Ausarbeitung - Universität Trier

Spektralanalyse
Seminar Netzwerkanalyse
Christoph Lange
Universität Trier Informatik
26. Juli 2005
Christoph Lange (Uni Trier)
Spektralanalyse
26. Juli 2005
1 / 79
Einleitung
Begrisbestimmung: Spektralanalyse
Begrisbestimmung: Spektralanalyse
G
= (V , E )
ungerichteter Graph
Untersuche die Eigenwerte (das Spektrum) der . . .
Adjazenzmatrix
n
A = (aij ) ∈ R , aij =
bei Multigraphen: Anzahl der Kanten i
Laplace-Matrix L
= D − A,
D
1
(vi , vj ) ∈ E
0
sonst
→j
statt 1
= diag(d (v1 ), . . . , d (vn ))
normierten Laplace-Matrix
L=D
− 12
LD
− 21
;
D
− 12
(
=
(dij0 ), dij0
=
0
√1
d (v )
d (vi )
=0
sonst
i
Diese Matrizen sind für ungerichtete Graphen alle symmetrisch (M
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Spektralanalyse
= M >)
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Einleitung
Fragestellungen
Fragestellungen
Was sagt das Spektrum über die Existenz bestimmter Arten von
Teilgraphen aus?
Stehen bestimmte Eigenwerte in Beziehung mit globalen Eigenschaften
wie Durchmesser, isoperimetrischer Zahl oder chromatischer Zahl?
Können wir mithilfe der Spektren Graphen klassizieren?
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Spektralanalyse
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Eigenwerte und Eigenvektoren
Grundlagen Lineare Algebra
Eigenwerte und Eigenvektoren
Zunächst eine kurze Wiederholung aus der linearen Algebra:
Denition
= (mij ) ∈ Cn×n eine Matrix. x ∈ Cn ,
zum Eigenwert λ ∈ C, wenn gilt:
Sei M
M
Mx
Lösung existiert
⇔
rang(M
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x
6= 0
heiÿt Eigenvektor von
= λx
− λIn ) < n ⇔
Spektralanalyse
det(M
− λ In ) = 0
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Grundlagen Lineare Algebra
Charakteristisches Polynom, Spektrum
Charakteristisches Polynom, Spektrum
Eigenwerte von M sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
pM (λ)
:= det(M − λIn )
pM von Q
−1 M Q (Q regulär) ist das Gleiche
⇒Q −1 M Q
hat die
gleichen Eigenwerte
Spektrum
σ(M ):
Multimenge der Eigenwerte von M ; jeder Eigenwert
in der Vielfachheit seiner Nullstelle von pM
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Grundlagen Lineare Algebra
Spektralsatz
Spektralsatz
Theorem (Spektralsatz)
Falls M
∈ Rn × n
symmetrisch ist (M
M hat reelle Eigenwerte
die eine Basis des
Rn
= M > ),
λ1 , . . . , λ n
gilt:
und n orthonormale Eigenvektoren,
bilden.
λi := Ordnung von λi als Nullstelle des
charakteristischen Polynoms = maximale Anzahl linear unabhängiger
Eigenvektoren zu λi


λ1
0

..
−1 = Q > , mit Q > M Q = 
Es gibt Q , Q


.
0
λn
Qn
Pn
det(M ) =
i =1 λi ; spur(M ) = i =1 λi
Vielfachheit des Eigenwerts
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Spektrum eines Graphen
Spektrum der Adjazenzmatrix
Spektrum der Adjazenzmatrix
Wir betrachten hier fast immer einfache, ungerichtete Graphen
⇒
A ist symmetrisch und enthält nur 0- und 1-Einträge.
Beispiel
7654
0123
v1
 ???

0123
7654
7654
0123
v2
v3
??
?? 
?
???

?

0123
7654
7654
0123
v4
v5



A = 


A hängt von der Nummerierung der Knoten ab,
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
σ(A)






jedoch nicht:
Vertauschen von vi und vj entspricht Tausch zweier Zeilen und Spalten in
A; ändert weder det(A) noch pA (λ)
= det(A − λIn ).
λ1 ≤ · · · ≤ λn
O.B.d.A. seien die Eigenwerte von A geordnet:
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Spektrum eines Graphen
Spektrum der Adjazenzmatrix
Eigenvektoren als Gewichtsfunktionen
Kombinatorische Interpretation von Eigenvektoren:
Fasse Vektor
ω ∈ Cn
Betrachte i -te Zeile von
Damit folgt aus Ax
λ
ω : V → C.
Pn
P
Aω :
j =1 aij ωj = j ∈N (i ) ω(j )
auf als Gewichtsfunktion
= λx :
ist ein Eigenwert genau dann, wenn ein
so dass für alle i
∈V
ω:
V
→C
existiert (ω
6≡ 0),
gilt:
λω(i ) =
X
ω(j )
j ∈N (i )
Da A symmetrisch ist, können wir uns auf reelle
ω
beschränken.
Auÿerdem sei das maximale Gewicht nicht negativ (sonst betrachte
−ω
statt
ω ).
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Spektrum eines Graphen
Spektrum der Adjazenzmatrix
Beispiele
Bei geeigneter Wahl der Gewichtsfunktion (= Eigenvektor)
Gleichung
λω(i ) =
P
j ∈N (i ) ω(j ) ∀i ∈ V
Hinsehen verizieren.
GFED
@ABC
@ABC
GFED
1 ?
1
??


??

??

??



@ABC
GFED
2 ?
??

??


??

??


@ABC
GFED
@ABC
GFED
1
1
@ABC
GFED
0
555
55
55
55
55
55
v3
v1
@ABC
GFED
@ABC
GFED
−
1
1
v2
−1
ist ein Eigenwert.
(2 auch, mit
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ω kann man die
λ leicht durch
für einen Eigenwert
2 ist ein Eigenwert.
ω ≡ 1)
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Spektrum eines Graphen
Spektrum der Adjazenzmatrix
Eigenschaften des Spektrums
Lemma
Sei G
Sei
∆
= (V , E )
ein Graph mit n Knoten und Eigenwerten
λ 1 ≤ · · · ≤ λn .
der maximale Knotengrad von G . Dann gilt:
λn ≤ ∆
(Gleichheit genau dann, wenn G eine
∆-reguläre
Komponente
hat)
λ1 ≥ −λn
(Gleichheit genau dann, wenn G eine bipartite Komponente
λn ist)
˙
Ist G = G1 ∪G2 die Vereinigung zweier
σ(G ) = σ(G1 ) ∪ σ(G2 )
hat, deren gröÿter Eigenwert
disjunkter Graphen, so gilt
λ ∈ σ(G ) ⇔ −λ ∈ σ(G ). ( ⇐ gilt auch; später)
2π k
Zyklus, so gilt σ(G ) = 2 cos
n | k = 1, . . . , n .
Ist G bipartit, so gilt
Ist G ein einfacher
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Spektrum eines Graphen
Spektrum der Adjazenzmatrix
Spektrum vollständiger Graphen
Lemma
Seien n1 , n2 , n
Für G
∈ N.
= Kn1 ,n2
(vollständiger bipartiter Graph aus n1
+ n2
Knoten)
gilt:
√
λ1 = − n1 n2 , λ2 = · · · = λn−1 = 0
Für G
= Kn
und
λn =
√
n1 n2
(vollständiger Graph aus n Knoten) gilt:
λ1 = · · · = λn−1 = −1, λn = n − 1
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Spektrum eines Graphen
Spektrum der Adjazenzmatrix
Pfade und Schleifen
Lemma
Sei G ein (Multi-)graph, möglicherweise mit Schleifen. Der Eintrag
k
k
A
von A
enthält die Anzahl der Pfade i
von
sind
λki .
→j
(i , j )
der Länge k . Die Eigenwerte
Korollar
1
2
3
Pn
λi ist die Anzahl der Schleifen in G
Pin=1 2
λ (= spur(A2 )) = 2 · |E |
Pin=1 i3
3
i =1 λi (= spur(A )) = 6 · #{Dreiecke in
G}
Lemma
G ist bipartit genau dann, wenn die Eigenwerte von G in Paaren
auftreten mit
λ, λ0
λ = −λ0 .
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Spektrum eines Graphen
Spektrum der Adjazenzmatrix
Pfade und Schleifen
Beispiel
•??
•
??

??

?? 
?
???

??

??

?

•
•
pA (λ)
σ(A) = (−1, −1, −1, 3)
Wege der Länge 3:
#möglicher Startknoten im Dreieck
#Richtungen
3
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= (λ − 3)(λ + 1)3
·
3 +(−1)3 +(−1)3 +(−1)3
Spektralanalyse
·
#Dreiecke
= 27−3 = 24
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13 / 79
Spektrum eines Graphen
Spektrum der Adjazenzmatrix
Möglichkeiten und Grenzen
Das Spektrum der Adjazenzmatrix erlaubt Aussagen über bestimmte
strukturelle Eigenschaften: Anzahl der Kanten bzw. Dreiecke, bipartit
oder nicht?
. . . aber nicht über alle strukturellen Aspekte:
•??
?? •
??
•
 ???

?

•
•
•
•
isomorphen Graphen haben die gleichen
Eigenwerte (−2, 0, 0, 0 und 2), d. h., die
•
•
Die Adjazenzmatrizen dieser beiden nicht
•
Graphen sind kospektral.
Wir erhalten nicht einmal eine Aussage darüber, ob der Graph
zusammenhängend ist
⇒
/
untersuche Laplace-Matrix
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Spektrum der Laplace-Matrix
Spektrum eines Graphen
Spektrum der Laplace-Matrix
Denition
Sei G ein Graph mit Adjazenzmatrix A. Dann ist seine Laplace-Matrix
L
= (lij )
deniert als L
= D − A,
D
= diag(d (v1 ), . . . , d (vn )).
Für einfache, ungerichtete Graphen gilt:

 −1 {i , j } ∈ E
d (i ) i = j
lij =

0
Da A reell und symmetrisch ist, ist L
⇒ Das Laplace-Spektrum
λ1 (L) ≤ · · · ≤ λn (L).
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sonst
=D −A
es auch
besteht aus n reellen Eigenwerten
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15 / 79
Spektrum eines Graphen
Spektrum der Laplace-Matrix
Alternative Denition
Legt man eine beliebige Orientierung
Inzidenzmatrix B
= (bie )
bie
=

 −1
∈ Cn
gilt x
> Lx
(G , σ)
mit
i ist Ursprung von e
1
i ist Ziel von e
0
sonst
so gilt unabhängig von der Wahl von
Für jedes x
der Kanten fest und betrachtet die
des gerichteten Graphen

Lemma
σ
σ:
L
= B B >.
= x > BB > x =
Daraus folgt:
{i ,j }∈E (xi
P
− xj )2 .
(Dieses Ergebnis wird in späteren Beweisen verwendet.)
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16 / 79
Spektrum eines Graphen
Spektrum der Laplace-Matrix
Eigenvektoren als Gewichtsfunktionen
Mit der kombinatorischen Interpretation von Eigenvektoren als
λ ist ein Eigenwert von L = D − A genau
→ C existiert (ω 6≡ 0), so dass für alle i ∈ V gilt:
X
X
λω(i ) = d ω(i ) +
−ω(j ) =
(ω(i ) − ω(j ))
j ∈ N (i )
j ∈ N (i )
Gewichtsfunktionen gilt:
dann, wenn ein
ω:
V
∈ V mit maximalem Gewicht:
P
(ω(
i
)
−
ω(
j
))
≥
0,
d. h., alle Eigenwerte sind nicht
j ∈ N (i )
Betrachte diese Gleichung für das i
λω(i ) =
negativ.
Für
ω≡1
ergibt sich
λ = λω(i ) = 0,
d. h., der Vektor
1n
ist
Eigenvektor von K zum Eigenwert 0.
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17 / 79
Spektrum eines Graphen
Spektrum der Laplace-Matrix
Zusammenhangskomponenten und Spannbäume
Lemma
Ein Graph G hat k Zusammenhangskomponenten genau dann, wenn
λ1 (L) = · · · = λk (L) = 0
und
λk +1 (L) > 0.
Theorem (Matrix-Baum-Theorem)
Für jedes i
| det(Li )|,
∈ { 1, . . . , n }
ist die Anzahl der Spannbäume in G gleich
wobei Li aus L durch Löschen der i -ten Zeile und der i -ten
Spalte entsteht.
Die Anzahl der Spannbäume ist gleich
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Spektralanalyse
1
n
Q
i >2 λi (L).
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18 / 79
Spektrum eines Graphen
Spektrum der Laplace-Matrix
Vor- und Nachteile
Das Spektrum der Laplace-Matrix liefert die Anzahl der
Zusammenhangskomponenten, . . .
. . . erlaubt aber keine Aussage über bipartite Strukturen:
•/JJ
ttt // JJJJ
t
t
tJtJ • /• tJ•
•J
JJJ ttt
J•ttt
⇒
•OOO
O
o
o
•
o
o
• o•
O
oOoO
•o
O•
Diese Graphen sind kospektral
bezüglich L (Eigenwerte
0, 3
−
√
5, 2, 3, 3, 3
+
√
5). Der
rechte ist bipartit, der linke nicht.
untersuche normierte Laplace-Matrix
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19 / 79
Spektrum eines Graphen
Spektrum der normierten Laplace-Matrix
Spektrum der normierten Laplace-Matrix
Denition
Sei G ein Graph mit Laplace-Matrix L. Dann ist seine normierte
Laplace-Matrix
L = l̄ij
1
Diagonalelement von D
− 12
ist
1
L = D − 2 L D − 2 ; das i .
d (i ) für d (i ) > 0, sonst 0.
deniert als
p
Für einfache, ungerichtete Graphen gilt:
l̄ij
=



1


0
−√
1
d (i ) d (j )
i = j und d (i ) > 0
{i , j } ∈ E
sonst
λ ist ein Eigenwert von L genau dann, wenn eine Gewichtsfunktion
ω : V → C existiert (ω 6≡ 0), so dass für alle i ∈ V gilt:
!
X
1
ω(i )
ω(j )
p
−p
λω(i ) = p
(d (i ) j ∈N (i )
d (i )
d (j )
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20 / 79
Spektrum eines Graphen
Spektrum der normierten Laplace-Matrix
Eigenschaften des Spektrums
σ(A)
sagt nichts aus über Zusammenhangskomponenten.
σ(L)
sagt nichts aus über bipartite Strukturen.
. . . und
σ(L)?
Lemma
Sei G ein Graph mit normierter Laplace-Matrix
L.
Dann gilt:
1
λ1 (L) = 0, λn (L) ≤ 2.
2
G ist bipartit genau dann, wenn für jeden Eigenwert
2
3
− λ(L)
Sind
Eigenwert von
L
λ(L)
auch
ist.
λ1 (L) = · · · = λk (L) = 0
und
λk +1 (L) > 0,
so hat G genau k
Zusammenhangskomponenten.
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21 / 79
Spektrum eines Graphen
Verhältnis der Spektren zueinander
Verhältnis der Spektren eines regulären Graphen
Wir versuchen nun, die Spektren der drei Matrizen A, L und
L
zueinander in Beziehung zu setzen.
Ist G ein d -regulärer Graph (Jeder Knoten hat genau d Nachbarn), so
gilt L
Ist d
= d In − A
> 0 und
und
1
L = I − D− 2
AD
− 12
.
σ(A) = (λ1 , . . . , λn )
so gilt:
σ(L) = (d − λn , . . . , d − λ1 ) und
λn
λ1
σ(L) =
1−
,...,1 −
d
d
Im Allgemeinen können wir aus einem Spektrum die anderen nicht
direkt berechnen, wohl aber Schranken angeben.
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22 / 79
Spektrum eines Graphen
Verhältnis der Spektren zueinander
Verhältnis der Spektren von Adjazenz- und Laplace-Matrix
Lemma
Sei G ein Graph mit Adjazenzmatrix A und Laplace-Matrix L. Seien
δ
∆
und
der gröÿte bzw. kleinste Knotengrad von G , dann gilt folgende Beziehung
zwischen dem k .-kleinsten Eigenwert von A und dem k .-gröÿten Eigenwert
von L:
δ − λk (A) ≤ λn+1−k (L) ≤ ∆ − λk (A)
Theorem
Aus dem Satz von Courant-Fischer folgt eine alternative
Charakterisierung zweier wichtiger Eigenwerte:
λn (A) =
max
x ∈R
x 6=0
n
x
> Ax
λ2 (L) =
x >x
n
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Spektralanalyse
min
x ⊥1
n
x
> Lx
x >x
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23 / 79
Spektrum eines Graphen
Verhältnis der Spektren zueinander
Grenzen der Spektralanalyse
Das Spektrum der normierten Laplace-Matrix gibt Aufschluss über bipartite
Struktur und Zusammenhang eines Graphen. Es gibt jedoch
nicht-isomorphe Graphen, die in Bezug auf alle untersuchten Matrizen A, L
und
L
kospektral sind:
•/?/?
?
?? • ??? •
?/
?
•
•/
//
•??
•??//

 ???  ??/?/


•
•
•
•
•
•
√
√
√
√
σ(A) = − 217 − 12 , − 5, −1 (4×), 1, 217 − 12 , 5, 4
√
√ √
√
σ(L) = 0, 4 − 5, 9−2 17 , 3, 5 (4×), 5 + 4, 9+ 2 17
√
√
√
√ σ(L) = 0, 16 − 4 5, 18 − 2 17, 12, 20 (4×), 16 + 4 5, 18 + 2 17
•??
•
//??  ?? 
?
?


// •
•// //
//T?
• ?T?TjTjTjTjTj• ///
jj?  T
jjjj ? TTT/
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•??
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24 / 79
Spektrum eines Graphen
Beispiele
Spektren wichtiger Graphklassen
σ(A)
Graphklasse
einfacher Pfad
2 cos
einfacher Kreis
2 cos
Pn
Cn
Stern
K1,n
vollst. bip. Gr.
Kn1 ,n2
vollst. Graph
Kn
σ(L)
2 − 2 cos π(kn−1)
πk
n +1
2π k
n
2 − 2 cos
√ √
− n, n,
0 ((n-2)×)
√
√
− n1 n2 , n1 n2 ,
0 ((n-2)×)
1, −1 ((n-1)×)
2π k
n
0, n,
1 ((n-2)×)
0, n1 ((n2 -1)×),
n2 ((n1 -1)×), n
0, n ((n-1)×)
σ(L)
1 − cos π(nk−−11)
1 − cos
2π k
n
0, 2,
1 ((n-2)×)
0, 2,
1 ((n-2)×)
n ((n-1)×)
0, n−
1
(k läuft jeweils von 1 bis n.)
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Spektralanalyse
26. Juli 2005
25 / 79
Spektrum eines Graphen
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Mithilfe der Spektren von A, L und
L
eines Graphen G können wir nun
Aussagen gewinnen über:
bipartite Strukturen in G
Anzahl der Pfade (Schleifen, Kanten, Dreiecke, . . . ) einer bestimmten
Länge in G
die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von G
die Anzahl der Spannbäume in G
. . . jedoch bestimmt das Spektrum einen Graphen nicht vollständig (bis auf
Isomorphie), so daÿ wir zwei Graphen nicht allein durch Vergleich der
Spektren auf Isomorphie testen können
/
Weiter können wir:
das Spektrum einer dieser Matrizen durch das der anderen abschätzen
die Spektren wichtiger Klassen von Graphen durch einfache Formeln
angeben.
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Spektralanalyse
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26 / 79
Numerische Methoden zur Eigenwertbestimmung
Alle Eigenwerte einer kleinen, dichten Matrix
Wir brauchen Verfahren, die die Eigenwerte einer Matrix ezient
bestimmen. (Eigenvektoren interessieren uns zunächst nicht.)
Die Auswertung des charakteristischen Polynoms braucht Zeit
Einschränkung: Wir haben reelle, symmetrische Matrizen
,
Es gibt einen iterativen Algorithmus, der eine Matrix in Zeit
O(n!).
O(n3 )
gegen eine untere Dreiecksmatrix konvergieren lässt.
Verfahren: Wiederholte QL-Zerlegungen und
Ähnlichkeitstransformationen
Ergebnis: Die Einträge über der Diagonalen sind kleiner als ε.
Dann können wir die (approximierten) Eigenwerte von der Diagonalen
ablesen.
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Spektralanalyse
26. Juli 2005
27 / 79
Numerische Methoden zur Eigenwertbestimmung
Wenige Eigenwerte einer groÿen, dünn besetzten Matrix
Für groÿe Matrizen brauchen wir noch ezientere Verfahren. Solche
Matrizen sind meist dünn besetzt, und wir brauchen oft nur wenige
Eigenwerte (vereinfacht: nur den gröÿten).
Der Lanczos-Algorithmus ist zeit- und speicherezient und
approximiert die i gröÿten Eigenwerte einer Matrix M .
(M − µIn )−1 ,
Nähe von µ.
Ersetzen wir M durch
Eigenwerte in der
so liefert der Algorithmus
Satz
Ist
λ
Eigenwert von M , so ist
klein, aber
1
λ−µ Eigenwert von (M
6= 0)
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Spektralanalyse
− µIn )−1 (|λ − µ|
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28 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Teilgraphen und Operationen auf Graphen Fragestellungen
Was sagt das Spektrum eines Graphen über in ihm enthaltene Teilgraphen
aus?
Gehören Eigenwerte von Teilgraphen auch zum Spektrum des ganzen
Graphen?
Können wir vom Spektrum darauf schlieÿen, dass ein Graph einen
bestimmten [induzierten] Teilgraphen nicht enthält?
Wie zeigen sich die Spektren zweier Graphen in deren Summe oder
kartesischem Produkt?
Wir betrachten diese Fragen für das Spektrum der Adjazenzmatrix; viele
Aussagen gelten jedoch auch für das Spektrum der Laplace-Matrix.
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Spektralanalyse
26. Juli 2005
29 / 79
Der Schachtelungssatz
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Der Schachtelungssatz
Nicht jeder Teilgraph trägt mit seinen Eigenwerten zum Spektrum des
ganzen Graphen bei.
Beispiel
σ(K2 ) = (−1, 1).
Jeder Graph G
= (V , E )
mit E
6= ∅
enthält K2 als
induzierten Teilgraphen, aber nicht jeder solche Graph hat einen Eigenwert
−1
oder 1.
Es gilt allerdings folgende Schachtelungseigenschaft:
Satz (Schachtelungssatz)
Sei G ein Graph mit n Knoten und H ein induzierter Teilgraph mit n
λ1 ≤ · · · ≤ λ n
µ1 ≤ · · · ≤ µn−1 von H :
Knoten. Dann gilt für die Eigenwerte
von G und die Eigenwerte
λi ≤ µi ≤ λi +1
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−1
(der Adjazenzmatrix)
∀i ∈ {1, . . . , n − 1}
Spektralanalyse
26. Juli 2005
30 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Der Schachtelungssatz
Der Schachtelungssatz
Intuitiv formuliert: Erhält man den Graphen H durch Entfernen eines
Knotens aus G , so liegt zwischen je zwei Eigenwerten von G genau ein
Eigenwert von H .
Folgerung: Hat G einen k -fachen Eigenwert, so hat H denselben
Eigenwert k
− 1-fach.
Allgemeinere Formulierung (folgt durch Induktion): Für einen
µ1 , . . . , µm )
λ1 , . . . , λn ) gilt:
induzierten Teilgraphen H mit m Knoten (Eigenwerte
eines Graphen G mit n Knoten (Eigenwerte
λi ≤ µi ≤ λi +(n−m)
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Spektralanalyse
∀i ∈ {1, . . . , m}
26. Juli 2005
31 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Der Schachtelungssatz
Vorkommen bestimmter induzierter Teilgraphen
Aus dem Schachtelungssatz folgt:
Korollar
Seien G und H zwei Graphen mit Eigenwerten
µ1 ≤ · · · ≤ µm .
Ist
µ1 < λ1
oder
λn < µm ,
λ1 ≤ · · · ≤ λ n
bzw.
so ist H kein induzierter
Teilgraph von G .
Beispiel
Seien alle Eigenwerte von G kleiner als 2.
Die Kreise Cj , j
∈ N,
haben alle 2 als gröÿten Eigenwert. Also enthält
G keinen Kreis.
G hat auÿerdem keinen Knoten mit einem gröÿeren Grad als 3. Sonst
hätte G den Stern K1,j , j
≥√4,
hat den gröÿten Eigenwert
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j
als induzierten Teilgraphen, aber dieser
(≥ 2).
Spektralanalyse
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32 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Pfropfen
Pfropfen ein anderer Blick auf Teilgraphen
Wie erweitert man
σ(G )
um Eigenwerte von H (triviale Lösung: Füge
H als separate Zusammenhangskomponente hinzu) . . .
. . . und erhält den Zusammenhang?
(Motivation: Wir wollen G um gewisse Eigenschaften erweitern, die
uns die aus H stammenden Eigenwerte garantieren.)
Sei
λ
ein Eigenwert von H , den wir zum Spektrum von G hinzufügen
möchten. Betrachte zunächst den Spezialfall, dass der Eigenvektor x
zu
λ
einen Eintrag xi0
=0
hat.
0
Vereinige G und H zu G ; identiziere dabei i0
∈H
mit einem j0
∈ G.
Denition
H wird über i0 und j0 auf G gepfropft, indem man G
0 wie folgt bildet:
VG 0
:=
VG
∪ (VH \ {i0 })
EG 0
:=
EG
∪ EH −i0 ∪ {{j0 , i } | i ∈ VH , {i0 , i } ∈ EH }
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33 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Pfropfen
Pfropfen
Der durch Pfropfen entstandene Graph G
0 hat einen Eigenwert
λ;
die
Komponenten des zugehörigen Eigenvektors sind 0 für alle Knoten von G
und entsprechen denen des Eigenvektors x von H für alle Knoten von
H
− i0 .
Beweis.
Kombinatorische Interpretation des
Eigenvektors als Gewichtsfunktion:
λω(i ) =
P
j ∈N (i ) ω(j ).
Beispiel
Wir fügen zum Stern G
(σ
= {−2, 0, 0, 0, 2})
den Eigenwert
−1
@ABC
GFED
GFED
@ABC
0
0 ?
??


??


@ABC
GFED
0 ?
??

??


j0
@ABC
GFED
89:;
?>=<
@ABC
GFED
0
0
1
11
11
1
@ABC
GFED
@ABC
GFED
−1
1
H
des Dreiecks H hinzu:
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34 / 79
Pfropfen
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Symmetrisches Pfropfen
Was tun, wenn der Eigenvektor x zu
Wähle ein i0
λ
keinen Null-Eintrag hat?
∈ VH
Erzeuge zwei Kopien H
+ und H − von H .
Füge einen Knoten i1 hinzu und verbinde ihn über zwei neue Kanten
{i0+ , i1 }
und
{i1 , i0− }
mit H
+ bzw. H − .
e hat den Eigenwert
Der so gewonnene Graph H
λ
und einen dazugehörigen
Eigenvektor e
x mit einem Null-Eintrag:
e
⇒H
e
xi +
e
xi −
:=
e
xi1
:=
xi
:= −xi
(x EV
⇔ −x
EV)
0
kann über i1 aufgepfropft werden.
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35 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Pfropfen
Symmetrisches Pfropfen
Beispiel
√
Der einfache Pfad über 3 Knoten P3 hat den Eigenwert
1
Eigenvektor ( √
2
, 1, √1
2
2 zum
)> . Wähle den mittleren Knoten als i0 .
i1
HIJK
ONML
@ABC
GFED
0 J
JJJ
t
t
t
JJ
t
t
t
−
+
i0 HIJK
ONML
HIJK
ONML
−1 i0
1
2
2
2
2
HIJK
ONML
HIJK
ONML
HIJK
ONML
HIJK
√1
√1
− √1 ONML
− √1
2
2
2
2
Dieser Graph kann über i1 auf einen anderen aufgepropft werden.
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36 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Operationen auf Graphen
Summe und Produkt
Denition
Seien G1
= (V1 , E1 )
und G2
= (V2 , E2 )
zwei Graphen.
Die Summe G1 + G2 ist ein Graph auf V1 × V2 , in dem zwei Knoten
(i1 , i2 ), (j1 , j2 ) ∈ V1 × V2 verbunden sind, wenn entweder {i1 , j1 } ∈ E1
und i2 = j2 , oder {i2 , j2 } ∈ E2 und i1 = j1 .
× G2 ist ein Graph auf V1 × V2 ,
(i1 , i2 ), (j1 , j2 ) ∈ V1 × V2 verbunden sind, wenn
und {i2 , j2 } ∈ E2 .
Das kartesische Produkt G1
zwei Knoten
{i1 , j1 } ∈ E1
in dem
Beispiel
Summe und Produkt
•
•
•
•
des einfachen Pfades
•
•
•
•
über vier Knoten mit
•
•
•
•
sich selbst:
•
•
•
•
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Spektralanalyse
•??? •??? •??? •
  
?? ?? ??
? ? ?
?? ?•?? ?•?? ?•
•
?? ?? ??
 ? ? ?
? •?? •?? •
•?
? ? ?
•
•
•
•
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Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Operationen auf Graphen
Eigenwerte von Summe und Produkt
Lemma (Spektrum von Summe und Produkt)
1
σ(G + H ) = σ(G ) + σ(H )
2
σ(G × H ) = σ(G ) · σ(H )
( jeder mit jedem)
Diese Aussage lässt sich auf die nicht-vollständige erweiterte p-Summe
verallgemeinern:
Denition (nicht-vollständige erweiterte p -Summe)
p
Sei p ∈ N≥2 und B ⊆ {0, 1} \ 0p . Die nicht-vollständige erweiterte
= (V1 , E1 ), . . . , Gp = (Vp , Ep ) zur Basis B
p
der Graph NEpS (Gk )
k =1 auf V1 × · · · Vp , in dem zwei Knoten
(i1 , . . . , ip ), (j1 , . . . , jp ) genau dann verbunden sind, wenn ein β ∈ B
existiert mit ik = jk für βk = 0 und {ik , jk } ∈ Ek für βk = 1.
p-Summe der Graphen G1
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ist
38 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Operationen auf Graphen
Nicht-vollständige erweiterte p -Summe
Beispiel
Für zwei Graphen (p
= 2)
ist. . .
ihre Summe eine NEpS zur Basis
B = {(1, 0), (0, 1)}
ihr Produkt eine NEpS zur Basis
B = {(1, 1)}.
und
Theorem
∈ N≥2 . Für jedes k ∈ {1, . . . , p } sei Gk ein Graph mit nk Knoten
Eigenwerten λk 1 , . . . , λkn . Dann gilt:


X

β σ(NEpS (Gk )pk =1 ) =
λβ1i11 · . . . · λpi (i1 , . . . , ik ) ∈ I


Sei p
und
k
p
p
β∈B
wobei I
:= {1, . . . , n1 } × · · · × {1, . . . , nk }.
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39 / 79
Teilgraphen und Operationen auf Graphen
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Durch Untersuchung der Spektren können wir zeigen, dass ein Graph
bestimmte Teilgraphen nicht enthält (→ Schachtelungssatz).
Wir können das Spektrum eines Graphen G durch Aufpropfen eines
neuen Teilgraphen gezielt um bestimmte Eigenwerte erweitern und
damit G neue Eigenschaften geben, die sich aus diesen Eigenwerten
ableiten.
Die Eigenwerte der Summe, des Produkts oder ähnlicher
Verknüpfungen von Graphen leiten sich direkt aus den Eigenwerten der
Einzelgraphen ab.
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Spektralanalyse
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40 / 79
Schranken für globale Statistiken
Schranken für globale Statistiken
Eine globale Statistik, auch Graphparameter genannt, ordnet jedem
Graph (aus einer bestimmten Klasse von Graphen) einen einzelnen
Wert zu.
Manche Eigenwerte, vor allem die extremen, geben Schranken für
globale Statistiken, deren Bestimmung teilweise
N P -hart
ist:
Durchschnittlicher Grad
Durchmesser und mittlere Distanz
Zusammenhang
Isoperimetrische Zahl
Knotenausdehnung
Routing-Zahl
Chromatische Zahl
Unabhängigkeitszahl
Bisection Width
Zusammenfassung
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41 / 79
Schranken für globale Statistiken
Durchschnittlicher Grad
Durchschnittlicher Grad
Denition
Der durchschnittliche Grad d̄ eines Graphen ist deniert als
d̄
:= n1
P
i ∈V d (i )
Lemma
Sei G ein Graph mit durchschnittlichem Grad d̄ und gröÿtem Eigenwert
λn (A).
Dann gilt: d̄
≤ λn .
Beweis.
Sei x
:= 1n .
Dann gilt gemäÿ Courant-Fischer:
λn ≥
x
> Ax
x >x
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=
x
> (d (1), . . . , d (n))>
n
·1
Spektralanalyse
P
d (i )
= i ∈V
= d̄
n
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42 / 79
Schranken für globale Statistiken
Durchmesser und mittlere Distanz
Durchmesser und mittlere Distanz
Der Durchmesser (die gröÿte Distanz zwischen zwei Knoten) und die
mittlere Distanz eines Graphen sind durch Eigenwerte der Laplace-Matrix
beschränkt.
Theorem
Für den Durchmesser eines zusammenhängenden Graphen G gilt:
4
n λ2 (L)



≤ diam(G ) ≤ 2 



cosh
(n − 1)
 + 1
−1 λ (L)+λ2 (L)
cosh
λ (L)−λ2 (L)
−1
n
n
Für die mittlere Distanz
ρ̄
−2
1
n
−1
2
λ2 (L)
+
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n
2
gilt:
≤ ρ̄(G ) ≤
n
n
Spektralanalyse
−1
∆ + λ2 (L)
ln(n − 1)
4λ2 (L)
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43 / 79
Schranken für globale Statistiken
Zusammenhang
Zusammenhang
Wir wissen bereits, dass
λ2 (L)
genau dann
6= 0
ist, wenn der Graph
zusammenhängend ist.
Da es noch mehr Beziehungen zwischen
λ2 (L)
und den
Zusammenhangseigenschaften des Graphen gibt, wird
λ2 (L)
auch
algebraischer Zusammenhang genannt.
Theorem
Sei G ein Graph und
ω = πn .
Seien
κ(G )
und
η(G )
die kleinste Zahl von
Knoten bzw. Kanten, die entfernt werden müssen, damit G
unzusammenhängend wird. Dann gilt:
1
λ2 (L) ≤ κ(G ) ≤ η(G ),
2
λ2 (L) ≥ 2η(G )(1 − cos ω)
3
λ2 (L) ≥ 2(cos ω − cos 2ω)η(G ) − 2 cos ω(1 − cos ω)∆(G ).
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und
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44 / 79
Schranken für globale Statistiken
Isoperimetrische Zahl
Isoperimetrische Zahl
Denition
Die isoperimetrische Zahl eines Graphen ist deniert als
i (G )
:= min
|E (X , Y )| 6 X $ V,
∅ =
min{|X |, |Y |}
Y
=V \X
,
wobei E (X , Y ) die Anzahl der Kanten ist, die X mit Y verbinden.
i (G ) ist die Gröÿe des kleinstmöglichen Kantenschnitts, der eine
möglichst groÿe Knotenmenge X vom verbleibenden Teil Y separiert
(O.B.d.A. sei |X |
≤ |Y |).
i (G ) ist also ein Maÿ dafür, wie viele Kanten wir entfernen müssen,
um einen Groÿteil der Knoten zu isolieren.
Damit hat i (G ) sowohl mit dem Zusammenhang des Netzes zu tun als
auch mit dem Min-Bisection-Problem, das wichtige Anwendungen im
VLSI-Design hat.
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45 / 79
Schranken für globale Statistiken
Isoperimetrische Zahl
Untere Schranken für die isoperimetrische Zahl
Mit X
= {v },
wobei d (v )
= δ(G )
i (G )
≤
ist, gilt oensichtlich:
d (v )
|{v }|
= δ(G )
Wenn G nicht zusammenhängend ist, ist i (G )
Weiter gilt i (G )
≥
λ2
2 oder, noch stärker:
= 0.
Theorem
Die isoperimetrische Zahl ist durch die Laplace-Eigenwerte wie folgt nach
unten beschränkt:
i (G )
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≥ min
λ2 (L)λn (L)
1,
2(λn (L) + λ2 (L) − 2)
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46 / 79
Schranken für globale Statistiken
Isoperimetrische Zahl
Obere Schranken für die isoperimetrische Zahl
Proposition (zur Vorbereitung)
Sei G ein nicht-vollständiger Graph mit maximalem Grad
∆.
Dann ist
λ2 (A) ≤ ∆.
Beweis.
Wenn G nicht zusammenhängend ist, ist
λ2 = 0 ≤ ∆,
sei also G
zusammenhängend. Dann enthält G den Pfad P3 als (knoten-)induzierten
Teilgraphen. (Sonst wäre G vollständig: entweder G
= K2 ,
oder je zwei
Knoten i und j wären über eine Kante des Dreiecks K3 verbunden.) Es gilt
λ2 (A(P3 )) = 2 cos
2π
3+ 1
0
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= 0,
also folgt aus dem Schachtelungssatz:
= λ2 (A(P3 )) ≤ λn−1 (A). ~
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47 / 79
Schranken für globale Statistiken
Isoperimetrische Zahl
Obere Schranken für die isoperimetrische Zahl
Proposition (zur Vorbereitung)
Sei G ein nicht-vollständiger Graph mit maximalem Grad
∆.
Dann ist
λ2 (A) ≤ ∆.
Beweis.
Wenn G nicht zusammenhängend ist, ist
λ2 = 0 ≤ ∆,
sei also G
zusammenhängend. Dann enthält G den Pfad P3 als (knoten-)induzierten
Teilgraphen. Es gilt
λ2 (A(P3 )) = 0,
0
also folgt aus dem Schachtelungssatz:
= λ2 (A(P3 )) ≤ λn−1 (A). ~
Weiterhin gilt:
λ2 (L) ≤ ∆ − λn−1 (A) ≤ ∆.
~
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Schranken für globale Statistiken
Isoperimetrische Zahl
Obere Schranken für die isoperimetrische Zahl
Theorem
Sei G ein beliebiger Graph, jedoch nicht K1 , K2 oder K3 . Dann gilt:
i (G )
≤
p
λ2 (L)(2∆ − λ2 (L)).
Beweis.
. . . ist 7 Seiten lang
,
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48 / 79
Schranken für globale Statistiken
Knotenausdehnung
Knotenausdehnung
Denition
Eine Möglichkeit, die Knotenausdehnung eines Graphen zu denieren:
cV
:= min
|N (S ) \ S | S ⊆ V , |S | ≤
|S |
n
2
Eine hohe Knotenausdehnung bedeutet, dass alle nicht zu groÿen
Knotenmengen groÿe Nachbarschaften haben
⇒
gute
Konnektivitätseigenschaften auch mit wenigen Kanten
In praktischen Anwendungen (z.B. fehlertolerante Netze,
Zufallsgeneratoren, Parallelsortierer, . . . ) oft entscheidend.
Zufallsgraphen haben fast immer eine hohe Knotenausdehnung, . . .
. . . aber für einen gegebenen Graphen ist es schwierig, die
Knotenausdehnung zu bestimmen.
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Spektralanalyse
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49 / 79
Schranken für globale Statistiken
Knotenausdehnung
Schranken für die Knotenausdehnung
Das Laplace-Spektrum liefert nützliche Schranken:
Theorem
Es gilt:
p
λ2 (L)
λ2 (L))
≤
cV = O(
∆
2 + λ2 (L)
. . . oder schwächer: Für einen d -regulären Graphen ist
cV
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≥
λ2 (L)
2d
Spektralanalyse
.
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50 / 79
Routing-Zahl
Schranken für globale Statistiken
Routing-Zahl
Betrachte eine Menge von Steinen, von denen anfangs jeder auf einem
unterschiedlichen Knoten des zusammenhängenden Graphen G liegt.
Für eine gegebene Permutation
Ausgangsknoten i nach
π(i )
π
von V ist jeder Stein von seinem
zu verschieben.
In jedem Schritt werden eine Menge (knoten-)disjunkter Kanten
E0
⊆E
gewählt und die Steine an den beiden Endknoten einer jeden
solchen Kante vertauscht.
Sei rt (G , π) die minimal benötigte Schrittzahl, dann ist die
Routing-Zahl von G deniert als rt (G )
:= maxπ∈S
n
rt (G , π).
Theorem
Sei G ein d -regulärer zusammenhängender Graph. Dann gilt
und
rt (G )
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=O
d
2
(d − λn−1 (A))2
Spektralanalyse
2
log n
λn−1 (A) < d
.
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51 / 79
Schranken für globale Statistiken
Chromatische Zahl
Chromatische Zahl
Eine (k -)Färbung eines Graphen ist eine Zuweisung von (k
unterschiedlichen) Farben (∈
N)
zu Knoten, wobei adjazente Knoten
unterschiedliche Farben haben.
Die chromatische Zahl
χ(G )
eines Graphen G ist die minimale Zahl
von Farben, die man braucht, um G zu färben.
Die Berechnung der chromatischen Zahl ist
(1 + λn )-Färbung
N P -hart.
Eine
kann jedoch in polynomialer Zeit berechnet werden.
Theorem
Sei G ein Graph. Dann gilt:
χ(G ) ≤ 1 + λn
λ 1−
λ
≤ χ(G )
n 1
n−λ
n
n
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Spektralanalyse
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52 / 79
Unabhängigkeitszahl
Schranken für globale Statistiken
Unabhängigkeitszahl
Denition
Eine unabhängige Menge (independent set) ist eine Menge von
Knoten, von denen keiner mit einem anderen verbunden ist.
Die Unabhängigkeitszahl
α(G )
ist die maximal mögliche Gröÿe einer
unabhängigen Menge in G .
Sie zu bestimmen, ist
N P -vollständig.
Theorem
Sei G ein d -regulärer Graph. Dann gilt:
α(G ) ≤ n
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1
−
d
λn (L)
Spektralanalyse
.
26. Juli 2005
53 / 79
Schranken für globale Statistiken
Unabhängigkeitszahl
Unabhängigkeitszahl: Allgemeinere Schranke
Sei G ein Graph mit n Knoten und Graden d1
d̄s
:=
1
s
s
X
i =1
di
≤ · · · ≤ dn .
Setze
(s = 1, . . . , n)
Dann ist die Folge der d̄1 , . . . , d̄n nicht-fallend, und für einen d -regulären
Graphen ist d̄s
=d
für alle s .
Theorem
Sei s0 die kleinste Zahl, für die gilt
d̄s0
>
λn (L)(n − s0 )
n
.
Dann folgt
α(G ) ≤ s0 − 1 ≤ n
Christoph Lange (Uni Trier)
d̄s0
−1
1−
λn (L)
Spektralanalyse
.
26. Juli 2005
54 / 79
Bisection Width
Schranken für globale Statistiken
Bisection Width
Für einen Graphen mit gerader Knotenzahl ist die Minimum Bisection
eine Partition der Knoten in zwei gleich groÿe Klassen, die durch
möglichst wenige Kanten verbunden sind.
Die kleinstmögliche Zahl verbindender Kanten heiÿt Bisection Width
des Graphen.
Das Minimum-Bisection-Problem ist
N P -vollständig.
Polynomiale
Approximationen liegen bisher bis zu einem Faktor von
daneben.
Es gilt bw (G )
≥ n4 λ2 (L) (→
O(log2 n)
nächste Folie).
Diese Schranke ist scharf für vollständige Graphen, vollständige
bipartite Graphen, Hyperwürfel und den Petersen-Graphen, . . .
. . . bei Gittergraphen besteht allerdings eine groÿe Lücke zwischen
bw (G ) (=
√
n bei einem
√
n
×
√
n-Gitter) und der Schranke (≈
π2
4 ).
Aus der Denition der isoperimetrischen Zahl folgt
i (G )
≤ bw (G ) = 2 bwn(G ) .
2
n
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55 / 79
Schranken für globale Statistiken
Bisection Width
Schranke für die Bisection Width
Lemma
Sei G
= (V , E )
ein Graph mit n Knoten (n gerade). Dann gilt:
bw (G )
Beweis.
Sei S eine beliebige Menge von
xi
≥
n
4
λ2 (L).
n
2 Knoten in V ; deniere für alle i
:=
1
i
−1
i
∈ V:
∈S
∈
/S
P
>
>
Es gilt
n λ2 (L) = x x λ2 (L) ≤ x Lx =
i ∈V xi = 0, also
P
P x ⊥ 1n und somit
2
2
{i ,j }∈E (xi − xj ) =
{i ,j }∈(S ,S̄ ) (xi − xj ) = 4 · |(S , S̄ )|. Wählt man für S
eine Klasse einer Minimum Bisection, folgt die Behauptung.
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Spektralanalyse
26. Juli 2005
56 / 79
Schranken für globale Statistiken
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Mithilfe der Eigenwerte eines Graphen können wir Schranken für viele
globale Graphstatistiken angeben.
Wichtig sind dabei vor allem die gröÿten Eigenwerte (λn (A) und
λn (L))
sowie
λ2 (L).
Wir können viele
N P -harte
Probleme dank solcher Schranken
zumindest approximativ lösen; die Approximation ist je nach Art des
Graphen unterschiedlich gut.
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Spektralanalyse
26. Juli 2005
57 / 79
Heuristiken zur Identikation von Graphen
Neue Graphstatistiken
Fragestellungen neue Graphstatistiken
Fragestellungen:
Es gibt verschiedene Modelle für Zufallsgraphen (→ Vortrag zu
Network Models).
Welches Modell beschreibt einen gegebenen Graphen am besten?
Wie kann man mit Spektralmethoden (hier: Untersuchung des
Adjazenzspektrums) Graphen aus verschiedenen Modellen erkennen?
Neue Graphstatistiken:
Das Spektrum und die Menge der Eigenvektoren eines Graphen sind
Graphstatistiken, und zwar globale Verteilungen.
Ein (Multi-)graph ist bis auf Isomorphie vollständig durch sein
Spektrum mit den zugehörigen Eigenvektoren bestimmt.
Es ist sinnvoll, neue Statistiken zu denieren, die nur relevante
Teilaspekte der Spektralinformationen berücksichtigen.
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Spektralanalyse
26. Juli 2005
58 / 79
Heuristiken zur Identikation von Graphen
Neue Graphstatistiken
Das inverse Beteiligungsverhältnis
Fragestellung: Wenn wir Eigenvektoren als Gewichtszuweisungen
betrachten, wie sind diese Gewichte auf die einzelnen Knoten verteilt?
Liegt relativ viel Gewicht auf nur wenigen Knoten (hohe
Lokalisierung), oder sind die Gewichte gleichmäÿig verteilt?
Denition
Sei G ein Graph, seien w1 , . . . , wn die normierten Eigenvektoren der
Adjazenzmatrix. Das inverse Beteiligungsverhältnis (inverse participation
ratio) des j -ten Eigenvektors ist deniert als
Ij (G )
Christoph Lange (Uni Trier)
:=
n
X
k =1
((wj )k )4
Spektralanalyse
26. Juli 2005
59 / 79
Heuristiken zur Identikation von Graphen
Neue Graphstatistiken
Eigenschaften des inversen Beteiligungsverhältnisses
Da die Eigenvektoren normiert sind, gilt Ij (G )
∈ n1 , 1
für alle j .
Das inverse Beteiligungsverhältnis misst den Lokalisierungsgrad eines
Eigenvektors.
Beispiel
1
Sei
(wj )k :=
√1
n
für alle k (gleichverteilte Gewichte), so ist Ij
= n1 ,
d. .h., das inverse Beteiligungsverhältnis erreicht seinen minimalen
Wert.
2
Sei k0
∈V
Ij
(maximaler Wert).
=1
ein fester Knoten und
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(wj )k :=
Spektralanalyse
1
falls k
0
sonst
= k0
, so ist
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60 / 79
Heuristiken zur Identikation von Graphen
Neue Graphstatistiken
Abstand des gröÿten Eigenwerts
Bei bestimmten Graphklassen, z. B. bei bestimmten Zufallsmodellen, neigt
der gröÿte Eigenwert dazu, aus dem Spektrum herauszufallen.
Denition
Wir betrachten den Abstand des gröÿten Eigenwerts vom zweitgröÿten im
Verhältnis zur Ausdehnung des restlichen Spektrums:
R (G )
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:=
λ n − λn −1
.
λ n −1 − λ1
Spektralanalyse
26. Juli 2005
61 / 79
Heuristiken zur Identikation von Graphen
Neue Graphstatistiken
Abstand des gröÿten Eigenwerts und chromatische Zahl
Der Abstand des gröÿten Eigenwerts steht in Beziehung zur chromatischen
Zahl
χ(G ):
Sei
ε := −λ1 − λn−1 .
Das heiÿt, für kleine
|ε|
(Das ist bei
bestimmten Zufallsgraphen der Fall) liegen alle Eigenwerte auÿer
λn
etwa
zentral um den Nullpunkt.
Aus der Schranke 1
χ(G )
2
−
−1 ≥
=
Für Graphen mit
beschränkt durch
λn
λ1
≤ χ(G )
folgt:
−λn 1
−λn − λ1
− =
2λ1
2
2λ1
−λn + λn−1 + ε
λn − λ n −1 − ε
=
≈ R (G ).
λ1 − λn −1 − ε
λn−1 − λ1 + ε ε≈0
ε = 0 ist also die chromatische Zahl nach unten
χ(G ) ≥ 2R (G ) + 2; für ε ≈ 0 gilt dies (approximativ)
ebenfalls.
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Spektralanalyse
26. Juli 2005
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Kann man Zufallsgraphen aus verschiedenen Modellen (hier:
G(n, p ),
Preferential Attachment und Small World) anhand ihrer
Spektraleigenschaften unterscheiden?
Teste dies durch Untersuchung einer groÿer Zahl (hier: 100) groÿer
Zufallsgraphen (hier: 2000 Knoten):
Erzeuge die Zufallsgraphen gemäÿ dem jeweiligen Modell, berechne
ihre Spektren . . .
2 . . . und daraus die jeweils relevanten Eigenschaften: Spektraldichte (→
nächste Folie), inverses Beteiligungsverhältnis und Abstand des gröÿten
Eigenwerts.
1
Leite daraus eine Heuristik zur Identikation von Graphen ab: Hat ein
gegebener Graph G ähnliche Spektraleigenschaften wie ein Graph aus
dem Zufallsmodell
M,
so ist es zumindest wahrscheinlich, dass wir ihn
mit diesem Modell gut beschreiben können.
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Vergleich von Zufallsgraphen
Beispiel
Hier sind ein
1
)-Graph
G(100, 10
und ein Preferential-Attachment-Graph mit
100 Knoten und Grad 10 abgebildet Welcher ist welcher?
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Vergleich von Zufallsgraphen
Beispiel
Hier sind ein
1
G(100, 10
)-Graph
und ein Preferential-Attachment-Graph mit
100 Knoten und Grad 10 abgebildet Welcher ist welcher?
Preferential Attachment
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G(n, p )
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Untersuchung der Spektraldichte
1
Im
G(n, p )-
und im Preferential-Attachment-Modell ist der gröÿte
Eigenwert weit vom restlichen Spektrum entfernt
2
⇒
Wirf ihn weg.
Berechne ein Histogramm der Eigenwerte aller 100 Graphen zusammen
(x -Achse: die Eigenwerte, y -Achse: ihre relativen Häugkeiten)
⇒
approximiere so die Verteilung (→ Wahrscheinlichkeitstheorie!) der
Eigenwerte, die so genannte Spektraldichte.
3
R
Normiere das Histogramm auf eine Fläche (
unter dem Graphen) von
1 und skaliere es wie folgt:
Seien λ1 , . . . , λN die Eigenwerte aller Graphen, jeweils ohne den
gröÿten (N = 100 · (2000 − 1)).
PN
Berechne ihren Mittelwert λ̄ = n1 i =1 λi und die Standardabweichung
qP
N (λ − λ̄)2 .
σ=
i =1 i
Skaliere die x -Achse um den Faktor σ1 , die y -Achse um σ .
4
Auf diese Weise können wir die Spektren von unterschiedlich groÿen
Graphen leicht vergleichen.
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Spektraldichte von G(n, p )-Graphen
G(n, p ):
Knoten
unkorrelierter Zufallsgraph mit n Knoten, bei dem zwei
{i , j }
mit der Wahrscheinlichkeit p (unabhängig und identisch
verteilt) verbunden sind.
0.35
"Gnp_2000_0.5_.dens"
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Histogramm der Vereinigung der Spektren von 100 G(2000, 12 )-Graphen Die
Halbkreis-Form ist aus der Theorie der Zufallsmatrizen bekannt ,
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Spektraldichte von Preferential-Attachment-Graphen
Wir erzeugen Graphen, deren Struktur u. a. dem WWW ähnelt, mit
folgendem Prozess:
Wir starten die Konstruktion des Graphen mit m unverbundenen
Knoten und fügen in jedem Schritt einen weiteren Knoten hinzu, . . .
. . . der über m Kanten (Im Gegensatz zum Verfahren von
Barabási-Albert sind auch Multikanten erlaubt!) mit schon
vorhandenen Knoten verbunden wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der vorhandenen Knoten als Ziel der
Kante gewählt wird, sei proportional zu seinem Grad.
Im ersten Schritt (alle Grade
= 0)
werde jeder Knoten mit gleicher
Wahrscheinlichkeit gewählt.
Ergebnis ist ein Graph mit Gradverteilung nach einem Power Law
(Potenzgesetz): P[deg (v )
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= k ] ∼ k −δ
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mit
δ=3
unabhängig von m
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Spektraldichte von Preferential-Attachment-Graphen
0.45
0.45
"BA_2000_10_.dens"
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
c(x)
"Gnp_2000_0.5_.dens"
"BA_2000_10_.dens"
-2
-1
0
1
2
Histogramm der Vereinigung der Spektren von 100
Preferential-Attachment-Zufallsgraphen mit 2000 Knoten und m = 10, rechts im
Vergleich mit G(2000, 21 ) und einem idealen Halbkreis
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Spektraldichte von Preferential-Attachment-Graphen
Der Preferential-Attachment-Graph hat mehr kleine Eigenwerte als der
G(n, p )-Graph.
Da er aber im Wesentlichen zusammenhängend ist (bis auf
≤ m = 10
isolierte Knoten), können die kleinen Eigenwerte nicht von kleinen
Zusammenhangskomponenten her kommen.
Wahrscheinlich gehören sie zu stark lokalisierten Eigenvektoren. Deren
hohes inverses Beteiligungsverhältnis (→ später) untermauert diese
Vermutung.
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Dünne G(n, p )-Graphen
G(2000, 21 )-Graphen im Beispiel
1
p (n − 1) ≈
2 · 2000 = 1000.
Die
hatten einen erwarteten Grad von
Histogramme solcher Graphen ähneln für groÿe n immer mehr einem
Halbkreis.
Graphen mit wenigen Kanten, z. B.
G(n, p )
mit np
= 5,
haben in der
Umgebung von 0 eine Spektraldichte, die über dem Niveau des
Halbkreises liegt, . . .
. . . auÿerdem kleinere Ausreiÿer bei groÿen Eigenwerten.
Diese kann man mithilfe der kumulativen Verteilung der Eigenwerte also der Funktion x
7→ |{i | λi ≤ x }|
genauer untersuchen.
Möglicherweise kommen diese Ausreiÿer von kleinen
Zusammenhangskomponenten oder, für pn
> 1,
auch von kleinen
Bäumen, die an der groÿen Hauptzusammenhangskomponente hängen.
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Dünne G(n, p )-Graphen
0.5
1
c(x)
"Gnp_alpha_1000_5.0.dens"
"Gnp_alpha_2000_5.0.dens"
"Gnp_alpha_4000_5.0.dens"
0.45
0.4
0.8
0.35
0.7
0.3
0.6
0.25
0.5
0.2
0.4
0.15
0.3
0.1
0.2
0.05
0.1
0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Histogramme der Spektren dünner Zufallsgraphen
(für
n =
1000, 2000, 4000 je 10
Graphen mit
np = 5)
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"Gnp_2000_1.20_cum"
"Gnp_2000_2.00_cum"
"Gnp_2000_5.00_cum"
0.9
G(n, p )-
0
-6
-4
Kumulative
-2
0
Verteilung
2
der
4
6
Eigenwerte
dünner Zufallsgraphen
(für n = 2000 und pn = 1,2/2,0/5,0
G(n, p )-Graphen
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je 10
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Inverses Beteiligungsverhältnis
Vermutung: Preferential-Attachment-Graphen haben stark lokalisierte
Eigenvektoren.
Versuch: Vergleiche die inversen Beteiligungsverhältnisse der
Eigenvektoren von Zufallsgraphen nach den drei Modellen:
G(n, p ) mit n = 100, p = 0,1
Preferential Attachment mit n = 100, m = 10
Small World (nach Watts-Strogatz, n = 100, k = 10, p = 0,01).
Schon bei wenigen Knoten (hier: n
= 100)
im Gegensatz zu
Untersuchungen der Spektraldichte deutliche Unterschiede:
G(n, p ): Ij (G ) für alle Eigenvektoren wj ziemlich gering, in einem
kleinen Bereich nahezu gleichverteilt
Preferential Attachment: Einige Eigenvektoren mit hoher inversem
Beteiligungsverhältnis (teilweise fast = 1) stechen hervor.
Small World: ziemlich asymmetrische Struktur.
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Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Inverses Beteiligungsverhältnis
1
1
"Gnp_100_0.1_0001_.ipr"
1
"BA_100_10_0001_.ipr"
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
0
-15
"sw_100_0.01_10_0001_.ipr"
-10
-5
0
5
10
15
Inverse Beteiligungsverhältnisse der Eigenvektoren (auf der x -Achse die
zugehörigen Eigenwerte) von Zufallsgraphen mit 100 Knoten (erwarteter Grad:
10) nach G(n, p ), Preferential Attachment und Small World.
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Spektraleigenschaften von Zufallsgraphen
Abstand des gröÿten Eigenwerts
Betrachte R (G )
Bei
G(n, p )-
:=
λn −λn−1
λn−1 −λ1
und Preferential-Attachment-Graphen ist der gröÿte
Eigenwert weit von den anderen entfernt.
Bei dünnen Graphen unterscheiden sich die beiden Modelle:
Bei G(n, p )-Graphen bleibt R mit steigender Knotenzahl und
konstantem Durchschnittsgrad konstant, . . .
. . . bei Preferential-Attachment-Graphen sinkt R mit steigender
Knotenzahl.
Der Abstand R ist in diesen beiden Modellen allerdings um mehrere
Ordnungen gröÿer als in Small-World-Graphen.
⇒
Mithilfe von R kann man ezient groÿe Graphen identizieren,
denn man muss nur 3 Eigenwerte berechnen
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,
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
G (w)-Zufallsgraphen
Random-Power-Law-Graphen
Eine sehr allgemeine Klasse von Zufallsgraphen ist wie folgt deniert:
Denition
Sei w = (w1 , w2 , . . . , wn ) eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen mit
P
n
2
maxi =1 wi
<
n w.
i =1 i
w)-Zufallsgraph
Ein G (
mit n Knoten enthält eine Kante
ww
i
Wahrscheinlichkeit Pn
k
=1
(Bemerkung: Knoten
j
w
i
k
{i , j }
mit der
.
hat somit den erwarteten Grad
wi .)
Der Durchschnittsgrad zweiter Ordnung ist deniert als d̃
:=
Pn
w2
Pin=1 i .
wi
i =1
Der gröÿte erwartete Grad eines Knotens sei mit m bezeichnet, der
durchschnittliche erwartete Grad mit d .
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Eigenschaften von
Random-Power-Law-Graphen
G (w)-Zufallsgraphen
Wir können Aussagen über den gröÿten Eigenwert des
w)-Graphen
Adjazenzspektrums eines G (
treen, die unter bestimmten
Voraussetzungen für d̃ und m fast sicher (d. h. mit Wahrscheinlichkeit
p
−→ 1)
n→∞
zutreen, . . .
. . . allgemeiner sogar Aussagen über die k gröÿten Eigenwerte, unter
bestimmten Voraussetzungen an d̃ und die k gröÿten erwarteten
Grade.
Eine Anwendung davon sind Random-Power-Law-Graphen: Mit einer
geeigneten Folge
w
ist die erwartete Anzahl der Knoten mit dem Grad
−β für ein gegebenes
k proportional zu k
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β > 2.
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Random-Power-Law-Graphen
Heuristiken zur Identikation von Graphen
Der gröÿte Eigenwert von Random-Power-Law-Graphen
Theorem
Sei G ein Random-Power-Law-Graph mit Exponent
β
λ1 , . . . , λ n .
fast sicher:
1
Für
Dann gelten folgende Aussagen über
β≥3
3
4
β−2
3
< β < 3 und m > d β−2,5 log β−2,5
√
fast sicher λn = (1 + o (1)) m.
Für 2,5
gilt
und Eigenwerten
und m
gilt fast sicher
2
> d 2 log3 n
√
λn = (1 + o (1)) m.
λn
n
3
< β < 2,5 und m > log 2,5−β n
gilt fast sicher λn = (1 + o (1))d̃ .
β−1
d
haben
Für 2,5 < β und k < n
m log n
Für 2
die k gröÿten Eigenwerte
von G fast sicher eine Power-Law-Verteilung mit dem Exponenten
2β
− 1,
wenn m groÿ genug ist (d. h. Bedingungen 1. und 2. erfüllt).
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Heuristiken zur Identikation von Graphen
Zusammenfassung
Zusammenfassung
Durch Untersuchung der Eigenwerte können wir Graphen
identizieren, die aus bestimmten Zufallsmodellen erzeugt wurden.
Umgekehrt gewinnen wir dadurch zwar keine sichere Aussage, wohl
aber eine heuristische Entscheidungshilfe, mit welchem Zufallsmodell
wir einen gegebenen Graphen am besten beschreiben können.
Dazu können wir die Verteilung aller Eigenwerte, die Spektraldichte,
untersuchen oder die inversen Beteiligungsverhältnisse der
Eigenvektoren. Für einige Entscheidungen genügt es sogar schon, den
Abstand des gröÿten Eigenwerts von den anderen zu bestimmen.
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Literatur
Literatur
1
Ulrik Brandes, Thomas Erlebach (Eds.): Network Analysis Methodological Foundations. Springer LNCS 3418, 2005.
2
darin speziell: Andreas Baltz, Lasse Kliemann: Spectral Analysis
(Kapitel 14).
3
Für den Abschnitt Heuristiken zur Identikation von Graphen:
Illés J. Farkas, Imre Derényi, Albert-László Barabási, Tamás Vicsek:
Spectra of real-world graphs: Beyond the semicircle law. Physical
Review E, Vol. 64, 2001.
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