Fabian Steiner - fabis

Werbung
Formelsammlung Schaltungstechnik I
1
1 Kirchhoff’sche Gesetze
Gültigkeit nur dann gegeben, wenn Bedingung d λ = fc erfüllt ist (d: räumliche Ausdehnung der Schaltung,
c: Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium , f : Signalfrequenz).
P
→ KCL: Knoten ik (t) = 0: in einen Knoten hineinfließende Ströme werden negativ gezält, andere positiv
P
→ KVL: M aschen um (t) = 0: Spannungen in Umlaufrichtung der Masche positiv, andere negativ
2 Resistive Eintore (Zweipole)
2.1 Beschreibungsformen
→ implizite Darstellung: (existiert immer, nicht eindeutig): Nullstellenmenge fF (u, i) = 0, Beispiel: Diodenkennlinie in impliziter Form fF (u, i) = i − Is (exp UuT − 1) = 0
→ parametrisierte Darstellung: (nicht eindeutig): u = uF (λ), i = iF (λ)
→ explizite Darstellung: (eindeutig): u = r(i), i = g(u)
Sofern möglich, stets explizite Funktionsgleichungen verwenden!
2.2 Eigenschaften
→ gepolt/ungepolt: bei ungepolten Bauteilen ist die Kennlinie punktsymmetrisch zum Ursprung; d.h. falls
(u, i) ∈ F ⇒ (−u, −i) ∈ F
→ aktiv/passiv: F heißt aktiv, falls ∃(u, i) ∈ F : u · i < 0 (Kennlinie besitzt einen gewissen Teil im zweiten
oder vierten Quadranten) F heißt passiv, falls ∀(u, i) ∈ F : u · i > 0 (Kennlinie verläuft nur im ersten und
dritten Quadranten)
→ verlustfrei/verlustbehaftet: F heißt verlustfrei, falls ∀(u, i) ∈ F : u · i = 0, F heißt verlustbehaftet,
falls ∃(u, i) ∈ F : u · i 6= 0
→ quellenfrei: (u = 0V, i = 0A) ∈ F
→ stromgesteuert: es existiert eine explizite Beschreibung der Form u = r(i) (Strom als steuerende Größe
für die Spannung)
→ spannungsgesteuert: es existiert eine explizite Beschreibung der Form i = g(u) (Spannung als steuernde
Größe für den Strom)
→ strenglinear: Kennlinie des Bauteils ist eine lineare Funktion mit (u = 0V, i = 0A) ∈ F
→ linear: Kennlinie des Bauteils ist eine affine Funktion: (u = 0V, i = 0A) ∈
/ F im Allgemeinen
→ dual: Strom und Spannung ändern ihre Rolle: (u, i) ∈ F ⇒ (Rd i, Rud ) ∈ Fd ; graphisch geschieht eine Dualwandlung durch Spiegelung der Kennlinie an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten
(auf richtige Skaleneinteilung achten)
2.3 Zusammenschaltung von Eintoren
→ Serienschaltung:
R1
R2
Rges = R1 + R2
Graphisches Vorgehen: Addition der Spannungswerte bei gleichen Stromwerten (Graphen nebeneinander)
Fabian Steiner, <[email protected]>
→ Parallelschaltung:
R1
R2
Rges = R1 k R2 =
R1 R2
R1 +R2
= G1 + G2
Graphisches Vorgehen: Addition der Stromwerte
bei gleichen Spannungswerten (Graphen untereinander)
Formelsammlung Schaltungstechnik I
2
2.4 Quellwandlungen
Oftmals kann sich die Analyse einer Schaltung vereinfachen, wenn eine Quellwandlung vorgenommen wird. Insbesondere bei einer Knotenspannungsanalyse ist dieser Schritt sogar erforderlich:
→ Mayer-Norton:
→ Helmholtz-Thévenin:
i0
R
U0
u0
I0 =
U0
R
i0
G=
1
R
i0 = Gu0 − GU0 = Gu0 − I0 , mit G =
u0 = U0 + Ri0
1
R
ACHTUNG! Geänderte Zählpfeilrichtung unbedingt beachten!
2.5 Linearisierung von nicht-linearen Bauelementen
0
1
11
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
11
00
0
1
11
00
0
1
0
1
0
1
01
1
0
01
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
01
1
0
01
1
0
0
1
1111
0000
0
1
R
i0
i
u0
u
U0
Q
IAP
AP
1. Arbeitspunktbestimmung (graphisch oder rechnerisch): hierzu ist
zunächst eine Aufteilung der Schaltung in Quellen- und Lasteintor
nötig (wie auch in nebenstehender Graphik veranschaulicht)
• graphische Arbeitspunktbestimmung: hierzu wird in den Graphen des Eintors die externe Quellenkennlinie Qx (Quellenkennlinie Q gespiegelt an der u-Achse) eingezeichnet; die hierdurch entstehenden Schnittpunkt spezifizieren mögliche APs
• rechnerische Arbeitspunktbestimmung: der Ansatz hierfür
besteht in den beiden folgenden Gleichungen, die nach einer
passenden Variablen aufgelöst und anschließend in einander
eingesetzt werden:
UAPU0
Qx
u = u0
i = −i0
2. Linearisierung der Beschreibungsgleichungen u = r(i), i = g(u) in der Umgebung des AP
• graphische Linearisierung: Errichten einer Tangente an die Eintor-Kennlinie im gemeinsamen AP
• rechnerische Linearisierung: Berechnen der Steigung der Tangente durch Ableiten im AP, Einsetzen
in die Punkt-Steigungs-Form (y = m(x − x0 ) + y0 )
dr(i) = r ⇒ ∆u = r(∆i − IAP ) + UAP
di AP
dg(u) = g ⇒ ∆i = g(∆u − UAP ) + IAP
du AP
Fabian Steiner, <[email protected]>
Formelsammlung Schaltungstechnik I
3
2.6 Wichtige Eintore
Bauteilsymbol
Beschreibung
Kennlinie
Leerlauf: u = beliebig, i = 0
Kurzschluss: u = 0, i = beliebig
Nullator: u = 0, i = 0
Norator: u = beliebig, i = beliebig
R=
1
G
G
Widerstand: u = Ri, i = Gu
R
G
konkaver Widerstand: beschrieben durch das Parameterpaar (G, U ): Kennlinie besteht demnach aus einer Halbgerade von (−∞, U ) auf der u-Achse sowie einer weiteren Halbgeraden vom Punkt (U, 0) aus und der
Steigung G; kann zur besseren Modellierung einer realen
Diode genutzt werden G
konvexer Widerstand: beschrieben durch das Parameterpaar (R, I): Kennlinie besteht demnach aus einer
Halbgerade von (−∞, I) auf der i-Achse sowie einer weiteren Halbgeraden vom Punkt (0, I) und der Steigung
1/R
U
I
R
reale Diode
realle Diode
ideale Diode
pn-Diode: u = UT (ln ( Iis + 1)), i = Is (eu/UT − 1)
ideale Diode: id = 0A für uD < 0V , id = beliebig für
uD = 0V (bei Schaltungsanalyse jeweils Fallunterscheidung nach den beiden Bereichen notwendig)
Zenerdiode: unterhalb der Zenerspannung UZ fließt
ein großer Strom (Zenereffekt); häufig zur Spannungsstabilisierung eingesetzt
U0
ideale Diode
UZ
Spannungsquelle: u = U0 , i = beliebig
U0
I0
Stromquelle: u = beliebig, i = I0
Fabian Steiner, <[email protected]>
I0
Formelsammlung Schaltungstechnik I
4
3 Zweitore (Vierpole)
3.1 Beschreibungsformen
u
→ Kernbeschreibung: diese entspricht der impliziten Beschreibung bei Eintoren: M N ·
= 0; sind
i
M oder N invertierbar so lassen sich hieraus auch die entsprechenden expliziten Beschreibungen gewinnen
u
U
→ Bildbeschreibung:
=
· c; die Matrix
i
I
 (1)
u1
 (1)
U
u2
=  (1)
I
 i1
(1)
i2

(2)
u1
(2) 
u2 
(2) 
i1 
(2)
i2
ist dabei die Betriebsmatrix, welche stets durch zwei möglichst einfache, linear unabhängige Messungen
(1)
(2)
(z.B. 1. Messung u1 = 1V , u2 (1) = 0V , 2. Messung: u1 = 0V , u2 (2) = 1V ) bestimmt werden kann;
folglich keine eindeutige Lösung möglich, da beliebig mit Skalar multiplizierbar
→ explizite Beschreibung:
–
–
–
–
–
–
Widerstandsbeschreibung: u1 = r1 (i1 , i2 ), u2 = r2 (i1 , i1 )
Leitwertsbeschreibung: i1 = g1 (u1 , u2 ), i2 = g2 (u1 , u2 )
Hybridbeschriebung: u1 = h1 (i1 , u2 ), i2 = h2 (i1 , u2 )
inverse Hybridbeschreibung: i1 = h01 (u1 , i2 ), u2 = h02 (u1 , i2 )
Kettenbeschreibung: u1 = a1 (u2 , −i2 ), i1 = a2 (u2 , −i2 )
inverse Kettenbeschreibung: u2 = a01 (u1 , −i1 ), i2 = a02 (u1 , −i1 )
3.2 Umrechnen der Zweitormatrizen
Tabelle zur Umrechnung siehe letzte Seite dieser Formelsammlung.
3.3 Eigenschaften
→ verlustlos: ∀t : p1 (t) + p2 (t) = 0 ⇔ uT · i = 0; anderenfalls ist das Zweitor verlustbehaftet
u
→ aktiv/passiv: F heißt aktiv, falls ∃
∈ F : uT · i < 0; der Fall eines passiven Zweitors liegt also vor
i
u
wenn ∀
∈ F : uT · i ≥ 0; Aktivität und Verlustlosigkeit schließen demnach einander aus!
i
→ Dualität: wie auch bei Eintoren tauschen hier u und i über die Dualitätskonstante Rd ihre Rollen:
d
U = Rd · Id , I = U
Rd
→ Umkehrbarkeit: ein Vertauschen der beiden Tore hat keinen Einfluss auf den Betriebsraum;
R =
0 1
0
0
PRP, G = PGP, H = PH P, A = A , wobei P die sog. Permutationsmatrix P =
bezeich1 0
net
→ Reziprozität: Übertragungssymmetrie: G = GT , R = RT , det A = det A0 = 1
Fabian Steiner, <[email protected]>
Formelsammlung Schaltungstechnik I
5
3.4 Verschaltung von Zweitoren
Parallelschaltung:
Serienschaltung
i1
Z1
i1
i2
Z1
i2
u1
u2
u1
u2
Z2
Z2
Gges = GZ1 + GZ2
Rges = RZ1 + RZ2
Serienparallelschaltung
Parallelserienschaltung:
i2
i1
i1
Z1
Z1
u1
u2
u1
u2
Z2
Z2
0
= HZ0 1 + HZ0 2
Hges
Kettenschaltung
Hges = HZ1 + HZ2
i1
u1
i2
Z1
Z2
Ages = AZ1 · AZ2 oder A0ges = A0Z2 · A0Z1
Fabian Steiner, <[email protected]>
i2
u2
Formelsammlung Schaltungstechnik I
6
3.5 Wichtige Zweitore
USI
ISI
i1
u
i2 = βi1
i = gu
G=
−1 g
0
0
,A =
0
0
0
g
H=
0
USU
0
0
,A =
0
0
0
− β1
ISU
u1
0
0
β
i
u2 = µu1
H =
1
0 0
,A = µ
µ 0
0
u = ri
0
R=
r
0
0
0
0
,A = 1
0
r
0
0
Nullor
i = 0A
u = 0V
1 0
0
M=
N=
0 0
1
Gyrator
0
0
A=
0
0
0
0
R1 : R2 i2
i1
u2
u1
Beschreibungsgleichungen: u1 = −i2 R1 , u2 = i1 R2
1 0
1 0
0
R1
0
R2
M=
N=
G=
R
=
0 1
−R2 0
R2
− R11
0
0
−R1
A= 1
0
R2
R1
0
A0 =
0
− R11
−R2
0
Bedeutung/Aufgabe: Anwendung als Dualwandler (Kapazität ↔ Induktivität, Stromquelle ↔ Spannungsquelle)
NIK (Negativer Immitanz Konverter)
i1
i2
u1
M=
u2
1
0
0
k
N=
0
1
0
1
k
H=
0
−k
−k
0
H0 =
0
− k1
− k1
0
Bedeutung/Aufgabe: Realisation eines negativen Widerstands
Fabian Steiner, <[email protected]>
A=
−k
0
0
1
k
A0 =
− k1
0
0
k
Formelsammlung Schaltungstechnik I
7
4 Bipolartransistoren
4.1 Ebers-Moll-Modell
ie
αR i2
αF i1 ic
i1
Vorwärtsbetrieb (normaler Betriebsmodus), npn-Typ:
→ ucb ≥ 0: Kollektor-Basis-Diode sperrt
i2
ueb
ib
ucb
→ ube ≥ 0: Emitter-Basis-Diode in Durchlassrichtung
4.2 Vereinfachende ESBs für Emitterschaltung
Großsignal
Kleinsignal
ic = βib
ube
β∆ib
uce
∆ube
∆ic
∆uce
detailliert
ic = βib
ube = 0.6V
∆ic
uce∆ube = 0V
∆uce
grob
5 Feldeffekt-Transistoren, MOSFETS
→ MOSFET: Metall Oxide Semiconductor Field Effect Transistor
→ CMOS: Complementary Metall Oxide Semiconductor, d.h. Verwendung komplementärer Bauteile in einer
Schaltung (p-MOS, n-MOS); Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass in den beiden Hauptbetriebsbereichen u = UB und u = 0V kaum eine Stromentnahme aus der Quelle stattfindet
5.1 Shichman-Hodges-Modell
→ n-Kanal-Enhancement (normally-off)
D
G
ig
→ n-Kanal-Depletion (normally-on)
D
id
uds
G
S
id
uds
S
Uth ≥ 0
id
ig
Uth ≤ 0
ugs = 2.5V
ugs = 2V
ugs = 1.5V
uds
id
ugs = 1V
ugs = 0V
ugs = −0.5V
uds
ig = 0A


ugs − Uth ≤ 0 (Sperrbereich)
0,
id = β (ugs − Uth )uds − 12 u2ds (1 + λuds ), 0 ≤ ugs − Uth ≥ uds (linearer Bereich)

1
2
0 ≤ ugs − Uth ≤ uds (Sättigungsbereich)
2 β (ugs − Uth ) (1 + λuds ),
→ p-Kanal-Enhancement (p-Kanal-Depletion findet in der Praxis keine Anwendung):
Fabian Steiner, <[email protected]>
Formelsammlung Schaltungstechnik I
D
G
ig
8
id
id
uds
S
uds
ugs = −2.5V
ugs = −2V
ugs = −1.5V
ig = 0A


ugs − Uth ≥ 0 (Sperrbereich)
0,
1 2
id = −β (ugs − Uth )uds − 2 uds (1 − λuds ), 0 ≥ ugs − Uth ≤ uds (linearer Bereich)

 1
0 ≥ ugs − Uth ≥ uds (Sättigungsbereich)
− 2 β(ugs − Uth )2 (1 − λuds ),
Der Term 1 + λuds beschreibt die sog. Kanallängenmodulation, also eine Bauteilspezifische Eigenart. Diese
Erweiterung kann in der Regel vernachlässigt werden.
5.2 Kleinsignal-ESB
→ Sättigung:
∆ugs
id =
id = gm ∆ugs
1
β(ugs − Uth )2
2
∂id = β(Ugs − Uth ) = gm
∂ugs AP
∂id =0
∂uds ∆uds
AP
→ linearer Bereich:
∆ugs
g0
1
id = β (ugs − Uth )uds − u2ds
2
∆id
gm ∆ugs
∆uds
∂id = βUds = gm
∂ugs AP
∂id = β(Ugs − Uth ) − βUds = g0
∂uds AP
6 Operationsverstärker
→ Kennlinie eines idealisierten Operationsverstärkers (mit unendlicher Verstärkung):
uout
Usat
uout = −Usat , ud < 0V
uout = 0V, ud = 0V
ud
(Nullormodell)
uout = +Usat , ud > 0V
−Usat
→ ESB:
ud
uout
Nullormodell, d.h. ud = 0V
Fabian Steiner, <[email protected]>
ud
Usat
positive Sättigung
uout
ud
−Usat
negative Sättigung
uout
Formelsammlung Schaltungstechnik I
9
7 Knotenspannungsanalyse
7.1 Generelles Vorgehen
1. Linearisierung
2. nicht-spannungsgesteuerte Elemente (Spannungsquelle, ISI, ISU) ersetzen (z.B. mittels Gyrator, Quellwandlung vornehmen, R und −R in Reihe)
3. Knoten bis auf Masse nummerieren
4. einzelne Elemente wie unten gezeigt in Knotenspannungsmatrix YK eintragen
7.2 Eintragung von Bauelementen
.
 .. 
Quellen:
α
Widerstände:
α
α  −I0 


 . 
 .. 
iq = 



β  I0 


..
.
I0
β
α
β

α . . . G . . . −G . . .

 .
..
..
..

= ... 
.
.
.
 ..

β . . . −G . . . G . . .

G
YK
β
USI:
+
+
α
u
β
α(+)
γ

YK
i = gu
δ
−
−
g
..
.
...
..
.
−g
..
.
−g
...
g
γ(+) . . .

 ..
= ...
 .
δ(−)
...
β(−)

...

.. 
. 
...
Gyrator:
...
α

α
GD
γ
YK
β
δ
α ...
...
.. 
..
 ..
.  .
.


β ...
...
 .
.
..

= ..  ..
.


γ  . . . −GD
.. 
..
 .
.  ..
.
δ
...
GD
...
β
...
γ
...
δ
...
..
.
...
..
.
...
..
.
GD
..
.
...
..
.
−GD
..
.
...
..
.
...
..
.
...
..
.
−GD
..
.
...
..
.
GD
..
.
...
..
.
GD
..
.
...
..
.
...
..
.
...
..
.
...
..
.
...
−GD
...
...
...
...
















Nullator:
α
β
Addition der Spalten α und β; Ergebnis hiervon wird z.B. in Spalte α zusammengefasst, Spalte β
wird gestrichen – entsprechendes geschieht mit ukβ im uK Vektor; ist einer der beiden Knoten der
Bezugsknoten, so wird die betreffende Spalte komplett gestrichen
Norator:
α
β
Addition der Zeilen α und β; Ergebnis hiervon wird z.B. in Zeile α zusammengefasst, Zeile β wird
gestrichen – entsprechendes geschieht mit iqβ im iq Vektor; ist einer der beiden Knoten Bezugsknoten,
so wird die betreffende Zeile komplett gestrichen
Fabian Steiner, <[email protected]>
Fabian Steiner, <[email protected]>
A0
A
H0
H
G
R
R r11 r12
r21 r22
r22 −r12
1
det R −r
21 r11
det R r12
1
r22
1
−r21
1
−r
12
1
r11
r21 det R
r11 det R
1
r21
r22 1
r
det
Rr
22
1
r12
1
r11
G
g22 −g12
1
det G −g
21
g11
g11 g12
g21 g22 1
−g12
1
g11
g
det
G
21
det
G
g
12
1
g22
−g
1
21
−g22
−1
1
g21
− det G −g11 −g11
−1
1
g12
− det G −g22
H
det H h12
1
h22
1 −h21
1
−h12
1
h11
h21 detH
h11 h12
h21 h22
h22 −h12
1
det H −h
h11 21
−
det
H
−h
11
1
h21
−h
−1
22
1
h11
1
h12
h22 det H
H0
−h012
1
0
H0 h
21 det
0
det H h012
1
0
h022
1 −h0 21
h22 −h012
1
0
0
det H0
21
−h
h11
0
0
h11 h12
0
0
h21 h220 1
h22
1
0
0
h021
h
det
11 0 H 0 − det H −h22
1
h012
−h011
−1
1
h011
A
a11 det A
a22 1
a22 − det A
1
a12
a11 −1
a12 det A
1
a22
a21 −1
a
−
det
A
21
1
a11
1
a
12
a11 a12
a
21 a22
a22 a12
1
det A a
21 a11
1
a21
A0
1
a022
1
0
0
a021
det0 A a11 a11
−1
1
0
0
a012
−
det
A
a
22 0
a12
1
1
a011
A0 a021
− det
0
a21
−1
1
0
0
a022
det
A
a
12
0
0
a22 a12
1
0
0
det A0
0 a21 0 a11
a11 a12
a021 a022
Formelsammlung Schaltungstechnik I
10
Herunterladen