Mathematik beschreibt die Welt

Universität Karlsruhe (TH)
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Forschungsuniversität · gegründet 1825
Mathematik beschreibt die Welt
Willy Dörfler und Christian Wieners
Universität Karlsruhe (TH)
Institut für Angewandte und Numerische Mathematik
Forschungsuniversität · gegründet 1825
Mathematik berechnet die Welt
Willy Dörfler und Christian Wieners
Gauß und Ceres
Carl Friedrich Gauß (1777–1855)
Der Kleinplanet Ceres im Asteriodengürtel zwischen Mars und Jupiter wurde
erstmals am 1. Januar 1801 von Giuseppe Piazzi beobachtet. Bis zum
11. Februar konnte er 24-mal seine Position bestimmen, bevor seine
Umlaufbahn von der Sonne verdeckt wurde. Danach ist es ihm nicht
gelungen, Ceres wieder zu finden. Piazzis Beobachtungen wurden im
September 1801 veröffentlicht.
1
Gauß und Ceres
Carl Friedrich Gauß (1777–1855)
Der Kleinplanet Ceres im Asteriodengürtel zwischen Mars und Jupiter wurde
erstmals am 1. Januar 1801 von Giuseppe Piazzi beobachtet. Bis zum
11. Februar konnte er 24-mal seine Position bestimmen, bevor seine
Umlaufbahn von der Sonne verdeckt wurde. Danach ist es ihm nicht
gelungen, Ceres wieder zu finden. Piazzis Beobachtungen wurden im
September 1801 veröffentlicht.
Carl Friedrich Gauß konnte aus den Beobachtungsdaten die Umlaufbahn
hinreichend genau bestimmen. Fast genau an der vorhergesagten Position
wurde Ceres am 31. Dezember 1801 von Franz Xaver Zach
und Heinrich W. M. Olbers wieder entdeckt.
1
Kepler und die Ellipsen
Johannes Kepler (1571–1630)
Die erste mathematischen Beschreibung der Bewegung von Himmelskörpern
wurde von Johannes Kepler entwickelt.
Erstes keplersches Gesetz. Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine
Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.
Die Keplerschen Gesetze stellen die exakte Lösung des Zweikörperproblems
dar. Sie gelten exakt für Massenpunkte und für kugelsymmetrische
Himmelskörper, wenn außer der Gravitation alle weiteren Kräfte
vernachlässigt werden.
2
Mathematische Beschreibung einer Ellipse
(0, b)
(a, 0)
Die Ellipsengleichung. Die Punktmenge
n
o
x2 y2
E := (x, y ) ∈ R2 : 2 + 2 = 1
a
b
beschreibt eine Ellipse E in der x-y –Ebene um den Punkt (0, 0) und durch
die Punkte (a, 0) und (0, b).
3
Lösung der Ellipsengleichung
Problem. Es seien zwei Punkte (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) gegeben.
Man bestimme a > 0 und b > 0 mit
x12 y12
x22 y22
+ 2 =1
und
+
= 1.
2
a
b
a2 b 2
4
Lösung der Ellipsengleichung
Beobachtung. Kleine Änderungen an den Koordinaten (x1 , y1 ) und (x2 , y2 )
können große Änderungen in a und b ergeben.
Ziel. Man finde eine Methode zur Bestimmung der Ellipse, die bei ungenau
gemessenen Daten trotzdem eine sinnvolle Näherung ergibt.
5
Lösung der Ellipsengleichung
Definition. Eine Aufgabenstellung heißt gut konditioniert, wenn kleine
Änderungen an den Daten nur zu kleinen Änderungen der Lösung führen;
sonst heißt sie schlecht konditioniert.
Ein Algorithmus zur Lösung eines gut konditionierten Problems heißt
gut konditioniert, wenn kleine Änderungen an den Daten nur zu kleinen
Änderungen der algorithmisch berechneten Lösung führen.
6
Lösbarkeit der Ellipsengleichung?
Problem. Es seien Punkte (xn , yn ) für n = 1, ..., N gegeben.
Man bestimme a > 0 und b > 0 mit
xn2 yn2
+
=1
für alle
n = 1, ..., N .
a2 b 2
7
Beste Approximation der Ellipse
Ausgleichs–Problem. Es seien Punkte (xn , yn ) für n = 1, ..., N gegeben.
Man bestimme a > 0 und b > 0, so dass die Summe der quadratischen
Abweichungen minimal wird:
!2
N
xn2 yn2
+
−
1
= min!
∑ 2 b2
n=1 a
8
Lösung linearer Ausgleichsprobleme
Definiere
α=
1
,
a2
β=
1
,
b2
N
a11 =
∑ xn2 xn2 ,
N
a12 = a21 =
n=1
N
c1 =
∑ xn2 ,
∑ xn2 yn2 ,
N
a22 =
n=1
∑ yn2 yn2 ,
n=1
N
c2 =
n=1
∑ yn2 .
n=1
Dann gilt
N
∑
n=1
!2
xn2 yn2
= a11 α 2 + 2a12 αβ + a22 β 2 − 2c1 α − 2c2 β − N .
+
−
1
a2 b 2
Satz. Die Lösung des linearen Ausgleichsproblems berechnet sich aus der
Lösung des linearen Gleichungssystems
a11 α + a12 β
=
c1 ,
a21 α + a22 β
=
c2 .
C. F. Gauß (1809): Theoria Motus Corporum Coelestium
(... allgemeine Lösung mit Matrizen ...)
9
Newton und die klassische Mechanik
Isaac Newton (1642–1727)
In der klassischen Mechanik wird die Bewegung einer Punktmasse m am
Punkt x = (x, y , z) durch die Newtonschen Gesetze bestimmt.
Kraftgesetz:
Masse m × Beschleunigung a = Kraft F .
Gravitationsgesetz:
F (xx ) = −G
mM
(xx −yy ).
x
|x −yy |3
Dabei ist G die Gravitationskonstante und M die Masse im Punkt y .
10
Euler und das Polygonzug–Verfahren
Leonhard Euler (1707–1783)
Die Bewegung wird durch einen Polygonzug x 0 , x 1 , x 2 , ... approximiert.
Der Anfangszustand sei zum Zeitpunkt t = 0 bekannt:
Position x 0 , Geschwindigkeit v 0 .
Sei ∆t ein Zeitinkrement. Nun berechne für n = 1, 2, 3, ...
F (xx n−1 )
v n = v n−1 + ∆t
m
x n = x n−1 + ∆t v n
11
Hamilton und die Energieerhaltung
William Rowan Hamilton (1805–1865)
Die Gesamtenergie H(xx ,vv ) = 12 m|vv |2 + U(xx ) bleibt erhalten.
In der Regel geht die Energieerhaltung bei der Approximation verloren.
Verbessertes Schema: Man berechne für n = 1, 2, 3, ...
F (xx n )
v n+1 = v n−1 + 2∆t
m
x n+2 = x n + 2∆t v n+1
12
Hamilton und die Energieerhaltung
William Rowan Hamilton (1805–1865)
Die Gesamtenergie H(xx ,vv ) = 12 m|vv |2 + U(xx ) bleibt erhalten.
In der Regel geht die Energieerhaltung bei der Approximation verloren.
Verbessertes Schema: Man berechne für n = 1, 2, 3, ...
F (xx n )
v n+1 = v n−1 + 2∆t
m
x n+2 = x n + 2∆t v n+1
Satz. (Hairer, Lubich, Wanner 1994)
Es gilt |H(xx (tn ),vv (tn )) − H(xx n ,vv n )| ≤ Ct für t < (∆t)−2 .
12
Das 3–Körper–Problem
Berechne die Bewegung von Punktmassen an den Positionen x 1 ,xx 2 ,xx 3 und
der Massen M1 , M2 , M3 im Gravitationsfeld.
Berechne für n = 1, 2, 3, ...
M2
M3
3 x1
2 x1
x
x
(x
−x
)
(x
−x
)
+
n
n
n
n
|xx 2n −xx 1n |3
|xx 3n −xx 1n |3
M1
M3
3 x2
1 x2
x
x
v 2n−1 − 2∆t G
(x
−x
)
(x
−x
)
+
n
n
n
n
|xx 1n −xx 2n |3
|xx 3n −xx 2n |3
M2
M1
1 x3
2 x3
x
x
(x
−x
)
+
(x
−x
)
v 3n−1 − 2∆t G
n
n
n
n
|xx 1n −xx 3n |3
|xx 2n −xx 3n |3
v 1n−1 − 2∆t G
v 1n+1
=
v 2n+1
=
v 3n+1
=
x 1n+2
=
x 1n + 2∆t v 1n+1
x 2n+2
=
x 2n + 2∆t v 2n+1
x 3n+2
=
x 3n + 2∆t v 3n+1
Eine analytische Lösung für das 3–Körper–Problem ist nicht möglich.
13
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
Differenz
14
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
12 Stunden
105.18 Millonen km
Differenz
1.10 Millonen km
14
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
12 Stunden
105.18 Millonen km
6 Stunden
105.57 Millonen km
Differenz
1.10 Millonen km
0.39 Millonen km
14
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
12 Stunden
105.18 Millonen km
6 Stunden
105.57 Millonen km
3 Stunden
105.71 Millonen km
Differenz
1.10 Millonen km
0.39 Millonen km
0.16 Millonen km
14
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
12 Stunden
105.18 Millonen km
6 Stunden
105.57 Millonen km
3 Stunden
105.71 Millonen km
90 Minuten
105.78 Millonen km
Differenz
1.10 Millonen km
0.39 Millonen km
0.16 Millonen km
0.07 Millonen km
14
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
12 Stunden
105.18 Millonen km
6 Stunden
105.57 Millonen km
3 Stunden
105.71 Millonen km
90 Minuten
105.78 Millonen km
Differenz
1.10 Millonen km
0.39 Millonen km
0.16 Millonen km
0.07 Millonen km
Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wenn
der Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet.
14
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
12 Stunden
105.18 Millonen km
6 Stunden
105.57 Millonen km
3 Stunden
105.71 Millonen km
90 Minuten
105.78 Millonen km
Differenz
1.10 Millonen km
0.39 Millonen km
0.16 Millonen km
0.07 Millonen km
Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wenn
der Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet.
Herausforderung.
Berechnung einer zuverlässigen Fehlerschranke.
14
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
12 Stunden
105.18 Millonen km
6 Stunden
105.57 Millonen km
3 Stunden
105.71 Millonen km
90 Minuten
105.78 Millonen km
Differenz
1.10 Millonen km
0.39 Millonen km
0.16 Millonen km
0.07 Millonen km
Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wenn
der Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet.
Herausforderung.
Berechnung einer zuverlässigen Fehlerschranke.
Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt stabil, wenn
Erhaltungsgrößen beschränkt bleiben.
14
Das 3–Körper–Problem
Beispiel: Simulation einer Satellitenbahn von der Erde zur Venus (120 Tage)
Zeitschrittweite ∆t
Entfernung Satellit-Venus
24 Stunden
106.28 Millonen km
12 Stunden
105.18 Millonen km
6 Stunden
105.57 Millonen km
3 Stunden
105.71 Millonen km
90 Minuten
105.78 Millonen km
Differenz
1.10 Millonen km
0.39 Millonen km
0.16 Millonen km
0.07 Millonen km
Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt konvergent, wenn
der Fehler für immer kleiner Schrittweiten verschwindet.
Herausforderung.
Berechnung einer zuverlässigen Fehlerschranke.
Definition. Ein numerisches Näherungsverfahren heißt stabil, wenn
Erhaltungsgrößen beschränkt bleiben.
Herausforderung. Konstruktion von konvergenten Näherungsverfahren,
die effizient und stabil sind.
14
Swing-by-Manöver
Beschleunigen:
Bremsen:
Kreuzen der Planetenbahn kurz hinter dem Planeten
Kreuzen der Planetenbahn kurz vor dem Planeten
15
Swing-by-Manöver
Beschleunigen:
Bremsen:
Kreuzen der Planetenbahn kurz hinter dem Planeten
Kreuzen der Planetenbahn kurz vor dem Planeten
Beispiel: Die NASA/ESA-Raumsonde Cassini-Huygens flog nach dem
Start am 15. Oktober 1997 zweimal an der Venus, einmal an der Erde sowie
einmal am Jupiter vorbei, bis sie durch diese Swing-by-Manöver genug
Energie hatte, ihr Ziel, den Saturn, am 1. Juli 2004 zu erreichen.
15
Das N–Körper–Problem
Berechne die Bewegung von Punktmassen x = (xx k )k =1,...,N im
Mj Mk
Gravitationsfeld F k (xx ) = −G ∑ j
(xx j −xx k ):
k |3
x
x
|x
−x
j6=k
Berechne für n = 1, 2, 3, ...
F (xx )
v kn+1 = v kn−1 + 2∆t k
Mk
x kn+2
=
x kn + 2∆t v kn+1 .
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Das N–Körper–Problem
Berechne die Bewegung von Punktmassen x = (xx k )k =1,...,N im
Mj Mk
Gravitationsfeld F k (xx ) = −G ∑ j
(xx j −xx k ):
k |3
x
x
|x
−x
j6=k
Berechne für n = 1, 2, 3, ...
F (xx )
v kn+1 = v kn−1 + 2∆t k
Mk
x kn+2
=
x kn + 2∆t v kn+1 .
Berechnung der Galaxienverteilung im Weltall:
Simulation der Bewegung
von 130 Millionen Partikeln
seit dem Urknall vor 14 Milliarden Jahren
http://www.galaxydynamics.org
16
Berechnungsfehler und Grenzen der Berechenbarkeit
Am 4. Juni 1996 explodierte kurz nach dem
Start die erste Ariane 5 Rakete durch einen Softwarefehler.
Die Horizontalgeschwindigkeit wurde durch eine
Gleitkommazahl
v ∈ [−10308 , −10−308 ] ∪ {0} ∪ [10−308 , 10308 ]
dargestellt.
Innerhalb der Rechnung wurde die Zahl versehentlich in eine ganzzahlige Darstellung
i ∈ {0, 1, 2, ..., 32 767}
konvertiert.
Als die Geschwindigkeit v > 32 767 erreichte, verlor die Software die Geschwindigkeitsinformation
und damit schließlich die Orientierung.
http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html
http://www5.in.tum.de/ huckle/bugse.html
17
Berechnungsfehler und Grenzen der Berechenbarkeit
Am 25.
Februar 1991 während des ersten Golfkriegs in Dharan, Saudi Arabien, verfehlte eine amerikanische Patriot–Rakete eine
anfliegende irakische Scud Rakete durch eine
falsche Zeitberechnung.
Eine 1/10 Sekunde wurde ungenau dargestellt
(durch Rundungsfehler wurde die periodische
Dualentwicklung
0.0001100110011001100110011001100....
in der Computerdarstellung zu
0.00011001100110011001100
abgeschnitten), so dass nach 100 Stunden Betriebszeit eine Zeitdifferenz von ca. 0.3 Sekunden
entstand. Dieser Fehler wurde nicht in allen Teilen
des Betriebsprogramms korrigiert.
http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html
http://www5.in.tum.de/ huckle/bugse.html
18
Berechnungsfehler und Grenzen der Berechenbarkeit
Am 23. August 1991 sank vor der norwegischen
Küste die Ölbohrplattform Sleipner A, da an einer
Schwachstelle die Konstruktion versagte.
Die Fehlerkontrolle in der Finite–Elemente–
Berechnung der Statik war ungenügend, so dass
die Schwachstelle an einem Kreuzungspunkt von
drei Verstrebungen in der Planung nicht entdeckt
wurde.
http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html
http://www5.in.tum.de/ huckle/bugse.html
19
Fehlerschätzung
Wie kann man solche Desaster verhindern?
Was ist genau passiert?
Beispiel
Wir betrachten eine elastische
Fläche der Gestalt
20
Fehlerschätzung
Wie kann man solche Desaster verhindern?
Was ist genau passiert?
Beispiel
Wir betrachten eine elastische
Fläche der Gestalt
Unter Belastung konzentrieren
sich die Spannungen
20
Fehlerschätzung
Wir kennen dieses Phänomen
aus der Elektrostatik
(“Spitzenwirkung”).
21
Fehlerschätzung
Wir kennen dieses Phänomen
aus der Elektrostatik
(“Spitzenwirkung”).
Ein berechenbares Problem erhält man durch Diskretisierung, hier durch eine
Dreieckszerlegung (“Triangulierung”) des Gebietes.
21
Fehlerschätzung
Für abnehmende Dreiecksdurchmesser erhalten wir eine zunehmend
bessere Annäherung an die tatsächliche Lösung.
−0.8
log10(Fehler(N))
−1
−1.2
−1.4
−1.6
1.5
2
2.5
log10(N)
3
3.5
22
Fehlerschätzung
Der Spitzeneffekt verschlechtert die Konvergenz!
−0.6
Singulaer
Glatt
−0.8
−1
−1.2
log10(Fehler(N))
Der Fehler für ein Problem
ohne Spitzeneffekt fällt
viel schneller als für ein Problem
mit Spitzeneffekt.
−1.4
−1.6
−1.8
−2
−2.2
−2.4
−2.6
1
1.5
2
2.5
3
log10(N)
3.5
4
4.5
ABER: Wie können wir entscheiden, wann es genug ist?
23
Fehlerschätzung
Der Spitzeneffekt verschlechtert die Konvergenz!
−0.6
Singulaer
Glatt
−0.8
−1
−1.2
log10(Fehler(N))
Der Fehler für ein Problem
ohne Spitzeneffekt fällt
viel schneller als für ein Problem
mit Spitzeneffekt.
−1.4
−1.6
−1.8
−2
−2.2
−2.4
−2.6
1
1.5
2
2.5
3
log10(N)
3.5
4
4.5
ABER: Wie können wir entscheiden, wann es genug ist?
Lösung:
(1) Fehlerkontrolle
(2) Lokale Gitterverfeinerung
23
Adaptive Finite Elemente Methode
Exakter Fehler (adaptiv)
Gesch. Fehler (adaptiv)
Exakter Fehler (uniform)
−0.8
10
log (Fehler(N))
−1
−1.2
−1.4
−1.6
−1.8
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
log10(N)
2.4
2.6
2.8
3
24
Adaptive Finite Elemente Methode
Exakter Fehler (adaptiv)
Gesch. Fehler (adaptiv)
Exakter Fehler (uniform)
−0.8
10
log (Fehler(N))
−1
−1.2
−1.4
−1.6
−1.8
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
log10(N)
2.4
Quantitative Betrachtung.
2.6
2.8
3
Ein Resultat mit Fehler
Problem
Gitter
N∼
Singulär
Singulär
uniform
adaptiv
TOL −3
TOL −2
Gewinnfaktor
TOL
= 1%
TOL
erfordert
TOL
= 0.1%
N ∼ 106
N ∼ 104
N ∼ 109
N ∼ 106
100
1000
24
Adaptive Finite Elemente Methode
Exakter Fehler (adaptiv)
Gesch. Fehler (adaptiv)
Exakter Fehler (uniform)
−0.8
−1.2
10
log (Fehler(N))
−1
−1.4
−1.6
−1.8
1.2
I
I
1.4
1.6
1.8
2
2.2
log10(N)
2.4
2.6
2.8
3
Entwicklung des Konzeptes: ca. 1978
Konvergenz und Optimalität des Verfahrens 1996–2006
Theorem. Man kann den Fehler einer numerischen Lösung derartiger
Probleme zuverlässig schätzen. Die Gesamtzahl der arithmetischen
Operationen entspricht (im wesentlichen) der optimalen Anzahl.
25