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Ladungsbewegungen im RCStromkreis Zielsetzung: Wir untersuchen das Auf- und Entladen eines Kondensators in einem RC-Stromkreis . Wir bestimmen die Zeitkonstante im RC-Stromkreis und berechnen die Ladung des Kondensators . Eine Schaltung, die einen Widerstand und einen Kondensator enthält, bezeichnet man als RCKreis. Meist sind in solchen Schaltungen die Ströme nicht konstant, sondern unterliegen einer zeitabhängigen Funktion. In diesem Experiment soll die Ladungsbewegung beim Auf- und Entladen eines Kondensators ermittelt werden. Dazu messen wir die Spannung an einem Widerstand in ihrem zeitlichen Verlauf. Diese Größe U(t) wird benutzt, um die Zeitkonstante im RC-Stromkreis zu bestimmen und die Ladung des Kondensators zu berechnen. Theoretisches Modell Beim Aufladen eines Kondensators wechselt die Stromstärke, die Spannung und die Ladung des Kondensators in Abhängigkeit von der Zeit. Abbildung 1. zeigt einen einfachen RC-Stromkreis Fig. 1. RC Stromkreis Zu Beginn ist der Kondensator ungeladen. Zum Zeitpunkt t=0 , wenn der Schalter geschlossen wird, lädt der fließende Strom den Kondensator auf. Also ist die Spannung am Widerstand UR genau so groß wie die EMK der Batterie und der Anfangsstrom ist I0. Wenn die Ladung des Kondensators zunimmt, steigt UC, entsprechend dem Stromabfall sinkt UR am Widerstand. Nach einiger Zeit ist der Kondensator komplett aufgeladen, der Strom fällt auf 0 und die Potentialdifferenz am Widerstand ist ebenfalls 0. Dann liegt die volle Batteriespannung am Kondensator an. Die Spannung UR am Widerstand ist zeitabhängig und folgt der Gleichung : (Eq.1). (1) Abbildung 2 zeigt die exponentiell abfallende Kurve. Fig. 2. Zeitabhängigkeit der Spannung am Widerstand UR . Wenn Zeit definiert wird als : (2) sinkt die Anfangsspannung um das e -fache vom Anfangswert : (3) Die charakteristische Zeit τ wird als die Zeitkonstante des RC-Stromkreises bezeichnet. Die Ladungsmenge, die während der Zeit tk an den Kondensator geliefert wird, wird durch die Stromstärke I bestimmt: (4) und wird definiert durch: (5) Wenn wir die UR(t)-Abhängigkeit untersuchen, können wir nun die Basis-Parameter des RCStromkreises berechnen: • • • Zeitkonstante den unbekannten Term R oder C die Ladung des Kondensators Material für die Untersuchung des RC-Stromkreises Die Untersuchung der Ladungsbewegungen im RC-Stromkreis kann mit einer einfachen Versuchsanordnung durchgeführt werden: • • • • • • • • • • 9V 6LR61 Batterie Kondensator 0,47µF, 16V; Widerstand 50 kOhm, 2W Laborkabel (einfach, 10 cm lang) um den Kondensator zu entladen. Laborrechner CBL oder CBL2 Spannungssonde verbunden mit dem CH1/Kanal 1 (Standard CBL) - Bild Grafikrechner TI83 Plus Einheit-zu-Einheit-Kabel (Standard)- Bild Programme: ARC, CALIBRC – können Sie hier herunter laden: ARC und CALIBRC TI-GRAPH LINK TM (optional) Kabel und Software PC mit der TI ConnectTM-Software (optional) Abb. 3. Experimentaufbau. Praktische Anmerkungen zum Aufbau des Experiments Die Spannungssonde muss mit CH1 oder der CBL-Einheit verbunden werden. • Die Verbindungen der Spannungssonde müssen entsprechend ihrer Spannungspolarität angebracht werden. • Das versehentliche Schließen des Stromkreises sollte vermieden werden (man könnte einen seperaten Schalter benutzen, statt den Stromkreis von Hand durch Setzen der Verbindungen zu schließen) • Im Falle des Schließens von Hand: Seien Sie vorsichtig und halten Sie den Stromkreis nur für ungefähr 1 Sekunde geschlossen. Der Kondensator muss vor Beginn der Messung entladen werden (indem man ihn mit Hilfe eines zusätzlichen Kabels für nicht mehr als 1 Sekunde entlädt.). • Der Videoclip auf der Website zeigt die Details der Zusammenstellung der Experimentiermaterialien. Man kann anstatt des gezeigten Sets stabilere, dauerhafte RC-Stromkreise mit sehr geringen Kosten aufbauen, die dann für Nachfolgeversuche zur Verfügung stehen Datenerfassung (TI 83) In diesem Experiment wird nach dem Schließen eines Stromkreises die Spannung am Widerstand während des Aufladens eines Kondensators gemessen. Das Experiment wird mit Hilfe der installierten Programme ARC und CALIBRC vom Rechner kontrolliert. Das Experiment wird in einen vorbereitenden Teil und die Messung unterteilt. Vorbereitung : • • • Stellen Sie alle Verbindungen wie im Filmclip auf der Website beschrieben her. Schalten Sie den Rechner und den CBL ein. Den Hauptmessungen sollte die Kalibrierung der Spannungssonde vorangehen. Folgen Sie diesen Schritten: • Laden Sie das Programm ARC , indem Sie seinen Namen aus dem PRGM -Menü auswählen. • Wählen Sie CALIBRATION aus dem Programm-Menü.(Abb.) • Geben Sie die Anzahl der Kanäle CH1 ein, mit denen die Sonde verbunden ist. (Abb.) • Wählen Sie Option 1:PERFORM NEW. (Abb.) • Folgen Sie den Anweisungen auf dem Display und geben Sie den ersten Wert ein : 0,0. • Trennen Sie die Verbindung der Sonde zum Stromkreis und führen Sie den zweiten Schritt der Kalibrierung aus (Abb.). Geben Sie den zweiten Wert 2,0 ein. Die beschriebene Kalibrierung muss nur einmal während der experimentellen Sitzung durchgeführt werden. Die Kalibrierungsgleichung wird an den CBL gesendet. Sie gilt bis zur nächsten Kalibrierung als EQ1s für die Spannungssonde, . Datenerfassung • • • • • • • • Verbinden Sie die Spannungssonde mit Punkt A und B des Stromkreises (siehe Abb.) . Wählen Sie die Messzeit so, dass 100 Messpunkte aufgenommen werden wenn der Kondensator aufgeladen wird. Mit dem gewähltem R<100 kΩ und C = 0,47µF liegt die passende Probenzeit bei annähernd 0,001s. Geben Sie das gewählte Zeitintervall ein. (Abb.) Entladen Sie den Kondensator mit einem Kabel, das für einen Moment (ungefähr 1 Sekunde) mit den Anschlüssen des Kondensators verbunden wird. Schließen Sie den Stromkreis, indem Sie die offenen Enden der Aderkabel kurz miteinander verbinden (0,5 Sek.). Der Auslöseimpuls sendet die gesammelten Daten zu dem Rechner (Abb.) und zeichnet ein Diagramm U(t). Die angezeigte Grafik sollte so aussehen: Sie können nach dem Verlassen des ARC-Programms mit [ENTER][CLEAR][CLEAR] weitere Analysen durchführen. Die Zeitwerte werden in der Liste L 1 und die Spannungswerte in Liste L 2 gespeichert. Jetzt können Sie den CBL vom Rechner trennen. Wenn Ihnen die erhaltenen Daten nicht ausreichen (eine gute Kurve sollte keine Unterbrechungen haben), kann das Experiment wiederholt werden. Dazu können Sie dieselben oder neue Einstellungen benutzen (eine neue Kalibrierung ist nicht notwendig). Datenanalyse (TI 83) Weitere Analysen können mit den im Rechner implementierten Hilfsmitteln oder mit einer anderen analytischen Software, z.B. den MS Excel™ - Tabellenblättern, durchgeführt werden Die gesammelten Daten werden in den Rechnerlisten gespeichert: - Zeit in Sekunden - Liste L1 - Spannung UR in Volt - Liste L2 Die experimentelle Datenaufzeichnung wird als Plot1 (L2 vs. L1) definiert. Sie kann mit der [GRAPH]- Taste wieder aufgerufen werden. Der Vergleich mit dem theoretischen Modell ( siehe Ausdruck und Graph ) zeigt, dass die experimentellen Daten gut in das Modell passen. Datenauswahl Die gesammelten Daten enthalten die vorher gespeicherten Punkte, die die Spannung am Widerstand zeigen, bevor der Stromkreis geschlossen wird. Der Datensatz und der Graph sollten bereinigt werden, um die kurze horizontale Linie am Anfang zu entfernen. Die Daten können mit der Rechnerfunktion Select ausgewählt werden. Lernen Sie hier mehr über die Datenauswahl. Hier ist eine Liste mit Anweisungen: • • • • • Drücken Sie [2nd] [STAT] und wählen OPS und 8: Select Geben Sie die Listennamen als Parameter ein: [2nd] [1] [,] [2nd] [2] [)] [ENTER]. Sie können jetzt aus einem ausgewählten Teil des Graphen die linke Begrenzung bestimmen. Bewegen Sie den Marker zum oberen Ende der Kurve, indem Sie die rechten und linken Pfeiltasten benutzen. Drücken Sie [ENTER]. Wählen Sie die rechte Begrenzung, indem Sie den Marker so weit wie möglich nach rechts bewegen und drücken Sie dann nochmals [ENTER] . Drücken Sie [ZOOM], wählen Sie 9:ZoomStat und drücken Sie [ENTER] Der angepasste Graph wird angezeigt. Die Listen L 1 und L 2 wurden ebenfalls modifiziert. Abb.1. Analyse der Grafiken Übergangsprozesse im RC-Stromkreis werden mit charakteristischen Zeitparametern beschrieben, die so genannten Zeitkonstante. A. Wir führen die Zeitkonstante von der experimentellen Kurve ein. Die Zeitkonstante kann entsprechend der Gleichung 1 anhand der experimentellen Kurve UR(t) geschätzt werden. (1) Hier ist eine Liste der Anweisungen: • Stellen Sie die grafische Darstellung ein [GRAPH]. Nehmen Sie eine Anfangsspannung , U0, benutzen Sie [TRACE] -Taste (Y-value). • Nehmen Sie die entsprechende Zeit auf (X-value). Berechnen Sie den Wert: e-1·U0 = (0,37·U 0). • • Suchen Sie diesen Wert in Ihrem Graph wieder auf, indem Sie die [TRACE]- Taste benutzen. Benutzen Sie den Graph, um herauszufinden, wie lange es dauert, bis die Spannung auf diesen Wert gefallen ist. Speichern Sie den entsprechenden Zeitwert. Das ist die Zeitkonstante des Stromkreises: τc = R·C. • Vermerken Sie diesen Wert als τcgraph. • B. Wir führen die Zeitkonstante mit der nummerischen Analyse ein . In der Gleichung 2 sehen wir, dass die Zeitkonstante τc = R·C als Steigung der linearisierten UR (t) Abhängigkeit – ln(UR)=f(t)- berechnet werden kann, siehe Gleichung 3. (2) (3) Die Abhängigkeit von Gleichung 3 folgt der generellen linearen Form - Gleichung 4. (4) wobei: (5) Mit den Funktionen des Grafikrechners können Sie diese Analyse einfach mit der linearen Regression durchführen. • Die Linearisierung von der U(t) Abhängigkeit erfordert die Berechnung des ln von jedem UR -Wert der Liste L2. Die berechneten Werte sollten in einer separaten Liste, z.B. L3 • • • • • • gespeichert werden. Führen Sie aus: [LN] [2nd] [2] [)] [STO->] [2nd] [3] . Um ln(U) vs Zeit angezeigt zu bekommen, sollte man den neuen aktiven Graphen als L3 versus L1 definieren. Beachten Sie: Graph 1 muss im inaktiven Modus sein. Die lineare Regression y=ax+b für die Daten von den Listen L1 und L3 verlangt nach einer Sequenz [STAT] [4] [2nd] [1] [,] [2nd] [3] [,] [VARS] [>] [1] [1] [ENTER] . Die Gleichung für die lineare Abhängigkeit wird angezeigt . Die Bedeutung der angezeigten Koeffizienten Die Werte der angezeigten Koeffizienten a und b resultieren aus der Gleichung 5, während r der Korrelationskoeffizient der linearen Regression ist. Die eingeführte Gleichung wird als Y1 Funktionsvariable gespeichert. Wenn wir den Graphen nochmal aufrufen, können wir die Datenpunkte und die Regressionslinie in einer Zeichnung sehen. Aus dem Wert a können Sie die Zeitkonstante des Stromkreises einführen τcreg=RC (siehe Gleichung 5). Vergleichen sie die erhaltene Zeitkonstante mit ihrem Wert, den Sie durch die Untersuchung des Graphen τcgraph. erhalten. C. Berechnung des Widerstandes R aus der Zeitkonstante und der gegebenen Kapazität C Da Sie jetzt C (0,47µF) kennen, können Sie R aus dem Wert der Zeitkonstante berechnen. Beachten Sie dabei, dass die Zeitkonstante von U0 unabhängig ist. Anmerkung: Die errechnete Steigung a der Regression kann aus dem Menü [VARS] 5:Statistics wieder aufgerufen werden . D. Berechnung der Ladung, die im Kondensator gespeichert wird Die Ladung, die von dem Kondensator in der beobachteten Zeit aufgenommen wird, kann auf Basis der theoretischen Gleichung (Gleichung 6) und mit Hilfe der genauen Integralfunktion des Rechners berechnet werden. (6) Dazu braucht man die genaue Form der Integrand-Funktion UR(t). Die allgemeine Form wird in Gleichung 2 dargestellt. Die gesuchten Terme: U0 und (-1/RC) wurden im Schritt B eingeführt (siehe Gleichung 5). Diese Werte, einmal mit der Regressionsberechnung ermittelt, werden im Rechner gespeichert und können bei der Ausführung der Funktion UR(t) benutzt werden: • (7) Diese Funktion sollte genau bestimmt und im Gerätespeicher für den späteren Gebrauch abgelegt werden. Hier ist eine Liste mit Anleitungen: Starten Sie den Gleichungs-Editor. Drücken Sie [Y=], wählen Sie die Position Y2. Geben Sie die Funktion exp ein, mit : [2nd] [LN], dann ihren Exponenten b mit : [VARS] 5:Statistics [ENTER] [ENTER] wählen Sie EQ und 3:b [ENTER] [)] Wiederholen Sie die Eingabe mit exp :[2nd] [LN], dann bestimmen Sie den Exponenten a t mit: [VARS] 5:Statistics [ENTER] EQ dann 2:a [ENTER]und [X,T,?,n] [ENTER][)]. Aktivieren Sie die Funktion Y2 : Setzen sie den Cursor auf das = Symbol und drücken Sie [ENTER] (im aktiven Modus ist das Gleichheitszeichen schwarz markiert) . Deaktivieren Sie die Funktion Y1 : Setzen Sie den Cursor auf das = Symbol und drücken Sie [ENTER] (im "nicht-aktiven" Modus wird das = Symbol normal dargestellt). Die Funktion UR(t) ist jetzt festgelegt und wird als Y2 gespeichert (Abb.). Jetzt kann man den Graphen der Funktion mit den Original-Experimentierdaten sehen UR(t). Folgen Sie diesen Anweisungen: Benennen Sie den aktiven Graphen in GRAPH1 um (mit Xlist = L1 , Ylist = L2 ). Stellen Sie eine Grafik her: [ZOOM] [9]. Jetzt sollten Sie beides sehen: Die experimentellen Daten und den Graph der UR(t) – Funktion. Berechnung des definierten Integrals (Gleichung .5) Die erfasste Ladung am Kondensator kann mit Hilfe des Integrals der U(t)-Funktion, innerhalb des gewählten Zeitbereichs, berechnet werden ( entsprechend zu Gleichung 6 ). In dieser Liste wird Ihnen erklärt, was Sie tun müssen: Wählen Sie die Integration aus dem CALC -Menü: [2nd] [TRACE] 7: [ENTER] (Abb.21) . Jetzt wird der Graph angezeigt. Wählen Sie den unteren Grenzwert der Integration. Bewegen Sie den Cursor an den Anfang der Kurve. Dazu benutzen Sie die rechten und linken Pfeiltasten. Drücken Sie [ENTER]. Speichern Sie diesen Zeitwert: t0 (X-Wert). Wählen Sie den oberen Grenzwert der Integration, indem Sie den Cursor so weit wie möglich nach rechts bewegen und drücken Sie [ENTER]. Speichern Sie diesen Zeitwert: tk (X-Wert ). Der Bereich unterhalb der Kurve wird dunkel und der definierte Integralwert wird angezeigt. Rufen Sie den eingeführten Integralwert [2nd] [-] [ENTER] auf dem Startbildschirm noch einmal auf. Gemäß der Gleichung 6 können Sie aus diesem Wert den Wert der Ladung berechnen, die vom Kondensator in der gewählten Zeit abgegeben wurde (definiert durch die Grenzwerte der Integration) : Q=Integral /R Datenanalyse (mit den MS Excel™ Dateien ) Weitere Analysen können mit den im Rechner implementierten Hilfsmitteln durchgeführt werden (oder mit einer anderen analytischen Software, wie den MS Excel™ - Tabellenblättern ). Transfer der experimentellen Daten auf den PC Da die experimentellen Daten jetzt vollständig sind, können sie vom Grafikrechner auf den PC übertragen werden. Das TI GRAFIKVERBINDUNGS ™ Kabel unterstützt von der TI Verbindungs-TM Software bietet Möglichkeiten den Inhalt des Rechners (TI DEVICE EXPLORER) und der Datenausgabe (TI DATA EDITOR) zu untersuchen. Die im Experiment gesammelten Daten werden in den Rechnerlisten gespeichert: - Zeit in Sekunden - Liste L1 - Spannung UR in Volt - Liste L2 Die Details der Kommunikation und des Datentransfers sind hier erhältlich. Innerhalb des TI Connect™ - Programms (bei Benutzung der TI DEVICE EXPLORER - Option ) ist es möglich, die Rechnerlisten auf der Festplatte des Computers zu sichern und anschließend mit dem TI DATA EDITOR zu öffnen. Special Lists Export- Hilfsmittel sichern die ausgewählte Liste als Datei mit der Dateinamenerweiterung : *.CSV file. Eine solche Datei kann später geöffnet und mit der MS Excel™- Tabellensoftware bearbeitet werden. Analyse der Grafiken Übergangsprozesse in dem RC-Stromkreis werden mit charakteristischen Zeitparametern beschrieben, die auch als Zeitkonstanten bezeichnet werden. A. Ermitteln der Zeitkonstante direkt aus den experimentellen Daten Die Zeitkonstante kann anhand der experimentellen Kurve UR(t) , entsprechend der Gleichung 1, geschätzt werden. (1) • • Öffnen Sie ein Tabellenblatt und importieren Sie die Daten der Dateien : Zeit und Spannung. Erstellen Sie den Graphen UR(t) aus den experimentellen Daten – Abb. 1. Lernen Sie hier mehr über die Erstellung von Graphen. Abb. 1. Experimentell erhaltene Abhängigkeit UR(t) • Nehmen Sie eine Anfangsspannung, U0 aus den Datenspalten. Speichern Sie die • zugehörige Zeit (X-Wert). Berechnen Sie den Wert: : e-1·U0 = (0,37·U 0) - Gleichung 1 • • Finden Sie diese Spannung in Ihrer Spalte mit den Spannungswerten. Nehmen Sie den entsprechenden Zeitwert aus der Zeitspalte. Das ist die Zeitkonstante des Stromkreislaufs - t = R·C. Speichern Sie diesen Wert als tcgraph B. Ermitteln der Zeitkonstante durch die nummerische Analyse der experimentellen Daten Aus der Gleichung 2 folgt, dass die Zeitkonstante τc= R·C als Steigung der linearisierten UR(t) Abhängigkeit – ln(UR)=f(t)- berechnet werden kann, siehe auch Gleichung 3. (2) (3) Die Abhängigkeit von Gleichung 3 folgt der linearen Form - s. Gleichung 4. (4) wobei: (5) Mit dem Programm MS Excel™ können Sie diese Analyse mit Hilfe der linearen Regression durchführen. • Als Erstes sollte der ln von jedem UR -Wert berechnet und in separaten Spalten • eingetragen werden. Das neue Streudiagramm von ln(U) vs Zeit soll bestimmt werden - Abb.2 Abb. 3. ln(UR(t) Abhängigkeit . • • • Klicken Sie auf einen der aufgezeichneten Datenpunkte mit der rechten Maustaste. Sie erhalten das Fenster, in dem Sie eine Trendlinie hinzufügen können. Wählen Sie die lineare Regression. Die Gleichung der linearen Annäherung wird in der Grafik angezeigt siehe obere rechte Ecke in Abb.2. Die Trendlinie wird angetragen und Sie können sie mit den Datenpunkten vergleichen . Aus dem Wert des Koeffizienten a können Sie die Zeitkonstante des Stromkreises berechnen τcreg (siehe Gleichung 3,4 und 5) . Vergleichen Sie die erhaltene Zeitkonstante τcreg mit dem direkt aus der Untersuchung des Graphen τcgraph erhaltenen Werts. C. Berechnung des Widerstandes R aus der Zeitkonstanten und der gegebenen Kapazität C Da Sie jetzt C (0,47µF) kennen, können Sie den Widerstand R aus dem Wert der Zeitkonstante errechnen. Beachten sie, dass die Zeitkonstante unabhängig von U0 ist. D. Berechnung der Ladung die durch den Kondensator erfasst wird • Als Erstes müssen wir den Wert der Spannung berechnen und benutzen dazu die eindeutige Form von UR(t). Die allgemeine Form wird in Gleichung 2 beschrieben. Die benötigten Terme: U0 und (-1/RC) wurden im Schritt C eingeführt (siehe Gleichung 5). • Die neue Spalte sollte definiert werden. Sie enthält die Werte U (t) als Funktion R der Zellen, die die Zeitwerte enthalten - Gleichung 6. Lernen Sie hier Formulare zu definieren . (6) • Jetzt können wir eine neue Zeichnung mit zwei Serien erstellen: die originalen experimentellen Datenpunkte und die Funktion U(t) – Abb.3. Abb. 2. Experimentelle Daten in einer Grafik mit der analytischen UR(t) Kurve. Der Vergleich der analytischen Abhängigkeit mit den experimentellen Daten zeigt eine gute Übereinstimmung mit dem exponentiellen Modell. Die vom Kondensator aufgenommene Ladung - in der beobachteten Zeit - kann mit Hilfe der Gleichung 7 berechnet werden. (7) Das definierte Integral der U(t)- Funktionswerte kann mit der Trapezoid-Regel - Gleichung 8 - berechnet werden. (8) Die Zellen in der neuen Spalte sollten mit der Formel - Gleichung 9 berechnet werden. Achten Sie darauf , dass das Zeitintervall der Probezeit entspricht. (9) • • Der Integralwert sollte als Summe der Spalten berechnet werden. Mit Gleichung 7 können Sie mit diesem Wert den Wert der im Kondensator gesammelten Zeit anhand der gewählten Zeit: Q=Integral/R. berechnen Anmerkung: Die vollständige nummerische Analyse für die Messdaten wird in der MS Excel™ Datei auf der Website präsentiert.
