- 312 - h(x, p) = 1 2m k 2 x2 . Auf Grund physikalischer

- 312 1 2 k 2
p + x .
h(x, p) =
2m
2
Auf Grund physikalischer Quantisierungsvorschriften ersetzt man x und p
durch Operatoren in einem der Problemstellung angepassten Hilbertraum
H . In unserem Beispiel wählt man sinnvollerweise
H
:=
L2 (R) .
Die Ortskoordinate x ersetzt man durch den Operator f , der durch
(f (ϕ))(x) := x · ϕ(x) für ϕ ∈ L2 (R) , x ∈ R
definiert ist, die Impulskoordinate durch den Operator g ,
d
(g(ϕ))(x) := − i ~
ϕ(x) .
dx
Den Hamiltonoperator H der Quantenmechanik erhält man dann durch Einsetzen in h(x, p) :
2
d
k
1
−i~
ϕ(x) + x2 · ϕ(x)
(Hϕ)(x) :=
2m
dx
2
k
1 2 d2
~
ϕ(x) + x2 · ϕ(x) .
2
2m d x
2
Man muss noch geeignete Definitionsbereiche von f und H suchen, so dass
diese Operatoren selbstadjungiert werden. Für f nimmt man
D(f ) := { ϕ ∈ L2 (R) ψ ∈ L2 (R) für ψ(x) := xϕ(x) } ,
= −
dann gilt für ϕ, ψ ∈ D(f ) und das Skalarprodukt < , > in L2 (R) :
Z∞
Z∞
xϕ(x)ψ(x) d x =
ϕ(x) x ψ(x) d x
< f (ϕ), ψ > =
−∞
−∞
= < ϕ, f (ψ) > ,
also erfüllt f die Bedingung (Sy). Sei λ ∈ C mit Im λ 6= 0 , und ϕ ∈ L2 (R) ,
dann ist die durch
ϕ(x)
ψ(x) :=
x−λ
definierte Funktion ψ in D(f ) , denn ϕ ∈ L2 (R) und η , η(x) := xψ(x) ,
ist in L2 (R) . Nun gilt
(f − λ id)(ψ) = ϕ ,
R(f − λ id)
=
L2 (R)
also
.
Da das auch für λ statt λ gilt, ist f nach Hilfssatz 70.56 selbstadjungiert.
Mit Hilfe des Operators f kann man nach Definition 71.10 die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass sich das Teilchen in einem gegebenen Intervall
I aufhält. Nun werden wir gleich beweisen: Sei (eλ )λ∈R die Spektralschar
von f , dann ist
eλ (ϕ) = 1(−∞ ; λ] · ϕ für ϕ ∈ H
.
Also ist nach Definition 71.10 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich im
Zustand x das Teilchen im Intervall (λ; µ] aufhält:
-
313
-
w(ϕ, f, (λ; µ]) = k(eµ − eλ )(ϕ)k2
Z∞
=
|1(−∞ ; µ] (x) − 1(−∞ ; λ] (x)|2 |ϕ(x)|2 d x =
−∞
Zµ
|ϕ(x)|2 d x .
λ
Den Hamilton-Operator des Systems
H =
k
~2 d2
+ · x2 ·
2
2m dx
2
werden wir noch genauer untersuchen. Zunächst wollen wir sehen, wie die
Spektralschar des Ortsoperators f aussieht :
Hilfssatz 71.17 : Sei
(f (ϕ))(x) := x · ϕ(x) für x ∈ R und ϕ ∈ D(f ) ,
D(f ) := { ϕ ∈ L2 (R) ψ ∈ L2 (R) für ψ(x) := x · ϕ(x) }
,
also f der eindimensionale Ortsoperator, so ist f ein selbstadjungierter
Operator im Hilbertraum L2 (R) . Die Spektralschar von f ist (eλ )λ∈R ,
(∗)
(eλ (ϕ))(x) := 1(−∞ ; λ] (x)·ϕ(x) für ϕ ∈ L2 (R)
.
Beweis : Dass f selbstadjungiert ist, haben wir gerade gesehen.
1) Wir zeigen, dass (eλ )λ∈R überhaupt eine Spektralschar ist:
Man sieht an (∗) , dass eλ als Funktion von ϕ linear und stetig ist,
keλ k ≤ 1 .
Für ϕ, ψ ∈ L2 (R) gilt
Z∞
1(−∞
< eλ (ϕ), ψ > =
; ,λ] (x)
· ϕ(x) · ψ(x) d x = < ϕ, eλ (ψ) > ,
−∞
und da eλ auf ganz L2 (R) definiert ist, ist eλ symmetrisch, insbesondere
selbstadjungiert,
e∗λ = eλ .
Für λ, µ ∈ R , λ ≤ µ gilt
((eµ ◦ eλ )(ϕ))(x) = ((eλ ◦ eµ )(ϕ))(x)
= 1(−∞ ; µ] (x) · 1(−∞ ; λ] (x) · ϕ(x) = 1(−∞ ; λ] (x) · ϕ(x) = (eλ (ϕ))(x) ,
also gilt nach Satz 70.21 : eλ ≤ eµ , und insbesondere
e2λ = eλ
,
also sind die eλ nach Satz 68.44 Projektoren. Auch die Eigenschaften
(Sch 3) und (Sch 4) aus Folgerung 70.63,
lim eµ = eλ
,
µ↓λ
314
-
lim eλ = 0 ,
lim eλ = id
λ→−∞
λ→∞
folgen aus den Eigenschaften der charakteristischen Funktion.
2) Da (eλ )λ∈R eine Spektralschar ist, haben wir den Operator
Z∞
g :=
λ d eλ
mit
−∞
Z∞
D(g) := { ϕ ∈ L (R) 2
|λ|2 d keλ (ϕ)k2 < ∞ }
−∞
nach Folgerung 70.64, und wir wollen zeigen, dass f = g ist : Seien
α , β ∈ R , α < β , dann gilt nach Definition 70.32 für beliebiges
ϕ, ψ ∈ L2 (R) :
Z
n
X
2
λ d < eλ (ϕ), ψ > = lim
η(µ)→0
[α;β]
= lim
η(µ)→0
n
X
k=1
µ2k−1
Z∞
µ2k−1 (< eµk (ϕ), ψ > − < eµk−1 (ϕ), ψ >)
k=1
1(−∞ ; µk ] − 1(−∞ ; µk−1 ] (x)ϕ(x)ψ(x) d x ,
−∞
das Integral hier ist das Lebesgue-Integral, also
Z
λ2 d < eλ (ϕ), ψ > = lim
n
X
η(µ)→0
[α;β]
Z
k=1
λ2 d < eλ (ϕ), ψ > =
(∗∗)
µ2k−1
Zµk
ϕ(x) · ψ(x) d x ,
µk−1
Zβ
x2 ϕ(x) ψ(x) d x .
α
[α;β]
Wir wollen hier ψ := ϕ einsetzen; dafür gilt
< eλ (ϕ), ϕ > = < eλ (ϕ), eλ (ϕ) > = keλ (ϕ)k2
,
und für α → −∞ , β → ∞ folgt aus (∗∗) : Ist ϕ ∈ D(g) , so ist
Z∞
2
Z∞
|xϕ(x)| d x =
−∞
|λ|2 d keλ (ϕ)k2 = kg(ϕ)k2 < ∞ ,
−∞
also gehört nicht nur ϕ , sondern auch die Funktion ψ ,
ψ(x) := x · ϕ(x)
zu L2 (R) , also ϕ ∈ D(f ) für ϕ ∈ D(g) , also D(g) ⊂ D(f ) .
Sei umgekehrt ϕ ∈ D(f ) , dann ist also
also
Z∞
315
-
|xϕ(x)|2 d x < ∞ ,
−∞
und, wieder nach (∗∗) :
Z∞
|λ|2 d keλ (ϕ)k2 < ∞ ,
−∞
also ϕ ∈ D(g) . Analog zu (∗∗) rechnet man aus :
Zβ
Z
λ d < eλ (ϕ), ψ > =
x ϕ(x) ψ(x) d x
α
[α;β]
für ϕ ∈ D(f ) = D(g) und ψ ∈ L2 (R) . Also folgt nach Satz 70.35 :
Z∞
< g(ϕ), ψ > =
Z∞
x ϕ(x) ψ(x) d x = < f (ϕ), ψ > ,
λ d < eλ (ϕ), ψ > =
−∞
−∞
speziell für ψ := g(ϕ) − f (ϕ) , also
f (ϕ) = g(ϕ) .
2
Bemerkung : Nach Hilfssatz 70.38 wissen wir, dass zu jeder Spektralschar
(eλ )λ∈R die Operatoren
eλ,− := lim eµ
µ↑λ
existieren. In unserem Fall ist
(eλ,− (ϕ))(x) = lim (1(−∞ ; µ] (x) · ϕ(x)) = 1(−∞ ; λ) (x) · ϕ(x) ,
µ↑λ
und da man in L2 (R) Funktionen nicht unterscheidet, die sich nur in einem
Punkt unterscheiden:
eλ,− (ϕ) = eλ (ϕ) .
Nach Satz 70.40 heißt das: f besitzt keine Eigenwerte. Das hätte man auch
direkt sehen können: Angenommen, ϕ ist ein Eigenvektor von f , zum
Eigenwert λ , dann ist
(f (ϕ))(x) = λ · ϕ(x) ,
x ϕ(x) = λ ϕ(x) ,
also
also (x − λ)ϕ(x) = 0 .
Das geht aber nur für ϕ = 0 ∈ L2 (R) .
Bemerkung 71.18 : Wir wollen nun den Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators H ,
-
316
-
~2 d 2
k2
(H(ϕ))(x) = −
ϕ(x) + x ϕ(x)
2 m d x2
2
näher untersuchen. Bis auf physikalische Konstanten ist das der Operator f ,
(f (ϕ))(x) := −ϕ00 (x) + x2 ϕ(x) .
Dieser Operator heißt Hermitescher Differentialoperator .
Satz 71.19 : Sei Ω offen im Rn und C0∞ (Ω) die Menge der beliebig oft
differenzierbaren Funktionen ϕ mit kompaktem Träger
Supp ϕ = { x ∈ Rn ϕ(x) 6= 0 } ⊂ Ω .
Dann ist C0∞ (Ω) eine dichte Teilmenge von L2 (Ω) .
Beweis : Für Ω = Rn steht das als Corollar zu Satz 10.3 in (G 93) . Für
beliebiges Ω siehe (T), Satz 3.6 .
2
Speziell für q(x) := x2 + 1 ist der nächste Satz ein Satz über den
Hermiteschen Differentialoperator :
Satz 71.20 : Sei q : R −→ R stetig,
q(x) ≥ 1
x ∈ R und
für alle
lim q(x) = ∞ .
|x|→∞
Sei f definiert durch
D(f ) := C0∞ (R) ⊂ L2 (R)
,
R(f ) ⊂ L2 (R)
,
(f (ϕ))(x) := −ϕ00 (x) + q(x) ϕ(x) ,
dann gilt
a) < f (ϕ), ϕ > ≥ kϕk2 für alle ϕ ∈ D(f ) ,
b) f erfüllt die Bediingung (Sy) aus Definition 70.56.
c) f , der in Satz 70.66 definierte Abschluss von f , ist selbstadjungiert.
d) Es ist SCf = ∅ , also Sf = SPf .
Beweis : c) und d) müssen wir weglassen, da unsere Kenntnisse über selbstadjungierte Operatoren (immer noch) zu gering sind.
a) und b) : Es gilt für ϕ, ψ ∈ D(f ) , wenn man partiell integriert :
Z
< f (ϕ), ψ > =
(−ϕ00 (x) + q(x) · ϕ(x)) · ψ(x) d x
R
Z
=
(ϕ0 (x) · ψ 0 (x) + q(x) · ϕ(x) · ψ(x)) d x ,
R
denn ϕ und ψ sind 0 außerhalb eines hinreichend großen Intervalls. Also
folgt einerseits
Z
< f (ϕ), ψ > =
317
-
ϕ(x) · (−ψ 00 (x) + q(x) ψ(x)) d x = < ϕ, f (ψ) > ,
R
d.h. f erfüllt (Sy) . Andererseits folgt
Z
(|ϕ0 (x)|2 + q(x) |ϕ(x)|2 ) d x
< f (ϕ), ϕ > =
R
und wegen q(x) ≥ 1 :
R
< f (ϕ), ϕ > ≥
|ϕ(x)|2 d x = kxk2
2
.
R
Man erhält damit für den Hermiteschen Differentialoperator den
Hilfssatz 71.21 : Sei D(f ) := C0∞ (R) ⊂ L2 (R) ,
(f (ϕ))(x) := −ϕ00 (x) + x2 ϕ(x) für ϕ ∈ D(f ) ,
dann ist R(f ) ⊂ L2 (R) und
a) f selbstadjungiert ,
b) SCf = ∅ .
Beweis : Den Satz 71.20 können wir zwar nicht auf f , aber auf f + id ,
((f + id)(ϕ))(x) = −ϕ00 (x) + (x2 + 1)ϕ(x)
anwenden, denn für q(x) := x2 + 1 gilt q(x) ≥ 1 . Nach Satz 71.20 ist
dann f + id selbstadjungiert,
f + id = f + id . Für f gilt dann
(Di)
D(f ) = H
wegen
D(f ) = D(f + id) ,
(Sy)
∀ x, y ∈ D(f ) : < x, f (y) > = < x, f (y) + y > − < x, y > =
= < (f + id)(x), y > − < x, y > = < f (x), y > ,
(Se)
∗
und
∗
D(f ) = D(f + id) = D((f + id)∗ ) = D(f + id) = D(f ) ,
also ist f nach Definition 70.56 selbstadjungiert. Da SCf + id = ∅ ist, und
da
λ ∈ Sf ⇐⇒ λ + 1 ∈ Sf + id
gilt, folgt aus Satz 71.20 auch
SCf = SCf + id
=
∅ .
2
Man muss also nur Eigenwerte und Eigenvektoren des Hermiteschen Differentialoperators f berechnen. Das sind im Wesentlichen Rechnungen mit
Differentialgleichungen, wobei man die Differentiationen im Lebesgue-InteR∞
gral
. . .·ψ(x) d x auszuführen hat, also Differentialgleichungen für Distri−∞
-
318
-
butionen. Wir wollen die Rechnungen nicht im Einzelnen ausführen, sondern
geben nur das Ergebnis an :
Satz und Definition 71.22 : Sei f der in Hilfssatz 71.21 definierte Hermitesche Differentialoperator. Dann hat f genau die Eigenwerte
n ∈ N0
λn = 2 n + 1 ,
.
Diese Eigenwerte haben die Vielfachheit 1 . Die Eigenvektoren zu λn sind
die Hermiteschen Funktionen
x2
d n −x2 hn (x) = cn e 2
e
mit cn ∈ R∗+ .
d xn
x2
(Es gilt hn (x) = cn e− 2 Hn (x) ,
Hermiteschen Polynome sind).
Beweis siehe (T), Satz 24.2 .
wobei die Hn die in (F 132) definierten
2
Bemerkung 71.23 : Man kann die cn so wählen, dass
khn k
=
1
in L2 (R) gilt. Da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
orthogonal sind, haben wir mit (hn )n∈N0 ein Orthonormalsystem in L2 (R) .
Da SCf = ∅ ist, kann man auch noch zeigen, dass (hn )n∈N0 ein vollständiges
Orthonormalsystem ist; man kann also jedes ϕ ∈ L2 (R) “nach
Hermiteschen Funktionen entwickeln” :
ϕ(x) =
∞
X
< hn , ϕ > ·hn (x) .
n=0
- Wir betrachten wieder unser Beispiel aus der Quantentheorie :
Beispiel 21.16 :Der Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators war
−
~2 d 2
k
+ x2 · ,
2
2m dx
2
wobei noch nicht klar war, für welche ϕ ∈ L2 (R) dieser Operator überhaupt
definiert ist. Wir nehmen nun C0∞ (R) ; das ist ein dichter Untervektorraum
von L2 (R) , und setzen
D(H0 )
:=
C0∞ (R)
,
~2 d 2
k
ϕ(x) + x2 ϕ(x) .
2
2m dx
2
Nach Hilfssatz 71.21 ist dann der Operator f mit
(H0 (ϕ))(x)
:=
−
f
:=
2m
H0
~2
selbstadjungiert, also auch H0 selbstadjungiert. Als Hamiltonoperator wählen
-
319
-
wir nun
H
:=
H0
,
dann ist H nach Hilfssatz 71.21 ein selbstadjungierter Operator mit
SCH = ∅ . Wir wollen die Eigenwerte und Eigenvektoren von H bestimmen.
k
~2
und
beachten, die in dem
Dabei muss man die Konstanten
2m
2
Hermiteschen Differentialoperator von Satz 71.22 nicht standen. Sei
√
4
km
√
c :=
.
~
Die Funktionen hn , n ∈ N0 gehören zwar nicht zu C0∞ (R) , aber (was wir
hier nicht beweisen wollen) zu D(H) , dem Abschluss von C0∞ (R) in L2 (R)
bezüglich k kH , wobei
kϕkH 2 = < ϕ, ϕ > + < H(ϕ), H(ϕ) >
ist. Es gilt für un (x) := hn (c x) :
(H(un ))(x) = −
~2 d 2
k
hn (c x) + x2 hn (c x)
2
2m dx
2
~2 2
mk
c (−h00n (c x) + 2 4 (c x)2 hn (c x))
2m
~ c
2
~ 2
=
c (−h00n (c x) + (c x)2 hn (c x)) .
2m
die Differentiation von hn (y) nach y . Nach Satz 71.22 gilt
=
Darin bedeutet
0
−h00n (y) + y 2 hn (y)
(H(un ))(x)
=
=
= (2 n + 1) hn (y) ,
r
~
k
(2 n + 1) hn (c x)
2 m
r
~ k
(2 n + 1) un (x) .
2 m
also
√
4
km
Also bilden die Funktionen un , un (x) = hn (c x) mit c = √
bei
~
passender Wahl der Konstanten cn in Definition 71.22 ein (nach Bemerkung 71.23 sogar vollständiges) Orthonormalsystem von Eigenvektoren des
Operators H . Nach Satz 71.22 gibt es außer den Eigenwerten
r k
1
n+
, n ∈ N0
~
m
2
-
320
-
keine weiteren Eigenwerte von H . Ein stationärer Zustand des harmonischen
Oszillators wird nach Satz 71.15 gegeben durch eine Funktion
ϕn ∈ L2 (R)
mit kϕn k = 1 in
L2 (R)
und
ϕn (x) = αn hn (cx)
mit einer Normierungskonstanten αn . Damit kann man dann nach Definition 71.10 die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Messwert für den
Ort des Teilchens im Zustand ϕn in das Intervall I fällt, denn wir kennen
ja die Spektralschar des Ortsoperators.
- Um den Zusammenhang mit der Physik klarzumachen, wollen wir zwei
Interpretationsregeln der Quantenmechanik angeben, die nicht direkt zum
mathematischen Teil der Quantenmechanik gehören :
(71.24) Interpretationsregel 1 : Ein zeitlich unveränderliches quantenmechanisches System befindet sich in einem stationären Zustand. Der Zustand kann dann gekennzeichnet werden durch einen Eigenvektor des zugehörigen Hamiltonoperators H . Der zu dem Eigenvektor gehörige Eigenwert gibt die Energie des Systems an. Der Normalzustand ist der Zustand
kleinster Energie.
Bemerkung 71.25 : Diese Interpretationsregel ist nur sinnvoll, wenn
a) der Operator H Eigenwerte besitzt,
b) ein kleinster Eigenwert existiert, oder zumindest das Infimum der
Eigenwerte.
(71.26) Interpretationsregel 2 : Geht ein quantenmechanisches System,
das sich in einem stationären Zustand mit der Energie E1 befindet, in einen
stationären Zustand mit niedrigerer Energie E2 über, so entsteht elektromagnetische Strahlung der Frequenz
ν
=
1
(E1 − E2 ) .
2π~
Beispiel 71.16 : Beim harmonischen Oszillator sind also folgende Energien
möglich :
r 1
k
En = ~
n+
, n ∈ N0 .
m
2
Die möglichen Frequenzen der abgegebenen elektromagnetischen Strahlung
sind demnach
r
1
1
k
νn,m =
(En − Em ) =
(n − m) .
2π~
2π m
r
1
k
Mit ν := ν1,0 =
folgt
2π m
1
En = h ν · n +
für n ∈ N0 , mit h := 2 π ~ .
2