
0
2
P
2
Z
2
P
) +ω )
2
P
2
(10)
( A0 ≥ 1)
oder:
C1 >
(
C8 A02 QP2 (ω Z2 − ω P2 ) + ω P2
)
2
(11)
ω Z4 QP2 ( A0 − 1) + ω Z2 ω P2 QP2 ( A0 − A02 ) + ω P2 A0 (ω Z2 − A0ω P2 ) 


Für C1 ,C8 wird der nächst passende Normwert gewählt und als Vorgabe zur Rechnung in (4)..(9)
benutzt. Bei steigender Polgüte und kleiner Verstärkung wird das Verhältnis C1/C8 sehr gross und für
die Praxis ungünstig. Dadurch wird der Einsatzbereich dieser Schaltung auf QP<≈5 eingeschränkt.
Für eine abgleichfreie Lösung sollten die Kondensatoren ausgemessen werden. Die gemessenen Werte
bilden nachher die Grundlage zur Rechnung in (4)..(9). Die Praxis zeigt, dass bei handelsüblichen
Kondensatoren mit grösseren Streuungen zu rechnen ist. Widerstände werden aus der E24-, oder
besser, E96-Reihe eingesetzt. Die Kondensatoren sollten nach Möglichkeit so gewählt werden, dass
schlussendlich alle Widerstände im Bereich 500Ω..500kΩ liegen.
Pol-Nullstellenfrequenzen, Pol-Nullstellengüten
Aus der Übertragungsfunktion (2), beschrieben mit den Elementwerten können durch Koeffizientenvergleich mit (1) direkt die Grössen ωP , ωZ , QP , QZ gefunden werden.
ωP =
QP =
ωZ =
QZ =
1
(12)
R2 R3C1C8
R5
ω PC8 (R2 R3 + R2 R5 + R3 R5 )
(13)
R2 R3 R5 R6C1C8 (R2 R3 + R2 R5 + R2 R6 + R3 R5 + R5 R6 )
(14)
R2 R3 R5 R6C1C8
R7 (R2 R3 + R2 R5 + R2 R6 + R3 R5 + R5 R6 )
ω Z ( R3 R6 R7C8 ( R2 + R5 ) + R3 R5 R7 ( R2C1 + R3C8 ) − R2 R4 R5 R6C1 )
(15)
Die Nullstellengüte QZ sollte im Idealfall nach Unendlich laufen. In der Praxis ist dieser Wert durchaus
eine endliche Grösse und sollte berücksichtigt werden, wenn der Dämpfungspol eine Rolle spielt.
Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen, 17.12.2002
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Abgleich
Das Boctor-Filter erlaubt einen unabhängigen Abgleich der Vorgabegrössen ωP,ωZ,QP und QZ→∝. Aus
den Empfindlichkeiten kann die Abgleichvorschrift abgeleitet werden. Es gilt die Abgleichvorschrift
nach [HER84].
R1 → ω P 
 Für Abgleich R4 kurzschliessen
R6 → QP 
R5 → ω Z
(16)
R3 → QZ
Zusammenfassung
Gezeigt wurde ein Formelsatz zur Dimensionierung und Analyse des Boctor-Tiefpasses 2. Ordnung
nach Bild 1. Diese Schaltung erlaubt eine einfache Implementierung einer Tiefpassfunktion mit
endlichen Nullstellen. Nachteilig ist die maximal erreichbare Polgüte QP<5 bei kleinen
Anfangsverstärkungen. In diesen Fällen wird auch das Kapaziätsverhältnis C1/C8 sehr gross. Weiter
werden recht hohe Anforderungen für das A0 und ωt des Operationsverstärkers gestellt. Für eine
Abschätzung gilt vereinfacht nach [HER84] ca . fP<0.1fT (fT: Transitfrequenz des OpAmps). Die
einfache und gut dimensionierbare Schaltung ist hingegen sicher als Vorteil zu werten.
Sind höhere Polgüten zu realisieren wählt man zweckmässigerweise eine bessere Schaltung, z.B. aus
der Gruppe der State-Variable-Filter.
Beispiele
Für direkten Vergleich werden von der Aufgabenstellung her dieselben Beispiele wie in [KRU02-1]
gezeigt.
Beispiel 1: TP-Übertragungsfunktion mit endlichen Nullstellen.
Zu realisieren ist eine Tiefpassübertragungsfunktion 2. Ordnung nach (1) mit einem elliptischen Glied
nach Bild 1 mit folgenden Vorgaben:
ω P = 6283 Hz
ω Z = 62830 Hz
QP = 5
R8 = 10kΩ
C2 = 1nF
A0 = 2
Die Lösung soll mit einer PSpice-Simulation überprüft werden. Hierbei ist ein LM741 OpAmp zu
verwenden.
Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen, 17.12.2002
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Lösung:
Die Berechnung erfolgt direkt mit den Formeln. Die numerische Rechnung für die Elementwerte
erfolgt hier mit MathCad.
ORIGIN:= 0
Vorgaben:
fC := 1kHz
R7 := 10kΩ
C1 := 120nF
QP := 5
ω P := 6.612kHz
C8 := 1nF
ω Z := 65.07kHz
A 0 := 2
Berechnungen:
C8⋅ A 0 ⋅ QP ⋅  ω Z − ω P
 
2
C1min :=
2
2
2
(
 + ω P2


2
)
 ω Z4⋅ QP2⋅ ( A 0 − 1) + ω Z2⋅ ω P2⋅ QP2⋅ A 0 − A 02 + ω P2⋅ A 0⋅  ω Z2 − A 0⋅ ω P2  



−9
C1min = 100.012× 10 F
D := C1 ⋅ ω Z − 4⋅ C1⋅ C8⋅ A 0 ⋅ ω P ⋅  ω P + QP ⋅ ω Z

2
4
2
2
2
2
2
R7⋅  ω Z − A 0⋅ ω P 


R4 :=
2
2
2


4
5
D = 2.492692× 10
s A
4
2
4
kg m
3
R4 = 474.246× 10 Ω
ω P ⋅A0
2
R2 :=
C1⋅ ω Z − D
3
R2 = 12.719× 10 Ω
3
2⋅ C1⋅ C8⋅ A 0⋅ QP⋅ ω P
R3,R5,R6 werden mit den vereinfachten Formel berechtet, da R2 und R4 bekannt sind:
R3 :=
R5 :=
R6 :=
1
3
R3 = 14.986× 10 Ω
2
C1⋅ C8⋅ R2⋅ ω P
−QP⋅ R2
3
2
2
QP + R2 ⋅ C1⋅ C8⋅ QP⋅ ω P − R2⋅ C1⋅ ω P
(
R7⋅ QP
)
C8⋅ ω P⋅ R2⋅ R4⋅ C1⋅ QP⋅ ω P − R7
R5 = 74.97 × 10 Ω
0
R6 = 316.139× 10 Ω
Man erkennt in der Simulation deutlich die Abweichungen in der Polgüte (Soll: +20dB) und
Nullstellenfrequenz. Dies ist durch den Operationsverstärker LM741 begründet. Durch Verwendung
eines besseren Operationsverstärkers, z.B. LF411 kann das Resultat wesentlich verbessert werden.
Bild 3: Amplitudengang und Schema der Lösung zu Beispiel 1.
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Beispiel 2: Inverser Tschebyscheff Tiefpass
Zu realisieren ist ein inverser Tschebyscheff-Tiefpass 3. Ordnung mit den Anforderungen A0=3dB,
fC=1kHz, AC=1dB, AH=40dB. Die wählbaren Komponenten sind mit R8=10kΩ und C2=4.7nF
einzusetzen.
Lösung
Das Filter wird als Kaskade eines linearen und quadratischen Gliedes realisiert. Die normierten
Pole/Nullstellen und Polgüte werden mit einer Tabelle, z.B. [HER84] S.262 oder [KRU02-2],
bestimmt:
n = 3:
Ω P 1 = 1.3904
(lin.Glied)
ΩZ 2 = 2.996
Ω P 2 = 1.26120
QP 2 = 1.10244
(Ellipt.TP 2.Ordnung )
Wir bestimmen zuerst mit einem möglichen für Wert C8 für das quadratische Glied aus der Vorgabe,
Nachher werden die restlichen Elementwerte berechnet.
Vorgaben:
fC := 1kHz
A 0dB := 3
R7 := 10kΩ
C8 := 4.7nF
Ω P1 := 1.3904
Ω P2 := 1.261
Ω Z2 := 2.996
QP2 := 1.10
Berechnungen ellipt. Glied :
ω P := 2π ⋅ Ω P2⋅ fC
3
ω P = 7.923 × 10 Hz
ω Z := 2π ⋅ Ω Z2⋅ fC
3
ω Z = 18.824× 10 Hz
0.05 ⋅A0dB
0
A 0 := 10
A 0 = 1.413 × 10
QP := QP2
C8⋅ A 0 ⋅ QP ⋅  ω Z − ω P
2
C1min :=

2

2
2
(
2
)
 ω Z4⋅ QP2⋅ ( A 0 − 1) + ω Z2⋅ ω P2⋅ QP2⋅ A 0 − A 02 + ω P2⋅ A 0⋅  ω Z2 − A 0⋅ ω P2  



−9
C1min = 23.043× 10 F
C1 := 33nF
D := C1 ⋅ ω Z − 4⋅ C1⋅ C8⋅ A 0 ⋅ ω P ⋅  ω P + QP ⋅ ω Z

4
2
2
2
R7⋅  ω Z − A 0⋅ ω P

2
R4 :=
 + ω P2


2
2


2
2


(Wahl)
4
4
s A
D = 98.427724
2 4
kg m
3
R4 = 29.963× 10 Ω
2
ω P ⋅A0
2
R2 :=
C1⋅ ω Z − D
3
R2 = 7.381 × 10 Ω
3
2⋅ C1⋅ C8⋅ A 0⋅ QP⋅ ω P
R3,R5,R6 werden mit den vereinfachten Formel berechtet, da R2 und R4 bekannt sind:
R3 :=
R5 :=
R6 :=
1
3
R3 = 13.914× 10 Ω
2
C1⋅ C8⋅ R2⋅ ω P
−QP⋅ R2
3
2
2
QP + R2 ⋅ C1⋅ C8⋅ QP⋅ ω P − R2⋅ C1⋅ ω P
(
R7⋅ QP
)
C8⋅ ω P⋅ R2⋅ R4⋅ C1⋅ QP⋅ ω P − R7
R5 = 33.425× 10 Ω
3
R6 = 5.508 × 10 Ω
Berechnung lineares Glied:
ω P := 2π ⋅ Ω P1⋅ fC
C := C8
R :=
1
ω P⋅ C
3
R = 24.355× 10 Ω
Das lineare Glied wird mit der Vorgabe C=C8 gemäss Formelsammlung [KRU01] bestimmt. Es wird
dem quadratischen Glied vorgeschaltet.
Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen, 17.12.2002
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Die Simulation bestätigt die Dimensionierung mit vernachlässigbar kleinen Abweichungen:
Bild 4: Detailschema und Simulation der
Lösung zum inversen TschebyscheffTiefpass 3. Ordnung nach Beispiel 2.
Literatur
[DAN74]
Approximation Methods for Electronic Filter Design, R. Daniels, Mc Graw Hill 1974,
ISBN0-07-01308-6
[ELL94]
Electronic Filter Analysis and Design, Michael G. Ellis Sr., Artech House 1994
ISBN 0-890006-616-7
[HER84]
Aktive RC-Filter, M. Herpy/ J. Berka, Franzis Verlag 1984, ISBN 3-7723-7011-X
[SCH01]
Design of Analog Filters, R. Schaumann/ M. E. van Valkenburg, Oxford University
Press 2001, ISBN 0-19-511877-4
[KRU01]
Formelsammlung aktive Filter, G. Krucker 1998-2001, Download von www.krucker.ch
[KRU02-1]
Aktives elliptisches Glied 2. Ordnung mit einem Operationsverstärker und
Brücken-T-Mitkopplung, G. Krucker 2002,
[KRU02-2]
Inverse Tschebyscheff Tiefpassfilter, G. Krucker 2002, Download von www.krucker.ch
[SCH01]
Design of Analog Filters, R. Schaumann/ M. E. van Valkenburg, Oxford University
Press 2001, ISBN 0-19-511877-4
[ZVE67]
Handbook of Filter Synthesis, A. Zverev, John Wiley & Sons 1967, ISBN 0-461-98680-1
Gerhard Krucker, CH-3113 Rubigen, 17.12.2002
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