Anwendung des Funktionalkalküls in der Quantenphysik

Anwendung des Funktionalkalküls in der
Quantenphysik
Paula Quast
3. Juni 2014
Einleitung
Im letzten Vortrag des Seminars wird es um die Anwendung des Funktionalkalküls in der
Quantenphysik gehen. Dabei soll zuerst das Schrödinger-Bild eines quantenphysikalischen Systems behandelt und die Heisenbergsche Unschärferelation erklärt werden.
Abschlieÿend wird der Satz von Stone erläutert. Dabei orientieren wir uns im ersten
Teil vorallem an Linear functional analysis von Joan Cerda (Kapitel 9.4) und im zweiten
Teil an A course in Functional Analysis von John B. Conway (Kapitel 5).
Schrödinger-Bild eines quantenphysikalischen Systems
Um ein physikalisches System mathematisch beschreiben zu können, assoziiert man den
Zustandsraum dieses Systems mit einem komplexen Hilbertraum H. Ein Zustandsraum
beschreibt die Menge aller möglichen Zustände eines Systems. Mit Hilfe der folgenden
drei Postulate charakterisiert Schrödinger ein solches physikalisches System.
1.Postulat: Zustände und Observables
Zustände: Der Zustand eines physikalischen Systems zur Zeit t entspricht einer Geraden
[ψ] ⊆ H, welche wir durch ein ψ ∈ H mit kψk = 1 darstellen. Dabei entsprechen ψ und
cψ demselben Zustand, wobei c eine Konstante mit |c| = 1 ist. Ein sich zeitlich ändernder
Zustand wird durch eine Zustands- oder physikalisch Wellenfunktion ψ : R → H , t 7→
ψ(t) beschrieben.
Observables: Die Observablen eines physikalischen Systems die messbaren Werte, wie
zum Beispiel Position, Impuls, Arbeit und Energie. Diese entsprechen selbstadjungierten,
zeitunabhängigen Operatoren auf H und ein solcher Operator A : H → H hat die folgende
Spektraldarstellung:
Z
λdE(λ)
A=
R
1
Dabei entsprechen die λ ∈ σ(A) aus dem Spektrum von A den Messwerten der Observablen A.
Im Schrödinger-Bild werden also die Zustände als zeitabhängig und die Oberservablen als
zeitunabhängig angesehen. Dies steht im Gegensatz zum Heisenberg-Bild eines solchen
Systems, bei dem die Zustände zeitunabhängig, aber die Observablen zeitabhängig sind.
Wir werden nun ein Beispiel für ein solches System benennen, welches im Laufe des
Vortrags immer weiter ausgeführt wird.
Das physikalische System ist das eines einzelnen Teilches auf einer Geraden. Der zuhörige Hilbertraum H entspricht dann dem L2 (R), dem Raum der
quadratintegrierbaren Funktionen auf R. Als Observablen sollen zum einen
der Positions- oder Ortsoperator Q und zum anderen der Impulsoperator P
betrachtet werden.
2.Postulat: Wahrscheinlichkeitsmaÿ einer Observablen A im Zustand ψ
In der klassischen Mechanik können die Messwerte eines Systems immer konkret angegeben werden, so kann man zum Beispiel die Position eines Teilchens genau bestimmen.
Im Gegensatz dazu sind die Werte λ ∈ σ(A) in der Quantenmechanik nur mit Hilfe eines
Wahrscheinlichkeitsmaÿes PψA bestimmbar, zum Beispiel kann nur eine Wahrscheinlichkeit für die Position eines Teilchens angegeben, nicht jedoch der genaue Ort bestimmt
werden. Das zweite Postulat gibt nun die Form dieses Wahrscheinlichkeitsmaÿes an.
R λdE(λ) sei die Spektraldarstellung des Operators A auf H, ψ ein Zustand. Dann
ist das zugeordnete Spektralmaÿ PψA = Eψ,ψ ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ und PψA (B)
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Observable A im Zustand ψ einen Wert in B
annimmt.
R
Für das Wahrscheinlichkeitsmaÿ PψA (B) gilt dann mit hf (A)x, yi = σ(A) f (λ)dEx,y (λ)
und dem Spektralmaÿ χB (A) = E(B):
A=
R
PψA (B) = hE(B)ψ, ψi
= hχB (A)ψ, ψi
Z
=
χB (λ)dEψ,ψ (λ)
σ(A)
Z
=
1dEψ,ψ (λ)
B
Wir werden nun das Wahrscheinlichkeitsmaÿ für den Positionsoperator Q aus
unserem Beispiel bestimmen. In diesem Fall gibt PψQ die Wahrscheinlichkeit
an, dass sich das Teilchen in B = [a, b] ⊆ R bendet. Q = Mid ist der
Multiplikationsoperator mit der Identität und nach den vorherigen Vorträgen
gilt dann für die Verteilung: dEψ,ψ (x) = ψ(x)ψ(x)dx mit Lebesgue- Maÿ x.
Dann gilt mit ψ ∈ L2 (R) als Zustandsfunktion:
2
PψQ
Z
b
b
Z
b
ψ(x)ψ(x)dx =
1dEψ,ψ (x) =
=
Z
a
a
|ψ(x)|2 dx
a
Mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsmaÿes aus dem 2. Postulat lassen sich im folgenden
Formeln für den Erwartungswert und die Varianz einer Observablen herleiten.
Der Erwartungswert Abψ ergibt sich mit f = idσ(A) durch:
Z
λdEψ,ψ (λ)
bψ =
A
ZR
f (λ)dEψ,ψ (λ)
=
R
= hf (A)ψ, ψi
= hAψ, ψi
Dieser existiert also, wenn ψ ∈ D(A).
Für Q hat der Erwartungswert folgende Form:
Z
Z
xdEψ,ψ (x) =
bψ =
Q
x|ψ(x)|2 dx = hQψ, ψi
R
R
Die Varianz der Observablen A lässt sich mit f : λ 7→ λ − Abψ und der Eigenschaft, dass
bψ id selbstadjungiert ist, wie folgt berechnen:
A−A
Z
varψ (A) =
ZR
=
bψ )2 dEψ,ψ (λ)
(λ − A
f 2 (λ)dEψ,ψ (λ)
R
= hf 2 (A)ψ, ψi
bψ id)2 ψ, ψi
= h(A − A
bψ id)ψ, (A − A
bψ id)ψi
= h(A − A
bψ ψk2
= kAψ − A
Im Fall des Ortsoperators Q beschreibt die Varianz die Unschärfe der Position
des Teilchens :
Z
varψ (Q) =
R
b ψ )2 |ψ(x)|2 dx =
(x − Q
Z
b ψ )2 dEψ,ψ (x) = h(Q − Q
b ψ id)2 ψ, ψi
(x − Q
R
Man sagt, dass A den Wert λ0 im Zustand ψ sicher (also mit Wahrscheinlichkeit = 1)
annimmt, falls Abψ = λ0 und varψ (A) = 0. Dies bedeutet, dass ψ ein Eigenvektor von A
mit Eigenwert λ0 ist, denn aus Aψ = λ0 ψ folgt:
1. Abψ = hAψ, ψi = hλ0 ψ, ψi = λ0 hψ, ψi = λ0 , da kψk = 1.
2. varψ (A) = kAψ − Abψ ψk2 = kλ0 ψ − λ0 ψk2 = 0,
d.h. varψ (A) = 0 nur dann, wenn Aψ = Abψ ψ gilt.
3
Einschub: Heisenbergsche Unschärferelation und kompatible Observable
In diesem Einschub soll die Heisenbergsche Unschärferelation angeben, bewiesen und
erläutert werden. Dazu benötigen wir zunächst folgendes Lemma:
Lemma:
Seien S und T zwei selbstadjungierte Operatoren auf dem Hilbertraum H. Dann erfüllt
der Kommutator C = [S, T ] = ST − T S die Ungleichung:
q
q
bψ | ≤ 2 varψ (S) varψ (T )
|C
Beweis:
Deniere A := S − Sbψ id und B := T − Tbψ id. Dann sind die Erwartungswerte von A und B
gleich 0. Auÿerdem lässt sich durch einfache Rechnungen zeigen, dass A und B ebenfalls
selbstadjungiert sind und für den Kommutator C = [A, B] = AB − BA gilt. Die Varianz
von S ergibt sich durch die vorherige Formel und die Tatsache, dass A selbstadjungiert
ist:
varψ (S) = h(S − Sbψ id)2 ψ, ψi = hA2 ψ, ψi = hAψ, Aψi = kAψk2
Analog gilt für T:
varψ (T ) = kBψk2
Insgesamt ergibt sich also für den Betrag des Erwartungswertes von C:
bψ | = |hCψ, ψi|
|C
= |h(AB − BA)ψ, ψi|
= |hABψ, ψi − hBAψ, ψi|
≤ |hBψ, Aψi| + |hAψ, Bψi|
≤ 2kAψkkBψk
q
q
= 2 varψ (S) varψ (T )
Um die Heisenbergsche Unschärferelation angeben zu können, benötigen wir
noch den Impulsoperator P, wieder auf H = L2 (R) als Hilbertraum:
P =
h d
2πi dx
Mit dem Denitionsbereich:
D(P ) = {f ∈ L2 (R) : ∃P f ∈ L2 (R),
h
f (x) =
2πi
Z
x
P f (y)dy}
−∞
mit der Planckschen Konstante h ≈ 6, 626 ∗ 10−34 Js. Bei geeigneter Wahl des
Denitionsbereiches ist P ein selbstadjungierter Operator, was sich mit Hilfe
der Fouriertransformation zeigen lässt.
4
Theorem: Unschärferelation
q
q
h
≤ varψ (Q) varψ (P )
4π
Beweis:
Der Kommutator [P, Q] ist beschränkt und für diesen gilt: [P, Q] =
aus dem vorherigen Lemma für C = [P, Q]:
h
2πi id.
Somit folgt
q
q
h
h
h
b
b
idψ = hψ, ψi =
2 varψ (Q) varψ (P ) ≥ |Cψ | = 2πi
2πi
2π
Und daraus schlieÿlich:
q
q
h
varψ (Q) varψ (P ) ≥
4π
Die Quadratwurzeln aus den Varianzen sind die sogenannten Standardabweichungen und
diese messen die Unschärfe oder Unbestimmtheit der Observablen Position und Impuls.
Die Unschärferelation sagt somit aus, dass diese beiden Unschärfen nicht zeitgleich beliebig klein sein können, man also Position und Impuls nicht gleichzeitig beliebig genau
bestimmen kann.
Deshalb nennt man Q und P inkompatible Observables.
Allgemein gilt in der Quantenphysik, dass Observable nur dann miteinander kompatibel
sind, man sie also zeitgleich beliebig genau messen kann, wenn die zugehörigen Operatoren miteinander kommutieren.
Mit dieser Interpretation ist der Einschub beendet und wir werden nun zum letzten
Postulat des Schrödinger-Bildes kommen.
3.Postulat: Schrödinger- Gleichung und Hamilton-Operator
Die Hamilton-Observable bestimmt die Energie des physikalischen Systems und wird mit
dem Hamilton-Operator H identiziert. Mit diesem und der Planckschen Konstante h
gilt die Schrödinger- Gleichung:
ihψ 0 (t) = Hψ(t)
Diese besagt also, dass der Hamilton-Operator auch die Zeitentwicklung des Systems
bestimmt, denn mit Hilfe der Dierentialgleichung lassen sich aus einem gegebenen Anfangszustand die zeitlich folgenden Zustände berechnen.
Um eine Lösung für die Schrödinger-Gleichung zu nden, benötigen wir zunächst noch
eine Denition und ein Theorem.
Denition
Sei H ein Hilbertraum. Eine stark stetige unitäre Ein-Parameter-Gruppe U ist
eine Funktion U : R → B(H), sodass für alle t, s ∈ R gilt:
5
a) U (t) ist unitär.
b) U (s + t) = U (s)U (t).
c) lim U (s)g = U (t)g für alle g ∈ H.
s→t
Auÿerdem folgt aus diesen Eigenschaften: U (0) = 1 und U (−t) = U (t)−1 .
Theorem
Sei A ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum H und U (t) := eitA mit t ∈ R.
Dann gilt für alle t, s ∈ R:
a) U (t) ist unitär.
b) U (s + t) = U (s)U (t).
c) lim U (s)g = U (t)g für alle g ∈ H.
s→t
d) für g ∈ D(A) gilt: lim 1t (U (t)g − g) = iAg .
t→0
e) ist g ∈ H und existiert lim 1t (U (t)g − g), dann ist g ∈ D(A).
t→0
Die Menge {U (t) : t ∈ R} ist also auf Grund der Eigenschaften a)- c) eine stark stetige
unitäre Ein-Parameter-Gruppe. Die Aussage d) benötigen wir im Anschluss, um die Lösung der Schrödinger- Gleichung angeben zu können.
Beweis:
a) und b) folgen aus dem Funktionalkalkül und der Eigenschaft der Exponentialfunktion:
eisx eitx = ei(s+t)x .
c) Hier betrachten wir zunächst für g ∈ H:
kU (t)g − U (s)gk = kU (t − s + s)g − U (s)gk
b)
= k(U (t − s)g − g)U (s)k
a)
= kU (t − s)g − gk
Es genügt also zu zeigen, dass lim kU (t)g − gk = 0 gilt. Man benutze dafür die Spekt→0
R
traldarstellung von A = R xdE(x) und die Funktion kt (x) := eitx − 1:
kU (t)g − gk2 = kkt (A)gk2
= hkt (A)g, kt (A)gi
= h|kt (A)|2 g, gi
Z
=
|kt (x)|2 dEg,g (x)
R
Z
=
|eitx − 1|2 dEg,g (x)
R
6
t→0
Da |eitx − 1| −→
0 punktweise und auÿerdem |eitx − 1|2 ≤ 4, da |eitx | ≤ 1, gibt es eine
konvergente Majorante, sodass mit dem Konvergenzsatz von Lebesgue folgt, dass das
obige Integral für t → 0 gegen 0 konvergiert. Also gilt:
lim U (t)g = g
t→0
Und somit gilt auch:
lim U (s)g = U (t)g
s→t
∀g ∈ H
d) Für diesen Beweis benötigen wir wieder die Spektraldarstellung von A und die folgende
Funktion: ft (x) := 1t (eitx − 1) − ix. Für g ∈ D(A) gilt:
1
k (U (t)g − g) − iAgk2 = kft (A)gk2
t
= h|ft (A)|2 g, gi
Z
|ft (x)|2 dEg,g (x)
=
ZR 1 itx
2
=
t (e − 1) − ix dEg,g (x)
R
t→0
0 für alle x ∈ R und
Mit Hilfe der Regel von l'Hospital gilt: 1t (eitx − 1) − ix −→
auÿerdem lässt sich wieder eine konvergente Majorante nden, da |eitx − 1| ≤ |xt| für alle
xt ∈ R gilt:
1 itx
(e − 1) − ix ≤ |t−1 ||eitx − 1| + |ix| ≤ |t−1 ||tx| + |x| = 2|x|
t
Da |x|2 ∈ L2 (Eg,g ) folgt wieder mit dem Konvergenzssatz von Lebesgue, dass das Integral
für t → 0 gegen 0 konvergiert und somit die Behauptung gilt:
1
lim (U (t)g − g) = iAg
t→0 t
e) Um die Aussage zu zeigen, denieren wir uns zunächst den folgenden linearen Teilraum
D von H und darauf einen Operator B:
D := {g ∈ H : lim 1t (U (t)g − g) existiert in H}
t→0
Bg := −i lim 1t (U (t)g − g) für g ∈ D
t→0
Mit d) wissen wir, dass D(A) ⊆ D(B) und somit A ⊆ B ist. Auÿerdem gilt für g, k ∈ D:
1
hBg, ki = −i limh (U (t)g − g), ki
t→0 t
1
= −i limhg, (U (−t)k − k)i
t→0
t
1
= limhg, −i (U (−t)k − k)i
t→0
−t
= hg, Bki
7
Wobei wir für die zweite Gleichheit U (t)∗ = U (t)−1 = U (−t) verwendeten. Somit ist B
eine symmetrische Erweiterung von A. Da A selbstadjungiert ist und wir aus den vorherigen Vorträgen wissen, dass jeder selbstadjungierte Operator ein maximal symmetrischer
Operator ist, folgt: B = A und D(A) = D(B) = D. Insgesamt gilt also für g ∈ D, dass
g ∈ D(A).
Kommen wir zurück zur Schrödinger-Gleichung ihψ 0 (t) = Hψ(t), für welche wir nun,
mit Hilfe des Theorems, eine Lösung angeben können:
Eine Zustandsfunktion ψ : s 7→ ψ(s) erfüllt die Schrödinger-Gleichung, wenn wir sie wie
folgt denieren: Sei ψ(0) ein Anfangszustand mit ψ(0) ∈ D(H) und ψ(s) := U (s)ψ(0),
is
mit U (s) wie im Theorem, wobei A = − h1 H ist, also U (s) = e− h H . Wir zeigen nun, dass
ψ(s) ∈ D(H) für alle s ∈ R gilt um im Folgenden Teil d) des Theorems anwenden zu
können:
Nach Denition gilt: ψ(0) ∈ D(H). Sei nun also 0 6= s ∈ R, dann gilt für ψ(s) ∈ H:
1
1
lim k (U (t)ψ(s) − ψ(s))k = lim k (U (t)U (s)ψ(0) − U (s)ψ(0))k
t→0
t
t
1
= lim kU (s)k k (U (t)ψ(0) − ψ(0))k
t→0 | {z } t
t→0
=1
1
= lim k (U (t)ψ(0) − ψ(0))k
t→0 t
Dieser Limes existiert, da ψ(0) ∈ D(H) und somit folgt mit e) aus dem Theorem, dass
ψ(s) ∈ D(H) ist.
Dann gilt, nach Aussage d) aus dem Theorem:
0
ihψ (s) = ih
d
i
(U (s)ψ(0)) = ih − Hψ(s) = Hψ(s)
dt
h
Somit haben wir eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden und es lässt sich zeigen,
dass alle Lösungen der Schrödinger-Gleichung von dieser Form sind.
Satz von Stone
Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass durch einen selbstadjungierten Operator
A eine stark stetige unitäre Ein-Parameter-Gruppe {U (t) = eitA : t ∈ R} deniert wird.
Der folgende Satz besagt nun, dass auch die Umkehrung gilt.
Satz von Stone
Für jede stark stetige unitäre Ein-Parameter-Gruppe U existiert genau ein selbstadjungierter Operator A, sodass U (t) = eitA gilt.
Beweisskizze:
Wir denieren zunächst, wie im Beweis des vorherigen Theorems:
8
D := {g ∈ H : lim 1t (U (t)g − g) existiert in H}.
t→0
Damit können wir den Satz mit Hilfe der folgenden drei Schritte beweisen:
1.Schritt: Zunächst wird gezeigt, dass D dicht in H ist.
Deniere dafür:
• L := {Φ : R → R : Φ stetig und |Φ| ∈ L1 (0, ∞)}
• L(1) := {Φ ∈ L : Φ ist stetig dierenzierbar und Φ0 ∈ L}
• die für alle g ∈ H, Φ ∈ L stetige Funktion f : R → H, t 7→ Φ(t)U (t)g
R∞
• für Φ ∈ L den linearen und beschränkten Operator auf H: TΦ g := 0 Φ(t)U (t)gdt
Nun zeigt man, dass für alle Φ ∈ L(1) , g ∈ H gilt:
i
lim − (U (t) − 1)TΦ g = iTΦ0 g + iΦ(0)g
t→0 t
indem man zunächst das Integral U (t)TΦ g betrachtet und dann den Limes in die beiden
Summanden aufteilt. Mit Hilfe von Substitution und einer passenden Abschätzung folgt
die obige Formel.
Aus der Existenz des Limes folgt dann, dass TΦ g ∈ D.
Konstruiere eine Folge Φn ∈ L(1) , n ∈ N wie folgt: Φn ≥ 0, Φn (t) = 0 für alle t ≥ n1
R
und 0∞ Φn (t)dt = 1. Dann gilt: kTΦn g − gk n→∞
−→ 0 für g ∈ H. Wir haben also für jedes
Element in H eine Folge in D gefunden, welche gegen dieses Element konvergiert. Also
liegt D dicht in H.
2.Schritt: In diesem Abschnitt wollen wir den selbstadjungierten Operator A denieren
Für g ∈ D denieren wir A wie folgt:
1
Ag := −i lim (U (t) − 1)g
t→0 t
Dieser Operator ist, ersichtlich durch Rechnung wie im Beweis von e) des Theorems,
symmetrisch. Auÿerdem zeigt man, dass ker(A∗ ± i) = 0, was äquivalent zur Selbstadjungiertheit von A ist.
3.Schritt: Zeige U (t) = eitA
Dafür denieren wir uns V (t) := eitA und zeigen U = V .
Zunächst gilt für g ∈ D mit Hilfe des vorherigen Theorems:
1
V 0 (t)g = lim (V (t + s) − V (t))g
s→0 s
1
b)
= lim (V (t)V (s) − V (t))g
s→0 s
1
= lim (V (s) − 1)V (t)g
s→0 s
d)
= iAV (t)g
9
Dabei haben wir für die letzte Gleichheit genutzt, dass mit e) V (t)g ∈ D(A) gilt und
somit d) anwendbar ist.
Auÿerdem ergibt sich auf Grund der Denition von A und der Voraussetzung, dass U
eine stark stetige unitäre Ein-Parameter-Gruppe ist:
1
U 0 (t)g = lim (U (t + s) − U (t))g
s→0 s
1
= lim (U (t)U (s) − U (t))g
s→0 s
1
= lim (U (s) − 1)U (t)g
s→0 s
= iAU (t)g
Nun setzten wir g(t) := U (t)g − V (t)g und zeigen g(t) ≡ 0.
Mit obigen Gleichungen ergibt sich:
g 0 (t) = U 0 (t)g − V 0 (t)g = iAU (t)g − iAV (t)g = iAg(t)
Und damit, da A selbstadjungiert ist:
d
d
kg(t)k2 = (hg(t), g(t)i)
dt
dt
= hg 0 (t), g(t)i + hg(t), g 0 (t)i
= hiAg(t), g(t)i + hg(t), iAg(t)i
= ihAg(t), g(t)i − ihAg(t), g(t)i
=0
Auÿerdem ist g(0) = U (0)g − V (0)g = 0. Insgesamt ist g(t) also die konstante Nullfunktion und somit V (t)g = U (t)g für alle g ∈ D und für alle t ∈ R. Da wir im ersten Schritt
gezeigt haben, dass D dicht in H liegt, gilt die Gleichung also schon für alle g ∈ H und
somit ist V = U .
Bemerkung
Ist U eine stark stetige unitäre Ein-Parameter-Gruppe, so heiÿt der selbstadjungierte
Operator A mit U (t) = eitA der innitesimale Erzeuger der Gruppe.
10