VO Diskrete Mathematik

Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Logik
1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Logische Operatoren . . . . . . . . . . .
1.1.2 Aussageformen . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Tautologien und Kontradiktionen . . . .
1.1.4 Implikationen . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Logische Äquivalenzen . . . . . . . . . .
1.1.6 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Einstellige Prädikate . . . . . . . . . . .
1.2.2 Mehrstellige Prädikate . . . . . . . . . .
1.2.3 Bemerkungen zur Implikation . . . . . .
1.3 Formale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Die Aussagenlogik als formales System .
1.3.2 Die Prädikatenlogik als formales System
1.4 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Indirekter Beweis . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Beweis durch Fallunterscheidung . . . . .
1.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Mengen
2.1 Beschreibung von Mengen
2.2 Teilmengen . . . . . . . .
2.3 Mengen und Quantoren . .
2.4 Einige wichtige Mengen . .
2.5 Mengenoperationen . . . .
2.6 Übungsaufgaben . . . . .
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3 Relationen
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . .
3.2 Graphen . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Gerichtete Graphen . .
3.2.2 Ungerichtete Graphen
3.2.3 Pfade . . . . . . . . .
3.2.4 Teilgraphen . . . . . .
3.2.5 Kreise . . . . . . . . .
3.2.6 Anwendungen . . . . .
3.3 Äquivalenzrelationen . . . . .
3.4 Ordnungsrelationen . . . . . .
3.5 Hüllen von Relationen . . . .
3.6 Übungsaufgaben . . . . . . .
INHALTSVERZEICHNIS
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4 Funktionen
4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Wichtige Eigenschaften von Funktionen
4.3 Zusammensetzung von Funktionen . .
4.4 Einschränkung von Funktionen . . . .
4.5 Bild und Urbild von Mengen . . . . . .
4.6 Umkehrung von Funktionen . . . . . .
4.7 Fixpunkte . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . .
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5 Zahlen
5.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Das Wohlordnungsaxiom . . . . . .
5.1.2 Das Induktionsprinzip . . . . . . .
5.1.3 Varianten des Induktionsprinzips .
5.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Rekursionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Rekursiv definierte Folgen . . . . .
5.3.2 Allgemeine Summen und Produkte
5.3.3 Auflösung von Rekursionen . . . .
5.4 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Division von natürlichen Zahlen . .
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55
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67
67
69
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72
72
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79
79
79
80
82
83
84
84
85
86
88
90
90
INHALTSVERZEICHNIS
9
5.5.2
5.5.3
5.5.4
5.5.5
Division von ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . .
Ziffernentwicklungen von ganzen Zahlen . . . . .
Restklassen und Kongruenzen . . . . . . . . . . .
Der größte gemeinsame Teiler und der euklidische
gorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Al. .
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. 91
. 92
. 94
6 Permutationen
6.1 Zyklendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Transpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
. 108
. 110
. 113
7 Zählen (Kombinatorik)
7.1 Anzahl der Elemente einer Menge . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Anzahl von Funktionen und Teilmengen . . . . . . . . . .
7.2.1 Beliebige Funktionen und Teilmengen . . . . . . . .
7.2.2 Injektive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Bijektive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 k-elementige Teilmengen und monotone Funktionen
7.2.5 Surjektive Funktionen und Partitionen . . . . . . .
7.2.6 Multinomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Anwendungsbeispiel: Fehlerkorrigierende Codes . . . . . .
7.4 Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Fixpunktfreie Permutationen . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Ein anderer Beweis der Formel für die
Stirling’schen Zahlen 2. Art . . . . . . . . . . . . .
7.5 Elementare Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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115
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. 121
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8 Graphen
8.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Isomorphie von Graphen . . . . .
8.1.2 Einige wichtige spezielle Graphen
8.1.3 Eckengrade . . . . . . . . . . . .
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. 105
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140
141
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10
INHALTSVERZEICHNIS
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.1.4 Adjazenzlisten . . . . . . . . . .
Wege und Wanderungen . . . . . . . .
8.2.1 Eulersche Wege . . . . . . . . .
8.2.2 Hamiltonsche Kreise . . . . . .
Adjazenzmatrizen . . . . . . . . . . . .
Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Wurzelbäume . . . . . . . . . .
8.4.2 Aufspannende Bäume . . . . . .
Kreisfreie Digraphen . . . . . . . . . .
Bewertete Graphen und Digraphen . .
8.6.1 Kürzeste Wege . . . . . . . . .
8.6.2 Minimale aufspannende Bäume
Färbung von Graphen . . . . . . . . .
Planare Graphen . . . . . . . . . . . .
Multigraphen . . . . . . . . . . . . . .
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . .
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9 Algebraische Strukturen
9.1 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . .
9.2.2 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Die Gruppe der primen Restklassen . . .
9.2.4 Anwendungsbeispiel: Verschlüsselung von
9.3 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Polynomringe über Körpern . . . . . . .
9.5 Isomorphismen und Homomorphismen . . . . .
9.5.1 Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Der Körper der komplexen Zahlen . . . .
9.5.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . .
9.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Testaufgaben mit Lösungen
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Nachrichten
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186
188
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203
210
212
215
. 215
. 219
. 219
. 221
. 226
. 232
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. 244
. 244
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259
Kapitel 1
Mathematische Logik
1.1
Aussagenlogik
Im allgemeinen Sprachgebrauch verwendet man das Wort ”Aussage” für beliebige sprachliche Ausdrücke, die keine Fragen oder Befehle sind. In der
Mathematik interessiert man sich dagegen vor allem für Aussagen, die nur
entweder wahr oder falsch sein können (”zweiwertige Logik”). Die Aussagenlogik (engl. ”propositional calculus”) dient zur Formalisierung des Umgangs
mit solchen Aussagen (”propositions”). Je nachdem, ob eine Aussage wahr
oder falsch ist, ordnen wir ihr den Wahrheitswert (”truth value”) W oder
F zu.
Aussagen werden im Folgenden mit Kleinbuchstaben mit oder ohne Indizes
bezeichnet: p, q, . . . , p1 , p2 , . . ..
Statt ”p ist wahr” sagt man oft auch ”p gilt”.
1.1.1
Logische Operatoren
Mit Hilfe der folgenden logischen Operatoren (”Junktoren”, ”logical connectives”) können aus gegebenen Aussagen neue Aussagen gebildet werden. Diese Operatoren werden durch ”Wahrheitstafeln” definiert, die den
Wahrheitswert der neuen Aussage in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten
der gegebenen Aussagen enthalten.
11
12
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
Einstellige Operatoren:
¬ : Negation, ”nicht”:
¬p
F
W
p
W
F
¬p ist also genau dann wahr, wenn p falsch ist.
Andere Schreibweisen: ∼ p, p0 .
Theoretisch gibt es noch drei weitere einstellige Operatoren:
p
W
F
v1 (p) v2 (p) v3 (p)
W
F
W
W
F
F
Diese sind jedoch uninteressant: Bei v1 (p) und v2 (p) hängt der Wahrheitswert
gar nicht von p ab, und v3 (p) hat in jedem Fall denselben Wahrheitswert wie
p.
Zweistellige Operatoren:
∧ : Konjunktion, ”und”;
∨ : Disjunktion, ”oder”;
→: Subjunktion, ”wenn ... dann”;
↔: Bijunktion, ”genau dann ... wenn”:
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
p∧q
W
F
F
F
p∨q
W
W
W
F
p→q
W
F
W
W
p↔q
W
F
F
W
Die Disjunktion wird oft auch als ”nichtausschließendes Oder” bezeichnet:
p ∨ q ist wahr, wenn nur eine der beiden Aussagen p, q wahr ist; p ∨ q ist aber
auch wahr, wenn beide Aussagen p, q wahr sind.
Es gibt klarerweise insgesamt 24 = 16 zweistellige logische Operatoren. Die
restlichen 12 haben aber nur untergeordnete Bedeutung.
1.1. AUSSAGENLOGIK
13
Bemerkungen zur Subjunktion:
• Die Aussage ”Wenn es heute regnet, dann bleibe ich zu Hause.” ist
nur in dem Fall falsch, dass es heute regnet und ich nicht zu Hause
bleibe. Durch die Sprechweise ”wenn ... dann” wird allerdings oft eine
Kausalbeziehung suggeriert. Davon ist aber nicht die Rede!
Beispiel: Sei p die Aussage 0 = 1 und q die Aussage 2 + 2 = 4. Dann
ist auf Grund der Definition der Subjunktion folgende Aussage wahr:
0 = 1 → 2 + 2 = 4.
Man wird aber normalerweise nicht sagen ”Wenn 0 = 1, dann ist 2+2 =
4.”.
• Besonders bemerkenswert ist die Tatsache, dass p → q auf jeden Fall
wahr ist, wenn p falsch ist. Das heißt also, dass (im Sinne der Subjunktion) aus einer falschen Aussage jede beliebige Aussage folgt (”ex falso
quodlibet”). Zum Beispiel sind folgende Aussagen wahr:
a) Wenn man jeden Winkel mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile
teilen kann, dann bin ich der Kaiser von China.
b) Jedes Element der leeren Menge ist eine Primzahl. (D.h.: x ∈ ∅ → x
ist eine Primzahl.)
1.1.2
Aussageformen
Durch ein- oder mehrmalige Anwendung von logischen Operatoren kann
man aus elementaren Aussagen kompliziertere Aussagen aufbauen, deren
Wahrheitswert aufgrund obiger Wahrheitstafeln in jedem Fall berechnet werden kann. Wir sprechen dann von einer Verknüpfung von Aussagen (”compound proposition”).
Beispiel (”entweder - oder”, ”ausschließendes Oder”, ”exclusive or”):
(p ∧ (¬q)) ∨ ((¬p) ∧ q) :
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
p ∧ ¬q
F
W
F
F
¬p ∧ q
F
F
W
F
(p ∧ (¬q)) ∨ ((¬p) ∧ q)
F
W
W
F
14
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
Man kann die hier vorkommenden Symbole p, q, . . . auch als Variablen ansehen, d.h. als ”Platzhalter”, für die beliebige Aussagen eingesetzt werden können. Dann nennt man so eine Verknüpfung auch Aussageform.
Damit nicht so viele Klammern nötig sind, vereinbart man für die logischen
Operatoren gewisse Prioritäten (ähnlich wie bei den algebraischen Operatoren). Die in der folgenden Liste weiter links stehenden Operatoren werden
vor den weiter rechts stehenden durchgeführt:
¬, ∧, ∨, →, ↔
a ∨ ¬b → c ↔ a bedeutet also dasselbe wie ((a ∨ (¬b)) → c) ↔ a. Das
obige ”entweder-oder” können wir jetzt kürzer so schreiben: p ∧ ¬q ∨ ¬p ∧ q.
Deutlicher ist aber vielleicht: (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).
1.1.3
Tautologien und Kontradiktionen
Definition 1.1 Eine Aussageform in den Variablen p, q, . . . heißt Tautologie (”tautology”), wenn sie immer wahr ist, unabhängig von den Wahrheitswerten der Variablen p, q, . . . . Sie heißt Widerspruch oder Kontradiktion
(”contradiction”), wenn sie immer falsch ist.
Beispiele für Tautologien:
• p ∨ ¬p
• (¬p ∨ q) ↔ (p → q), bzw. ohne Klammern: ¬p ∨ q ↔ p → q.
Beweis:
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
¬p ∨ q
W
F
W
W
Beispiele für Kontradiktionen:
• p ∧ ¬p
• (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)
p→q
W
F
W
W
(¬p ∨ q) ↔ (p → q)
W
W
W
W
1.1. AUSSAGENLOGIK
1.1.4
15
Implikationen
Definition 1.2 Wenn A und B zwei Aussageformen sind, sodass A → B
eine Tautologie ist, dann schreiben wir
A⇒B
und sagen ”aus A folgt B” oder ”A impliziert B” (”A implies B”). Man
nennt A ⇒ B dann eine Implikation.
Die folgenden aussagenlogischen Gesetze bilden eine Reihe von Beispielen
dazu. Sie haben besondere Bedeutung für das logische Schließen (siehe die
beiden nächsten Teilkapitel ”Formale Systeme” und ”Beweise”):
p⇒p∨q
p∧q ⇒p
p ∧ (p → q) ⇒ q
(p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r)
(p ∨ q) ∧ (p → r) ∧ (q → r) ⇒ r
Abschwächung zur Disjunktion
Abschwächung der Konjunktion
Gesetz zum ”modus ponens”
Transitivitätsgesetz
Gesetz der Fallunterscheidung
Alle diese Gesetze kann man wieder leicht mit Wahrheitstafeln beweisen.
Bemerkung zum Transitivitätsgesetz:
Statt (p → q) ∧ (q → r) schreibt man bei mathematischen Beweisen meist
einfach p → q → r. Entsprechend sind auch längere Subjunktionsketten zu
verstehen. Z.B.: p → q → r → s heißt (p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s). Analoges
gilt für die Implikation: A ⇒ B ⇒ C heißt z.B., dass (A → B) ∧ (B → C)
eine Tautologie ist, und daher gilt dann auch A ⇒ C.
In der ”reinen” Logik werden solche Ketten dagegen meist so interpretiert:
(p → q) → r bzw. ((p → q) → r) → s.
1.1.5
Logische Äquivalenzen
Definition 1.3 Wenn A und B zwei Aussageformen sind, sodass A ↔ B
eine Tautologie ist, so heißen sie logisch äquivalent (”logically equivalent”),
und wir schreiben
A ⇔ B.
16
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
Beispiele:
a) ¬p ∨ q ⇔ p → q.
b) ”Heute regnet es nicht, oder ich bleibe zu Hause.” ist logisch äquivalent
mit ”Wenn es heute regnet, dann bleibe ich zu Hause.”.
Die folgenden aussagenlogischen Gesetze sind ebenfalls logische Äquivalenzen (Beweis mit Wahrheitstafeln).
• Kommutativität:
• Assoziativität:
p∧q ⇔q∧p
p∨q ⇔q∨p
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
In diesen Fällen kann man daher die Klammern weglassen.
• Distributivität:
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(analog zum gewöhnlichen Distributivgesetz, mit ∧ an Stelle der Multiplikation und ∨ an Stelle der Addition bzw. umgekehrt)
• Absorption:
• de Morgan-Regel:
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
(nach Augustus de Morgan, 1806 - 1871, Cambridge/London).
• Regel für doppelte Verneinung:
¬(¬p) ⇔ p
• Kon- oder Disjunktion mit einer wahren Aussage w:
w∧a ⇔ a
w∨a ⇔ w
1.1. AUSSAGENLOGIK
17
• Kon- oder Disjunktion mit einer falschen Aussage f :
f ∧a ⇔ f
f ∨a ⇔ a
1.1.6
Normalformen
Auf Grund der folgenden logischen Äquivalenzen kann man jede Verknüpfung
von Aussagen (bzw. Aussageformen) allein mit Hilfe der Operatoren ¬ und
→ ausdrücken:
p ∧ q ⇔ ¬(p → ¬q)
p ∨ q ⇔ ¬p → q
p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
Der entstehende Ausdruck heißt dann (∧, ∨, ↔)-freie Normalform.
Beispiel: (b → a) ∧ (¬b → (c ∨ a)) ⇔ (b → a) ∧ (¬b → (¬c → a)) ⇔
¬((b → a) → ¬(¬b → (¬c → a)))
Diese Normalform werden wir im Abschnitt ”Formale Systeme” verwenden.
Wie wir schon wissen, gilt p → q ⇔ ¬p ∨ q. Daher kann man jede Aussageform mit ∧, ∨ und ¬ ausdrücken. Auf Grund der de Morgan-Formeln und der
Distributivität kann man schließlich folgende Gestalt erreichen (disjunktive
Normalform):
A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ An
wobei jedes Ai die Form Pi,1 ∧ Pi,2 ∧ . . . ∧ Pi,ki hat und die Pi,j entweder
Aussagenvariable oder deren Negationen bezeichnen. Das ist also eine Disjunktion von Konjunktionen. Dabei kann ki auch = 1 sein, d.h. Ai kann
einfach eine Aussagenvariable oder deren Negation sein. Auch n kann = 1
sein. Dann handelt es sich nur um eine Disjunktion von Aussagenvariablen
oder Negationen davon.
Beispiel:
c → (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ ¬b)
⇔ ¬c ∨ ((a ∨ b) ∧ (¬a ∨ ¬b))
⇔ ¬c ∨ ((a ∨ b) ∧ ¬a) ∨ ((a ∨ b) ∧ ¬b)
⇔ ¬c ∨ (a ∧ ¬a) ∨ (b ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬b)
⇔ ¬c ∨ (b ∧ ¬a) ∨ (a ∧ ¬b)
18
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
⇔ (a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ b) ∨ ¬c.
Bemerkung: Die disjunktive Normalform ist i.a. nicht eindeutig, selbst wenn
man die Bestandteile alphabetisch ordnet. So könnte man z.B. die letzte
Aussageform auch so schreiben:
(a ∧ ¬b ∧ c) ∨ (¬a ∧ b ∧ c) ∨ ¬c.
Es gibt aber eine besonders ausgezeichnete Normalform, die hier nur
an dem soeben behandelten Beispiel erklärt werden soll. Wir gehen von der
entsprechenden Wahrheitstafel aus:
a
W
W
W
W
F
F
F
F
b
W
W
F
F
W
W
F
F
c
W
F
W
F
W
F
W
F
a ∧ ¬b ¬a ∧ b
F
F
F
F
W
F
W
F
F
W
F
W
F
F
F
F
¬c
F
W
F
W
F
W
F
W
(a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ b) ∨ ¬c
F
W
W
W
W
W
F
W
Wir betrachten nun die Zeilen der Wahrheitstafel, wo ganz rechts ein W
steht, und bilden nun für jede solche Zeile die Konjunktion von a, b, c oder
deren Negationen, je nachdem ob in der entsprechenden Spalte ein W oder
F steht. Schließlich bilden wir die Disjunktion aller dieser Konjunktionen:
(a∧b∧¬c)∨(a∧¬b∧c)∨(a∧¬b∧¬c)∨(¬a∧b∧c)∨(¬a∧b∧¬c)∨(¬a∧¬b∧¬c).
Es ist nicht schwer einzusehen, dass diese Aussageform zu der obigen logisch
äquivalent ist. Auf diese Weise kann man für jede nicht kontradiktorische
Aussageform eine eindeutig bestimmte ausgezeichnete disjunktive Normalform ermitteln.
Analog zur disjunktiven Normalform kann man jede logische Verknüpfung als
Konjunktion von Disjunktionen darstellen (konjunktive Normalform).
Beispiel:
(a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ b) ∨ ¬c
⇔ ((a ∨ b) ∧ (¬a ∨ ¬b)) ∨ ¬c
⇔ (a ∨ b ∨ ¬c) ∧ (¬a ∨ ¬b ∨ ¬c)
Hier kann man sich ähnlich wie vorhin überlegen, dass es für jede nicht tautologische Aussageform eine ausgezeichnete konjunktive Normalform gibt, die
1.2. PRÄDIKATENLOGIK
19
eindeutig bestimmt ist. Man geht dabei von den Zeilen der Wahrheitstafel
aus, wo ganz rechts ein F steht und bildet die Konjunktion der entsprechenden Negationen. Für obiges Beispiel ergibt sich auf diese Weise:
(¬a ∨ ¬b ∨ ¬c) ∧ (a ∨ b ∨ ¬c),
also dasselbe wie vorhin, nur in umgekehrter Reihenfolge.
1.2
1.2.1
Prädikatenlogik
Einstellige Prädikate
Die Aussagenlogik reicht bei weitem nicht aus, um die für die Wissenschaft
bedeutsamen Überlegungen zu formalisieren. Z.B. kann damit der folgende
einleuchtende Schluss nicht formal begründet werden:
Aus den beiden Aussagen
”Alle Metalle leiten den elektrischen Strom.”
”Kupfer ist ein Metall.”
folgt
”Kupfer leitet den elektrischen Strom.”
Die Prädikatenlogik (”predicate calculus”) stellt nun eine Erweiterung der
Aussagenlogik dar, in der nicht nur der Wahrheitswert, sondern auch die
Struktur von Aussagen berücksichtigt wird, indem man Subjekt und Prädikat
unterscheidet. In der Aussage ”Kupfer ist ein Metall.” ist zum Beispiel
s = ”Kupfer” das Subjekt und P = ”ist ein Metall” das Prädikat. Diese
Aussage schreiben wir dann so: P (s).
Wenn P irgendein Prädikat und s irgendein Subjekt ist, so bedeutet P (s),
dass das Prädikat P auf das Subjekt s zutrifft. P gibt also so etwas wie eine
Eigenschaft an.
Bei der ersten der obigen Aussagen kommt noch etwas für den logischen
Schluss Wesentliches hinzu: das Wort ”alle”. Etwas umständlicher könnten
wir die Aussage auch so formulieren:
”Für alle x gilt:
Wenn x ein Metall ist, dann leitet x den elektrischen Strom.”
20
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
Bezeichnen wir die Prädikate ”ist ein Metall” und ”leitet den elektrischen
Strom” mit M bzw. S und kürzen wir ”für alle x gilt” mit ∀x ab, so lautet
die Aussage:
(∀x) (M(x) → S(x)).
Das Zeichen ∀ heißt Allquantor (”universal quantifier”). Von gleicher Bedeutung ist der Existenzquantor ∃ (”existential quantifier”): ∃x heißt ”es gibt
(mindestens) ein x, sodass”. Bezeichnet z.B. P das Prädikat ”ist Primzahl”,
so ist folgende Aussage wahr, da es bekanntlich unendlich viele Primzahlen
gibt:
(∃x) (P (x) ∧ (x > 1010 )).
Etwas kürzere Schreibweise: ∀x : M(x) → S(x) bzw. ∃x : P (x) ∧ (x > 1010 ).
Viele mathematische Aussagen enthalten sowohl Existenz- als auch Allquantoren. Sei z.B. N das Prädikat ”ist eine natürliche Zahl”. Dann gilt:
(∀n) (N(n) → (∃x)(P (x) ∧ (x > n)))
(in Worten: Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine Primzahl, die größer als
n ist).
Existenz- und Allquantor werden zusammen als Quantoren bezeichnet.
V
Andere Schreibweise für die Quantoren: Statt ∀x schreibt man auch , statt
x
W
∃x auch .
x
Ein Symbol, das nach einem Quantor steht, heißt gebundene Variable
(”bound variable”). Dadurch kommt zum Ausdruck, dass man dafür nicht
etwas anderes einsetzen darf, also z.B. eine Aussage oder eine Zahl. Es ist
nur eine Umbenennung des Symbols erlaubt: (∃x)P (x) bedeutet dasselbe wie
(∃y)P (y). ”Echte” Variable, wie wir sie z.B. bei Aussageformen besprochen
haben, werden zum Unterschied als freie Variable (”free variable”) bezeichnet.
Manchmal möchte man ausdrücken, dass es genau ein x mit einer bestimmten
Eigenschaft P gibt (und nicht mehrere). Man schreibt dafür
(∃!x) P (x).
Das ist eigentlich eine Abkürzung für
(∃x)(P (x) ∧ (∀x0 )(P (x0 ) → x0 = x)).
1.2. PRÄDIKATENLOGIK
21
Der Beweis einer solchen Aussage besteht daher meist aus zwei Teilen:
1. Existenz, 2. Eindeutigkeit.
Beispiel: (∃!x)(N(x) ∧ x2 = 9), wobei N dieselbe Bedeutung wie vorhin hat.
Existenz: Sei x = 3. Dann ist x2 = 9.
Eindeutigkeit: Sei x0 eine natürliche Zahl mit x02 = 9. Dann folgt auf Grund
der bekannten Eigenschaften der natürlichen Zahlen leicht: x0 = 3 (siehe
Kapitel 5.1).
Eine genaue Darstellung der Prädikatenlogik geht über den Rahmen dieses
Buches weit hinaus (siehe z.B. [9]). In großen Teilen der Mathematik wird nur
die Schreibweise der Prädikatenlogik verwendet, um mathematische Sachverhalte klar ausdrücken zu können. Darüber hinaus ist es nützlich, die folgenden
Regeln zu kennen. Diese erleichtern oft die Formulierung der Negation einer
komplizierteren Aussage, wie man sie etwa beim indirekten Beweis braucht.
(Siehe Abschnitt 1.4.1.)
Negation einer All- bzw. Existenzaussage:
¬(∀x)P (x) ⇔ (∃x) (¬P (x))
¬(∃x)P (x) ⇔ (∀x)(¬P (x))
(Die zweite Formel entsteht aus der ersten durch Negation und Vertauschung
von linker und rechter Seite.)
Das Zeichen ”⇔” bedeutet hier, dass es sich um eine Bijunktion handelt,
die für jedes beliebige Prädikat P wahr ist. Wir sprechen wieder von einer
logischen Äquivalenz.
Die erste Formel lautet in Worten: ”Nicht alle x haben die Eigenschaft P .”
ist gleichbedeutend mit ”Es gibt ein x, das die Eigenschaft P nicht hat.”.
Die zweite Formel könnte man etwa so ausdrücken: ”Es gibt kein x mit der
Eigenschaft P .” ist gleichbedeutend mit ”Alle x haben die Eigenschaft ¬P .”.
Liest man diese Formeln von rechts nach links, so sieht man, dass der Existenzquantor durch den Allquantor und umgekehrt ausgedrückt werden kann.
Ersetzt man P (x) durch P (x) → Q(x), so erhält man:
¬(∀x)(P (x) → Q(x)) ⇔ (∃x)(P (x) ∧ ¬Q(x)).
Konkrete Beispiele dafür:
22
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
• Sei P = ”ist Österreicher” und Q = ”ist deutschsprachig”. Dann ergibt
sich: ”Nicht alle Österreicher sind deutschsprachig.” ist gleichbedeutend
mit ”Es gibt mindestens einen Österreicher, der nicht deutschsprachig
ist.”.
• Sei P (x) = ”x ist eine gerade natürliche Zahl ≥ 4” und Q(x) = ”x ist
Summe zweier Primzahlen”. Dann erhalten wir mit der Negation der
letzten Formel zwei äquivalente Formulierungen der berühmten Goldbach’schen Vermutung: ”Jede gerade natürliche Zahl ≥ 4 ist Summe
zweier Primzahlen.” und ”Es gibt keine gerade natürliche Zahl ≥ 4, die
nicht Summe zweier Primzahlen ist.”. (Christian Goldbach, 1690-1764,
war eigentlich Jurist, hatte aber mit führenden Mathematikern seiner
Zeit brieflichen Kontakt, insbesondere mit Leonhard Euler.)
Ersetzt man in der letzten Formel Q(x) durch Q(x) ∧ R(x) bzw. Q(x) ∨ R(x),
so ergibt sich:
¬(∀x)(P (x) → Q(x) ∧ R(x)) ⇔ (∃x)(P (x) ∧ (¬Q(x) ∨ ¬R(x)))
¬(∀x)(P (x) → Q(x) ∨ R(x)) ⇔ (∃x)(P (x) ∧ (¬Q(x) ∧ ¬R(x)))
Als Negation einer Allaussage erhält man also eine Existenzaussage, bei der
∧ und ∨ vertauscht und die einzelnen Teilaussagen negiert sind.
Beispiele:
• Die Negation von ”Alle Schweden sind groß und blond” ist ”Es gibt
(mindestens) einen Schweden, der nicht groß oder nicht blond ist”.
• Die Negation von ”Für alle linearen Gleichungssysteme ist die Anzahl
der Lösungen ≤ 1 oder unendlich.” lautet ”Es gibt ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsanzahl > 1 und endlich ist.” (Welche
dieser beiden Aussagen wahr ist, hängt davon ab, ob der zugrundeliegende
Körper endlich oder unendlich ist; siehe Vorlesungen oder Bücher über
Lineare Algebra, z.B. [21].)
1.2.2
Mehrstellige Prädikate
Mehrstellige Prädikate drücken Beziehungen zwischen zwei oder mehr Subjekten bzw. Objekten aus.
Beispiele:
1.2. PRÄDIKATENLOGIK
23
a) Sei P das Prädikat ”ist verheiratet mit”. Dann steht P (x, y) für den Satz
”x ist mit y verheiratet”. In diesem Fall handelt es sich um eine symmetrische
Beziehung: (∀x)(∀y)(P (x, y) ↔ P (y, x)).
Kürzere Schreibweise: ∀x, y : P (x, y) ↔ P (y, x).
b) Sei T = ”ist Teiler von”. Das ist eine nichtsymmetrische Beziehung. Es
gilt aber folgende Transitivität: (∀x)(∀y)(∀z) (T (x, y) ∧ T (y, z) → T (x, z)).
(Genau genommen bedeutet hier T (x, y) ”x und y sind natürliche Zahlen,
und x ist ein Teiler von y”.)
c) Sei P (x, y, z) = (x < y) ∧ (y < z). Dafür schreibt man meist kürzer:
x < y < z.
Weiters sei Z(x, y, z) = ”y liegt zwischen x und z” und N (x) = ”x ist eine
natürliche Zahl”. Dann gilt:
(∀x)(∀y)(∀z) (N(x) ∧ N(y) ∧ N(z) → (Z(x, y, z) ↔ P (x, y, z) ∨ P (z, y, x))).
1.2.3
Bemerkungen zur Implikation
Seien A und B zwei Aussagen, in denen eine oder mehrere freie Variablen
x, y, . . . vorkommen. Dann bedeutet
A ⇒ B,
dass
(∀x)(∀y) . . . A → B.
Man nennt das wieder eine Implikation (vgl. Definition 1.2) und sagt wieder
”aus A folgt B” oder ”A impliziert B”. In analoger Weise verwendet man
auch das Zeichen ⇔.
Häufig wird eine der folgenden Ausdrucksweisen für A ⇒ B verwendet:
”A ist hinreichend (”sufficient”) für B” (oder: ”A ist eine hinreichende
Bedingung für B”),
”B ist notwendig (”necessary”) für A” (oder ”B ist eine notwendige Bedingung für A”).
Beispiele:
1) Sei U = ”a und b sind ungerade ganze Zahlen”, und G = ”a + b ist eine
gerade ganze Zahl”. Dann ist U hinreichend für G, denn es gilt U ⇒ G.
24
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
Aber U ist keine notwendige Bedingung für G, da auch die Summe von zwei
geraden Zahlen wieder gerade ist.
2) Sei P = ”x ist eine mehrstellige Primzahl” und E = ”Die Einerstelle von
x ist entweder 1, 3, 7 oder 9”.
Es gilt P ⇒ E, denn wenn die Einerstelle von x eine gerade Zahl ist, so
ist auch x gerade, und wenn die Einerstelle gleich 5 ist, dann ist x durch 5
teilbar. E ist also eine notwendige Bedingung dafür, dass x eine mehrstellige
Primzahl ist. E ist jedoch nicht hinreichend: z.B. ist 21 keine Primzahl.
3) Sei D = ”x ist durch 3 teilbar” und Z = ”Die Ziffernsumme von x ist
durch 3 teilbar”. Dann gilt D ⇔ Z, das heißt Z ist eine notwendige und
hinreichende Bedingung für D.
1.3
Formale Systeme
Mathematische Theorien können als ”formale Systeme” aufgefasst werden.
(Andere Bezeichnungen: ”Kalkül”, ”Kodifikat”.)
Definition 1.4 Ein formales System (”formal system”) besteht aus
• Symbolen (”symbols”),
• zulässigen Ausdrücken (engl. ”well-formed formulas”),
• Axiomen (”axioms”),
• Ableitungsregeln (”rules of inference”).
Dabei versteht man unter einem Ausdruck endlich viele hintereinander
geschriebene Symbole.
Es muss klargestellt sein, welche Symbole verwendet werden dürfen und
welche Ausdrücke zulässig sind.
Die Axiome sind ganz bestimmte zulässige Ausdrücke, von denen man ausgeht.
Die Ableitungsregeln geben an, wie man von einem oder mehreren Ausdrücken zu einem neuen Ausdruck übergehen kann.
1.3. FORMALE SYSTEME
25
Schreibweise:
A1 , . . . , An
A
Das heißt: Von A1 , . . . , An kann man zu A übergehen. Wenn das formale
System etwas mit logischem Schließen zu tun hat, dann betrachtet man die
Axiome als ”wahr” und sagt statt ”zu A übergehen” auch ”auf A schließen”.
Wenn man einen Ausdruck aus den Axiomen mit Hilfe der Ableitungsregeln
erhalten kann, so nennt man diesen Ausdruck Satz, Theorem oder ableitbarer Ausdruck. Die dabei auftretenden Zwischenschritte ergeben zusammen etwas, was man einen formalen Beweis oder auch eine Ableitung oder
Herleitung (”deduction”) des Satzes nennt:
Definition 1.5 Ein formaler Beweis (”formal proof”) eines zulässigen
Ausdrucks S ist eine Folge von zulässigen Ausdrücken A1 , . . . , An−1 , An mit
An = S, sodass sich jeder Ausdruck aus den Axiomen und den vorhergehenden Ausdrücken auf Grund der Ableitungsregeln des Systems ergibt. [11]
Bemerkung: Für ”S ist ein ableitbarer Ausdruck” schreibt man auch: ` S.
Beispiele:
a) Das ”pg-System” [18]:
Symbole: p, g, -
(Die Beistriche gehören nicht zu den Symbolen.)
zulässige Ausdrücke: alle Zeichenketten der Form X p Y g Z, wobei X,Y,Z
Platzhalter für einen oder mehrere Striche - sind.
Axiom: - p - g - Ableitungsregeln:
1)
XpYgZ
XpY-gZ-
2)
XpYgZ
X-pYgZ-
Beispiel für einen Satz: - - p - - - g - - - - Ein formaler Beweis dieses Satzes:
Axiom: - p - g - -
26
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
Regel 1): - p - - g - - nochmals Regel 1): - p - - - g - - - Regel 2): - - p - - - g - - - - -
Dieses System besitzt eine einfach zu erkennende Interpretation:
X p Y g Z kann man als X + Y = Z interpretieren, wenn man eine Folge von
n Strichen mit der Zahl n identifiziert.
b) Viele Spiele lassen sich als formale Systeme auffassen, z.B. das Schachspiel:
Symbole: a,b,c,d,e,f,g,h,1,2,3,4,5,6,7,8,T,S,L,D,K,W,B
zulässige Ausdrücke: alle Symbolfolgen, die eine ”Stellung” beschreiben (lässt
sich relativ leicht formalisieren);
Axiom: die Anfangsstellung
Wa2b2c2d2e2f2g2h2Ta1Sb1Lc1Dd1Ke1Lf1Sg1Th1
Ba7b7c7d7e7f7g7h7Ta8Sb8Lc8Dd8Ke8Lf8Sg8Th8
Ableitungsregeln: Sämtliche Regeln des Schachspiels, entsprechend formalisiert.
”Sätze”: alle Stellungen, die unter Beachtung der Regeln zustandekommen
können.
Beweis eines ”Satzes”: Eine Folge von Stellungen, die von der Ausgangsstellung zu dem betrachteten ”Satz” führt.
Hauptprobleme: Wie kann man feststellen, ob ein gegebener zulässiger
Ausdruck ein Satz ist? Wie findet man einen Beweis zu einem gegebenen
Satz?
Im pg-System ist das kein Problem: XpYgZ ist genau dann ein Satz, wenn die
Anzahl der Striche in X plus die Anzahl der Striche in Y gleich der Anzahl
der Striche in Z ist. Auch die Beweise sind im pg-System sehr einfach, wie
wir an obigem Beispiel gesehen haben.
Bemerkung: Wenn man bereits einen oder mehrere Sätze bewiesen hat, dann
kann man diese natürlich zur Herleitung eines weiteren Satzes benützen; man
muss nicht immer bis zu den Axiomen zurückgehen.
1.3. FORMALE SYSTEME
27
Wir interessieren uns natürlich hauptsächlich für formale Systeme, die für
die Mathematik und/oder Informatik von Bedeutung sind.
1.3.1
Die Aussagenlogik als formales System
Die Aussagenlogik ist ein wichtiges Beispiel für ein formales System. Um mit
möglichst wenigen Axiomen und Schlussregeln auszukommen, betrachten wir
die (∧, ∨, ↔)-freie Form.
Symbole:
Kleinbuchstaben mit oder ohne Indizes (diese stehen für (elementare) Aussagen), sowie die Zeichen ¬, →, (, ).
Zulässige Ausdrücke:
a) Aussagesymbole.
b) Wenn P und Q zulässige Ausdrücke sind, dann sind auch (P ), (¬P )
und (P → Q) zulässige Ausdrücke.
Alle Verknüpfungen von Elementaraussagen stellen also zulässige Ausdrücke
dar. Zur Vereinfachung der Schreibweise vereinbart man, dass äußerste Klammern weggelassen werden können, und dass ¬ stärker als → bindet.
Axiome:
Seien P, Q, R zulässige Ausdrücke.
1. P → (Q → P )
2. (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R))
3. (¬Q → ¬P ) → (P → Q)
28
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
Ableitungsregel:
P, P → Q
Q
Das bedeutet: Von den beiden Aussagen P und P → Q kann man auf Q
schließen. Diese Regel heißt modus ponens.
Wenn man die Verknüpfungen dieses formalen Systems so interpretiert, wie
wir es im Abschnitt ”Aussagenlogik” getan haben, so sieht man mit Hilfe der
Wahrheitstafeln, dass jeder Satz dieses Systems eine Tautologie ist: die Axiome sind Tautologien, und die Ableitungsregel liefert aus zwei Tautologien
wieder eine Tautologie.
Man kann sogar zeigen, dass in diesem System jede Tautologie ableitbar ist.
(Das ist die sogenannte ”Vollständigkeit” des Aussagenkalküls, siehe z.B.
[24].) Überdies ist es möglich, relativ leicht (eventuell maschinell) für jeden
gegebenen Ausdruck zu entscheiden, ob er ein Satz ist. Im Allgemeinen ist
die Situation nicht so einfach!
Die konkrete Herleitung eines Satzes ist allerdings schon für einfache Beispiele
oft recht mühsam.
Beispiel: Herleitung von a → a:
Axiom 1 mit P = a und Q = (b → a) ergibt a → ((b → a) → a).
Axiom 2 mit P = a, Q = (b → a) und R = a ergibt (a → ((b → a) → a)) →
((a → (b → a)) → (a → a)).
Nach dem modus ponens können wir auf (a → (b → a)) → (a → a) schließen.
Axiom 1: a → (b → a).
Nochmalige Anwendung des modus ponens ergibt daher a → a.
1.3.2
Die Prädikatenlogik als formales System
Die genaue Beschreibung ist sehr kompliziert und wird hier nicht durchgeführt. Die Axiome der Prädikatenlogik enthalten jedenfalls die Axiome der
Aussagenlogik. Ableitungsregeln sind u.a. der modus ponens und folgende
Regel [4]:
(∀x)P (x)
P (a)
1.4. BEWEISE
29
D.h. also: Wenn P (x) für alle x wahr ist, dann kann man in P (x) für x etwas beliebiges einsetzen, z.B. a, und man erhält eine wahre Aussage. Damit
können wir jetzt z.B. den zu Beginn des Abschnitts ”Prädikatenlogik” formulierten Schluss formalisieren:
Seien M, S die Prädikate ”ist ein Metall” bzw. ”leitet Strom”, und k sei das
Subjekt ”Kupfer”. Dann schließen wir so:
(∀x)(M(x) → S(x))
M(k) → S(k)
Mit dem modus ponens erhalten wir die gewünschte Aussage:
M(k), M(k) → S(k)
.
S(k)
1.4
Beweise
Man kann jede mathematische Theorie als formales System auffassen, das
die Aussagen- und Prädikatenlogik umfasst. Ein Beweis eines Satzes S ist
dann eine Folge von zulässigen Ausdrücken A1 , . . . , An−1 , An mit An = S,
sodass sich jeder Ausdruck aus den Axiomen und den vorhergehenden Ausdrücken auf Grund der Ableitungsregeln des Systems ergibt. Man braucht
dabei natürlich nicht bei jedem Satz wieder von vorne anzufangen, sondern
kann auf bereits bewiesene Sätze zurückgreifen.
In der Praxis werden mathematische Beweise allerdings fast nie im Sinne
eines formalen Beweises angegeben, da dies in den meisten Fällen viel zu
kompliziert und auch für den Leser schwer durchschaubar wäre. Mathematische Beweise dienen u.a. dazu,
1. sich selbst zu überzeugen, dass man richtig überlegt hat;
2. die wesentlichen Ideen, die der Beweis enthält, zu vermitteln;
3. andere Mathematiker zu überzeugen, dass es prinzipiell möglich ist,
diese Ideen zu einem formalen Beweis auszubauen;
4. den inneren Aufbau und die Zusammenhänge zwischen den Sätzen einer
Theorie verständlich zu machen.
In Vorlesungen und Lehrbüchern kommt noch ein weiterer wichtiger
Zweck hinzu:
30
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
5. den Studierenden die mathematische Denkweise nahezubringen und sie
dadurch zu befähigen, mathematische Literatur zu verstehen und selbständig mathematische Probleme zu lösen.
In Hinblick auf die Informatik sind zusätzlich folgende Aspekte von
Bedeutung:
6. Beweise führen oft zu programmierbaren Verfahren (Algorithmen);
7. Abschätzungen von Rechenzeit- und Speicherplatzbedarf erfordern oft
mathematische Beweistechniken;
8. in vielen Fällen ist es nötig oder wünschenswert, die Korrektheit eines
Programms zu beweisen und nicht nur durch Tests abzusichern;
9. und gerade deswegen ist das automatische Beweisen ein wichtiges Teilgebiet der Informatik, zu dessen Verständnis man mit der Natur mathematischer Beweise vertraut sein muss.
Sprache und Symbolik der Logik dienen oft dazu, größere Klarheit zu erreichen, auch wenn man keinen formalen Beweis angeben will.
Für die Praxis ist wichtig, dass man für das Finden eines Beweises oft
ein großes Maß an Intuition (anschauliches oder gefühlsmäßiges Erkennen)
und Vorstellungsvermögen braucht, der Beweis selbst aber unabhängig von
solchen Dingen sein muss.
1.4.1
Indirekter Beweis
Viele Sätze haben die Form P → Q. Man nennt dann P die Voraussetzung
(”premise”) und Q die Behauptung (”conclusion”). Um einen solchen Satz
zu beweisen, ist es oft einfacher, ”indirekt” zu schließen.
Es gibt zwei Varianten des indirekten Beweises:
a) Man beweist (direkt) den Satz ¬Q → ¬P . Auf Grund des Axioms
(¬Q → ¬P ) → (P → Q) kann man daraus mit dem modus ponens auf
P → Q schließen.
b) Man zeigt, dass sich aus P ∧ ¬Q ein Widerspruch ergibt (”proof by contradiction”). Genauer: man beweist
(P ∧ ¬Q) → (R ∧ ¬R)
1.4. BEWEISE
31
für eine bestimmte Aussage R. Nun ist aber folgende Aussage eine
Tautologie, wie man mit einer Wahrheitstafel leicht nachprüfen kann:
((P ∧ ¬Q) → (R ∧ ¬R)) → (P → Q)
Da im System der Aussagenlogik jede Tautologie ableitbar ist, können
wir mit dem modus ponens auf P → Q schließen.
Die Negation der Behauptung, hier ¬Q, nennt man oft indirekte Annahme. Bei einem indirekten Beweis leitet man also aus der indirekten
Annahme einen Widerspruch zur Voraussetzung her.
Beispiele kommen in den nächsten Kapiteln immer wieder vor (z.B. Beweis
von Satz 3.20 und Beweis der Eindeutigkeit bei Satz 5.9).
1.4.2
Beweis durch Fallunterscheidung
Wenn sich P in der Form V1 ∨ V2 darstellen lässt, so kann man den Satz
P → Q beweisen, indem man statt dessen die beiden Sätze V1 → Q und
V2 → Q beweist, denn es gilt
(V1 → Q) ∧ (V2 → Q) ⇒ ((V1 ∨ V2 ) → Q),
was man wieder mit einer Wahrheitstafel überprüfen kann. Wenn P eine
Disjunktion von drei oder mehr Voraussetzungen ist, geht es natürlich analog.
Beispiel 1.6 Für jede natürliche Zahl x ist die Zahl x3 + x gerade.
Sei dazu N = ”ist eine natürliche Zahl”, G = ”ist eine gerade natürliche
Zahl” und U = ”ist eine ungerade natürliche Zahl”. N (x) bedeutet also
dasselbe wie G(x) ∨ U (x). Zum Beweis von N(x) ⇒ G(x3 + x) (das heißt:
(∀x)(N(x) → G(x3 + x)) ) gehen wir daher so vor:
1. Fall: x gerade. D.h. wir wollen zeigen: G(x) ⇒ G(x3 + x).
Beweis: G(x) heißt (∃k)(N(k) ∧ x = 2k). Daher gilt mit so einem k:
x3 + x = (2k)3 + (2k) = 8k3 + 2k = 2(4k3 + k),
und wir sehen, dass x3 + x gerade ist.
2. Fall: x ungerade. Zu zeigen: U (x) ⇒ G(x3 + x).
32
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
Beweis: U(x) heißt (∃k)(N(k) ∧ x = 2k − 1). Daher:
x3 + x = (2k − 1)3 + (2k − 1) = 8k 3 − 3 · 4k2 + 3 · 2k − 1 + 2k − 1 =
2(4k3 − 6k2 + 4k − 1),
und wir sehen wieder, dass x3 + x gerade ist.
(Das Zeichen
zeigt das Ende eines Beweises an.)
Manchmal verläuft der Beweis für zwei oder mehrere Fälle völlig analog.
Dann führen wir den Beweis nur für einen Fall durch und sagen etwa: ”Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit (kurz: O.B.d.A.) können wir annehmen,
dassdieser Fall vorliegt.”.
Bevor wir uns ein typisches Beispiel ansehen, noch eine einfache, aber wichtige
Definition.
Definition 1.7 Sei x eine reelle Zahl.
½
x
falls x ≥ 0,
|x| :=
−x
falls x < 0.
|x| heißt der (absolute) Betrag (engl. ”absolute value”) von x.
Wir setzen hier die reellen Zahlen als bekannt voraus. Wir könnten uns aber
auch auf die ganzen oder rationalen Zahlen beschränken (siehe Abschnitte
2.4, 5.4 und 5.6).
Bemerkung: Durch Fallunterscheidung sieht man sofort, dass für alle reellen
Zahlen x gilt: x ≤ |x| und −x ≤ |x| .
Jetzt zu einem Beispiel für ”o.B.d.A.”:
Beispiel 1.8 Für beliebige reelle Zahlen x, y gilt
|x − y| ≤ |x| + |y| .
(”Dreiecksungleichung”)
Beweis:
Auf Grund der Definition des absoluten Betrages ist es naheliegend, folgende
zwei Fälle zu unterscheiden:
1.5. ÜBUNGSAUFGABEN
33
1. x − y ≥ 0, d.h. x ≥ y.
2. x − y < 0, d.h. x < y.
Da es nichts schadet, wenn wir den Fall x−y = 0 zweimal behandeln, können
wir als 2. Fall auch x − y ≤ 0 nehmen. Dann geht der Beweis aber in beiden
Fällen völlig analog, es werden nur die Rollen von x und y vertauscht. Wir
sagen daher: Sei o.B.d.A. x ≥ y. Dann ist |x − y| = x−y = x+(−y) ≤ |x|+|y|
auf Grund der vorhergehenden Bemerkung.
Die folgende einfache Regel für den absoluten Betrag kann man ebenso leicht
beweisen (Übungsaufgabe 10):
|xy| = |x||y|.
1.5
Übungsaufgaben
1. Stellen Sie die folgenderweise definierte logische Operation ¤ zunächst
mit Hilfe von ¬ und ∧ dar, und dann mit Hilfe von ¬ und →:
p
W
W
F
F
q
W
F
W
F
p¤q
F
F
F
W
Wie könnte man diese Operation sprachlich ausdrücken?
2. Beweisen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln die folgenden aussagenlogischen Gesetze:
a) (p ∨ q) ∧ ¬p ⇒ q
b) (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r)
c) p ⇒ (q → p)
3. Überprüfen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln die folgenden logischen
Äquivalenzen auf ihre Richtigkeit:
a) p → q ⇔ p ∧ ¬q → ¬p
b) p → q ⇔ ¬p → ¬q
c) (p ∧ ¬q) → (r ∧ ¬r) ⇔ p → q
(Prinzip des indirekten Beweises)
Wenn eine dieser Formeln nicht stimmt, versuchen Sie eine ähnliche
gültige Formel zu finden.
34
KAPITEL 1. MATHEMATISCHE LOGIK
4. Bestimmen Sie alle drei Normalformen für
a) (p → q) ∧ (r → s),
b) p → (q → s).
5. Formulieren Sie die Negationen der folgenden Aussagen so, dass kein
Negationszeichen vor einer Klammer steht:
a) (¬p ∧ q) ∨ (q → r),
b) ((p → q) → r) → (p ∨ q).
6. Beweisen Sie das Gesetz zum Modus ponens: p ∧ (p → q) ⇒ q.
7. Formulieren Sie in geeigneter Weise die Negationen der folgenden Aussagen:
a) (∀a)(∃b)(P (x, b) → Q(x, a)),
b) ∃x : (R(x) ∧ (∀y)(P (x, y)),
c) Es gibt eine Konstante c > 0, sodass für alle natürlichen Zahlen m
die Ungleichung K(m, a) > c · m1−a gilt.
d) Zu jedem ε > 0 gibt es eine Zahl δ > 0, sodass für alle Zahlen x mit
|x| < δ die Beziehung |P (x)| < ε gilt.
8. Studieren Sie das folgende formale System:
Symbole: a, b.
Zulässige Ausdrücke: Alle Zeichenketten, die sich aus den Symbolen
bilden lassen.
Axiom: a.
Ableitungsregeln:
XaY
XbaY
,
XaY
XaaY
,
wobei X, Y Platzhalter für irgendwelche Zeichenketten sind (eventuell
auch leer).
Welche Ausdrücke lassen sich ableiten?
9. Leiten Sie im formalen System der Aussagenlogik die folgende Formel
ab:
¬q → (q → p)
(Überlegen Sie sich dazu folgenden ”Hilfssatz”:
Wenn (im formalen System der Aussagenlogik) P → Q und Q → R
ableitbar sind, dann ist auch P → R ableitbar.)
10. Beweisen Sie |xy| = |x||y| für beliebige reelle Zahlen x, y.
Kapitel 2
Mengen
Man kann die Mengenlehre als formales System definieren und behandeln.
Das ist aber sehr kompliziert. Hier wird die Mengenlehre ”naiv” dargestellt,
d.h. wir ignorieren die subtilen Schwierigkeiten, die sich bei der exakten formalen Behandlung ergeben (siehe z.B. [14]). Wir verwenden aber dennoch,
soweit sinnvoll, Schreibweise und Formeln der mathematischen Logik.
Eine Menge (engl. ”set”) ist eine Zusammenfassung von Objekten, welche
die Elemente der Menge genannt werden. Wesentlich dabei ist, dass für
jedes Objekt eindeutig feststellbar sein muss, ob es ein Element der Menge
ist oder nicht.
x ∈ M bedeutet: ”x ist ein Element der Menge M”. Man sagt dafür auch
kurz ”x aus M” oder ”x in M”.
Statt ¬(x ∈ M) schreibt man meist x ∈
/ M.
Die Anzahl der Elemente einer Menge M bezeichnen wir mit |M| . Man nennt
|M| auch die Kardinalzahl (”cardinality”) von M und schreibt dafür auch
card M oder #M.
2.1
Beschreibung von Mengen
Zur Beschreibung von Mengen werden vor allem die folgenden zwei Möglichkeiten verwendet:
35
36
KAPITEL 2. MENGEN
a) durch Aufzählen ihrer Elemente:
Die Elemente der Menge werden, durch Beistriche getrennt, aufgeschrieben,
und das Ganze wird mit geschwungenen Klammern eingeschlossen. Das ist
vor allem für Mengen mit wenigen Elementen geeignet, z.B.: M = {2, 3, 5, 8}.
Einige wesentliche Aspekte dabei:
• Es kommt nicht auf die Reihenfolge der Elemente an:
{1, 3, 2} = {1, 2, 3}.
• Mehrfach vorkommende Elemente zählen nur einfach:
{1, 3, 1, 2, 2, 1} = {1, 2, 3} = {1, 1, 1, 2, 3, 3}
• Die Elemente einer Menge können selbst wieder Mengen sein:
A = {1, 2, 3, {1, 2}, {1, 3}, 4, 5, {1}, 7}.
Wenn alle Elemente von A Mengen sind, dann nennt man A auch eine
Familie von Mengen.
Eine Menge {a} mit nur einem Element a heißt auch Einermenge (von a)
(”singleton”). Sie darf nicht mit dem Element a verwechselt werden.
Eine besondere Menge ist die leere Menge (”empty set”). Sie enthält kein
Element. Bezeichnung: ∅, manchmal auch {}.
Bei Mengen mit vielen Elementen werden die Elemente oft unter Zuhilfenahme von ” . . . ” aufgezählt. Das ist allerdings nur sinnvoll, wenn kein Zweifel
über die ausgelassenen Elemente besteht.
Beispiele:
a) Mengen von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen:
{1, 2, . . . , 100}, {1, . . . , n}.
b) Mengen mit leicht erkennbarem Bildungsgesetz, auch mit unendlich vielen
Elementen:
{3, 6, 9, 12, . . .}.
2.2. TEILMENGEN
37
b) durch Angabe einer charakteristischen Eigenschaft:
Sei P ein einstelliges Prädikat. Dann bedeutet {x | P (x)} die Menge aller x,
für die P (x) wahr ist. Andere Schreibweise: {x : P (x)}.
Beispiele:
a) N = {x | x ist eine natürliche Zahl} = {1, 2, 3, . . .}.
b) {x | x ∈ N ∧ (∃k ∈ N)(x = 3k)} = {3, 6, 9, 12, . . .}.
(Kurzschreibweise: { 3k | k ∈ N }.)
2.2
Teilmengen
Definition 2.1 Seien A und B Mengen. A heißt Teilmenge (”subset”) von
B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Bezeichnung: A ⊂ B.
In formaler Schreibweise:
A ⊂ B :⇔ (∀x)(x ∈ A → x ∈ B).
(Der Doppelpunkt vor dem Äquivalenzzeichen bedeutet, dass die linke Seite
durch die rechte Seite definiert wird.)
Die durch das Zeichen ⊂ ausgedrückte Beziehung heißt auch Inklusion. Für
A ⊂ B sagt man auch ”A ist in B enthalten”. (Für das Zeichen ∈ sollte man
dann aber nicht das Wort ”enthalten” verwenden!)
Zu den Teilmengen einer Menge B zählen auch ∅ und B selbst, denn die
Aussagen x ∈ ∅ → x ∈ B und x ∈ B → x ∈ B sind für alle x wahr (siehe
Abschnitt 1.1.1). Die von B verschiedenen Teilmengen von B werden auch
echte Teilmengen (”proper subsets”) genannt.
Andere Bezeichnungsweise: Oft verwendet man das Symbol ”⊂” nur für echte
Teilmengen und bezeichnet die allgemeine Inklusion dann mit ”⊆”.
Definition 2.2 Die Menge aller Teilmengen von A heißt Potenzmenge
(”power set”) von A. Bezeichnung: P(A).
38
KAPITEL 2. MENGEN
Wir können auch sagen: Die Potenzmenge von A ist die Familie aller Teilmengen von A.
Beispiel: P({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Wir sehen, dass die Potenzmenge einer Menge mit 3 Elementen 8 Elemente
hat, und 8 = 23 . Wir werden uns später überlegen (Satz 7.19), dass allgemein
gilt: |P(A)| = 2|A| . Das erklärt den Namen ”Potenzmenge”.
Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. Das heißt:
A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A).
Die Gleichheit von zwei komplizierteren Mengen A, B wird oft dadurch bewiesen, dass man zuerst A ⊂ B und dann B ⊂ A zeigt.
Sei M eine Menge und P ein Prädikat. Dann ist {x | x ∈ M ∧ P (x)} die
Teilmenge von M, die aus allen Elementen besteht, für die P (x) wahr ist.
Dafür schreibt man meist kürzer:
{x ∈ M | P (x)}.
Beispiel: {x ∈ N | x > 10} = {11, 12, 13, . . .}.
2.3
Mengen und Quantoren
In der Mathematik kommen oft Aussagen vor, die eine der beiden folgenden
Formen haben:
”Für alle x aus M gilt P (x).”, ”Es gibt ein x aus M, sodass P (x) gilt.”. Die
folgende Tabelle enthält rechts die formale Schreibweise für diese Aussagen
und links eine äquivalente kürzere Form, die von den meisten Mathematikern
bevorzugt wird.
(∀x ∈ M) P (x)
:⇔
(∀x)(x ∈ M → P (x))
(∃x ∈ M) P (x)
:⇔
(∃x)(x ∈ M ∧ P (x))
Andere Variante: ∀x ∈ M : P (x) bzw. ∃x ∈ M : P (x).
Beispiele: Sei N die Menge der natürlichen Zahlen und P die Menge der
Primzahlen. Die folgenden Aussagen a), b) und c) sind wahr, aber d) ist
falsch:
2.4. EINIGE WICHTIGE MENGEN
39
a) ∀x ∈ P : (x = 2) ∨ (∃k ∈ N : x = 2k + 1). (Jede Primzahl außer 2 ist
ungerade.)
b)(∃x ∈ N)(∀y ∈ N)(x ≤ y). (Es gibt eine kleinste natürliche Zahl.)
c)(∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x < y). (Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere
natürliche Zahl.)
d)(∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x < y). (Es gibt eine natürliche Zahl, die größer als
alle natürlichen Zahlen ist.)
Hier sehen wir, dass es bei ∀ und ∃ auf die Reihenfolge ankommt!
2.4
Einige wichtige Mengen
N := Menge der natürlichen Zahlen (”positive integers”) = {1, 2, 3, . . .}.
(Der Doppelpunkt vor dem Gleichheitszeichen bedeutet wieder, dass die linke
Seite durch die rechte Seite definiert wird.)
Z := Menge der ganzen Zahlen (”integers”) = {0, 1, −1, 2, −2, . . .}.
Q := Menge der rationalen Zahlen (”rational numbers”):
{x | (∃p ∈ Z)(∃q ∈ Z)(q 6= 0 ∧ x = p/q}.
Etwas übersichtlicher ist folgende Schreibweise:
p
Q = { | p ∈ Z ∧ q ∈ Z ∧ q 6= 0}.
q
R := Menge der reellen Zahlen (”real numbers”) (= Menge aller Zahlen,
die sich durch endliche oder unendliche Dezimalbrüche darstellen lassen. Genaueres: siehe Vorlesungen und Bücher über ”Analysis”, z.B. [30]). Wichtige
Teilmengen von R sind die Intervalle (”intervals”):
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall),
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b} (offenes Intervall),
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}, (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} (rechts bzw.
links halboffenes Intervall).
40
KAPITEL 2. MENGEN
2.5
Mengenoperationen
(auch ”Boole’sche Operationen”, nach George Boole (1815-1864))
Definition 2.3 Durchschnitt (”intersection”) von A und B:
A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Wenn A ∩ B = ∅, so sagt man: A und B sind disjunkt (”disjoint”).
Definition 2.4 Vereinigung (”union”) von A und B:
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Definition 2.5 Differenz (”difference”, auch ”relative complement”) von
A und B:
A \ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}.
Oft sind alle Mengen, die man betrachtet, Teilmengen einer festen Grundmenge (”universal set”). Diese ist z.B. in der Zahlentheorie meist die Menge
Z der ganzen Zahlen.
Definition 2.6 Sei G die Grundmenge. Dann versteht man unter dem Komplement (”complement”) von A die Menge G\A. Bezeichnung: A0 , auch Ac ,
{A oder A.
Aus den aussagenlogischen Gesetzen ergeben sich praktisch unmittelbar die
folgenden Regeln für den Umgang mit Mengen (”Boole’sche Algebra”):
• Kommutativität:
• Assoziativität:
A∩B =B∩A
A∪B =B∪A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Es hat also einen Sinn, wenn man A ∩ B ∩ C bzw. A ∪ B ∪ C schreibt,
und analog für mehr als drei Mengen. Für den Durchschnitt bzw. die
2.5. MENGENOPERATIONEN
41
Vereinigung von n Mengen A1 , . . . , An schreibt man
n
T
Ai bzw.
i=1
und es gilt dann:
n
\
i=1
n
[
i=1
n
S
Ai ,
i=1
Ai : = {x | ∀ i ∈ {1, . . . , n} : x ∈ Ai }
Ai : = {x | ∃ i ∈ {1, . . . , n} : x ∈ Ai }
Das lässt sich ohne weiteres auch auf unendliche Familien von Mengen
übertragen. Sei F irgendeine Familie von Mengen.
\
F : = {x | ∀ A ∈ F : x ∈ A }
[
F : = {x | ∃ A ∈ F : x ∈ A }
(Andere Schreibweise:
\
A bzw.
A∈F
[
A.)
A∈F
Beispiel: Sei Ak := {n ∈ N | n ≥ k} und F := {X | ∃ kT∈ N :
X =SAk }. (Kurzschreibweise: F := {Ak | k ∈ N}.) Dann ist F = ∅
und F = N.
∞
∞
T
S
Ak = ∅ bzw.
Ak = N.)
(Wir könnten auch schreiben:
k=1
k=1
Klarerweise gilt für jede Menge A aus F :
\
[
F ⊂ A und A ⊂
F.
• Distributivität:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• de Morgan-Regel:
(A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
• Regel für das doppelte Komplement:
(A0 )0 = A
42
KAPITEL 2. MENGEN
Die folgenden Regeln liefern einen Zusammenhang zwischen Inklusion und
Durchschnitt bzw. Vereinigung:
A⊂B ⇔ A∩B =A
A⊂B ⇔ A∪B =B
Auch das kann man leicht mit Wahrheitstafeln beweisen: Bezeichnen wir mit
a bzw. b die Aussagen ”x ∈ A” bzw. ”x ∈ B”, so sehen wir, dass sich die
letzte Regel aus folgender logischen Äquivalenz ergibt:
a → b ⇔ a ∨ b ↔ b.
Definition 2.7 Symmetrische Differenz von A und B:
A ∆ B := (A \ B) ∪ (B \ A).
(Wir könnten auch schreiben: A ∆ B := {x | entweder x ∈ A oder x ∈ B}.)
Eine andere, äquivalente Definition der symmetrischen Differenz ist folgende:
A ∆ B := (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Auch für ∆ gelten einige leicht zu beweisende Regeln, wie z.B. Kommutativität und Assoziativität.
Eine besondere Rolle spielt die folgende Operation (siehe Kapitel 3 und 4).
Sie ist nach Cartesius = René Descartes (1596-1650) benannt.
Definition 2.8 Cartesisches Produkt (”cartesian product”) von A und
B:
A × B := { (x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B }.
Dabei bedeutet (x, y) ein (geordnetes) Paar. Der Unterschied zur Menge
{x, y} besteht darin, dass es in (x, y) auf die Reihenfolge ankommt, d.h. wir
gehen von folgendem Axiom aus:
(x, y) = (x0 , y 0 ) ⇔ x = x0 ∧ y = y 0 .
Auch (x, x) ist ein geordnetes Paar, wogegen {x, x} eine Menge mit nur einem
Element ist.
Beispiel: {1, 2} × {2, 4, 6} = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6)}.
2.5. MENGENOPERATIONEN
43
Die Elemente von A × B kann man sich in einer rechteckigen Anordnung
vorstellen:
2
4
6
1 (1, 2) (1, 4) (1, 6)
2 (2, 2) (2, 4) (2, 6)
Bemerkungen:
1) ∅ × A = A × ∅ = ∅ für jede Menge A.
2) Im Allgemeinen ist das cartesische Produkt nicht kommutativ: Wenn A
und B zwei verschiedene nicht leere Mengen sind, dann gilt A × B 6= B × A.
Beweis: Wenn A 6= B, dann gibt es ein a aus A, das nicht in B liegt,
oder umgekehrt. Wir müssten also eigentlich zwei Fälle unterscheiden. Da
die beiden Fälle aber durch Vertauschung von A und B ineinander übergehen, können wir sagen: Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit (o.B.d.A.)
a∈A ∧ a∈
/ B. Da wir B 6= ∅ voraussetzen, gibt es ein Element b ∈ B.
Dann gilt (a, b) ∈ A × B, aber (a, b) ∈
/ B × A, da ja a ∈
/ B. Also folgt:
A × B 6= B × A.
Das cartesische Produkt von drei Mengen wird analog definiert:
A × B × C := { (x, y, z) | x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C}.
(x, y, z) heißt (geordnetes) Tripel:
(x, y, z) = (x0 , y 0 , z 0 ) ⇔ x = x0 ∧ y = y 0 ∧ z = z 0 .
Meist unterscheidet man nicht zwischen (x, y, z) und den Paaren ((x, y), z),
(x, (y, z)). Dann gilt folgendes Assoziativgesetz:
A × B × C = (A × B) × C = A × (B × C).
In analoger Weise kann man auch das cartesische Produkt von n Mengen
A1 , . . . , An für beliebiges n ∈ N definieren. Die Elemente sind dann die
(geordneten) n-Tupel (x1 , . . . , xn ) mit xi ∈ Ai für alle i ∈ {1, . . . , n}. Statt
n-Tupel sagt man auch endliche Folge (”finite sequence”) (der Länge n).
Definition 2.9 Sei A eine Menge. Dann heißen
A2 := A × A, A3 := A × A × A, usw.
die cartesischen Potenzen (”cartesian powers”) von A.
44
KAPITEL 2. MENGEN
Beispiele:
1) R2 = {(x, y) | x ∈ R ∧ y ∈ R}, oder etwas kürzer: {(x, y) | x, y ∈ R}.
Diese Menge dient als Modell der Ebene.
Analog ist R3 ein Modell des dreidimensionalen Raums, und daher nennt
man für eine beliebige natürliche Zahl n die Menge Rn den n-dimensionalen
(euklidischen) Raum. Wenn x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , so heißen die Zahlen
xi Koordinaten von x. Die Elemente des Rn kann man sich als Punkte
oder Vektoren vorstellen. (Siehe Vorlesungen und Bücher über ”Lineare
Algebra”, z.B. [2]).
2) Z2 = {(x, y) | x, y ∈ Z}. Diese Menge können wir als die Menge aller
Punkte der Ebene mit ganzzahligen Koordinaten auffassen. Solche Punkte
heißen auch ”Gitterpunkte” der Ebene. Analog ist Zn die Menge aller
Gitterpunkte des Rn .
2.6
Übungsaufgaben
1. Vereinfachen Sie:
a) A ∩ (B \ A),
b) (A \ B) ∪ (A ∩ B),
c) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ∩ (C \ A)) ∪ ((B \ A) ∩ C)
2. Beweisen Sie:
a) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C),
b) A ∆ B ⊂ (A ∆ C) ∪ (B ∆ C).
3. Beweisen Sie:
a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C),
b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
4. Stimmt die folgende Formel: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C ?
(Wenn ja, dann beweisen Sie die Formel; wenn nein, dann geben Sie
ein Gegenbeispiel an!)
5. Unter welchen Voraussetzungen stimmen die folgenden Formeln?
a) P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B),
b) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B),
c) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C),
2.6. ÜBUNGSAUFGABEN
45
d) (A ∪ B) × C = (A ∪ C) × (B ∪ C).
6. Für a = (a1 , a2 ) ∈ R2 sei G(a) := {x ∈ R2 | ∃λ ∈ R : x = (λa1 , λa2 )}.
a) Was bedeutet G(a) anschaulich?
b) Sei F = {G(a) | a ∈ R2 }. Was ist
T
F bzw.
S
F?
46
KAPITEL 2. MENGEN
Kapitel 3
Relationen
3.1
Allgemeines
Seien A, B zwei Mengen. (A 6= B wird nicht vorausgesetzt.) Unter einer ”Relation” zwischen A und B versteht man umgangssprachlich eine ”Beziehung”
zwischen den Elementen von A und denen von B. (Beispiele: ”a kennt b”,
”a ist größer als b” für a ∈ A = Menge der männlichen Studenten, b ∈ B =
Menge der weiblichen Studenten.) Wenn wir für a ∈ A und b ∈ B nur die
zwei Möglichkeiten zulassen, dass die betrachtete Relation gilt oder nicht, so
wird die Relation durch die Menge aller Paare (a, b) bestimmt, sodass für a
und b die Relation gilt. Das führt zu folgender Definition:
Definition 3.1 Eine (binäre) Relation (”binary relation”) zwischen den
Elementen von A und B ist eine Teilmenge von A × B.
Man sagt auch: ”Relation von A nach B.” Eine Teilmenge von A × A heißt
auch ”Relation auf A”.
Statt (x, y) ∈ R schreibt man in diesem Zusammenhang meist x R y. Man
kann das auch so ausdrücken: x steht zu y in der Relation R.
Beispiele:
1) {(x, y) ∈ N × N | x ≤ y}. Das ist eine Relation auf N, und zwar ein
Beispiel für eine Ordnungsrelation (siehe Abschnitt 3.4).
2) Sei A = {0, 1, 2, . . . , 255} und B die Menge der in einem (gewöhnlichen)
Computer darstellbaren Zeichen. C sei die Menge
{(a, b) ∈ A × B | a ist der ASCII-Code von b}.
47
48
KAPITEL 3. RELATIONEN
Es gilt z.B. 33 C ”!” und 122 C ”z”, wenn wir die Zeichen der Deutlichkeit
halber mit Anführungsstrichen schreiben. In diesem Fall gibt es zu jedem
a ∈ A genau ein b ∈ B, sodass aRb; und andererseits gibt es zu jedem b ∈ B
genau ein a ∈ A, sodass aRb. So etwas nennt man eine bijektive Abbildung
(siehe Kapitel 4).
3) Auf jeder Menge A können wir die Gleichheitsrelation
{(x, y) ∈ A × A | x = y}
betrachten. Diese heißt auch die Identität auf A. Wir bezeichnen sie mit IA
oder kurz I.
4) Wenn A und B beliebige Mengen sind, dann ist auf Grund unserer Definition auch die leere Menge eine Relation zwischen den Elementen von A
und B, da ja ∅ ⊂ A × B. Man nennt ∅ in diesem Zusammenhang auch leere
Relation.
5) A × B ist natürlich auch eine Relation von A nach B. Sie wird manchmal
universelle Relation genannt.
Definition 3.2 Sei R eine Relation auf A. Die Relation
{(x, y) ∈ A × A | (y, x) ∈ R}
heißt die Umkehrrelation (”inverse relation”) von R.
Bezeichnungen für die Umkehrrelation: R−1 , manchmal auch R← .
Definition 3.3 Eine Relation R auf einer Menge A heißt
reflexiv, wenn ∀x ∈ A : xRx;
symmetrisch, wenn ∀x, y ∈ A : xRy → yRx;
antisymmetrisch, wenn ∀x, y ∈ A : xRy ∧ yRx → x = y;
transitiv, wenn ∀x, y, z ∈ A : xRy ∧ yRz → xRz.
Die obigen Beispiele haben folgende Eigenschaften:
1) reflexiv, antisymmetrisch, transitiv;
2) ist keine Relation auf einer Menge;
3.2. GRAPHEN
49
3) reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv;
4) symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv;
5) reflexiv, symmetrisch, transitiv.
(Bei 4) und 5) muss natürlich A = B vorausgesetzt werden.)
Bemerkungen: Sei R eine Relation auf A. Dann gilt:
a) R ist reflexiv ⇔ IA ⊂ R.
b) R ist symmetrisch ⇔ R = R−1 .
c) R ist antisymmetrisch ⇔ R ∩ R−1 ⊂ IA .
Eine Relation R auf einer Menge A liefert in natürlicher Weise auch auf jeder
Teilmenge von A eine Relation:
Definition 3.4 Sei R eine Relation auf A, und S ⊂ A. Dann heißt folgende
Relation Einschränkung (”restriction”) von R auf S:
R|S := { (x, y) ∈ S × S | xRy }
Z.B. kann man die natürliche Ordnungsrelation auf N als Einschränkung der
natürlichen Ordnungsrelation auf Z auffassen.
3.2
3.2.1
Graphen
Gerichtete Graphen
Man erhält eine anschauliche Darstellung einer Relation R auf einer Menge
V , wenn man die Elemente von V als Punkte (oder kleine Kreise) darstellt
und für jedes Paar (x, y) ∈ R einen Pfeil von x nach y zeichnet.
50
KAPITEL 3. RELATIONEN
Beispiel: Sei V = {1,2,3,4,5,6}, R = {(1,2),(2,1),(1,3),(1,5),(4,2),(4,3),(4,4)}.
2
1
4
6
3
5
Definition 3.5 Sei R eine Relation auf der Menge V. Das Paar D = (V, R)
heißt gerichteter Graph (”directed graph”, kurz ”digraph”). Die Elemente
von V heißen Ecken (”vertices”), die Elemente von R heißen Kanten
(”edges”) von D.
(Das Wort ”Digraph” wird auch im Deutschen verwendet.)
Bei einem gerichteten Graphen kommt es also nicht auf die Lage der Ecken
oder die Form der Kanten an! Der ”abstrakte” gerichtete Graph ist etwas
anderes als seine zeichnerische Darstellung.
Definition 3.6 Wenn (a, b) eine Kante ist, so heißt a der Anfangspunkt
(”initial vertex”, ”tail”) und b der Endpunkt (”terminal vertex”, ”head”)
der Kante. Wir sagen auch, die Kante geht von a nach b. Eine Kante der
Form (x, x) heißt Schlinge (”loop”).
3.2.2
Ungerichtete Graphen
Sei D = (V, R) ein gerichteter Graph, und R sei eine symmetrische Relation.
Dann treten alle Kanten paarweise auf: Mit (x, y) ist auch (y, x) eine Kante.
Wenn D keine Schlingen besitzt, kann man daher in diesem Fall die Relation
durch die zweielementigen Mengen {x, y} angeben, für die (x, y) und (y, x)
Kanten sind. Wenn es Schlingen gibt, so kann man diese durch einelementige
Mengen {x} mit x ∈ V darstellen.
3.2. GRAPHEN
51
Definition 3.7 Sei V eine beliebige Menge und E eine Menge von einoder zweielementigen Teilmengen von V. Dann heißt G = (V, E) ein (ungerichteter) Graph. Die Elemente von V heißen wieder Ecken, die von E
Kanten von G.
Bemerkung: Dieser Begriff hat nichts mit Funktionsgraphen (siehe Kapitel
4) zu tun!
Definition 3.8 Ein Graph ohne Schlingen heißt einfacher Graph (”simple
graph”).
Bemerkung: Manchmal wird generell vorausgesetzt, dass keine Schlingen auftreten, d.h. man versteht dann unter einem ”Graphen” einen einfachen Graphen.
Zur Veranschaulichung eines ungerichteten Graphen werden für jede Kante
die beiden zugehörigen Ecken durch eine Linie verbunden. Es kommt wieder
nicht auf die Gestalt der Linie oder die Lage der Ecken an.
Beispiel: Sei V = {1, 2, 3, 4} und E = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}}.
4
3
1
2
Zu jedem Graphen G gibt es einen zugehörigen gerichteten Graphen G0 : Für
G = (V, E) ist G0 = (V, R) mit R = {(x, y) ∈ V × V | {x, y} ∈ E} . Jede
ungerichtete Kante {x, y} wird also durch zwei gerichtete Kanten (x, y), (y, x)
ersetzt. Für das letzte Beispiel sieht das so aus:
4
3
1
2
52
KAPITEL 3. RELATIONEN
Umgekehrt kann man aus jedem gerichteten Graphen D einen ungerichteten
Graphen U(D) machen, indem man (x, y) durch {x, y} ersetzt. U(D) heißt
der D zugrundeliegende (ungerichtete) Graph (”underlying graph”).
Dabei geht natürlich Information verloren!
Bei einem ungerichteten Graphen kann man nicht zwischen Anfangs- und
Endpunkt einer Kante unterscheiden, man nennt daher oft beide Ecken einer
Kante ”Endpunkte”.
3.2.3
Pfade
Definition 3.9 Eine (endliche) Folge von paarweise verschiedenen Ecken
(x1 , x2 , . . . , xn ) in einem gerichteten Graphen D heißt (gerichteter) Pfad
(”path”) (von x1 nach xn ), wenn (x1 , x2 ), (x2 , x3 ), . . . , (xn−1 , xn ) Kanten von
D sind. Unter der Länge des Pfades versteht man dann die Zahl n − 1.
In unserem ersten Beispiel für einen gerichteten Graphen ist etwa (4, 2, 1, 3)
ein Pfad der Länge 3. Dagegen sind z.B. (1, 3, 4) und (1, 2, 1) keine (gerichteten) Pfade.
Für ungerichtete Graphen wird der Begriff ”Pfad” ganz analog definiert:
Definition 3.10 Eine (endliche) Folge von paarweise verschiedenen Ecken
(x1 , x2 , . . . , xn ) in einem Graphen G heißt Pfad (von x1 nach xn , mit Länge
n − 1), wenn {x1 , x2 }, {x2 , x3 }, . . . , {xn−1 , xn } Kanten von G sind.
Definition 3.11 Ein (ungerichteter) Graph G heißt zusammenhängend
(”connected”), wenn es für je zwei (verschiedene) Ecken x, y von G einen
Pfad von x nach y gibt.
Der folgende Graph ist nicht zusammenhängend:
3.2. GRAPHEN
53
Definition 3.12 Ein gerichteter Graph heißt zusammenhängend, wenn der
zugrundeliegende ungerichtete Graph zusammenhängend ist.
Das Beispiel im Abschnitt 3.2.1 ist nicht zusammenhängend. Lässt man die
Ecke 6 weg, so wird er zusammenhängend, obwohl es z.B. keinen gerichteten
Pfad von 1 nach 4 gibt.
3.2.4
Teilgraphen
Definition 3.13 Seien (V, E) und (V 0 , E 0 ) zwei Graphen (entweder beide gerichtet oder beide ungerichtet). Wenn V 0 ⊂ V und E 0 ⊂ E, so heißt (V 0 , E 0 )
Teilgraph (”subgraph”) von (V, E).
Wichtige Beispiele für Teilgraphen liefern die Pfade: Sei P = (x1 , x2 , . . . , xn )
ein Pfad in G = (V, E). Dann bilden die Ecken und Kanten von P einen
Teilgraphen von G. Wenn G ein gerichteter Graph ist, dann ist so ein Pfad
durch den entsprechenden Teilgraphen eindeutig bestimmt. Bei einem ungerichteten Graphen gehört allerdings der umgekehrte Pfad (xn , xn−1 , . . . , x1 )
zu demselben Teilgraphen.
Im nächsten Abschnitt werden weitere wichtige Teilgraphen besprochen.
3.2.5
Kreise
Grob gesagt ist ein Kreis ein geschlossener Pfad. Die genaue Definition lautet:
Definition 3.14 Ein Teilgraph (V 0 , E 0 ) eines (ungerichteten) Graphen heißt
Kreis oder Zyklus (”cycle”, manchmal auch ”circuit”), wenn man die Elemente von V 0 so nummerieren kann, dass V 0 = {x1 , x2 , . . . , xn }, n ≥ 3, und
E 0 = {{xi , xi+1 } | i ∈ {1, . . . , n − 1}} ∪ {{xn , x1 }} .
Die Zahl n heißt die Länge des Kreises.
Man kann also einen Kreis auch durch eine Folge (x1 , x2 , . . . , xn ) von Ecken
angeben, aber eine zyklische Vertauschung dieser Ecken definiert denselben
Kreis, z.B. (x2 , x3 , . . . , xn , x1 ). Außerdem ist ein Kreis von dem durch die
Eckenfolge definierten Pfad zu unterscheiden.
Im Beispiel des Abschnitts 3.2.2 gibt es nur einen Kreis, nämlich (1, 2, 3).
In einem gerichteten Graphen wird ”Kreis” analog definiert:
54
KAPITEL 3. RELATIONEN
Definition 3.15 Ein Teilgraph (V 0 , E 0 ) eines gerichteten Graphen heißt
(gerichteter) Kreis oder Zyklus, wenn man die Elemente von V 0 so
nummerieren kann, dass V 0 = {x1 , x2 , . . . , xn }, n ≥ 2, und
E 0 = {(xi , xi+1 ) | i ∈ {1, . . . , n − 1}} ∪ {(xn , x1 )} .
Die Zahl n heißt wieder die Länge des Kreises.
Schlingen werden manchmal als Zyklen der Länge 1 angesehen. (Genauer:
Teilgraphen, die nur aus einer Ecke x und einer Kante {x, x} bzw. (x, x)
bestehen.) Zur besseren Unterscheidung nennen wir deshalb Kreise mit Länge
≥ 2 auch echte Zyklen.
In unserem gerichteten Graphen von Abschnitt 3.2.1 gibt es außer der Schlinge
nur einen gerichteten Kreis, nämlich (1, 2).
3.2.6
Anwendungen
Einige Anwendungsgebiete von (gerichteten und ungerichteten) Graphen (genaueres in Kapitel 8 und in Vorlesungen oder Büchern über Graphentheorie,
wie z.B. [28] oder [20]):
• Reise- oder Transportplanung
• Elektrische Netzwerke (z.B. Layout von Platinen)
• Datenstrukturen in der Informatik (”Bäume”)
• Computernetzwerke
• Organisationsplanung (z.B. Arbeitspläne, Maschineneinsatzpläne)
• Analyse von Beziehungen in der Soziologie und Psychologie
• Strukturformeln in der (organischen) Chemie
• Anwendungen innerhalb der Mathematik:
1. Logische Abhängigkeit von Sätzen einer Theorie,
2. Gruppentheorie,
3. Diskrete Geometrie (z.B. Kreispackungen).
3.3. ÄQUIVALENZRELATIONEN
3.3
55
Äquivalenzrelationen
Definition 3.16 Eine Relation R auf einer Menge M heißt Äquivalenzrelation (”equivalence relation”) auf M, wenn sie reflexiv, symmetrisch und
transitiv ist. Für xRy sagen wir dann: ”x ist zu y äquivalent (bezüglich der
Relation R)”.
Es handelt sich also um eine Verallgemeinerung der Gleichheitsrelation. Deshalb werden Äquivalenzrelationen oft mit ∼, ', ≈, ≡ oder ähnlich bezeichnet.
Sprechweise: Wenn klar ist, um welche Äquivalenzrelation es sich handelt,
dann bedeutet ”x und y sind äquivalent”, dass (x, y) ein Element dieser
Äquivalenzrelation ist, also z.B. x ∼ y.
Typisches Beispiel: Sei A die Menge aller Schüler einer bestimmten Schule,
und
R := {(x, y) ∈ A2 | x und y gehen in dieselbe Klasse}.
So wie in diesem Beispiel entspricht jede Äquivalenzrelation einer ”Klasseneinteilung”. Dazu:
Definition 3.17 Sei S eine Familie von Mengen. Wenn je zwei Elemente
von S disjunkt sind, so heißt S eine disjunkte Familie (”disjoint family”).
Man sagt auch: Die Mengen aus S sind paarweise disjunkt (”pairwise
disjoint”).
Definition 3.18 Eine disjunkte Familie P von nicht leeren Teilmengen von
A heißt Partition von A, wenn jedes Element von A in einer Menge aus P
enthalten ist (d.h., wenn die Vereinigung aller Mengen aus P ganz A ist).
Die Menge bzw. Familie der Schulklassen ist also eine Partition der Menge
aller Schüler der betrachteten Schule.
Definition 3.19 Sei R eine Äquivalenzrelation auf A und a ∈ A. Dann heißt
[a] := {x ∈ A | xRa}
die Äquivalenzklasse (”equivalence class”) von a (bezüglich der Relation
R).
56
KAPITEL 3. RELATIONEN
[a] besteht also aus allen Elementen von A, die zu a in der Relation R stehen.
Wegen der Reflexivität gilt insbesondere a ∈ [a]. Man nennt a auch einen
Repräsentanten der Klasse [a].
Im Beispiel mit den Schülern ist [a] die Menge aller Schüler, die in dieselbe
Klasse wie a gehen. Dazu gehört auch a selbst.
Bemerkung: Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Dann gilt für a, b ∈ A:
[a] = [b] ⇔ aRb.
Beweis:
1) Sei [a] = [b]. Dann gilt wegen a ∈ [a] auch a ∈ [b], und das heißt aRb.
2) Sei aRb. Wir zeigen zunächst [a] ⊂ [b]:

x ∈ [a] ⇒ xRa 
aRb
⇒ xRb ⇒ x ∈ [b].

R transitiv
Da man [b] ⊂ [a] analog erhält, folgt tatsächlich [a] = [b].
(Die geschwungene Klammer bedeutet natürlich eine Konjunktion der drei
Aussagen.)
Satz 3.20 Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Dann bilden die zugehörigen
Äquivalenzklassen eine Partition von A.
Beweis: Da jedes Element a von A in ”seiner” Äquivalenzklasse [a] liegt, ist
nur die paarweise Disjunktheit der Äquivalenzklassen nachzuweisen.
Seien also [a] und [b] zwei verschiedene Äquivalenzklassen. Indirekte Annahme: [a] ∩ [b] 6= ∅. Dann gibt es ein x ∈ [a] ∩ [b]. Das bedeutet: xRa ∧ xRb.
Wegen der Symmetrie folgt daraus aRx ∧ xRb, und wegen der Transitivität
folgt dann aRb. Das hätte jedoch nach der vorigen Bemerkung [a] = [b] zur
Folge, im Widerspruch zur Voraussetzung.
Es gilt auch die Umkehrung von Satz 3.20:
Satz 3.21 Sei P eine Partition von A. Dann ist die folgenderweise definierte
Relation R eine Äquivalenzrelation, und die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen stimmt mit der gegebenen Partition überein:
R := {(x, y) ∈ A2 | (∃S ∈ P ) (x ∈ S ∧ y ∈ S) }.
(Zwei Elemente von A stehen also genau dann in der Relation R zueinander,
wenn sie in derselben Menge der Partition liegen.)
3.3. ÄQUIVALENZRELATIONEN
57
Beweis:
Reflexivität: Sei x ∈ A. Da jedes Element von A in einer Menge aus P
enthalten ist, gibt es ein S ∈ P, sodass x ∈ S. Daraus folgt aber schon
(x, x) ∈ R.
Symmetrie: folgt aus der Definition von R wegen der Kommutativität der
Konjunktion ∧.
Transitivität:
xRy ∧ yRz ⇒ (∃S ∈ P ) (x ∈ S ∧ y ∈ S) ∧
(∃S 0 ∈ P ) (y ∈ S 0 ∧ z ∈ S 0 ).
Wir sehen: y ∈ S ∩ S 0 . Da P eine Partition ist, muss also S = S 0 sein, und
es folgt x ∈ S ∧ z ∈ S, also xRz.
Sei nun [a] eine Äquivalenzklasse und S die (eindeutig bestimmte) Menge
aus P, welche a enthält. Wir überlegen uns, dass [a] = S ist.
S ⊂ [a]: Sei x ∈ S. Da a ∈ S, folgt sofort xRa, also x ∈ [a].
[a] ⊂ S:
x ∈ [a] ⇒ xRa ⇒ (∃S 0 ∈ P ) (x ∈ S 0 ∧ a ∈ S 0 )
a ∈ S ∩ S0 ⇒ S = S0
¾
⇒ x ∈ S.
Definition 3.22 Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Dann heißt die Menge
der entsprechenden Äquivalenzklassen (d.i. die zugehörige Partition) Faktormenge oder Quotientenmenge (”quotient set”) von A nach R. Bezeichnung: A/R.
Wir können auch sagen: A/R entsteht aus A durch Identifizierung äquivalenter Elemente.
Beispiele:
1) Sei G ein (im Allgemeinen unzusammenhängender) Graph. Wir nennen
zwei Ecken x, y von G äquivalent, wenn entweder x = y ist oder wenn es (in
G) einen Pfad von x nach y gibt. Die Äquivalenzklassen heißen dann Zusammenhangskomponenten (”connected components”) von G. (Siehe letztes
Beispiel im Abschnitt 3.2.3, dort gibt es drei Zusammenhangskomponenten.)
Für den Beweis der Transitivität dieser Relation muss man sich Folgendes
58
KAPITEL 3. RELATIONEN
überlegen: Wenn es einen Pfad von x nach y und einen von y nach z gibt,
dann gibt es auch einen Pfad von x nach z. Dazu fügt man zunächst die
beiden Pfade aneinander. Wenn es dann zwei gleiche Ecken gibt, lässt man
alle dazwischenliegenden Ecken weg. (Das wird später noch ausführlicher behandelt, siehe Bemerkung 8.18.)
2) Wir definieren auf Z3 folgenderweise eine Äquivalenzrelation:
(x, y, z)R(x0 , y 0 , z 0 ) :⇔ (x, y, z) und (x0 , y 0 , z 0 ) sind entweder gleich oder sie
unterscheiden sich nur durch die Reihenfolge der Koordinaten. Dann gibt es
Äquivalenzklassen mit 1, 3 oder 6 Elementen, z.B.:
[(1, 1, 1)] = {(1, 1, 1)},
[(1, 2, 2)] = {(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)},
[(1, 2, 3)] = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}.
Das ist ein Beispiel mit unendlich vielen Äquivalenzklassen, wobei aber jede
Klasse nur endlich viele Elemente hat. Im nächsten Beispiel hat jede Klasse,
bis auf eine Ausnahme, unendlich viele Elemente:
3) Wir betrachten wieder Z3 und nennen zwei Elemente äquivalent, wenn sie
proportional sind, d.h.
u ∼ v :⇔ ∃ λ ∈ Q \ {0} : u = λv.
Dann ist [(0, 0, 0)] = {(0, 0, 0)} und z.B.
[(2, 6, −8)] = {(1, 3, −4), (−1, −3, 4), (2, 6, −8), (−2, −6, 8), (3, 9, −12), . . .}.
Anschaulich gesprochen besteht hier jede Äquivalenzklasse 6= [(0, 0, 0)] aus
Gitterpunkten oder -vektoren, die auf einer Geraden durch den Ursprung
liegen. In jeder Äquivalenzklasse (6= [(0, 0, 0)] ) gibt es zwei besonders einfache Elemente, nämlich die Vektoren mit der kleinsten
p Länge. (Unter der
Länge des Vektors (x, y, z) versteht man die Zahl x2 + y 2 + z 2 .) Diese
Situation, dass es nämlich in jeder Klasse einen oder wenige besonders einfache Repräsentanten (”Normalformen”) gibt, ist typisch für viele Äquivalenzrelationen. (Siehe Vorlesungen oder Bücher über Lineare Algebra, z.B. [21].)
Sie erleichtert oft das Studium der Äquivalenzklassen.
3.4
Ordnungsrelationen
Definition 3.23 Eine Relation R auf einer Menge A heißt Ordnungsrelation oder Halbordnung (”partial ordering”), wenn sie reflexiv, anti-
3.4. ORDNUNGSRELATIONEN
59
symmetrisch und transitiv ist. Das Paar (A, R) heißt dann (halb-)geordnete
Menge (”partially ordered set”, kurz ”poset”).
Das Musterbeispiel dafür ist die durch ”≤” definierte ”natürliche” Ordnung
auf N, Z, Q, R oder einer Teilmenge davon. Ordnungsrelationen werden daher oft so ähnlich bezeichnet, z.B. mit v . Statt x v y schreibt man auch
y w x.
Andere Beispiele:
1) Auf N wird durch
a|b :⇔ (∃k ∈ N) (ak = b)
eine Ordnungsrelation definiert. Für a|b sagen wir: ”a teilt b” oder ”a ist ein
Teiler von b”. Die Relation selbst heißt Teilbarkeitsrelation.
Reflexivität: a · 1 = a.
Antisymmetrie: Sei ak = b und bk0 = a. Dann folgt akk 0 = a, also (wegen
a 6= 0) kk 0 = 1. Das ist aber nur für k = k 0 = 1 möglich, also folgt a = b.
Transitivität: (ak = b) ∧ (bk0 = c) ⇒ (akk 0 = c) ⇒ a|c.
2) Sei M eine beliebige (nicht leere) Menge. Dann wird auf der Potenzmenge
P(M) durch die Inklusion ”⊂” eine Halbordnung definiert.
Bei diesen Beispielen fällt gegenüber der natürlichen Ordnung auf N etc. auf,
dass es ”unvergleichbare” Elemente gibt. Es gilt z.B. weder 3|4 noch 4|3.
Definition 3.24 Sei v eine Ordnungsrelation auf A. Dann heißt die folgenderweise definierte Relation @ die zugehörige strikte Ordnung(srelation):
x @ y :⇔ (x v y) ∧ (x 6= y).
Eine strikte Ordnungsrelation ist zwar auch antisymmetrisch und transitiv,
aber nicht reflexiv. Den Zusammenhang zwischen einer Ordnungsrelation v
auf einer Menge A und der zugehörigen strikten Ordnungsrelation @ könnte
man auch so ausdrücken:
v = @ ∪ IA .
Definition 3.25 Sei v eine Ordnungsrelation auf A. Zwei Elemente x, y ∈
A heißen vergleichbar (”comparable”), wenn x v y oder y v x. Wenn je
zwei Elemente von A vergleichbar sind, so heißt v Totalordnung (”total
order”).
60
KAPITEL 3. RELATIONEN
(Das erklärt die Bezeichnung Halbordnung bzw. partial ordering für den allgemeinen Fall.)
Die natürliche Ordnung auf N ist also eine Totalordnung. Weitere Beispiele
erhält man mit folgendem Begriff:
Definition 3.26 Sei (A, v) eine geordnete Menge und @ die zugehörige
strikte Ordnung. Dann heißt die folgenderweise definierte Ordnungsrelation
auf A × A die (zugehörige) lexikographische Ordnung
(x1 , x2 ) ¹ (y1 , y2 ) :⇔ x1 @ y1 ∨ (x1 = y1 ∧ x2 v y2 ).
(Die lexikographische Ordnung auf beliebigen cartesischen Produkten von
zwei oder mehr geordneten Mengen wird analog definiert.)
Satz 3.27 Wenn v eine Totalordnung auf A ist, dann ist die zugehörige
lexikographische Ordnung auf A × A ebenfalls eine Totalordnung.
Beweis: Übungsaufgabe 6.
Es gibt noch eine andere sehr natürliche Ordnung auf A2 (Produktordnung):
(x1 , x2 ) ¹ (y1 , y2 ) :⇔ x1 v y1 ∧ x2 v y2 .
Das ist im Allgemeinen keine Totalordnung. Z.B. sind in Z2 die Elemente
(1, 0) und (0, 1) bezüglich dieser Ordnung nicht vergleichbar. Die mit (0, 0)
vergleichbaren Elemente bilden die beiden ”Quadranten”
{(x, y) | x ≥ 0 ∧ y ≥ 0} und {(x, y) | x ≤ 0 ∧ y ≤ 0}.
Man kann eine Ordnungsrelation so wie jede Relation durch einen gerichteten
Graphen darstellen. Übersichtlicher ist jedoch die folgende nach dem bedeutenden Zahlentheoretiker Helmut Hasse (1898 - 1979) benannte Methode:
Definition 3.28 Unter dem Hasse-Diagramm einer Halbordnung v auf
einer (endlichen) Menge A versteht man den gerichteten Graphen mit Eckenmenge A und folgender Kantenmenge:
H := { (x, y) ∈ A2 | x @ y ∧ ¬(∃z ∈ A)(x @ z @ y) }.
3.4. ORDNUNGSRELATIONEN
61
D.h. also: Wenn x @ y, so wird nur dann eine Kante von x nach y gezeichnet,
wenn es kein Element ”zwischen” x und y gibt.
Auf einer endlichen Menge ist eine Ordnungsrelation durch ihr Hasse-Diagramm eindeutig bestimmt: x v x muss sowieso für alle x ∈ A gelten, und
wenn es ein oder mehrere Elemente zwischen x und y gibt, so ergibt sich
x v y auf Grund der Transitivität. Anders ausgedrückt: x v y gilt genau
dann, wenn entweder x = y ist oder im Hasse-Diagramm ein gerichteter Pfad
von x nach y existiert.
Aus Gründen der Übersichtlichkeit zeichnet man das Hasse-Diagramm so,
dass alle Kanten von unten nach oben zeigen. Man kann dann die Pfeile
weglassen.
Beispiel: Hasse-Diagramm der Teilbarkeitsrelation auf {1, 2, . . . , 12}:
9
12
8
6
4
10
3
2
5
7
11
1
Definition 3.29 Sei (A, v) eine geordnete Menge. Ein Element m aus A
heißt maximales Element von A, wenn es in A kein ”größeres” Element
als m gibt, d.h.
(∀x ∈ A) (m v x → m = x).
(Analog: minimales Element).
Im letzten Beispiel gibt es 6 maximale Elemente: 9, 12, 8, 10, 7, 11, aber nur
ein minimales Element: 1.
62
KAPITEL 3. RELATIONEN
Achtung: Wenn m maximales Element von A ist, so heißt das im Allgemeinen
nicht, dass x v m für alle x ∈ A. (Siehe Beispiel!)
Definition 3.30 Ein Element g von A heißt größtes Element (”greatest
element”) von A, wenn x v g für alle x ∈ A. (Analog: kleinstes Element
(”least element”)).
In unserem Beispiel gibt es kein größtes Element, aber 1 ist das kleinste
Element.
Bemerkung: Jede endliche, nicht leere, geordnete Menge hat mindestens ein
minimales und ein maximales Element. Wenn es ein größtes bzw. kleinstes
Element gibt, dann ist dieses eindeutig bestimmt: Wären etwa x und x0 zwei
kleinste Elemente, dann wäre sowohl x v x0 als auch x0 v x und daher wegen
der Antisymmetrie der Ordnungsrelation x = x0 .
Definition 3.31 Sei (A, v) eine geordnete Menge. Eine Teilmenge C von
A heißt Kette (”chain”), wenn je zwei Elemente von C vergleichbar sind.
(D.h. wenn die Einschränkung der Relation v auf C eine Totalordnung ist.)
Im Hasse-Diagramm bilden z.B. die gerichteten Pfade Ketten.
Definition 3.32 Sei (A, v) eine geordnete Menge. Eine Teilmenge B von A
heißt Antikette (”antichain”), wenn keine zwei Elemente von B vergleichbar
sind.
Beispiel: Die Menge der maximalen Elemente einer geordneten Menge ist eine
Antikette. (Wenn die Menge unendlich viele Elemente hat, ist diese Antikette
unter Umständen leer, z.B. bei N.)
Die Menge aller Ketten in einer geordneten Menge bildet selbst wieder eine
geordnete Menge, und zwar bezüglich der Inklusion. Wir können daher von
maximalen Ketten reden. Die maximalen Ketten sind im Allgemeinen nicht
alle gleich ”lang”. Im obigen Beispiel mit dem Hasse-Diagramm gibt es
mehrere verschieden lange maximale Ketten, zum Beispiel {1, 11}, {1, 5, 10},
{1, 2, 4, 8}.
3.5. HÜLLEN VON RELATIONEN
3.5
63
Hüllen von Relationen
In der Mathematik gibt es viele verschiedene ”Hülle”-Begriffe (engl. ”closure” oder ”hull”). Es geht dabei immer um das kleinste Element (im Sinne
der Inklusion) in einer bestimmten Familie von Mengen, welche eine feste
Menge T0 enthalten. Die vorigen Abschnitte führen in folgender Weise zu
drei natürlichen Hülle-Begriffen:
Satz 3.33 Sei R eine Relation auf der Menge A. Dann gibt es eine (im Sinne
der Inklusion) kleinste reflexive Relation auf A, welche R enthält. Ebenso gibt
es eine kleinste R enthaltende symmetrische bzw. transitive Relation.
Beweis für ”transitiv”: Sei R die Menge aller transitiven Relationen auf A,
welche R enthalten:
R = {M ⊂ A2 | M ist transitiv ∧ R ⊂ M}.
R ist sicher nicht leer, denn die universelle Relation ist transitiv und enthält
R. Nun bilden wir den Durchschnitt aller Mengen aus der Familie R :
\
\
M.
H :=
R=
M∈R
Wir haben zu zeigen:
1) H ∈ R ,
2) H ⊂ M für alle M ∈ R.
Zu Teil 2): Sei x ∈ H. Dann ist (nach Definition des Durchschnitts) x ∈ M
für alle M ∈ R.
Zu Teil 1) haben wir folgendes zu überprüfen:
a) H ⊂ A2 , b) H ist transitiv, c) R ⊂ H.
Zu a): Nach Teil 2) ist H ⊂ M für alle M ∈ R. Da M ⊂ A2 für alle M ∈ R,
folgt: H ⊂ A2 .
Zu b): Seien x, y, z ∈ A und (x, y) ∈ H, (y, z) ∈ H. Dann gilt (x, y) ∈
M ∧ (y, z) ∈ MTfür alle M ∈ R. Daher ist (x, z) ∈ M für alle M ∈ R und
folglich (x, z) ∈ R = H.
64
KAPITEL 3. RELATIONEN
Zu c): Sei x ∈ R.
T Dann gilt (nach Definition von R) x ∈ M für alle M ∈ R,
und daher x ∈ R = H.
Die Beweise für ”reflexiv” und ”symmetrisch” verlaufen ganz analog.
Definition 3.34 Sei R eine Relation auf der Menge A. Die kleinste R enthaltende reflexive (symmetrische, transitive) Relation auf A heißt die reflexive (symmetrische, transitive) Hülle (”closure”) von R.
Bezeichnung: r(R) bzw. s(R) bzw. t(R).
Beispiele:
1) Sei D = (V, R) ein gerichteter Graph. Dann entspricht die symmetrische
Hülle von R dem zugrundeliegenden ungerichteten Graphen. (D.h. U(D) =
(V, {{x, y} | (x, y) ∈ s(R)}) ).
2) Sei (A, H) das Hasse-Diagramm einer Ordnungsrelation R auf A. Dann
ist R = t(r(H)).
3) Sei R irgendeine Relation auf A. Dann ist t(s(r(R))) die kleinste R enthaltende Äquivalenzrelation auf A. (Übungsaufgabe 11)
Bemerkung: Die reflexive und die symmetrische Hülle kann man leicht direkt
angeben:
r(R) = R ∪ IA ,
s(R) = R ∪ R−1 .
Bei der transitiven Hülle ist das nicht ganz so einfach (siehe Abschnitt 8.6.1).
Jedenfalls gilt (x, y) ∈ t(R) genau dann, wenn es im entsprechenden Digraphen einen gerichteten Pfad von x nach y gibt.
3.6
Übungsaufgaben
1. Untersuchen Sie für jede der folgenden Relationen, ob sie reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist:
a) xRy :⇔ x · y gerade (auf Z).
b) xRy :⇔ x · y > 0 (auf Z).
c) xRy :⇔ x und y sind senkrecht oder parallel zueinander (auf der
Menge aller Geraden in der Ebene).
d) wie c), aber auf der Menge aller Geraden im Raum.
3.6. ÜBUNGSAUFGABEN
65
2. Geben Sie ein Beispiel für eine Relation an, die
a) antisymmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist,
b) symmetrisch, aber nicht reflexiv und nicht transitiv ist.
3. Eine Relation R sei reflexiv und habe folgende Eigenschaft:
aRb ∧ aRc ⇒ bRc.
Ist R symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv?
4. Zeichnen Sie den gerichteten Graphen D der folgenden Relation auf
{1, 2, 3, 4, 5}:
R := {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1), (2, 4), (2, 5)}.
a) Geben Sie alle gerichteten Kreise auf D an!
b) Wie viele (gerichtete) Pfade gibt es in D von 1 nach 5 ?
c) Wie a) und b), aber für den zugrundeliegenden ungerichteten Graphen.
5. Zeigen Sie, dass auf N × N durch (a, b) ∼ (a0 , b0 ) :⇔ a + b0 = a0 + b
eine Äquivalenzrelation definiert wird, und zeichnen Sie eine Skizze der
zugehörigen Äquivalenzklassen.
6. Beweisen Sie: Wenn v eine Totalordnung auf A ist, dann ist die zugehörige lexikographische Ordnung auf A×A ebenfalls eine Totalordnung.
7. Geben Sie die reflexive, symmetrische und transitive Hülle der Relation
von Aufgabe 4 an.
8. Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm aller Teilmengen von {a, b, c, d} bezüglich der durch die Inklusion definierten Ordnung. Wie viele maximale Ketten gibt es hier?
9. Sei A eine endliche Menge (”Alphabet”) und B die Menge aller Worte
mit endlich vielen Buchstaben aus A. Wenn w1 und w2 zwei solche
Worte sind, bezeichnen wir mit w1 w2 das Wort, das durch Hintereinanderschreiben von w1 und w2 entsteht. Zeigen Sie, dass folgenderweise
eine Halbordnung auf B definiert wird:
w1 ¹ w2 :⇔ ∃ u ∈ B : w1 u = w2
66
KAPITEL 3. RELATIONEN
(wir sagen dafür: ”w1 ist ein Prefix von w2 ”), und zeichnen Sie für A =
{a, b} das entsprechende Hasse-Diagramm für alle Worte mit maximal
3 Buchstaben.
(Anmerkung: Wir lassen hier auch das ”leere Wort” zu, das aus null
Buchstaben besteht.)
10. Sei (A, ≤) eine geordnete Menge und M eine Teilmenge von A. Unter
einer oberen Schranke von M versteht man ein s ∈ A mit x ≤ s
für alle x ∈ M. Wenn die Menge aller oberen Schranken von M ein
kleinstes Element besitzt, heißt dieses kleinste obere Schranke.
a) Sei A = {2, . . . , 10} mit der Teilbarkeitsrelation. Suchen Sie eine
Teilmenge von A mit mindestens zwei Elementen, welche eine kleinste
obere Schranke besitzt, und eine andere Teilmenge, welche keine obere
Schranke besitzt.
b) Geben Sie ein möglichst einfaches Beispiel einer geordneten Menge
an, in der es eine Teilmenge gibt, die zwar obere Schranken besitzt,
aber keine kleinste obere Schranke.
c) Was ist die kleinste obere Schranke von {a, b} ⊂ N bezüglich der
Relation ”a teilt b”?
d) Sei S eine beliebige Menge. Was ist die kleinste obere Schranke einer
Teilmenge von P(S) bezüglich der Inklusion?
e) Die ”größte untere Schranke” ist analog zur kleinsten oberen Schranke definiert. Wie lauten die Antworten zu den zu c) und d) analogen
Fragen?
Bemerkung: Wenn es in einer geordneten Menge A zu je zwei Elementen
eine kleinste obere und eine größte untere Schranke gibt, so heißt A ein
Verband (engl. ”lattice”).
11. Sei R irgendeine Relation auf einer Menge A. Zeigen Sie, dass t(s(r(R)))
die kleinste R enthaltende Äquivalenzrelation auf A ist.
12. Sei R eine antisymmetrische, transitive Relation auf A, sodass (x, x) ∈
/
R für alle x ∈ A. Zeigen Sie, dass die reflexive Hülle von R eine Ordnungsrelation ist, und dass R die zugehörige strikte Ordnung ist. (Man
könnte daher definieren: Eine Relation R auf A heißt strikte Ordnung,
wenn sie antisymmetrisch und transitiv ist, und (x, x) ∈
/ R für alle
x ∈ A.)
Kapitel 4
Funktionen
4.1
Grundbegriffe
Es geht hier um einen besonders wichtigen Typ von Relationen.
Definition 4.1 Sei R eine Relation von A nach B mit folgender Eigenschaft:
Zu jedem x ∈ A gibt es genau ein y ∈ B, sodass (x, y) ∈ R.
Dann heißt f := (A, B, R) eine Abbildung (”map”, ”mapping”) oder Funktion (”function”) von A nach B.
A heißt der Definitionsbereich (”domain”) und B der Bildbereich oder
Wertebereich von f . (Hier ist die englische Terminologie nicht einheitlich,
man findet z.B. die Bezeichnungen ”image” und ”range”, aber diese Worte
werden auch in anderem Sinne verwendet.)
Schreibweise: f : A → B. (Beachten Sie, dass der einfache Pfeil → also
zwei verschiedene Bedeutungen hat: Wenn er zwischen zwei Aussagen oder
Aussageformen steht, bezeichnet er die Subjunktion. Dagegen dient er in der
hier angeführten Schreibweise zur Angabe einer Funktion.)
Das zu x ∈ A eindeutig bestimmte y ∈ B mit (x, y) ∈ R wird mit f (x)
bezeichnet und heißt das Bild (”image”) von x (unter der Funktion f ) oder
der Wert (”value”) von f an der Stelle x. Die zugehörige Relation R wird
im Allgemeinen nicht eigens bezeichnet.
67
68
KAPITEL 4. FUNKTIONEN
Durch eine Funktion von A nach B wird jedem Element von A ein Element
von B zugeordnet. Wir können daher eine Funktion bei gegebenen Mengen
A, B auch als Zuordnungsvorschrift ansehen.
Will man eine Funktion definieren, so muss man zunächst Definitions- und
Bildbereich und dann die Zuordnungsvorschrift angeben. Das schreibt man
dann oft in folgender Form: f : A → B : x 7→ f (x).
Wenn man beweisen will, dass zwei Funktionen f, g gleich sind, muss man
zuerst überprüfen, ob Definitions- und Wertebereich übereinstimmen und
dann zeigen, dass für alle x aus dem Definitionsbereich f (x) = g(x) gilt.
(Siehe z.B. Beweis von Satz 4.16, Teil c))
Beispiele:
1) f : N → N : x 7→ 2x + 1.


1, falls x > 0,
0, falls x = 0,
2) sign : R → {−1, 0, 1} : sign(x) =

−1, falls x < 0.
(sign heißt Signum- oder Vorzeichenfunktion.)

1 7→ 5



2 7→ 5
3) g : {1, 2, 3, 4} → {5, 6, 7} :
3 7→ 7



4 7→ 6
So einfache Funktionen wie diese kann man auch durch den zugehörigen
gerichteten Graphen veranschaulichen.
Davon zu unterscheiden ist der folgende Begriff:
Definition 4.2 Sei f eine Abbildung von A nach B. Eine zeichnerische
Darstellung der zugehörigen Relation
{ (x, y) ∈ A × B | y = f (x) }
(als Menge von Punkten aus A × B) heißt Funktionsgraph von f und wird
oft auch kurz als Graph von f bezeichnet.
Eine solche zeichnerische Darstellung kommt vor allem dann in Frage, wenn
A und B Teilmengen von R sind, eventuell auch für A ⊂ R2 und B ⊂ R.
4.2. WICHTIGE EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN
69
Beispiele für Relationen, die nicht zu Funktionen führen:
4) { (2x, x) | x ∈ N } ist zwar eine Relation auf N, liefert aber keine Funktion
von N nach N, da den ungeraden natürlichen Zahlen nichts zugeordnet wird.
Dieselbe Relation ergibt aber sehr wohl eine Funktion von G nach N, wenn
wir mit G die Menge der geraden natürlichen Zahlen bezeichnen.
5) Die Relation { (1, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 5), (4, 5) } entspricht keiner Abbildung von {1, 2, 3, 4} nach {5, 6, 7}, da der Zahl 1 zwei verschiedene Elemente des Bildbereichs zugeordnet werden. Es ist aber durchaus zulässig,
dass zwei verschiedene Elemente des Definitionsbereichs dasselbe Bild haben
(vgl. Beispiele 2) und 3)).
Beispiele für unzulässige Funktionsdefinitionen:
6) Durch h : N → N : x 7→ 2x − 3 wird keine Funktion definiert, da
h(1) = 2 · 1 − 3 = −1 ∈
/ N.
7) f : R → R : x 7→
1
x
ist keine Funktion, da f (0) nicht definiert ist.
Richtig wäre etwa: f : R \ {0} → R : x 7→ x1 .
Bemerkung 4.3 Jedes n-Tupel a = (a1 , a2 , . . . , an ) von Elementen einer
Menge M kann auch als Funktion
a : {1, . . . , n} → M : k 7→ ak
aufgefasst werden (und umgekehrt). (Vgl. Definition des cartesischen Produkts von mehreren Mengen.)
4.2
Wichtige Eigenschaften von Funktionen
Funktionen, die eine der folgenden Eigenschaften haben, spielen eine besondere Rolle.
Definition 4.4 Eine Funktion f : A → B heißt injektiv (”injective”, ”oneto-one”), wenn keine zwei verschiedenen Elemente von A dasselbe Bild haben:
f ist injektiv :⇔ ∀x, x0 ∈ A : f (x) = f (x0 ) → x = x0 .
70
KAPITEL 4. FUNKTIONEN
Die Funktionen 1) und 7) sind injektiv, 2) und 3) nicht. Ein n-Tupel (a1 , a2 , . . . , an )
entspricht genau dann einer injektiven Funktion, wenn die ai paarweise verschieden sind.
Definition 4.5 Eine Funktion f : A → B heißt surjektiv (”surjective”,
”onto B”), wenn jedes Element von B Bild von mindestens einem Element
aus A ist:
f ist surjektiv :⇔ (∀y ∈ B) (∃x ∈ A) y = f (x)
Die Funktionen 2) und 3) sind surjektiv, 1) dagegen nicht.
Wenn f eine surjektive Funktion von A nach B ist, sagt man auch: f ist eine
Funktion (oder Abbildung) von A auf B.
Definition 4.6 Eine Funktion heißt bijektiv (”bijective”, ”ono-to-one correspondence”), wenn sie injektiv und surjektiv ist:
f ist bijektiv :⇔ (∀y ∈ B) (∃!x ∈ A) y = f (x)
Keine der obigen Funktionen ist bijektiv.
Beispiele für bijektive Funktionen:
4a) g : G → N : x 7→ x/2.
7a) f : R \ {0} → R \ {0} : x 7→
1
.
x
8) h : Z2 → Z2 : (x, y) 7→ (y, x).
9) Für jede Menge M ist die identische Funktion (”identity function”)
I : M → M : x 7→ x
trivialerweise bijektiv. Sie heißt auch Identität.
(Das Wort ”trivial” bedeutet in der Mathematik so viel wie ”unmittelbar
einsichtig”, ”keines Beweises bedürftig”.)
Die identische Funktion auf einer Menge M bezeichnen wir auch mit IM .
Injektive, surjektive bzw. bijektive Abbildungen heißen auf englisch auch
”injections”, ”surjections” bzw. ”bijections”.
4.3. ZUSAMMENSETZUNG VON FUNKTIONEN
4.3
71
Zusammensetzung von Funktionen
Definition 4.7 Unter der Zusammensetzung (”composition”) zweier Abbildungen f : A → B und g : B → C versteht man folgende Abbildung:
g ◦ f : A → C : x 7→ g(f (x)).
Wendet man also g ◦ f auf ein Element x an, so wird zuerst f angewendet
und dann (auf das Resultat) g. Zusammensetzungen von Funktionen sind
also gewissermaßen von rechts nach links zu lesen.
√
Beispiel: Sei f : N →√N : x 7→ x + 1 und g : N → R : x 7→ x. Dann ist
g ◦ f : N → R : x 7→ x + 1.
Wenn f und g Funktionen A → A sind, dann ist sowohl g ◦ f als auch f ◦ g
sinnvoll. Im Allgemeinen ist aber g ◦ f 6= f ◦ g, d.h. die Zusammensetzung
von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
√
Beispiel: Mit f1 : R → R : x 7→ x + 1, g1 : R → R : x 7→ 3 x ist
√
√
3
g1 ◦ f1 : R → R : x 7→ 3 x + 1, insbesondere 1 7→ 2,
√
f1 ◦ g1 : R → R : x 7→ 3 x + 1, also 1 7→ 2.
Satz 4.8 Wenn f : A → B und g : B → C injektiv sind, dann ist auch
g ◦ f : A → C injektiv. Das gilt auch, wenn man ”injektiv” durch ”surjektiv”
oder ”bijektiv” ersetzt.
Beweis für ”injektiv”:
Sei g(f (x)) = g(f (y)). Dann folgt wegen der Injektivität von g, dass f (x) =
f (y) ist. Daraus folgt x = y wegen der Injektivität von f.
Beweis für ”surjektiv”:
Sei y ∈ C. Da g surjektiv ist, gibt es ein z ∈ B, sodass g(z) = y. Zu diesem
z gibt es wegen der Surjektivität von f ein x ∈ A, sodass f (x) = z. Es folgt:
g (f (x)) = y, also (g ◦ f )(x) = y.
Diese beiden Beweise ergeben zusammen den Beweis für ”bijektiv”.
72
4.4
KAPITEL 4. FUNKTIONEN
Einschränkung von Funktionen
Der Begriff der Einschränkung wird für Funktionen etwas anders als für Relationen definiert:
Definition 4.9 Sei f : A → B und S ⊂ A. Dann heißt die folgenderweise
definierte Funktion die Einschränkung (”restriction”) von f auf S.
f |S : S → B : x 7→ f (x)
Beispiel: Die Funktion f : Z → Z : x 7→ x2 ist nicht injektiv, ihre Einschränkung auf N aber schon.
Wenn f : A → B und g : C → D mit B ⊂ C, so kann man g|B ◦ f bilden.
Man schreibt dafür meist einfach wieder g ◦ f.
x
Beispiel: f1 : N → N : x 7→ x + 1, f2 : Q → Q : x 7→ .
2
x+1
.
f2 ◦ f1 : N → Q : x 7→
2
Manchmal wird auch der Bildbereich eingeschränkt. Eine so eingeschränkte
Funktion wird allerdings meist genau so bezeichnet wie die ursprüngliche
Funktion.
4.5
Bild und Urbild von Mengen
Definition 4.10 Sei f : A → B und S ⊂ A. Dann heißt die Menge
{ f (x) | x ∈ S }
das Bild (”image”) von S (unter der Abbildung f, kurz ”f -Bild von S”) und
wird mit f (S) bezeichnet.
Wir könnten auch schreiben: f (S) = { y ∈ B | ∃x ∈ S : y = f (x) }.
Hier hat f also genau genommen zwei verschiedene Bedeutungen. Sollte das
zu Schwierigkeiten führen, muss man für das f -Bild eine andere Bezeichnung
wählen, etwa f∗ .
4.5. BILD UND URBILD VON MENGEN
73
Beispiele:
1) Sei f : N → N : x 7→ 2x + 1. Dann ist f ({1, 2, 3}) = {3, 5, 7}, und f (N)
ist die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen mit Ausnahme von 1.
7b) Sei f : R \ {0} → R : x 7→ x1 . Dann ist f (N) = {1, 12 , 13 , . . .}.
Bemerkung: Eine Funktion f : A → B ist also genau dann surjektiv, wenn
f (A) = B. Schränkt man den Wertebereich einer beliebigen Funktion
f : A → B auf das Bild f (A) des Definitionsbereichs ein, so wird sie surjektiv: f : A → f (A) ⊂ B. Eine injektive Funktion wird auf diese Weise
bijektiv. Durch eine injektive Abbildung f : A → B wird also A bijektiv auf
die Teilmenge f (A) von B abgebildet. Man sagt dafür auch: ”A wird durch f
in die Menge B eingebettet.”. Das macht auch die Bezeichnung ”injektiv”
verständlicher.
Definition 4.11 Sei f : A → B und T ⊂ B. Dann heißt die Menge
{ x ∈ A | f (x) ∈ T }
das Urbild (”pre-image”, ”inverse image”) von T (unter der Abbildung f,
kurz ”f -Urbild von T ”). Bezeichnung: meist f −1 (T ), manchmal auch f ← (T ),
f ∗ (T ) oder ähnlich.
Beispiele:
2) sign−1 ({0, 1}) ist die Menge aller nicht negativen reellen Zahlen. Mit
R+ := { x ∈ R | x > 0 }
gilt also: sign−1 ({0, 1}) = R+ ∪ {0}.
10) Sei F : R2 → R : (x, y) → x − y. Dann ist F −1 ({0}) = { (x, x) | x ∈ R },
das ist die Gerade durch den Ursprung mit 45◦ Anstieg. F −1 (R+ ) ist die
Menge aller Punkte der Ebene, die rechts unterhalb dieser Geraden liegen.
(So etwas nennt man eine ”offene Halbebene”).
Definition 4.12 Das f -Urbild einer einelementigen Menge {t} heißt auch
Lösungsmenge der Gleichung (”solution set of the equation”) f (x) = t
(in der Unbekannten x).
Beispiel: Sei f : R → R : x 7→ x2 − 3x + 2. Dann ist f −1 ({0}) = {1, 2} die
Lösungsmenge der (quadratischen) Gleichung x2 − 3x + 2 = 0, denn
x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2),
und das ist genau dann = 0, wenn x = 1 oder x = 2 ist.
74
KAPITEL 4. FUNKTIONEN
Satz 4.13 Sei f : A → B eine beliebige Funktion. Dann wird durch
x ∼ x0 :⇔ f (x) = f (x0 )
auf A eine Äquivalenzrelation definiert, und die zugehörigen Äquivalenzklassen
sind die Mengen f −1 ({y}) mit y ∈ f (A).
Beweis: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität ergeben sich unmittelbar
aus den entsprechenden Eigenschaften des Gleichheitszeichens.
z ∈ [x] ⇔ z ∼ x ⇔ f (z) = f (x) ⇔ f (z) ∈ {f (x)} ⇔ z ∈ f −1 ({f (x)})
Das heißt aber [x] = f −1 ({f (x)}), und damit ist der Satz bewiesen.
Beispiel: Sei wieder F : R2 → R : (x, y) 7→ x−y. Dann gilt für die zugehörige
Äquivalenzrelation:
(x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇔ x − y = x0 − y 0 .
Die Äquivalenzklassen sehen so aus: F −1 ({c}) = { (x, y) | x − y = c } =
{ (x, y) | y = x − c }. Das sind also (zueinander parallele) Geraden mit
Anstieg 45◦ . Ein ”besonders einfacher” Repräsentant aus F −1 ({c}) ist (c, 0).
Weiteres Beispiel: Restklassen in Z (siehe Kapitel 5).
4.6
Umkehrung von Funktionen
Sei f : A → B eine beliebige Funktion. Nehmen wir an, dass ein y ∈ B
gegeben ist. Wir suchen nun ein x ∈ A, sodass f (x) = y. Da tauchen im
Allgemeinen zwei Probleme auf:
1. Es kann sein, dass es kein solches x gibt. Das ist immer dann möglich,
wenn f nicht surjektiv ist.
2. Es kann sein, dass es mehrere solche x gibt. Das ist immer dann möglich,
wenn f nicht injektiv ist.
Die ”Gleichung” f (x) = y ist also nur dann für jedes y ∈ B eindeutig lösbar,
wenn f sowohl injektiv als auch surjektiv ist, d.h. wenn f bijektiv ist. In
diesem Fall hat die Menge f −1 ({y}) genau ein Element.
Definition 4.14 Sei f : A → B bijektiv. Dann wird für jedes y ∈ B das
eindeutig bestimmte Element von f −1 ({y}) mit f −1 (y) bezeichnet, und die
Abbildung f −1 : B → A : y 7→ f −1 (y) heißt die Umkehrfunktion (”inverse
function”) von f.
4.6. UMKEHRUNG VON FUNKTIONEN
75
(Ähnlich wie beim f -Bild hat f −1 für bijektive Abbildungen genau genommen
zwei verschiedene Bedeutungen.)
Wegen der Existenz einer Umkehrfunktion nennt man bijektive Funktionen
auch umkehrbar eindeutige Zuordnungen.
Die Umkehrfunktionen der obigen Beispiele für bijektive Funktionen sehen
so aus:
4a) g −1 : N → G : y 7→ 2y.
1
, also f −1 = f
x
: Z2 → Z2 : (x, y) 7→ (y, x), auch hier ist also h−1 = h.
7a) f −1 : R \ {0} → R \ {0} : x 7→
8) h−1
Ein Beispiel, in welchem die Umkehrfunktion nicht sofort erkennbar ist:
x
.
11) a : R → (−1, 1) : x 7→
1 + |x|
Zunächst stellen wir fest, dass die Funktion a ”wohldefiniert” ist, d.h. dass
durch die Zuordnungsvorschrift wirklich für jedes x ∈ R ein Element aus
(−1, 1), also mit Betrag < 1, definiert wird. Das sieht man auf Grund von
x
|x| < 1 + |x|. Wir versuchen nun, die Gleichung 1+|x|
= y zu gegebenem
y ∈ (−1, 1) nach x ”aufzulösen”. Wenn das eindeutig möglich ist, haben
wir einerseits gezeigt, dass die Funktion a bijektiv ist, und andererseits auch
gleich die Umkehrfunktion berechnet. Wir unterscheiden zwei Fälle:
1. x ≥ 0 :
In diesem Fall lautet die Gleichung nach Multiplikation mit dem Nenner:
y
x = (1 + x)y, also x(1 − y) = y, und wir erhalten als Lösung x = 1−y
. Wir
sehen wegen 1 − y > 0 außerdem, dass y dasselbe Vorzeichen wie x hat.
2. x < 0 :
Hier erhalten wir x = (1 − x)y und daher x =
Vorzeichen wie x.
y
,
1+y
und wieder hat y dasselbe
Wir können daher zusammenfassend schreiben:
a−1 : (−1, 1) → R : y 7→
.
y
.
1 − |y|
Satz 4.15 Sei f : A → B eine bijektive Funktion. Dann gilt f −1 ◦ f = IA
und f ◦ f −1 = IB .
76
KAPITEL 4. FUNKTIONEN
Beweis:
1) Sei x ∈ A. Dann ist nach Definition der Umkehrfunktion f −1 (f (x)) = x.
2) Sei y ∈ B und x = f −1 (y). Das bedeutet f (x) = y, also folgt
f (f −1 (y)) = y.
Satz 4.16 Sei f : A → B und g : B → A. Wenn g ◦ f = IA und f ◦ g = IB ,
dann sind f und g bijektiv, g = f −1 und f = g −1 .
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass f bijektiv ist und g = f −1 . Die anderen
beiden Aussagen folgen durch Vertauschung von f mit g und von A mit B.
a) Injektivität von f : Sei f (x) = f (x0 ). Dann ist g(f (x)) = g(f (x0 )). Nach
Voraussetzung heißt das IA (x) = IA (x0 ), also x = x0 .
b) Surjektivität von f : Sei y ∈ B. Dann ist f (g(y)) = IB (y) = y, also
f (x) = y mit x = g(y) ∈ A.
c) Nach b) ist g(y) ∈ f −1 ({y}) und daher, wegen der bereits bewiesenen
Bijektivität von f, g(y) = f −1 (y). Da das für alle y ∈ B gilt, folgt g = f −1 .
Satz 4.17 Seien f : A → B und g : B → C bijektive Abbildungen. Dann
gilt (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Beweis: (g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g−1 ) = g ◦ f ◦ f −1 ◦ g −1 = IC , und (f −1 ◦ g−1 ) ◦ (g ◦ f ) =
f −1 ◦ g −1 ◦ g ◦ f = IA , also folgt die Behauptung aus dem vorhergehenden
Satz.
4.7
Fixpunkte
Definition 4.18 Ein Fixpunkt (”fixed point”) einer Abbildung f : A → A
ist ein Element x ∈ A mit f (x) = x. Die Menge {x ∈ A | f (x) = x} aller
Fixpunkte von f heißt Fixpunktmenge von f .
4.8. ÜBUNGSAUFGABEN
77
Die Fixpunktmenge von f kann als Lösungsmenge der Gleichung f (x) = x
angesehen werden.
Beispiele:
1) f : N → N : x 7→ 2x + 1 hat keine Fixpunkte.
7a) f : R \ {0} → R \ {0} : x 7→
1
x
hat genau zwei Fixpunkte: 1 und −1.
8) Die Fixpunktmenge von h : Z2 → Z2 : (x, y) 7→ (y, x) ist die ”Diagonale”
{ (x, x) | x ∈ Z }.
4.8
Übungsaufgaben
1. Überlegen Sie bei jeder der folgenden Funktionen, ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv ist:
a) f : R → R : x 7→ xn , wobei n ∈ N.
1
c) h : Q+
0 → [0, 2 ] : x 7→
x
,
x2 +1
b) g : Z → Q : x 7→
x
.
x2 +1
wobei Q+
0 := {x ∈ Q | x ≥ 0}.
2. Geben Sie jeweils ein Beispiel einer bijektiven Funktion an, welche keine
Fixpunkte hat:
a) Z → Z,
b) N → N,
c) {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5}.
3. Geben Sie ein Beispiel einer bijektiven Funktion Z → N an.
4. Sei f : R → R : x 7→ ax2 + bx + c mit a, b, c ∈ R. Beschreiben Sie die
Mengen f −1 (R+ ) und f −1 (R− ) in Abhängigkeit von a, b und c. (R+ =
{x ∈ R | x > 0}, R− = {x ∈ R | x < 0}.)
5. Stellen Sie fest, welche der folgenden Formeln richtig bzw. falsch sind,
und geben Sie dementsprechend einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel
an:
a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
c) f −1 (A∪B) = f −1 (A)∪f −1 (B),
b) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B),
d) f −1 (A∩B) = f −1 (A)∩f −1 (B).
6. Sei f : A → B eine beliebige Abbildung. Beweisen Sie:
a) f −1 (f (S)) ⊃ S für jede Teilmenge S von A.
b) f (f −1 (T )) ⊂ T für jede Teilmenge T von B.
7. Unter welchen Voraussetzungen können bei der vorigen Aufgabe die
Inklusionszeichen durch Gleichheitszeichen ersetzt werden? (Beweis!)
78
KAPITEL 4. FUNKTIONEN
8. Sei f : R2 → R : (x, y) 7→ x2 + y 2 und (x, y) ∼ (x0 , y 0 ) :⇔ f (x, y) =
f (x0 , y 0 ). Beschreiben Sie die zugehörigen Äquivalenzklassen.
9. Sei Z0 die Menge der Äquivalenzklassen von Z bezüglich der durch
m ≈ n :⇔ m2 = n2 definierten Äquivalenzrelation.
a) Kann man auf Z0 folgenderweise eine Ordnungsrelation definieren:
[m] v [n] :⇔ m ≤ n ?
b) Kann man auf folgende Weise Funktionen Z0 → Z definieren?
f ([m]) := m2 + m + 1
g([m]) := m4 + m2 + 1
10. Kann man folgenderweise eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
Funktionen N → N definieren? Wenn ja, geben Sie ein Beispiel für zwei
verschiedene äquivalente und ein Beispiel für zwei nicht äquivalente
Funktionen an.
a) f ∼ g :⇔ ∀n ∈ N : |f (n) − g(n)| ≤ 1.
b) f ' g :⇔ es gibt ein n0 ∈ N, sodass f (n) = g(n) für alle n ≥ n0 .
11. Sei F die Menge aller Funktionen N → R. Für f, g ∈ F sagt man ”g
dominiert f asymptotisch”, wenn es eine positive reelle Zahl c und eine
natürliche Zahl n0 gibt, sodass
|f (n)| ≤ c |g(n)| für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 .
(Man schreibt dafür oft auch f (n) = O(g(n)), obwohl es sich keineswegs
um eine Gleichung handelt. Das O wird ”Landau-Symbol” genannt.)
a) Welche Eigenschaften hat die folgende Relation ¹ auf f ?
f ¹ g :⇔ g dominiert f asymptotisch.
Ist ¹ eine Halbordnung?
b) Ist die durch
f ∼ g :⇔ (f ¹ g) ∧ (g ¹ f )
definierte Relation eine Äquivalenzrelation?
c) Untersuchen Sie, welche der Relationen ¹, ∼ zwischen den folgenden
Funktionen f, g, h bestehen:
f (n) := n2 , g(n) := 1000n,
h(n) := 2n .
d) Geben Sie Beispiele für Funktionen f, g an, sodass weder f ¹ g noch
g ¹ f gilt.
Kapitel 5
Zahlen
5.1
5.1.1
Natürliche Zahlen
Das Wohlordnungsaxiom
Die Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, . . .} bezeichnen wir mit N.
Manchmal nimmt man auch die Null dazu: N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}.
Wir könnten die natürlichen Zahlen als formales System mit Hilfe von Axiomen definieren. Wir würden dazu eine größere Anzahl (etwa 12) Axiome
benötigen, um alle wesentlichen Eigenschaften bezüglich Addition, Multiplikation und Ordnung der natürlichen Zahlen festzuhalten. Z.B. müssten wir
für die Ordungsrelation die Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität und
die Totalordnungseigenschaft als Axiome anführen. Das Zusammenspiel der
Ordnungsrelation mit der Addition und Multiplikation wird durch folgende
Axiome geregelt:
∀ x, y, z ∈ N0 :
x ≤ y → x + z ≤ y + z,
x ≤ y → xz ≤ yz.
Im Folgenden setzen wir die natürlichen Zahlen als bekannt voraus und diskutieren nur ein Axiom, das eine besondere Rolle spielt, ausführlicher:
Wohlordnungsaxiom: Jede nichtleere Teilmenge von N besitzt ein kleinstes
Element. D.h.:
(∀T ⊂ N) ( T 6= ∅ → (∃t0 ∈ T ) (∀t ∈ T ) (t0 ≤ t))
79
80
KAPITEL 5. ZAHLEN
Beispiel für die Anwendung des Wohlordnungsaxioms:
Sei x ∈ R, x ≥ 0. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte kleinste natürliche
Zahl, welche ≥ x ist. Sie wird mit dxe bezeichnet.
Es gibt auch eine größte Zahl ∈ N0 , welche ≤ x ist: Falls x ∈ N0 , ist diese
gleich dxe , und sonst gleich dxe − 1. Diese Zahl wird mit bxc bezeichnet. bxc
entsteht also (für x ≥ 0) durch Weglassung der Stellen nach dem Komma.
Beispiel einer einfachen Regel für b c : Sei n ∈ N0 .
jnk ½ n
falls n gerade,
=
2
n − 1 falls n ungerade.
2
Bemerkung: Wenn man von Z anstelle von N0 ausgeht, so ergibt sich in
natürlicher Weise folgende Definition:
Definition 5.1 Sei x ∈ R. Die kleinste ganze Zahl, welche ≥ x ist, wird mit
dxe bezeichnet (”ceiling of x”). Die größte ganze Zahl, welche ≤ x ist, wird
mit bxc bezeichnet (”floor of x”, oft auch [x]).
Für negatives x entsteht durch Weglassung der Nachkommastellen dxe :
b−2.4c = −3, d−2.4e = −2.
5.1.2
Das Induktionsprinzip
Aus dem Wohlordnungsaxiom ergibt sich ein wichtiges Beweisprinzip:
Prinzip der vollständigen Induktion: Sei P ein einstelliges Prädikat.
Wenn die folgenden beiden Aussagen wahr sind:
1. P (1),
2. (∀n ∈ N) (P (n) → P (n + 1)) ,
dann ist auch die Aussage
(∀n ∈ N) P (n)
wahr.
Wenn man also einen Satz der Form (∀n ∈ N) P (n) beweisen will, so zeigt
man zuerst P (1) (”Induktionsanfang”) und dann für alle n ∈ N die Implikation P (n) → P (n + 1) (”Schluss von n auf n + 1”, kurz ”n → n + 1”).
5.1. NATÜRLICHE ZAHLEN
81
Man spricht dann von einem Beweis mit vollständiger Induktion (kurz:
Induktionsbeweis, ”mathematical induction”).
Beim Schluss von n auf n + 1 nennt man P (n) auch die Induktionsvoraussetzung und P (n + 1) die Induktionsbehauptung.
Das Wort ”vollständig” verwendet man, um zu betonen, dass es sich nicht um
einen Induktionsschluss handelt, wie er in anderen Wissenschaften verwendet
wird (etwa nach dem Muster: Wenn wir bereits 1000-mal beobachtet haben,
dass am Morgen die Sonne aufgeht, dann wird sie (höchstwahrscheinlich)
auch das 1001-te Mal am Morgen aufgehen.).
Das Prinzip der vollständigen Induktion kann man mit einem indirekten Beweis auf das Wohlordnungsaxiom zurückführen:
Angenommen, die Aussage (∀n ∈ N) P (n) ist falsch. D.h. (∃n ∈ N)(¬P (n)).
Dann ist die Menge T := {n ∈ N | ¬P (n)} nicht leer und besitzt daher ein
kleinstes Element, sagen wir n0 . Wegen P (1) muss n0 6= 1 sein. Daher ist
auch n0 − 1 eine natürliche Zahl. Wenn die Implikation P (n) → P (n + 1) für
alle n ∈ N wahr ist, dann insbesondere für n0 − 1 an Stelle von n, d.h.:
P (n0 − 1) → P (n0 ).
/ T, da n0 das kleinste Element von T ist. Folglich ist P (n0 − 1) wahr,
n0 − 1 ∈
und nach dem modus ponens können wir auf P (n0 ) schließen. Andererseits
ist n0 ∈ T, und das bedeutet ¬P (n0 ). Es ergibt sich also ein Widerspruch.
Beispiel für einen Induktionsbeweis:
Beispiel 5.2 Seien n ∈ N und x ∈ R, x ≥ −1. Dann gilt
(1 + x)n ≥ 1 + xn.
(”Bernoulli’sche Ungleichung”)
(Jakob Bernoulli (1654 - 1705) ist ein berühmter Schweizer Mathematiker.
Er hat unter anderem Entscheidendes zur Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie geleistet.)
Beweis: Die Behauptung ist hier eigentlich ein zweistelliges Prädikat. Wir
betrachten sie aber als Prädikat in der Variablen n. Das x denken wir uns
”festgehalten”. Wir können auch sagen: ”Wir führen den Beweis mit Induktion nach n”.
Wir setzen also P (n) := ((1 + x)n ≥ 1 + xn) .
82
KAPITEL 5. ZAHLEN
Induktionsanfang: P (1) ist die trivialerweise richtige Aussage 1 + x ≥ 1 + x.
Schluss von n auf n + 1 : Wir haben zu zeigen: Aus (1 + x)n ≥ 1 + xn folgt
(1 + x)n+1 ≥ 1 + x(n + 1).
Nehmen wir also an, dass (1 + x)n ≥ 1 + xn gilt. Dann folgt:
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + xn)(1 + x) =
= 1 + xn + x + x2 n ≥ 1 + x(n + 1),
da ja x2 n ≥ 0. Es folgt also tatsächlich die Induktionsbehauptung.
Die Voraussetzung x ≥ −1 geht insoferne ein, als wir eine Ungleichung mit
1 + x multiplizieren. Das ist bekanntlich nur erlaubt, wenn 1 + x ≥ 0 ist.
Bemerkung: Oft ist der Induktionsanfang sehr einfach einzusehen. Man darf
trotzdem nicht darauf vergessen. Zur Illustration ein offensichtlich falscher
Induktionsbeweis:
Behauptung: (∀n ∈ N) (n = n + 5)
”Induktionsbeweis”: Aus n = n+5 folgt n+1 = (n+5)+1 = n+6 = (n+1)+5,
also (n + 1) = (n + 1) + 5.
5.1.3
Varianten des Induktionsprinzips
Es kommt oft vor, dass es ein n0 ∈ N gibt, sodass P (n) nur für die natürlichen
Zahlen n ≥ n0 stimmt. Für den entsprechenden Beweis verwendet man dann
folgende Verallgemeinerung des Induktionsprinzips, die sich ebenfalls leicht
auf das Wohlordnungsaxiom zurückführen lässt:
1. Verallgemeinerung des Prinzips der vollständigen Induktion: Sei
P ein einstelliges Prädikat und n0 ∈ N. Wenn die folgenden beiden Aussagen
wahr sind:
1. P (n0 ),
2. (∀n ≥ n0 ) (P (n) → P (n + 1)) ,
dann ist auch die Aussage
(∀n ≥ n0 ) P (n)
wahr. (Dabei ist ”∀n ≥ n0 ” eine Abkürzung für ”∀n ∈ {x ∈ N | x ≥ n0 }”.)
5.2. FOLGEN
83
Beispiel 5.3 Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 3 gilt 2n > 2n + 1.
Bemerkung: Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt (mit x = 1) nur 2n ≥
n + 1.
Beweis:
n = 3: 23 > 2 · 3 + 1, da 8 > 7.
”n → n+1”: 2n+1 = 2n ·2 > (2n+1)·2 = 4n+2 = 2(n+1)+2n > 2(n+1)+1,
da 2n > 1.
Manchmal benötigt man die folgende Verallgemeinerung des Induktionsprinzips, die ebenfalls aus dem Wohlordnungsaxiom folgt:
2. Verallgemeinerung des Prinzips der vollständigen Induktion: Sei
P ein einstelliges Prädikat. Wenn die folgenden beiden Aussagen wahr sind:
1. P (1),
2. (∀n ∈ N) ((∀m ≤ n : P (m)) → P (n + 1)) ,
dann ist auch die Aussage
(∀n ∈ N) P (n)
wahr. (Dabei ist ”∀m ≤ n” eine Abkürzung für ”∀m ∈ {x ∈ N | x ≤ n}”.)
Den 2. Schritt bezeichnen wir kurz so: ” ≤ n → n + 1”.
Beispiel: Siehe Abschnitt 5.3.1.
5.2
Folgen
Definition 5.4 Sei M eine beliebige Menge. Eine (unendliche) Folge (”sequence”) von Elementen aus M ist eine Abbildung a : N → M.
Schreibweise: Statt a(n) schreibt man meist an , und die ganze Folge a
schreibt man in der Form (a1 , a2 , . . .), (an )n∈N oder kurz (an ). Die Zahl n
bei an nennt man Index.
Beispiel: Sei an = 2n . Dann ist a = (2, 4, 8, 16, . . .) eine Folge natürlicher
Zahlen.
84
KAPITEL 5. ZAHLEN
Bemerkung: Oft lässt man als Definitionsbereich auch N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}
oder eine Teilmenge von N der Form {x ∈ N | x ≥ n0 } zu.
Beispiel: Sei bn =
1
. Hier ist b1 nicht definiert.
log n
(b2 , b3 , . . .) = (
1
1
,
, . . .)
log 2 log 3
wird trotzdem als Folge reeller Zahlen angesehen. Man könnte statt dessen
1
auch b0n =
betrachten.
log(n + 1)
5.3
5.3.1
Rekursionen
Rekursiv definierte Folgen
Eine Folge a wird häufig dadurch definiert, dass man das erste Element a1
(oder die ersten n0 Elemente) angibt und dann beschreibt, wie man an+1
aus den vorhergehenden Folgenelementen a1 , . . . , an berechnet, wobei n eine
beliebige natürliche Zahl ≥ 1 (bzw. ≥ n0 ) ist. Diese Vorgangsweise nennt
man rekursive Definition einer Folge.
Beispiel: Sei f1 := 1 und fn+1 := (n + 1) fn für n ≥ 1. Dann ist
f = (1, 2, 6, 24, 120, . . .).
Definition 5.5 n! := fn mit dem soeben definierten f heißt n Faktorielle
(”n factorial”) (oder n Fakultät).
Weiteres Beispiel: Sei g0 := 1, g1 := 1 und gn+1 := gn + gn−1 . Dann ist
g = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .). (Fibonacci-Folge).
(Fibonacci = Leonardo von Pisa (ca. 1170 - 1250) war einer der größten
Mathematiker des Mittelalters.)
Beispiel für vollständige Induktion zum Beweis von Eigenschaften rekursiv
definierter Folgen:
Beispiel 5.6 Sei t1 := 1 und tn = 2 tbn/2c . Dann ist tn die größte natürliche
Zahl der Form 2k mit 2k ≤ n und k ∈ N0 .
5.3. REKURSIONEN
85
Beweis:
n = 1: t1 = 20 .
≤ n → n + 1: Sei m =
¥ n+1 ¦
2
.
m ≤ n, denn aus 1 ≤ n folgt n + 1 ≤ 2n, und daraus folgt
n+1
2
≤ n.
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es ein k ∈ N0 , sodass tm = 2k ≤ m und
2k+1 > m, d.h. 2k+1 ≥ m + 1.
tn+1 = 2tm = 2k+1 , und 2k+1 ≤ 2m ≤ n+1, 2k+2 ≥ 2(m+1) = 2m+2 > n+1,
da
½
n + 1 falls n ungerade,
2m =
n
falls n gerade.
(Siehe Regel für b c Seite 80.)
5.3.2
Allgemeine Summen und Produkte
Seien a1 , . . . , an ∈ R. Dann schreibt man meist
und
n
Q
i=1
n
P
i=1
ai für a1 + a2 + · · · + an
ai für a1 a2 · · · an . Genauer definiert man mit Rekursion:
1
P
i=1
1
Q
ai := a1 ,
ai := a1 ,
i=1
n+1
P
i=1
n+1
Q
i=1
µ
n
P
¶
ai + an+1 ,
¶
µi=1
n
Q
ai :=
ai · an+1 .
ai :=
i=1
Manchmal beginnt man die Rekursion mit 0 und setzt
0
Q
0
P
ai := 0 sowie
i=1
ai := 1.
i=1
Z.B. gilt n! =
n
Q
i, 0! = 1.
i=1
Wir können jetzt auch die Potenzen einer Zahl exakt definieren: Sei a ∈ R
und n ∈ N0 . Dann setzen wir
an :=
n
Y
i=1
a.
86
KAPITEL 5. ZAHLEN
Man könnte natürlich auch so vorgehen, dass man a0 := 1 setzt und an+1 :=
a · an . Insbesondere gilt auf Grund dieser Definition 00 = 1 und 0n = 0 für
alle n ∈ N.
Beispiel für Anwendung der vollständigen Induktion bei solchen Summen:
Beispiel 5.7
n
P
3
i =
i=1
Beweis: n = 1:
1
P
µ
n
P
i=1
i3 = 1 =
i=1
n → n + 1:
2(n +
µ
1)n n+1
2
i
¶2
µ
.
1
P
i=1
¶2
i
¶2 µ n ¶2
n
n
n
P
P
P
P
i + (n + 1) =
i + 2(n + 1) i + (n + 1)2 =
i3 +
i=1
2
+ (n + 1) =
n
P
i=1
3
i=1
i=1
3
i + (n + 1) .
i=1
Wenn a = (an ) eine Folge reeller Zahlen ist, so heißt die Folge s = (sn ) mit
n
P
sn =
ai die zu a gehörige Partialsummenfolge.
i=1
1
. Dann ist s = ( 12 , 34 , 78 , 15
, . . .), und man sieht leicht
16
2n
1
(mit vollständiger Induktion): sn = 1 − n .
2
Bemerkung: Falls die Partialsummenfolge einer Folge (an ) konvergiert, nennt
∞
P
man ihren Grenzwert ”Summe der unendlichen Reihe
ai ”, siehe VorlesunBeispiel: Sei an =
i=1
gen oder Bücher über Analysis, z.B. [30]. In unserem Beispiel ist
∞
P
ai = 1.
i=1
5.3.3
Auflösung von Rekursionen
Unter gewissen Umständen kann man eine rekursive Definition durch eine direkte Definition (”geschlossene Form”) ersetzen. Der nächste Satz behandelt
einen Typ von rekursiven Definitionen, bei denen dies möglich ist.
Satz 5.8 Seien a, b zwei reelle Zahlen, nicht beide = 0, und (sn )n∈N0 eine
Folge von reellen Zahlen, sodass für alle n ≥ 1
sn+1 = asn + bsn−1 .
5.3. REKURSIONEN
87
Seien r1 , r2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x2 − ax − b = 0.
Falls r1 6= r2 , gibt es c1 , c2 ∈ R, sodass sn = c1 r1n + c2 r2n für alle n ∈ N0 .
Falls r1 = r2 =: r, gibt es c1 , c2 ∈ R, sodass sn = (c1 +nc2 )rn für alle n ∈ N0 .
1. Bemerkung: Die hier auftretende quadratische Gleichung heißt auch
charakteristische Gleichung.
2. Bemerkung: Wenn s0 und s1 gegeben sind, kann man die Konstanten c1 , c2
leicht durch Einsetzen in die Formeln für sn finden. Für r1 6= r2 ergibt sich
folgendes lineare Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten c1 , c2 :
s0 = c1 + c2 ,
s1 = c1 r1 + c2 r2 ,
für r1 = r2 = r ergibt sich
s0 = c1 ,
s1 = (c1 + c2 )r.
3. Bemerkung: Es gibt eine Methode, mit der man jede Rekursion der Form
sn+k = ak−1 sn+k−1 + ak−2 sn+k−2 + . . . + a0 sn
lösen kann (lineare homogene Rekursionen, Methode der erzeugenden Funktionen, siehe z.B. [8]).
Beweis des Satzes:
Seien r1 , r2 die Lösungen der charakteristischen Gleichung. Dann gilt jedenfalls r12 = ar1 + b und r22 = ar2 + b. Wir überlegen uns zunächst, dass das
zugehörige lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der Unbekannten c1 , c2
(eindeutig) lösbar ist. Dazu genügt es, zu zeigen, dass die Determinante ∆
dieses Systems 6= 0 ist (vgl. dazu Vorlesungen oder Bücher über Lineare
Algebra, z.B. [2]):
Falls r1 6= r2 , ist ∆ = r2 − r1 6= 0. Für r1 = r2 6= 0 ist ∆ = r1 6= 0. Der Fall
r1 = r2 = 0 ist nicht möglich, da dann a = b = 0 wäre.
Sei nun (c1 , c2 ) die Lösung dieses Gleichungssystems und s0n := c1 r1n + c2 r2n
bzw. (c1 + nc2 )rn . Dann ist jedenfalls s00 = s0 und s01 = s1 . Wenn wir zeigen
können, dass s0n+1 = as0n + bs0n−1 für alle n ≥ 1, dann folgt (mit Induktion)
s0n = sn für alle n ∈ N0 .
1. Fall: r1 6= r2 :
88
KAPITEL 5. ZAHLEN
as0n + bs0n−1 = a(c1 r1n + c2 r2n ) + b(c1 r1n−1 + c2 r2n−1 ) =
= (ar1 + b)c1 r1n−1 + (ar2 + b)c2 r2n−1 = r12 c1 r1n−1 + r22 c2 r2n−1 = c1 r1n+1 + c2 r2n+1 =
s0n+1 .
2. Fall: r1 = r2 :
Für die Lösungen der charakteristischen Gleichung gelten allgemein die bekannten Formeln
r
r
a2
a2
a
a
r1 = +
+ b, r2 = −
+ b.
2
4
2
4
2
Wenn r1 = r2 = r ist, folgt also r = a2 und a4 + b = 0, somit a = 2r und
b = −r2 . Wir können nun folgenderweise schließen:
as0n + bs0n−1 = a(c1 + nc2 )rn + b(c1 + (n − 1)c2 )rn−1 =
2r(c1 + nc2 )rn − r2 (c1 + (n − 1)c2 )rn−1 = (c1 + (n + 1)c2 )rn+1 = s0n+1 .
Beispiel: Bei der Fibonacci-Folge ist a = b = 1. Die charakteristische
√
√Glei1+ 5
1− 5
2
chung x − x − 1 = 0 hat die beiden Lösungen r1 = 2 und r2 = 2 .
√
√
Das lineare Gleichungssystem hat die Lösungen c1 = r1 / 5, c2 = −r2 / 5,
und wir erhalten daher folgende geschlossene Form für die Elemente der
Fibonaccifolge:
Ã

√ !n+1 Ã
√ !n+1
¢
1 ¡
1
1+ 5
1− 5
.
−
gn = √ r1n+1 − r2n+1 = √ 
2
2
5
5
5.4
Ganze Zahlen
Wie die natürlichen Zahlen, setzen wir auch die Menge der ganzen Zahlen
Z ={. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} als bekannt voraus. Trotzdem wird im Folgenden erläutert, wie man die ganzen Zahlen mit Hilfe der natürlichen Zahlen
definieren kann, denn in ähnlicher Weise geht man auch bei anderen ”Zahlenbereichserweiterungen” vor. Die Grundidee besteht darin, dass jede ganze
Zahl als Differenz von zwei natürlichen Zahlen dargestellt werden kann. Diese
Darstellung ist natürlich nicht eindeutig: a − b = a0 − b0 genau dann, wenn
a + b0 = a0 + b. Das führt zu folgender Vorgangsweise.
Wir definieren auf N20 eine Äquivalenzrelation durch
(a, b) ∼ (a0 , b0 ) :⇔ a + b0 = a0 + b.
5.4. GANZE ZAHLEN
89
Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind leicht nachzuprüfen. Dann
können wir Z als die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen definieren.
Z.B. wird −3 durch das Paar (2, 5) repräsentiert: −3 = [(2, 5)].
Nun muss man Addition, Multiplikation und Ordnung auf Z erklären. Wir
denken dabei wieder daran, dass (a, b) so viel wie a − b bedeuten soll:
[(a, b)] + [(c, d)] := [(a + c, b + d)]
[(a, b)] · [(c, d)] := [(ac + bd, ad + bc)]
[(a, b)] ≤ [(c, d)] :⇔ a + d ≤ b + c
Als nächstes müsste man nachprüfen, dass diese Definitionen unabhängig von
der Wahl der Repräsentanten der vorkommenden Äquivalenzklassen sind,
also z.B.:
(a, b) ∼ (a0 , b0 ) ⇒ (a + c, b + d) ∼ (a0 + c, b0 + d).
Diese Beweise führen wir hier nicht aus, sie erfordern nur etwas Schreibarbeit.
Der nächste Punkt wäre die Überprüfung der Gültigkeit aller Rechenregeln,
die wir uns von den ganzen Zahlen erwarten, also z.B. Kommutativität und
Assoziativität der Addition und Multiplikation:
∀x, y, z ∈ Z :
x + y = y + x,
(x + y) + z = x + (y + z),
x · y = y · x,
(x · y) · z = x · (y · z),
das Distributivgesetz x(y + z) = xy + xz, die Eigenschaften einer Totalordnung, sowie die folgenden Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen:
∀ x, y, z ∈ Z :
x ≤ y → x + z ≤ y + z,
x ≤ y ∧ z ≥ 0 → xz ≤ yz.
Das sind zwar etwas umständliche, aber völlig elementare Übungsaufgaben.
(Vgl. auch Kapitel 9.3.)
Weiters möchten wir N0 als Teilmenge von Z ansehen können. Dazu identifizieren wir a ∈ N0 mit [(a, 0)] ∈ Z, d.h. wir unterscheiden nicht zwischen a
und [(a, 0)]. Das ist insoferne gerechtfertigt, als Addition, Multiplikation und
90
KAPITEL 5. ZAHLEN
Ordnung der Elemente aus Z der Form [(a, 0)] genau der Addition, Multiplikation und Ordnung der zugehörigen Elemente a ∈ N0 entsprechen, z.B. gilt
[(a, 0)] + [(b, 0)] = [(a + b, 0)].
Um schließlich Z in der Form {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} schreiben zu können,
definieren wir das Negative einer ganzen Zahl durch −[(a, b)] := [(b, a)]. Auch
das ist wieder unabhängig von der Wahl des Repräsentanten, und wir sehen,
dass die Regel x + (−x) = 0 gilt: [(a, b)] + [(b, a)] = [(a + b, a + b)] = [(0, 0)].
Nun gilt mit unserer Identifikation:

für a > b,
 [(a − b, 0)] = a − b
[(0, 0)] = 0
für a = b,
[(a, b)] =

[(0, b − a)] = −(b − a)
für a < b.
Wir sehen also, dass jede ganze Zahl entweder eine natürliche Zahl oder Null
oder das Negative einer natürlichen Zahl ist.
5.5
5.5.1
Division mit Rest
Division von natürlichen Zahlen
Satz 5.9 Seien a, m ∈ N. Dann gibt es eindeutig bestimmte q, r ∈ N0 , sodass
a = q m + r, 0 ≤ r < m.
Beweis:
1. Existenz:
Sei M = {k ∈ N | km > a}.
M 6= ∅, denn a + 1 ∈ M: Aus m ≥ 1 folgt am ≥ a und daraus (a + 1)m =
am + m ≥ a + m > a.
Nach dem Wohlordnungsaxiom besitzt daher M ein kleinstes Element, sagen
wir k0 . Dann ist q := k0 − 1 ∈
/ M. Also gilt
qm ≤ a < (q + 1)m.
Subtrahieren wir von dieser Ungleichung qm, so folgt mit r := a − qm:
0 ≤ r < m.
5.5. DIVISION MIT REST
91
2. Eindeutigkeit:
Angenommen, a = qm + r = q0 m + r0 mit r und r0 ∈ {0, 1, . . . , m − 1}. Dann
ist
(q − q0 )m = r0 − r.
Wäre q −q 0 6= 0, dann wäre |q −q 0 | ≥ 1 und daher |(q −q0 )m| = |q −q 0 |m ≥ m.
Andererseits ist aber |r − r0 | < m, und das ergäbe einen Widerspruch. Also
folgt q = q0 und damit auch r = r0 .
Definition 5.10 Sei a = qm+r gemäß letztem Satz. Dann heißt q der Quotient (”quotient”) und r der Rest (”remainder”) bei (ganzzahliger) Division
von a durch m.
Bemerkung: Aus dem Existenzbeweis erkennen wir: q ≤
jak
.
q=
m
5.5.2
a
m
< q + 1. D.h.
Division von ganzen Zahlen
Der letzte Satz gilt auch, wenn a negativ ist. Dann ist auch der Quotient q
negativ:
Satz 5.11 Sei a ∈ Z und m ∈ N. Dann gibt es eindeutig bestimmte q ∈ Z
und r ∈ N0 , sodass
a = q m + r, 0 ≤ r < m.
Beweis:
1. Existenz: Wenn a = 0 ist, dann ist die Behauptung mit q = 0 und r = 0
trivialerweise richtig.
Wenn a < 0, dann ist −a ∈ N, und daher gibt es nach dem vorhergehenden
Satz q 0 , r0 ∈ N0 mit 0 ≤ r0 < m, sodass −a = q 0 m + r0 , also a = −q 0 m − r0 .
Wenn r0 = 0, dann folgt die Behauptung mit q := −q 0 . Wenn r0 > 0, dann
ist 0 < m − r0 < m, und aus a = (−q0 − 1)m + (m − r0 ) erkennen wir, dass
die Behauptung mit q := −q0 − 1 und r := m − r0 stimmt.
2. Eindeutigkeit: wie bei der Division natürlicher Zahlen.
¥a¦
Bemerkung: Auch hier ist wieder q = m
.
92
KAPITEL 5. ZAHLEN
Beispiel: −18 = (−4) · 5 + 2, b−18/5c = b−3.6c = −4.
Bemerkung: Man kann den Satz auch auf beliebige ganze Zahlen m 6= 0
verallgemeinern. Dann gilt für den Rest 0 ≤ r < |m| .
(Beweis: Übungsaufgabe 7.)
5.5.3
Ziffernentwicklungen von ganzen Zahlen
Satz 5.12 Sei b ∈ N, b ≥ 2. Dann gibt es für jede Zahl a ∈ N0 eine eindeutig
bestimmte Zahl s ∈ N0 sowie eindeutig bestimmte Zahlen
r0 , r1 , . . . , rs ∈ {0, 1, . . . , b − 1} mit rs 6= 0, sodass
a = r0 + r1 b + . . . + rs bs .
Definition 5.13 r0 , r1 , . . . , rs heißen die Ziffern (”digits”) von a bezüglich
der Basis b. (Auch: b-adische Ziffern von a)
Meist werden die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge angeschrieben:
Definition 5.14 Seien r0 , r1 , . . . , rs die Ziffern von a bezüglich der Basis b.
Dann heißt (rs , . . . , r1 , r0 )b die b-adische Darstellung (oder Entwicklung)
von a.
Also z.B.: 14 = (1, 4)10 = (1, 1, 2)3 = (1, 1, 1, 0)2
Bemerkung: Die b-adische Darstellung heißt für b = 10 Dezimal-, für b = 2
Binär-, und für b = 16 Hexadezimaldarstellung (bzw. -entwicklung).
Beweis von Satz 5.12:
1. Existenz:
Wir dividieren zunächst a durch b, dann den Quotienten wieder durch b,
usw., so lange sich ein Quotient 6= 0 ergibt:
a = q0 b + r0 ,
q0 = q1 b + r1 ,
q1 = q2 b + r2 ,
...
5.5. DIVISION MIT REST
93
...
qs−2 = qs−1 b + rs−1 ,
qs−1 = 0 · b + rs .
Wegen b > 1 gilt a > q0 > q1 > . . . . Da alle qi ≥ 0 sind, muss sich also
irgendwann einmal als Quotient die Zahl Null ergeben.
Nun sehen wir durch sukzessives Einsetzen:
a = r0 + q0 b = r0 + r1 b + q1 b2 = r0 + r1 b + r2 b2 + . . . + rs bs .
2. Eindeutigkeit:
0
Angenommen, a = r0 + r1 b + . . . + rs bs = r00 + r10 b + . . . + rs0 0 bs . O.B.d.A. sei
s0 ≤ s. Wenn s0 < s ist, setzen wir rk0 := 0 für s0 < k ≤ s. Es folgt nun:
a = r0 + r1 b + r2 b2 + . . . + rs bs = r00 + r10 b + r20 b2 + . . . + rs0 bs .
Indirekte Annahme: Es gilt nicht für alle i ∈ {0, 1, . . . , s}: ri = ri0 . D.h. es
gibt (mindestens) eine Zahl i ∈ {0, 1, . . . , s} mit ri 6= ri0 . Sei i0 die kleinste
solche Zahl. Dann können wir in der letzten Gleichung die Summanden mit
Index < i0 wegkürzen und erhalten
ri0 bi0 + ri0 +1 bi0 +1 + . . . + rs bs = ri00 bi0 + ri00 +1 bi0 +1 + . . . + rs0 bs .
Division durch bi0 ergibt:
ri0 + ri0 +1 b + . . . + rs bs−i0 = ri00 + ri00 +1 b + . . . + rs0 bs−i0 .
Wir sehen: Die linke Seite ergibt bei Division durch b den Rest ri0 , die rechte
Seite ri00 . Wegen der Eindeutigkeit des Restes muss aber ri0 = ri00 gelten, im
Widerspruch zur Definition von i0 .
Dieser Beweis liefert also gleichzeitig ein Verfahren, mit dem man auch in
komplizierteren Fällen die Ziffern relativ leicht berechnen kann.
Beispiel: Berechnung der Hexadezimaldarstellung von 13579:
13579 = 848 · 16 + 11,
848 = 53 · 16 + 0,
53 = 3 · 16 + 5,
3 = 0 · 16 + 3.
94
KAPITEL 5. ZAHLEN
Also: 13579 = (3, 5, 0, 11)16 .
Bemerkung: In der Hexadezimaldarstellung schreibt man meist statt 10,11,12,
13,14,15 die Buchstaben A,B,C,D,E,F und lässt Klammern und Beistriche
weg. Statt des Index 16 wird oft H geschrieben. In unserem Beispiel: 350BH .
5.5.4
Restklassen und Kongruenzen
Teiler
Definition 5.15 Seien a, t ∈ Z, t 6= 0. a heißt durch t teilbar (”divisible”),
wenn es ein q ∈ Z gibt, sodass a = qt. Man sagt auch ”t teilt a” oder ”t ist
ein Teiler von a” und schreibt t|a. (”t divides a”, ”t is a divisor of a”)
Achtung: t|a heißt, dass a/t eine ganze Zahl ist.
t|a bedeutet also, dass bei Division von a durch t kein Rest bleibt (d.h. der
Rest ist = 0).
Der Spezialfall a = 0 ist ziemlich trivial, denn wegen 0 = 0 · t ist jede ganze
Zahl 6= 0 ein Teiler von 0.
t ist genau dann Teiler von a, wenn ±t ein Teiler von ±a ist. (Dabei bedeutet
±t so viel wie ”t oder −t”.) Wir beschränken uns daher bei Teilbarkeitsfragen
oft auf positive ganze Zahlen, d.h. auf N.
Bemerkung 5.16 Für a, t ∈ Z \ {0} gilt: t|a ⇒ |t| ≤ |a|.
Beweis: Sei a = qt und daher |a| = |q||t|. Wegen a 6= 0 muss auch q 6= 0 sein.
Wäre |t| > |a|, so würde wegen |q| ≥ 1 folgen:
|a| = |q||t| ≥ |t| > |a|,
Widerspruch.
Definition 5.17 Eine natürliche Zahl t heißt echter Teiler von a, wenn
t|a und t 6= 1, t 6= a.
Definition 5.18 Eine natürliche Zahl ≥ 2 heißt Primzahl (”prime (number)”), wenn sie keinen echten Teiler hat.
5.5. DIVISION MIT REST
95
Kongruenzen
Definition 5.19 Sei m ∈ N. Zwei ganze Zahlen a, a0 heißen kongruent
(”congruent”) modulo m, wenn a − a0 durch m teilbar ist.
Schreibweise: a ≡ a0 mod m. Die Zahl m heißt in diesem Zusammenhang
Modul.
Bemerkungen:
a) a ≡ a0 mod m heißt, dass a und a0 bei Division durch m denselben Rest
liefern. (Beweis: Übung)
b) In vielen Programmiersprachen gibt es eine Funktion, die Mod oder ähnlich heißt und folgenderweise definiert ist:
Mod(x, m) := Rest bei Division von x durch m.
Für diese Funktion gelten folgende Beziehungen zu dem oben definierten
Symbol mod:
a ≡ a0 mod m ⇔ Mod(a, m) = Mod(a0 , m),
x ≡ Mod(x, m) mod m.
c) Wenn man den Rest bei Division von x durch m bestimmt, so sagt man
manchmal auch: man reduziert x modulo m.
Das Rechnen mit Kongruenzen geht weitgehend analog zum Rechnen mit
Gleichungen:
1) Man kann zu beiden Seiten dieselbe ganze Zahl addieren:
mod m
Aus a
≡ a0
0
folgt a + b ≡ a + b mod m,
denn aus a − a0 = qm folgt (a + b) − (a0 + b) = qm.
2) Man kann beide Seiten mit derselben ganzen Zahl multiplizieren:
Aus
a ≡ a0 mod m
folgt ka ≡ ka0 mod m,
denn aus a − a0 = qm folgt ka − ka0 = kqm, und das ist wieder durch m
teilbar.
96
KAPITEL 5. ZAHLEN
3) Man kann zwei Kongruenzen addieren oder multiplizieren:
Aus
a
und
b
folgt a + b
und
ab
≡
≡
≡
≡
a0
b0
a0 + b0
a0 b0
mod m
mod m
mod m
mod m,
denn aus a − a0 = qm und b − b0 = pm folgt (a + b) − (a0 + b0 ) = (q + p)m und
ab = (a0 + qm)(b0 + pm) = a0 b0 + (a0 p + b0 q + qpm)m, also ab − a0 b0 = (. . .)m.
Beispiel: 10 ≡ 1 mod 9 ⇒ 102 ≡ 12 = 1 mod 9, und daher (mit Induktion)
10k ≡ 1 mod 9. Daraus folgt nun: r0 + r1 10 + r2 102 + . . . + rs 10s ≡ r0 + r1 +
r2 + . . . + rs mod 9, d.h. der Neunerrest einer natürlichen Zahl ist gleich dem
Neunerrest ihrer Ziffernsumme in der Dezimalentwicklung.
Restklassen
Satz 5.20 Sei m eine natürliche Zahl. Dann wird durch
a Rm a0 :⇔ a ≡ a0 mod m
auf Z eine Äquivalenzrelation Rm definiert.
Beweis:
Reflexivität: a ≡ a mod m, da a − a = 0 durch m teilbar ist: 0 = 0 · m.
Symmetrie: Wenn a − b = qm, dann ist b − a = (−q)m.
Transitivität: a − b = qm ∧ b − c = q 0 m ⇒ a − c = (q + q0 )m.
Definition 5.21 Die zur Relation Rm gehörigen Äquivalenzklassen heißen
Restklassen (”congruence classes”) modulo m.
Wir bezeichnen die zu einem x ∈ Z gehörige Restklasse modulo m mit [x]m
oder, wenn klar ist, um welchen Modul es sich handelt, einfach mit [x]. Andere
Schreibweise: x̄.
Für r ∈ {0, 1, . . . , m − 1} ist [r]m die Menge aller ganzen Zahlen, die bei
Division durch m den Rest r liefern:
x ≡ r mod m ⇔ ∃ q ∈ Z : x − r = qm ⇔ ∃ q ∈ Z : x = qm + r.
Beispiel: [1]4 = {. . . , −7, −3, 1, 5, 9, . . .}.
5.5. DIVISION MIT REST
97
Satz 5.22 Es gibt genau m verschiedene Restklassen modulo m, nämlich
[0], [1], . . . , [m − 1].
Beweis:
1. Jede ganze Zahl a gehört zu einer dieser m Restklassen: Wir können a in
der Form qm+r mit r ∈ {0, 1, . . . , m−1} darstellen, und daher ist a−r = qm,
also a ≡ r mod m.
2. Diese m Restklassen sind wegen der Eindeutigkeit des Restes paarweise
disjunkt (und daher jedenfalls voneinander verschieden).
Die Restklassen haben eigentlich nur für m ≥ 2 einen Sinn, denn für m = 1
gibt es nur eine Restklasse: [0]1 = Z.
Definition 5.23 Für m ∈ N, m ≥ 2:
Zm := Z / Rm = Menge der Restklassen modulo m.
Also z.B.: Z2 = {[0], [1]}. Dabei ist [0] die Menge der geraden ganzen Zahlen
und [1] die Menge der ungeraden ganzen Zahlen.
Auf Zm kann man in natürlicher Weise Addition und Multiplikation definieren:
[r] + [s] := [r + s],
[r] · [s] := [rs].
Unabhängigkeit dieser Definitionen von der Wahl der Repräsentanten: Sei
etwa r ≡ r0 mod m. Dann gilt r + s ≡ r0 + s mod m und rs ≡ r0 s mod m,
somit [r + s] = [r0 + s] und [rs] = [r0 s].
Potenzen [r]n mit n ∈ N kann man rekursiv durch [r]1 := [r] und [r]n+1 :=
[r]n [r] definieren, und mit Induktion sieht man leicht: [r]n = [rn ].(Diese
Potenzen sind trotz der gleichen Schreibweise etwas ganz anderes als die
cartesischen Potenzen (siehe Kapitel 2.5).)
Beispiele: Für m = 6 ist [3]+[4] = [7] = [1], [3]·[4] = [12] = [0], [3]2 = [9] = [3]
und allgemein [3]n = [3] für alle n ∈ N.
m = 12 bzw. 24 entspricht dem Rechnen mit Uhrzeiten (in Stunden),
m = 7 dem Rechnen mit Wochentagen.
98
KAPITEL 5. ZAHLEN
Die bekannten Rechenregeln für ganze Zahlen übertragen sich ohne weiteres
(vgl. Abschnitt 5.4). Eine Besonderheit besteht darin, dass das Produkt von
zwei Restklassen, die 6= [0] sind, [0] ergeben kann (siehe obiges Beispiel für
m = 6). Genaueres: siehe Kapitel 9.3.
Bemerkung: Wenn man mehrere Multiplikationen oder auch Additionen von
Restklassen hintereinander durchführt, ist es oft zweckmäßig, in jedem Schritt
den Rest (bei Division durch den betrachteten Modul m) zu bilden. Dadurch
werden die Restklassen immer durch Repräsentanten aus {0, 1, . . . , m − 1}
dargestellt (siehe Satz 5.22)
das Rechnen mit größeren
©§ ¨und man vermeidet
ª
Zahlen. Wenn man r ∈ m2 , . . . , m − 1 durch r − m ersetzt, kommt man
¥ ¦2
sogar mit Zahlen aus, deren Absolutbetrag niemals m2 übersteigt.
Beispiel: Wir wollen [22]16 = [2216 ] in Z53 berechnen, ohne die große Zahl 2216
explizit (d.h. ihre Dezimaldarstellung) zu bestimmen. Genauer gesagt, wollen
wir [2216 ] durch eine Zahl aus {0, 1, . . . , 52} darstellen bzw. 2216 modulo 53
reduzieren.
[22] · [22] = [484] = [7],
[22]4 = [7]2 = [49] = [−4],
[22]8 = [−4]2 = [16],
[22]16 = [16]2 = [256] = [44].
In der Schreibweise mit Kongruenzen sieht das so aus:
222 = 484 ≡ 7 mod 53,
224 ≡ 72 = 49 ≡ −4 mod 53,
228 ≡ (−4)2 = 16 mod 53,
2216 ≡ 162 = 256 ≡ 44 mod 53.
5.5.5
Der größte gemeinsame Teiler und der euklidische Algorithmus
(Euklid, eigentlich Eukleides von Alexandria (um 300 v. Chr.) ist vor allem
durch sein Sammelwerk ”Elemente” berühmt geworden, in dem er das mathematische Wissen seiner Zeit zusammenfassend dargestellt hat.)
5.5. DIVISION MIT REST
99
Definition 5.24 Seien a, b ∈ N. Die größte natürliche Zahl, welche a und b
teilt, heißt größter gemeinsamer Teiler (”greatest common divisor”) von
a und b.
Bezeichnung: GGT(a, b) oder GCD(a, b), oft auch einfach (a, b).
Die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers, rein auf Grund dieser Definition, kann sehr aufwändig sein. Es gibt aber ein viel einfacheres Verfahren.
Dazu:
Hilfssatz 5.25 Für a, b, m, n, t ∈ Z mit t 6= 0 gilt:
t|a ∧ t|b ⇒ t | (ma + nb).
(D.h., ein gemeinsamer Teiler von a und b teilt auch jede ganzzahlige Linearkombination von a und b.)
Beweis: Aus a = q1 t und b = q2 t folgt ma + nb = (mq1 + nq2 )t.
Hilfssatz 5.26 Seien a, b ∈ N und a = qb + r mit q, r ∈ N0 , 0 ≤ r < b.
Dann gilt:
½
b
falls r = 0,
GGT(a, b) =
GGT(b, r)
falls r > 0.
Beweis:
1. Fall: r = 0, d.h. a = qb.
In diesem Fall ist b ein Teiler von a und daher der größte gemeinsame Teiler
von a und b.
2. Fall: r > 0.
Sei T (a, b) die Menge aller natürlichen Zahlen, die sowohl a als auch b teilen.
Es genügt, zu zeigen, dass T (a, b) = T (b, r) ist. Nach dem vorigen Hilfssatz
können wir folgenderweise schließen:
T (a, b) ⊂ T (b, r): t ∈ T (a, b) ⇒ t|b ∧ t | (a − qb) ⇒ t|b ∧ t|r ⇒ t ∈ T (b, r).
T (b, r) ⊂ T (a, b): t ∈ T (b, r) ⇒ t|b ∧ t | (qb + r) ⇒ t|b ∧ t|a ⇒ t ∈ T (a, b).
100
KAPITEL 5. ZAHLEN
Der euklidische Algorithmus:
Satz 5.27 Seien a, b ∈ N, a ≥ b. Sei r1 := Rest bei Division von a durch
b, r2 := Rest bei Division von b durch r1 , r3 := Rest bei Division von r1
durch r2 , usw. Dann ergibt sich nach endlich vielen (sagen wir n) Schritten
rn = 0, und der letzte nichtverschwindende Rest rn−1 ist gleich dem größten
gemeinsamen Teiler von a und b.
Das Rechenschema sieht also folgendermaßen aus:
a
b
r1
...
rn−4
rn−3
rn−2
=
=
=
...
=
=
=
q1 b + r1
q2 r1 + r2
q3 r2 + r3
...
qn−2 rn−3 + rn−2
qn−1 rn−2 + rn−1
qn rn−1
Beweis:
1. Das Verfahren endet nach endlich vielen Schritten:
Der Rest ist immer kleiner als der Divisor (d.i. die Zahl, durch die dividiert
wird). Das heißt: b > r1 > r2 > . . . ≥ 0. Es muss sich also spätestens nach b
Schritten der Rest Null ergeben.
2. rn−1 = GGT(a, b):
GGT(a, b) = GGT(b, r1 ) = GGT(r1 , r2 ) = . . . = GGT(rn−2 , rn−1 ) = rn−1
(nach Hilfssatz 5.26).
Beispiel: Berechnung von GGT(2406, 654):
2406 = 3 · 654 + 444,
654 = 1 · 444 + 210,
444 = 2 · 210 + 24,
210 = 8 · 24 + 18,
24 = 1 · 18 + 6,
18 = 3 · 6.
Der gesuchte größte gemeinsame Teiler ist also 6.
5.5. DIVISION MIT REST
101
Algorithmen und ihre Effizienz:
Bemerkung: Allgemein versteht man unter einem Algorithmus ein Verfahren zur schrittweisen Lösung eines Problems, das durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet ist:
1. In jedem Schritt ist eindeutig festgelegt, was zu tun ist.
2. Das Verfahren endet nach endlich vielen Schritten mit der Lösung des
Problems.
Zur Angabe eines Algorithmus bedient man sich häufig einer Art PseudoProgrammiersprache, die relativ leicht in jede beliebige Programmiersprache
übersetzbar ist. Der euklidische Algorithmus könnte etwa in Anlehnung an die
Sprache PASCAL folgendermaßen formuliert werden, wenn wir mit Mod(a, b)
den Rest bei Division von a durch b bezeichnen:
GGT(a, b) :
r := b
s := Mod(a, b)
while s > 0 do
t := Mod(r, s)
r := s
s := t
end of while
return(r)
Eine etwas elegantere Variante ergibt sich, wenn man Programme zulässt,
die sich selbst aufrufen (”rekursive Programme”):
102
KAPITEL 5. ZAHLEN
gcd(a, b) :
r := Mod(a, b)
if r = 0 then return(b)
else return( gcd(b, r) )
Hier wird deutlich sichtbar, dass das Wesentliche der Hilfssatz 5.26 ist.
Der euklidische Algorithmus ist ein Beispiel für einen sehr effizienten Algorithmus, verglichen etwa mit der Berechnung des GGT auf Grund der
Definition. Als Maß für die Effizienz eines Algorithmus betrachtet man die
Anzahl der Rechenschritte in Abhängigkeit von der Größe der Eingabedaten.
Zur Analyse der Effizienz des euklidischen Algorithmus können wir folgendermaßen vorgehen (wir nehmen dabei a ≥ b an):
Sei ri−1 = qi+1 ri + ri+1 mit 0 ≤ ri+1 < ri .
Wegen qi+1 ≥ 1 folgt ri−1 ≥ ri + ri+1 > 2ri+1 , also ri+1 <
ri−1
.
2
Es gilt also r1 < a/2, r3 < r1 /2, usw., und wir sehen: r2k−1 < a/2k für alle
k. (Genauer mit vollständiger Induktion!)
Spätestens wenn a/2k ≤ 1 ist, muss r2k−1 = 0 sein.
a/2k ≤ 1 ⇔ a ≤ 2k ⇔ log2 a ≤ k.
Wenn r2k0 −1 der letzte Rest 6= 0 mit ungeradem Index ist, so muss also
k0 < log2 a
gelten. Für die Anzahl d der Divisionen gilt somit (wenn wir die letzte Division nicht zählen)
d ≤ 2k0 ≤ b2 log2 ac .
Diese Schranke wird im Allgemeinen nicht erreicht. In Übungsaufgabe 12
wird aber eine Klasse von Beispielen behandelt, wo die Anzahl der Divisionen
dieser Schranke ziemlich nahe kommt.
Beispiel: Für die Berechnung des GGT von zwei Zahlen mit bis zu 16 Dezimalstellen braucht man höchstens b2 log2 1016 c = 106 Divisionen.
Die Größe der Eingabedaten können wir z.B. durch die Anzahl n der Binärstellen von a messen. Wenn wir die maximale Anzahl der Divisionen mit d(n)
bezeichnen, sehen wir:
d(n) ≤ 2n.
5.5. DIVISION MIT REST
103
d(n) ist also höchstens proportional zu n. Wenn es auf den Proportionalitätsfaktor nicht ankommt, schreibt man dafür d(n) = O(n).
Allgemein bedeutet g(n) = O(f (n)), dass es eine Konstante c > 0 und ein
n0 ∈ N gibt, sodass |g(n)| ≤ c · |f (n)| für alle n ≥ n0 . Es handelt sich
also nicht um eine Gleichung, sondern um eine Ungleichung! Besser ist es
daher, wenn man schreibt ”g(n) ist (ein) O(f (n))”. Man sagt auch: ”g(n) ist
(höchstens) von der Ordnung f (n)”. Das hier verwendete O heißt LandauSymbol. (Edmund Landau (1877-1938), Arbeiten und Bücher über Zahlentheorie und Analysis.)
Andere Beispiele für die Verwendung des Landau-Symbols:
a) n! ist O(nn ).
b) Sei gn die n-te Fibonacci-Zahl. Dann gilt gn ≤ 2gn−1 für n ≥ 2. Wegen
g5 = 23 folgt gn ≤ 2n−2 für n ≥ 5, also gn = O(2n−2 ) und daher auch
gn = O(2n ).
Folgerungen aus dem euklidischen Algorithmus:
Satz 5.28 Zu je zwei natürlichen Zahlen a, b gibt es m, n ∈ Z, sodass
GGT(a, b) = ma + nb.
(D.h.: GGT(a, b) lässt sich immer als ganzzahlige Linearkombination von a
und b darstellen.)
Beweis: Aus der vorletzten Zeile des euklidischen Algorithmus ergibt sich:
GGT(a, b) = rn−1 = rn−3 − qn−1 rn−2 .
Auf Grund der drittletzten Zeile können wir rn−2 durch rn−3 und rn−4 ausdrücken und erhalten:
GGT(a, b) = rn−3 − qn−1 (rn−4 − qn−2 rn−3 ) = −qn−1 rn−4 + (1 + qn−1 qn−2 )rn−3 .
Aus der viertletzten Zeile können wir rn−3 durch rn−4 und rn−5 ausdrücken,
usw., bis wir schließlich bei der ersten Zeile angelangt sind. Dann haben wir
GGT(a, b), wie gewünscht, durch a und b ausgedrückt.
Beispiel: Darstellung von 6 als ganzzahlige Linearkombination von 2406 und
654 (siehe Beispiel nach Satz 5.27):
104
KAPITEL 5. ZAHLEN
6 = 24 − 1 · 18 =
= 24 − 1 · (210 − 8 · 24) = −1 · 210 + 9 · 24 =
= −1 · 210 + 9 · (444 − 2 · 210) = 9 · 444 − 19 · 210 =
= 9 · 444 − 19 · (654 − 1 · 444) = −19 · 654 + 28 · 444 =
= −19 · 654 + 28 · (2406 − 3 · 654) = 28 · 2406 − 103 · 654.
Hier ist also m = 28 und n = −103.
Definition 5.29 Zwei natürliche Zahlen a, b heißen relativ prim (”coprime”),
wenn GGT(a, b) = 1.
Aus dem letzten Satz ergibt sich:
Folgerung 5.30 Zwei natürliche Zahlen a, b sind genau dann relativ prim,
wenn es ganze Zahlen m, n gibt, sodass ma + nb = 1.
Beweis: Es ist nur zu zeigen: ma + nb = 1 ⇒ GGT(a, b) = 1.
Sei t ∈ N ein gemeinsamer Teiler von a, b. Dann folgt aus Hilfssatz 5.25:
t | (ma + nb), also t|1 und daher t = 1.
Beispiel: GGT(3, 5) = 1, (−3) · 3 + 2 · 5 = 1.
Folgerung 5.31 Jeder gemeinsame Teiler von a und b teilt den größten
gemeinsamen Teiler von a und b.
(D.h.: GGT(a, b) ist auch bezüglich der durch die Teilbarkeit definierten
Halbordnung auf N das größte Element der Menge aller gemeinsamen Teiler
von a und b.)
Beweis: Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b, also t|a und t|b. Nach Satz
5.28 gibt es m, n ∈ Z, sodass ma + nb = GGT(a, b).
Nach Hilfssatz 5.25 folgt t | (ma + nb), also t | GGT(a, b).
5.6. RATIONALE ZAHLEN
5.6
105
Rationale Zahlen
Obwohl wir auch die rationalen Zahlen als bekannt voraussetzen, können
wir sie, ähnlich wie die ganzen Zahlen, durch eine Äquivalenzklassenbildung
definieren. Ausgangspunkt ist die folgende Beobachtung:
a0
a
= 0 ⇔ ab0 = a0 b.
b
b
Wir betrachten nun auf der Menge P := Z × (Z \ {0}) die durch
(a, b) ∼ (a0 , b0 ) :⇔ ab0 = a0 b
definierte Äquivalenzrelation und setzen Q gleich der Menge der entsprechenden Äquivalenzklassen. Wenn wir uns an die Regeln für das Rechnen
mit Brüchen erinnern, so ist es naheliegend, Addition, Multiplikation und
Ordnung auf Q folgenderweise zu definieren.
[(a, b)] + [(c, d)] := [(ad + bc, bd)],
[(a, b)] · [(c, d)] := [(ac, bd)],
[(a, b)] ≤ [(c, d)] :⇔ (ad − bc) · (bd) ≤ 0.
Es ist wieder eine leichte Übungsaufgabe, nachzuprüfen, dass diese Definitionen unabhängig von den gewählten Repräsentanten sind, und dass alle
bekannten Rechenregeln gelten (vgl. auch Kapitel 9.3). Wenn wir [(a, 1)] mit
a identifizieren, können wir Z als Teilmenge von Q ansehen.
5.7
Übungsaufgaben
1. Für welche natürlichen Zahlen n gilt 2n > n2 ? Beweisen Sie Ihre
Antwort mit vollständiger Induktion.
2. Ebenso: n! ≥ 2n ?
3. Sei x0 := 1 und xn :=
n−1
P
i=0
xi für n ≥ 1. Geben Sie eine einfache Formel
für xn an und beweisen Sie diese mit vollständiger Induktion.
4. Sei b0 = b1 = 1 und bn = 2bn−1 + bn−2 . Berechnen Sie zunächst einige
bn rekursiv und dann eine geschlossene Formel. Zeigen Sie schließlich,
dass alle bn ungerade sind.
106
KAPITEL 5. ZAHLEN
5. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
a) n5 − n ist für alle n ∈ N durch 5 teilbar.
n
P
√
√
1
√
≤
2
n − 1.
b) Für alle n ∈ N gilt: n ≤
i
i=1
6. Versuchen Sie, eine Formel für
n
P
k 2k zu finden. Beweisen Sie die ver-
k=1
mutete Formel dann mit vollständiger Induktion.
7. Zeigen Sie, dass für beliebige ganze Zahlen a, m mit m 6= 0 eindeutig
bestimmte ganze Zahlen q, r existieren, sodass
a = qm + r und 0 ≤ r < |m|.
8. Stellen Sie jede der folgenden Zahlen bezüglich der Basis 2, 7, und 13
dar:
a) 137,
b) 6243,
c) 12345.
9. Bestimmen Sie den Rest bei Division der folgenden Zahlen durch 10
bzw. 9, ohne die Multiplikation bzw. Potenzierung durchzuführen:
a) 23456 · 65432,
b) 1110 .
10. Seien r0, r1 , . . . , rs die Dezimalziffern der natürlichen Zahl a. Zeigen Sie
x ≡ r0 − r1 + r2 − . . . + (−1)s rs mod 11.
11. Bestimmen Sie ganze Zahlen x, y, z so, dass 252 x + 420 y + 315 z = 42.
12. Wie sieht die Folge der Reste aus, wenn man den GGT zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen gn , gn−1 mit dem euklidischen Algorithmus berechnet? Vergleichen Sie auf Grund dessen die Anzahl der Rechenschritte etwa für GGT(g10 , g9 ) mit der im Text bewiesenen Schranke.
Kapitel 6
Permutationen
Definition 6.1 Eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge A auf sich
heißt Permutation von A. Die Menge aller Permutationen von {1, . . . , n}
bezeichnen wir mit Sn .
Eine Permutation α ∈ Sn ist durch eine endliche Folge (α1 , α2 , . . . , αn ) von
paarweise verschiedenen Zahlen aus {1, . . . , n} gegeben, sodass α(k) = αk
für alle k ∈ {1, . . . , n}. Manchmal schreibt man der Deutlichkeit halber
¶
µ
1 2 ... n
.
α1 α2 . . . αn
Die Zusammensetzung α ◦ β von zwei Permutationen α, β heißt auch Produkt von α und β und wird oft αβ geschrieben. Dabei kommt es im Allgemeinen auf die Reihenfolge an. Sei z.B.
¶
¶
µ
µ
1 2 3
1 2 3
.
, β=
α=
2 1 3
2 3 1
Dann ist
αβ =
µ
1 2 3
3 2 1
¶
, βα =
µ
1 2 3
1 3 2
¶
.
Die identische Funktion auf {1, . . . , n} bezeichnen wir auch mit ε und nennen
sie identische Permutation. Die Umkehrfunktion zu einer Permutation π
von A ist natürlich wieder eine Permutation von A und heißt deshalb auch
die zu π inverse Permutation (Bezeichnung: π −1 ).
107
108
6.1
KAPITEL 6. PERMUTATIONEN
Zyklendarstellung
Eine Permutation α von A entspricht einer speziellen Relation auf A und
kann daher durch einen gerichteten Graphen D dargestellt werden, den wir
”Digraph von α” nennen. Die Ecken von D sind die Elemente von A, und
die Kanten sind die geordneten Paare der Form (x, α(x)) mit x ∈ A.
Da α eine Funktion ist, geht von jeder Ecke von D genau eine Kante aus.
Wegen der Bijektivität von α ist andererseits jede Ecke von D auch Endpunkt
von genau einer Kante.
Satz 6.2 Der Digraph einer Permutation einer n-elementigen Menge besteht
aus einem oder mehreren (gerichteten) Zyklen, von denen je zwei keine Ecke
gemeinsam haben. (Dabei gelten Schlingen auch als Zyklen.)
Beweis mit Induktion:
n = 1: Für A = {a} gibt es nur eine Permutation, nämlich die identische
Abbildung, und deren Digraph besteht aus einer Schlinge.
≤ n → n + 1:
Sei α eine Permutation von A = {a1 , . . . , an+1 } und D der zugehörige Digraph. Von a1 geht genau eine Kante von D aus. Deren Endpunkt bezeichnen
wir mit ak1 . Davon geht wieder genau eine Kante aus, und deren Endpunkt
nennen wir ak2 , usw. Da A nur endlich viele Elemente hat, kommen wir auf
diese Weise sicher einmal zu einer Ecke, bei der wir schon waren. Sei akm die
erste solche Ecke.
Wäre akm = akj mit j ∈ {1, . . . , m −1}, so wären (akm−1 , akm ) und (akj−1 , akj )
zwei verschiedene Kanten mit demselben Endpunkt. Also muss akm = a1
sein, d.h. (a1 , ak1 , . . . , akm−1 ) = (ak1 , . . . , akm ) ist ein gerichteter Zyklus Z.
(Für m = 1 ergibt sich eine Schlinge.)
Sei nun D0 der Digraph, der aus D durch Entfernen der Ecken und Kanten
von Z entsteht. D0 entspricht einer Permutation der Menge
A0 := A \ {ak1 , . . . , akm }.
Nach Induktionsvoraussetzung besteht D0 aus eckendisjunkten Zyklen, und
diese Zyklen haben auch mit Z keine Ecke gemeinsam. Damit ist der Satz
bewiesen.
Bemerkung: Zyklen der Länge 1 entsprechen Fixpunkten der Permutation.
6.1. ZYKLENDARSTELLUNG
109
Beispiel: Der Digraph der Permutation
µ
1 2 3 4 5 6
4 6 1 3 5 2
¶
sieht so aus:
3
1
2
6
5
4
Definition 6.3 Eine Permutation, deren Digraph, abgesehen von Schlingen,
aus genau einem Zyklus besteht, heißt Zyklus-Permutation oder meist einfach auch Zyklus (”cycle”).
Schreibweise: Wenn (ak1 , . . . , akm ) der einzige (echte) Zyklus des Digraphen
von α ist, so schreiben wir einfach α = (ak1 , . . . , akm ). Das ist insoferne nicht
eindeutig, als daraus nicht der Definitionsbereich von α hervorgeht. Das führt
aber im Allgemeinen nicht zu Schwierigkeiten.
Wenn wir genau zwischen den beiden Zyklus-Begriffen unterscheiden wollen,
so bezeichnen wir die zu einem (graphentheoretischen) Zyklus γ gehörige
Zykluspermutation mit γ̃.
Definition 6.4 Zwei Zyklen bzw. Zykluspermutationen (b1 , . . . , bm ) und
(c1 , . . . , cl ) heißen elementfremd, wenn {b1 , . . . , bm } ∩ {c1 , . . . , cl } = ∅.
Bemerkung 6.5 Sei π = γ̃ 1 ◦ . . . ◦ γ̃ k eine Zusammensetzung von paarweise
elementfremden Zykluspermutationen γ̃ 1 , . . . , γ̃ k . Dann ist π(x) = γ̃ j (x), wenn
x eine Ecke des Zyklus γ j ist. Es kommt daher nicht auf die Reihenfolge der
Zyklen an.
Satz 6.6 Jede Permutation 6= ε lässt sich bis auf die Reihenfolge eindeutig
als Produkt von elementfremden echten Zyklen darstellen.
Beweis: Sei α eine Permutation von A, α 6= ε.
1. Existenz: Der Digraph D(α) von α besteht aus Zyklen, welche paarweise keine Ecke gemeinsam haben. Seien γ 1 , . . . , γ k die Zyklen, welche keine
Schlingen sind.
110
KAPITEL 6. PERMUTATIONEN
Wenn wir mit γ̃ i die entsprechenden Zyklus-Permutationen bezeichnen, so
ist α = γ̃ 1 ◦ . . . ◦ γ̃ k , wie man sich folgenderweise überlegen kann:
Sei x ∈ A. Wenn α(x) = x, dann gehört x zu einer Schlinge von D(α) und
somit zu keinem der Zyklen, und daher ist γ̃ 1 ◦ . . . ◦ γ̃ k (x) = x.
Wenn α(x) 6= x, dann gibt es genau einen Zyklus γ j , zu dem x gehört. Dann
folgt aber (vgl. Bemerkung 6.5) γ̃ 1 ◦ . . . ◦ γ̃ k (x) = γ̃ j (x) = α(x).
2. Eindeutigkeit: Wenn α = γ̃ 1 ◦ . . . ◦ γ̃ k mit elementfremden echten Zyklen
γ̃ i 6= ε, so sind die γ i die echten Zyklen von D(α). Diese stimmen mit den von
Schlingen verschiedenen Zusammenhangskomponenten des Digraphen von α
überein und sind somit eindeutig bestimmt.
Zur Schreibweise: Das kleinste Element eines Zyklus schreibt man meist als
erstes. Das Zusammensetzungszeichen ◦ wird oft weggelassen. Die Reihenfolge der Zyklen ist belanglos, manchmal ordnet man sie nach dem ersten
Element.
Beispiele:
¶
µ
1 2 3 4 5 6
= (1, 4, 3)(2, 6).
a)
4 6 1 3 5 2
Meist lässt man die Beistriche weg: (1 4 3)(2 6). Man kann auch die Zyklen
der Länge 1 dazuschreiben: (1 4 3)(2 6)(5).
¶
µ
1 2 3 4 5 6 7 8 9
= (1 5 2)(3 8 7 4)(6 9).
b)
5 1 8 3 2 9 4 7 6
c) Sei α = (1 4 2)(3 7 5), β = (2 3)(4 6 5). Dann ist α ◦ β = (1 4 6 3)(2 7 5) und
β ◦ α = (1 6 5 2)(3 7 4).
6.2
Transpositionen
Definition 6.7 Zyklen der Länge 2 heißen Transpositionen.
Eine Transposition (x, y) vertauscht also zwei Elemente von {1, . . . , n} und
lässt alle übrigen fest.
Bemerkung 6.8 Jede Transposition ist zu sich selbst invers.
D.h.: (a b)(a b) = ε.
6.2. TRANSPOSITIONEN
111
Satz 6.9 Jede Permutation lässt sich als Produkt von Transpositionen darstellen.
Beweis: Nach dem letzten Satz genügt es zu zeigen, dass sich jeder Zyklus
als Produkt von Transpositionen darstellen lässt. Eine Möglichkeit ist die
folgende:
(x1 , x2 , . . . , xk−1 , xk ) = (x1 xk )(x1 xk−1 ) · · · (x1 x3 )(x1 x2 ).
Bemerkung: Diese Transpositionen sind im Allgemeinen weder eindeutig bestimmt noch elementfremd, und es kommt auf die Reihenfolge an.
Beispiel: (1 3 2 4) = (1 4)(1 2)(1 3) = (1 3)(3 4)(2 3),
aber (1 2)(1 4)(1 3) = (1 3 4 2) 6= (1 3 2 4).
Bemerkung: Nicht einmal die Anzahl der Transpositionen ist eindeutig bestimmt, z.B.: (1 2 3) = (1 3)(1 2) = (1 2)(1 3)(2 3)(1 2). Umso interessanter ist
der folgende Satz.
Satz 6.10 Bei der Darstellung einer Permutation als Produkt von Transpositionen ist die Anzahl der Transpositionen modulo 2 eindeutig bestimmt.
(Man sagt auch: Die ”Parität” (d.h. Geradheit oder Ungeradheit) der Anzahl
der Transpositionen ist eindeutig.)
Zum Beweis:
Hilfssatz 6.11 Sei π eine Permutation, die durch k elementfremde Zyklen
dargestellt wird, und τ eine Transposition. Dann wird τ π durch k + 1 oder
k − 1 elementfremde Zyklen dargestellt, wenn man die Zyklen der Länge 1
mitzählt.
Beweis: Sei τ = (ab). Wir unterscheiden zwei Fälle:
1. Fall: a und b kommen im gleichen Zyklus von π vor.
Wir schreiben diesen Zyklus an erster Stelle, und zwar mit a als erstem
Element. Wenn a und b in diesem Zyklus unmittelbar aufeinanderfolgen,
erhalten wir o.B.d.A.:
π = (abx · · · y)( ) · · · ( ),
112
KAPITEL 6. PERMUTATIONEN
τ π = (ab)(abx · · · y)( ) · · · ( ) = (a)(bx · · · y)( ) · · · ( ).
Wenn a und b nicht unmittelbar aufeinanderfolgen, sieht es so aus:
π = (a · · · xb · · · y)( ) · · · ( ),
τ π = (ab)(a · · · xb · · · y)( ) · · · ( ) = (a · · · x)(b · · · y)( ) · · · ( ).
In diesem Fall hat also τ π um einen Zyklus mehr als π.
2. Fall: a und b kommen in verschiedenen Zyklen von π vor.
Wir schreiben zuerst den Zyklus mit a und dann den mit b. Dann ist
π = (a · · · x)(b · · · y)( ) · · · ( ),
τ π = (ab)(a · · · x)(b · · · y)( ) · · · ( ) = (a · · · xb · · · y)( ) · · · ( ).
Hier hat τ π also um einen Zyklus weniger als π.
Beweis von Satz 6.10:
Angenommen, π = τ 1 · · · τ r = σ 1 · · · σ s mit Transpositionen τ i , σ i . Dann ist
π −1 = σ s · · · σ 1 und daher τ 1 · · · τ r σ s · · · σ 1 = ε bzw. τ 1 · · · τ r σ s · · · σ 1 ε = ε.
Hier erhalten wir also nach Multiplikation mit r + s Transpositionen wieder
dieselbe Permutation ε und daher insbesondere dieselbe Anzahl von Zyklen.
Nach dem Hilfssatz ist das nur möglich, wenn r + s eine gerade Zahl ist, und
das heißt: r und s sind entweder beide gerade oder beide ungerade.
Auf Grund des letzten Satzes ist folgende Definition sinnvoll:
Definition 6.12 Eine Permutation heißt gerade, wenn sie Zusammensetzung einer geraden Anzahl von Transpositionen ist. Andernfalls heißt sie
ungerade.
Definition 6.13 Das Signum (”signature”) einer Permutation ist +1 oder
−1, je nachdem die Permutation gerade oder ungerade ist.
Bezeichnung: sign(π)
Bemerkung: Wenn man π durch p Transpositionen darstellen kann, dann ist
sign(π) = (−1)p .
6.3. ÜBUNGSAUFGABEN
113
Bemerkung 6.14 1) sign(π ◦ σ) = sign(π) · sign(σ).
2) Das Signum eines Zyklus der Länge k ist gleich (−1)k−1 .
Beweis:
1) Sei π durch p und σ durch s Transpositionen dargestellt. Dann kann man
πσ durch p + s Transpositionen darstellen, und daher ist
sign(πσ) = (−1)p+s = (−1)p (−1)s = sign(π) sign(σ).
2) Siehe Beweis von Satz 6.9.
Dieses Signum spielt z.B. bei Determinanten eine Rolle.
6.3
Übungsaufgaben
1. Schreiben Sie folgende Permutation
¶
µ
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 7 8 4 9 5 3 2 1
a) als Produkt von elementfremden Zyklen,
b) als Produkt von Transpositionen.
2. Unter der Ordnung einer Permutation α versteht man die kleinste
natürliche Zahl n, sodass αn = ε (vgl. Definition 9.23). Bestimmen
Sie die Ordnung der folgenden Permutationen:
a) (1 6)(3 6),
b) (1 3 5)(2 5 1),
c) (1 3)(2 6 3).
114
KAPITEL 6. PERMUTATIONEN
Kapitel 7
Zählen (Kombinatorik)
7.1
Anzahl der Elemente einer Menge
Insbesondere für unendliche Mengen ist es notwendig, diesen Begriff zu präzisieren.
Definition 7.1 Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig, wenn es eine
bijektive Abbildung A → B gibt. Man sagt dann auch, A und B haben dieselbe
Kardinalzahl (”are of equal cardinality”).
Dadurch wird auf jeder Menge von Mengen eine Äquivalenzrelation definiert.
Man nennt deshalb gleichmächtige Mengen auch äquivalent.
Im Folgenden benötigen wir oft die Menge {1, . . . , n} := {x ∈ N | x ≤ n}.
Wir bezeichnen sie zur Abkürzung mit In . Also: I0 = ∅, I1 = {1}, usw.
Definition 7.2 Sei A eine Menge. Wenn es eine natürliche Zahl n ∈ N0
gibt, sodass A und In gleichmächtig sind, so heißt A endlich (”finite”), und
n heißt die Anzahl der Elemente oder Kardinalzahl (”cardinality”) von
A. Bezeichnung: |A| = n.
(Andere übliche Bezeichnungsweisen sind #A und card A.)
Insbesondere ist |∅| = 0.
Wenn A eine Menge mit n Elementen ist, gibt es also eine bijektive Abbildung
In → A : j 7→ aj . D.h., wir können die Elemente von A ”durchnummerieren”,
sodass A = {a1 , . . . , an } und ai 6= aj für i 6= j.
115
116
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Obwohl kaum jemand bezweifeln wird, dass die Kardinalzahl einer endlichen
Menge eindeutig bestimmt ist, wollen wir uns überlegen, auf welche Weise
man das zeigen kann, da einerseits der Beweis an sich interessant ist und wir
andererseits als Folgerung ein öfter gebrauchtes Beweisprinzip kennenlernen.
Satz 7.3 Für n 6= m gibt es keine bijektive Abbildung In → Im .
Beweis: Da wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit n > m annehmen
können, ist das eine Folgerung aus dem nächsten Satz.
Satz 7.4 Für n > m gibt es keine injektive Abbildung In → Im .
Beweis mit Induktion nach n:
n = 1 ist trivial, denn dann müsste m = 0 sein, und es gibt überhaupt keine
Abbildung in die leere Menge I0 .
n → n + 1: Angenommen, für ein m < n + 1 gibt es eine injektive Abbildung
f : In+1 → Im .
1. Fall: f (i) 6= m für alle i ∈ In .
Dann wäre die Einschränkung von f auf In eine injektive Abbildung nach
Im−1 .
2. Fall: Es gibt ein k ∈ In , sodass f (k) = m.
Wegen der Injektivität von f ist z := f (n+1) 6= m. Wir könnten nun eine injektive Abbildung f˜ : In → Im−1 konstruieren, indem wir die Einschränkung
von f auf In insoferne abändern, als wir k auf das ”freigewordene” z abbilden:
f˜(k) := z,
f˜(i) := f (i) für i 6= k.
In jedem Fall ergäbe sich also ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung.
Folgerung 7.5 Die Kardinalzahl einer endlichen Menge ist eindeutig bestimmt.
Beweis: Indirekte Annahme: Es gibt eine Menge A, sodass für zwei verschiedene natürliche Zahlen n, m bijektive Abbildungen f : A → In und
g : A → Im existieren. Dann wäre g ◦ f −1 eine bijektive Abbildung In → Im
im Widerspruch zu Satz 7.3.
7.1. ANZAHL DER ELEMENTE EINER MENGE
117
Folgerung 7.6 (Schubfachprinzip, ”pigeonhole principle”) Seien A, B zwei
endliche Mengen mit |A| > |B|. Dann gibt es keine injektive Abbildung von
A nach B.
Bemerkung: Diesen Satz kann man so interpretieren: Will man n Gegenstände in m Schubfächern unterbringen, und n > m, dann muss man in
mindestens ein Schubfach mehr als einen Gegenstand legen.
Beweis: Sei n := |A| und m := |B|. Dann gibt es bijektive Abbildungen
f : A → In und g : B → Im . Gäbe es eine injektive Abbildung h : A → B,
so wäre g ◦ h ◦ f −1 : In → Im eine injektive Abbildung. Das widerspricht für
n > m dem letzten Satz.
Definition 7.7 Eine Menge, die nicht endlich ist, heißt unendlich (”infinite”).
Wenn M eine unendliche Menge ist, schreiben wir auch |M| = ∞.
Im Gegensatz zu endlichen Mengen kann eine unendliche Menge zu einer
echten Teilmenge gleichmächtig sein. Z.B. ist die Menge N zu der echten
Teilmenge 2N = {2, 4, 6, . . .} gleichmächtig, da die Abbildung N → 2N :
x 7→ 2x bijektiv ist. Es gilt sogar:
Satz 7.8 Eine Menge ist genau dann unendlich, wenn sie zu einer echten
Teilmenge gleichmächtig ist.
Beweis: Siehe Vorlesungen oder Bücher über Mengenlehre, z.B. [14].
Nicht alle unendlichen Mengen sind gleichmächtig (siehe Satz 7.13)!
Definition 7.9 Wenn eine unendliche Menge zu N gleichmächtig ist, heißt
sie abzählbar (”countable”), sonst überabzählbar (”uncountable”).
Wenn A abzählbar ist, dann gibt es also eine Folge (an ) mit paarweise verschiedenen Elementen, sodass A = {an | n ∈ N}.
Beispiele:
1) Z ist abzählbar. Z.B. ist folgende Abbildung bijektiv (Beweis: Übungsaufgabe):
½
n/2
für n gerade,
f : N → Z : n 7→
(1 − n)/2
für n ungerade.
118
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
2) N × N ist abzählbar.
Beweis (1. Cantor’sches Diagonalverfahren): Wir betrachten nachstehende
Folge von Elementen aus N × N:
((1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), . . . ). Es ist nicht schwer
einzusehen, dass diese Folge eine bijektive Abbildung N → N × N darstellt.
Die folgende Tabelle dient zur Erklärung der Bezeichnung ”Diagonalverfahren”. Die Pfeile deuten die Reihenfolge an, in welcher die Elemente von
N × N in der Folge aufscheinen.
(1, 1)
(1, 2)
(1, 4) . . .
.
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4) . . .
.
.
.
.
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4) . . .
.
.
.
.
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4) . . .
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
(1, 3)
.
.
(Georg Cantor (1845 - 1918) gilt als Begründer der Mengenlehre.)
Analog kann man zeigen, dass allgemeiner gilt:
Satz 7.10 Das cartesische Produkt von zwei abzählbaren Mengen ist abzählbar.
Der folgende Satz ist zwar sehr plausibel, wir sehen uns aber dennoch den
Beweis an:
Satz 7.11 Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist entweder endlich
oder abzählbar.
Beweis: Sei U eine unendliche Teilmenge der abzählbaren Menge A. Wir
können also annehmen, dass A = {an | n ∈ N} mit ai 6= ak für i 6= k. Wir
definieren nun rekursiv eine Folge (un ) von Elementen aus U:
u1 sei ein beliebiges Element aus U. Angenommen, u1 , . . . , un sind bereits
definiert. Da U unendlich ist, folgt U \ {u1 , . . . , un } 6= ∅. Nach dem Wohlordnungsaxiom gibt es daher einen kleinsten Index k, sodass ak ∈ U \{u1 , . . . , un }.
7.1. ANZAHL DER ELEMENTE EINER MENGE
119
Wir setzen un+1 := ak und haben uns nur zu überlegen, dass auf diese Weise
alle Elemente von U erfasst werden.
Indirekte Annahme: Es gibt ein am ∈ U \{un | n ∈ N}. Die Menge {un |n > 1}
ist nicht endlich und daher keine Teilmenge von {a1 , . . . , am }. Es gibt somit
einen Index r > 1, sodass ur = ak mit k > m. Nun ist am ∈ U \{u1 , . . . , ur−1 }.
Nach Definition der Folge (un ) müsste k die kleinste natürliche Zahl mit
ak ∈ U \ {u1 , . . . , ur−1 } sein, also k ≤ m, Widerspruch.
Satz 7.12 Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar.
Beweis: Jede rationale Zahl lässt sich eindeutig als ”gekürzter Bruch” darstellen, d.h. in der Form ab mit a ∈ Z, b ∈ N und GGT(a, b) = 1. (Das kann
man mit Hilfe der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung beweisen, siehe Satz
9.35.) Damit erhalten wir eine bijektive Abbildung
a
{(a, b) ∈ Z × N | GGT(a, b) = 1} → Q : (a, b) 7→ .
b
Der Definitionsbereich dieser Abbildung ist nach den beiden vorhergehenden
Sätzen abzählbar.
Satz 7.13 Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar.
Zum Beweis (2. Cantor’sches Diagonalverfahren) benützt man die Dezimalbruchentwicklung von reellen Zahlen, die wir hier als bekannt voraussetzen.
(Siehe Vorlesungen oder Bücher über Analysis, z.B. [30].) Die Dezimalbruchentwicklung ist nicht unbedingt eindeutig, so ist z.B. 3.1999... = 3.2000... .
Um Eindeutigkeit zu erreichen, verbietet man Dezimalbrüche, bei denen ab
einer bestimmten Stelle alle Ziffern gleich 9 sind.
Angenommen, R wäre abzählbar. Dann wäre nach Satz 7.11 auch das Intervall [0, 1) := {x ∈ R | 0 ≤ x < 1} abzählbar. Es gäbe also eine Folge
(an ), sodass [0, 1) = {an | n ∈ N}. Seien an1 , an2 , an3 , . . . die Dezimalziffern von an (nach dem Komma bzw. Dezimalpunkt). Dann könnten wir
folgenderweise eine Zahl b ∈ [0, 1) konstruieren, welche von allen an verschieden ist, was einen Widerspruch zur Folge hätte: Für jedes k ∈ N sei
bk ∈ {0, 1, . . . , 8} \ {akk }, und b sei die Zahl mit den Dezimalziffern b1 , b2 , . . . .
Man schließt hier bk = 9 aus, damit sicher keiner der oben erwähnten ”verbotenen” Dezimalbrüche entsteht.
120
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Satz 7.14 Seien A1 , . . . , An paarweise disjunkte endliche Mengen. Dann gilt:
¯n
¯
n
¯[ ¯ X
¯
¯
|Ai |.
¯ Ai ¯ =
¯
¯
i=1
i=1
Beweis mit Induktion:
n = 1: trivial.
n = 2: A∩B = ∅ ⇒ |A ∪ B| = |A|+|B| ist praktisch unmittelbar klar, kann
aber formal durch Induktion nach der Anzahl der Elemente von B bewiesen
werden.
¯n+1 ¯ ¯µ n
¯
¶
¯S ¯ ¯ S
¯
n → n + 1: ¯¯ Ai ¯¯ = ¯¯
Ai ∪ An+1 ¯¯ = (nach dem Fall n = 2)
i=1
i=1
¯n
¯
¯S ¯
= ¯¯ Ai ¯¯ + |An+1 | = (nach Induktionsvoraussetzung)
i=1
=
n
P
i=1
|Ai | + |An+1 | =
n+1
P
i=1
|Ai |.
Satz 7.15 |A × B| = |A| · |B| (für endliche Mengen A, B).
Beweis: Sei B = {b1 , . . . , bn } (mit bi 6= bk für i 6= k). Dann ist A × B =
n
S
(A × {bi }).
i=1
(A × {bi }) ∩ (A × {bk }) = ∅ für i 6= k, und |A × {bi }| = |A|, da die Abbildung
A → A × {bi } : a 7→ (a, bi ) bijektiv ist. Somit folgt dieser Satz aus dem
vorhergehenden.
Bemerkung 7.16 Mit Induktion kann man zeigen, dass allgemeiner gilt:
|A1 × . . . × Ak | =
k
Y
i=1
|Ai |
(für endliche Mengen Ai ). Daraus folgt insbesondere
¯ k¯
¯A ¯ = |A|k .
7.2. ANZAHL VON FUNKTIONEN UND TEILMENGEN
7.2
121
Anzahl von Funktionen und Teilmengen
Von nun an werden alle Mengen als endlich vorausgesetzt, wenn nichts gegenteiliges gesagt wird.
7.2.1
Beliebige Funktionen und Teilmengen
Satz 7.17 Es gibt genau |B||A| Funktionen von A nach B.
Zum Beweis sei k := |A| und n := |B|. Wir verwenden Induktion nach k:
k = 1: Es gibt n Möglichkeiten, dem einen Element von A ein Element von
B zuzuordnen.
k → k + 1: Sei A = {a1 , . . . , ak+1 }. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es
nk Funktionen {a1 , . . . , ak } → B. Jede dieser Funktionen kann auf n verschiedene Arten zu einer Funktion A → B erweitert werden, indem man dem
Element ak+1 eines der n Elemente von B zuordnet. Daher gibt es insgesamt
n · nk = nk+1 Funktionen A → B.
Anderer Beweis: Sei A = {a1 , . . . , ak }. Jede Abbildung f : A → B mit A =
{a1 , . . . , ak } entspricht umkehrbar eindeutig einem k-Tupel (f (a1 ), . . . , f (ak ))
mit f (aj ) ∈ B für alle j ∈ Ik . Daher ist die Menge aller solchen Abbildungen
gleichmächtig zu B k , und |B k | = |B|k = |B||A| nach Bemerkung 7.16.
Bezeichnung: Die Menge aller Abbildungen von A nach B wird auf Grund
dieses Satzes manchmal mit B A bezeichnet.
Bemerkungen:
1) Die Funktionen Ik → B nennt man auch (endliche) Folgen (der Länge k)
von Elementen aus B. Diese Folgen kann man mit den geordneten k-Tupeln
(b1 , . . . , bk ) mit bi ∈ B identifizieren (siehe Definition des cartesischen Produkts, Abschnitt 2.5). Früher sprach man in diesem Zusammenhang auch von
Variationen mit Wiederholung (”ordered selections with repetition”).
2) Die in der Informatik häufig verwendeten ”(verketteten) Listen” sind vom
mathematischen Standpunkt nichts anderes als endliche Folgen. Wir werden
solche Listen insbesondere zur Beschreibung graphentheoretischer Algorithmen verwenden (Kapitel 8).
3) Wenn man die Elemente von B als Buchstaben auffasst, so bezeichnet man
die endlichen Folgen von Elementen aus B auch als Worte. Man schreibt sie
122
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
dann ohne Klammern und Beistriche. Z.B. ist baacba ein Wort mit sechs
Buchstaben aus B = {a, b, c}. Die Menge B wird dann Alphabet genannt.
Mit Hilfe des letzten Satzes kann man auch leicht die Frage beantworten, wie
viele Teilmengen eine endliche Menge hat. Dazu:
Definition 7.18 Sei S eine Teilmenge von A. Dann versteht man unter der
Indikatorfunktion von S die folgenderweise definierte Funktion
½
1 für a ∈ S,
1S : A → {0, 1}, 1S (a) :=
0 für a ∈
/ S.
Jeder Teilmenge S von A entspricht umkehrbar eindeutig ihre Indikatorfunktion. Die Anzahl der Teilmengen von A ist daher gleich der Anzahl der
Funktionen A → {0, 1}, und somit gilt folgender Satz:
Satz 7.19 Es gibt genau 2|A| Teilmengen von A.
Das heißt: |P(A)| = 2|A| .
Bemerkung 7.20 Für A = Ik entsprechen die Funktionen A → {0, 1}
endlichen Folgen der Länge k, die nur aus Nullen und Einsen bestehen. Solche
Folgen nennt man auch 0-1-Folgen. Wir haben somit eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen den Teilmengen von Ik und 0-1-Folgen der Länge
k. Es gibt daher genau 2k solche Folgen.
7.2.2
Injektive Funktionen
Satz 7.21 Sei k = |A| und n = |B|. Die Anzahl der injektiven Funktionen
A → B beträgt
k−1
Y
(n − i) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)
i=0
Beweis mit Induktion nach k:
k = 1: In diesem Fall spielt die Injektivität keine Rolle. Es gibt n Funktionen
{a} → B.
7.2. ANZAHL VON FUNKTIONEN UND TEILMENGEN
123
k → k + 1: Sei A = {a1 , . . . , ak+1 }. Wollen wir eine injektive Funktion f :
{a1 , . . . , ak } → B auf A so erweitern, dass sie injektiv bleibt, so haben wir
für f (ak+1 ) nur n−k Möglichkeiten.
Auf
Qk−1
QkGrund der Induktionsvoraussetzung
gibt es daher (n − k) · i=0 (n − i) = i=0 (n − i) Funktionen A → B.
Bemerkungen: Für k > n gibt es keine injektive Funktion A → B, und unsere
n!
Formel liefert den Wert 0. Für k ≤ n kann die Anzahl auch in der Form (n−k)!
geschrieben werden.
Für A = Ik sind die injektiven Funktionen A → B die Folgen (b1 , . . . , bk ) von
k Elementen aus B, in denen kein Element mehrfach vorkommt.
Wenn wir B als Alphabet ansehen, erhalten wir die Anzahl der Worte der
Länge k, die man mit n Buchstaben bilden kann, wenn jeder Buchstabe nur
einmal vorkommen darf (Variationen ohne Wiederholung, engl. ”ordered selections without repetition”).
Einfaches Beispiel: A = I2 , B = {a, b, c}. Menge der entsprechenden Worte:
{ab, ba, ac, ca, bc, cb}. Anzahl = 3 · 2 = 6.
7.2.3
Bijektive Funktionen
Hilfssatz 7.22 Seien A, B zwei Mengen mit n Elementen. Dann ist jede
injektive Funktion A → B sogar bijektiv.
Beweis: Sei f eine injektive Abbildung A → B. Durch Einschränkung des
Bildbereichs erhalten wir eine bijektive Funktion f : A → f (A) ⊂ B. f (A)
ist also gleichmächtig mit A, d.h. f (A) ist eine n-elementige Teilmenge der
n-elementigen Menge B, also muss f (A) = B gelten, d.h. f ist auch surjektiv.
Satz 7.21 mit k = n ergibt daher:
Satz 7.23 Seien A, B zwei (eventuell gleiche) Mengen mit n ≥ 1 Elementen.
Dann gibt es genau n! bijektive Abbildungen A → B.
Für A = In und |B| = n entsprechen die bijektiven Abbildungen A → B
genau den Folgen (b1 , . . . , bn ), in denen jedes Element von B genau einmal
vorkommt, d.h. den möglichen Reihenfolgen der Elemente von B. Es gibt
also n! Möglichkeiten, die Elemente von B in einer Folge anzuordnen.
124
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Beispiel: Sei B = {x, y, z}. Dann gibt es 3! = 6 mögliche Reihenfolgen,
nämlich (x, y, z), (x, z, y), (y, x, z), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x).
Der Spezialfall A = B ist besonders wichtig:
Folgerung 7.24 Es gibt genau n! Permutationen von n Elementen, d.h.
|Sn | = n!.
(Siehe Kapitel 6.)
7.2.4
k-elementige Teilmengen und monotone Funktionen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Hilfssatz 7.25 Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge hängt nicht von der speziellen Gestalt dieser Menge ab.
Beweis: Sei B eine Menge mit n Elementen. Mit T (B, k) bzw. T (In , k) bezeichnen wir die Menge der k-elementigen Teilmengen von B bzw. In . Es gibt
eine bijektive Abbildung f : In → B, und mit deren Hilfe können wir auch
eine bijektive Abbildung T (In , k) → T (B, k) angeben, nämlich:
{j1 , . . . , jk } 7→ {f (j1 ), . . . , f (jk )}.
Die Bijektivität dieser Abbildung ist leicht einzusehen, und wir erhalten:
|T (B, k)| = |T (In , k)| für jede beliebige n-elementige Menge B.
Die folgende Definition ist somit sinnvoll:
Definition 7.26 Seien k, n ∈ N0 . Dann bezeichnen wir mit
der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.
¡n¢
k
die Anzahl
(”Kombinationen ohne Wiederholung”, ”unordered selections without
repetition”)
¡ ¢
¡ ¢
Bemerkung: nk wird ”n über k” gesprochen (”n choose k”). Die Zahlen nk
werden auch Binomialkoeffizienten (”binomial coefficients”) genannt.
7.2. ANZAHL VON FUNKTIONEN UND TEILMENGEN
125
In Analogie zu dieser Bezeichnungsweise wird die
aller k-elementigen
¡BMenge
¢
Teilmengen einer Menge B manchmal auch mit k bezeichnet. Wir könnten
also schreiben:
¯µ ¶¯ µ ¶
¯ B ¯
|B|
¯
¯
¯ k ¯= k .
¡ ¢
Bemerkung 7.27 nk ist auch gleich der Anzahl der 0-1-Folgen der Länge
n, welche genau k Einsen enthalten. (Vgl. Bemerkung 7.20.)
¡ ¢
Für einige Werte von k ist nk sehr einfach:
¡ ¢
¡n¢
= 1, nn = 1, (”Anfangswerte”)
0
¡n¢
= n,
1
¡n¢
= 0 für k > n.
k
¡ ¢
Manchmal definiert man zusätzlich nk := 0 für k < 0.
Da jede Teilmenge durch ihr Komplement eindeutig bestimmt ist, gibt es
genau so viele k-elementige Teilmengen wie (n − k)-elementige, d.h.:
µ ¶ µ
¶
n
n
=
.
k
n−k
Die Summe der Anzahlen aller k-elementigen Teilmengen von In für k ∈
{0, . . . , n} ist nichts anderes als die Anzahl aller Teilmengen von In , und
daher gilt:
n µ ¶
X
n
= 2n .
k
k=0
Satz 7.28 Für n > k > 0 gilt folgende Rekursionsformel:
µ ¶ µ
¶ µ
¶
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k−1
k
Beweis: Sei |B| = n und b ein (festes) Element von B. Wir zerlegen die
Menge T (B, k) aller k-elementigen Teilmengen von B folgenderweise in zwei
Teile: T (B, k) = M1 ∪ M2 , mit
M1 := {S ∈ T (B, k) | b ∈ S} und M2 := {S ∈ T (B, k) | b ∈
/ S}.
126
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Jeder Teilmenge S ∈ M1 entspricht umkehrbar eindeutig eine (k¡ − 1)¢
elementige Teilmenge von B \ {b}, nämlich S \ {b}. Daher ist |M1 | = n−1
.
k−1
M2 ist ¡gleich
¢ der Menge aller k-elementigen Teilmengen von B \ {b}, also
n−1
|M2 | = k .
Wegen M1 ∩ M2 = ∅ (und Satz 7.14) folgt die Behauptung.
¡ ¢
Mit dieser Rekursionsformel können wir im Prinzip nk für beliebige Werte
von n und k (mit 0 ≤ k ≤ n) berechnen. Man kann dazu folgendes Schema
verwenden (”Pascal’sches Dreieck”):
¡0¢
¡1¢ 0 ¡1¢
¡2¢ 0 ¡2¢ 1 ¡2¢
¡3¢ 0 ¡3¢ 1 ¡3¢ 2 ¡3¢
0
1
2
3
usw..
In jeder Zeile ist das erste und letzte Element = 1, und jedes andere Element
ergibt sich nach dem Satz durch Addition der schräg links und rechts darüber
stehenden Elemente. So erhält man folgende Werte:
1
1
1
1
1
usw., z.B.
¡5¢
2
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
= 4 + 6 = 10.
(Blaise Pascal (1623 - 1662) trug u.a. Wesentliches zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei.)
Es gibt noch eine andere Berechnungsmöglichkeit:
Satz 7.29 Für 0 ≤ k ≤ n gilt:
µ ¶
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n(n − 1) · · · (k + 1)
n
n!
=
=
.
=
(n − k)! k!
k!
(n − k)!
k
n!
. Da bn0 = bnn = 1 (Anfangswerte), genügt es zu
Beweis: Sei bnk := (n−k)!
k!
¡ ¢
zeigen, dass die bnk dieselbe Rekursionsbedingung wie die nk erfüllen:
bn−1,k−1 + bn−1,k =
(n−1)!
(n−k)! (k−1)!
+
(n−1)!
(n−1−k)! k!
=
(n−1)! k
(n−k)! k!
+
(n−1)! (n−k)
(n−k)! k!
=
7.2. ANZAHL VON FUNKTIONEN UND TEILMENGEN
=
(n−1)! (k+n−k)
(n−k)! k!
127
= bnk .
Bemerkung: Der dritte und vierte Ausdruck in obigem Satz erfordern weniger
Rechenoperationen. Der dritte ist für k ≤ n/2, der vierte für k ≥ n/2 zu
bevorzugen. Der dritte Ausdruck liefert außerdem auch für k > n den richtigen Wert, nämlich 0.
Der Name ”Binomialkoeffizienten” wird durch folgenden Satz verständlich:
Satz 7.30 (Binomischer Lehrsatz) Für n ∈ N0 und x, y ∈ R gilt:
n µ ¶
X
n k n−k
n
x y .
(x + y) =
k
k=0
Bemerkung: Diese Formel gilt auch für x, y aus einem beliebigen kommutativen Ring mit Einselement (siehe Kapitel 9.3).
Beweis mit Induktion:
P0 ¡0¢ k 0−k
n = 0:
= 1 · x0 y 0 = 1 = (x + y)0 .
k=0 k x y
n → n + 1:
(x + y)n+1 = (x + y)n (x + y) =
(nach Induktionsvoraussetzung)
¡Pn ¡n¢ k n−k ¢
P ¡ ¢
P ¡ ¢
=
(x + y) = nk=0 nk xk+1 y n−k + nk=0 nk xk y n+1−k =
k=0 k x y
(bei der ersten Summe k durch k − 1 ersetzen)
¡ n ¢ k n+1−k Pn ¡n¢ k n+1−k
P
= n+1
+ k=0 k x y
=
k=1 k−1 x y
(ersten Summanden der 2. Summe und letzten Summanden der 1. Summe
getrennt schreiben)
P ¡¡ n ¢ ¡n¢¢ k n+1−k
= x0 y n+1 + nk=1 k−1
+ xn+1 y 0 =
+ k x y
(nach der Rekursionsformel)
P ¡ ¢ k n+1−k
Pn+1 ¡n+1¢ k n+1−k
n+1 0
= x0 y n+1 + nk=1 n+1
y
+
x
y
=
.
x
x y
k=0
k
k
Folgerung 7.31 Für n ∈ N gilt
µ ¶
n
X
k n
= 0.
(−1)
k
k=0
128
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Beweis: 0 = 0n = (−1 + 1)n =
Pn
k=0
¡n¢
¡ ¢
P
(−1)k 1n−k = nk=0 (−1)k nk .
k
Wenn man in analoger Weise (1 + 1)n nach dem Binomischen
ent¢
P ¡ Lehrsatz
wickelt, erhält man einen zweiten Beweis für die Formel nk=0 nk = 2n (siehe
vor Satz 7.28).
Anzahl der streng monotonen Funktionen
Definition 7.32 Seien (A, v), (B, ≤) geordnete Mengen. Eine Funktion f :
A → B heißt monoton oder monoton wachsend (”increasing”), wenn
∀x, y ∈ A : x v y → f (x) ≤ f (y).
f heißt streng monoton (wachsend) (”strictly increasing”), wenn
∀x, y ∈ A : x @ y → f (x) < f (y).
Satz 7.33 Seien Ik und In mit der natürlichen Ordnung versehen. Die streng
monotonen Funktionen Ik → In entsprechen umkehrbar eindeutig den
k-elementigen
Teilmengen von In . Die Anzahl dieser Funktionen ist daher
¡ ¢
gleich nk .
Beweis: Sei {x1 , . . . , xk } eine k-elementige Teilmenge von In . Da es bei der
Beschreibung einer Menge nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt,
können wir annehmen, dass die xi der Größe nach geordnet sind, d.h.
x1 < x2 < . . . < xk . Das k-Tupel (x1 , . . . , xk ) entspricht daher der streng
monoton wachsenden Funktion Ik → In : j 7→ xj . Umgekehrt gehört zu
jeder streng monoton wachsenden Funktion g : Ik → In eine eindeutige
k-elementige Teilmenge von In , nämlich {g(1), g(2), . . . , g(k)}.
Bemerkung: Ähnlich wie bei Hilfssatz 7.25 sieht man leicht, dass man statt
Ik bzw. In beliebige totalgeordnete Mengen A, B mit k bzw. n Elementen
nehmen kann.
Anzahl der (nicht notwendig streng) monotonen Funktionen
Satz 7.34 Die monotonen Funktionen Ik → In entsprechen umkehrbar eindeutig den 0-1-Folgen der Länge n − 1 + k, welche aus n − 1 Nullen und k
Einsen bestehen.
7.2. ANZAHL VON FUNKTIONEN UND TEILMENGEN
129
Bemerkung: Hier kann k > n sein!
Beweis des Satzes: Eine monotone Funktion Ik → In kann in eindeutiger
Weise definiert werden, indem man angibt, wie oft jedes Element von In als
Funktionswert vorkommt. Sagen wir, i kommt ri -mal vor (für i = 1, . . . , n).
Dann entspricht die betrachtete Funktion der Folge
(1, . . . , 1, 2, . . . , 2, . . . , n, . . . , n)
mit r1 Einsen, r2 Zweien, usw., wobei ri natürlich auch = 0 sein kann. Diese
Folge entspricht aber andererseits umkehrbar eindeutig einer 0-1-Folge der
Form (1, . . . 1, 0, 1, . . . , 1, 0, . . . . . . , 0, 1, . . . , 1), wobei zuerst r1 Einsen
stehen, dann eine Null, dann r2 Einsen, dann wieder eine Null, usw.. Das
sind aber genau die im Satz angegebenen 0-1-Folgen. (Die Nullen haben hier
gewissermaßen die Bedeutung von Trennungsstrichen.)
Wir erhalten daher (siehe Bemerkung 7.27):
Satz 7.35 Die Anzahl der monotonen Funktionen Ik → In beträgt
¡n−1+k¢
.
k
Bemerkung: Wir könnten auch sagen: Anzahl der monoton wachsenden Folgen der Länge k, welche aus n gegebenen Zahlen gebildet werden können.
(Kombinationen mit Wiederholung, ”unordered selections with repetition”)
Beispiele:
1) Wir würfeln gleichzeitig mit drei ganz gleich¡aussehenden
Wie
¢ ¡8¢ Würfeln.
6−1+3
8·7·6
viele verschiedene Ergebnisse gibt es? Antwort:
= 3 = 3·2 = 56.
3
2) Wie groß ist die Anzahl a(k, n) der Folgen (n1 , n2 , . . . , nk ) mit ni ∈ N0
bei gegebener Summe n1 + . . . + nk = n? Diese Folgen kann man bijektiv
den monoton wachsenden Folgen der Länge k − 1 von Zahlen aus {0, . . . , n}
zuordnen:
(n1 , n2 , . . . , nk ) 7→ (n1 , n1 + n2 , . . . , n1 + n2 + . . . + nk−1 ).
Wir ordnen also jeder Folge ihre Partialsummenfolge zu. Die Umkehrabbildung sieht so aus: (s1 , s2 , . . . , sk−1 ) 7→ (s1 , s2 − s1 , . . . , sk−1 − sk−2 , n − sk−1 ).
¡
¢ ¡n+k−1¢
Es folgt: a(k, n) = (n+1)−1+(k−1)
= k−1 .
k−1
130
7.2.5
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Surjektive Funktionen und Partitionen
Der Begriff ”Partition” wurde bereits in Kapitel 3.3 erklärt. Wenn eine Partition P von A aus k Teilmengen besteht, so sagen wir: P ist eine Partition
von A in k Teile.
Definition 7.36 Die Anzahl der Partitionen einer n-elementigen Menge in
k Teile bezeichnen wir mit S(n, k).
Bemerkung: Wir könnten auch sagen: Anzahl der Partitionen von In in k
Teile. (Vgl. Hilfssatz 7.25.)
Beispiele:
a) S(n, 1) = 1, S(n, n) = 1 (”Anfangswerte”).
b) Für n ≥ 2 ist S(n, 2) gleich der halben Anzahl der echten nicht-leeren
Teilmengen von In , das ist 2n−1 −1, denn jede solche Teilmenge bildet zusammen mit ihrem Komplement eine Partition in 2 Teile. Konkret gibt es z.B.
22 − 1 = 3 Partitionen von {1, 2, 3} in 2 Teile: {{1}, {2, 3}}, {{2}, {1, 3}},
{{3}, {1, 2}}.
¡ ¢
c) S(n, n − 1) = n2 : Bei einer Partition in n − 1 Teile besteht genau ein
Teil aus 2 Elementen, und dieser Teil bestimmt die Partition eindeutig. Die
Anzahl solcher Partitionen ist daher gleich der Anzahl der 2-elementigen
Teilmengen.
d) Für k > n ist S(n, k) natürlich = 0.
e) S(n, 0) = 0 für alle n ∈ N. S(0, 0) = 1. (Eine Partition der leeren Menge
in 0 Teile ist nichts anderes als wiederum die leere Menge.)
Die Zahlen S(n, k) heißen Stirling’sche Zahlen 2. Art (nach James
Stirling, 1692 - 1770). (Bezüglich der Stirling’schen Zahlen erster Art siehe
Übungsaufgabe 12.)
Jede surjektive Funktion A → B = {b1 , . . . , bk } liefert eine Partition von A
in k Teile, nämlich {f −1 ({b1 }), . . . , f −1 ({bk })} .
(Wegen der Surjektivität von f sind die f −1 ({bi }) sämtlich nicht leer.)
Allerdings wird durch eine Partition die zugehörige surjektive Funktion nicht
eindeutig bestimmt: Die Reihenfolge der Partitionsmengen liegt ja nicht fest.
Da es k! solche Reihenfolgen gibt, folgt schon der nachstehende Satz.
7.2. ANZAHL VON FUNKTIONEN UND TEILMENGEN
131
Satz 7.37 Sei |A| = n und |B| = k. Dann gibt es genau k! S(n, k) surjektive
Funktionen A → B.
(Achtung: Die Rollen von n und k sind hier gegenüber den vorher diskutierten
Funktionen vertauscht. Das entspricht der üblichen Bezeichnungsweise.)
Zur Berechnung der S(n, k) gibt es eine Rekursionsformel, die ähnlich wie
bei den Binomialkoeffizienten aussieht:
Satz 7.38 Für n > k > 1 gilt
S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k S(n − 1, k).
Beweis: Wir bezeichnen die Menge aller Partitionen von A in k Teile mit
P (A, k). Sei |A| = n und a ein (festes) Element von A. Wir gehen ähnlich
wie bei Satz 7.28 vor und zerlegen P (A, k) in zwei Teile: M1 := Menge aller
Partitionen von A in k Teile, sodass ein Teil gleich {a} ist, und M2 := Menge
aller übrigen Partitionen von A in k Teile. Jede Partition aus M1 entspricht
genau einer Partition von A\{a} in k−1 Teile, daher ist |M1 | = S(n−1, k−1).
Die Partitionen aus M2 erhält man, indem man A \ {a} in k Teile zerlegt und
dann a zu einem dieser Teile dazu gibt. Dafür gibt es jeweils k Möglichkeiten.
Daher ist |M2 | = kS(n − 1, k), und der Satz ist bewiesen.
Die Stirling’schen Zahlen kann man also wieder mit einer Art Pascal-Dreieck
berechnen. Dabei ist zu beachten, dass man hier mit 1 zu zählen beginnt,
und nicht mit 0 wie bei den Binomialkoeffizienten.
1
1
1
1
1
1
3
7
15
1
6
25
1
10
1
usw., also z.B. S(6, 3) = 15 + 3 · 25 = 90. Die Anzahl der surjektiven Funktionen I6 → I3 beträgt daher 3! · 90 = 540.
Es gibt auch eine ”geschlossene” Formel für die Stirling’schen Zahlen, die
allerdings etwas komplizierter als bei den Binomialkoeffizienten ist:
Satz 7.39
µ ¶
k−1
1 X
r k
S(n, k) =
(k − r)n .
(−1)
r
k! r=0
132
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Man kann diese Formel ähnlich wie Satz 7.29 beweisen, indem man zeigt,
dass die rechte Seite die Anfangswerte und die Rekursionsgleichung erfüllt.
Ein durchsichtigerer Beweis wird in Abschnitt 7.4.2 besprochen.
Beispiele:
1) Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Geschenke so auf 4 Personen zu verteilen,
dass jede mindestens ein Geschenk bekommt?
Antwort: 4! · S(6, 4) = 24 · 65 = 1560.
2) Wie viele Äquivalenzrelationen mit 4 Klassen gibt es auf einer Menge mit
8 Elementen? Antwort: S(8, 4) = 1701.
7.2.6
Multinomialkoeffizienten
Angenommen, k Zahlen n1 , . . . , nk ∈ N0 sind gegeben, und n = n1 + . . . + nk .
Wie viele Möglichkeiten gibt es, n (unterscheidbare) Objekte in k Schachteln
zu geben, sodass in der 1. Schachtel n1 Objekte liegen, in der 2. Schachtel n2 ,
usw.? Wir können die n Objekte in irgendeine Reihenfolge bringen und dann
die ersten n1 in die erste Schachtel legen, die nächsten n2 in die 2. Schachtel,
usw.. Von den insgesamt n! Reihenfolgen liefern diejenigen dasselbe Ergebnis,
die sich nur durch eine Permutation der ersten n1 Objekte unterscheiden,
ebenso jene, die sich nur durch eine Permutation der nächsten n2 Objekte
unterscheiden, usw..
In der Sprache der Funktionen ausgedrückt, ergibt sich somit folgender Satz.
Satz 7.40 Seien n1 , . . . , nk ∈ N0 und n = n1 + . . . + nk . Es gibt genau
n!
n1 ! n2 ! · · · nk !
Abbildungen f : In → Ik , sodass |f −1 ({j})| = nj für alle j ∈ Ik .
Diesen Satz kann man auch so interpretieren: Sei (x1 , . . . , xn ) eine Folge von
Zahlen aus Ik , und nj gebe an, wie oft die Zahl j in dieser Folge vorkommt.
Dann gibt es genau n1 ! n2n!! ···nk ! verschiedene Permutationen der Indizes, die
zu verschiedenen Folgen führen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch
von Permutationen mit Wiederholung.
Eine eng verwandte Frage ist die nach der Anzahl der Partitionen einer
n-elementigen Menge in k Teile mit gegebenen Kardinalzahlen n1 , . . . , nk .
7.2. ANZAHL VON FUNKTIONEN UND TEILMENGEN
133
Der Unterschied besteht darin, dass es nicht auf die Reihenfolge der Teile
ankommt, soferne diese gleich viele Elemente haben. Man muss also durch die
Anzahl der Permutationen von Ik dividieren, welche das k-Tupel (n1 , . . . , nk )
unverändert lassen, d.h. durch m1 ! · · · mn !, wobei mi angibt, wie oft i in
diesem k-Tupel vorkommt.
Definition 7.41 Für n1 , . . . , nk ∈ N0 und n = n1 + . . . + nk ,
¶
µ
n!
n
:=
.
n1 ! n2 ! · · · nk !
n1 , . . . , nk
Für k = 2 sind das die Binomialkoeffizienten, denn dann ist n2 = n − n1 .
Diese Zahlen heißen daher Multinomialkoeffizienten, und es gilt analog
zu Satz 7.30:
µ
¶
X
n
n
(x1 + . . . + xk ) =
xn1 1 · · · xnk k .
n1 , . . . , nk
n1 +...+nk =n, ni ≥0
¡
¢
Die Anzahl der Summanden auf der rechten Seite ist gleich n+k−1
. (Siehe
k−1
zweites Beispiel nach Satz 7.35.)
Bemerkung:
µ
n
n1 , . . . , nk
¶
µ ¶µ
¶ µ
¶
n
n − n1
n − (n1 + . . . + nk−2 )
=
···
n2
nk−1
n1
Das sieht man sofort, wenn man die Binomialkoeffizienten auf der rechten
Seite gemäß Satz 7.29 durch Faktorielle ausdrückt. Damit erhalten wir z.B.
folgende Entwicklung eines Trinoms:
¶
n X
n−k µ ¶µ
X
n n − k k j n−k−j
n
(x + y + z) =
x yz
.
k
j
k=0 j=0
Beispiele:
1) Wir wollen 7 gleich große Objekte in 3 Schachteln legen, wobei in der ersten
Schachtel 2 Objekte
¡
¢ Platz haben, in der zweiten nur eines und in der dritten
vier. Es gibt 2, 71, 4 = 2 7!· 4! = 105 Möglichkeiten. Das ist auch die Anzahl der
verschiedenen Anordnungen der Elemente der Folge (1, 1, 2, 3, 3, 3, 3).
2) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 20 verschiedene Spielkarten
auf 4 Spieler zu verteilen, sodass jeder Spieler 5 Karten bekommt? Die
20!
Antwort lautet: (5!)
4 = 11 732 745 024.
3) Wie viele Äquivalenzrelationen mit 4 gleichmächtigen (also 2-elementigen)
8!
Klassen gibt es auf einer Menge mit 8 Elementen? Antwort: 4! (2!)
4 = 105.
134
7.3
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Anwendungsbeispiel: Fehlerkorrigierende
Codes
In der Codierungstheorie geht es um die Übertragung von Informationen,
wobei auf dem Übertragungsweg (”channel”) im Allgemeinen gewisse Störungen auftreten. Man möchte nun die einzelnen Informationen so codieren, d.h.
durch gewisse Zeichenketten darstellen, dass sie trotz der durch die Störungen
verursachten Fehler möglichst eindeutig rekonstruiert werden können.
Wir gehen von einem Alphabet A mit q Zeichen aus und nehmen an, dass alle
zur Codierung verwendeten Zeichenketten die gleiche Länge n haben, d.h. An
ist die Menge der betrachteten Worte. Damit eine Fehlerkorrektur möglich
ist, dürfen wir natürlich nicht alle diese Worte zur Codierung verwenden,
sondern müssen darauf achten, dass sich die Codeworte ”deutlich” voneinander unterscheiden. Um das zu präzisieren, definieren wir den Abstand zweier
Worte folgenderweise:
Definition 7.42 Seien x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ An . Dann heißt
d(x, y) := | {i ∈ In | xi 6= yi } |
die Hamming-Distanz von x und y.
(Richard Wesley Hamming (1915-1998, USA) wurde vor allem durch seine
1950 publizierte Arbeit über ”Error detecting and error correcting codes”
bekannt.)
d(x, y) gibt also an, an wie vielen Stellen sich x und y unterscheiden.
Bemerkung 7.43 Die Hamming-Distanz ist eine Metrik, d.h. für alle x, y, z
aus An gilt:
1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie),
3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung).
Beweis: 1) und 2) sind trivial. 3) sieht man z.B. so: Aus
xi 6= zi ⇒ xi 6= yi ∨ yi 6= zi
folgt {i ∈ In | xi 6= zi } ⊂ {i ∈ In | xi 6= yi } ∪ {i ∈ In | yi 6= zi }.
In Analogie zu den gewöhnlichen Kugeln im R3 definiert man:
7.3. ANWENDUNGSBEISPIEL: FEHLERKORRIGIERENDE CODES135
Definition 7.44 Für c ∈ An heißt K(c, r) := { x ∈ An | d(x, c) ≤ r } Kugel
(”ball”, manchmal auch ”sphere”) mit Mittelpunkt c und Radius r.
Sei C ⊂ An die Menge der Codeworte (kurz: Code). Wenn bei der Übertragung eines Codeworts c ∈ C ein Wort w mit d(c, w) = s entsteht, so sagen
wir: ”w enthält s Fehler.”. K(c, r) besteht also aus den Worten, die bezüglich
c höchstens r Fehler enthalten. Wesentlich ist nun die folgende Beobachtung:
Bemerkung 7.45 Sei r ∈ N und C ⊂ An . Wenn je zwei Kugeln mit Radius
r und Mittelpunkt ∈ C disjunkt sind, gibt es zu jedem Wort w mit höchstens
r Fehlern genau ein c ∈ C mit d(c, w) ≤ r. Das heißt, für jedes Wort mit
höchstens r Fehlern kann das entsprechende Codewort eindeutig rekonstruiert
werden.
Eine Menge von paarweise disjunkten Kugeln heißt auch (Kugel-)Packung
(”sphere packing”).
Bemerkung 7.46 Die Kugeln mit Radius r und Mittelpunkten aus C bilden
genau dann eine Packung, wenn für je zwei Elemente u, v ∈ C mit u 6= v
gilt:
d(u, v) ≥ 2r + 1.
Beweis: Wir zeigen die Äquivalenz der Negationen der beiden fraglichen Aussagen.
a) Angenommen, es gibt u, v ∈ C mit u 6= v, sodass d(u, v) ≤ 2r. Dann
können wir o.B.d.A. annehmen, dass sich u und v höchstens an den ersten
2r Stellen unterscheiden. Sei nun

für 1 ≤ i ≤ r,
 ui
vi
für r + 1 ≤ i ≤ 2r,
wi :=

ui = vi
für 2r < i ≤ n.
Dann ist d(u, w) ≤ r und d(v, w) ≤ r, also K(u, r) ∩ K(v, r) 6= ∅.
b) Angenommen, die Kugeln bilden keine Packung, d.h., es gibt u, v ∈ C mit
u 6= v und ein w ∈ An , sodass d(u, w) ≤ r und d(v, w) ≤ r. Dann folgt aber
aus der Dreiecksungleichung d(u, v) ≤ 2r.
Es stellt sich nun die Frage, wie man zu gegebenem r vorgehen soll, damit
man möglichst viele Codeworte in der Menge An ”unterbringen” kann, sodass
136
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
die entsprechenden Kugeln mit Radius r paarweise disjunkt sind. Das ist
ein zentrales Thema der Codierungstheorie, welches wir hier nicht eingehend
behandeln können. Wir überlegen uns nur eine obere Schranke für die Anzahl
m der Codeworte. Dadurch hat man dann eine Vergleichsmöglichkeit, um die
Güte eines konkreten Codes einigermaßen abzuschätzen.
Wenn wir wissen, wie viele Elemente eine Kugel K(c, r) hat, erhalten wir eine
derartige Schranke, denn für eine Kugelpackung aus m Kugeln mit Radius r
gilt klarerweise m · |K(c, r)| ≤ |An | = q n , also
m≤
qn
.
|K(c, r)|
Sei F (c, k) = { x ∈ An | d(x, c) = k } die Menge der Worte, die gegenüber c
genau k Fehler enthalten. Jedes Wort aus F (c, k) ist durch 2 Dinge umkehrbar
eindeutig bestimmt:
a) die k Stellen, an denen die Fehler auftreten; diese entsprechen einer kelementigen Teilmenge {i1 , . . . , ik } von In ;
b) die k fehlerhaften Zeichen an diesen Stellen; diese entsprechen einer Folge
(x1 , . . . , xk ) mit xj ∈ A \ {cij }.
F (c, k) ist daher gleichmächtig zu der Menge der geordneten Paare (T, Z)
k
¡ ¢
Q
mit T ∈ Ikn und Z aus dem cartesischen Produkt
(A \ {cij }), d.h.
j=1
¯µ ¶
¯ µ ¶
k
¯ I
¯
Y
n
¯ n
¯
(q − 1)k .
|F (c, k)| = ¯
× (A \ {cij })¯ =
¯ k
¯
k
j=1
K(c, r) =
r
S
k=0
F (c, k), die F (c, k) mit k ∈ {0, 1, . . . , r} sind paarweise dis-
junkt, also folgt: |K(c, r)| =
also:
r
P
k=0
|F (c, k)| =
r ¡ ¢
P
n
(q − 1)k . Wir erhalten
k
k=0
qn
m≤ P
.
r ¡ ¢
n
k
(q − 1)
k
k=0
Im einfachsten, aber doch wichtigen Fall r = 1 und q = 2 (also z.B. A =
2n
{0, 1}) ergibt sich: m ≤ 1+n
. Diese Schranke könnte also das exakte Maximum
7.4. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP
137
von m angeben, wenn 1+n eine Zweierpotenz ist, also z.B. n = 3 oder n = 7.
Für n = 3 ergibt sich m ≤ 2, und diese Schranke kann trivial erreicht werden,
indem man die beiden Codeworte (0, 0, 0) und (1, 1, 1) nimmt. Man kann nun
zeigen, dass es für jedes n der Form 2s − 1 mit s ∈ N, s ≥ 2, tatsächlich
2n
einen Code mit m = 1+n
Worten gibt (siehe z.B. [31]).
Für n = 7 gibt die nachstehende Tabelle einen solchen Code an.
0000000
1110000
1001100
0111100
0101010
1011010
1100110
0010110
1101001
0011001
0100101
1010101
1000011
0110011
0001111
1111111
Dieser Code besteht genau aus den Lösungsvektoren des folgenden linearen
Gleichungssystems modulo 2:
x4 + x5 + x6 + x7 ≡ 0
x2 + x3 + x6 + x7 ≡ 0
x1 + x3 + x5 + x7 ≡ 0
Auch für beliebige Werte von s erhält man solche Codes als Lösungsmengen
von linearen Gleichungssystemen, sie heißen daher lineare Codes.
7.4
Das Einschluss-Ausschluss-Prinzip
Wenn A, B zwei nicht disjunkte Mengen sind, dann gilt
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|,
da bei |A| + |B| die Elemente des Durchschnitts doppelt gezählt werden.
Wie lautet eine analoge Formel für mehr als zwei Mengen? Für drei Mengen
A, B, C werden bei |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| die Elemente
des Durchschnitts A ∩ B ∩ C zuerst dreimal gezählt und dann wieder dreimal
weggezählt, sie müssen daher am Ende nochmals dazugezählt werden:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
138
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Allgemein gilt folgende Formel (auch Poincaré-Formel genannt, nach Henri
Poincaré (1854 - 1912), der auf vielen Gebieten der Mathematik und Physik
Hervorragendes geleistet hat):
Satz 7.47 (Siebprinzip, Einschluss-Ausschluss-Prinzip):
¯n
¯
n
¯[ ¯
X
¯
¯
n−1
(−1)k−1 αk ,
¯ Ai ¯ = α1 − α2 + α3 − . . . + (−1) αn =
¯
¯
i=1
i=1
wobei αk die Summe der Kardinalzahlen der Durchschnitte von je k der Mengen Ai ist.
D.h. also: α1 =
n
P
i=1
und allgemein
|Ai |, α2 =
P
1≤i<j≤n
αk =
wobei
¡In ¢
|Ai ∩ Aj |,
X
M∈(Ikn )
¯
¯
¯\ ¯
¯
¯
Ai ¯ ,
¯
¯
¯
i∈M
wieder die Menge aller k-elementigen Teilmengen von In bedeutet.
S
Beweis: Sei x ein beliebiges Element aus ni=1 Ai . Wir überlegen uns, dass
x auf der rechten Seite der Poincaré-Formel insgesamt genau einmal gezählt
wird. Angenommen, x ist in genau m Mengen Ai enthalten, sagen wir in
Ai1 , . . . , Aim . Dann wird x bei α1 genau m-mal gezählt. Bei αk wird¡x ¢so oft
gezählt, als es k-elementige Teilmengen von {i1 , . . . , im } gibt, also m
-mal.
k
Insgesamt wird x daher so oft gezählt:
µ ¶
m
X
k−1 m
.
(−1)
k
k=1
k
Multipliziert
die Formel
¡m¢ Pman
¡ ¢ von Folgerung 7.31 mit (−1), so erhält man
m
k−1 m
(−1) 0 + k=1 (−1)
= 0. Die fragliche Summe hat also immer den
k
Wert 1, was zu zeigen war.
7.4.1
Fixpunktfreie Permutationen
Als erstes Beispiel für die Anwendung des Siebprinzips behandeln wir die
Frage nach der Anzahl von Permutationen, die keinen Fixpunkt haben (engl.
”derangements”). Sei Sn die Menge aller Permutationen von In , und für
7.4. DAS EINSCHLUSS-AUSSCHLUSS-PRINZIP
139
jedes i ∈ In sei Ai die Menge derjenigen Permutationen p, welche i fest lassen,
d.h. p(i) = i. Für die Anzahl dn der Permutationen aus Sn , welche keinen
Fixpunkt haben, gilt daher:
¯
¯n
¯[ ¯
¯
¯
dn = |Sn | − ¯ Ai ¯ = n! − α1 + α2 − . . . + (−1)n αn ,
¯
¯
i=1
P
mit αk =
|PM | , wobei PM die Menge der Permutationen von In
M∈(Ikn )
¡In ¢
bezeichnet, welche die Elemente aus M fest lassen. Für jedes¡ M
∈
gibt
k
¢
.
es genau (n−k)! solche Permutationen, und daher insgesamt nk (n−k)! = n!
k!
Wir erhalten somit:
µ
¶
n
X
1
1
1
n 1
dn = n! 1 − + − . . . + (−1)
(−1)k .
= n!
1! 2!
n!
k!
k=2
Man kann leicht nachprüfen, dass die Zahlen dn folgende Rekursion erfüllen:
dn = (n − 1)(dn−1 + dn−2 ).
Zusammen mit d1 = 0 und d2 = 1 ist dadurch die Folge (dn ) eindeutig
charakterisiert, ähnlich wie die Fibonacci-Folge:
(dn ) = (0, 1, 2, 9, 44, 265, . . .)
7.4.2
Ein anderer Beweis der Formel für die
Stirling’schen Zahlen 2. Art
Sei A = {a1 , . . . , an } und B = {b1 , . . . , bk }. Für i ∈ {1, . . . , k} bezeichnen wir
mit Fi die Menge aller Abbildungen A → B, bei denen bi nicht im Bild von
A vorkommt, d.h.
Fi := { f : A → B | bi ∈
/ f (A) }.
Dann ist F1 ∪. . .∪Fk die Menge aller nicht surjektiven Abbildungen A → B.
r
T
T
Für eine r-elementige Teilmenge M = {i1 , . . . , ir } von Ik ist
Fi =
Fij
i∈M
j=1
nichts anderes als die Menge aller
¡ ¢ Abbildungen A → B \ {bi1 , . . . , bir }, hat
also (k − r)n Elemente. Da es kr solche Teilmengen gibt, folgt
¯
¯
X ¯¯ \ ¯¯ µk¶
(k − r)n .
Fi ¯ =
αr :=
¯
¯
¯
r
i∈M
M∈T (Ik ,r)
140
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Die Anzahl der nicht surjektiven Abbildungen A → B ist daher nach dem
Siebprinzip gleich
µ ¶
k
X
r−1 k
(−1)
(k − r)n .
r
r=1
Subtrahieren wir diesen Ausdruck von der Anzahl kn aller Abbildungen von
A nach B, so erhalten wir die in Satz 7.39 angegebene Formel.
7.5
Elementare Wahrscheinlichkeiten
7.5.1
Ereignisse
Die beschriebenen Zählmethoden sind insbesondere für die Wahrscheinlichkeitsrechnung von Bedeutung. Da eine eingehende Behandlung der Wahrscheinlichkeitsrechnung weit über den Rahmen dieses Buches hinausgeht,
wird hier nur kurz die Beziehung zwischen Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung erklärt. Für alles Weitere wird auf Vorlesungen und Bücher
über Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Stochastik verwiesen, z.B. [5].
Es geht um Vorgänge oder Experimente, bei denen der Zufall eine wesentliche
Rolle spielt. Wir sprechen von Zufallsexperimenten. Ein Musterbeispiel
dafür ist das Würfeln. Da gibt es die 6 möglichen ”Ergebnisse” oder ”Ausfälle” (”outcomes”) 1,2,3,4,5,6. Man kann sich nun zum Beispiel dafür interessieren, ob man eine gerade Zahl würfelt, d.h. ob das Ergebnis aus der
Menge {2,4,6} ist. Das ist ein Beispiel für etwas, was man ”zufälliges Ereignis” nennt.
Definition 7.48 Sei Ω die Menge der möglichen Ausfälle eines Zufallsexperiments. Wenn Ω eine endliche Menge ist (und nur dafür interessieren wir
uns hier), versteht man unter einem Ereignis (”event”) eine beliebige Teilmenge von Ω. Die Menge Ω selbst heißt dann der Ereignisraum (”sample
space”) des Zufallsexperiments.
Beispiel: Wir würfeln gleichzeitig mit zwei Würfeln. Es gibt dann verschiedene
sinnvolle Möglichkeiten, den Ereignisraum zu definieren, z.B.:
a) Wir können die Menge aller Paare (i, k) mit i, k ∈ I6 als Ereignisraum
ansehen, also Ω = I26 . Typische Ereignisse wären dann etwa
{(i, k) ∈ Ω | k = 6}, {(i, k) ∈ Ω | i = k}, {(i, k) ∈ Ω | i + k = 7}.
7.5. ELEMENTARE WAHRSCHEINLICHKEITEN
141
b) Wenn man die Würfel nicht unterscheiden möchte, ist es unter Umständen
sinnvoll, die Menge aller Kombinationen mit Wiederholung von 2 Elementen
aus I6 als Ereignisraum zu nehmen (d.h. die Menge aller monotonen Funktionen I2 → I6 ).
c) Bei vielen Spielen kommt es nur auf die Summe der Augenzahlen an. Man
könnte also auch Ω = {2, 3, . . . , 12} setzen.
Vereinigung und Durchschnitt von Ereignissen
Wenn A und B zwei Ereignisse sind (also Teilmengen von Ω), so ist A ∪ B
das Ereignis, dass A oder B eintritt. Beim Würfeln mit einem Würfel könnte
z.B.
A = {2, 4, 6} (”gerade Augenzahl”)
und
B = {1, 2, 3}
(”Augenzahl ≤ 3”) sein.
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6} ist dann das Ereignis ”Augenzahl gerade oder ≤ 3”.
A ∩ B ist das Ereignis, dass A und B eintritt. In unserem Beispiel:
A ∩ B = {2}, ”Augenzahl gerade und ≤ 3”.
Wenn A ∩ B = ∅ ist, so bedeutet das, dass A und B einander ausschließen,
z.B. A wie oben und B = {1, 3, 5}, d.h. ”ungerade Augenzahl”. A und B
heißen dann disjunkte Ereignisse.
7.5.2
Wahrscheinlichkeiten
Wie kann man nun den Begriff ”Wahrscheinlichkeit” exakt definieren? Diese
Frage hat eine lange Geschichte und beinhaltet philosophische Probleme.
In der Mathematik hat sich bei diesem und anderen schwierigen Begriffen
folgende axiomatische Vorgangsweise bewährt: Man nimmt wichtige Eigenschaften, die der zu definierende Begriff B haben soll, und sagt dann im
Wesentlichen: Unter B versteht man irgendetwas, das diese Eigenschaften
hat. Man betrachtet dann eigentlich ein formales System (im Sinne von Kapitel 1.3), bei dem diese Eigenschaften als Axiome aufscheinen.
Im Falle des Begriffs ”Wahrscheinlichkeit” sieht das so aus: Unter der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E stellen wir uns etwas vor, das man nähe-
142
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
rungsweise dadurch bestimmen kann, dass man das betrachtete Zufallsexperiment sehr oft, sagen wir n-mal, wiederholt und dann die relative Häufigkeit
von E bestimmt. Die relative Häufigkeit von E ist gleich a(E)
, wobei a(E)
n
angibt, wie oft das Ereignis E eingetreten ist. Auf Grund dieser Vorstellung
kommen wir zu folgenden Annahmen:
a) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist eine Zahl aus dem Intervall
[0, 1].
b) Wenn A und B zwei disjunkte Ereignisse sind, ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass A oder B eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten
von A und B.
c) Wenn Ω die Menge aller möglichen Ergebnisse ist, dann ist es hundertprozentig sicher, dass sich ein Element aus Ω ergibt. Die Wahrscheinlichkeit
des ”sicheren” Ereignisses Ω wird daher gleich 1 gesetzt.
Das führt zu folgender Definition:
Definition 7.49 Sei Ω eine endliche Menge und P eine Abbildung P(Ω) →
[0, 1] mit den Eigenschaften
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) für disjunkte Ereignisse A, B ⊂ Ω,
und
P (Ω) = 1.
Dann nennt man P eine Wahrscheinlichkeit (”probability”) auf Ω.
(Statt ”Wahrscheinlichkeit” sagt man auch ”Wahrscheinlichkeitsmaß” oder
”Wahrscheinlichkeitsverteilung”.)
Das erste dieser beiden Axiome nennt man die Additivität von P. Durch
Induktion folgt daraus für paarweise disjunkte Ereignisse A1 , . . . , Ak :
!
Ãk
k
[
X
Ai =
P (Ai ).
P
i=1
i=1
Weiters folgt aus der Additivität P (Ω) = P (∅) + P (Ω), und daher
P (∅) = 0.
∅ nennt man auch das ”unmögliche” Ereignis.
7.5. ELEMENTARE WAHRSCHEINLICHKEITEN
143
Bemerkung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht man auch Wahrscheinlichkeiten auf unendlichen Mengen. Das erfordert aber einige Modifikationen, und zwar muss man einerseits im Allgemeinen die Ereignisse auf
einen geeigneten Teil der Potenzmenge von Ω einschränken und andererseits
die Axiome für eine Wahrscheinlichkeit durch die folgenden ersetzen:
S
P∞
P( ∞
A
)
=
i
i=1
i=1 P (Ai ) für paarweise disjunkte Ereignisse A1 , A2 , . . . ,
P (∅) = 0,
P (Ω) = 1.
Das erste dieser drei Axiome nennt man σ-Additivität. Auf Grund des zweiten
Axioms folgt daraus die gewöhnliche Additivität, indem man Ai = ∅ setzt
für alle i > k.
Bemerkung 7.50 Man kann die Wahrscheinlichkeit jedes (endlichen) Ereignisses berechnen, wenn man die Wahrscheinlichkeiten der einelementigen
Teilmengen von Ω (”Elementarereignisse”) kennt, denn auf Grund der
Additivität gilt:
k
X
P ({x1 , . . . , xk }) =
P ({xi }).
i=1
Auf ein und demselben Ereignisraum kann es verschiedene Wahrscheinlichkeiten geben. Z.B. wird man bei einem unverfälschten Würfel und einer
guten Versuchsdurchführung davon ausgehen, dass P ({k}) = 16 für jedes
k ∈ I6 . Ein Falschspieler wird aber einen Würfel bevorzugen, bei dem etwa
P ({6}) = 16 + 0.01 und dafür P ({1}) = 16 − 0.01 ist.
Im Allgemeinen ist es nicht leicht, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
zu bestimmen oder auch nur einigermaßen genau abzuschätzen. Die entscheidende Schwierigkeit besteht darin, die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse anzugeben. (Das ist ein typisches Thema der Statistik .)
Wir befassen uns daher nur mit dem einfachen aber wichtigen Fall, dass die
Gültigkeit der folgenden Voraussetzung angenommen wird:
Definition 7.51 Sei P eine Wahrscheinlichkeit auf Ω, und |Ω| = n. Wenn
1
für alle x ∈ Ω,
n
so sagen wir, ”P erfüllt die Laplace-Annahme” bzw. ”das zugrundeliegende
Experiment ist ein Laplace-Experiment”.
P ({x}) =
144
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
(Von Pierre Simon Laplace (1749-1827) stammen nicht nur grundlegende
Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, sondern auch zur Himmelsmechanik.)
Bemerkung 7.52 P erfüllt genau dann die Laplace-Annahme, wenn P ({x})
für alle x ∈ Ω denselben Wert hat.
Beweis: Sei Ω = {x1 , . . . , xn } und P ({x1 }) = . . . = P ({xn }) =: p. Dann gilt
(siehe Bemerkung 7.50):
P (Ω) =
n
X
i=1
P ({xi }) = np,
und daraus folgt wegen P (Ω) = 1 sofort p = n1 .
Die Laplace-Annahme bedeutet also, dass alle möglichen Ausgänge gleich
wahrscheinlich sind. Diese Annahme ist allerdings auch bei ”idealen” Experimenten oft nicht erfüllt, z.B. bei den in Abschnitt 7.5.1 beschriebenen
Ereignisräumen b) und c) (2 Würfel). Bei b) werden ja für i 6= k zwei verschiedene Ausgänge gemäß a), nämlich (i, k) und (k, i), zu einem Ausgang
{i, k} zusammengefasst, für i = k jedoch nicht. Bei c) werden verschieden
viele Ausgänge zu einem zusammengefasst, nämlich für jedes s ∈ {2, . . . , 12}
die Elemente der Menge {(i, k) ∈ I26 | i + k = s}. Wenn wir also bei a)
die Laplace-Annahme treffen, so folgt daraus, dass sie bei b) und c) unter
denselben Versuchsbedingungen nicht erfüllt sein kann.
Ob die Laplace-Annahme für ein bestimmtes Experiment gerechtfertigt ist
oder nicht, kann man im Allgemeinen nicht mathematisch entscheiden.
Aus der Laplace-Annahme folgt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch ”Abzählen” bestimmen kann:
Bemerkung 7.53 Für ein Laplace-Experiment gilt:
P (E) =
|E|
|Ω|
für jedes Ereignis E ⊂ Ω.
Beweis: Sei Ω = {x1 , . . . , xn } und E = {xj1 , . . . xjk }. Dann ist (siehe Bemerkung 7.50):
k
X
|E|
1
.
P ({xji }) = k · =
P (E) =
n
|Ω|
i=1
7.5. ELEMENTARE WAHRSCHEINLICHKEITEN
145
Beispiele:
1. Wir ziehen aus einem Paket mit 52 Bridgekarten blind eine Karte.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass wir ”Herz” ziehen? Es gibt
13 Karten der Farbe ”Herz”. Unter der Laplace-Annahme lautet die
Antwort daher: p = 13
.
52
2. Wir würfeln gleichzeitig mit 2 Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ps , dass die Summe der Augenzahlen gleich einer bestimmten
Zahl s ∈ {2, . . . , 12} ist? Wir wählen, wie bereits erläutert, als Ereignisraum I26 und nehmen an, dass alle Paare (i, k) ∈ I26 gleich wahrscheinlich
sind. Es geht dann um das Ereignis Es = {(i, k) ∈ I26 | i + k = s}. Wir
überlegen uns also zunächst, wie viele Elemente Es hat und sehen dann:
ps = P (Es ) =
also (p2 , . . . , p12 ) =
min(s − 1, 13 − s)
|Es |
=
,
2
|I6 |
36
¡1
¢
2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
3. Wir werfen n-mal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass wir genau k-mal ”Kopf” (und somit (n − k)-mal ”Adler”) werfen?
Wir nehmen als Ereignisraum {0, 1}n , wobei 1 ”Kopf” und 0 ”Adler”
symbolisiert. Das fragliche Ereignis Ek ist dann die Menge der 0-1Folgen der Länge n mit genau k Einsen. Unter der Laplace-Annahme
(n)
ist daher P (Ek ) = 2kn .
4. In einer Schachtel (oder ”Urne”) befinden sich N Kugeln, wovon s
schwarz und w weiß sind, N = s + w. Wir ziehen blind und mit einem
Griff n Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir genau
k schwarze Kugeln ziehen? Der Ereignisraum Ω ist in diesem Fall die
Menge aller n-elementigen Teilmengen von IN , wobei wir annehmen,
dass Is den schwarzen Kugeln entspricht. Wir interessieren uns nun
für die Menge Ek derjenigen n-elementigen Teilmengen von IN , welche
genau k Elemente aus Is enthalten. Jede solche Teilmenge kann als
geordnetes Paar (S, W ) aufgefasst werden, wobei S eine k-elementige
Teilmenge aus Is und W eine (n−k)-elementige Teilmenge
¡Is ¢ ¡INaus
¢IN \Is =
\Is
{s + 1, . . . , N } ist. Ek ist also gleichmächtig mit k × n−k . Daher
¡ ¢¡ w ¢
ist |Ek | = ks n−k
, und die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
¡s¢¡ w ¢
P (Ek ) =
k
¡Nn−k
¢ .
n
146
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
5. Welche Situation liegt vor, wenn wir nacheinander n Kugeln ziehen,
aber jede Kugel sofort wieder zurücklegen? Da wir dieselbe Kugel ein
zweites Mal ziehen können, ist hier der Ereignisraum des vorigen Beispiels ungeeignet. Wir wählen statt dessen die Menge InN aller geordneten n-Tupel (x1 , . . . , xn ) mit xi ∈ IN . Das Ereignis, genau k schwarze
Kugeln zu ziehen, wird jetzt durch die Menge derjenigen n-Tupel dargestellt, welche an k Stellen eine Zahl aus Is und an den restlichen n − k
Stellen eine Zahl aus IN \ Is haben. Jedes derartige n-Tupel ist durch
folgende drei Dinge umkehrbar eindeutig bestimmt:
a) eine k-elementige Teilmenge T aus {1, . . . , n}, welche angibt, auf
welchen Plätzen die Zahlen aus Is stehen,
b) ein geordnetes k-Tupel S aus {1, . . . , s}, welches angibt, welche
Zahlen auf diesen Plätzen stehen,
c) ein geordnetes (n − k)-Tupel W aus {s + 1, . . . , N }, welches angibt,
welche Zahlen auf den restlichen Plätzen stehen.
Das fragliche Ereignis Ek kann also bijektiv auf die Menge aller entsprechenden
Tripel (T, S, W ) abgebildet werden, d.h. auf die Menge
¡In ¢
k
n−k
×
(I
. Es folgt:
×
I
N \Is )
s
k
¡n¢ k n−k µ ¶
s w
n k n−k
=
p q
P (Ek ) = k
n
N
k
mit p =
s
N
und q =
w
N
= 1 − p.
Bemerkungen:
a) Bei den Beispielen 4) und 5) kann man auf der Menge {0, . . . , n} eine
Wahrscheinlichkeit P̃ definieren, indem man
P̃ ({k}) := P (Ek )
setzt (siehe Bemerkung 7.50). Es ist nur zu überprüfen, dass P̃ ({0, . . . , n}) =
1 ist, und das sieht man so:
!
à n
n
n
X
X
[
P̃ ({k}) =
P̃ ({0, . . . , n}) =
P (Ek ) = P
Ek = P (Ω) = 1.
k=0
k=0
k=0
7.6. ÜBUNGSAUFGABEN
147
Diese Wahrscheinlichkeit heißt für Beispiel 4) ”hypergeometrische Verteilung”, für Beispiel 5) ”Binomialverteilung”. Beispiel 3) liefert dieselbe
Verteilung wie 5) mit p = 12 .
b) Wegen
n
P
P (Ek ) = 1 ergibt sich aus Beispiel 4) die folgende interessante
k=0
Formel:
¶ µ ¶
n µ ¶µ
X
s
N −s
N
=
k
n−k
n
k=0
für 0 ≤ s ≤ N. Bei Beispiel 5) erhalten wir nichts anderes als die Entwicklung
von (p + q)n = 1 nach dem Binomischen Lehrsatz, mit p = Ns und q = 1 − p.
7.6
Übungsaufgaben
1. In ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1 werden 5 Punkte eingezeichnet. Zeigen Sie mit Hilfe des Schubfachprinzips, dass darunter
sicher 2 Punkte mit Abstand ≤ 12 sind.
2. Beweisen Sie, dass in jeder Menge von n ganzen Zahlen (n ≥ 2) mindestens zwei vorkommen, deren Differenz durch n − 1 teilbar ist. Was
ist, wenn man hier statt der Differenz die Summe betrachtet?
3. Berechnen Sie für n, m ∈ N mit n ≥ m:
µ ¶ µ
¶
µ ¶
m
m+1
n
+
+ ... +
.
m
m
m
Beweisen Sie das Ergebnis mit vollständiger Induktion.
4. Berechnen Sie für n ∈ N:
µ ¶
µ ¶
µ ¶
n
1 n
n n
+2
+ ... + 2
.
0
1
n
5. Wie viele binäre Relationen, die reflexiv und symmetrisch sind, gibt es
auf einer Menge mit n Elementen?
6. Berechnen Sie die Koeffizienten von
a) x2 y 2 in (2x − y − 3z)2 ,
b) x2 y 2 in (−x + 4y − 3)7 ,
c) wx2 y 4 z in (w + x2 + y 2 − z)5 .
148
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
7. Wie viele fünfstellige Telefonnummern enthalten eine Ziffer mindestens
zweimal, wenn die 0 als Anfangsziffer nicht erlaubt ist?
8. Wie viele Worte der Länge 6 mit lauter verschiedenen Buchstaben
lassen sich aus A,C,D,H,I,U bilden, sodass niemals ICH oder DU darin
vorkommen?
9. Wie viele Lösungen (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Z4 hat die Gleichung
x1 + x2 + x3 + x4 = 32,
wenn
a) xi > 0 für 1 ≤ i ≤ 4,
b) xi ≥ −2 für 1 ≤ i ≤ 4,
c) x1 , x2 ≥ 5 und x3 , x4 ≥ 7,
d) xi > 0 für 1 ≤ i ≤ 4 und x4 < 25 ?
(Hinweis: Betrachten Sie etwa für a) yi := xi − 1.)
10. Beweisen Sie: S(n, 3) = 12 (3n−1 + 1) − 2n−1 .
(S(n, k) bezeichnet die Stirling’schen Zahlen 2. Art.)
11. Wie viele Worte der Länge n kann man aus k Buchstaben bilden,
a) wenn in jedem Wort alle Buchstaben vorkommen sollen?
b) wenn außerdem niemals zwei gleiche Buchstaben hintereinanderstehen dürfen?
(Konkrete Werte z.B.: n = 4, k = 3)
12. Sei P (n, k) die Anzahl der Permutationen von In , welche aus k elementfremden Zyklen bestehen, wobei Zyklen der Länge 1 mitgezählt
werden. Zeigen Sie in ähnlicher Weise wie bei den Stirling’schen Zahlen
2. Art:
P (n, k) = P (n − 1, k − 1) + (n − 1)P (n − 1, k).
Bilden Sie damit das entsprechende Analogon zum Pascal’schen Dreieck,
etwa für n ∈ {1, . . . , 5}.
Bemerkung: Die Zahlen S1 (n, k) := (−1)n−k P (n, k) heißen Stirling’sche
Zahlen 1. Art.
13. Wie viele Möglichkeiten gibt es, mn Gegenstände so auf m Fächer zu
verteilen, dass in jedem Fach n Gegenstände sind?
7.6. ÜBUNGSAUFGABEN
149
14. Sei C ein Code auf An mit M Worten, sodass je zwei Worte aus C
mindestens Abstand a haben (bezüglich der Hamming-Distanz). Wenn
C maximal ist, d.h., wenn man zu C unter Einhaltung des Mindestabstands a kein Wort mehr hinzufügen kann, dann bilden die Kugeln mit
Mittelpunkt aus C und Radius a − 1 eine Überdeckung von An , d.h.
[
K(c, a − 1) = An .
c∈C
Leiten Sie aus dieser Überlegung eine untere Schranke für die Kardinalzahl eines maximalen Codes her, und vergleichen Sie diese mit der
im Text angegebenen oberen Schranke, speziell für |A| = 2 und a = 3.
15. Wir werfen achtmal einen (idealen) Würfel.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede der Augenzahlen 1, 2,
3, 4, 5, 6 mindestens einmal erscheint?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau zweimal eine
Sechs würfelt?
16. Eine Sekretärin bereitet n verschiedene Briefe vor und beschriftet entsprechend n Kuverts. Jemand, der nicht lesen kann, steckt die Briefe
völlig ”zufällig” in die Kuverts hinein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dann wenigstens ein Brief im richtigen Kuvert steckt?
(Konkret etwa für n = 5.)
150
KAPITEL 7. ZÄHLEN (KOMBINATORIK)
Kapitel 8
Graphen
8.1
Grundbegriffe
Gerichtete und ungerichtete Graphen sowie Ecken, Kanten, Pfade und Kreise
wurden bereits in Kapitel 3.2 definiert. Statt ”Ecken” sagt man oft auch
”Knoten” (engl. ”nodes”). Für gerichtete Graphen verwenden wir auch im
Deutschen das Wort ”Digraph”.
Wir betrachten hier nur endliche Graphen.
8.1.1
Isomorphie von Graphen
Wenn sich zwei Graphen nur durch die Bezeichnung der Ecken unterscheiden,
dann sind sie ”im Wesentlichen” gleich. Dieser Gedanke wird folgenderweise
präzisiert:
Definition 8.1 Seien G = (V, E), G0 = (V 0 , E 0 ) zwei Graphen. Eine bijektive Abbildung ϕ : V → V 0 heißt Isomorphismus (”isomorphism”) der
Graphen G, G0 , wenn für alle x, y ∈ V gilt:
{x, y} ∈ E ↔ {ϕ(x), ϕ(y)} ∈ E 0 .
Wenn es einen solchen Isomorphismus gibt, heißen G und G0 isomorph
(”isomorphic”). Für Digraphen werden diese Begriffe analog definiert (mit
runden statt geschwungenen Klammern).
151
152
KAPITEL 8. GRAPHEN
Beispiele:
a) Sei V = {1, 2, 3} und E1 = {{1, 2}, {2, 3}}, E2 = {{1, 3}, {2, 3}}. Dann
sind die Graphen G1 = (V, E1 ) und G2 = (V, E2 ) isomorph, denn die Transposition (2, 3) ist ein Isomorphismus.
b) Die beiden gerichteten Graphen mit Eckenmenge V = {1, 2, 3} und Kantenmengen {(1, 2), (2, 3)}, {(1, 3), (2, 3)} sind nicht isomorph: Im zweiten
Graphen gibt es eine Ecke, welche Endpunkt von zwei Kanten ist, im ersten dagegen nicht.
c) Sei G ein Graph mit Eckenmenge ⊂ N. Wenn man G zeichnet, dann
erzeugt man eigentlich einen zu G isomorphen Graphen, indem man den
Ecken gewisse Punkte und den Kanten gewisse Kurven in der Ebene zuordnet
(vgl. Definition 8.68).
Im allgemeinen ist es nicht leicht, zu zwei gegebenen Graphen (mit gleich
vielen Ecken und Kanten) festzustellen, ob sie isomorph sind. Im schlimmsten
Fall muss man dazu alle Permutationen aus Sn ausprobieren (wobei n die
Anzahl der Ecken bedeutet).
8.1.2
Einige wichtige spezielle Graphen
¡ ¢
Definition 8.2 Sei V eine (endliche) Menge und E = V2 die Menge aller
2-elementigen Teilmengen von V. Dann heißt G = (V, E) der vollständige
Graph (”complete graph”) auf V.
Beispiel: Hier sind zwei vollständige Graphen mit je vier Ecken und einer
mit 5 Ecken zu sehen:
Bemerkung 8.3 Wenn |V | = |V 0 |, dann sind die vollständigen Graphen auf
V und V 0 isomorph: Jede bijektive Abbildung V → V 0 ist ein Isomorphismus.
Es gibt daher bis auf Isomorphie nur einen vollständigen Graphen mit n
Ecken. Dieser wird mit Kn bezeichnet. Jeder einfache Graph mit n Ecken
kann als Teilgraph von Kn angesehen werden.
8.1. GRUNDBEGRIFFE
153
Definition 8.4 Sei G = (V, E) ein Graph. Wenn es eine Partition {A, B}
von V gibt, sodass E ⊂ { {x, y} | x ∈ A, y ∈ B }, so heißt G ein
bipartiter Graph (”bipartite graph”) (mit Eckenpartition {A, B}). Wenn
E = { {x, y} | x ∈ A, y ∈ B }, heißt G ein vollständiger bipartiter
Graph.
Bemerkung 8.5 Seien G = (V, E) und G0 = (V 0 , E 0 ) zwei vollständige
bipartite Graphen mit zugehörigen Eckenpartitionen {A, B} und {A0 , B 0 }.
Wenn |A| = |A0 | und |B| = |B 0 |, dann sind G und G0 isomorph: Seien
f : A → A0 und g : B → B 0 bijektive Abbildungen. Dann ist die durch
½
f (x)
für x ∈ A,
h(x) :=
g(x)
für x ∈ B
definierte Abbildung h : V → V 0 ein Isomorphismus. Es gibt daher zu gegebenen Kardinalzahlen n, m bis auf Isomorphie nur einen vollständigen bipartiten Graphen mit Eckenpartition {A, B} und |A| = n, |B| = m. Bezeichnung: Kn,m .
Das folgende Bild zeigt einen K4,3 :
Jeder bipartite Graph ist Teilgraph eines vollständigen bipartiten Graphen.
8.1.3
Eckengrade
Definition 8.6 Sei x eine Ecke eines ungerichteten Graphen G. Die Anzahl
aller Kanten von G mit Ecke x heißt der Grad (”degree”) von x, Bezeichnung: d(x). Dabei werden Schlingen doppelt gezählt.
Wenn {a, b} eine Kante von G ist, so nennen wir a, b (in G) benachbart
(”adjacent”). Wir sagen auch: ”a ist ein Nachbar von b.” oder umgekehrt.
Der Grad einer Ecke x ist also die Anzahl der Nachbarn von x.
154
KAPITEL 8. GRAPHEN
Beispiele:
a) Alle Ecken von Kn haben Grad n − 1. Je zwei Ecken von Kn sind benachbart.
b) In Kn,m gibt es n Ecken mit Grad m und m Ecken mit Grad n.
Definition 8.7 Ecken mit Grad 0 heißen isoliert (”isolated”).
Definition 8.8 Sei x eine Ecke eines gerichteten Graphen D. Die Anzahl
aller Kanten von D, welche x als Anfangspunkt haben, heißt Ausgangsgrad (”outdegree”) von x, Bezeichnung: d− (x). Die Anzahl der Kanten von
D, welche x als Endpunkt haben, heißt Eingangsgrad (”indegree”) von x,
Bezeichnung: d+ (x).
Die entsprechenden Kanten heißen dann Ausgangskanten bzw. Eingangskanten von x.
Beispiele:
a) In einem Digraphen, der nur aus einem gerichteten Kreis besteht, gilt für
jede Ecke x: d+ (x) = d− (x) = 1.
b) Sei D der Digraph, der durch das Hasse-Diagramm der Teilbarkeitsrelation
auf I12 definiert ist (siehe Kapitel 3.4). Dort ist z.B. d− (1) = 5, d+ (1) = 0,
d− (6) = 1, d+ (6) = 2.
c) Sei D ein Digraph, der aus einem Graphen G durch beliebige Orientierung
der Kanten entsteht. (Man nennt so etwas auch einen orientierten Graphen.)
Dann gilt für jede Ecke x: d(x) = d− (x) + d+ (x), wobei sich natürlich d auf
G und d− , d+ auf D beziehen. Diese Beziehung gilt allerdings im Allgemeinen
nicht, wenn D ein beliebiger Digraph und G der zugrundeliegende Graph ist,
wie schon das einfache Beispiel V = {1, 2}, E = {(1, 2), (2, 1)} zeigt: Hier ist
d(1) = d− (x) = d+ (x) = 1.
Satz 8.9 Wenn G = (V, E) ein ungerichteter Graph ist, dann gilt:
X
d(x) = 2|E|.
x∈V
Wenn G ein gerichteter Graph ist, dann gilt:
X
X
d− (x) =
d+ (x) = |E|.
x∈V
x∈V
8.1. GRUNDBEGRIFFE
155
Beweis für
P ungerichtete Graphen: Da jede Kante genau zwei Endpunkte hat,
wird in x∈V d(x) jede Kante doppelt gezählt. (Das gilt auch, wenn Schlingen vorhanden sind, da diese ja beim Grad doppelt gezählt werden.)
Beweis für gerichtete
Graphen: Jede Kante hat genau einen Anfangspunkt.
P
In der Summe x∈V d− (x) wird daher jede Kante genau einmal gezählt.
Analoges gilt für die Endpunkte von G.
Definition 8.10 Wenn d(x) eine gerade Zahl ist, heißt x eine gerade Ecke
(”even vertex”). Wenn d(x) eine ungerade Zahl ist, heißt x eine ungerade
Ecke (”odd vertex”).
Folgerung 8.11 (”handshaking lemma”) Die Anzahl der ungeraden Ecken
eines Graphen ist gerade.
Beweis: Sei
P u die Anzahl der ungeraden und g die Anzahl der geraden Ecken.
Dann ist x∈V d(x) ≡ u·1+g ·0 = u mod 2, nach dem Satz also u ≡ 0 mod 2.
Der Name ”handshaking lemma” erklärt sich so: Betrachten wir einen Graphen, dessen Ecken die Teilnehmer einer Party symbolisieren, wobei zwei
Ecken genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn sich die entsprechenden Personen die Hände geschüttelt haben. Dann besagt obige Folgerung, dass die Anzahl der Party-Teilnehmer, die einer ungeraden Anzahl
von Personen die Hände geschüttelt haben, gerade ist.
Definition 8.12 Ein Graph heißt regulär vom Grade r (oder kurz
”r-regulär”), wenn alle Ecken denselben Grad r haben.
Bemerkung: Nach Satz 8.9 gilt für jeden r-regulären Graphen: r |V | = 2|E|.
Beispiele:
a) Kn ist (n − 1)-regulär.
b) Kn,n ist n-regulär. Für n 6= m ist Kn,m nicht regulär.
c) Ein (endlicher!) Graph ist genau dann 2-regulär, wenn er nur aus disjunkten Kreisen besteht.
156
KAPITEL 8. GRAPHEN
d) Ein interessanter 3-regulärer Graph ist der folgende ”Petersen-Graph”
(nach Julius Peter Christian Petersen 1839 - 1910, einem dänischen Mathematiker):
e) Die folgenden regulären Graphen sind durch die Ecken und Kanten der
fünf regulären Polyeder (”platonischen Körper”) definiert (Tetraeder, Würfel,
Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder):
(Plato oder Platon (ca. 428-348 v. Chr.) ist einer der bedeutendsten altgriechischen Philosophen.)
Definition 8.13 Sei G ein Graph.
vj (G) := Anzahl der Ecken von G mit Grad j.
Die nächste einfache Bemerkung erleichtert oft die Feststellung der NichtIsomorphie von zwei Graphen:
Bemerkung 8.14 Die folgende Bedingung ist notwendig für die Isomorphie
zweier Graphen G, G0 :
vj (G) = vj (G0 )
für alle j ∈ {0, 1, . . . , m}, wobei m der maximale Grad der Ecken von G und
G0 ist.
Beweis: Übungsaufgabe.
8.1. GRUNDBEGRIFFE
157
Für Digraphen erhalten wir analog die Bedingungen vj+ (D) = vj+ (D0 ) und
vj− (D) = vj− (D0 ), wobei natürlich vj+ (D) bzw. vj− (D) die Anzahl der Ecken
von D mit Ein- bzw. Ausgangsgrad j bedeutet.
Beispiele:
a) Die folgenden beiden Graphen haben zwar gleich viele Ecken und Kanten,
sind aber nicht isomorph, da z.B. der linke zwei Ecken vom Grad 2 hat, der
rechte jedoch nur eine.
b) Das folgende Beispiel zeigt, dass die Bedingung nicht hinreichend ist.
Beide Graphen sind 3-regulär und haben 6 Ecken. Die obige notwendige
Bedingung ist also erfüllt. Der linke Graph (K3,3 ) enthält keinen Kreis der
Länge 3, der rechte Graph enthält dagegen zwei Kreise der Länge 3. Die
beiden Graphen können daher nach folgender Bemerkung nicht isomorph
sein:
Bemerkung 8.15 Wenn zwei Graphen isomorph sind, dann enthalten sie
für jede natürliche Zahl r ≥ 3 gleich viele Kreise der Länge r.
(Das ist also eine weitere notwendige Bedingung für die Isomorphie zweier
Graphen.)
158
KAPITEL 8. GRAPHEN
Definition
8.16 Sei G = (V, E) ein einfacher Graph. Dann heißt G :=
¡V ¢
(V, 2 ÂE) der zu G komplementäre Graph.
Bemerkung: Zwei einfache Graphen G und G0 sind genau dann isomorph,
wenn die dazu komplementären Graphen isomorph sind. Bei Graphen mit
vielen Kanten lässt sich auf diese Weise die Frage nach der Isomorphie oft
leichter beantworten. Bei den letzten beiden Graphen ergeben sich z.B. links
zwei Kreise der Länge 3 und rechts ein Kreis der Länge 6.
8.1.4
Adjazenzlisten
Zur Bearbeitung eines (gerichteten oder ungerichteten) Graphen G = (V, E)
mit einem Computer eignet sich oft die Darstellung mit Adjazenzlisten (”adjacency lists”). Bei einem ungerichteten Graphen gibt man dazu für jede Ecke
x die Menge A(x) aller Nachbarn von x an:
A(x) := {y ∈ V | {x, y} ∈ E}.
A ist also eigentlich eine Abbildung V → P(V ), und |A(x)| = d(x), falls
G keine Schlingen enthält. Wenn für jede Ecke die Adjazenzliste gegeben
ist, kann man natürlich die Kantenmenge des Graphen leicht rekonstruieren:
E = {{x, y} | x ∈ V, y ∈ A(x)}.
Wenn es sich um einen gerichteten Graphen handelt, betrachtet man entweder die Mengen A− (x) der Ecken, welche Endpunkte einer von x ausgehenden
Kante sind, oder die Mengen A+ (x) der Ecken, welche Anfangspunkte von
Kanten sind, deren Endpunkt x ist:
A− (x) := {y ∈ V | (x, y) ∈ E},
A+ (x) := {y ∈ V | (y, x) ∈ E}.
Wir sehen: |A− (x)| = d− (x), und ebenso |A+ (x)| = d+ (x). Durch jede der
beiden Abbildungen A− und A+ wird der Digraph eindeutig beschrieben. Oft
ist es jedoch zweckmäßig, sowohl A− als auch A+ zu verwenden.
Beispiel: Sei V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (3, 4)}.
In der folgenden Tabelle sind die Adjazenzlisten von D = (V, E) sowie des
8.2. WEGE UND WANDERUNGEN
159
zugrundeliegenden ungerichteten Graphen G zu sehen:
D:
A− (1) = {2, 3, 4}
A− (2) = {1}
A− (3) = {2, 4}
A− (4) = {}
A− (5) = {}
G:
A(1) = {2, 3, 4}
A(2) = {1, 3}
A(3) = {1, 2, 4}
A(4) = {1, 3}
A(5) = {}
Diese Mengen kann man in einem Computer durch (eindimensionale) Felder
(”arrays”) oder (verkettete) Listen (”linked lists”) darstellen (siehe z.B.
[27]). Felder sind sehr einfach zu handhaben, allerdings muss die maximale
Anzahl der Eintragungen, also der maximale Grad, bekannt sein. Verkettete Listen sind zwar etwas schwieriger zu programmieren, dafür ist aber die
Anzahl der Eintragungen nur durch den verfügbaren Speicherplatz begrenzt.
Ein eindimensionales Feld bzw. eine verkettete Liste ist eigentlich eine endliche Folge, da durch die Art der Abspeicherung natürlich eine bestimmte
Reihenfolge festgelegt ist. Wir schreiben daher Listen mit runden Klammern,
und es hat einen Sinn, vom ”ersten Element” einer Liste zu sprechen.
Im Übrigen verwenden wir für Listen dieselben Symbole ∈, ∪, ∩, \ wie für
Mengen. Dabei bedeutet etwa L1 ∪ L2 , dass die Listen L1 und L2 aneinandergefügt werden, z.B.: (a, b, d) ∪ (c, f ) = (a, b, d, c, f ). Für Listen sind ∪ und
∩ natürlich nicht kommutativ!
8.2
Wege und Wanderungen
Definition 8.17 Seien a, b Ecken des Graphen G = (V, E). Eine Folge
w = (x1 , x2 , . . . , xn ) von Ecken von G heißt Wanderung (”walk”) von a
nach b, wenn x1 = a, xn = b, und ui := {xi , xi+1 } ∈ E für alle i ∈
{1, . . . , n − 1}. Wenn alle Kanten ui paarweise verschieden sind, heißt w
ein Weg (”trail”, ”tour”) von a nach b. Wenn a = b ist, heißt w eine
geschlossene Wanderung bzw. ein geschlossener Weg. (Analog für Digraphen mit ui := (xi , xi+1 ).) Unter der Länge von w verstehen wir wie bei
einem Pfad die Zahl n − 1.
Achtung: Diese Begriffe sind leider nicht standardisiert! In manchen Büchern
werden z.B. Wanderungen als ”path” bezeichnet. Geschlossene Wege heißen
oft ”circuits”.
160
KAPITEL 8. GRAPHEN
Bemerkung: Eine Wanderung mit paarweise verschiedenen Ecken ist ein Pfad.
Beispiel:
Sei G der vollständige bipartite Graph mit Eckenpartition {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}.
(1, 5, 4, 2) ist keine Wanderung von 1 nach 2, da {5, 4} keine Kante ist.
(1, 5, 1, 4, 2) ist eine Wanderung von 1 nach 2, aber kein Weg, da die Kante
{1, 5} = {5, 1} zweimal vorkommt.
(1, 5, 3, 4, 1, 6, 2) ist ein Weg, aber kein Pfad.
(1, 5, 3, 4, 2) ist ein Pfad.
Bemerkung 8.18 Durch Weglassung von geschlossenen Teilstücken kann
jede Wanderung (und daher auch jeder Weg) zu einem Pfad gemacht werden.
Ebenso kann jede geschlossene Wanderung zu einem Kreis gemacht werden.
Beweis: Sei (x1 , x2 , . . . , xn ) eine Wanderung von a nach b. Angenommen
xi = xk mit i < k. Dann ist (xi , . . . , xk−1 , xk ) ein geschlossenes Teilstück.
Lassen wir dessen Ecken mit Ausnahme von xi von der Wanderung weg,
so entsteht eine kürzere Wanderung von a nach b. Das können wir so lange
wiederholen, bis alle Ecken paarweise verschieden sind. Im Falle einer geschlossenen Wanderung ergibt das den trivialen Pfad (a). Wenn wir aber den Fall
i = 1, k = n nicht zulassen, erhalten wir am Ende einen Kreis.
Bemerkung 8.19 Bei einem geschlossenen Weg kann jede Ecke des Weges
als Anfangspunkt gewählt werden: Wenn (x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn = x1 ) ein geschlossener Weg ist, dann ist auch (xk , xk+1 , . . . , xn = x1 , x2 , . . . , xk ) ein geschlossener Weg (für jedes k ∈ {2, . . . , n − 1}).
8.2.1
Eulersche Wege
Definition 8.20 Ein Weg, der alle Kanten von G enthält, heißt Eulerweg
oder eulerscher Weg (”eulerian trail”) (von G).
(Leonhard Euler, 1707-1783, war die prägende Gestalt der Mathematik im 18.
Jahrhundert. Er erzielte bahnbrechende Resultate in allen mathematischen
Disziplinen.)
8.2. WEGE UND WANDERUNGEN
161
Die Existenz eines geschlossenen Eulerweges bedeutet also, dass man auf G
eine ”Rundreise” machen kann, bei der man jede ”Straße” (= Kante) genau
einmal benützt.
Wenn ein Graph ohne isolierte Ecken einen eulerschen Weg besitzt, ist er
klarerweise zusammenhängend. Bei einer Wanderung entlang eines Eulerweges muss man jede Ecke, die man besucht, auf einer noch nicht benutzten
Kante wieder verlassen, da keine Kante zweimal vorkommen darf. Abgesehen von Anfangs- und Endpunkt des Weges muss daher jede Ecke geraden
Grad haben. Interessanterweise sind diese notwendigen Bedingungen für die
Existenz eines Eulerweges bereits hinreichend:
Satz 8.21 In einem Graphen ohne isolierte Ecken gibt es genau dann einen
geschlossenen Eulerweg, wenn er zusammenhängend ist und alle Ecken geraden Grad haben.
Bemerkung: Wenn es in einem Graphen einen geschlossenen Eulerweg gibt,
heißt der Graph eulersch (”eulerian”).
Beweis: Sei G ein zusammenhängender Graph, in dem alle Ecken geraden
Grad haben. Der triviale Fall, dass G nur aus einer Ecke besteht, ist dabei
ausgeschlossen.
Sei w = (x1 , x2 , ..., xn ) ein Weg mit maximaler Länge und Gw der zugehörige
Teilgraph. Da wir G 6= K1 annehmen, ist jedenfalls n ≥ 2. Wenn w bereits
ein geschlossener Eulerweg ist, sind wir fertig. Sonst unterscheiden wir zwei
Fälle:
1. Fall: xn 6= x1 .
Der Grad von xn ist in Gw ungerade (siehe Bemerkung vor dem Satz), in
G aber gerade. Daher gibt es in G eine von xn ausgehende Kante {xn , y},
welche nicht zu Gw gehört. Dann ist aber (x1 , x2 , ..., xn , y) ein längerer Weg
als w, Widerspruch.
2. Fall: xn = x1 , d.h., w ist ein geschlossener Weg (enthält aber nicht alle
Kanten).
Sei {a, b} eine Kante von G, welche nicht zu w gehört. a kann nicht auf w
liegen, denn wäre etwa a = xk , so wäre (xk , xk+1 , . . . , xn = x1 , . . . , xk = a, b)
ein längerer Weg als w. Da G zusammenhängend ist, gibt es einen Weg u
von x1 nach a. Sei xl die letzte Ecke von u, die auch auf w liegt. Da a nicht
auf w liegt, ist xl 6= a, und es gibt daher eine auf xl folgende Ecke y von u.
162
KAPITEL 8. GRAPHEN
Dann ist aber (xl , xl+1 , . . . , xn = x1 , . . . xl , y) wieder ein längerer Weg als w,
Widerspruch.
Satz 8.22 In einem Graphen ohne isolierte Ecken gibt es genau dann einen
Eulerweg von a nach b mit a 6= b, wenn er zusammenhängend ist und außer
a und b alle Ecken geraden Grad haben.
Beweis: Sei also G ein zusammenhängender Graph, in welchem außer a und
b alle Ecken geraden Grad haben. Wir unterscheiden wieder zwei Fälle:
1. Fall: {a, b} ist keine Kante von G.
In diesem Fall erhalten wir durch Hinzufügung der Kante {a, b} einen Graphen G0 , in dem alle Ecken geraden Grad haben. In einem geschlossenen
Eulerweg von G0 muss die Kante {a, b} vorkommen. Wir können daher annehmen, dass dieser Weg so aussieht: (x1, . . . , xn−2 , b, a = x1 ). Dann ist aber
(x1, . . . , xn−2 , b) ein Eulerweg von a nach b in G.
2. Fall: {a, b} ist eine Kante von G.
Wir fügen in die Kante {a, b} eine Ecke ein, d.h. wir ersetzen {a, b} durch
zwei Kanten {a, c}, {c, b} mit einer ”neuen” Ecke c ∈
/ V. Dann liegt der 1.
Fall vor, und es gibt daher einen Eulerweg w von a nach b. In diesem müssen
entweder a, c, b oder b, c, a hintereinander vorkommen. Ersetzen wir diese drei
Ecken durch a, b bzw. b, a, so erhalten wir einen Eulerweg im ursprünglichen
Graphen.
Diese Sätze führen in naheliegender Weise zu Algorithmen für die Konstruktion eines Eulerweges. Es genügt den geschlossenen Fall zu betrachten, da
sich der nicht geschlossene wie beim Beweis des letzten Satzes leicht darauf
zurückführen lässt.
8.2. WEGE UND WANDERUNGEN
163
Algorithmus zur Berechnung eines geschlossenen Eulerweges in einem einfachen zusammenhängenden Graphen:
Eingabe:
Eckenliste V
Adjazenzlisten A(x) für alle x ∈ V.
for x ∈ V do d(x) := |A(x)|
if ∃x : mod(d(x), 2) = 1 then
Ausgabe: ”Es gibt keinen geschlossenen Eulerweg.”
else
P
q := 12 x∈V d(x) ( = Anzahl der Kanten)
x := erstes Element von V
C := (x)
while q > 0 do
while A(x) 6= ∅ do
y := erstes Element von A(x)
füge y am Ende von C an
entferne y aus A(x)
entferne x aus A(y)
q := q − 1
x := y
end of while
if q > 0 then
x := erstes Element von C mit A(x) 6= ∅
schreibe C mit x als erstem und letztem Element
end of if
end of while
Ausgabe: C
end of if
164
8.2.2
KAPITEL 8. GRAPHEN
Hamiltonsche Kreise
Ein Kreis enthält immer genauso viele Kanten wie Ecken. In einem Graphen
mit mehr Kanten als Ecken gibt es daher sicher keinen Kreis, der alle Kanten
enthält. Die Frage, ob es einen Kreis gibt, der alle Ecken enthält, ist dagegen
ein interessantes und schwieriges Problem.
Definition 8.23 Ein Kreis, der alle Ecken eines Graphen G enthält, heißt
Hamiltonkreis oder hamiltonscher Kreis (”hamiltonian cycle”). Ein
Pfad, der alle Ecken von G enthält, heißt Hamiltonpfad.
(William Rowan Hamilton, 1805 - 1865, ist als Entdecker der Quaternionen
bekannt. Er war auch ein bedeutender theoretischer Physiker.)
Es geht also um die Frage, ob es in einem gegebenen Graphen eine ”Rundreise” gibt, bei der man jede ”Stadt” (= Ecke) genau einmal besucht.
Nicht jeder Graph besitzt einen Hamiltonkreis bzw. -pfad. Wenn ein Graph
einen Hamiltonkreis besitzt, dann nennt man den Graphen hamiltonsch.
Wenn ein Graph einen Hamiltonkreis besitzt, dann enthält er auch einen
Hamiltonpfad (man braucht nur eine Kante des Hamiltonkreises wegzulassen),
aber nicht umgekehrt.
Beispiele:
a) Die Graphen der fünf regulären Polyeder sind hamiltonsch (siehe Übungsaufgabe 3).
b) Jeder hamiltonsche Graph ist zusammenhängend, und alle Eckengrade
sind ≥ 2. Wenn ein Graph nur aus einem Pfad besteht, dann ist dieser ein
Hamiltonpfad; es gibt in diesem Graphen aber keinen Hamiltonkreis.
c) Es gibt schon sehr einfache Graphen, die nicht einmal einen Hamiltonpfad
enthalten, z.B. G = ( {1, 2, 3, 4}, {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}} ).
Im allgemeinen ist es sehr schwer, festzustellen, ob ein Graph einen Hamiltonkreis bzw. -pfad besitzt. Es handelt sich hier um ein sogenanntes ”NPvollständiges” Problem. (”NP” kommt von ”non-deterministic polynomial”,
siehe Vorlesungen oder Bücher über Algorithmen und Komplexität, z.B. [27].)
In der Praxis bedeutet das, dass es nicht möglich ist, ein Programm zu
schreiben, das für einen beliebigen Graphen auch nur mäßiger Größe in einem
vernünftigen Zeitraum mit Sicherheit entscheiden kann, ob er hamiltonsch ist.
8.3. ADJAZENZMATRIZEN
8.3
165
Adjazenzmatrizen
Eine m×n-Matrix von Elementen einer Menge S ist, anschaulich gesprochen,
eine Tabelle mit m Zeilen und n Spalten, in der Elemente von S eingetragen
sind. Genauer:
Definition 8.24 Seien m, n ∈ N und S eine beliebige Menge. Unter einer
m × n-Matrix von Elementen aus S versteht man eine Abbildung
A : Im × In → S.
Schreibweise: Ähnlich wie bei Folgen schreibt man für A((i, k)) meist aik .
Die ganze Matrix wird dann folgenderweise geschrieben:


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A =  ..

..
..

 .
.
.
am1 am2 . . . amn
oder kurz: A = (aik ).
aik ist also das Element in der i-ten Zeile und k-ten Spalte. m nennt man
die Zeilenanzahl und n die Spaltenanzahl dieser Matrix.
Matrizen werden in Vorlesungen und Büchern über Lineare Algebra ausführlich diskutiert (siehe z.B. [2]). Insbesondere wird dort erklärt, warum es sinnvoll ist, das Produkt zweier Matrizen in folgender Weise zu definieren:
Definition 8.25 Sei A eine m × n-Matrix und B eine n × s-Matrix von
reellen Zahlen (oder allgemeiner von Elementen eines Rings). Dann versteht
man unter dem Produkt AB von A und B die m × s-Matrix C = (cik ) mit
cik =
n
X
aij bjk = ai1 b1k + . . . + ain bnk .
j=1
cik entsteht also durch Multiplikation der Elemente der i-ten Zeile von A mit
den entsprechenden Elementen der k-ten Spalte von B und anschließende
Summation.
AB ist nur definiert, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl
von B ist.
166
KAPITEL 8. GRAPHEN
Im allgemeinen ist AB 6= BA, auch wenn beide Produkte definiert sind.
Beispiel:
µ
µ
1 2
0 3
1 1
0 1
¶µ
¶µ
1 1
0 1
1 2
0 3
¶
¶
=
=
µ
µ
1 3
0 3
1 5
0 3
¶
¶
Wenn A eine quadratische Matrix ist, d.h. gleich viele Zeilen wie Spalten hat,
dann kann man AA bilden und daher auch beliebige Potenzen An mit n ∈ N,
indem man A1 := A und An+1 := An A setzt.
Definition 8.26 Sei G ein (gerichteter oder ungerichteter) Graph mit n
Ecken x1 , . . . , xn . Die Adjazenzmatrix (”adjacency matrix”) von G ist die
n × n-Matrix A = (aik ) mit
½
1 falls (xi , xk ) ∈ E bzw. {xi , xk } ∈ E,
aik :=
0 sonst.
Beispiel: Die Adjazenzmatrizen des Digraphen von
zugrundeliegenden Graphen sehen so aus:



0 1 1
0 1 1 1 0
 1 0 1
 1 0 0 0 0 



 1 1 0
 0 1 0 1 0 



 1 0 1
 0 0 0 0 0 
0 0 0
0 0 0 0 0
Abschnitt 8.1.4 und des
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0






Die Zeilensummen der Adjazenzmatrix ergeben die Ausgangsgrade der Ecken,
die Spaltensummen die Eingangsgrade:
n
X
k=1
−
aik = d (xi ),
n
X
aik = d+ (xk ).
i=1
Es ist nun interessant, dass die Matrizenmultiplikation auch für Adjazenzmatrizen von Graphen eine sehr natürliche Bedeutung hat:
Satz 8.27 Sei A die Adjazenzmatrix eines (gerichteten oder ungerichteten)
(s)
Graphen mit Eckenmenge {x1 , . . . , xn }. Dann gibt das Element aik in der
i-ten Zeile und k-ten Spalte der Matrix As an, wie viele (gerichtete) Wanderungen der Länge s es von xi nach xk gibt.
8.4. BÄUME
167
Beweis mit Induktion nach s:
s = 1: Eine Wanderung der Länge 1 ist nichts anderes als eine Kante.
s → s + 1: Jede Wanderung der Länge s + 1 von xi nach xk besteht aus einer
Wanderung der Länge s von xi zu einer Ecke xj und einer Kante (xj , xk ).
Nach Induktionsvoraussetzung ist die Anzahl der Wanderungen der Länge s
(s)
(s)
von xi nach xj gleich aij . Wir haben also die aij für alle xj zu addieren,
welche mit xk durch eine Kante verbunden sind. Die gesuchte Anzahl ist
daher
n
X
(s)
(s+1)
aij ajk = aik .
j=1
Beispiel: Die Adjazenzmatrix des K3,3 mit Eckenpartition {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}
sieht so aus:


0 0 0 1 1 1
 0 0 0 1 1 1 


 0 0 0 1 1 1 

A=
 1 1 1 0 0 0 


 1 1 1 0 0 0 
1 1 1 0 0 0
Die zweite und dritte Potenz von A sagt uns, wie viele Wanderungen der
Länge 2 bzw. 3 es jeweils gibt:




2
A =



8.4
3
3
3
0
0
0
3
3
3
0
0
0
3
3
3
0
0
0
0
0
0
3
3
3
0
0
0
3
3
3
0
0
0
3
3
3








3
, A = 






0
0
0
9
9
9
0
0
0
9
9
9
0
0
0
9
9
9
9
9
9
0
0
0
9
9
9
0
0
0
9
9
9
0
0
0




.



Bäume
Eine besondere Rolle spielen Graphen, die keinen Kreis enthalten.
Definition 8.28 Ein zusammenhängender Graph, der keinen Kreis enthält,
heißt Baum (”tree”).
168
KAPITEL 8. GRAPHEN
Hier zählen auch Schlingen als Kreise, d.h. ein Baum darf keine Schlinge
enthalten und ist daher immer ein einfacher Graph.
Definition 8.29 Ein beliebiger Graph, der keinen Kreis enthält, heißt Wald
(”forest”).
Jede Zusammenhangskomponente eines Waldes ist also ein Baum.
Der allereinfachste Baum ist der Graph K1 . Wir nennen ihn auch den trivialen
Baum.
Satz 8.30 Ein einfacher Graph G ist genau dann ein Baum, wenn es zu je
zwei Ecken von G genau einen Verbindungspfad gibt.
Beweis:
1) Seien x, y zwei Ecken eines Baumes G. Da G zusammenhängend ist, gibt
es mindestens einen Pfad von x nach y. Angenommen, es gäbe zwei solche
Pfade, P = (x = x1 , x2 , . . . , xn = y) und P 0 = (x = x01 , x02 , . . . , x0m = y). Mit
V (P 0 ) bezeichnen wir die Eckenmenge von P 0 . Wenn P 6= P 0 ist, dann gibt es
einen Index i > 1, sodass xi 6= x0i . Sei i0 der kleinste solche Index und folglich
xi0 −1 = x0i0 −1 . Da P und P 0 denselben Endpunkt y haben, gibt es einen Index
i ≥ i0 mit xi ∈ V (P 0 ) (nämlich i = n). Sei i1 der kleinste derartige Index, also
xi1 = x0k1 für ein k1 ≥ i0 . Dann wäre aber (xi0 −1 , xi0 , . . . , xi1 , x0k1 −1 , . . . , x0i0 )
ein Kreis, Widerspruch.
2) Sei G ein einfacher Graph, in dem es zu je zwei Ecken genau einen
Verbindungspfad gibt. Dann ist G jedenfalls zusammenhängend. Wenn G
kein Baum ist, dann enthält G einen Kreis K. Da K keine Schlinge ist, hat
K mindestens zwei Ecken, und diese sind durch zwei verschiedene Pfade verbunden, im Widerspruch zur Voraussetzung.
Bemerkung: In einem Baum ist jeder Weg ein Pfad; denn ein Weg, der kein
Pfad ist, enthält immer einen Kreis (siehe Bemerkung 8.18).
Satz 8.31 In einem nichttrivialen Baum gibt es stets mindestens zwei Ecken
mit Grad 1.
Beweis: Sei G ein Baum 6= K1 und P = (x1 , . . . , xn ) ein Pfad in G mit
maximaler Länge. Wäre d(x1 ) > 1, dann wäre x1 außer mit x2 noch mit
einer anderen Ecke y verbunden. y ∈
/ {x1 , . . . , xn }, denn sonst ergäbe sich ein
Kreis. Also wäre (y, x1 , . . . , xn ) ein Pfad. Das ist aber ein Widerspruch zur
Maximalität von P. Es folgt d(x1 ) = 1, und analog d(xn ) = 1.
8.4. BÄUME
169
Satz 8.32 Ein zusammenhängender Graph G = (V, E) ist genau dann ein
Baum, wenn |E| = |V | − 1 ist.
Beweis:
1) Sei G = (V, E) ein Baum. Wir verwenden Induktion nach |V |.
|V | = 1: In diesem Fall handelt es sich um den trivialen Baum, und da ist
|E| = 0 = |V | − 1.
|V | − 1 → |V |: Nach dem vorigen Satz gibt es eine Ecke a mit Grad 1. Lassen
wir diese Ecke (und die zugehörige Kante) weg, so entsteht ein Baum G0 mit
|V | − 1 Ecken, denn durch das Weglassen von a wird der Zusammenhang
nicht zerstört und es kann auch kein Kreis entstehen. Die Anzahl der Kanten
von G0 beträgt nach Induktionsannahme |V | − 2. Der ursprüngliche Graph
G hat eine Kante mehr, also |V | − 1.
2) Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit |E| = |V | − 1. Wenn
G einen Kreis enthielte, dann könnte man aus diesem Kreis eine Kante weglassen, ohne dass der Graph unzusammenhängend wird. Das könnte man
so lange wiederholen, bis man schließlich einen Graphen G0 = (V, E 0 ) ohne
Kreise erhielte. Das wäre dann ein Baum, und nach dem 1. Teil des Beweises würde |E 0 | = |V | − 1 folgen. Wegen |E 0 | < |E| ergäbe das aber einen
Widerspruch zur Voraussetzung.
Bemerkung: Für einen Wald mit z Zusammenhangskomponenten gilt offensichtlich |E| = |V | − z.
8.4.1
Wurzelbäume
Bei vielen Anwendungen von Bäumen, z.B. zur Darstellung von hierarchischen Strukturen, gibt es eine besonders ausgezeichnete Ecke. Das führt zu:
Definition 8.33 Sei G ein Baum und r eine Ecke von G. Dann heißt
T = (G, r) ein Wurzelbaum (”rooted tree”), und die Ecke r heißt Wurzel
(”root”) von T.
Unter den Ecken und Kanten von T verstehen wir dann natürlich die Ecken
und Kanten von G. Die Menge der Ecken von T bezeichnen wir auch mit
V (T ).
170
KAPITEL 8. GRAPHEN
Bemerkung 8.34 Jeder Wurzelbaum T = (G, r) kann als gerichteter Graph
aufgefasst werden, indem man jede Kante so orientiert, dass der Anfangspunkt die vorletzte Ecke auf dem eindeutigen Pfad von r zum Endpunkt ist.
Beweis: Wenn {a, b} eine Kante von T ist, dann gibt es einen eindeutig
bestimmten Pfad von r nach b, sagen wir (r = x0 , x1 , . . . , xn−1 , xn = b).
Wenn xn−1 = a ist, dann wählen wir (a, b) als gerichtete Kante. Wenn nicht,
dann ist (r = x0 , x1 , . . . , xn−1 , xn = b, xn+1 = a) ein Pfad von r nach a. (Wäre
nämlich a ∈ {x0 , . . . , xn }, so ergäbe sich ein Kreis.) In diesem Fall nehmen
wir daher (b, a) als gerichtete Kante.
Wir denken uns also in einem Wurzelbaum jede Kante ”von der Wurzel weg”
orientiert. Die Wurzel hat somit Eingangsgrad 0.
Bemerkung 8.35 In einem (als Digraph aufgefassten) Wurzelbaum hat jede
Ecke x mit Ausnahme der Wurzel Eingangsgrad 1.
Beweis: Sei (a, x) eine Eingangskante von x. Nach der vorigen Bemerkung
ist a die vorletzte Ecke auf dem eindeutigen Pfad von r nach x und somit
ebenfalls eindeutig bestimmt.
Definition 8.36 Der Anfangspunkt der Eingangskante von x heißt Vater
(”parent”) oder Vorgänger (”predecessor”) von x. Die Endpunkte der Ausgangskanten von x heißen Söhne (”children”) oder Nachfolger (”successor”) von x. Die Ecken mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter (”leaves”) oder
Endecken.
Üblicherweise zeichnet man Wurzelbäume so, dass die Wurzel oben ist und
alle Kanten von oben nach unten orientiert sind. Wurzelbäume dienen häufig
zur Datenstrukturierung, z.B. bei den Verzeichnissen auf einem Datenträger.
Bemerkung 8.37 Sei T ein Baum mit Wurzel r. Dann entspricht jeder
Ecke x von T in natürlicher Weise ein Teilbaum Tx mit Wurzel x, nämlich
die Menge aller Ecken und Kanten, welche zu einem von x ausgehenden
gerichteten Pfad gehören.
Insbesondere gilt für die Söhne x1 , . . . , xs von r: V (T ) = {r} ∪
s
S
V (Txi ).
i=1
Die Eckenmenge von Tx besteht also aus x und allen ”Nachkommen” von x,
das sind die Söhne von x, deren Söhne, usw..
8.4. BÄUME
171
Definition 8.38 Die Länge des Pfades von der Wurzel zu einer bestimmten
Ecke heißt das Niveau (”level”) dieser Ecke. Das größte auftretende Niveau
heißt die Höhe (”height”) des Wurzelbaumes.
m-Bäume
In einem wichtigen Spezialfall gibt es eine gute Abschätzung für die Höhe:
Definition 8.39 Ein Wurzelbaum, in dem jede Ecke höchstens Ausgangsgrad m hat, heißt m-Baum (”m-ary tree”), speziell für m = 2: binärer
Baum (”binary tree”).
Satz 8.40 Für die Höhe h eines m-Baumes mit b Blättern gilt
h ≥ logm b.
Beweis: Die Behauptung ist äquivalent zu b ≤ mh . Das beweisen wir mit
Induktion nach h.
h = 0: In diesem Fall besteht der Baum nur aus der Wurzel, und diese ist
gleichzeitig das einzige Blatt, also b = 1 = m0 .
≤ h → h + 1: Sei T ein Wurzelbaum mit Höhe h + 1. Lassen wir die Wurzel
r (und die davon ausgehenden Kanten) weg, so entsteht ein Wald, der aus
den Bäumen Tx1 , . . . , Txs besteht, wobei x1 , . . . , xs die Söhne von r sind,
s = d− (r) ≤ m. Die Höhen der Txi sind ≤ h, daher enthält jeder Baum Txi
nach Induktionsvoraussetzung höchstens mh Blätter. Die Anzahl der Blätter
von T ist daher ≤ s · mh ≤ mh+1 .
Anwendungsbeispiel (”Entscheidungsbäume”): Wenn eine Entscheidung in
mehreren Schritten zustandekommt, wobei in jedem Schritt eine ”elementare”
Entscheidung getroffen wird, so kann die gesamte Entscheidungsprozedur als
Wurzelbaum dargestellt werden. Jede elementare Entscheidung entspricht
einer Ecke des Baums, und die möglichen Ergebnisse einer elementaren Entscheidung werden durch die Söhne repräsentiert. Man beginnt bei der Wurzel
und kommt schließlich zu einem Blatt, welches das Endergebnis der Entscheidung darstellt.
172
KAPITEL 8. GRAPHEN
Konkretes Beispiel: Angenommen, man hat r gleich aussehende Münzen
a1 , . . . , ar und weiß, dass höchstens eine der Münzen falsch ist. Außerdem
hat man noch eine Münze a0 , von der man sicher weiß, dass sie echt ist. Eine
falsche Münze unterscheidet sich durch ihr Gewicht von einer echten. Wie
viele Wägungen mit einer Balkenwaage sind nötig, um die falsche Münze zu
finden (falls vorhanden), und festzustellen, ob sie zu leicht oder zu schwer
ist?
Die möglichen Endergebnisse, also die Blätter des Entscheidungsbaums, bezeichnen wir mit e, s1 , l1 , . . . , sr , lr . Dabei bedeutet e, dass alle Münzen echt
sind, si , dass die i-te Münze zu schwer ist, und li , dass die i-te Münze zu leicht
ist. Bei jeder Wägung gibt es drei mögliche Ausgänge. Es ist also b = 2r + 1
und m = 3, und daher h ≥ log3 (2r + 1).
Für r = 4 heißt das z.B. h ≥ log3 (9) = 2. In diesem Fall ist es tatsächlich
möglich, einen Entscheidungsbaum mit Höhe 2 zu konstruieren (Übungsaufgabe 6).
Durchsuchen von Wurzelbäumen
Es gibt verschiedene Verfahren, einen gegebenen Wurzelbaum zu durchsuchen,
um z.B. Ecken mit bestimmten Eigenschaften zu finden. Es geht dabei darum,
die Ecken des Baumes in Form einer Liste (d.h. einer endlichen Folge) darzustellen, wobei man unter Umständen abbricht, sobald man eine geeignete
Ecke gefunden hat. Das ist besonders dann interessant, wenn der Baum sehr
groß ist und vielleicht gar nicht vollständig im Arbeitsspeicher des Computers
dargestellt werden kann. Es genügt, wenn man für jede Ecke bei Bedarf die
Liste der Söhne berechnen oder von einem externen Speicher einlesen kann.
Diese Suchverfahren dienen aber auch zu verschiedenen anderen Zwecken,
von denen einige hier besprochen werden.
Die praktisch verwendeten Methoden zerfallen in zwei Klassen, welche ”Tiefensuche” und ”Breitensuche” heißen.
Tiefensuche (”depth-first search”)
Grundidee: Wir beginnen bei der Wurzel und gehen in jedem Schritt, wenn
möglich, längs einer Kante zu einer Ecke mit größerem (”tieferem”) Niveau.
Wenn das nicht möglich ist, gehen wir so weit zurück (”backtracking”), bis
8.4. BÄUME
173
wir eine Ecke finden, von der aus eine Kante zu einer noch nicht besuchten
Ecke mit größerem Niveau führt.
Das folgende Programm initialisiert die Eckenliste mit der Wurzel und ruft
sich dann rekursiv für jeden zu einem Sohn x von r gehörigen Teilbaum Tx
auf (siehe Bemerkung 8.37). Wir nehmen dabei an, dass der Baum durch
die Wurzel r und die Adjazenzlisten A− (x) gegeben ist. L und x sind als
”lokale Variable” deklariert. Das bedeutet: Wenn das Programm ein weiteres Mal aufgerufen wird, während ein vorhergehender Aufruf noch nicht
abgeschlossen wurde, so werden neue Variablen L und x erzeugt, die mit den
früheren nichts zu tun haben.
DFS(r):
local variables: L, x
L := (r)
for x ∈ A− (r) do L := L ∪ DFS(x)
return L
Dazu ein Beispiel:
1
2
4
3
5
8
9
6
7
10
Das Programm läuft folgenderweise ab, wobei wir die verschiedenen mit L
bzw. x bezeichneten Variablen durch Indizes unterscheiden:
Aufruf von DFS(1)
L1 := (1), x1 := 2
174
KAPITEL 8. GRAPHEN
Aufruf von DFS(2)
L2 := (2), x2 := 4
Aufruf von DFS(4)
L4 := (4)
return L4 (da for-Schleife leer)
L2 := (2, 4), x2 := 5
Aufruf von DFS(5)
L5 := (5), x5 := 8
Aufruf von DFS(8)
L8 := (8)
return L8
L5 := (5, 8), x5 := 9
Aufruf von DFS(9)
L9 := (9)
return L9
L5 := (5, 8, 9), x5 := 10
Aufruf von DFS(10)
L10 := (10)
return L10
L5 := (5, 8, 9, 10)
return L5 (da for-Schleife abgearbeitet).
L2 := (2, 4, 5, 8, 9, 10)
return L2
L1 := (1, 2, 4, 5, 8, 9, 10), x1 := 3
Aufruf von DFS(3)
L3 := (3), x3 := 6
Aufruf von DFS(6)
8.4. BÄUME
175
L6 := (6)
return L6
L3 := (3, 6), x3 := 7
Aufruf von DFS(7)
L7 := (7)
return L7
L3 := (3, 6, 7)
return L3
L1 := (1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 3, 6, 7)
return L1 .
Anwendungsbeispiel: Algebraische oder logische Ausdrücke in polnischer
Notation.
In Kapitel 1.3.1 haben wir aussagenlogische Ausdrücke so definiert: Aussagensymbole sind zulässige Ausdrücke, und wenn P und Q zulässige Ausdrücke sind, dann auch (P ), (¬P ) und (P → Q). Man könnte auch noch
(P ∨ Q) und (P ∧ Q) dazunehmen. In ähnlicher Weise kann man algebraische
Ausdrücke z.B. folgenderweise definieren:
a) Symbole a, b, . . . , x, y, z für Variable sind algebraische Ausdrücke;
b) (konstante) Zahlen sind algebraische Ausdrücke;
c) wenn P und Q algebraische Ausdrücke sind, dann auch (P ), chs(P ), rec(P )
(für P 6= 0), (P + Q), (P ∗ Q).
Dabei bedeutet ”chs” Vorzeichenänderung und ”rec” Bildung des Kehrwerts.
Solche Ausdrücke lassen sich durch einen Wurzelbaum darstellen, bei dem
die Blätter Aussagen- bzw. Variablensymbole oder Konstanten sind, und die
anderen Ecken Verknüpfungen ihrer Söhne entsprechen.
Am besten wird das wohl an Hand eines konkreten Beispiels klar. Betrachten
wir etwa folgenden algebraischen Ausdruck (links in der üblichen Schreibweise, rechts entsprechend der soeben angegebenen, formalen Definition):
µ
¶
y+2
(x + 4) −
= ((x + 4) ∗ chs ((y + 2) ∗ rec(3))) .
3
176
KAPITEL 8. GRAPHEN
Der entsprechende Wurzelbaum sieht so aus:
*
+
x
chs
*
4
+
y
rec
2
3
Erzeugen wir aus diesem Baum mit Hilfe von DFS eine Liste, so erhalten wir
(nach Weglassung von Klammern und Beistrichen):
∗ + x 4 chs ∗ + y 2 rec 3 .
Das nennt man die polnische Notation des betrachteten algebraischen
Ausdrucks. (Die Bezeichnung bezieht sich auf Jan Lukasiewicz (1878 - 1956),
dem Begründer der berühmten ”Warschauer Schule” der mathematischen
Logik.)
Oft verwendet man auch die sogenannte umgekehrte polnische Notation
(”reverse polish notation”, RPN). Diese ist nicht einfach die polnische Notation in der umgekehrten Reihenfolge. Sie entsteht vielmehr durch folgende
Variante der Tiefensuche (auch ”postorder listing” genannt, im Gegensatz
zum vorhin besprochenen DFS, das ”preorder listing” heißt). Dabei beginnt man bei jedem Aufruf mit der leeren Liste und hängt die Wurzel erst
am Ende dazu:
POSTORDER(r):
local variables: L, x
L := ∅
for x ∈ A− (r) do L := L ∪ POSTORDER(x)
return L ∪ (r)
8.4. BÄUME
177
In unserem Beispiel erhalten wir folgende RPN:
x 4 + y 2 + 3 rec ∗ chs ∗
Die RPN entspricht in natürlicher Weise der Reihenfolge der Abarbeitung
bei der Auswertung eines algebraischen Ausdrucks. Sie wird daher z.B. auch
bei manchen Taschenrechnern verwendet.
Bei dem Beispielgraphen von vorhin ergibt sich folgendes postorder listing:
(4 8 9 10 5 2 6 7 3 1).
Durch die RPN ist ein algebraischer Ausdruck eindeutig bestimmt. Diese
einleuchtende Tatsache ergibt sich aus folgendem Satz:
Satz 8.41 Wenn für jede Ecke eines Wurzelbaumes T die Anzahl der Söhne
bekannt ist, so ist T durch sein preorder oder postorder listing eindeutig bestimmt.
Bemerkung: Wenn ein algebraischer Ausdruck in RPN gegeben ist, dann
kennt man für jede Ecke die Anzahl der Söhne: Für Variable oder Konstante
ist sie 0, für chs und rec ist sie 1, und für + und ∗ ist sie 2.
Beweis des Satzes: Siehe z.B. [26].
Bemerkung 8.42 Bei algebraischen Ausdrücken, die nichtkommutative Verknüpfungen enthalten, wie z.B. Subtraktion oder Division, entsteht ein
”Baum”, bei dem es auf die Reihenfolge der Söhne ankommt.
(Vgl. Übungsaufgaben 7 und 8.)
Breitensuche (”breadth-first search”)
Bei der Breitensuche durchsucht man, beginnend bei der Wurzel, zunächst
alle Ecken auf einem Niveau, bevor man zum nächsten Niveau übergeht.
Für die Programmierung verwendet man zweckmäßigerweise eine sogenannte
”Warteschlange”, das ist eine Liste W, die folgenderweise behandelt wird: Neu
178
KAPITEL 8. GRAPHEN
hinzukommende Elemente werden immer am Ende angehängt. Abgearbeitet
wird das jeweils erste Element von W, und dieses wird dann aus W entfernt.
BFS(r):
L := ∅, W := (r)
while W 6= ∅ do
x := erstes Element von W
entferne x aus W
L := L ∪ (x)
W := W ∪ A− (x)
end of while
Ausgabe: L
In unserem Beispielbaum läuft die Breitensuche beim Aufruf von BFS(1)
folgenderweise ab (die Nummern geben an, um den wievielten Durchlauf der
While-Schleife es sich handelt):
0. L := ∅, W := (1)
1. x := 1, W := ∅, L := (1), W := (2, 3)
2. x := 2, W := (3), L := (1, 2), W := (3, 4, 5)
3. x := 3, W := (4, 5), L := (1, 2, 3), W := (4, 5, 6, 7)
4. x := 4, W := (5, 6, 7), L := (1, 2, 3, 4), W := (5, 6, 7)
5. x := 5, W := (6, 7), L := (1, 2, 3, 4, 5), W := (6, 7, 8, 9, 10)
6. x := 6, W := (7, 8, 9, 10), L := (1, 2, 3, 4, 5, 6), W := (7, 8, 9, 10)
7. x := 7, W := (8, 9, 10), L := (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), W := (8, 9, 10)
8. x := 8, W := (9, 10), L := (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), W := (9, 10)
9. x := 9, W := (10), L := (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), W := (10)
10. x := 10, W := ∅, L := (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), W := ∅
8.4. BÄUME
8.4.2
179
Aufspannende Bäume
Definition 8.43 Ein Teilgraph T = (V 0 , E 0 ) eines Graphen G = (V, E)
heißt aufspannender Baum (auch ”Spannbaum” oder ”Gerüst”, engl. ”spanning tree”) von G, wenn er erstens ein Baum ist und zweitens V 0 = V gilt.
Bemerkung 8.44 Jeder zusammenhängende Graph enthält einen aufspannenden Baum.
Beweis: Wenn der Graph nämlich nicht schon ein Baum ist, dann entfernt
man immer wieder Kanten aus Kreisen, so lange, bis keine Kreise mehr
vorhanden sind. Dabei bleibt der Graph zusammenhängend und ist daher
am Ende ein Baum.
Daraus folgt auf Grund von Satz 8.32:
Bemerkung 8.45 Für jeden zusammenhängenden Graphen G = (V, E) gilt:
|E| ≥ |V | − 1.
Für die Berechnung eines aufspannenden Baumes kann man die Idee des
Beweises der Bemerkung 8.44 anwenden. Man muss dabei allerdings in jedem
Schritt nach einem Kreis suchen. Einfacher geht es mit Methoden, die ähnlich
zu den Suchverfahren in Wurzelbäumen sind und daher auch so heißen.
Um diese Algorithmen zu beschreiben, nehmen wir an, dass der Graph durch
Adjazenzlisten gegeben ist, mit V = {x1 , . . . , xn }. Die Grundstruktur sieht
so aus:
SPTR:
VT := {x1 }, ET := ∅
for i := 2 to n do
find x ∈ VT such that A(x) \ VT 6= ∅
choose y ∈ A(x) \ VT
VT := VT ∪ {y}
ET := ET ∪ {{x, y}}
end of for
Ausgabe: ET
180
KAPITEL 8. GRAPHEN
(V, ET ) ist dann wirklich ein aufspannender Baum, denn (VT , ET ) bleibt
während des ganzen Verfahrens zusammenhängend, und am Ende hat ET
ja n − 1 Elemente. Es kann auch nicht passieren, dass man keine Ecke
mehr findet, denn von jeder noch nicht gefundene Ecke y aus gibt es einen
Pfad nach x1 . Die letzte noch nicht gefundene Ecke auf diesem Pfad ist eine
geeignete Ecke.
Zur Realisierung von ”find” kann man nun wie bei DFS oder BFS vorgehen.
DFS-SPANNING-TREE:
VT := ∅, ET := ∅
DFSSUB(x1 )
Ausgabe: ET
Das Wesentliche geschieht im folgenden rekursiven Unterprogramm:
DFSSUB(x):
VT := VT ∪ {x}
for y ∈ A(x) do
if y ∈
/ VT then
ET := ET ∪ {{x, y}}
DFSSUB(y)
end of if
end of for
Die Breitensuche lässt sich ebenso übertragen:
8.4. BÄUME
181
BFS-SPANNING-TREE:
VT := {x1 }, ET := ∅, W := (x1 )
while W 6= ∅ do
x := erstes Element von W
entferne x aus W
for y ∈ A(x) do
if y ∈
/ VT then
VT := VT ∪ {y}
ET := ET ∪ { {x, y} }
W := W ∪ (y)
end of if
end of for
end of while
Ausgabe: ET
Beispiel: In der folgenden Abbildung wurde der linke aufspannende Baum
mit Tiefensuche und der rechte mit Breitensuche berechnet:
1. Bemerkung: Um schnell feststellen zu können, ob y in VT enthalten ist
oder nicht, codiert man die Menge VT in der Weise, dass man ein Array
182
KAPITEL 8. GRAPHEN
(v1 , . . . , vn ) anlegt mit
vi :=
½
1
0
falls xi ∈ VT ,
sonst.
Man sagt dafür auch: Die Elemente von VT werden ”markiert”.
2. Bemerkung: Die Verfahren zur Berechnung eines aufspannenden Baumes
dienen auch dazu, festzustellen, ob ein Graph zusammenhängend ist: Das ist
genau dann der Fall, wenn bei der Suche alle Ecken erfasst werden.
8.5
Kreisfreie Digraphen
Definition 8.46 Ein Digraph heißt kreisfrei oder azyklisch (”acyclic”),
wenn er keinen gerichteten Kreis enthält.
Jeder (als gerichteter Graph aufgefasste) Wurzelbaum ist ein kreisfreier Digraph, aber nicht umgekehrt. Beispiel: V = {a, b, c}, E = {(a, b), (c, b)}.
Im allgemeinen ist der einem kreisfreien Digraphen zugrundeliegende Graph
kein Baum. Beispiel: Sei V = {a, b, c, d} und E = {(a, b), (b, c), (a, d), (d, c)}.
Dann ist D = (V, E) ein kreisfreier Digraph, der zugrundeliegende Graph ist
aber ein Kreis!
Die Frage, ob ein gerichteter Graph einen (gerichteten) Kreis enthält, ist für
viele Anwendungen von Bedeutung, z.B. Projektplanung oder Vermeidung
von zyklischen Aufrufen in Programmsystemen.
Bei der Projektplanung hat man oft folgende Situation: Zur Durchführung
des Projekts sind mehrere Aktionen x1 , . . . , xn nötig, und gewisse dieser
Aktionen können nur durchgeführt werden, wenn bestimmte andere schon
vorher erledigt wurden. Diese Bedingungen kann man durch einen Digraphen
D = (V, R) mit V = {x1 , . . . , xn } angeben, wobei (x, y) ∈ R heißt, dass x
eine Voraussetzung für y ist. Die Aufgabe besteht nun darin, die Aktionen
in eine Reihenfolge x01 , . . . , x0n zu bringen, sodass gilt:
(x0i , x0k ) ∈ R ⇒ i < k.
Wir überlegen uns nun, dass das immer möglich ist, wenn D ein kreisfreier
Digraph ist. Gleichzeitig erhalten wir einen Algorithmus, der feststellt, ob
ein gegebener Digraph kreisfrei ist und, wenn ja, eine entsprechende Nummerierung der Ecken liefert.
8.5. KREISFREIE DIGRAPHEN
183
Satz 8.47 In jedem (endlichen) kreisfreien Digraphen D kann man die
Ecken so nummerieren, dass für jede Kante von D der Anfangspunkt kleineren
Index als der Endpunkt hat.
Bemerkung: Durch eine solche Nummerierung wird eine bestimmte Reihenfolge der Ecken festgelegt, die man auch (ziemlich irreführend) topologische
Anordnung der Ecken nennt. Diese Bezeichnung ist so zu verstehen: Zeichnet man den Graphen so, dass die x-Koordinaten der Ecken entsprechend
ihrer Nummerierung geordnet sind, so zeigen alle Kanten von links nach
rechts. Wir sprechen in diesem Zusammenhang besser von einer zulässigen
Reihenfolge der Ecken.
Als einfaches Beispiel betrachten wir nochmals den obigen kreisfreien Digraphen D = (V, E) mit vier Ecken. Es gibt in diesem Fall zwei zulässige
Reihenfolgen der Ecken, nämlich (a, b, d, c) und (a, d, b, c).
Zum Beweis:
Hilfssatz 8.48 Ein (endlicher) kreisfreier Digraph enthält mindestens eine
Ecke mit Eingangsgrad Null.
Beweis: Sei D ein kreisfreier Digraph und P = (x1 , . . . , xn ) ein gerichteter
Pfad in D mit maximaler Länge. Angenommen, x1 hat Eingangsgrad > 0.
Dann gibt es eine Ecke y, von der aus eine Kante nach x1 geht. Wäre y ∈
/
{x1 , . . . , xn }, dann wäre (y, x1 , . . . , xn ) ein längerer Pfad als P, und das ist
ein Widerspruch. Daher muss y ∈ {x1 , . . . , xn } sein, sagen wir y = xk . Dann
wäre aber (x1 , . . . , xk ) ein gerichteter Kreis, und das ist nicht erlaubt. Es
folgt, dass x1 Eingangsgrad Null haben muss.
Beweis des Satzes mit vollständiger Induktion nach der Anzahl der Ecken:
Für einen Digraphen mit nur einer Ecke bedeutet ”kreisfrei”, dass er keine
Schlinge und somit überhaupt keine Kante hat. Diese eine Ecke hat daher
Eingangsgrad Null.
Sei nun D = (V, R) ein kreisfreier Digraph mit n Ecken, n > 1, und y1 eine
Ecke von D mit Eingangsgrad 0 (gemäß Hilfssatz). Lassen wir die Ecke y1
(und alle zugehörigen Kanten) weg, so entsteht ein kreisfreier Digraph D0
mit n − 1 Ecken. Dessen Ecken lassen sich nach Induktionsvoraussetzung
so nummerieren, dass für jede Kante von D0 der Anfangspunkt kleineren
Index als der Endpunkt hat. Wir können natürlich die Nummerierung mit
2 beginnen, d.h. V \ {y1 } = {y2 , . . . , yn }. Dann ist aber (y1 , . . . , yn ) eine
184
KAPITEL 8. GRAPHEN
Reihenfolge mit der gewünschten Eigenschaft: Da es keine Kante der Form
(yi , y1 ) gibt, ist die Aussage
(yi , yk ) ∈ R ⇒ i < k
für k = 1 sicher richtig. Für i = 1 folgt sie aus der Schlingenfreiheit von D,
und für i, k > 1 aus der Induktionsvoraussetzung.
Aus dem Beweis des Satzes ergibt sich der angekündigte Algorithmus:
Algorithmus zum Test eines Digraphen auf Kreisfreiheit und Berechnung
einer zulässigen Reihenfolge (Kahn 1962):
(Wir nehmen an, dass der Digraph durch die Eckenmenge V und die Adjazenzlisten A+ (x), A− (x) gegeben ist.)
for x ∈ V do d+ (x) := |A+ (x)|
L := {x ∈ V | d+ (x) = 0}
S := ∅
while L 6= ∅ do
y := erstes Element von L
L := L \ (y)
S := S ∪ (y)
for x ∈ A− (y) do
d+ (x) := d+ (x) − 1
if d+ (x) = 0 then L := L ∪ (x)
end of for
end of while
if |S| < |V | then
Ausgabe: ”nicht kreisfrei”
else
Ausgabe: S
end of if
Beispiel: Jemand hat 9 verschiedene Aufgaben a, b, c, d, e, f, g, h, i zu erledigen, wobei einige der Aufgaben andere nach folgendem Schema voraussetzen:
8.5. KREISFREIE DIGRAPHEN
185
1. g vor a,
2. i vor b,
3. i und d vor c,
4. a, b, g vor d,
5. b, f vor e,
6. c, g vor h.
Der obige Algorithmus liefert die Reihenfolge (f, g, i, a, b, d, e, c, h).
Bemerkung: Im Falle eines nicht kreisfreien Graphen ist man oft daran interessiert, einen Kreis zu finden. Das kann man durch folgende Modifikation
des obigen Algorithmus erreichen:
1. In der inneren for-Schleife werden nicht nur die Eingangsgrade, sondern
auch die Adjazenzlisten A+ angepasst, indem folgende Anweisung eingefügt
wird:
A+ (x) := A+ (x) \ (y)
2. Nach der Ausgabe ”nicht kreisfrei” kann jetzt ein Kreis gefunden werden,
indem man ausgehend von irgendeiner Ecke x0 mit Eingangsgrad d+ (x0 ) 6= 0
”rückwärts” einen Kreis aufbaut, etwa so:
x := erstes Element von A+ (x0 )
C := (x0 )
while x ∈
/ C do
C := (x) ∪ C
x := erstes Element von A+ (x)
end of while
y := letztes Element von C
while y 6= x do
C := C \ (y)
y := letztes Element von C
end of while
Die zweite while-Schleife wird nur dann durchlaufen, wenn sich der Kreis
nicht mit x0 schließt, sondern mit einem später hinzugefügten Element von
C.
186
KAPITEL 8. GRAPHEN
Wenn wir etwa in obigem Beispiel zusätzlich ”c vor g” fordern, dann erhalten
wir, ausgehend von x0 := a, den Kreis (d, c, g, a).
Bemerkung 8.49 Der zu einer strikten Ordnungsrelation gehörige Digraph
ist stets kreisfrei.
Beweis: Angenommen, (x1 , . . . , xn ) wäre ein Kreis. Das hieße aber
x1 @ x2 @ . . . @ xn @ x1 . Wegen der Transitivität würde daraus x1 @ x1
folgen. Das ist aber nicht möglich.
Folgerung 8.50 Auf einer endlichen Menge M gibt es zu jeder (Halb-)Ordnung v eine Totalordnung ≤ , sodass
∀x, y ∈ M : x v y → x ≤ y.
(Andere Formulierungen: Jede Halbordnung kann zu einer Totalordnung ”fortgesetzt” werden. Jede Halbordnung ist in einer Totalordnung enthalten.)
Zum Beweis betrachtet man einfach die zugehörige strikte Ordnung und
den entsprechenden Digraphen. Nummerieren wir die Elemente von M nach
unserem Satz, so hat die durch xi ≤ xk :⇔ i ≤ k definierte Totalordnung die
gewünschte Eigenschaft.
Beispiel: Zu der durch die Teilbarkeitsrelation definierten Ordnung auf
{2, 3, . . . , 12} erhalten wir z.B. folgende topologische Anordnung:
(2, 3, 5, 7, 11, 9, 6, 4, 10, 12, 8). Durch diese Reihenfolge wird eine Totalordnung definiert, welche die Teilbarkeitsordnung umfasst.
8.6
Bewertete Graphen und Digraphen
Definition 8.51 Sei G = (V, E) ein (Di—)Graph und w : E → R eine
beliebige Funktion. Dann heißt (G, w) bewerteter (Di—)Graph (”weighted
graph”) oder auch Netzwerk (”network”).
Die Bewertungsfunktion w kann in verschiedener Weise interpretiert werden.
Dementsprechend wird w(e) dann auch benannt, z.B.:
1. Länge der Kante e, z.B. Länge einer Verbindungsstraße.
8.6. BEWERTETE GRAPHEN UND DIGRAPHEN
187
2. Zeit, die man (durchschnittlich) braucht, um die der Kante entsprechende
Strecke zu fahren oder eine bestimmte der Kante entsprechende Aktion durchzuführen.
3. Kosten: z.B. Baukosten oder Kosten für einen Transport oder eine Nachrichtenübermittlung längs der Kante.
4. Gewinn, den eine der Kante entsprechende Aktion bringt.
5. Kapazität: Maximale Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, maximale
Flüssigkeitsmenge pro Zeiteinheit, maximale Anzahl von gleichzeitig übermittelbaren Telefongesprächen längs der Kante.
6. Zuverlässigkeit: Wahrscheinlichkeit für den Nicht-Zusammenbruch einer
der Kante entsprechenden Leitung innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls.
Allgemein nennt man w(e) auch das Gewicht von e.
Oft wird w(e) ≥ 0 oder w(e) > 0 für alle Kanten e vorausgesetzt. Es gibt
aber auch sinnvolle Interpretationen für negative Bewertungen, z.B. Verlust
= negativer Gewinn.
Bemerkung 8.52 Man kann jeden Graphen als Netzwerk auffassen, indem
man w(e) := 1 für alle e ∈ E setzt.
Schreibweise: Statt w({x, y}) oder w((x, y)) schreiben wir einfach w(x, y).
Wir können w auch als Funktion auf V × V auffassen, indem wir w(x, y) := 0
setzen, wenn {x, y} bzw. (x, y) keine Kante ist. Wenn die Ecken nummeriert
sind, V = {v1 , . . . , vn }, dann ist w durch die Matrix W = (wik ) mit
wik := w(vi , vk ) gegeben. Im Falle eines gewöhnlichen (Di—)Graphen ist das
nach obiger Bemerkung nichts anderes als die Adjazenzmatrix.
Beispiel: Sei V = {1, 2, 3, 4, 5}. Dann wird

0 3 1
 2 0 0

W =
 0 4 0
 0 0 0
0 0 0
durch

2 0
0 0 

1 0 

0 0 
0 0
eine Bewertung auf dem Digraphen von Abschnitt 8.1.4 definiert.
Oft setzt man w(x, y) := ∞, falls {x, y} bzw. (x, y) keine Kante ist. Dann ist
der (Di—)Graph durch die Matrix W eindeutig bestimmt, selbst wenn es Kanten mit Gewicht 0 gibt. Diese Vorgangsweise entspricht auch in natürlicher
Weise einigen der genannten Interpretationen von w.
188
KAPITEL 8. GRAPHEN
Wir diskutieren hier hauptsächlich die Interpretation der Bewertung als
Länge. Die anderen Interpretationen führen unter anderem auf den wichtigen
Begriff der Flüsse auf Netzwerken (siehe z.B. [28]).
8.6.1
Kürzeste Wege
Begriffe
Definition 8.53 Sei P = (x1 , . . . , xn ) eine Wanderung (oder speziell ein
Weg oder Pfad) in einem bewerteten Graphen (G, w). Dann heißt
L(P ) :=
n−1
X
w(xi , xi+1 )
i=1
die Länge von P. Wenn P ein Kreis ist, setzen wir
L(P ) :=
n
X
w(xi , xi+1 )
i=1
mit xn+1 := x1 .
Im Falle eines gewöhnlichen Graphen stimmt das nach Bemerkung 8.52 mit
der früheren Definition der Länge überein.
Eine in der Praxis häufig auftretende Frage ist die nach dem kürzesten Weg
von einer Ecke zu einer anderen Ecke. Falls es in einem (endlichen) bewerteten
(Di—)Graphen zu zwei Ecken a, b überhaupt einen Weg von a nach b gibt, so
gibt es einen mit minimaler Länge. Jeder solche Weg heißt kürzester Weg
von a nach b.
Bemerkung 8.54 Wenn alle Kreise positive Länge haben, so ist jeder kürzeste Weg ein Pfad.
Beweis: Würde ein kürzester Weg Kreise mit positiver Länge enthalten, so
könnte man diese weglassen und erhielte einen noch kürzeren Weg, was einen
Widerspruch ergäbe.
Bemerkung: In einem Netzwerk mit Kreisen negativer Länge gibt es Wanderungen mit beliebig kleiner (d.h. stark negativer) Länge!
8.6. BEWERTETE GRAPHEN UND DIGRAPHEN
189
Definition 8.55 Unter dem Abstand zweier Ecken s, t in einem bewerteten
(Di—)Graphen versteht man die Länge eines kürzesten Pfades von s nach t.
Bezeichnung: d(s, t).
Für (Di—)Graphen ohne Kreise negativer Länge ist das also gleich der Länge
eines kürzesten Weges.
Definition 8.56 Wenn es keinen Weg von s nach t gibt, setzt man
d(s, t) = ∞.
(In diesem Zusammenhang werden gerne die Buchstaben s und t verwendet.
Sie kommen von ”source” und ”target”.)
Bemerkungen:
1. In einem gerichteten Graphen ist der Abstand im Allgemeinen nicht symmetrisch, d.h. es kann d(s, t) 6= d(t, s) sein.
2. In einem gerichteten Graphen D kann es vorkommen, dass es keinen (gerichteten) Weg von s nach t gibt, obwohl D zusammenhängend ist. Der
Zusammenhangsbegriff bezieht sich nämlich auf den zugrundeliegenden ungerichteten Graphen! Wir sagen dann: t ist von s aus nicht erreichbar.
Definition 8.57 Der maximale Abstand zweier Ecken eines bewerteten Graphen oder Digraphen heißt sein Durchmesser (”diameter”).
Diese Begriffe sind auch für gewöhnliche Graphen von Bedeutung.
Beispiele: Der Durchmesser von Kn ist 1, der von Km,n ist 2. Der PetersenGraph hat ebenfalls Durchmesser 2. Jeder unzusammenhängende Graph hat
Durchmesser ∞.
Berechnung von kürzesten Wegen in (Di—)Graphen mit nichtnegativer Bewertung
Auch wenn man nur für zwei ganz bestimmte Ecken s, t einen kürzesten
Pfad finden will, erweist es sich als zweckmäßig, alle kürzesten Pfade von s
zu irgendeiner Ecke von G zu berechnen.
Die Grundidee besteht darin, dass man, ausgehend von s, schrittweise einen
in G enthaltenen Baum T mit Wurzel s aufbaut, sodass für jede Ecke x von
190
KAPITEL 8. GRAPHEN
T der eindeutige Pfad von s nach x in T ein kürzester Pfad in (G, w) ist.
Ein solcher Baum heißt ”Baum der kürzesten (von s ausgehenden) Pfade”
(”shortest path tree”).
Man geht nun so vor, dass man jeder Ecke x einen vorläufigen Abstandswert
a(x) zuordnet, der im Laufe des Verfahrens, wenn möglich, verbessert wird.
Am Anfang setzt man a(x) := ∞ für alle x ∈ V \{s}, und a(s) := 0. In jedem
Schritt wird nun aus allen noch nicht zum Baum gehörigen Ecken diejenige,
sagen wir z, ausgewählt, welche den kleinsten a-Wert hat, und zum Baum
hinzugefügt. Wir werden sehen, dass dann a(z) bereits den endgültigen Wert
d(s, z) hat. Für alle noch nicht zum Baum gehörigen Nachbarn x dieser Ecke
wird der a-Wert durch a(z) + w(z, x) ersetzt, falls er dadurch kleiner wird.
Am Ende ist dann a(x) = d(s, x) für alle x ∈ V .
Im folgenden Algorithmus wird der Baum durch die Liste U und die Funktion
pred dargestellt, wobei U die Liste der nicht zum Baum gehörigen Ecken ist
(”unerledigte Ecken”) und pred(x) den (eventuell provisorischen) Vorgänger
(= Vater) von x bedeutet.
8.6. BEWERTETE GRAPHEN UND DIGRAPHEN
191
Algorithmus zur Berechnung der kürzesten von einer festen Ecke ausgehenden Pfade (Dijkstra 1959):
(Wir nehmen an, dass der Graph durch die Eckenmenge V und die Bewertung
w gegeben ist, mit w(x, y) = ∞, falls (x, y) keine Kante ist.)
SHORTEST PATH TREE(s):
a(s) := 0
for x ∈ V \ {s} do a(x) := ∞
U := V
while U 6= ∅ and min a(x) 6= ∞ do
x∈U
find z ∈ U such that a(z) = min a(x)
x∈U
U := U \ {z}
for x ∈ U do
if a(z) + w(z, x) < a(x) then
a(x) := a(z) + w(z, x)
pred(x) := z
end of if
end of for
end of while
Bemerkung: Die Bedingung a(z) + w(z, x) < a(x) kann natürlich nur von
Nachbarn von z erfüllt werden. Man könnte daher statt ”for x ∈ U” auch ”for
x ∈ U ∩ A(z)” schreiben, bzw. für Digraphen ”for x ∈ U ∩ A− (z)”. Dadurch
wird der Algorithmus unter Umständen merklich beschleunigt, vor allem,
wenn die meisten Ecken nur wenige Nachbarn haben. Allerdings müssen dazu
die Adjazenzlisten gegeben sein bzw. zunächst berechnet werden.
Beispiel: Wir wenden den Algorithmus auf den folgenden bewerteten Digraphen mit Startecke s = 1 an:
192
KAPITEL 8. GRAPHEN
2
7
3
1
4
2
1
1
8
2
5
7
9
6
9
4
3
4
5
8
7
Die erste der beiden folgenden Tabellen zeigt die Werte von z, U und a nach
jedem Durchlauf der while-Schleife, die zweite die Werte von z und pred:
z
1
2
5
3
4
6
7
U
a(1) a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7) a(8)
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
0
3
9
∞
∞
∞
∞
∞
{3, 4, 5, 6, 7, 8}
0
3
9
10
4
∞
∞
∞
{3, 4, 6, 7, 8}
0
3
8
9
4
13
∞
∞
{4, 6, 7, 8}
0
3
8
9
4
13
∞
∞
{6, 7, 8}
0
3
8
9
4
11
17
∞
{7, 8}
0
3
8
9
4
11
15
∞
{8}
0
3
8
9
4
11
15
∞
z pred(2) pred(3) pred(4) pred(5) pred(6) pred(7) pred(8)
1
1
1
2
1
1
2
2
5
1
5
5
2
5
3
1
5
5
2
5
4
1
5
5
2
4
4
6
1
5
5
2
4
6
7
1
5
5
2
4
6
Der berechnete ”shortest path tree” ist in der folgenden Abbildung dick gezeichnet:
2
7
3
1
4
2
1
5
7
3
1
8
2
9
6
4
9
4
5
7
8
8.6. BEWERTETE GRAPHEN UND DIGRAPHEN
193
Satz 8.58 Der obige Algorithmus von Dijkstra berechnet in einem Graphen
oder Digraphen mit nichtnegativer Bewertung die Abstände aller Ecken von
s und erzeugt einen Baum der kürzesten von s ausgehenden Pfade.
Es geht also darum, die Korrektheit des Algorithmus zu beweisen, d.h. zu
zeigen, dass der Algorithmus tatsächlich seine Aufgabe erfüllt.
Beweis:
1. Wir behaupten zunächst, dass a(x) für alle x ∈ V beim Ablauf des Algorithmus in jedem Stadium die Länge eines Pfades von s nach x angibt, falls
a(x) 6= ∞ ist. Wir beweisen das mit Induktion nach der Anzahl k der bereits
erfolgten Durchläufe der while-Schleife.
k = 0: trivial.
< k → k: Angenommen, für ein x wird im k-ten Durchlauf a(x) := a(z) +
w(z, x) gesetzt. a(z) muss schon in einem früheren Schleifendurchlauf einen
Wert 6= ∞ erhalten haben, da ja a(z) = min a(x) 6= ∞. Nach Induktionsx∈U
voraussetzung ist also a(z) die Länge eines Pfades von s nach z. Hängt man
an diesen Pfad die Kante (z, x) bzw. {z, x} an, so erhält man einen Pfad von
s nach x mit Länge a(x).
Es folgt, dass d(s, x) stets ≤ a(x) ist.
2. Wir wollen nun zeigen, dass am Ende a(x) = d(s, x) für alle x ∈ V. Dazu
beweisen wir (wieder mit Induktion nach der Anzahl der Durchläufe der
while-Schleife):
Am Ende der while-Schleife gilt jedesmal a(z) = d(s, z).
(Das genügt, denn der Wert von a(z) wird später nicht mehr verändert, da ja
z aus U entfernt wurde. Die am Ende übrigbleibenden Ecken x mit a(x) = ∞
sind von s aus unerreichbar.)
k = 1: In diesem Fall ist z = s und a(z) = 0, die Behauptung ist also
trivialerweise richtig.
< k → k: Stellen wir uns vor, dass wir uns im k-ten Durchlauf der whileSchleife befinden, und zwar vor der Entfernung von z aus U , mit k > 1. Sei
P = (y0 = s, y1 , . . . , yr = z) ein kürzester Pfad von s nach z, und j der
größte Index mit yj ∈
/ U. Wegen yr = z ∈ U ist jedenfalls j ≤ r − 1. Wir
können also die Ecke yj+1 benützen.
194
KAPITEL 8. GRAPHEN
Spätestens seit dem Schleifendurchlauf, wo yj aus U entfernt wurde, gilt
a(yj+1 ) ≤ a(yj ) + w(yj , yj+1 ).
Nach Induktionsvoraussetzung ist a(yj ) = d(s, yj ), da ja yj bereits in einem
früheren Schleifendurchlauf aus U entfernt wurde. Daher folgt
a(yj+1 ) ≤ L(y0 , . . . , yj ) + w(yj , yj+1 ) = L(y0 , . . . , yj+1 ) ≤ L(P ) = d(s, z).
(Bei der zweiten Ungleichung geht die Voraussetzung w ≥ 0 ein!)
Nun ist nach dem 1. Teil des Beweises jedenfalls d(s, z) ≤ a(z). Wäre d(s, z) <
a(z), so würde a(yj+1 ) < a(z) folgen, im Widerspruch zu a(z) = min a(x)
x∈U
und yj+1 ∈ U. Also gilt tatsächlich d(s, z) = a(z), wie behauptet.
3. Schließlich zeigen wir (wieder mit Induktion), dass am Ende der whileSchleife der durch pred definierte Pfad
(x0 = s, x1 , . . . , xm = z)
mit xi−1 := pred(xi ) für i ∈ {1, . . . , m}
ein kürzester Pfad von s nach z ist.
Der Induktionsanfang ist wieder trivial. Der Schluss von < k auf k erfolgt
nun so:
xm−1 = pred(z) ist schon in einem früheren Schleifendurchlauf aus U entfernt
worden. In eben diesem Durchlauf erhielt a(z) den Wert a(xm−1 )+w(xm−1 , z).
Dieser Wert von a(z) wurde später sicher nicht mehr verändert, denn sonst
wäre auch pred(z) verändert worden.
Nach Induktionsvoraussetzung ist (x0 , x1 , . . . , xm−1 ) ein kürzester Pfad, und
es folgt nach Teil 2 des Beweises:
L(x0 , x1 , . . . , xm−1 , xm ) = L(x0 , x1 , . . . , xm−1 ) + w(xm−1 , xm ) =
= a(xm−1 ) + w(xm−1 , z) = a(z) = d(s, z),
was zu zeigen war.
Satz 8.59 Die Anzahl der Rechenschritte beim Algorithmus von Dijkstra ist
O(n2 ), wobei n die Anzahl der Ecken des Graphen bedeutet.
Beweis: Wir überlegen uns zunächst, wie viele Rechenschritte für einen Durchlauf der while-Schleife nötig sind. Die Berechnung von min a(x) erfordert
x∈U
höchstens n Schritte. Die for-Schleife wird nicht mehr als n-mal durchlaufen,
8.6. BEWERTETE GRAPHEN UND DIGRAPHEN
195
und jeder Durchlauf wird mit einer konstanten Anzahl von Rechenschritten
erledigt. Insgesamt brauchen wir also für einen Durchlauf der while-Schleife
O(n) Schritte.
Da die while-Schleife höchstens n-mal durchlaufen wird, haben wir insgesamt
O(n2 ) Rechenschritte.
Bemerkung 8.60 Mit dem Algorithmus von Dijkstra kann man alle Abstände zwischen je zwei Ecken eines bewerteten Graphen mit O(n3 ) Rechenschritten berechnen (wobei n wieder die Anzahl der Ecken bedeutet).
(Man ruft dazu den Algorithmus für eine Ecke nach der anderen auf.)
Zur Berechnung aller Abstände zwischen je zwei Ecken eines bewerteten
Graphen oder Digraphen verwendet man oft auch das folgende einfach zu
programmierende Verfahren, das allerdings im Allgemeinen nicht wesentlich
schneller als der Algorithmus von Dijkstra ist und außerdem nur die Abstände
und nicht auch die kürzesten Wege berechnet:
Algorithmus zur Berechnung aller Abstände zwischen je zwei Ecken
(Warshall 1962):
(Wir nehmen hier an, dass die Ecken mit 1, 2, . . . , n bezeichnet sind. Es sei
wieder w(x, y) = ∞, falls (x, y) keine Kante ist.)
d := w
for j := 1 to n do
for i := 1 to n do
for k := 1 to n do
if d(i, k) > d(i, j) + d(j, k) then d(i, k) := d(i, j) + d(j, k)
end of for
end of for
end of for
Ausgabe: d(i, k) für alle (i, k) ∈ {1, . . . , n}2
Auf einen Beweis der Korrektheit verzichten wir hier (siehe [26] oder Vorlesungen über Programmieren). Da alle Tripel (i, j, k) ∈ I3n bearbeitet werden, ist die Anzahl der Rechenschritte von der Ordnung n3 .
196
KAPITEL 8. GRAPHEN
Berechnung der transitiven Hülle einer Relation
Wir beginnen mit einer einfachen Beobachtung:
Bemerkung 8.61 Sei R eine Relation auf einer Menge V und t(R) die
transitive Hülle von R. Dann gilt (x, y) ∈ t(R) genau dann, wenn es in dem
zu R gehörigen Digraphen einen (gerichteten) Pfad von x nach y gibt.
Beweis: Sei D der zu R gehörige Digraph, d.h. D = (V, R), und
H := {(x, y) ∈ V 2 | es gibt in D einen Pfad von x nach y}.
H ist offensichtlich transitiv, und es gilt R ⊂ H. Sei nun T eine beliebige
transitive Relation auf V mit R ⊂ T. Wenn wir H ⊂ T zeigen können,
so folgt H = t(R). Sei also (x, y) ∈ H, das heißt, es gibt in D einen Pfad
(x = x1 , x2 , . . . , xn = y) von x nach y. Wegen R ⊂ T gilt dann x1 T x2 ,
x2 T x3 , . . . , xn−1 T xn , und auf Grund der Transitivität von T folgt x1 T xn ,
d.h. (x1 , xn ) = (x, y) ∈ T, was zu zeigen war.
Auf Grund dieser Beobachtung kann man die transitive Hülle einer Relation
mit Hilfe der Abstände von je zwei Ecken berechnen:
t(R) = {(x, y) ∈ V 2 | d(x, y) 6= ∞}.
Dazu verwendet man meist den Algorithmus von Warshall oder eine Modifikation davon.
8.6.2
Minimale aufspannende Bäume
Definition 8.62 Ein aufspannender Baum T eines bewerteten (ungerichteten)
Graphen (G, w) heißt minimaler aufspannender
PBaum (”minimal spanning tree”), wenn seine ”Gesamtlänge” L(T ) :=
w(e) so klein wie möge∈ET
lich ist. (Dabei bedeutet ET die Menge der Kanten von T.)
Wenn man die Bewertung als Kostenfunktion auffasst, geht es also darum,
alle Ecken eines Graphen so miteinander zu verbinden, dass die Gesamtkosten
minimiert werden.
Wenn alle Kanten Gewicht 1 haben, ist jeder aufspannende Baum minimal:
Nach Satz 8.32 gilt ja für jeden solchen Baum T : L(T ) = |ET | = |V | − 1.
8.6. BEWERTETE GRAPHEN UND DIGRAPHEN
197
Einen minimalen aufspannenden Baum kann man folgendermaßen schrittweise konstruieren: Man beginnt mit irgendeiner Ecke und fügt in jedem
Schritt eine kürzestmögliche Kante zu dem Baum hinzu. Es handelt sich
also um einen ”gierigen” Algorithmus, der versucht, in jedem Schritt das
bestmögliche zu erreichen. Es ist keineswegs selbstverständlich, dass diese
Vorgangsweise zum Ziel führt. Wir werden aber sehen, dass es hier doch so
ist.
Algorithmus zur Berechnung eines minimalen aufspannenden Baumes (Prim
1957):
(Es sei wieder w(x, y) = ∞, wenn {x, y} keine Kante ist. Für s kann man
eine beliebige Ecke nehmen. Es wird vorausgesetzt, dass der Graph zusammenhängend ist.)
MINSPTR:
VT := {s}, ET := ∅
while VT 6= V do
find x ∈ VT , y ∈ V \ VT such that w(x, y) =
VT := VT ∪ {y}
ET := ET ∪ {{x, y}}
end of while
min
x0 ∈VT , y 0 ∈V \VT
w(x0 , y 0 )
Ausgabe: ET
Satz 8.63 Der obige Algorithmus von Prim berechnet einen minimalen erzeugenden Baum, wenn der gegebene bewertete Graph zusammenhängend ist.
Beweis: Das Programm liefert jedenfalls einen aufspannenden Baum, denn
es ist genau so aufgebaut wie SPTR (siehe Abschnitt 8.4.2), nur mit der Einschränkung, dass von den in Frage kommenden Kanten eine kürzeste genommen wird. Wir behaupten nun, dass der Baum T = (VT , ET ) am Ende jedes
Durchlaufs der while-Schleife in einem minimalen aufspannenden Baum (als
Teilgraph) enthalten ist, und beweisen das durch Induktion nach der Anzahl
k der Schleifendurchläufe. Am Ende des gesamten Programmablaufs muss
dann T gleich einem minimalen aufspannenden Baum sein.
k = 0: Der triviale Baum ({s}, ∅) ist in jedem aufspannenden Baum enthalten.
198
KAPITEL 8. GRAPHEN
k → k + 1: Nach Induktionsvoraussetzung ist am Ende des k-ten Durchlaufs
T in einem minimalen aufspannenden Baum T ∗ enthalten. Sei nun e = {x, y}
die Kante, die im (k + 1)-ten Durchlauf hinzugefügt wird. Wenn e eine Kante
von T ∗ ist, haben wir nichts zu zeigen. Angenommen, e gehört nicht zu T ∗ .
Dann gibt es in T ∗ einen Pfad P von x nach y, der die Kante e nicht enthält.
Sei P = (x = x1 , x2 , . . . , xm = y). Da x ∈ VT und y ∈
/ VT , gibt es auf diesem
Pfad eine erste Ecke, sagen wir xi , welche nicht zu VT gehört (i > 1). Da der
Algorithmus die Kante e wählt und nicht ei := {xi−1 , xi }, muss w(e) ≤ w(ei )
sein. Ersetzen wir nun in dem Baum T ∗ die Kante ei durch e, so erhalten
wir einen Teilgraphen T ∗∗ , der wieder ein minimaler aufspannender Baum
ist: Zunächst hat T ∗∗ dieselbe Eckenmenge und Kantenanzahl wie T ∗ und ist
zusammenhängend. Daraus folgt schon, dass T ∗∗ ein aufspannender Baum
ist. L(T ∗∗ ) = L(T ∗ ) − w(ei ) + w(e) ≤ L(T ∗ ). Wegen der Minimalität von
T ∗ ist also auch T ∗∗ minimal, und der Baum T ist am Ende des (k + 1)-ten
Durchlaufs in T ∗∗ enthalten.
Es ist nicht schwer zu sehen, dass dieser Algorithmus O(n3 ) Rechenschritte
erfordert. Durch einen ähnlichen Trick wie bei Dijkstra kann man auch hier
auf O(n2 ) kommen:
Verbesserter Algorithmus zur Berechnung eines minimalen aufspannenden
Baumes (Prim 1957):
MINSPTR2:
a(s) := 0
for x ∈ V \ {s} do a(x) := ∞
U := V
while U 6= ∅ do
find z ∈ U such that a(z) = min a(x)
x∈U
U := U \ {z}
for x ∈ U do
if w(z, x) < a(x) then
a(x) := w(z, x)
pred(x) := z
end of if
end of for
end of while
8.7. FÄRBUNG VON GRAPHEN
199
Die folgende Abbildung zeigt einen minimalen aufspannenden Baum eines
Graphen, in welchem jede Kante mit ihrer euklidischen Länge bewertet wurde.
8.7
Färbung von Graphen
Wenn man die Ecken eines Graphen mit verschiedenen Farben markiert, so
erzeugt man vom mathematischen Standpunkt aus eine Abbildung von der
Eckenmenge V in die Menge der verwendeten Farben. Wenn man die Farben
mit 1, . . . , m durchnummeriert, so hat man im Wesentlichen eine Abbildung
V → {1, . . . , m}. So etwas nennt man auch eine Eckenbewertung.
Von einer Färbung der Ecken spricht man üblicherweise nur dann, wenn
niemals zwei miteinander verbundene Ecken dieselbe Farbe haben:
Definition 8.64 Sei G = (V, E) ein Graph. Eine surjektive Abbildung
f : V → {1, . . . , m}
heißt Färbung der Ecken (”coloring”) von G mit m Farben (kurz mFärbung), wenn für jede Kante {x, y} ∈ E gilt: f (x) 6= f (y). Wenn es
eine solche Färbung gibt, heißt G m-färbbar.
200
KAPITEL 8. GRAPHEN
Eine m-Färbung bewirkt eine Partition der Eckenmenge in m Teilmengen
f −1 ({1}), . . . , f −1 ({m}), sodass niemals zwei Elemente einer Teilmenge durch
eine Kante verbunden sind. Solche Färbungen dienen z.B. zur Modellierung
von Problemen der folgenden Art: Gegeben ist eine Menge M von n Personen
oder Objekten. Man möchte nun diese Menge so in m Klassen einteilen,
dass in keiner Klasse zwei Personen oder Objekte sind, welche sich ”nicht
vertragen”. Man nimmt nun M als Eckenmenge und verbindet zwei Ecken
genau dann durch eine Kante, wenn sie sich nicht vertragen. Eine m-Färbung
liefert dann eine geeignete Klasseneinteilung.
Beispiele: Die Abbildung zeigt einen Graphen mit einer 3-Färbung und einen
mit einer 4-Färbung.
2
2
2
3
1
2
1
1
3
3
3
1
4
Jeden Graphen mit n Ecken kann man trivialerweise mit n Farben färben.
Interessant ist vor allem die Frage nach der kleinstmöglichen Anzahl von
Farben:
Definition 8.65 Die kleinste Zahl m, sodass G m-färbbar ist, heißt
chromatische Zahl von G. Bezeichnung: χ(G).
In den beiden obigen Beispielen ist die Anzahl der Farben minimal, d.h. diese
Graphen haben chromatische Zahl 3 bzw. 4. Diese Graphen besitzen nämlich
Teilgraphen, die zu K3 bzw. K4 isomorph sind. Allgemein gilt: Wenn G einen
zu Ks isomorphen Teilgraphen enthält, dann ist χ(G) ≥ s.
8.7. FÄRBUNG VON GRAPHEN
201
Ein typisches Anwendungsbeispiel ist das folgende ”Stundenplanproblem”:
Die Ecken von G sind die zu haltenden Lehrveranstaltungen. Zwei Ecken
werden durch eine Kante verbunden, wenn sie nicht gleichzeitig stattfinden
dürfen, weil es z.B. gemeinsame Hörer gibt. χ(G) ist dann die kleinste Anzahl
von Stunden, in denen alle Lehrveranstaltungen abgehalten werden können
(wenn genügend viele Hörsäle zur Verfügung stehen).
Beispiele für chromatische Zahlen:
1. χ(G) = 2 ⇔ G bipartit.
2. χ(Kn ) = n.
3. Sei Ln der leere Graph mit n Ecken, d.h. ein Graph ohne Kanten.
Dann ist χ(Ln ) = 1.
4. Sei ∆(G) der maximale Eckengrad von G. Dann gilt: χ(G) ≤ ∆(G)+1.
(Beweis: Färbe sukzessive jede Ecke mit einer Farbe, die von den Farben
ihrer bereits gefärbten Nachbarn verschieden ist.)
5. Sei Cn ein Kreis mit n Ecken. Dann gilt:
n gerade
=⇒ χ(Cn ) = 2 (= ∆(Cn )),
n ungerade =⇒ χ(Cn ) = 3 (= ∆(Cn ) + 1).
Man kann zeigen:
Satz 8.66 (Brooks 1941) Sei G ein zusammenhängender Graph, der weder
vollständig noch ein Kreis ungerader Länge ist. Dann gilt:
χ(G) ≤ ∆(G).
Beweis: siehe z.B. [28].
Das Problem der Berechnung der chromatischen Zahl eines Graphen gehört
zu den NP-vollständigen Problemen (siehe Abschnitt 8.2.2). Man ist daher
in der Praxis auf sogenannte ”heuristische” Algorithmen angewiesen, welche
202
KAPITEL 8. GRAPHEN
in vielen Fällen zumindest eine näherungsweise Lösung liefern, das heißt eine
m-Färbung, wo m von χ(G) nicht zu sehr abweicht. Ein Beispiel für einen
solchen Algorithmus, der sich in der Praxis durchaus bewährt, ist der von
Brelaz (1979). Dabei färbt man eine Ecke nach der anderen nach folgendem
Prinzip: In jedem Schritt sucht man zuerst eine noch nicht gefärbte Ecke
mit maximaler Anzahl von bereits gefärbten Nachbarn. Diese Ecke färbt
man dann mit der kleinsten in Frage kommenden Farbe, d.h. mit der kleinsten Farbe, die keiner ihrer Nachbarn aufweist. (Da hier ”Farben” eigentlich
natürliche Zahlen sind, hat es einen Sinn, von der ”kleinsten Farbe” zu reden.)
Heuristischer Färbealgorithmus (Brelaz 1979):
(Wir nehmen an, dass der Graph durch die Eckenmenge V und Adjazenzlisten A(x) gegeben ist. U ist die Menge der noch nicht gefärbten Ecken. g(x)
bedeutet die Anzahl der gefärbten Nachbarn von x, solange x selbst noch
ungefärbt ist.)
for x ∈ V do g(x) := 0
U := V
while U 6= ∅ do
find z ∈ U such that g(z) = max g(x)
x∈U
f (z) := min{i ∈ N | i 6= f (x) ∀x ∈ A(z) \ U }
U := U \ {z}
for x ∈ A(z) ∩ U do
g(x) := g(x) + 1
end of for
end of while
Die beiden zu Beginn dieses Abschnitts abgebildeten Graphen wurden mit
diesem Algorithmus gefärbt; es gibt allerdings schon relativ einfache Graphen, bei denen er mehr Farben als nötig verwendet. Die folgende Abbildung
zeigt links eine mit dem Algorithmus von Brelaz erzeugte 5-Färbung und
8.8. PLANARE GRAPHEN
203
rechts eine auf anderem Wege gefundene 4-Färbung desselben Graphen.
3
1
1
5
2
3
4
1
2
3
2
4
4
2
Das Ergebnis des Algorithmus hängt von der Reihenfolge der Ecken ab. Hier
wurden die Ecken im Gegenuhrzeigersinn nummeriert, beginnend mit der
linken oberen Ecke. Wenn man dagegen mit der rechten unteren Ecke beginnt,
erhält man für diesen Graphen auch mit dem Algorithmus von Brelaz eine
4-Färbung.
8.8
Planare Graphen
In diesem Kapitel geht es um die Frage, unter welchen Voraussetzungen man
einen Graphen (in der Ebene) so zeichnen kann, dass keine Kantenüberschneidungen auftreten. Diese Frage hat z.B. für das Layout von Leiterplatten
(Platinen) eine Bedeutung.
Für eine mathematisch exakte Behandlung dieses Themas sind eigentlich
tiefliegende Hilfsmittel aus der Topologie erforderlich, insbesondere der ”Jordan’sche Kurvensatz” (nach Camille Jordan, 1838-1922). Dieser besagt, dass
jede geschlossene ebene Kurve, die sich nicht selbst überschneidet, die Ebene
in zwei Gebiete zerlegt, von denen genau eines unbeschränkt ist (siehe z.B.
[12]). Obwohl das anschaulich evident erscheint, ist der Beweis nicht einfach.
Wir werden uns daher hier ausnahmsweise mit anschaulichen Begriffen und
Begründungen zufrieden geben. Insbesondere gilt das auch für den Begriff
”Kurve”. Für diejenigen, denen stetige Abbildungen vertraut sind, geben wir
204
KAPITEL 8. GRAPHEN
die genaue Definition einer Kurve an. Diese wird aber im Folgenden eigentlich
nicht verwendet:
Definition 8.67 Eine offene Jordan-Kurve ist eine stetige injektive Abbildung c : [a, b] → R2 . Die Punkte c(a) und c(b) heißen Endpunkte der
Kurve. Die Menge aller offenen Jordan-Kurven im R2 bezeichnen wir mit
J(R2 ).
Wenn c(a) = c(b) ist, aber die Einschränkung von c auf [a, b) dennoch injektiv
ist, so spricht man von einer geschlossenen Jordan-Kurve.
Durch eine offene Jordan-Kurve wird also eine gerade oder gekrümmte Linie
beschrieben, die zwei Punkte verbindet und sich nicht selbst überschneidet.
Definition 8.68 Unter einer (kreuzungsfreien) Einbettung eines Graphen
G = (V, E) in die Ebene R2 (”planar embedding of G”) versteht man ein
Paar (ϕ, ψ) von injektiven Abbildungen
ϕ : V → R2 ,
ψ : E → J(R2 ),
sodass
1. für jede Kante {x, y} ∈ E die Endpunkte ihres ψ-Bildes mit ϕ(x) und ϕ(y)
übereinstimmen, und
2. für je zwei verschiedene Kanten e, e0 ∈ E ihre ψ-Bilder keinen (von den
Endpunkten verschiedenen) Schnittpunkt haben.
Eine Einbettung eines Graphen in die Ebene ist also eigentlich nichts anderes
als eine Zeichnung des Graphen, wobei sich keine zwei gezeichneten Kanten
überschneiden dürfen. Wir werden sehen, dass sich bei weitem nicht jeder
Graph in die Ebene einbetten lässt.
Definition 8.69 Ein Graph G heißt planar (auf deutsch auch ”plättbar”),
wenn es eine Einbettung von G in die Ebene gibt.
8.8. PLANARE GRAPHEN
205
Die folgende Abbildung zeigt zwei Zeichnungen ein und desselben planaren
Graphen, links mit Kantenüberschneidungen und rechts ohne solche. Die
rechte Zeichnung stellt also eine Einbettung dieses Graphen dar.
2
3
3
1
4
2
8
5
1
8
4
5
7
6
7
6
Durch eine Einbettung eines Graphen in die Ebene wird diese in Teile zerlegt,
die man Flächen (”faces”) nennt. Es gibt stets genau eine unbeschränkte
Fläche. Diese heißt Außengebiet.
Die Anzahl der Kanten(-bilder), die den Rand einer Fläche bilden, nennt
man die Seitenzahl der Fläche. Dabei werden Kanten, die am Rand von nur
einer Fläche liegen, üblicherweise doppelt gezählt. Eine Fläche mit Seitenzahl 3 oder 4 heißt Dreieck bzw. Viereck. Verschiedene Einbettungen ergeben
natürlich verschiedene Flächen. Sogar die Seitenzahlen der Flächen können
verschieden sein. So ist etwa die Seitenzahl der ”innersten” Fläche in folgendem Beispiel links 7 und rechts 6.
Aus dem folgenden wichtigen Satz ergibt sich jedoch, dass die Anzahl der
Flächen nicht von der Einbettung abhängt, sondern nur von der Ecken- und
Kantenzahl des Graphen.
Satz 8.70 (Euler’sche Formel): Sei G ein zusammenhängender planarer
Graph mit v Ecken und e Kanten. Dann gilt für die Anzahl f der Flächen
einer beliebigen Einbettung von G in die Ebene:
v − e + f = 2.
206
KAPITEL 8. GRAPHEN
Beweis (eigentlich nur anschauliche Begründung) mit Induktion nach der
Anzahl der Flächen:
Wenn f = 1 ist, dann ist das Außengebiet die einzige Fläche. Es kann daher in
diesem Graphen keinen Kreis geben, denn dieser würde ja ein beschränktes
Gebiet einschließen. Folglich ist der Graph in diesem Fall ein Baum, d.h.
e = v − 1, also v − e + 1 = 2.
f − 1 → f : Sei also f > 1. Dann enthält G mindestens einen Kreis C. Sei
u eine Kante von C. Dann liegt u (genauer: ψ(u)) auf dem Rand von zwei
Flächen, sagen wir F1 und F2 . Wenn wir die Kante u weglassen, verschmelzen
F1 und F2 zu einer Fläche. Für die Ecken-, Kanten- und Flächenzahl v 0 , e0 , f 0
des entstehenden Graphen G0 gilt daher: v 0 = v, e0 = e − 1 und f 0 = f − 1.
Daher ist v−e+f = v 0 −e0 +f 0 , und das ist = 2 nach Induktionsvoraussetzung.
Eine wichtige Folgerung aus der Euler’schen Formel:
Satz 8.71 In einem einfachen zusammenhängenden planaren Graphen G
mit v ≥ 3 Ecken und e Kanten gilt stets
e ≤ 3v − 6,
mit Gleichheit genau dann, wenn (in einer beliebigen Einbettung von G in
die Ebene) alle Flächen Dreiecke sind (auch das Außengebiet!).
Beweis: Wir betrachten eine Einbettung des Graphen in die Ebene und beder Flächen mit i Seiten. Da es keine Schlingen
zeichnen mit fi die Anzahl
P
gibt, ist daher f = i≥3 fi . (Wir brauchen keine obere Summationsgrenze
angeben, da es sich ja sicher nur um eine endliche Summe handelt. Wenn
man will, kann man jedoch z.B. bis i = 2e summieren.)
P
Andererseits gilt für die Summe der Seitenzahlen aller Flächen i≥3 ifi = 2e,
denn bei dieser Summe wird jede Kante doppelt gezählt. Daraus folgt nun
mit Hilfe der Euler’schen Formel:
X
X
2e =
ifi ≥
3fi = 3f = 3(e − v + 2).
i≥3
i≥3
Durch Subtraktion von 2e ergibt sich die behauptete Ungleichung. Gleichheit
gilt offensichtlich genau dann, wenn fi = 0 für alle i ≥ 4.
Ganz analog zeigt man:
8.8. PLANARE GRAPHEN
207
Satz 8.72 Wenn ein einfacher zusammenhängender planarer Graph mit v ≥
3 Ecken und e Kanten keine Kreise der Länge 3 enthält, dann gilt
e ≤ 2v − 4
mit Gleichheit genau dann, wenn alle Flächen Vierecke sind.
Eine einfache Folgerung aus diesen Sätzen:
Folgerung 8.73 K5 und K3,3 sind nicht planar.
Beweis:
Für K5 gilt e = 10 und v = 5, also e > 3v − 6 = 9.
Für K3,3 ist e = 9 > 2v − 4 = 8.
Es ist klar, dass sich an der Planarität eines Graphen nichts ändert, wenn
man seine Kanten ”unterteilt”. Genauer gesagt geht es um folgenden Begriff:
Definition 8.74 Unter einer Unterteilung (”subdivision”) eines Graphen
G versteht man einen Graphen G0 , der dadurch entsteht, dass man eine oder
mehrere Kanten von G in folgendem Sinne unterteilt: Sei {x, y} eine Kante
von G. Wir fügen neue Ecken z1 , . . . , zk ein und ersetzen die Kante {x, y}
durch die neuen Kanten
{x, z1 }, {z1 , z2 }, . . . , {zk , y}.
Hier ist eine Unterteilung des K4 zu sehen:
Wir können nun ein interessantes Planaritätskriterium formulieren, dessen
Beweis relativ aufwendig ist (siehe z.B. [29]).
Satz 8.75 (Kuratowski 1930) Ein Graph ist genau dann planar, wenn er
keinen Teilgraphen besitzt, der zu K5 oder K3,3 oder einer Unterteilung davon
isomorph ist.
208
KAPITEL 8. GRAPHEN
(Die Notwendigkeit dieser Bedingung ergibt sich aus Folgerung 8.73.)
(Kazimierz Kuratowski, 1896-1980, ist einer der bekanntesten polnischen
Mathematiker. Er hat insbesondere Grundlegendes zur Entwicklung von Mengenlehre und Topologie beigetragen.)
Beispiel: Der am Ende von Abschnitt 8.7 behandelte Graph ist nicht planar.
Die folgende Abbildung zeigt eine darin enthaltene Unterteilung eines K3,3 :
Schon in diesem Beispiel ist es nicht ganz leicht, festzustellen, ob der Graph
eine Unterteilung von K3,3 bzw. K5 enthält. Manchmal ist die Anwendung
des nächsten Satzes einfacher. Dazu benötigen wir den folgenden Begriff:
Definition 8.76 Entfernt man aus einem Graphen eine Kante u = {x, y}
und identifiziert ihre Endpunkte, so spricht man von einer Kontraktion der
Kante u. Wenn H aus einem Graphen G durch eine (eventuell leere) Folge
von Kontraktionen entsteht, so sagt man: G ist zu H kontrahierbar.
Anschaulich ist klar, dass die Planarität eines Graphen bei Kontraktionen
von Kanten erhalten bleibt. Daraus ergibt sich die einfachere Richtung des
folgendes Satzes. Die andere Richtung kann auf den Satz von Kuratowski
zurückgeführt werden [29].
Satz 8.77 (K. Wagner 1937) Ein Graph ist genau dann planar, wenn er
keinen Teilgraphen enthält, der zu K5 oder K3,3 kontrahierbar ist.
Mit diesem Satz kann man z.B. leicht erkennen, dass der Petersen-Graph
nicht planar ist. Durch Kontraktion der radial von innen nach außen gehenden Kanten entsteht nämlich ein K5 .
8.8. PLANARE GRAPHEN
209
Auf Grund der letzten beiden Sätze ist es prinzipiell möglich, für jeden
gegebenen Graphen (mit Hilfe eines Computers) zu entscheiden, ob er planar ist oder nicht, wenn auch die Rechenzeit sehr hoch sein kann. Es gibt
jedoch effizientere Algorithmen, deren Rechenzeit nur linear von der Größe
des Graphen abhängt, z.B. von Hopcroft und Tarjan (1974) (siehe [28]). Diese
Algorithmen liefern zum Teil auch gleich eine Einbettung.
Man kann übrigens zeigen, dass sich jeder planare Graph so einbetten lässt,
dass alle Kanten durch (geradlinige) Strecken dargestellt werden. (Das wurde
das erste Mal von K. Wagner (1936) bewiesen, vgl. [28].)
Zum Schluss noch ein berühmter Satz, an dessen Beweis viele Mathematiker
gearbeitet haben, beginnend mit Alfred Kempe 1879, und der schließlich
mit Computerunterstützung fertiggestellt wurde. Der Beweis füllt ein ganzes
Buch [3].
Satz 8.78 (Vierfarbensatz, Appel/Haken 1976) Die Flächen einer Einbettung eines beliebigen planaren Graphen in die Ebene können so mit vier
oder weniger Farben gefärbt werden, dass niemals zwei gleichfarbige Flächen
eine gemeinsame Kante haben.
Dieser Satz besagt also, dass man auf jeder (Phantasie-)Landkarte die Länder
mit höchstens vier Farben so färben kann, dass niemals zwei benachbarte
Länder die gleiche Farbe erhalten.
Zu einer Einbettung eines planaren Graphen G kann man folgenderweise
einen ”dualen” Graphen G∗ definieren, der wieder planar ist: Die Ecken von
G∗ seien die Flächen (der Einbettung) von G, und {a, b} sei genau dann eine
Kante von G∗ , wenn die Flächen a, b eine gemeinsame Randkante haben.
Dann entspricht eine Färbung der Flächen von G im Sinne des Vierfarbensatzes einer Färbung der Ecken von G∗ , wie wir sie im vorigen Kapitel
besprochen haben.
Der Vierfarbensatz folgt daher aus dem nachstehenden Satz, der sogar dazu
äquivalent ist:
Satz 8.79 Jeder planare Graph ist 4-färbbar.
Bei obiger Definition von G∗ kann man auch a = b zulassen, und zwar bedeutet das, dass es eine Kante gibt, die am Rand von nur einer Fläche liegt.
Der duale Graph hat dann Schlingen. Diese werden allerdings bei der Färbung ignoriert.
210
KAPITEL 8. GRAPHEN
An Hand des folgenden Beispiels sehen wir außerdem, dass es natürlicher ist,
wenn wir bei der Definition des dualen Graphen ”Mehrfachkanten” zulassen.
Das führt zu dem im nächsten Abschnitt diskutierten Begriff ”Multigraph”.
g
i
n
k
p
a
b
l
c
d
m
j
h
8.9
Multigraphen
Definition 8.80 Unter einem (endlichen)(ungerichteten) Multigraphen
verstehen wir ein Tripel M = (V, ¡E,¢α), ¡wobei
¢ V und E endliche Mengen
V
V
sind und α eine Abbildung E → 1 ∪ 2 . Die Elemente von V und E
heißen Ecken bzw. Kanten von M, und wenn α(u) = {x, y}, so heißen x, y
Endpunkte der Kante u.
Beispiel: Durch die gestrichelten Kanten in der letzten Abbildung wird folgender Multigraph definiert: M = (V, E, α) mit
V = {a, b, c, d}, E = {g, h, i, j, k, l, m, n, p},
α(g) = α(h) = {a, d}, α(i) = α(j) = {a, c}, α(k) = α(l) = {b, c}, α(m) =
{c}, α(n) = {c, d}, α(p) = {a, b}.
Bemerkung: Oft versteht man unter ”Multigraph” einen Multigraphen ohne
Schlingen.
Definition 8.81 Unter einem (endlichen) gerichteten Multigraphen verstehen wir ein Tripel M = (V, E, α), wobei V und E endliche Mengen sind
und α eine Abbildung E → V × V. Die Elemente von V und E heißen Ecken
8.9. MULTIGRAPHEN
211
bzw. Kanten von M, und wenn α(u) = (x, y), so heißt x Anfangspunkt und
y Endpunkt der Kante u.
Beispiel: Sei V = {a, b, c}, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
α(1) = α(2) = α(3) = (a, b), α(4) = (b, c), α(5) = (c, a), α(6) = (b, a).
Dann ist (V, E, α) ein gerichteter Multigraph mit einer Dreifachkante und
drei Einfachkanten.
Bemerkung 8.82 Gewöhnliche Graphen können als Spezialfälle
¡V ¢ ¡V ¢von Multigraphen aufgefasst werden, denn in diesem Fall ist E ⊂ 1 ∪ 2 , und man
kann α gleich der identischen Abbildung auf E setzen, d.h. α({x, y}) := {x, y}
für alle {x, y} ∈ E. (Analog für Digraphen.)
Die in diesem Buch besprochenen graphentheoretischen Begriffe lassen sich
in natürlicher Weise auf Multigraphen übertragen. Z.B.:
Definition 8.83 In einem Multigraphen G = (V, E, α) versteht man unter
einem Weg von a nach b (für a, b ∈ V ) eine Folge
(x1 = a, u1 , x2 , u2 , . . . , xn−1 , un−1 , xn = b)
mit xi ∈ V, ui ∈ E, sodass {xi , xi+1 } = α(ui ) für alle i ∈ {1, . . . , n − 1}.
(In einem gerichteten Multigraphen kann man auf die Angabe der Ecken
bei einem Weg verzichten, da durch die Folge der Kanten (u1 , . . . , un−1 ) die
Ecken schon eindeutig bestimmt sind.)
Viele Sätze über Graphen bzw. Digraphen lassen sich auf Multigraphen verallgemeinern, z.B. die Charakterisierung der eulerschen Graphen und die
Sätze des vorigen Abschnitts über planare Graphen, mit Ausnahme von 8.71
und 8.72.
Man kann auch Multigraphen durch Adjazenzmatrizen beschreiben, indem
man aik gleich der Anzahl der Kanten setzt, welche die i-te mit der k-ten
Ecke verbinden. In diesem Sinn kann ein Multigraph als bewerteter Graph
angesehen werden, bei dem die Bewertungsfunktion nur natürliche Zahlen
als Werte annimmt. Allerdings besteht dann ein wesentlicher Unterschied
bei den Wegen und Pfaden bzw. deren Länge!
212
KAPITEL 8. GRAPHEN
8.10
Übungsaufgaben
1. Sei G = (V, E) mit V = {1, . . . , 9} und
E = {{1, 7}, {1, 9}, {2, 8}, {2, 9}, {3, 4}, {3, 6}, {3, 8}, {3, 9}, {4, 5},
{4, 6}, {4, 8}, {5, 6}, {5, 8}, {5, 9}, {6, 7}, {7, 8}, {7, 9}, {8, 9}}.
a) Bestimmen Sie die Adjazenzmatrix und die Adjazenzlisten dieses
Graphen.
b) Bestimmen Sie, wenn möglich, einen geschlossenen Eulerweg mit
Hilfe des im Text angegebenen Algorithmus (ohne oder mit Computer).
2. Fünf internationale Delegationen treffen einander eines Abends an
einem runden Tisch. Es sind 2 Amerikaner, 2 Deutsche, 2 Engländer,
2 Franzosen und 2 Italiener. Es ist eine Sitzordnung gesucht, bei der
jede mögliche Paarbildung von Nationalitäten vorkommt, d.h. es soll
ein Amerikaner neben einem Deutschen sitzen, ein Deutscher neben
einem Italiener, usw.. Gibt es eine solche Sitzordnung? Wenn ja, wie
sieht sie aus? (Stichwort: geschlossener Eulerweg in K5 )
3. Suchen Sie für jedes der fünf regulären Polyeder einen Hamiltonkreis in
dem durch die Ecken und Kanten des Polyeders definierten Graphen.
Sind diese Graphen eulersch?
4. Für welche m, n ist der vollständige bipartite Graph Km,n eulersch bzw.
hamiltonsch? Wann gibt es einen nicht geschlossenen Hamiltonpfad?
5. Sei A die Adjazenzmatrix von K3,3 bezüglich der Eckenpartition
{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}.
Geben Sie die Gestalt von As für beliebiges s ∈ N an. (Beweis mit
vollständiger Induktion)
6. Geben Sie einen Entscheidungsbaum für das im Text beschriebene
Problem der Erkennung einer falschen Münze an, und erklären Sie,
warum er funktioniert.
7. Zeichnen Sie zu folgenden Ausdrücken einen zugehörigen Wurzelbaum,
und schreiben Sie die Ausdrücke sowohl in gewöhnlicher als auch in
umgekehrter polnischer Notation:
a) t + uw/(w + x − y 2 ),
b) ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q.
8.10. ÜBUNGSAUFGABEN
213
8. Im folgenden ist a) in polnischer und b) in umgekehrter polnischer
Notation geschrieben. Zeichnen Sie die zugehörigen Wurzelbäume und
werten Sie die Ausdrücke aus.
a) / ∗ 2 + 2 5 ˆ + 3 4 2
b) 6 3 / 3 + 7 3 − ∗
9. Geben Sie einen aufspannenden Baum an
a) von Kn ,
b) von Km,n .
10. Stellen Sie mit Hilfe des Algorithmus von Kahn fest, ob der folgende
Digraph (V, E) kreisfrei ist. Wenn nein, geben Sie einen Kreis an.
V = {1, . . . , 9},
E = {(7, 1), (9, 2), (9, 3), (4, 3), (1, 4), (2, 4), (7, 4), (2, 5), (6, 5),
(3, 8), (7, 8), (4, 9)}.
11. Bestimmen Sie einen ”shortest path tree” des folgenden bewerteten
Graphen mit Startecke A durch ”händische” Anwendung des Algorithmus von Dijkstra. Zeichnen Sie nach jedem Schleifendurchlauf den bis
dahin konstruierten Teilbaum und markieren Sie alle Ecken mit den bis
dahin berechneten (eventuell vorläufigen) Entfernungen.
D
E
1
1
0
A
3
2
F
1
2
B
2
C
12. Bestimmen Sie in analoger Weise einen minimalen aufspannenden Baum
dieses Graphen mit dem Algorithmus von Prim.
13. Bestimmen Sie ebenso einen shortest path tree des folgenden bewerteten Digraphen von der Ecke A aus. (Dieses Beispiel ist dem Buch [28]
214
KAPITEL 8. GRAPHEN
entnommen.)
B
7
2
8
A
14
D
16
G
5
C
10
6
8
19
7
2
E 12
3
H
F
4
Kapitel 9
Algebraische Strukturen
Musterbeispiele von algebraischen Strukturen sind Addition und Multiplikation auf N, Z, Q oder R. Deren wesentliche Eigenschaften führen uns zu
bedeutsamen Verallgemeinerungen.
9.1
Halbgruppen
Definition 9.1 Eine binäre Operation oder Verknüpfung auf einer
Menge M ist eine Abbildung f : M × M → M.
Schreibweise: Statt f (x, y) schreibt man meist x f y. Außerdem bezeichnet
man eine binäre Operation üblicherweise nicht mit Buchstaben wie f , sondern mit einem anderen geeigneten Symbol, wie z.B. +, ·, ◦. Zur Bezeichnung
irgendeiner nicht näher definierten binären Operation verwenden wir hier das
Symbol ∗. Das sieht dann etwa so aus:
∗ : M × M → M : (x, y) 7→ x ∗ y.
Beispiele:
1) Addition auf N:
+ : N × N → N: (x, y) 7→ x + y.
2) Vereinigung von Teilmengen: Sei S eine Menge und P = P(S) die Potenzmenge von S. Dann ist
∪ : P × P → P : (A, B) 7→ A ∪ B
eine Verknüpfung auf P.
215
216
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
3) Zusammensetzung von Funktionen auf einer Menge:
Sei A eine Menge und F die Menge aller Abbildungen A → A. Dann ist für
g, h ∈ F auch g ◦ h ∈ F und daher
◦ : F × F → F : (g, h) 7→ g ◦ h
eine binäre Operation auf F.
4) Verkettung (”concatenation”) von Worten bzw. Listen oder endlichen Folgen:
∪ : WA → WA : ((a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bm )) 7→ (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ),
bzw. :
(a1 . . . an , b1 . . . bm ) 7→ a1 . . . an b1 . . . bm
wobei WA die Menge aller Worte mit Buchstaben aus einem bestimmten
Alphabet A bedeutet.
Bemerkung: Für eine Verknüpfung auf M ist wesentlich, dass für beliebige
Elemente x, y der betrachteten Menge auch x ∗ y zu der Menge gehört. Diese
Bedingung muss natürlich auch für x = y erfüllt sein. So ist etwa die gewöhnliche Addition auf {−1, 0, 1} keine Verknüpfung, da 1 + 1 = 2 nicht dazugehört.
Die angeführten Beispiele und viele andere binäre Operationen sind assoziativ:
Definition 9.2 Eine binäre Operation ∗ auf M heißt assoziativ, wenn
∀x, y, z ∈ M : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
Es hat daher einen Sinn, x ∗ y ∗ z zu schreiben.
Für die Zusammensetzung von Funktionen sieht man die Assoziativität so:
((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f ((g ◦ h)(x)) = (f ◦ (g ◦ h))(x).
Definition 9.3 Wenn ∗ eine assoziative Verknüpfung auf M ist, so heißt
(M, ∗) eine Halbgruppe (”semigroup”). Ein Element e von M heißt
neutrales Element (”identity element”) dieser Halbgruppe, wenn
e ∗ x = x ∗ e = x für alle x ∈ M. (Andere Bezeichnungen: Einselement (”unit”), falls die Verknüpfung wie eine Multiplikation geschrieben
wird; Nullelement (”zero”), falls sie wie eine Addition geschrieben wird.)
9.1. HALBGRUPPEN
217
Wenn klar ist, um welche Verknüpfung es sich handelt, schreibt man statt
(M, ∗) auch einfach M.
Halbgruppen mit neutralem Element heißen auch Monoide.
Beim ersten der obigen Beispiele gibt es kein neutrales Element (es ist ja
0∈
/ N). Im 2. Beispiel ist die leere Menge ∅ neutrales Element, im 3. Beispiel
die identische Funktion IA , und im 4. Beispiel das leere Wort.
Bemerkung 9.4 In einer Halbgruppe kann es höchstens ein neutrales Element geben.
Beweis: Angenommen, e und e0 sind zwei verschiedene neutrale Elemente,
also e 6= e0 . Dann gilt wegen der Neutralität von e:
e ∗ e0 = e0
und wegen der Neutralität von e0 :
e ∗ e0 = e.
Also folgt e = e0 im Widerspruch zu unserer Annahme.
In einer Halbgruppe kann man Potenzen genau so wie bei Zahlen rekursiv
definieren:
Definition 9.5 x1 := x, und für n ∈ N : xn+1 := xn ∗ x.
In Halbgruppen mit neutralem Element e setzt man x0 := e.
Wird die Verknüpfung mit + bezeichnet, so schreibt man nx statt xn .
Mit Induktion zeigt man leicht: ∀m, n ∈ N : xn ∗ xm = xn+m , (xn )m = xnm .
(Z.B.: Beweis der zweiten Regel:
m = 1 : (xn )1 = xn = xn·1 .
m → m + 1 : (xn )m+1 = (nach Definition der Potenzen) (xn )m ∗ xn = (nach
Induktionsvoraussetzung) xnm ∗ xn = (nach der 1. Regel) xnm+n = xn(m+1) .)
Definition 9.6 Eine Halbgruppe (M, ∗) heißt kommutativ oder abelsch,
wenn x ∗ y = y ∗ x für alle x, y ∈ M.
218
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
(Niels Henrik Abel (1802-1829) ist ein berühmter norwegischer Mathematiker.
Er hat insbesondere bewiesen, dass Gleichungen 5. Grades im Allgemeinen
nicht auflösbar sind (ungefähr gleichzeitig mit dem französischen Mathematiker Evariste Galois (1811 - 1832), aber unabhängig von ihm).)
Die additive Schreibweise (+) wird nur für abelsche Halbgruppen verwendet.
Von unseren Beispielen sind die ersten beiden kommutativ. Die Zusammensetzung von Funktionen ist jedoch im Allgemeinen nicht kommutativ (siehe
Kapitel 6), ebenso die Verkettung von Worten.
Weitere Beispiele von Halbgruppen ( + und · bedeuten die übliche Addition
bzw. Multiplikation):
5) (N0 , +) und (Z, +) sind kommutative Halbgruppen mit neutralem Element
0.
6) (N, ·) und (Z, ·) sind kommutative Halbgruppen mit neutralem Element
1.
7) (Zm , +) und (Zm , ·) sind kommutative Halbgruppen mit neutralem Element [0]m bzw. [1]m .
8) Die Subtraktion ist zwar eine binäre Relation auf Z, aber (Z, −) ist keine
Halbgruppe. Z.B. ist (3 − 2) − 1 = 0, aber 3 − (2 − 1) = 2.
9) Für jede beliebige Menge S ist (P(S), ∩) eine kommutative Halbgruppe
mit neutralem Element S : S ∩ A = A ∩ S = A für alle A ⊂ S.
10) Die Menge aller injektiven Abbildungen A → A ist (mit der Zusammensetzung als Verknüpfung) eine im Allgemeinen nicht kommutative Halbgruppe mit neutralem Element IA . Ebenso die Menge aller surjektiven bzw.
bijektiven Abbildungen A → A.
11) Sei R(2,2) die Menge aller 2 × 2 - Matrizen von reellen Zahlen.
11a) Die Addition von zwei solchen Matrizen wird einfach so definiert:
µ
a11 a12
a21 a22
¶
+
µ
b11 b12
b21 b22
¶
:=
µ
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
¶
.
Es ist fast unmittelbar klar, dass dies eine Verknüpfung auf R(2,2) liefert,
welche assoziativ undµkommutativ
ist. Das neutrale Element (Nullelement)
¶
0 0
.
ist die ”Nullmatrix”
0 0
9.2. GRUPPEN
219
11b) Die Multiplikation von Matrizen wird folgenderweise definiert (siehe
Kapitel 8.3):
µ
¶µ
¶
µ
¶
a11 a12
b11 b12
a11 b11 + a12 b21
a11 b12 + a12 b22
:=
.
a21 a22
b21 b22
a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22
Man kann sich leicht davon überzeugen, dass auf diese Weise auf R(2,2) eine
assoziative Verknüpfung definiert wird. Diese ist aber nicht kommutativ (siehe
Kapitel 8.3).
µ
¶
1 0
Das neutrale Element (Einselement) ist hier die ”Einheitsmatrix”
.
0 1
Allgemeiner erhält man so die ”additive” und ”multiplikative” Halbgruppe
der reellen n × n - Matrizen. Natürlich kann man statt der reellen Zahlen
auch die ganzen, rationalen oder komplexen Zahlen nehmen. Bezüglich der
Addition bilden auch die m × n-Matrizen mit m 6= n eine Halbgruppe.
9.2
9.2.1
Gruppen
Definitionen und Beispiele
Definition 9.7 Sei (H, ∗) eine Halbgruppe mit neutralem Element e, und
x, x ∈ H. Wenn x ∗ x = x ∗ x = e gilt, so heißt x inverses Element von x.
Schreibweise: Wenn die Verknüpfung mit + bezeichnet wird, schreibt man
−x; sonst meist x−1 .
Bemerkung 9.8 In einer Halbgruppe gibt es höchstens ein inverses Element
von x.
Beweis: Angenommen, x und x
e wären zwei verschiedene inverse Elemente
von x, also x 6= x
e. Dann wäre
e = e.
x∗x=x∗x
Durch Verknüpfung von links mit x folgt nun auf Grund der Assoziativität:
e,
(x ∗ x) ∗ x = (x ∗ x) ∗ x
220
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
also
und das heißt
e∗x=e∗x
e,
im Widerspruch zur Annahme.
x=x
e,
Bemerkung 9.9 (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 .
(D.h.: Wenn es zu x und y jeweils ein inverses Element gibt, dann gibt es
auch zu x ∗ y ein inverses Element, und dieses ist gleich y −1 ∗ x−1 .)
Beweis: (x ∗ y) ∗ (y −1 ∗ x−1 ) = x ∗ (y ∗ y −1 ) ∗ x−1 = e, und ebenso
(y −1 ∗ x−1 ) ∗ (x ∗ y) = e.
Bemerkung 9.10 (x−1 )−1 = x.
(Das folgt unmittelbar aus der Definition des inversen Elements.)
Definition 9.11 Eine Halbgruppe mit neutralem Element heißt Gruppe
(”group”), wenn sie zu jedem Element ein dazu inverses besitzt.
Bemerkung 9.12 In einer Gruppe gibt es zu beliebigen Elementen a, b stets
genau ein Element x, sodass a ∗ x = b. D.h., die ”Gleichung” a ∗ x = b hat
eine eindeutige ”Lösung” x. Analoges gilt für x ∗ a = b.
Beweis: x := a−1 ∗ b ist eine Lösung, da a ∗ (a−1 ∗ b) = (a ∗ a−1 ) ∗ b = b. Diese
Lösung ist eindeutig: Wäre x0 eine andere Lösung, dann wäre a ∗ x0 = b und
daher a−1 ∗ a ∗ x0 = a−1 ∗ b, und das hieße x0 = a−1 ∗ b.
Von unseren Beispielen für Halbgruppen sind nur die folgenden Gruppen:
5) (Z, +): Das zu x inverse Element ist −x, denn x + (−x) = 0.
7) (Zm , +): Das zu [x]m inverse Element ist [−x]m = [m − x]m .
10) Die Menge S(A) aller bijektiven Abbildungen A → A: Das zu einer
Abbildung f inverse Element ist die Umkehrabbildung f −1 , denn f ◦ f −1 =
f −1 ◦f = IA . S(A) heißt auch ”symmetrische Gruppe”. Wenn A eine endliche
Menge ist, heißen die Elemente von S(A) Permutationen (siehe Kapitel 6).
Für |A| > 2 ist S(A) nicht kommutativ.
9.2. GRUPPEN
221
11a) Dieµ(z.B. reellen)
¶ 2 × 2 - Matrizen bilden mit der
µ Addition eine¶Gruppe.
a11 a12
−a11 −a12
Das zu
inverse Element ist natürlich
.
a21 a22
−a21 −a22
(Analog für m × n-Matrizen.)
(Z, ·) ist zum Beispiel keine Gruppe: Zu keiner ganzen Zahl außer 1 und −1
gibt es ein inverses Element: Aus x · x = 1 folgt, dass x ein Teiler von 1 ist,
also |x| ≤ 1. Wegen 0 · x = 0 muss x 6= 0 sein. Also bleibt nur mehr x = ±1.
In einer Gruppe können wir auch Potenzen mit negativen Exponenten definieren:
Definition 9.13 x−n := (x−1 )n für n ∈ N.
Man kann leicht mit Induktion zeigen, dass x−n = (xn )−1 ist, und dass
allgemeiner für beliebige ganze Zahlen n, m gilt:
xn ∗ xm = xn+m ,
(xn )m = xnm .
9.2.2
Untergruppen
Definition 9.14 Sei (G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element e. Eine Teilmenge H von G heißt Untergruppe (”subgroup”) von (G, ∗) (kurz: Untergruppe von G), wenn gilt:
1. ∀x, y ∈ H : x ∗ y ∈ H,
2. e ∈ H,
3. ∀x ∈ H : x−1 ∈ H.
Bemerkung 9.15 Wenn H eine Untergruppe von (G, ∗) ist, dann bildet H
mit der Einschränkung von ∗ auf H × H eine Gruppe.
Beweis: Da die Einschränkung von ∗ auf H × H klarerweise auch assoziativ ist, folgt die Behauptung praktisch unmittelbar aus der Definition von
"Untergruppe". ¥
Beispiele:
222
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
a) Z ist eine Untergruppe von (Q, +).
b) Für k ∈ N sei kZ := {kx | x ∈ Z}, also die Menge aller ganzzahligen
Vielfachen von k. Diese ist eine Untergruppe von (Z, +).
Die folgende Bemerkung macht es manchmal leichter zu überprüfen, ob eine
bestimmte Teilmenge eine Untergruppe ist:
Bemerkung 9.16 Sei (G, ∗) eine Gruppe. Eine nicht leere Teilmenge H von
G ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
∀x, y ∈ H : x ∗ y −1 ∈ H.
Beweis: Diese Bedingung ist natürlich notwendig. Sie ist aber auch hinreichend:
a) Da H als nicht leer vorausgesetzt wurde, gibt es mindestens ein h ∈ H.
Dann ist e = h ∗ h−1 ∈ H.
b) Sei nun y ein beliebiges Element aus H. Dann ist y −1 = e ∗ y −1 ∈ H.
c) Es ist noch zu zeigen, dass für x, y ∈ H auch x ∗ y immer ein Element von
H ist. Da nach b) aber y −1 ∈ H ist, folgt das auf Grund von x∗y = x∗(y −1 )−1
aus der angegebenen Bedingung.
Beispiel: Die Menge aller symmetrischen reellen 2 × 2 - Matrizen (d.h. a12 =
a21 ) ist eine Untergruppe von (R(2,2) , +), da
¶
µ
¶ µ 0 0 ¶ µ
a − a0 b − b0
a b
a b
=
.
−
b c
b0 c0
b − b0 c − c0
Definition 9.17 Sei H eine Untergruppe von G, und g ∈ G. Dann heißt die
Menge
g ∗ H := {g ∗ h | h ∈ H}
bzw.
H ∗ g := {h ∗ g | h ∈ H}
eine linke bzw. rechte Nebenklasse (”coset”) von H.
Beispiel: Sei H = kZ mit k ∈ N. Dann ist
r + H = r + kZ = {r + kq | q ∈ Z}
9.2. GRUPPEN
223
die Restklasse [r]k . Der Begriff ”Nebenklasse” kann also als Verallgemeinerung
von ”Restklasse” angesehen werden. Der nächste Satz zeigt, dass wichtige
Eigenschaften der Restklassen auch für beliebige Nebenklassen gelten.
Wir schreiben von nun an der Einfachheit halber xy statt x ∗ y, und daher
auch gH statt g ∗ H.
Satz 9.18 Die linken Nebenklassen einer Untergruppe H von G bilden eine
Partition von G, die aus gleichmächtigen Mengen besteht. Für die zugehörige
Äquivalenzrelation ∼ gilt
x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H.
Bemerkung: Ein analoger Satz gilt für die rechten Nebenklassen, mit
x ∼ y ⇔ xy −1 ∈ H.
Beweis:
Wir überlegen uns zuerst, dass durch x ∼ y :⇔ x−1 y ∈ H eine Äquivalenzrelation definiert wird, und zeigen dann, dass die zugehörigen Äquivalenzklassen
genau die Nebenklassen von H sind.
1) Reflexivität: x−1 x = e ∈ H.
2) Symmetrie: Aus x−1 y ∈ H folgt (x−1 y)−1 = y −1 x ∈ H.
3) Transitivität: x−1 y ∈ H ∧ y −1 z ∈ H ⇒ x−1 y y −1 z = x−1 z ∈ H.
4) Für alle g ∈ G gilt [g] = gH:
x ∈ [g] ⇔ g ∼ x ⇔ g−1 x ∈ H ⇔
⇔ (∃ h ∈ H : g −1 x = h, d.h. x = gh) ⇔ x ∈ gH.
5) Die Nebenklassen sind gleichmächtig, da folgende Abbildung bijektiv ist:
f : H → gH : h 7→ gh.
f ist auf Grund der Definition von gH trivialerweise surjektiv. Nach Bemerkung 9.12 gibt es zu jedem b ∈ gH ⊂ G nur ein h ∈ G mit b = gh. Daher
ist f auch injektiv.
Anderes Beispiel für Nebenklassen: Sei V ein Vektorraum und U ein linearer Teilraum von V (siehe Vorlesungen oder Bücher über Lineare Algebra,
z.B. [21]). Dann ist U bezüglich der Addition eine Untergruppe von V. Die
224
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Nebenklassen x + U sind dann die zu U ”parallelen” sogenannten ”affinen
Teilräume” von V. Speziell für V = R2 und einen eindimensionalen Teilraum
U ist die Menge der Nebenklassen von U die Menge aller zu U parallelen
Geraden in der Ebene.
Definition 9.19 Die Anzahl der Elemente einer Gruppe heißt auch
Ordnung der Gruppe.
Man schreibt daher auch ord G anstelle von |G|.
Satz 9.20 (Lagrange) Sei G ein endliche Gruppe. Dann ist die Ordnung
jeder Untergruppe von G ein Teiler der Ordnung von G.
(Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813): Professor in Turin, Berlin und schließlich Paris; grundlegende Arbeiten in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und Physik.)
Beweis: Sei k die Anzahl der (linken) Nebenklassen von H in G. Da alle
(linken) Nebenklassen nach Satz 9.18 gleich viele Elemente wie H haben und
eine Partition von G bilden, gilt |G| = k |H|.
Bemerkung 9.21 Wenn H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G ist,
|G|
so ist also |H|
eine ganze Zahl. Sie wird der Index von H (in G) genannt.
Definition 9.22 Sei M eine Teilmenge einer Gruppe G. Unter der von M
erzeugten Untergruppe (”generated subgroup”) versteht man den Durchschnitt aller Untergruppen H von G mit M ⊂ H.
Bezeichnung: U(M), also: U(M) =
T
{H | H Untergruppe von G, M ⊂ H}.
U (M) ist wirklich eine Untergruppe! (Beweis: Übungsaufgabe)
Beispiel für eine von zwei Elementen erzeugte Untergruppe:
Sei G = (R2 , +) die Gruppe der Vektoren in der Ebene mit der gewöhnlichen
Vektoraddition, und a, b ∈ R2 . Dann ist
U ({a, b}) = {ka + lb | k, l ∈ Z},
denn jede {a, b} enthaltende Untergruppe muss alle Vektoren der Form ka+lb
enthalten, und andererseits bilden diese Vektoren bereits eine Untergruppe,
9.2. GRUPPEN
225
wie man z.B. auf Grund der Bemerkung 9.16 leicht sieht, denn mit zwei
solchen Vektoren ka+lb und k0 a+l0 b ist auch deren Differenz (k−k0 )a+(l−l0 )b
wieder von dieser Form. Wenn a und b linear unabhängig sind (d.h. nicht
auf einer Geraden durch den Ursprung liegen), so bilden die Endpunkte der
Vektoren aus U({a, b}) ein sogenanntes Punktgitter.
In dem wichtigen Spezialfall M = {a} schreiben wir U(a) statt U({a}).
Definition 9.23 Sei G eine Gruppe und a ∈ G. Wenn es eine natürliche
Zahl s gibt, sodass as = e, so heißt die kleinste solche Zahl die Ordnung
von a. (Bezeichnung: ord a).
Beispiel: Die Ordnung einer Zyklus-Permutation ist gleich ihrer Länge: Sei
π = (x1 , . . . , xk ). Dann ist π k = ε, und für 1 ≤ j < k ist π j (x1 ) = xj+1 6= x1 ,
also π j 6= ε.
Bemerkung 9.24 In einer endlichen Gruppe gibt es für jedes Element a ein
s ∈ N, sodass as = e.
Beweis: Sei n = |G|. Die n + 1 Potenzen a0 , a1 , a2 , . . . , an können nicht alle
voneinander verschieden sein, also gibt es k, m ∈ {0, 1, 2, . . . , n}, k < m,
sodass am = ak (Schubfachprinzip). Daher ist am−k = am a−k = ak a−k = e.
Satz 9.25 Sei s = ord a in einer endlichen Gruppe G. Dann ist
1) U(a) = {a0 , a1 , a2 , . . . , as−1 },
2) ord a = ord U (a),
3) ord a | ord G,
4) aord G = e.
Beweis:
1) Klarerweise ist ak ∈ U (a) für alle k ∈ N, also
H := {a0 , a1 , a2 , . . . , as−1 } ⊂ U (a).
Es genügt also, zu zeigen, dass H tatsächlich eine Untergruppe ist, denn
wegen a = a1 ∈ H folgt dann U (a) ⊂ H. Seien k, m ∈ {0, 1, 2, . . . , s − 1}.
226
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Dann ist entweder 0 ≤ k+m < s oder s ≤ k+m < 2s. Wegen as = a−s = e ist
ak am = ak+m = ak+m a−s = ak+m−s jedenfalls wieder ein Element von H. Das
neutrale Element ist a0 , und das zu ak inverse Element ist a−k = as a−k = as−k
∈ H.
2) ord a = s = ord U (a) folgt aus 1), denn die Elemente a0 , a1 , a2 , . . . , as−1
sind paarweise verschieden voneinander:
Wäre etwa ak = am mit 0 ≤ k < m < s, dann würde nach Multiplikation
mit a−k folgen: e = am−k mit 0 < m − k < s, im Widerspruch zur ord a = s.
3) ord a | ord G folgt aus 2) und dem Satz von Lagrange.
4) Sei s = ord a, n = ord G. Nach 3) gibt es ein q ∈ N, sodass n = sq. Daher
ist an = asq = (as )q = eq = e.
Definition 9.26 Eine von einem Element erzeugte Gruppe heißt zyklische
Gruppe (”cyclic group”).
Musterbeispiel für endliche zyklische Gruppen:
(Zm , +) ist (für jedes m ∈ N) eine zyklische Gruppe, denn [k] = k [1] (Das
ist die k-te Potenz von [1] in additiver Schreibweise.).
Zur Illustration des letzten Satzes betrachten wir z.B. speziell den Fall m = 6
und a = [2]. Dann ist ord a = 3, denn a2 = 2[2] = [4], a3 = 3[2] = [6] = [0],
und wir sehen: U([2]) = {[0], [2], [4]}, ord U([2]) = 3, ord Z6 = 6, 3|6, und
a6 = 6[2] = [12] = [0].
Musterbeispiel für unendliche zyklische Gruppen: (Z, +) wird von 1 erzeugt,
da k = k · 1.
Einfaches Beispiel für eine nicht zyklische Gruppe: Die Permutationsgruppe
S3 hat die Ordnung 6, ihre Elemente haben aber höchstens Ordnung 3:
S3 = {ε, (12), (13), (23), (123), (132)}.
9.2.3
Die Gruppe der primen Restklassen
Definition 9.27 Sei m eine natürliche Zahl ≥ 2. Die Restklassen [r]m mit
GGT(r, m) = 1 heißen prime Restklassen modulo m.
Diese bilden nicht nur ein interessantes Beispiel für eine Gruppe, sondern
dienen auch zur Verschlüsselung von Nachrichten (siehe Abschnitt 9.2.4).
9.2. GRUPPEN
227
Satz 9.28 Zu [r] ∈ Zm gibt es genau dann ein inverses Element bezüglich
der Multiplikation, wenn r zu m relativ prim ist (d.h. wenn GGT(r, m) = 1).
Beweis: Wir wenden die Folgerung 5.30 aus dem euklidischen Algorithmus
an, welche besagt, dass zwei Zahlen r, m genau dann relativ prim sind, wenn
sich 1 als ganzzahlige Linearkombination von r und m darstellen lässt (d.h.
wenn es ganze Zahlen k, l gibt, sodass kr + lm = 1).
1. Angenommen, [r][x] = [1], d.h. rx ≡ 1 mod m. Es gibt daher ein q ∈ Z,
sodass rx − 1 = qm bzw. rx − qm = 1. Auf Grund des soeben Gesagten folgt
daraus, dass r und m relativ prim sind.
2. Sei umgekehrt GGT(r, m) = 1. Dann gibt es k, l ∈ Z, sodass kr + lm = 1
bzw. kr − 1 = −lm, und daraus folgt kr ≡ 1 mod m, d.h. [k][r] = [1].
Bemerkung: Der Beweis zeigt auch, dass man die inverse Restklasse mit dem
euklidischen Algorithmus berechnen kann.
Beispiel: Was ist das inverse Element von [17] in Z64 (bezüglich der Multiplikation)? Wir berechnen GGT(64, 17) mit dem euklidischen Algorithmus:
64 = 3 · 17 + 13,
17 = 1 · 13 + 4,
13 = 3 · 4 + 1.
Daraus ergibt sich durch ”Rückwärtseinsetzen” (vgl. Satz 5.28):
1 = 13 − 3 · 4 = 13 − 3 · (17 − 13) = 4 · 13 − 3 · 17 = 4 · (64 − 3 · 17) − 3 · 17 =
4 · 64 − 15 · 17. Wegen [−15] = [49] sehen wir: [17]−1 = [49] in Z64 .
Folgerung 9.29 Für jede natürliche Zahl m > 1 bilden die primen Restklassen modulo m bezüglich der Multiplikation eine Gruppe, die mit Z∗m bezeichnet wird.
Beweis: Wir haben noch zu zeigen, dass das Produkt von zwei zu m relativ
primen Zahlen r, s ebenfalls relativ prim zu m ist. Auf Grund des soeben
bewiesenen Satzes ist das gleichbedeutend damit, dass es zu [rs] = [r][s] ein
inverses Element bezüglich der Multiplikation gibt. Dieses ist aber klarerweise
[s]−1 [r]−1 .
Wir untersuchen nun die Frage nach der Ordnung dieser Gruppe.
228
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Definition 9.30 Die Ordnung der Gruppe Z∗m wird mit ϕ(m) bezeichnet.
Außerdem setzt man ϕ(1) := 0. Die dadurch definierte Funktion ϕ : N → N
heißt eulersche ϕ-Funktion (gesprochen: phi-Funktion).
Bemerkung 9.31 Für jede Primzahl p ist ϕ(p) = p − 1.
Aus Satz 9.25, Teil 4) folgt:
Bemerkung 9.32 Wenn x zu m relativ prim ist, dann gilt xϕ(m) ≡ 1 mod m.
Anders ausgedrückt heißt das: [x]ϕ(m) = [1] in Z∗m .
Für den Spezialfall, dass m eine Primzahl p ist, erhalten wir:
xp−1 ≡ 1 mod p.
Das nennt man oft den ”kleinen Fermat’schen Satz”. (Pierre Fermat (16011655) gilt als Wegbereiter der modernen Analysis. Er ist insbesondere auch
durch folgende Behauptung berühmt geworden, die man den ”großen
Fermat’schen Satz” nennt: Es gibt keine natürlichen Zahlen a, b, c, n, sodass
n > 2 und an + bn = cn . Nach vielen fruchtlosen Beweisversuchen ausgezeichneter Mathematiker haben im Jahre 1995 Andrew Wiles und Richard Taylor
in den ”Annals of Mathematics” einen Beweis publiziert.)
Den kleinen Fermat’schen Satz kann man z.B. in folgender Weise zur Berechnung von Potenzen xk modulo m benützen (falls x relativ prim zu m ist):
Wenn k ≡ r mod ϕ(m), dann gibt es eine ganze Zahl s, sodass k = s ϕ(m)+r,
und daher gilt für r ≥ 0
¢s
¡
xk = xs ϕ(m)+r = xϕ(m) xr ≡ 1s xr mod m,
also xk ≡ xr mod m. Man kann somit den Exponenten modulo ϕ(m)
reduzieren.
Konkretes Beispiel: Wie groß ist der Rest bei Division von 348 durch 23 ? Da
23 eine Primzahl ist, reduzieren wir den Exponenten modulo 22:
48 ≡ 4 mod 22
und sehen daher:
348 ≡ 34 = 81 ≡ 12 mod 23.
Die Antwort auf unsere Frage lautet daher: 12.
Um ϕ(m) für beliebiges m in sinnvoller Weise zu berechnen, benötigen wir
die Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen (Literatur: [8], [23]).
9.2. GRUPPEN
229
Hilfssatz 9.33 Jede natürliche Zahl m 6= 1 kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden.
(Wenn m selbst eine Primzahl ist, so betrachten wir sie als Produkt mit nur
einem Faktor.)
Beweis mit Induktion nach m:
m = 2 ist eine Primzahl.
< m → m: Wenn m eine Primzahl ist, dann sind wir fertig, denn das ist ein
Produkt von Primzahlen mit einem Faktor. Andernfalls gibt es natürliche
Zahlen m1 , m2 ∈ {2, . . . , m − 1}, sodass m = m1 m2 . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Primzahlen pi , sodass m1 = p1 · · · pk und m2 = pk+1 · · · ps .
Dann ist aber m = p1 · · · pk pk+1 · · · ps die gewünschte Darstellung.
Das Interessante ist die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Dazu:
Hilfssatz 9.34 Sei p eine Primzahl und x1 , . . . , xn beliebige ganze Zahlen.
Wenn p ein Teiler des Produkts x1 · · · xn ist, dann ist p auch Teiler von
(mindestens) einem Faktor xi .
Beweis mit Induktion nach n:
n = 1: trivial.
n → n + 1: Sei p | x1 · · · xn xn+1 und x := x1 · · · xn .
Wenn p | x, dann folgt die Behauptung unmittelbar aus der Induktionsvoraussetzung. Wenn p kein Teiler von x ist, dann muss GGT(p, x) = 1 sein. Nach
der schon vorhin benützten Folgerung 5.30 gibt es ganze Zahlen r, s, sodass
rp + sx = 1. Daher ist
xn+1 = (rp + sx)xn+1 = rpxn+1 + sxxn+1 .
p teilt jeden der beiden Summanden und daher xn+1 .
Satz 9.35 (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie) Jede natürliche
Zahl m 6= 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen, abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren.
230
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Beweis: Angenommen, es gibt eine natürliche Zahl n mit zwei verschiedenen
Zerlegungen. Wenn wir durch die Primzahlen, die in beiden Darstellungen
vorkommen, dividieren, so bleibt eine Beziehung der Form
p1 p2 · · · pr = q1 q2 · · · qs ,
wobei die Faktoren pi und qj Primzahlen sind, aber keine Primzahl der
linken Seite auf der rechten Seite vorkommt. Das ist aber unmöglich, denn
p1 | q1 q2 · · · qs , und daher ist p1 nach obigem Hilfssatz Teiler von einem qj ,
und das würde p1 = qj heißen.
Bemerkung 9.36 Wenn eine natürliche Zahl t 6= 1 ein Teiler von m ist,
dann ist jeder Primfaktor von t auch ein Primfaktor von m.
Beweis: Sei p ein Primfaktor von t, also p|t. Da t|m, folgt daraus (wegen der
Transitivität der Teilbarkeitsrelation) p|m, also ist p auch ein Primfaktor von
m.
Bei der Primfaktorzerlegung können gewisse Faktoren mehrfach vorkommen.
Man schreibt daher oft m = ps11 ps22 · · · pskk mit si ∈ N und paarweise verschiedenen Primzahlen pi .
Wir können nun eine Formel herleiten, mit deren Hilfe man ϕ(m) relativ
leicht berechnen kann, wenn man die Primfaktorzerlegung von m kennt.
Satz 9.37 Seien p1 , . . . , pk sämtliche voneinander verschiedenen Primfaktoren von m. Dann gilt:
¶ µ
¶
¶
µ
k µ
Y
1
1
1
··· 1 −
=m
1−
.
ϕ(m) = m 1 −
p1
pk
p
i
i=1
Beweis: Es gibt verschiedene Beweise dieses Satzes. Im Rahmen dieser Vorlesung ist es vielleicht am interessantesten, dass man ihn mit Hilfe des Siebprinzips
(Satz 7.47) herleiten kann (vgl. [8]).
Für i ∈ {1, . . . , k} sei Ai die Menge aller durch pi teilbaren Zahlen aus
Im = {1, . . . , m}. Dann ist
ϕ(m) = m − |A1 ∪ . . . ∪ Ak | ,
denn jede Zahl aus {1, . . . , m}, welche nicht relativ prim zu m ist, hat nach
Bemerkung 9.36 mindestens einen Primfaktor mit m gemeinsam, ist also in
9.2. GRUPPEN
231
einer der Mengen Ai enthalten; umgekehrt sind die Zahlen aus Ai offensichtlich nicht relativ prim zu m. Nach dem Einschluss-Ausschlussprinzip ist
also
ϕ(m) = m − α1 + α2 − . . . + (−1)k αk ,
wobei αi die Summe der Kardinalzahlen aller Mengen folgender Gestalt ist:
Aj1 ∩ Aj2 ∩ . . . ∩ Aji
mit 1 ≤ j1 < j2 < . . . < ji ≤ k. Jede solche Menge besteht aus den Vielfachen
von pj1 pj2 · · · pji , welche zu Im gehören. Bezeichnen wir dieses Produkt zur
Abkürzung mit P, so sehen wir:
n
m o
Aj1 ∩ Aj2 ∩ . . . ∩ Aji = P, 2P, 3P, . . . , P ,
P
also
|Aj1 ∩ Aj2 ∩ . . . ∩ Aji | =
Daraus erkennen wir:
α1
α2
αk
m
.
P
¶
1
1
1
,
= m
+
+ ... +
p1 p2
pk
¶
µ
1
1
1
,
= m
+
+ ... +
p1 p2 p1 p3
pk−1 pk
..
.
1
= m
.
p1 p2 · · · pk
µ
Es folgt:
µ
µ
¶
1
1
1
ϕ(m) = m 1 −
+
+
+ ... +
p1 p2
pk
µ
¶
1
1
1
+
− ...
+
+ ... +
p1 p2 p1 p3
pk−1 pk
¶
1
k
. . . + (−1)
.
p1 p2 · · · pk
Wenn man sich die behauptete Formel ausmultipliziert denkt, sieht man, dass
sie mit dieser hier übereinstimmt.
Beispiel: Die Primfaktorzerlegung von 500 lautet 22 · 53 . Daher ist
ϕ(500) = 500 · (1 − 12 ) · (1 − 15 ) = 500 · 12 · 45 = 200. Es gibt also genau 200
natürliche Zahlen ≤ 500, welche zu 500 relativ prim sind.
232
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Folgerung 9.38 Wenn m und n relativ prim zueinander sind, so gilt
ϕ(m n) = ϕ(m)ϕ(n).
(Man sagt deshalb: Die eulersche ϕ-Funktion ist "multiplikativ").
Beweis: Seien p1 , . . . , pk die verschiedenen Primfaktoren von m und
pk+1 , . . . , ps die von n. Dann sind p1 , . . . , pk , pk+1 , . . . , ps die verschiedenen
Primfaktoren von mn und die Behauptung ergibt sich durch Anwendung der
soeben bewiesenen Formel.
Insbesondere folgt also:
Folgerung 9.39 Seien p, q zwei verschiedene Primzahlen. Dann gilt
ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1).
Das sieht man auch durch direktes Einsetzen in unsere Formel:
¶µ
¶
µ
1
1
1−
= (p − 1)(q − 1).
ϕ(pq) = pq 1 −
p
q
9.2.4
Anwendungsbeispiel: Verschlüsselung von Nachrichten
Es geht hier um einen ganz anderen Aspekt der Codierung wie in Kapitel
7.3. Wir wollen Nachrichten so verschlüsseln, dass es praktisch unmöglich ist,
sie zu entschlüsseln, wenn man den zugehörigen ”Schlüssel” nicht kennt. Das
entsprechende Teilgebiet der Codierungstheorie heißt Kryptographie.
Zunächst ist es sehr leicht, jede durch Buchstaben gegebene Nachricht in
Zahlen umzuwandeln. Dazu kann man z.B. die bekannten ASCII-Codes der
Buchstaben verwenden. Die ASCII-Codes der Großbuchstaben, der Ziffern
von 0 bis 9 sowie der wichtigsten Sonderzeichen (Punkt, Beistrich, Leerstelle etc.) sind Zahlen aus {32, . . . , 95}. Durch Subtraktion von 32 ergibt
sich eine Zahl aus {0, . . . , 63}. Fassen wir diese Zahlen als Ziffern einer badischen Darstellung mit b = 64 auf, so erhalten wir aus jedem Text eine
(große) natürliche Zahl. Eventuell wird man den Text in mehrere Teile zerlegen, damit die Zahlen unterhalb einer festen oberen Schranke m bleiben.
Diese Zahlen lassen sich wieder leicht in den ursprünglichen Text zurückverwandeln, es handelt sich ja nur um die Berechnung der b-adischen Ziffern
einer Zahl (siehe Kapitel 5.5.3).
9.2. GRUPPEN
233
Wir können also davon ausgehen, dass die zu verschlüsselnde Nachricht in
Form von einer oder mehreren (großen) natürlichen Zahlen gegeben ist. Die
im Folgenden beschriebene Methode beruht darauf, dass es bei großen Zahlen
(etwa > 10300 ) im Allgemeinen auch mit jahrelangen Rechenzeiten nicht
möglich ist, ihre Primfaktorzerlegung zu finden. Sie heißt Rivest-ShamirAdleman System, kurz RSA [31].
Man geht von zwei (großen) Primzahlen p und q aus, p 6= q, und bildet ihr
Produkt m := pq. Als nächstes wählt man eine natürliche Zahl v < ϕ(m),
welche relativ prim zu ϕ(m) = (p−1)(q −1) ist. Man kann also z.B. für v eine
beliebige Primzahl < ϕ(m) nehmen, welche kein Teiler von ϕ(m) ist. Wenn
man nun eine Nachricht verschlüsseln will, die in Form einer natürlichen Zahl
x < m gegeben ist, berechnet man [x]v in Zm . Das Ergebnis wird durch eine
Zahl y ∈ {0, . . . , m − 1} dargestellt, sodass y ≡ xv mod m. Dieses y ist die
verschlüsselte Nachricht.
Zur Entschlüsselung benötigen wir das inverse Element von [v]ϕ(m) in der
Gruppe der primen Restklassen modulo ϕ(m), sagen wir [w]ϕ(m) . Dann ist
vw ≡ 1 mod ϕ(m), also vw = 1 + k · ϕ(m) für ein k ∈ Z.
Nehmen wir zunächst einmal an, dass x zu m relativ prim ist. Dann können
wir bei der Berechnung von xvw mod m nach dem ”kleinen Fermat” (Bemerkung 9.32) den Exponenten modulo ϕ(m) reduzieren und erhalten
y w ≡ xvw ≡ x mod m.
Damit haben wir dann die ursprüngliche Nachricht zurückgewonnen.
Betrachten wir nun den Fall, dass x und m nicht relativ prim sind. Ohne
Beschränkung der Allgemeinheit können wir dann annehmen, dass x durch
p teilbar ist. Das heißt, x ≡ 0 mod p und daher trivialerweise
xvw = x · (xk )ϕ(m) ≡ x mod p.
Wenn x nicht durch q teilbar ist, dann gilt nach dem ”kleinen Fermat”
(xk )q−1 ≡ 1 mod q und daher (wegen ϕ(m) = (q − 1)(p − 1)):
xvw = x · (xk )ϕ(m) = x · (xk )(q−1)(p−1) ≡ x mod q.
Wenn x auch durch q teilbar ist, dann ist das wieder trivial. Die Differenz
von linker und rechter Seite der letzten beiden Kongruenzen ist also sowohl
durch p als auch durch q teilbar und somit auch durch m = pq. Daher folgt
in jedem Fall
y w ≡ xvw ≡ x mod m.
234
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Zur Decodierung braucht man die Primfaktoren p und q, damit man ϕ(m)
berechnen kann. Diese Primzahlen sind extrem schwer zu finden, wenn sie
hinreichend groß sind. Die Zahlen v und m können ”öffentlich” sein. Jeder,
der diese Zahlen kennt, kann Nachrichten verschlüsseln. Man spricht daher
von einem ”public-key cryptosystem”.
Zur Illustration ein Beispiel mit folgenden (viel zu kleinen) Primzahlen:
p = 4583, q = 6547, also m = 4583 · 6547 = 30004901. Für v wählen
wir z.B. die Primzahl 4099. Wollen wir etwa das Wort ABRA verschlüsseln,
so wandeln wir es zunächst in der oben beschriebenen Weise in eine Zahl um.
Der ASCII-Code von A,B,C,... ist 65, 66, 67, . . .; A wird also durch die Zahl
33 dargestellt, usw., sodass ABRA der Zahl
x = 33 · 640 + 34 · 641 + 50 · 642 + 33 · 643 = 8857761
entspricht.
Zur Codierung berechnen wir y ≡ xv ≡ x4099 mod m. Das kann man z.B. so
12
machen, dass man zuerst x4096 = x2 mod m durch 12-maliges Quadrieren
berechnet, wobei man in jedem Schritt gleich zum Rest modulo m übergeht,
und dann noch mit x3 mod m multipliziert. (In ähnlicher Weise kann man
andere, auch sehr große, Potenzen modulo m durch Benützung ihrer Binärentwicklung effizient berechnen. Man benötigt dabei niemals Zahlen, die
größer als m2 sind, vgl. Bemerkung nach Definition 5.23.) Als Ergebnis erhalten wir die verschlüsselte Nachricht y = 12373067.
Wenn nun jemand die Primzahlen p, q kennt, kann er ϕ(m) = (p − 1)(q − 1)
= 29993772 berechnen und damit auch das inverse Element der (veröffentlichten) Zahl v modulo ϕ(m), nämlich w = v −1 mod ϕ(m) = 26905855
(mit dem euklidischen Algorithmus). Damit gelingt die Decodierung:
x ≡ y w ≡ 8857761 mod m,
und die Ziffernentwicklung zur Basis 64 führt auf das Wort ABRA zurück.
Zum Ausprobieren dieses Verfahrens eignen sich insbesondere Computersysteme, mit denen man (im Prinzip) mit beliebig vielen Stellen rechnen kann.
Es gibt aber natürlich schon fertige Ver- und Entschlüsselungsprogramme.
9.3
Ringe und Körper
Die Mengen N, Z, Q, R haben von Natur aus zwei algebraische Operationen.
Wichtige Eigenschaften dieser Operationen führen zu folgenden Begriffen.
9.3. RINGE UND KÖRPER
235
Definition 9.40 Sei M eine Menge mit zwei Verknüpfungen, die wir mit +
und · bezeichnen. (M, +, ·) heißt ein Ring, wenn gilt:
1. (M, +) ist eine kommutative Gruppe,
2. (M, ·) ist eine (nicht notwendig kommutative) Halbgruppe,
3. es gelten folgende Distributivgesetze (für alle a, b, c ∈ M):
a · (b + c) = a · b + a · c,
(a + b) · c = a · c + b · c.
Das neutrale Element von (M, +) heißt Null(-element) und wird meist mit
0 bezeichnet. Wenn (M, ·) ein neutrales Element besitzt, so nennt man es
Eins(-element) oder Einheit und bezeichnet es meist mit 1. Wenn (M, ·)
kommutativ ist, spricht man von einem kommutativen Ring. (In diesem
Fall genügt natürlich eines der beiden Distributivgesetze.)
Beispiele:
1) (Z, +, ·), (Q, +, ·) und (R, +, ·) sind kommutative Ringe mit Einheit.
2) (Zm , +, ·) ist ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einheit. Das Distributivgesetz ergibt sich praktisch unmittelbar aus der Definition der Addition und Multiplikation auf Zm (siehe Kapitel 5.5.4). Diese Ringe heißen
Restklassenringe.
3) (Z(2,2) , +, ·) und (R(2,2) , +, ·) sind nichtkommutative Ringe mit Einheit.
4) Sei R ein Ring und F die Menge aller Funktionen R → R. Dann kann man
auf F in natürlicher Weise Addition und Multiplikation definieren, indem
man für f, g ∈ F setzt:
(f + g)(x) := f (x) + g(x),
(f · g)(x) := f (x) · g(x).
(Dabei müsste man genau genommen auf der linken Seite andere Symbole
anstelle von + und · verwenden.)
Dadurch wird F offensichtlich zu einem Ring. Die geforderten Eigenschaften
folgen praktisch unmittelbar aus denen von R.
5) Weitere wichtige Beispiele bilden die Polynomringe (siehe Abschnitt 9.4).
Der folgende Satz sieht zwar sehr trivial aus, erfordert aber doch einen Beweis:
236
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Satz 9.41 In jedem Ring (M, +, ·) gilt a · 0 = 0 · a = 0 für alle a ∈ M.
Beweis: Seien a, b beliebige Elemente von M. Dann gilt auf Grund des
Distributivgesetzes und der Neutralität von 0 bezüglich der Addition:
a · b + a · 0 = a · (b + 0) = a · b. Durch Addition von −(a · b) folgt daraus a · 0 = 0. Die Gleichung 0 · a = 0 kann man völlig analog beweisen.
Wir sehen also, dass a · b = 0 ist, wenn mindestens einer der beiden Faktoren
a, b gleich Null ist. Die Umkehrung davon gilt nicht in jedem Ring, z.B. ist
[2]6 · [3]6 = [0]6 .
Definition 9.42 Ein Ring (M, +, ·) heißt nullteilerfrei, wenn für alle
a, b ∈ M gilt:
a · b = 0 → a = 0 ∨ b = 0.
Kommutative nullteilerfreie Ringe mit Einheit 6= 0 heißen auch Integritätsbereiche (”integral domains”).
Beispiel: (Z, +, ·), (Q, +, ·) und (R,+, ·) sind Integritätsbereiche.
Wenn es in einem Ring Elemente a, b 6= 0 gibt, sodass a · b = 0, so heißen a
und b Nullteiler.
Beispiel: In(R(2,2) , +, ·) gibt es Nullteiler, da z.B.
µ
¶µ
¶ µ
¶
1 0
0 0
0 0
=
.
0 0
0 1
0 0
Bemerkung 9.43 (Zm , +, ·) ist genau dann nullteilerfrei, wenn m eine Primzahl ist.
Beweis:
1. Angenommen, m ist eine Primzahl und [a] · [b] = [0] in Zm . Wenn [a] 6= [0]
ist, dann können wir nach Satz 9.28 mit [a]−1 multiplizieren und erhalten
1 · [b] = [a]−1 · [0], also [b] = [0].
2. Angenommen, m ist keine Primzahl. Dann gibt es ganze Zahlen
r, s ∈ {2, . . . , m − 1}, sodass r · s = m und folglich [r] · [s] = [m] = [0].
9.3. RINGE UND KÖRPER
Definition 9.44 Ein Ring (M, +, ·) heißt Körper
(M \ {0}, · ) eine abelsche Gruppe ist.
237
(”field”), wenn
Ein Körper besitzt also jedenfalls ein Einselement 1 6= 0 und zu jedem Element x 6= 0 ein multiplikativ inverses Element x−1 , das oft auch mit x1 bezeichnet wird. xy bedeutet dann so viel wie x · y −1 .
(Z, +, ·) ist kein Körper, dagegen sind (Q, +, ·) und (R,+, ·) Körper. (Man
schreibt dafür auch einfach Q bzw. R.)
(Zm , +, ·) ist nach Satz 9.28 genau dann ein Körper, wenn m eine Primzahl
ist.
Bemerkung 9.45 Jeder Körper ist nullteilerfrei (und daher ein Integritätsbereich).
Beweis: Wir können wie bei Zm schließen: Angenommen, a · b = 0. Wenn
a 6= 0 ist, erhalten wir durch Multiplikation mit a−1 : 1 · b = a−1 · 0, also
b = 0.
Schließlich sei noch ein interessanter Satz erwähnt:
Satz 9.46 Sei n eine natürliche Zahl. Es gibt genau dann einen Körper mit
n Elementen, wenn n Potenz einer Primzahl ist, d.h. wenn es eine Primzahl
p und ein s ∈ N gibt mit n = ps .
Beweis: Siehe z.B. [19].
Bemerkung: Zu gegebenem n = ps gibt es bis auf Isomorphie nur einen
Körper mit n Elementen (siehe Definition 9.65). Dieser heißt auch GaloisKörper.
Für s = 1 handelt es sich einfach um die Körper Zp .
Definition 9.47 Sei K = (M, +, ·) ein Körper. Eine Teilmenge T von M
heißt Teilkörper (oder Unterkörper, ”subfield”) von K, wenn T mit der
Einschränkung von + und · auf T × T ein Körper ist.
Z.B. bilden die rationalen Zahlen einen Teilkörper des Körpers der reellen
Zahlen.
238
9.4
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Polynome
Unter einem ”Polynom” versteht man üblicherweise einen ”Ausdruck” der
folgenden Art:
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + am xm ,
wobei x als ”Unbekannte” angesehen wird. Das Wesentliche an so einem
Polynom ist die Folge der ”Koeffizienten” a0 , a1 , . . . , am : wenn man diese
kennt, so kennt man das ganze Polynom. Da die Anzahl m der Koeffizienten
beliebig groß sein kann, kommt man zu folgender Definition:
Definition 9.48 Unter einem Polynom (”polynomial”) über einem Ring
R versteht man eine (unendliche) Folge a = (a0 , a1 , a2 , . . .) von Elementen
aus R, in der nur endlich viele Elemente 6= 0 sind, d.h. entweder ist a das
Nullpolynom (0, 0, 0, . . .), oder es gibt ein m ∈ N0 , sodass am 6= 0 und
ai = 0 für i > m, also
a = (a0 , a1 , a2 , . . . , am , 0, 0, . . .)
mit am 6= 0.
Diese Zahl m heißt der Grad (”degree”) von a. (Für das Nullpolynom ist
der Grad nicht definiert.) Bezeichnung: grad a.
Die Menge aller Polynome über R wird mit R[x] bezeichnet. Für das Nullpolynom schreiben wir einfach auch 0.
Die Schreibweise mit der Unbekannten x hat aber schon seine Berechtigung.
Insbesondere kommt dadurch zum Ausdruck, dass jedem Polynom über R
eine Funktion R → R entspricht.
Definition 9.49 Sei a = (a0 , a1 , a2 , . . . , am , 0, 0, . . .) ein Polynom über R.
Dann heißt die Funktion
R → R : x 7→
m
X
ai xi
i=0
die zu a gehörige Polynomfunktion. Sie wirdP
meist ebenfalls mit a bezeichi
net, sodass wir also schreiben können: a(x) = m
i=0 ai x .
Oft wird nicht genau zwischen Polynomen und Polynomfunktionen unterschieden. Es kommt allerdings vor, dass verschiedenen Polynomen dieselbe
Polynomfunktion entspricht:
9.4. POLYNOME
239
Beispiel: Sei R = Z2 , und
p = ([1], [1], [0], [0], . . .), d.h. p(x) = [1] + x;
q = ([1], [0], [1], [0], . . .), d.h. q(x) = [1] + x2 .
p und q sind offensichtlich zwei verschiedene Polynome. Die zugehörigen Polynomfunktionen sind aber gleich, denn
p([0]) = [1] + [0] = [1], q([0]) = [1] + [0]2 = [1] + [0] = [1];
p([1]) = [1] + [1] = [0], q([1]) = [1] + [1]2 = [1] + [1] = [0].
Ähnliche Beispiele gibt es in Zn für beliebiges n ∈ N.
Zum Polynom (0, 1, 0, 0, . . .) gehört die Funktion R → R : x 7→ x. Dieses
Polynom wird daher meist (etwas irreführend) auch mit x bezeichnet.
Auf R[x] gibt es eine natürliche Addition: wenn a = (a0 , a1 , . . .) und
b = (b0 , b1 , . . .) ist, so setzt man a + b := (a0 + b0 , a1 + b1 , . . .). Das ist
mit der Addition der zugehörigen Polynomfunktionen verträglich, d.h. es gilt
(a + b)(x) = a(x) + b(x) für alle x ∈ R.
Man kann auf R[x] auch eine Multiplikation so definieren, dass sie mit der
Multiplikation der zugehörigen Funktionen verträglich ist. Sehen wir uns dazu
das Produkt von zwei Polynomfunktionen an und fassen dabei jeweils die
Summanden mit gleichem Exponenten von x zusammen:
!
µm
¶Ã n
P
P
ai xi
bj xj =
i=0
j=0
= a0 b0 x0 + (a0 b1 + a1 b0 )x1 + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + . . . + am bn xm+n =
=
m+n
P
ck xk
mit ck =
k=0
k
P
ai bk−i .
i=0
Daher definiert man:
Definition 9.50 Seien a = (ai ) und b = (bj ) zwei Polynome über R. Dann
versteht
P man unter dem Produkt von a und b das Polynom a · b := (ck ) mit
ck := ki=0 ai bk−i .
Man kann nun relativ leicht nachprüfen, dass R[x] auf diese Weise zu einem
Ring wird:
240
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Satz 9.51 Die Menge R[x] der Polynome über einem Ring R ist mit der
soeben definierten Addition und Multiplikation ein Ring. Wenn R kommutativ ist, dann ist auch R[x] kommutativ. Wenn R ein Einselement 1 hat, dann
ist (1, 0, 0, 0, . . .) Einselement von R[x].
Bemerkung 9.52
grad(a + b) ≤ max(grad a, grad b),
grad(a · b) ≤ grad a + grad b.
Wenn R nullteilerfrei ist, gilt in der zweiten Ungleichung immer Gleichheit.
Beweis: Die erste Ungleichung ist praktisch trivial.
Pk Für die zweite sei
m = grad a, n = grad b und c = a · b. Wenn ck = i=0 ai bk−i 6= 0 ist, muss
mindestens ein Summand 6= 0 sein. Daraus folgt: es gibt ein i ∈ {0, . . . , k},
sodass ai 6= 0 und bk−i 6= 0. Dann muss aber i ≤ m und k − i ≤ n sein,
und durch Addition dieser beiden Ungleichungen folgt k ≤ m + n, also
grad(a · b) ≤ grad a + grad b.
Aus am 6= 0 und bn 6= 0 folgt bei Nullteilerfreiheit cm+n = am bn 6= 0 und
somit grad(a · b) = grad a + grad b.
Bemerkung: Die Elemente des Ringes R entsprechen in natürlicher Weise
den Polynomen vom Grad 0 (bzw. dem Nullpolynom). Sie werden daher normalerweise mit diesen identifiziert, was auch schon durch unsere Bezeichnung
des Einselements und des Nullpolynoms zum Ausdruck kommt. Insbesondere
hat es einen Sinn, ein Ringelement c mit einem Polynom zu multiplizieren:
c · (a0 , a1 , . . . , am , . . .) = (ca0 , ca1 , . . . , cam , . . .).
Polynome mit Grad Null heißen auch Konstante.
Zur Schreibweise: Wenn wir wie oben das Polynom (0, 1, 0, 0, . . .) mit x bezeichnen, dann ist x2 = x · x = (0, 0, 1, 0, 0, . . .) usw., und man sieht leicht,
dass über einem Ring mit Einselement
2
m
(a0 , a1 , a2 , . . . , am , 0, . . .) = a0 · 1 + a1 · x + a2 · x + . . . + am x =
m
X
ai xi ,
i=0
wobei natürlich x0 := 1 gesetzt wurde. Das ist die allgemein übliche Schreibweise für Polynome. Sie verwischt allerdings den Unterschied zwischen Polynomen und Polynomfunktionen!
9.4. POLYNOME
9.4.1
241
Polynomringe über Körpern
Für Polynomringe über einem Körper gibt es eine Teilbarkeitstheorie, die
weitgehend analog zu der im Ring der ganzen Zahlen ist.
Satz 9.53 Seien a, b Polynome über einem Körper K mit b 6= 0. Dann gibt
es eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ K[x], sodass
a = b · q + r,
wobei entweder r = 0 oder grad r < grad b.
Definition 9.54 Wie bei den natürlichen Zahlen nennt man auch hier q
Quotient und r Rest bei Division von a durch b.
Beweis des Satzes: Sei m := grad a. Wenn a = 0 oder m < grad b ist, dann
ist die Behauptung mit q := 0 und r := a trivialerweise richtig. Damit haben
wir bereits den Anfang eines Induktionsbeweises nach m.
< m → m: Sei n := grad b und m ≥ n. Betrachten wir das Polynom
ā := a −
am m−n
x
b.
bn
ām = am − abmn bn = 0, also ist grad ā < grad a, und nach Induktionsvoraussetzung gibt es Polynome q̄, r mit r = 0 oder grad r < grad b, sodass
ā = b · q̄ + r. Setzen wir nun q := q̄ + abmn xm−n , so sehen wir:
b · q + r = b · q̄ +
am m−n
am m−n
x
b + r = ā +
x
b = a,
bn
bn
sodass nur mehr die Eindeutigkeit nachzuprüfen ist. Nehmen wir an,
a = b · q1 + r1 = b · q2 + r2 , wobei r1 und r2 die geforderten Bedingungen
erfüllen. Dann ist
b · (q1 − q2 ) = r2 − r1 .
Wenn q1 − q2 6= 0 ist, so ist der Grad der linken Seite ≥ grad b (siehe Bemerkung 9.52), der der rechten Seite aber < grad b, Widerspruch. Also muss
q1 − q2 = 0 sein. Dann folgt aber auch r2 − r1 = 0.
242
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Aus diesem Beweis ergibt sich ein einfacher Algorithmus zur Berechnung von
q und r. Wir setzen dabei voraus, dass b nicht das Nullpolynom ist.
polynomialdivide(a, b):
n := grad b
if a = 0 then m := −1 else m := grad a end of if
If m < n then
q := 0
r := a
else
ā := a − abmn xm−n b
(q̄, r) := polynomialdivide(ā, b)
q := q̄ + abmn xm−n
end of if
return(q, r)
Man kann diesen Algorithmus auch ”händisch” durchführen. Dabei verwendet man eine Schreibweise, die an diejenige für die Division von natürlichen
Zahlen angelehnt ist.
Beispiel (mit K = R):
(6x4 + 4x3 + x2 − 3x + 4) : (2x2 + x − 1) = 3x2 + 12 x +
6x4 + 3x3 − 3x2
–––––––
x3 + 4x2 − 3x
x3 + 12 x2 − 12 x
––––––––
7 2
x − 52 x + 4
2
7 2
x + 74 x − 74
2
–––––––
x + 23
− 17
4
4
7
4
Probe: (2x2 + x − 1) (3x2 + 12 x + 74 ) + (− 17
x + 23
) = 6x4 + 4x3 + x2 − 3x + 4
4
4
Definition 9.55 Seien a, b ∈ K[x]. Wenn es ein q ∈ K[x] gibt, sodass
a = b · q, so heißt b Teiler (oder Faktor) von a.
9.4. POLYNOME
243
Die Faktoren vom Grad 1 haben eine besondere Bedeutung:
Definition 9.56 α ∈ K heißt Nullstelle (”zero”) von p ∈ K[x], wenn
p(α) = 0 ist. Man nennt dann α auch eine Wurzel (”root”) der Gleichung
p(x) = 0.
Satz 9.57 Sei p ∈ K[x]. Ein Element α ∈ K ist genau dann Nullstelle von
p, wenn x − α ein Teiler von p ist.
Beweis: Wenn x − α ein Teiler von p ist, dann gibt es ein q ∈ K[x], sodass
p(x) = q(x)(x − α) für alle x ∈ K, insbesondere folgt mit x = α sofort
p(α) = q(α)(α − α) = 0.
Sei nun umgekehrt p(α) = 0. Wir können jedenfalls p durch x − α dividieren,
d.h. es gibt q, r ∈ K[x], sodass p = q · (x − α) + r und r = 0 oder grad r <
grad(x − α) = 1,d.h. r ist eine Konstante. Einsetzen von α ergibt:
0 = p(α) = q(α) · 0 + r, also r = 0.
Analog zu den natürlichen Zahlen gibt es auch hier einen größten gemeinsamen Teiler GGT, den man mit dem entsprechend modifizierten euklidischen Algorithmus berechnen kann. Der GGT von Polynomen aus K[x] ist
natürlich nur bis auf einen Faktor aus K eindeutig bestimmt.
Auch die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen besitzt ein unmittelbares
Analogon für Polynome:
Definition 9.58 Ein nicht konstantes Polynom p ∈ K[x] heißt irreduzibel,
wenn aus p = a · b mit a, b ∈ K[x] folgt, dass a oder b konstant ist. (Andernfalls heißt p reduzibel.)
Bemerkung: Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel.
Satz 9.59 Jedes nicht konstante Polynom über einem Körper ist als Produkt
von irreduziblen Polynomen darstellbar, und diese Darstellung ist eindeutig
bis auf die Reihenfolge und konstante Faktoren.
244
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Beweis: Ähnlich wie bei der Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen.
Beispiel: Das Polynom p := x2 + 1 ist irreduzibel über R: Wäre p = a · b
mit nicht konstanten a, b, so müsste grad a = grad b = 1 sein, d.h. x2 + 1 =
(a1 x + a0 ) · (b1 x + b0 ) mit a1 6= 0, b1 6= 0. Dann wäre aber p(− aa01 ) = 0,
andererseits ist aber x2 + 1 ≥ 1 für alle x ∈ R, Widerspruch.
Über dem Körper C der komplexen Zahlen (siehe Abschnitt 9.5.2) ist dieses
Polynom dagegen reduzibel: x2 +1 = (x+i)(x−i), und das ist eine Darstellung
als Produkt irreduzibler Polynome.
Allgemein gilt sogar:
Satz 9.60 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom vom Grad m > 0
über C ist als Produkt von m Polynomen vom Grad 1 darstellbar.
Der Beweis dieses Satzes übersteigt den Rahmen dieses Buches (vgl. z.B.
[13]). Es sei nur darauf hingewiesen, dass auf Grund von Satz 9.57 die
Faktoren vom Grad 1 die Nullstellen des³Polynoms
liefern: Wenn a1 x+a0 ein
´
a0
Faktor vom Grad 1 ist, dann auch x − − a1 , d.h. − aa01 ist eine Nullstelle.
(Vgl. Beispiel zum vorigen Satz.) Ein Polynom vom Grad m über C lässt
sich also immer so darstellen:
c(x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αm )
mit c ∈ C \ {0} und den Nullstellen α1 , α2 , . . . , αm . Dabei können Nullstellen
mehrfach auftreten.
9.5
9.5.1
Isomorphismen und Homomorphismen
Isomorphismen
Wir haben den Begriff ”Isomorphismus” schon bei Graphen kennengelernt.
Dieser Begriff hat aber für beliebige mathematische Strukturen einen Sinn.
Grob formuliert besagt er Folgendes: Seien A und B zwei Mengen mit ”gleichartigen” Strukturen, z.B. zwei Graphen, zwei Gruppen, zwei Ringe, zwei
Vektorräume, etc.. Dann versteht man unter einem Isomorphismus von A
nach B eine bijektive Abbildung f : A → B, sodass für Elemente x, y, ...
aus A, welche (in Bezug auf die gegebene Struktur) in einer bestimmten
9.5. ISOMORPHISMEN UND HOMOMORPHISMEN
245
Beziehung zueinander stehen, die Bilder f (x), f (y), . . . in B in derselben
Beziehung zueinander stehen, und umgekehrt. Das bedeutet also, dass diese
beiden strukturierten Mengen im Wesentlichen gleich sind, sie unterscheiden
sich gewissermaßen nur durch die Bezeichnung.
Bei einem Graphen geht es um Beziehungen von zwei Elementen x, y der
Form {x, y} ∈ E. In einer Gruppe spielen dagegen Beziehungen von drei
(nicht notwendig verschiedenen) Elementen x, y, z der Form z = x ∗ y eine
wesentliche Rolle, und wir kommen zu folgender Definition:
Definition 9.61 Seien (G, ∗) und (H, ·) zwei Gruppen bzw. Halbgruppen.
Unter einem ((Halb-)Gruppen-)Isomorphismus von G nach H versteht
man eine bijektive Abbildung f : G → H, sodass für alle x, y ∈ G gilt:
f (x ∗ y) = f (x) · f (y).
Man könnte die Bedingung auch so formulieren:
z = x ∗ y ⇒ f (z) = f (x) · f (y).
Daraus folgt dann auch die Umkehrung:
f (z) = f (x) · f (y) ⇒ z = x ∗ y.
Beweis: Angenommen x ∗ y = z 0 6= z. Dann würde f (x) · f (y) = f (z 0 ) 6= f (z)
folgen, Widerspruch.
Definition 9.62 Wenn es zu zwei (Halb-)Gruppen G und H einen Isomorphismus gibt, so sagt man, G und H sind isomorph.
(Dadurch wird natürlich auf jeder Menge von (Halb-)Gruppen eine Äquivalenzrelation definiert.)
Die Bedeutung dieses Begriffs liegt vor allem darin, dass man bei zwei oder
mehreren isomorphen Gruppen immer nur eine genau studieren muss. Alle
(gruppentheoretischen) Eigenschaften dieser einen Gruppe übertragen sich
dann ”automatisch” auf die anderen.
Beispiel für einen Gruppen-Isomorphismus:
246
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Sei (G, ·) eine endliche zyklische Gruppe mit erzeugendem Element a,
ord(G) = m. Dann ist G = {a0 , a1 , . . . , am−1 }, und die folgende Abbildung
f : Zm → G ist ein Isomorphismus (bezüglich der Addition auf Zm ):
f ([k]) := ak .
Beweis: Zunächst sollten wir uns überlegen, dass f wohldefiniert ist, d.h.:
0
[k] = [k0 ] ⇒ ak = ak .
Sei also k ≡ k0 mod m, d.h. es gibt ein q ∈ Z, sodass k − k0 = qm. Dann
0
0
ist aber ak−k = aqm = (am )q = eq = e. Durch Multiplikation mit ak folgt
0
daraus ak = ak .
f ist offensichtlich bijektiv. f ([r] + [s]) = f ([r + s]) = ar+s = ar · as =
f ([r]) · f ([s]), also ist f tatsächlich ein Isomorphismus.
Jede endliche zyklische Gruppe ist also zu einem (Zm , +) isomorph. Genauso
sieht man, dass jede unendliche zyklische Gruppe zu (Z, +) isomorph ist.
Das Studium der zyklischen Gruppen kann man also auf das Studium der
Gruppen (Zm , +) bzw. (Z, +) reduzieren.
Man kann sich leicht überlegen, dass je zwei Gruppen mit zwei Elementen
isomorph sind, ebenso je zwei mit drei Elementen. (Sie sind jeweils zu (Z2 , +)
bzw. (Z3 , +) isomorph.)
Bemerkung 9.63 Sei f ein Isomorphismus der Gruppen (G, ∗) und (G0 , ·).
Dann ist das f -Bild des neutralen Elements von G gleich dem neutralen
Element von G0 , und für alle x ∈ G gilt ord f (x) = ord x.
Beweis: Sei x0 ein beliebiges Element von G0 . Dann gibt es (wegen der
Surjektivität von f ) ein x ∈ G mit x0 = f (x). Daraus folgt aber schon
f (e) · x0 = f (e) · f (x) = f (e ∗ x) = f (x) = x0 und ebenso x0 · f (e) = x0 . Also
ist f (e) neutrales Element von G0 . Die zweite Behauptung ist eine einfache
Folgerung daraus.
Beispiel für zwei nicht isomorphe Gruppen mit vier Elementen:
(Z4 , +) und die sogenannte ”Klein’sche Vierergruppe”
V4 := {ε, (12)(34), (13)(24), (14)(23)},
eine Untergruppe von S4 .
9.5. ISOMORPHISMEN UND HOMOMORPHISMEN
247
(Nach Felix Klein (1849 - 1925), der u.a. wegen seines ”Erlanger Programms”
bekannt ist, in dem er die gruppentheoretische Betrachtungsweise der Geometrie in den Vordergrund rückte.)
Die Nicht-Isomorphie dieser beiden Gruppen folgt auf Grund der vorhergehenden Bemerkung sofort aus der Tatsache, dass Z4 zyklisch ist, V4 aber
nicht: in V4 haben alle Elemente 6= ε die Ordnung 2.
Häufig sind auch Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst interessant:
Definition 9.64 Sei (G, ∗) eine Gruppe. Ein Isomorphismus α : G → G
heißt Automorphismus.
Automorphismen beschreiben so etwas wie ”Symmetrien” einer Gruppe. Z.B.
ist die Abbildung Z → Z : x 7→ −x ein Automorphismus der Gruppe (Z, +).
Die identische Abbildung ist immer ein trivialer Automorphismus.
Für Ringe bzw. Körper werden ”Isomorphismus” und ”Automorphismus” in
analoger Weise definiert:
Definition 9.65 Seien (R, +, ·) und (S, ⊕, ¯) zwei Ringe bzw. Körper. Ein
(Ring- bzw. Körper-)Isomorphismus von R nach S ist eine bijektive Abbildung f : R → S, sodass für alle x, y ∈ R gilt:
f (x + y) = f (x) ⊕ f (y),
f (x · y) = f (x) ¯ f (y).
Wenn (R, +, ·) = (S, ⊕, ¯) ist, so heißt f ein (Ring- bzw. Körper-) Automorphismus.
Bemerkung 9.66 In den Körpern Q und R gibt es keine nichttrivialen
Automorphismen.
Beweis für Q: Angenommen, f ist ein Automorphismus von Q. Nach Bemerkung 9.63 muss f (0) = 0 und f (1) = 1 sein. Damit haben wir bereits
den Anfang eines Induktionsbeweises für die Behauptung ”f (n) = n für
alle n ∈ N”. Der Induktionsschluss selbst ist aber auch ganz einfach: Aus
f (n) = n folgt ja f (n + 1) = f (n) + f (1) = n + 1.
Wegen f (n) + f (−n) = f (n + (−n)) = f (0) = 0 ist f (−n) = −f (n) = −n
für alle n ∈ N, und daher folgt f (z) = z für alle z ∈ Z.
248
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Sei schließlich x eine beliebige rationale Zahl, x =
Dann gilt
f ( pq ) f (q)
=
f ( pq q)
p
q
mit p ∈ Z und q ∈ Z\{0}.
= f (p), also f (x) = f ( pq ) =
f (p)
f (q)
=
p
q
= x.
Im Körper der komplexen Zahlen gibt es jedoch schon einen nichttrivialen
Automorphismus. Wir können das zum Anlass nehmen, um uns einmal die
Definition der komplexen Zahlen anzusehen.
9.5.2
Der Körper der komplexen Zahlen
Definition 9.67 Unter dem Körper C der komplexen Zahlen versteht
man den R2 mit der folgenderweise definierten Addition und Multiplikation:
(a, b) + (c, d) : = (a + c, b + d),
(a, b) (c, d) : = (ac − bd, ad + bc).
Bemerkung: Die komplexen Zahlen kann man also als Punkte oder Vektoren
der Ebene R2 betrachten. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von
der Gauß’schen Zahlenebene.
Bezüglich der Addition liegt hier ganz offensichtlich eine abelsche Gruppe vor.
Sehen wir uns also die Multiplikation etwas genauer an. Die Gültigkeit der
Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze rechnet man leicht nach.
Das Einselement ist (1, 0), und das zu (a, b) inverse Element erhält man
folgendermaßen. Wir suchen x, y ∈ R, sodass (a, b)(x, y) = (1, 0), d.h. es
geht um die Lösung des linearen Gleichungssystems
ax − by = 1,
bx + ay = 0.
a
−b
Wir erhalten x = a2 +b
2 und y = a2 +b2 . Es gibt also tatsächlich zu jedem Paar
(a, b) ∈ R2 \ {(0, 0)} ein multiplikatives Inverses, nämlich
¶
µ
a
−b
−1
.
,
(a, b) =
a2 + b2 a2 + b2
Bemerkung 9.68 Die komplexen Zahlen der Form (a, 0) bilden einen Teilkörper von C, der zu R isomorph ist.
Beweis: (a, 0) − (b, 0) = (a − b, 0), also haben wir bezüglich der Addition eine
Untergruppe.
9.5. ISOMORPHISMEN UND HOMOMORPHISMEN
249
Aus (a, 0) (b, 0)¡= (ab¢ − 0¡ · 0, a¢ · 0 + 0 · b) = (ab, 0)
und (a, 0)−1 = aa2 , 0 = a1 , 0
erkennen wir einerseits, dass tatsächlich ein Teilkörper vorliegt, und andererseits, dass die Abbildung
ϕ : R →{(x, 0) | x ∈ R} : a 7→ (a, 0)
ein Körper-Isomorphismus ist.
Zur Schreibweise: Die komplexe Zahl (0, 1) bezeichnet man mit i. Sie wird
auch imaginäre Einheit genannt. Die komplexen Zahlen der Form (a, 0) identifiziert man auf Grund der letzten Bemerkung mit den reellen Zahlen und
schreibt daher einfach a statt (a, 0). Also:
a + ib = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).
Das rechtfertigt die übliche Schreibweise a + ib anstelle von (a, b). Man nennt
a den Realteil und b den Imaginärteil der komplexen Zahl z = a + ib.
Bezeichnung: a = Re z, b = Im z.
Wir sehen jetzt
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
Die Definition der Multiplikation wird nun im Nachhinein verständlicher:
(a + ib)(c + id) = ac + ibc + iad + i2 bd = (ac − bd) + i(bc + ad).
Definition 9.69 Seien a und b reelle Zahlen. Unter der zu z = a + ib ∈ C
konjugiert komplexen Zahl versteht man z := a − ib.
Bemerkung 9.70 Re z =
z+z
,
2
Im z =
z−z
.
2i
Satz 9.71 Die Abbildung κ : C → C : x 7→ x ist ein Automorphismus
von C.
(Anschaulich handelt es sich um die Spiegelung an der ”reellen Achse”.)
Beweis: Die Bijektivität ergibt sich unmittelbar aus der Beobachtung, dass
κ zu sich selbst invers ist: x = x. Der Rest folgt aus den Rechenregeln
x + y = x + y,
x · y = x · y.
250
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Beweis dieser Regeln: Sei x = a + ib und y = c + id.
Dann ist x + y = (a + c) − i(b + d) = (a − ib) + (c − id) = x + y
und x · y = (ac − bd) − i(bc + ad) = (a − ib)(c − id) = x · y.
Definition 9.72 Unter dem absoluten √
Betrag einer komplexen Zahl z =
a + ib versteht man die reelle Zahl |z| := a2 + b2 .
Bemerkungen:
1) |z|2 = a2 + b2 = z z̄.
2) |xy| = |x| |y| , denn |xy|2 = (xy)(xy) = (xx̄)(yȳ) = |x|2 |y|2 .
3) Den reziproken Wert einer komplexen Zahl z = a + ib 6= 0 kann man jetzt
auch so berechnen:
a − ib
a
b
1
z̄
z̄
= 2
−i 2
.
=
= 2 = 2
2
2
z
z · z̄
a +b
a +b
a + b2
|z|
Die komplexen Zahlen bieten auch ein schönes Beispiel dafür, dass man das
Wesen einer (algebraischen oder sonstigen) Struktur manchmal besser verstehen kann, wenn man eine dazu isomorphe Struktur studiert. Dazu:
¶
a −b
Satz 9.73 Die Menge M2 der reellen 2 × 2-Matrizen der Form
b a
bildet mit der Matrizenaddition und -multiplikation einen zu C isomorphen
Körper. Der entsprechende Isomorphismus sieht so aus:
µ
¶
a −b
ϕ : C → M2 : a + ib 7→
.
b a
µ
Beweis: Die Bijektivität ist klar. Mit x = a + ib und y = c + id sehen wir
¶
µ
a + c −(b + d)
= ϕ(x) + ϕ(y)
ϕ(x + y) =
b+d
a+c
und
ϕ(xy) =
µ
ac − bd −ad − bc
bc + ad ac − bd
¶
=
µ
a −b
b a
¶µ
c −d
d c
¶
= ϕ(x) ϕ(y).
9.5. ISOMORPHISMEN UND HOMOMORPHISMEN
251
Anschauliche Bedeutung
dieser Matrizen: Wenn a und b nicht beide = 0 sind,
√
2
2
setzen wir r := a + b , c := a/r und s := b/r. Dann ist
¶
¶
µ
µ
c −s
a −b
.
=r
s c
b a
Nun ist aber c2 + s2 = 1,
µ daher gibt
¶ es ein α ∈ [0, 2π), sodass c = cos α und
c −s
s = sin α. Die Matrix
beschreibt somit eine Drehung um den
s c
Winkel α, und die Multiplikation mit r entspricht einer ”Streckung” (oder,
für r <µ1, einer ¶
”Stauchung”) um den Faktor r. Insgesamt beschreibt die
a −b
eine ”Drehstreckung”. Die Multiplikation zweier solcher
Matrix
b a
Matrizen kann also als Zusammensetzung von zwei Drehstreckungen interpretiert werden.
9.5.3
Homomorphismen
Definition 9.74 Seien (G, ∗) und (H, ·) zwei Gruppen bzw. Halbgruppen.
Unter einem ((Halb-)Gruppen-)Homomorphismus von G nach H versteht
man eine Abbildung f : G → H, sodass für alle x, y ∈ G gilt:
f (x ∗ y) = f (x) · f (y).
Gegenüber der Definition von ”Isomorphismus” wurde hier also nur das Wort
”bijektiv” weggelassen. Ein Isomorphismus ist somit nichts anderes als ein
bijektiver Homomorphismus. Für Ringe und Körper wird der Begriff Homomorphismus analog definiert.
Beispiele:
1) f : N → N : n 7→ 2n ist ein Homomorphismus der Halbgruppe (N, +) in
die Halbgruppe (N, ·), denn
f (n + m) = 2n+m = 2n · 2m = f (n) · f (m).
Diese Abbildung ist kein Isomorphismus: f ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv. Durch Einschränkung des Wertebereichs auf die Unter-Halbgruppe
{2x | x ∈ N} von (N, ·) ergibt sich ein Isomorphismus.
2) sign : Sn → {1, −1} ist ein Homomorphismus von der Gruppe der
Permutationen von n Elementen in die Gruppe ({1, −1}, ·), denn
252
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
sign(π ◦ σ) = sign(π) · sign(σ). Dieser Homomorphismus ist für n = 1 trivial
injektiv, aber nicht surjektiv; für n = 2 ist er bijektiv, also ein Isomorphismus; für n > 2 ist er surjektiv, aber nicht injektiv.
3) g : Z → Zm : x 7→ [x]m ist ein surjektiver Ring-Homomorphismus von
(Z, +, ·) auf (Zm , +, ·), da ja [x + y] = [x] + [y] und [x · y] = [x] · [y].
Bemerkung 9.75 Ein Gruppen-Homomorphismus f : G → H bildet das
neutrale Element von G auf das neutrale Element von H ab, und für jedes
x ∈ G das inverse Element von x auf das inverse Element von f (x), d.h.:
f (eG ) = eH ,
f (x−1 ) = f (x)−1 .
Beweis: Wir bezeichnen mit e = eG das neutrale Element von G, und mit eH
das neutrale Element von H.
1. f (e) = f (e) f (e) f (e)−1 = f (ee) f (e)−1 = f (e) f (e)−1 = eH .
2. f (x−1 ) f (x) = f (x−1 x) = f (e) = eH , und analog f (x) f (x−1 ) = eH . Daher
ist f (x−1 ) das zu f (x) inverse Element.
Folgerung 9.76 Sei f : G → H ein Gruppen-Homomorphismus. Dann ist
f (G) eine Untergruppe von H.
Definition 9.77 Sei f : G → H ein Gruppen-Homomorphismus. Unter dem
Kern von f versteht man das f -Urbild des neutralen Elements von H.
Satz 9.78 Der Kern K eines Gruppen-Homomorphismus f : G → H ist
eine Untergruppe von G, und es gilt für alle x ∈ G:
1. k ∈ K ⇒ xkx−1 ∈ K.
2. xK = Kx.
3. xK = {x0 ∈ G | f (x0 ) = f (x)}.
Beweis: Sei eH das neutrale Element von H. Aus x, y ∈ K = f −1 (eH ) folgt
−1
∈ K. Da K wegen eG ∈ K
f (xy −1 ) = f (x)f (y)−1 = eH e−1
H = eH , also xy
nicht leer ist, folgt: K ist eine Untergruppe von G. (Siehe Bemerkung 9.16)
1. k ∈ K ⇒ f (k) = eH ⇒ f (xkx−1 ) = f (x) eH f (x)−1 = eH .
9.5. ISOMORPHISMEN UND HOMOMORPHISMEN
253
2. Sei y = xk mit einem k ∈ K. Dann ist y = xk(x−1 x) = (xkx−1 )x ∈ Kx,
denn nach 1. ist xkx−1 ∈ K. Somit folgt xK ⊂ Kx, und die umgekehrte
Inklusion Kx ⊂ xK folgt analog.
3. Wenn x0 = xk mit k ∈ K ist, dann ist f (x0 ) = f (x)f (k) = f (x)eH =
f (x). Wenn umgekehrt f (x0 ) = f (x) ist, dann ist f (x0 x−1 ) = f (x0 )f (x)−1 =
f (x)f (x)−1 = eH , also k := x0 x−1 ∈ K, d.h. kx = x0 , also x0 ∈ Kx = xK.
Die dritte Eigenschaft zeigt, dass die Nebenklassen von K genau die Äquivalenzklassen sind, die zu der durch
x0 ∼ x :⇔ f (x0 ) = f (x)
definierten Äquivalenzrelation gehören.
Die zweite Eigenschaft ist eigentlich mit der ersten äquivalent (Beweis: Übungsaufgabe 7). Sie führt zu folgender Begriffsbildung:
Definition 9.79 Eine Untergruppe K von G heißt Normalteiler (”normal
subgroup”) von G, wenn xK = Kx für alle x ∈ G.
In einer abelschen Gruppe ist natürlich jede Untergruppe ein Normalteiler.
Wenn K ein Normalteiler ist, so stimmen also die linken und rechten Nebenklassen von K überein.
Auf Grund unseres Satzes ist der Kern der Signum-Funktion auf Sn ein Normalteiler von Sn . Es handelt sich dabei um die Untergruppe der geraden
Permutationen von Sn . Diese heißt auch alternierende Gruppe und wird
mit An bezeichnet.
Anderes Beispiel für einen Normalteiler: Die Kleinsche Vierergruppe V4 ist
ein Normalteiler von S4 . Um das einzusehen, kann man alle (voneinander
verschiedenen) linken und rechten Nebenklassen aufschreiben, z.B.:
(12)V4 = {(12), (34), (1324), (1423)},
V4 (12) = {(12), (34), (1423), (1324)} = (12)V4 , usw.
Beispiel für eine Untergruppe, die kein Normalteiler ist:
S3 = {ε, (12), (13), (23), (123), (132)} kann als Untergruppe von S4 aufgefasst
werden.
(14)S3 = {(14), (124), (134), (14)(23), (1234), (1324)},
(12)(14) = (142) ∈ S3 (14), aber ∈
/ (14)S3 , also ist (14)S3 6= S3 (14).
254
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Satz 9.80 Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers K einer Gruppe
G bildet mit der folgenderweise definierten Verknüpfung eine Gruppe:
(xK) ∗ (yK) := (xy)K.
Definition 9.81 Diese Gruppe heißt Faktorgruppe oder Quotientengruppe von G nach K. Bezeichnung: G/K.
Beweis des Satzes:
Zunächst überlegen wir uns, dass es sich um eine wohldefinierte Verknüpfung
handelt: Angenommen xK = x0 K. Dann sind x und x0 bezüglich der zu K
gehörigen Äquivalenzrelation äquivalent (vgl. Satz 9.18), d.h. x−1 x0 = k ∈
K. Daraus folgt aber, dass auch xy und x0 y äquivalent sind: (xy)−1 (x0 y) =
y −1 x−1 x0 y = y −1 ky = (y −1 )k(y −1 )−1 ∈ K (siehe Übungsaufgabe 7.b)). Wir
sehen somit, dass (xy)K = (x0 y)K ist, und analog folgt, dass man auch y
durch ein äquivalentes Element ersetzen kann.
Das Assoziativgesetz ist fast unmittelbar klar: ((xy)z)K = (x(yz))K, da ja
(xy)z = x(yz). Das neutrale Element ist offensichtlich eK = K, und das zu
xK inverse Element ist x−1 K, da ja (xK) ∗ (x−1 K) = (xx−1 )K = eK.
Bemerkung: Die Definition der Verknüpfung auf der Faktorgruppe ist insofern
sehr natürlich, als man (xy)K auch als (xK)(yK) auffassen kann, genauer:
(xy)K = { (xk 0 )(yk) | k0 , k ∈ K}.
Beweis: Sei v := xyk mit k ∈ K ein beliebiges Element der linken Seite. Dann
gibt es auf Grund von yK = Ky, ein k0 ∈ K mit yk = k 0 y, also v = xk 0 y =
xk0 ye, und das ist in der rechten Seite enthalten. Betrachten wir umgekehrt
ein beliebiges Element der rechten Seite: u := (xk0 )(yk) = x(k 0 y)k. Wegen
Ky = yK gibt es ein k00 ∈ K, sodass k0 y = yk00 , also u = xyk00 k ∈ (xy)K.
Beispiel: Betrachten wir V4 als Untergruppe von S4 .
S4 /V4 = ( {V4 , (12)V4 , (13)V4 , (23)V4 , (123)V4 , (132)V4 }, ∗ ),
denn die hier aufgelisteten Nebenklassen sind paarweise disjunkt und ihre
Vereinigung ist ganz S4 , wie man durch ausführliches Anschreiben ihrer Elemente sehen kann. Wir stellen fest: S4 /V4 ist zu S3 isomorph.
Bemerkung 9.82 Sei K ein Normalteiler von G. Dann ist die Abbildung
ϕK : G → G/K : x 7→ xK
ein Homomorphismus mit Kern K. Sie heißt der natürliche Homomorphismus von G auf G/K.
9.5. ISOMORPHISMEN UND HOMOMORPHISMEN
255
(Es handelt sich um die Abbildung, welche jedem Element von G die Nebenklasse zuordnet, in der es liegt.)
Beweis: ϕK (xy) = (xy)K = (xK) ∗ (yK) = ϕK (x)ϕK (y). Wegen ϕK (x) =
K ⇔ x ∈ K folgt, dass K tatsächlich der Kern von ϕK ist.
Faktorgruppen werden oft leichter verständlich, wenn man erkennt, dass sie
zu einer anderen Gruppe isomorph sind, wie wir z.B. vorhin bei S4 /V4 gesehen
haben. Der folgende Satz kann helfen, einen solchen Isomorphismus zu finden.
Satz 9.83 (Homomorphiesatz) Sei f ein Gruppen-Homomorphismus von G
nach H mit Kern K. Dann ist die folgende Abbildung ein (wohldefinierter)
Isomorphismus:
f ∗ : G/K → f (G) : xK 7→ f (x).
Das heißt also, dass das Bild einer Gruppe unter einem Homomorphismus
f im Wesentlichen dasselbe ist wie die Quotientengruppe von G nach dem
Kern von f.
Beweis: f ∗ ist wohldefiniert: Sei xK = x0 K. Das heißt, dass x und x0 bezüglich
der zu K gehörigen Äquivalenzrelation äquivalent sind, also x0 ∈ xK (vgl.
Satz 9.18). Nach dem 3. Teil von Satz 9.78 wissen wir aber, dass alle Elemente
von xK dasselbe f -Bild haben, dass also insbesondere f (x0 ) = f (x) gilt.
f ∗ ist injektiv: xK 6= x0 K ⇒ f (x) 6= f (x0 ), wie ebenfalls aus dem 3. Teil von
Satz 9.78 folgt.
f ∗ ist trivialerweise surjektiv, und die Homomorphie-Eigenschaft sieht man
so:
f ∗ ((xK) ∗ (yK)) = f ∗ ((xy)K) = f (xy) = f (x)f (y) = f ∗ (xK) f ∗ (yK).
Beispiel: Sei G = (Z24 , +) und K = 4Z24 = {[0]24 , [4]24 , [8]24 , . . . , [20]24 }.
Wir wollen uns überlegen, was für eine Gruppe G/K ist.
Wegen |G/K| = |G|/|K| = 4 liegt die Vermutung nahe, dass sie zu (Z4 , +)
isomorph ist. Betrachten wir also H := (Z4 , +) und die Abbildung
f : G → H : [r]24 7→ [r]4 .
f ist wohldefiniert, denn aus [r]24 = [r0 ]24 folgt, dass r − r0 durch 24 und
daher erst recht durch 4 teilbar ist, also [r]4 = [r0 ]4 .
f ist klarerweise ein Homomorphismus, denn
f ([r]24 [s]24 ) = f ([rs]24 ) = [rs]4 = [r]4 [s]4 = f ([r]24 ) f ([s]24 ).
256
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
f ist offensichtlich surjektiv, und der Kern von f ist gleich K. Daher ist nach
dem Homomorphiesatz tatsächlich G/K isomorph zu f (G) = H.
9.6
Übungsaufgaben
µ
¶
a b
1. Zeigen Sie, dass die reellen 2 × 2-Matrizen der Form
mit
0 1
a, b ∈ Z3 und a 6= 0 mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation eine
Gruppe bilden.
2. Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus das inverse Element
von 27703 modulo 224896.
3. Berechnen Sie mit Hilfe des kleinen Fermat’schen Satzes die Einerstelle
von 31000 .
4. Sei m = 225847 und v = 27703. Angenommen, y = 26315 ist durch
Verschlüsselung einer Nachricht x entstanden, sodass y ≡ xv mod m.
Versuchen Sie, y zu entschlüsseln.
(Bei der Umwandlung von x wie in Abschnitt 9.2.4 entsteht ein deutsches Wort mit 3 Buchstaben.)
5. Seien (G, ∗) und (H, ·) zwei beliebige Gruppen. Zeigen Sie, dass dann
G × H mit folgender Verknüpfung ebenfalls eine Gruppe ist:
(g1 , h1 )(g2 , h2 ) := (g1 ∗ g2 , h1 · h2 ).
Diese Gruppe heißt direktes Produkt von (G, ∗) und (H, ·) und wird
auch mit G × H bezeichnet.
6. a) Zeigen Sie, dass das direkte Produkt der zyklischen Gruppen (Z2 , +)
und (Z3 , +) zu (Z6 , +) isomorph ist.
b) Ist das direkte Produkt von (Z2 , +) und (Z4 , +) zu (Z8 , +) isomorph?
7. Zwei Elemente k, k 0 einer Gruppe G heißen konjugiert, wenn es ein
x ∈ G gibt, sodass k0 = xkx−1 .
a) Geben Sie alle zu (12) konjugierten Elemente in der Gruppe S3 an.
b) Zeigen Sie, dass eine Untergruppe K von G genau dann ein Normalteiler von G ist, wenn K mit jedem Element auch alle dazu konjugierten
enthält.
9.6. ÜBUNGSAUFGABEN
257
8. Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden folgenden Polynome in Q[x]:
p(x) = 6x3 + 13x2 + 3x + 20,
q(x) = 2x2 + 3x − 5.
9. Zerlegen Sie die Polynome der vorigen Aufgabe in irreduzible Faktoren,
einerseits über Q und andererseits über C.
258
KAPITEL 9. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Anhang A
Testaufgaben mit Lösungen
Die folgenden Aufgaben beziehen sich teilweise auf mehrere Kapitel und
dienen zur Überprüfung von Verständnis und Lernerfolg. Sie eignen sich daher insbesondere auch zur Prüfungsvorbereitung.
Aufgaben
1. Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Aussagen, indem Sie
beide in disjunktiver Normalform darstellen:
x → (y → z),
y → (x → z).
2. Beweisen Sie: (A × B) ∩ (B × A) = (A ∩ B)2 .
3. Sei R die durch folgenden gerichteten Graphen definierte Relation:
3
4
1
2
259
260
ANHANG A. TESTAUFGABEN MIT LÖSUNGEN
a) Welche der folgenden Eigenschaften besitzt R: reflexiv, symmetrisch,
antisymmetrisch, transitiv?
b) Ist R eine strikte Ordnungsrelation? Wenn ja, wie sieht die zugehörige (gewöhnliche) Ordnungsrelation aus? Wenn nein, warum nicht?
c) Gibt es bezüglich R ein kleinstes Element bzw. minimale Elemente?
(Begründen Sie jede Ihrer Antworten!)
4. Sei f die Abbildung Z2 → Z :(x, y) 7→ xy.
a) Ist f injektiv, surjektiv, bijektiv? (Begründung !)
b) Wie sehen die Elemente von f −1 ({0}) aus?
5. Sei (gn ) die Fibonacci-Folge. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion,
dass gn ≤ 2n für alle n ∈ N0 .
6. a) Berechnen Sie die Ordnung der Permutation π = (1 3 5)(2 6) (in der
Gruppe S6 ).
b) Geben Sie sämtliche Potenzen von π als Produkte elementfremder
Zyklen an.
7. Sei W die Menge aller Worte der Länge 5, die man mit den drei Buchstaben a, b, c bilden kann. (Beispiele für Elemente aus W : ababa, caaab,
aabcc)
a) Wie viele Elemente hat W ?
b) In wie vielen Worten aus W stehen die Buchstaben in alphabetischer
Reihenfolge?
c) In wie vielen Worten aus W kommen tatsächlich alle drei Buchstaben
a, b, c vor?
8. Nehmen wir an, eine ”zufällige” Funktion
f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5, 6}
wird dadurch erzeugt, dass jemand 5-mal hintereinander (mit einem
idealen Würfel) würfelt und f (i) gleich dem Ergebnis des i-ten Wurfs
setzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass f
a) injektiv, b) surjektiv, c) bijektiv
ist?
261
9. a) Beim Toto versucht man bekanntlich, eine bestimmte Folge a aus
{0, 1, x}12 zu erraten. Angenommen, jemand wählt eine Folge t aus
{0, 1, x}12 ”zufällig”. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
mindestens einen Zehner hat, das heißt, dass a und t an mindestens
10 Stellen übereinstimmen?
b) Welche Annahme bezüglich der ”Zufälligkeit” von t verwendet man
bei solchen Aufgaben üblicherweise? (Wie heißt diese Annahme und
was besagt sie hier?)
10. a) Wie viele Kanten kann ein einfacher Graph mit n Ecken höchstens
haben?
b) Wie viele einfache Graphen mit Eckenmenge {1, 2, . . . , n} gibt es,
wenn isomorphe Graphen nicht miteinander identifiziert werden?
11. a) Seien a, b zwei verschiedene Ecken von K4 . Geben Sie alle Pfade von
a nach b an.
b) Seien a, b zwei verschiedene Ecken von Kn , n ≥ 2 und 1 ≤ k ≤ n−1.
Wie viele Pfade der Länge k gibt es von a nach b in Kn ?
12. Welche zulässige Reihenfolge der Ecken erzeugt der Algorithmus von
Kahn bei folgendem Digraphen D = (V, R), wenn die Liste der Ecken
und die Adjazenzlisten jeweils alphabetisch geordnet sind?
V = {a, b, c, d, e, f },
R = {(a, b), (a, d), (b, e), (b, f ), (c, b), (c, f ), (d, b), (d, e), (d, f )}.
(Erklären Sie, wie Sie zu Ihrem Ergebnis kommen!)
13. Sei G der folgende bewertete Graph
D
E
F
4
1
2
5
4
A
2
3
B
C
und T der Teilbaum mit Eckenmenge {A, B, D} und Kantenmenge
{{A, B}, {A, D}}.
262
ANHANG A. TESTAUFGABEN MIT LÖSUNGEN
a) Welche Kante würde der Algorithmus von Dijkstra als nächste zu T
hinzufügen, um einen Baum der kürzesten von A ausgehenden Pfade
zu erzeugen?
b) Welche Kante würde der Algorithmus von Prim als nächste zu T
hinzufügen, um einen minimalen G aufspannenden Baum zu erzeugen?
Begründen Sie Ihre Antworten, indem Sie jeweils das Prinzip angeben,
nach welchem der Algorithmus vorgeht!
14. a) Ist der folgende Graph 2-färbbar?
(Wenn ja, geben Sie eine Färbung an; wenn nein, begründen Sie dies.)
b) Ist dieser Graph planar?
(Wenn ja, zeichnen Sie eine kreuzungsfreie Einbettung in die Ebene;
wenn nein, geben Sie eine Begründung an.)
15. Sei Z∗50 die Gruppe der primen Restklassen modulo 50.
a) Bestimmen Sie die Ordnung dieser Gruppe, ohne alle Elemente
aufzuzählen. Schreiben Sie die dabei verwendete Formel explizit an.
b) Berechnen Sie das inverse Element von [23] in Z∗50 mit Hilfe des
euklidischen Algorithmus.
c) Erklären Sie, warum es zu jeder primen Restklasse modulo m ein
bezüglich der Multiplikation inverses Element gibt.
16. Sei m = 13 · 17 = 221. Angenommen, eine Zahl x ∈ {1, . . . , m − 1}
wurde verschlüsselt, indem xv mod m berechnet wurde, mit v = 77. Als
Ergebnis der Verschlüsselung ergab sich y = 106. Welche Zahl ist x ?
(Wenn Sie keinen Taschenrechner zur Hand haben, genügt es, wenn Sie
einige Rechenschritte durchführen und die restlichen Schritte genau
beschreiben.)
17. Sei U die von den Transpositionen (12) und (24) erzeugte Untergruppe
von S4 .
263
a) Geben Sie alle Elemente von U als Produkte elementfremder Zyklen
an. Wie kann man beweisen, dass diese Elemente tatsächlich die gesuchte
Untergruppe bilden?
b) Zu welcher bekannten Gruppe ist U isomorph? Geben Sie einen
entsprechenden Isomorphismus an!
264
ANHANG A. TESTAUFGABEN MIT LÖSUNGEN
Lösungen
1. Erste Aussage: ¬x ∨ (¬y ∨ z) ⇔ ¬x ∨ ¬y ∨ z,
zweite Aussage: ¬y ∨ (¬x ∨ z) ⇔ ¬y ∨ ¬x ∨ z ⇔ ¬x ∨ ¬y ∨ z.
2. 1) Sei (x, y) ∈ (A × B) ∩ (B × A) . Dann ist einerseits (x, y) ∈ A × B
und daher x ∈ A, y ∈ B, andererseits (x, y) ∈ B × A und daher
x ∈ B, y ∈ A. Zusammen folgt x ∈ A ∩ B und y ∈ A ∩ B und somit
(x, y) ∈ (A ∩ B)2 .
2) (x, y) ∈ (A ∩ B)2 ⇒ (x ∈ A ∩ B) ∧ (y ∈ A ∩ B)
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ (y ∈ A ∧ y ∈ B)
⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ B ∧ y ∈ A)
⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∩ (B × A) .
3. a) Die Relation R ist nicht reflexiv, da z.B. (1, 1) ∈
/ R. Sie ist auch
nicht symmetrisch, da z.B. (1, 3) ∈ R, aber (3, 1) ∈
/ R.
R ist jedoch antisymmetrisch: Für alle x, y ∈ {1, 2, 3, 4} gilt
(xRy ∧ yRx → x = y) , da die Aussage xRy ∧ yRx niemals wahr ist.
R ist transitiv, denn auch in xRy∧yRz → xRz ist die Prämisse niemals
wahr.
b) R ist eine strikte Ordnungsrelation: die reflexive Hülle von R ist
nämlich eine Ordnungsrelation (d.h. reflexiv, antisymmetrisch und
transitiv).
c) Es gibt zwei minimale Elemente, nämlich 1 und 2, denn zu keinem
dieser Elemente gibt es ein im Sinne von R echt kleineres. Es gibt kein
kleinstes Element, d.h. es gibt kein Element, das im Sinne von R kleiner
als jedes andere ist. (1 und 2 sind unvergleichbar.)
4. a) f ist nicht injektiv. Z.B. gilt f (1, 4) = f (2, 2). f ist daher auch nicht
bijektiv.
f ist surjektiv: Sei z ein beliebiges Element von Z. Dann ist z = f (z, 1).
b) Die Elemente von f −1 ({0}) haben die Gestalt (x, 0) oder (0, y)
mit x, y ∈ Z, denn xy = 0 genau dann, wenn x = 0 oder y = 0.
Also: f −1 ({0}) = {(x, 0) | x ∈ Z} ∪ {(0, y) | y ∈ Z}.
5. Induktionsanfang: g0 = 1 ≤ 20 , g1 = 1 ≤ 21 .
” ≤ n → n + 1”: gn+1 = gn + gn−1 ≤ 2n + 2n−1 ≤ 2n + 2n = 2n+1 .
265
6. π 2 = (1 5 3), π 3 = π 2 π = (1 5 3)(1 3 5)(2 6) = (2 6),
π 4 = π 2 π2 = (1 5 3)(1 5 3) = (1 3 5), π 5 = π2 π 3 = (1 5 3)(2 6),
π 6 = π 3 π3 = (2 6)(2 6) = ε = π 0 .
Die Ordnung von π ist also gleich 6, und für beliebiges n ∈ N gilt
π n = π r , wobei r der Rest bei Division von n durch 6 ist.
7. a) W kann als Menge aller Abbildungen von I5 = {1, . . . , 5} nach
{a, b, c} aufgefasst werden. Daher ist |W | = 35 = 243.
b) Die Teilmenge von W, welche aus diesen Worten besteht, ist gleich
der Menge aller monotonen Funktionen von I5 nach {a, b, c}, wenn man
{a,
b, c}
Ordnung versieht. Diese Teilmenge hat
¡3−1+5
¢ mit¡7der
¢ alphabetischen
¡7¢
= 5 = 2 = 21 Elemente ( = Anzahl der 0-1-Folgen der
5
Länge 7, welche genau 5 Einsen und 2 Nullen enthalten).
c) Hier geht es um die Menge der surjektiven Funktionen I5 → {a, b, c}.
Deren Anzahl ist gleich 3! S(5, 3), wobei S(n, k) die Stirling’schen
Zahlen 2. Art bezeichnet. Diese Zahlen kann man auf Grund der Rekursionsformel S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k S(n − 1, k) und den Anfangswerten S(n, 1) = 1, S(n, n) = 1 sukzessive berechnen, z.B. mit
Hilfe einer Art ”Pascal-Dreieck” (siehe S. 131). Daraus können wir dann
ablesen: S(5, 3) = 25, die gesuchte Anzahl ist daher = 6 · 25 = 150.
8. a) Die Anzahl der injektiven Abbildungen ist 6·5·4·3·2 = 720, die Anzahl aller Abbildungen ist 65 = 7776. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit
720
5
ist daher = 7776
= 54
(= 0.092593 . . .).
b) Es gibt keine surjektive Abbildung I5 → I6 . Die Wahrscheinlichkeit
ist daher = 0.
c) Es gibt daher auch keine bijektive Abbildung I5 → I6 . Diese Wahrscheinlichkeit ist also ebenfalls = 0.
9. a) Die Anzahl der Tips
¡ ¢ t, die sich von a an genau k Stellen unterscheiden, beträgt 2k nk . Die Anzahl der Tips, die mit a an mindestens
10 Stellen übereinstimmen, ist gleich der Anzahl der Tips, die sich
von a an¡ höchstens
2 Stellen unterscheiden, also (mit n = 12) gleich
¢
P
2
k 12
2
=
289
(vgl.
die Überlegungen in Kapitel 7.3). Die gesuchte
k=0
k
Wahrscheinlichkeit p erhält man durch Division durch die Gesamtanzahl der möglichen Tips, das ist 312 = 531441, also p = 289/531441 =
0.0005438... .
b) Man verwendet die Laplace-Annahme, die in diesem Fall besagt,
dass alle Tips t ∈ {1, 2, x}12 gleich wahrscheinlich sind.
266
ANHANG A. TESTAUFGABEN MIT LÖSUNGEN
10. a)
¡n¢
(n2 ) .
,
b)
2
2
11. a) Seien c, d die anderen beiden Ecken von K4 . Dann gibt es folgende
Pfade von a nach b: (a, b), (a, c, b), (a, d, b), (a, c, d, b), (a, d, c, b).
b) Ein Pfad der Länge k von a nach b besitzt außer a und b noch genau
k−1 andere Ecken. Da in Kn je zwei Ecken durch eine Kante verbunden
sind, kann man für diese k − 1 Ecken irgendeine (k − 1)-elementige
Teilmenge von V (K
n )\{a,
¡n−2
¢ b} in irgendeiner Reihenfolge nehmen. Es
gibt daher (k − 1)! k−1 solche Pfade.
12. In jedem Schritt wird die (alphabetisch) erste Ecke mit Eingangsgrad
0 mitsamt allen zugehörigen Kanten aus dem Graphen gelöscht und in
eine (zu Beginn leere) Liste S eingetragen. Am Ende sieht die Liste S
folgenderweise aus: (a, c, d, b, e, f ).
13. a) Der Algorithmus von Dijkstra fügt in jedem Schritt die Kante
{pred(x), x} hinzu, wo x die Ecke mit x ∈
/ V (T ) mit kleinstem (vorläufigem) Abstandswert a(x) ist. Hier ist E die Ecke mit dem kleinsten
a-Wert und D ist der entsprechende Vorgänger, also wird die Kante
{D, E} hinzugefügt:
a(C) = 7, pred(C) = B;
pred(F ) ist undefiniert.
a(E) = 6, pred(E) = D;
a(F ) = ∞,
b) Der Algorithmus von Prim fügt in jedem Schritt die kürzeste Kante
hinzu, die eine Ecke des Baumes mit einer Ecke verbindet, die nicht
zum Baum gehört. Hier ist das die Kante {B, C}.
14. a) Ja. Die folgende Zeichnung stellt eine 2-Färbung dar:
b) Nein. Lässt man die beiden ganz links gezeichneten Ecken mit den
zugehörigen Kanten weg, so entsteht ein K3,3 : Jede schwarze Ecke ist
mit allen drei weißen Ecken verbunden und umgekehrt. K3,3 ist aber
nicht planar. (Das kann man mit Hilfe der eulerschen Formel beweisen.)
15. a)
µ
¶ µ
¶
¶
k µ
Y
1
1
1
ϕ(m) = m 1 −
··· 1 −
=m
1−
,
p1
pk
p
i
i=1
267
wenn p1 , . . . , pk die verschiedenen Primfaktoren von m sind. Hier ist
m ¡= 50 ¢=¡ 2 · 5¢· 5, also k = 1, p1 = 2, p2 = 5, somit ϕ(50) =
50 1 − 12 1 − 15 = 20. Das ist die Ordnung von Z∗50 .
b) 50 = 2 · 23 + 4, 23 = 5 · 4 + 3, 4 = 1 · 3 + 1.
”Rückwärtseinsetzen”:
1 = 4 − 1 · 3 = 4 − 1 · (23 − 5 · 4) = 6 · 4 − 1 · 23 = 6 · (50 − 2 · 23) − 1 · 23 =
6 · 50 − 13 · 23,
also: 1 ≡ (−13) · 23 mod 50, d.h. [23]−1 = [−13] = [37].
Probe: 23 · 37 = 851 ≡ 1 mod 50.
c) Wenn r zu m relativ prim ist, dann gibt es ganze Zahlen k, l, sodass
kr+lm = 1, wie man auf Grund des euklidischen Algorithmus beweisen
kann. Daraus folgt kr ≡ 1 mod m, d.h. [k]m [r]m = [1]m , also gibt es zu
[r] ein inverses Element in Z∗m , nämlich [k]m .
16. ϕ(m) = 12 · 16 = 192.
Zur Entschlüsselung berechnen wir zunächst das multiplikative Inverse
von v modulo ϕ(m) mit Hilfe des euklidischen Algorithmus:
192 = 2 · 77 + 38, 77 = 2 · 38 + 1.
Daraus ergibt sich:
1 = 77 − 2 · 38 = 77 − 2 · (192 − 2 · 77) = 5 · 77 − 2 · 192 ≡ 5 · 77 mod 192,
also ist [v]−1 = [5] in Z∗192 .
Für die gesuchte Zahl x gilt: x = y 5 mod m. Wir müssen also den Rest
von 1065 bei Division durch 221 berechnen. Wenn das die Kapazität
des verwendeten Taschenrechners übersteigt, kann man z.B. durch
sukzessives Quadrieren bzw. Multiplizieren zum Ziel kommen:
1062 = 11236 ≡ 186 mod 221, 1064 ≡ 1862 = 34596 ≡ 120 mod 221,
1065 ≡ 120 · 106 = 12720 ≡ 123 mod 221.
Also: x = 123.
17. a) U enthält jedenfalls ε, (12), (24), (12)(24) = (124), (24)(12) = (142)
und (12)(142) = (14). Diese Elemente bilden bereits eine Untergruppe:
a1) Mit jedem Element ist auch das inverse enthalten: ε−1 = ε,
jede Transposition ist zu sich selbst invers, (124) = (142)−1 ,
(142)−1 = (124).
268
ANHANG A. TESTAUFGABEN MIT LÖSUNGEN
a2) Mit je zwei Elementen ist auch ihr Produkt enthalten:
(12)(14) = (142), (14)(12) = (124), (12)(124) = (24), (124)(12) =
(14), usw.
b) U ist zu S3 isomorph, denn die folgende Abbildung ist ein Isomorphismus U → S3 :
ε 7→ ε,
(12) 7→ (12),
(24) 7→ (23),
(14) 7→ (13),
(124) 7→ (123),
(142) 7→ (132).
(Diese Abbildung entspricht der Umbenennung von 4 in 3.)
Literaturverzeichnis
[1] Aigner, M.: Diskrete Mathematik. 2. Aufl., Vieweg 1996.
[2] Anton, H.: Lineare Algebra. Spektrum Akad. Verlag 1995.
[3] Appel, K., Haken, W.: Every planar graph is four colorable. American
Math. Soc. 1989.
[4] Arbib, M.A., Kfoury, A.J., Moll, R.N.: A basis for theoretical computer
science. Springer 1981.
[5] Barth, F., Haller, R.: Stochastik Leistungskurs. Ehrenwirt, München
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Stichwortverzeichnis
Abbildung, 67
abelsch, 217
Ableitung, 25
Ableitungsregel, 24
absoluter Betrag, 32
Absorption, 16
Abstand
zweier Ecken, 189, 195
zweier Worte, 134
abzählbar, 117
Addition
von Polynomen, 239
Additivität, 142
Adjazenzliste, 158
Adjazenzmatrix, 166
Algorithmus, 101
Euklidischer, 100
Allquantor, 20
Alphabet, 122
alternierende Gruppe, 253
Anfangspunkt, 50
Anordnung
topologische, 183
Antikette, 62
antisymmetrisch, 48
Anzahl
der 0-1-Folgen, 125
der Elemente einer Menge, 115
der fixpunktfreien Permutationen, 138
der injektiven Funktionen, 122
der k-elementigen Teilmengen,
124
der monotonen Funktionen, 128
der Partitionen, 130, 132
der surjektiven Funktionen, 131
von Funktionen, 121
von Teilmengen, 121
Anzahl
der bijektiven Funktionen, 123
der Permutationen, 124
Appel, 209
äquivalent, 55
logisch, 15
äquivalente Mengen, 115
Äquivalenzklasse, 55
Äquivalenzrelation, 55
assoziativ, 216
Assoziativität, 16, 40
aufspannender Baum, 179
minimaler, 196
Ausdruck, 24
ableitbarer, 25
zulässiger, 24
Ausgangsgrad, 154
Ausgangskanten, 154
ausgezeichnete Normalform, 18
Aussage, 11
Aussageform, 14
Aussagen
Verknüpfung von, 13
Aussagenlogik, 11, 27
ausschließendes Oder, 13
Außengebiet, 205
Automorphismus, 247
Axiom, 24
271
272
azyklisch, 182
b-adische Darstellung, 92
Baum, 167
aufspannender, 179
binärer, 171
der kürzesten Pfade, 190
minimaler aufspannender, 196
trivialer, 168
Bedingung
hinreichende, 23
notwendige, 23
benachbart, 153
Bernoulli’sche Ungleichung, 81
Betrag
absoluter, 32
Beweis, 29
formaler, 25
indirekter, 30
bewerteter (Di-)Graph, 186
bijektiv, 70, 123
Bijunktion, 12
Bild
einer Teilmenge, 72
von x, 67
Bildbereich, 67
Binärdarstellung, 92
binäre Operation, 215
binärer Baum, 171
Binomialkoeffizient, 124, 126
Binomialverteilung, 147
Binomischer Lehrsatz, 127
bipartit, 153
Blatt, 170
Boole’sche Algebra, 40
Breitensuche, 177
Brelaz, 202
Brooks, 201
Cantor’sches Diagonalverfahren, 118
cartesisches Produkt, 42
STICHWORTVERZEICHNIS
charakteristische Gleichung, 87
chromatische Zahl, 200
Code
fehlerkorrigierender, 134
linearer, 137
Codewort, 134
Codierungstheorie, 134
Darstellung
b-adische, 92
de Morgan-Regel, 16, 41
Definitionsbereich, 67
derangements, 138
Dezimaldarstellung, 92
Diagonalverfahren
Cantor’sches, 118
Differenz, 40
symmetrische, 42
Digraph, 50, 151
bewerteter, 186
einer Permutation, 108
kreisfreier, 182
Dijkstra, 191
disjunkt, 40, 141
paarweise, 55
Disjunktion, 12
disjunktive Normalform, 17
Distributivität, 16, 41
Division
mit Rest, 91
von ganzen Zahlen, 91
von natürlichen Zahlen, 91
von Polynomen, 241
Dreiecksungleichung, 32, 134
Durchmesser, 189
Durchschnitt, 40, 141
Ecke, 50, 51
Effizienz, 102
Einbettung
eines Graphen, 204
STICHWORTVERZEICHNIS
Einermenge, 36
Eingangsgrad, 154
Eingangskanten, 154
eingebettet, 73
Einheitsmatrix, 219
Einschluss-Ausschluss-Prinzip, 138
Einschränkung, 49, 72
Einselement, 216
Element, 35
Elementarereignis, 143
elementfremde Zyklen, 109
Endecke, 170
endliche Folge, 121
endliche Menge, 115
Endpunkt, 50
einer Kurve, 204
Entscheidungsbaum, 171
Entwicklung
b-adische, 92
Ereignis, 140
Ereignisraum, 140
erreichbar, 189
erzeugte Untergruppe, 224
Euklid, 98
Euklidischer Algorithmus, 100
euklidischer Raum, 44
eulersche Formel, 205
eulerscher Graph, 161
Eulerweg, 160
Existenzquantor, 20
Färbung
der Ecken, 199
Färbealgorithmus, 202
Faktor, 242
Faktorgruppe, 254
Faktorielle, 84
Faktormenge, 57
Fakultät, 84
Fallunterscheidung, 31
Familie, 36
273
disjunkte, 55
Feld, 159
Fermat, 228
Fibonacci-Folge, 84
Fixpunkt, 76
fixpunktfreie Permutationen, 138
Fixpunktmenge, 76
Fläche, 205
Folge
endliche, 43, 121
rekursiv definierte, 84
unendliche, 83
formales System, 24
Funktion, 67
identische, 70
Funktionsgraph, 68
Galois-Körper, 237
ganze Zahlen, 39, 88
Gauß’sche Zahlenebene, 248
GCD, 99
geordnete Menge, 59
gerade Ecke, 155
gerade Permutationen, 253
gerichteter Graph, 50
geschlossene Wanderung, 159
geschlossener Weg, 159
Gesetze
aussagenlogische, 15, 16
Gewicht, 187
Gewinn, 187
GGT, 99, 243
Gitterpunkt, 44
Gleichheitsrelation, 48
gleichmächtig, 115
Gleichung, 73, 220
charakteristische, 87
Goldbach’sche Vermutung, 22
Grad
einer Ecke, 153
eines Polynoms, 238
274
Graph, 51, 151
bewerteter, 186
bipartiter, 153
einer Funktion, 68
eulerscher, 161
gerichteter, 50
hamiltonscher, 164
leerer, 201
orientierter, 154
planarer, 204
ungerichteter, 51
vollständiger, 152
zugrundeliegender, 52
zusammenhängender, 52
größtes Element, 62
größter gemeinsamer Teiler, 99, 243
Grundmenge, 40
Gruppe, 220
zyklische, 226
Häufigkeit
relative, 142
Haken, 209
halbgeordnete Menge, 59
Halbgruppe, 216
Halbordnung, 58
Hamiltonkreis, 164
hamiltonscher Graph, 164
Hamming-Distanz, 134
Hasse-Diagramm, 60
Herleitung, 25
Hexadezimaldarstellung, 92
hinreichend, 23
Höhe, 171
Homomorphiesatz, 255
Homomorphismus, 251
natürlicher, 254
Hülle
reflexive, 64
symmetrische, 64
transitive, 64, 196
STICHWORTVERZEICHNIS
hypergeometrische Verteilung, 147
Identität, 48, 70
Implikation, 15
Index, 83
Indikatorfunktion, 122
indirekter Beweis, 30
Induktion, 80
Induktionsanfang, 80
Induktionsbehauptung, 81
Induktionsbeweis, 81
Induktionsprinzip, 80
Induktionsvoraussetzung, 81
injektiv, 69, 122
Inklusion, 37
Integritätsbereich, 236
Interpretation, 26
Intervall, 39
inverses Element, 219
irreduzibel, 243
isoliert, 154
isomorph, 151, 245
Isomorphismus
von (Halb-)Gruppen, 245
von Graphen, 151
von Körpern, 247
von Ringen, 247
Jordan-Kurve, 204
Jordan’scher Kurvensatz, 203
Junktor, 11
Kahn, 184
Kante, 50, 51
Kapazität, 187
Kardinalzahl, 35, 115
Kern
eines Homomorphismus, 252
Kette, 62
maximale, 62
Klein, Felix, 247
Klein’sche Vierergruppe, 246
STICHWORTVERZEICHNIS
kleinstes Element, 62
Knoten, 151
Kombinationen
mit Wiederholung, 129
ohne Wiederholung, 124
Kombinatorik, 115
kommutativ, 217
Kommutativität, 16, 40
Komplement, 40
doppeltes, 41
komplexe Zahlen, 244, 248
kongruent
modulo m, 95
Kongruenz, 95
konjugiert komplex, 249
Konjunktion, 12
konjunktive Normalform, 18
Konstante, 240
Kontradiktion, 14
kontrahierbar, 208
Kontraktion, 208
Koordinaten, 44
Körper, 237
Kosten, 187
Kreis, 53
kreisfrei, 182
Kryptographie, 232
Kugel, 135
Kugelpackung, 135
Kuratowski, 207
Kurve, 204
Kurvensatz
Jordan’scher, 203
kürzester Weg, 188
Lagrange, 224
Landau-Symbol, 103
Länge
eines Kreises, 53
eines Pfades, 52
eines Vektors, 58
275
eines Weges, 188
Laplace-Annahme, 143
Laplace-Experiment, 143
leerer Graph, 201
Level, 171
lexikographisch, 60
Linearkombination
ganzzahlige, 103
Liste, 121, 159
Logik
zweiwertige, 11
logisch äquivalent, 15
Lösung
einer Gleichung, 220
Lösungsmenge, 73
Matrix, 165
maximales Element, 61
Menge, 35
geordnete, 59
Gleichheit, 38
halbgeordnete, 59
leere, 36
Mengenoperationen, 40
minimaler aufspannender Baum, 196
minimales Element, 61
Modul, 95
modulo, 95, 96
modus ponens, 28
Monoid, 217
monoton wachsend, 128
monotone Funktion, 128
Multigraph, 210
gerichteter, 210
Multinomialkoeffizient, 132
Multiplikation
von Matrizen, 165, 219
von Polynomen, 239
n-Tupel, 43
Nachbar, 153
276
Nachfolger, 170
natürliche Zahlen, 39, 79
Nebenklasse, 222
Negation, 12, 21
Netzwerk, 54, 186
neutrales Element, 216
nichtausschließendes Oder, 12
Niveau, 171
Normalform
ausgezeichnete, 18
Normalform, 58
disjunktive, 17
konjunktive, 18
Normalteiler, 253
notwendig, 23
NP-vollständig, 164
0-1-Folge, 122
Nullelement, 216
Nullpolynom, 238
Nullstelle, 243, 244
Nullteiler, 236
nullteilerfrei, 236
Oder
ausschließendes, 13
nichtausschließendes, 12
Operation
binäre, 215
Boole’sche, 40
Operator
einstelliger, 12
logischer, 11
zweistelliger, 12
Ordnung
einer Gruppe, 224
einer Permutation, 113
eines Elements, 225
lexikographische, 60
strikte, 59
Ordnungsrelation, 58
strikte, 59
STICHWORTVERZEICHNIS
orientierter Graph, 154
Paar, 42
Packung, 135
Parität, 111
Partialsummenfolge, 86
Partition, 55, 130
Pascal’sches Dreieck, 126
Permutation, 220
fixpunktfreie, 138
gerade, 112, 253
ungerade, 112
Permutation, 107
Permutationen
mit Wiederholung, 132
Petersen-Graph, 156
Pfad, 52
pg-System, 25
planar, 204
Plato, 156
Poincaré-Formel, 138
polnische Notation, 175, 176
Polyeder
reguläre, 156
Polynom, 238
Polynomfunktion, 238
postorder listing, 176
Potenz, 85, 217
cartesische, 43
modulo m, 234
Potenzmenge, 37
Prädikat
einstelliges, 19
mehrstelliges, 22
Prädikatenlogik, 19, 28
preorder listing, 176
Prim, 197, 198
Primfaktorzerlegung, 228
Primzahl, 94
Produkt
allgemeines, 85
STICHWORTVERZEICHNIS
cartesisches, 42
von Matrizen, 165
von Permutationen, 107
Produktordnung, 60
Projektplanung, 182
Punkt, 44
Punktgitter, 225
Quantor, 20, 38
Quotient, 91
von Polynomen, 241
Quotientengruppe, 254
Quotientenmenge, 57
rationale Zahlen, 39, 105
Raum
euklidischer, 44
Reduktion modulo m, 95
reduzibel, 243
reelle Zahlen, 39
reflexiv, 48
regulärer Graph, 155
Reihe, 86
Reihenfolge, 123
zulässige, 183
Rekursion, 84
Auflösung, 86
Relation, 47
antisymmetrische, 48
leere, 48
reflexive, 48
symmetrische, 48
transitive, 48
universelle, 48
zweistellige, 47
relativ prim, 104
relative Häufigkeit, 142
Repräsentant
einer Klasse, 56
Rest, 91, 241
Restklasse, 96
277
prime, 226
Restklassenring, 235
Ring, 235
RPN, 176
RSA-System, 233
Satz, 25
Schlinge, 50
Schranke
kleinste obere, 66
obere, 66
Schubfachprinzip, 117
Seitenzahl
einer Fläche, 205
Siebprinzip, 138
σ-Additivität, 143
Signum
einer Permutation, 112
Sohn, 170
Spalte einer Matrix, 165
Spaltenanzahl, 165
spanning tree, 179
Spiele, 26
Statistik, 143
Stirlingsche Zahlen, 130, 139, 148
streng monoton (wachsend), 128
Subjunktion, 12
Summe
allgemeine, 85
surjektiv, 70, 131
Symmetrie, 134
einer Gruppe, 247
symmetrisch, 48
System
formales, 24
Tautologie, 14
teilbar, 94
Teilbarkeitsrelation, 59
Teiler, 59, 94, 242
echter, 94
278
größter gemeinsamer, 99, 243
Teilgraph, 53
Teilkörper, 237
Teilmenge, 37
echte, 37
Theorem, 25
Tiefensuche, 172
topologische Anordnung, 183
Totalordnung, 59
transitiv, 48
transitive Hülle, 196
Transposition, 110
Tripel, 43
trivialer Baum, 168
überabzählbar, 117
Überdeckung, 149
umgekehrte polnische Notation, 176
Umkehrfunktion, 74
Umkehrrelation, 48
unendliche Folge, 83
unendliche Menge, 117
ungerade Ecke, 155
Untergruppe, 221
erzeugte, 224
Unterkörper, 237
Unterteilung, 207
Urbild, 73
Variable, 14
freie, 20
gebundene, 20
Variationen
mit Wiederholung, 121
ohne Wiederholung, 123
Vater, 170
Vektor, 44
Verband, 66
Vereinigung, 40, 141
vergleichbar, 59
Verkettung, 216
STICHWORTVERZEICHNIS
Verknüpfung, 215
von Aussagen, 13
Verneinung
doppelte, 16
Verschlüsselung, 232
Verteilung
Binomial-, 147
hypergeometrische, 147
Vierfarbensatz, 209
vollständiger Graph, 152
Vorgänger, 170
Wagner, 208
Wahrheitswert, 11
Wahrscheinlichkeit, 141, 142
Wald, 168
Wanderung, 159
Warshall, 195
Weg, 159
in einem Multigraphen, 211
kürzester, 188
Wert, 67
Wertebereich, 67
Widerspruch, 14
Wohlordnungsaxiom, 79
Wort, 121, 134
Wurzel, 169
einer Gleichung, 243
Wurzelbaum, 169
Zahlen
ganze, 39, 88
komplexe, 244, 248
natürliche, 39, 79
rationale, 39, 105
reelle, 39
Stirlingsche, 130, 148
Zeile einer Matrix, 165
Zeilenanzahl, 165
Ziffern, 92
Ziffernentwicklung, 92
STICHWORTVERZEICHNIS
Zufallsexperiment, 140
zulässige Reihenfolge, 183
Zuordnung
umkehrbar eindeutige, 75
zusammenhängend, 52
Zusammenhangskomponente, 57
Zusammensetzung, 71
Zuverlässigkeit, 187
Zyklen
elementfremde, 109
zyklische Gruppe, 226
Zyklus, 53
echter, 54
Zyklus-Permutation, 109
279