Kapitel 8 Univariate Optimierung - Empirische Wirtschaftsforschung

Albert Ludwigs Universität Freiburg
Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Dr. Sevtap Kestel
Winter 2008
Oktober 3.2008
Kapitel 8 Univariate Optimierung
Beispiel 16: Die Gesamtkosten zur Herstellung von Q Einheiten eines Gutes seien
C (Q) = aQ 2 + bQ + c, Q > 0
wobei a, b und c positive Konstanten sind. Zeigen Sie, dass Durchschnittskosten-Funktion,
A(Q), ein Minimum an der Stelle Q* =
A(Q) =
c
.
a
C (Q)
c
= aQ + b +
Q
Q
A '(Q) = a −
A ''(Q) = 2
c
c
= 0 ⇒ aQ 2 = c ⇒ Q =
stationär Punkt
2
Q
a
c
c
> 0, dann Q =
ist Minimum.
3
Q
a
________________________________
Anmerkung:
Sei C(Q) die Gesamtkosten von Q Einheiten, und A(Q) Durchschnittskosten.
C (Q )
QC '(Q) − C (Q) 1
C (Q)
A(Q) =
⇒ A '(Q) =
= (C '(Q) −
)
2
Q
Q
Q
Q
Wenn A '(Q) = 0 ⇒ C '(Q) =
C (Q)
= A(Q)
Q
_______________________________
Der Marginalkosten C '(Q ) = 2aQ + b
Wenn A '(Q ) = 0
C '(Q ) = A(Q )
2aQ + b = aQ + b +
c
c
⇒Q=
Q
a
Beispiel 17: (S/H, Aufgabe 8.5.2)
R (Q ) = 80Q, C (Q ) = Q 2 + 10Q + 900
Das Unternehmen kann höchstens 50 Einheiten produzieren.
a. Wie viele Einheiten müssen hergestellt werden, damit das Unternehmen einen Gewinn
erzielt?
b. Wie viele Einheiten müssen hergestellt werden, damit das Unternehmen seinen Gewinn
maximiert?
1
Lösung
a. π (Q ) = R (Q ) − C (Q ) = 80Q − (Q 2 + 10Q + 900) = −Q 2 + 70Q − 900 ≥ 0 und Q ∈ [0, 50] .
Q0 = 35 − 5 13 ≈ 17 Einheiten
b.
π '(Q) = −2Q + 70 = 0 ⇒ Q = 35
π ''(Q) = −2 < 0
π (0) = −900
π (35) = 325
π (50) = 100
Profit maximiert im Q=35.
Beispiel 18: (S/H, Aufgabe 8.7.4)
Ein Wettbewerbsfähiges Unternehmen erzielt einen Preis p für jede Einheit ihres Outputs
und zahlt einen Preis w für jede Einheit ihres einzigen variablen Inputs. Es hat außerdem
Fixkosten der Höhe F. Der Output aus der Verwendung von x Einheiten des Variablen Inputs
ist
.
a. Bestimmen Sie die Erlös-, Kosten-und Gewinnfunktion des Unternehmens.
b. Schreiben Sie die Bedingungen erster Ordnung für die Gewinnmaximierung auf und
geben Sie dafür ökonomische Interpretation. Überprüfen Sie, ob der Gewinn in
einem Punkt, der die Bedingungen erster Ordnung erfüllt, tatsächlich maximiert wird.
Lösung:
a. F: Fixkosten, w>0, F>0. Für x>0
Erlöse Funktion :
Kosten Funktion:
Gewinnfunktion:
b.
Stationär punkt
Profit maximiert in Stationär Punkt.
Bedingung für Maximum ist
.
2
Kapitel 13. Multivariate Optimierung
Zwei Variablen
Definition:
Sei z=f(x,y) definiert auf einer Menge S in der xy-ebene. Ein Punkt (
), in dem beide
partiellen Ableitungen 0 sind, heißt ein Stationär Punkt für f.
Notwendige Bedingungen erster Ordnung
Theorem 13.1.1: Eine differenzierbare Funktion z=f(x,y) kann nur dann ein Maximum oder
Minimum in einem inneren Punkt
von S haben, wenn dies ein stationärer Punkt ist,
d.h. die beiden Gleichungen
erfüllt.
Hinreichende Bedingungen für ein Maximum und Ein Minimum
f Funktion einer variablen zweimal differenzierbar in Intervall I.
für alle xЄI. (f ist konkav)
Ein stationär Punkt in I ein Maximum ist wenn
Theorem 13.2.1: Sei
ein stationär Punkt einer
-Funktion (stetig, zweimal
differenzierbar) auf einer konvexen Menge S.
(a) Wenn für alle
den hat f ein
Maximum in
. KONKAV
(b) Wenn für alle
den hat f ein
Minimum in
. KONVEX
Beispiel 1. Gewinnmaximierung
Q = F ( K , L) Produktionsfunktion mit K Kapitalinput und L Arbeitsinput.
K: Preis pro Einheit Output sei p, Kosten pro Einheit Kapital sei r.
L: Preis pro Arbeitseinheit sei w.
p,r,w sind positive Konstanten.
Der Gewinn, π , bei der Produktion und den Verkauf von F(K,L) Einheiten ist:
π ( K , L) = pF ( K , L) − rK − wL .
Frage: Max π ( K , L) = pF ( K , L) − rK − wL mit K>0, L>0.
Wenn f differenzierbar, Bedingungen erster Ordnung:
π K' ( K , L) = pFK' ( K , L) − r = 0
π L' ( K , L) = pFL' ( K , L) − w = 0
3
Notwendige Bedingung, das Gewinn maximal, wenn K=K* und L=L*:
r
π K' ( K , L) = pFK' ( K , L) − r = 0 ⇒ FK' ( K , L) = ,
p
π L' ( K , L) = pFL' ( K , L) − w = 0 ⇒ FL' ( K , L) =
w
p
Grenzproduktivität des Kapitals ist gleich relativem Preis des Kapitals r/p,
Grenzproduktivität der Arbeit ist gleich relativem Preis der Arbeit w/p im Maximum.
1
Sei F ( K , L) = 6 K 1/ 2 L1/ 3 , p = , r = 0.1, w = 1 .
2
max π ( K , L) = pF ( K , L) − rK − wL
max π ( K , L) = 3K 1/ 2 L1/ 3 − 0.1K − L
(*)
,
Einsetzen (*) in 2.Gleichung ⇒ L* = 153 ⇒ K * = 154
Frage: Zeige L* = 153 , K * = 154
maximieren den Gewinn!!
3
4
2
π L'' ( K , L) = − K 1/ 2 L−5 / 3 < 0
3
π K'' ( K , L) = − K −3/ 2 L1/ 3 < 0
Stationäre Punkt (153 ,154 ) maximiert den gewinn (Theorem 13.2.1 )
13.3. Lokale Extrempunkte
Notwendige Bedingungen erster Ordnung
In einem lokalen Extrempunkt im Innern des Definitionsbereiches einer differenzierbaren
Funktion, sind alle partiellen Ableitungen erster Ordnung null.
Definition: Ein Sattelpunkt ist ein stationär Punkt mit der Eigenschaft, dass es Punkte (x,y)
beliebig nahe zu
gibt mit
und auch andere Punkte
.
Theorem 13.3.1: Bedingungen 2.Ordnung
Sei f(x,y) eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen 2.Ordnung in einem
Definitionsbereich S und sei
, der stationär für f sei. Sei
Dann gilt
(i) Wenn A<0 und
dann ist
ein (strikter) lokaler Maximumpunkt.
(ii) Wenn A>0 und
dann ist
ein (strikter) lokaler Minimumpunkt.
4
(iii) Wenn
dann ist
(iv) Wenn
ein Sattelpunkt.
dann kann
ein lokaler Maximum-Minimum-oder
Sattelpunkt sein
Die Bedingungen in (i), (ii) und (iii) heißen die (lokalen) Bedingungen 2.Ordnung
Beispiel 2. Ein Produkt werde auf zwei isolierten Märkten angeboten, die Preise und
Mengen seien Pi und Qi , i=1,2, wobei gelte:
P1 = 100 − Q1 , P2 = 90 − 2Q2
Die Kosten für Herstellung seien C = 10(Q1 + Q2 ) . Unter diesen Voraussetzungen besitzt die
Gewinnfunktion ein eindeutig bestimmtes Maximum. Bestimmen Sie die Mengen Qi und Pi ,
i=1,2, die die Gewinnfunktion maximieren.
Lösung: Die Gewinnfunktion ist
π (Q1 , Q2 ) = PQ
1 1 + P2 Q2 − C (Q1 , Q2 )
π (Q1 , Q2 ) = 100Q1 − Q12 + 90Q2 − 2Q2 2 − 10(Q1 + Q2 )
π (Q1 , Q2 ) = 90Q1 + 80Q2 − Q12 − 2Q2 2
Stationäre Punkten:
∂
π (Q1 , Q2 ) = 90 − 2Q1 = 0 ⇒ Q1 = 45
∂Q1
∂
π (Q1 , Q2 ) = 80 − 4Q2 = 0 ⇒ Q2 = 20
∂Q2
Bedingungen erster Ordnung
π (45, 20) = 90.(45) + 80(20) − 452 − 2.(20) 2 = 2825 ist die Gewinn,
wobei P1 = 100 − 45 = 55 , P2 = 90 − 2(20) = 50 .
Ist (45,20) eine Maximum- oder Minimumpunkt?
Bedingungen 2.Ordnung (Theorem 13.3.1)
∂2
A=
π (Q1 , Q2 ) = −2 < 0
∂Q1∂Q1
C=
∂
π (Q1 , Q2 ) = −4 < 0
∂Q2 ∂Q2
∂2
π (Q1 , Q2 ) = 0
∂Q1∂Q2
⇒ A < 0 , C<0 und AC − B 2 = −2(−4) − 0 = 8 > 0 ⇒ (45, 20) ist ein Maximumpunkt .
Beispiel 3. Die Funktion f sei für alle (x,y) definiert durch
f ( x, y ) = x3 + 2 xy − 6 y 2 . Bestimmen Sie die Maximum- und Minimumpunkte für f.
Lösung:
Stationäre Punkten:
5
∂
f ( x , y ) = 3 x 2 + 2 y = 0 ⇒ 2 y = −3 x 2
∂x
∂
f 2' ( x, y ) = 0 ⇒
f ( x, y ) = 2 x − 12 y = 0 ⇒ 12 y = 2 x
∂y
f1' ( x, y ) = 0 ⇒
(*)
(**)
Einsetzen (*) in die zweite Gleichung ergibt
stationäre Punkte
1.Fall: x = 0 ⇒ f1' (0, y ) = 2 y = 0 ⇒ y = 0
1
1
1
2. Fall: x = − ⇒ f1' (− , y ) = 0 ⇒ y = −
9
9
54
1
1
Bedingungen erster Ordnung: Stationäre Punkte (0, 0) und (− , − )
9 54
Wenn ( x, y ) = (0, 0) ⇒ f (0, 0) = 0
1
1
1
1
7
Wenn ( x, y ) = (− , − ) ⇒ f (− , − ) =
9 54
9 54
2916
Zur Klassifizierung der stationäre Punkte benötigen wir die zweiten Ableitungen.
∂ '
∂
f1 ( x, y ) = (3 x 2 + 2 y ) = 6 x
∂x
∂x
∂ '
∂
C = f 22'' ( x, y ) ⇒
f 2 ( x, y ) = (2 x − 12 y ) = −12 < 0
∂y
∂y
A = f11'' ( x, y ) ⇒
B = f12'' ( x, y ) ⇒
∂ '
∂
f1 ( x, y ) = (3 x 2 + 2 y ) = 2 > 0
∂y
∂y
Bedingungen 2.Ordnung
1.Fall: ( x, y ) = (0, 0)
A = f11'' (0, 0) = 0 ≤ 0
B = f12'' (0, 0) = 2 > 0
⇒ AC − B 2 = 0.(−12) − 22 = −4 < 0 ⇒ (0, 0) ist Sattelpunkt
C = f 22'' (0, 0) = −12 < 0
2. Fall: ( x, y ) = (
−1 −1
, )
9 54
6
6
−1 −1
, )=− <0
9 54
9
−1 −1
B = f12'' ( , ) = 2 ≥ 0
9 54
−
1 −1
C = f 22'' ( , ) = −12 < 0
9 54
A < 0 und
A = f11'' (
AC − B 2 =
−6
−1 −1
.(−12) − 22 = 4 > 0 ⇒ ( , ) ist ein lokaler Maximumpunkt :
9
9 54
13.5 Extremwertsatz
Definition:
(i)
(a,b) heißt Innerer Punkt der Menge S: wenn es einen Kreis mit Zentrum (a,b)
gibt, so dass alle Punkte innerhalb des Kreises in S liegen.
Die Offene Menge: wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.
(ii)
(iii)
(a,b) heißt ein Randpunkt einer Menge S, wenn jeder Kreis mit Zentrum (a,b)
sowohl Punkte aus S als auch aus dem Komplement von S enthält.
(iv)
Die Angeschlossene Menge: wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.
(v)
Die beschränkte Menge: wenn die ganze Menge in einem hinreichend großen
Kreis enthalten sind.
Beispiel 4.Die Menge aller (x,y) mit x ≥ 3, y ≥ 1 eine abgeschlossene, aber ungeschränkte
Menge.
Beispiel 5.Die Menge aller (x,y) mit x + y ≥ 9 ⇒ y ≥ 9 − x
eine abgeschlossene, aber
ungeschränkte Menge.
Beispiel 6.Die Menge aller (x,y) mit 4 < x 2 + y 2 ≤ 9 eine abgeschlossene und geschränkte
Menge.
Theorem 13.5.1: Sei f eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Menge
S in der Ebene. Dann existieren ein Punkt (a,b) in S, in dem f ein Minimum, und ein Punkt
(c,d) in S, in dem f ein Maximum hat so dass
für alle
.
Beispiel 7.
Die Funktion f sei auf dem Einheitsquadrat durch den folgenden Ausdruck definiert
f ( x, y ) = x 2 − 2 xy + y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 . Bestimmen Sie die globalen Extrempunkte.
Lösung:
Stationäre Punkten:
7
f x' ( x, y ) = 2 x − 2 y = 0 ⇒ x = y
1
2
1
1
Stationäre Punkt x = , y=
2
2
Randpunkte: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
f (0,1) = 1
f (0, 0) = 0
f y' ( x, y ) = −2 x + 1 = 0 ⇒ x =
1 1
1
f( , )=
2 2 4
f (1, 0) = 1
f (1,1) = 0
Das Minimum ist 0 und wird in (0,0) und (1,1) angenommen.
Das Maximum ist 1 und wird in (0,1) und (1,0) angenommen.
Beispiel 8.( S/H Aufgabe 13/2, Seite 572 )
Ein Unternehmen produziert zwei verschiedene Arten A und B eines Gutes. Die täglichen
Kosten der Herstellung von Q1 Einheiten von A und Q2 Einheiten von B sind
C (Q1 , Q2 ) = 0.1(Q12 + Q1Q2 + Q22 ) . Nehmen Sie dass das Unternehmen den gesamten Output
zu einem Preis pro Einheit von P1 = 120 für A und P2 = 90 für B verkauft.
a. Bestimmen Sie die täglichen Produktionsmengen, die den Gewinn maximieren.
Lösung:
Stationäre Punkte:
Bedingungen zweite Ordnung:
Theorem 13.2.1:
b. Welcher Preis ( P1 ) pro Einheit von A würde implizieren, dass die optimale tägliche
Produktionsmenge von A gleich 400 Einheiten sind?
Gegeben
,
Bedingungen zweite Ordnung:
8
Beispiel 9.( S/H Aufgabe 13/4, Seite 572 )
Gegeben f ( x, y ) = ( x + y − 2) 2 + ( x 2 + y − 2)2
a. Bestimmen Sie die stationären Punkte von f. Klassifizieren Sie diese, indem Sie die
zweite partiellen Ableitungen untersuchen.
b. Beweisen Sie, dass f globale Minima in zwei der stationären Punkte hat.
Lösung:
a. Bestimmen Sie die stationären Punkte von f. Klassifizieren Sie diese, indem Sie die
zweite partiellen Ableitungen untersuchen.
Stationäre Punkte:
1. Fall :
2. Fall :
1.Fall
2.Fall
Bedingungen zweite Ordnung:
(x,y)
A
B
C
(0,2)
(1,1)
2
10
2
6
4
4
4
4
)
4
4
-2
0
0
2.14
Lokaler Minimum
Lokaler Minimum
Sattelpunkt
b. Beweisen Sie, dass f globale Minima in zwei der stationären Punkte hat.
Theorem. 13.2.1 Hinreichende Bedingung für Extreme Punkt
Lokaler Minima (0,2) und (1,1) sind auch globaler Minima.
9
Beispiel 10.( S/H Aufgabe 13/10, Seite 573 )
Gegeben f ( x, y ) = x 2 − y 2 − xy − x 3
a. Bestimmen Sie die stationären Punkte von f.
b. Bestimmen Sie den Bereich S in dem f konkav ist und bestimmen Sie die größten
Wert f in S.
Lösung: Bedingungen 1. Ordnung
Stationäre Punkte:
Bedingungen 2. Ordnung
(x,y)
A
B
C
(0,0)
2
-1
-1
-2
-2
-3
-5
5
0.289
2.14
Sattelpunkt
Lokaler Maximum
b. Bestimmen Sie den Bereich S in dem f konkav ist und bestimmen Sie die größten Wert f in
S.
(Theorem 13.2.1 a. )
<0, und
.
Beispiel 11.( S/H Aufgabe 13/5, Seite 573 )
Der Gewinn, der ein Unternehmen durch die Produktion und den verkauf von x bzw. y
Einheiten von zwei Marken eines Gutes erzielt, ist gegeben durch
P( x, y ) = −0.1x 2 − 0.2 y 2 − 0.2 xy + 47 x + 48 y − 600
a. Finden Sie sie Produktionsmengen, die den Gewinn maximieren.
10
b. Die Verfügbarkeit des Rohmaterials ist begrenzt, so dass die Gesamtproduktion auf 200
Einheiten beschränkt ist. Bestimmen Sie die Produktionsmengen, die jetzt den gewinn
maximieren.
a. Lösung: Bedingungen 1. Ordnung
Stationäre Punkt:
(230, 5) ist der stationäre Punkt.
Lösung mit Matrizen
In Matrix Notation:
___________________________________________________________
Definition: Inverse von Matrix A
Gegeben
Dann, stationäre Punkt :
Bedingungen zweite Ordnung:
Stationäre Punkt gibt Maximum Gewinn.
b. Lösung
Nebenbedingung in Gesamtproduktion:
Stationäre Punkt (235, 5) nicht erfüllt die Nebenbedingungen wenn
Wenn y ist fixiert im Punkt
.
Hat der Funktion eine Maximum wert im
= (195,5)??
Bedingungen zweiter Ordnung verbleibt dieselbe.
.
,
11
Kapitel 14. Optimierung unter Nebenbedingungen
Verbraucher überlegt, wie viel x er von einem Gut kaufen kann, wenn der Preis pro Einheit p
ist und er ein Einkommen m hat, Ausgaben für andere Güter seien y.
Budgetbeschränkung: px + y = m
Verkäufer wählt ( x, y ) so dass der Nutzenfunktion u ( x, y ) maximiert wird unter der
Nebenbedingung px + y = m .
Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren
max f ( x, y ) unter der Nebenbedingung g ( x, y ) = c (*)
Lagrange-Multiplikator λ (Konstant)
Lagrange-Funktion L = f ( x, y ) − λ ( g ( x, y ) − c)
Partielle Ableitungen:
L'1 = f1' ( x, y ) − λ g1' ( x, y )
L'2 = f 2' ( x, y ) − λ g 2' ( x, y )
Eine Lösung von (*) kann nur ein Punkt (x,y) sein, in dem die partiellen Ableitungen von L
verschwinden.
Beispiel 1. Verbraucher hat Nutzenfunktion
U ( x, y ) = xy unter der Nebenbedingung-Budgetbeschraenkung 2 x + y = 100 .
Maximiere den Nutzen unter dieser Einschränkung.
Lösung:
1. Bilde die Lagrange-Funktion
Lagrange-Funktion L = xy − λ (2 x + y − 100)
2. Differenziere L nach x, y
Bedingungen 1.Ordnung : Die drei Gleichungen sind
3. Löse diese drei Gleichungen simultan für die 3 Unbekannten: x, y, λ .
L'1 = y − 2λ = 0 ⇒ y = 2λ
L'2 = x − λ = 0 ⇒ x = λ
⇒ 2λ + 2λ = 100 ⇒ λ = 25
⇒ L'1 = y − 2(25) = 0 ⇒ y = 50
⇒ L'2 = x − 25 = 0 ⇒ x = 25
( x, y ) = (25, 50) maximiert U(x,y)=xy unter 2 x + y = 100 .
12
Beispiel 2: Verbraucher habe Nutzenfunktion
U ( x, y ) = 100 x 3/ 4 y1/4 unter Budgetbeschraenkung 150 x + 250 y = 50000
Finde die einzig mögliche Lösung, die den Nutzen unter der Nebenbedingung maximiert.
Lösung:
Lagrange-Funktion L = 100 x3/ 4 y1/ 4 − λ (150 x + 250 y − 50000)
Partielle Ableitungen:
Gleichungen:
Lösen die Gleichungen
in
Maximum Produktionswert ist U ( x, y ) = 100(250)3/ 4 (50)1/4 =16719
Anmerkung: Ökonomen nennen λ einen Schattenpreis der Ressource. Zuwachs im Output,
der durch die Erhöhung von c auf (c+1) wird durch λ approximiert.
Beispiel 3: Löse das Problem
max(min) f ( x, y ) = x 2 +y 2 unter g ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 = 3
Lösung:
L = x 2 + y 2 − λ ( x 2 + xy + y 2 − 3)
Bedingungen 1.Ordnung:
L'1 = 2 x − λ (2 x + y ) = 0 (i )
L'2 = 2 y − λ (2 y + x) = 0 (ii )
x 2 + xy + y 2 = 3 (iii )
13
Ersetzen in (ii )
1. Fall: y = x
2
3
Ersetzen in (iii)
y = x ⇒ λ=
x 2 + xy + y 2 = 3 ⇒ 3 x 2 = 3 ⇒ x = ±1
x = 1, y = 1 und x = −1, y = −1
2. Fall: y = − x
Ersetzen in (iii)
3. Fall: 2 x + y ≠ 0 ⇒ 2 x = − y, wenn (0, 0) dieser Fall tritt nicht ein!!
4. Funktionswerte:
f (1,1) = 2 Minimierung
f (−1, −1) = 2 Minimierung
f ( 3, − 3) = 6 Maximierung
f (− 3, 3) = 6 Maximierung
14