Projekt 2 Stationäre Schrödingergleichung: Entwicklung in ein

Projekt 2
Stationäre Schrödingergleichung:
Entwicklung in ein vollständiges
Funktionensystem
(Eric van Dalen)
2.1
Problemstellung
Viele Phänomene der Physik lassen sich durch die klassische Mechanik und Elektrodynamik nicht erklären. So bildet die Quantenmechanik die Grundlage für die Atomphysik. Aber auch die Physik makroskopischer Körper benötigt die Quantentheorie,
um die Struktur und Stabilität von Festkörpern, Flüssigkeiten, Gasen und Plasmen
widerspruchsfrei zu erklären. Kern- und Elementarteilchenphysik bedürfen ebenfalls
quantentheoretischer Methoden, und die Quantenoptik hat sich in den letzten Jahren
von der Fortführung der klassischen Optik zu einem eigenständigen Forschungsgebiet
weiterentwickelt. Die einfachsten physikalisch relevanten quantentheoretischen Probleme befassen sich mit stabilen nicht-relativistischen Teilchen in einem zeitunabhängigen
Potential. Diese werden durch die stationäre Schrödingergleichung beschrieben.
Eine mögliche Methode zur Lösung der stationären Schrödingergleichung besteht
in der Diagonalisation des Hamiltonoperators H. Im Rahmen dieses Projekts sollen
nur sphärisch symmetrische Potentiale betrachtet werden. Der Hamiltonoperator wird
dann in einer geeigneten Basis des Hilbertraums blockdiagonal. Die diesbezügliche
numerische Aufgabe gliedert sich in die Berechnung der Nullstellen von sphärischen
Besselfunktionen, der Bestimmung der Matrixelemente des Hamiltonoperators durch
numerische Integration und die Diagonalisation der so entstehenden (trunkierten) Hamiltonmatrix. Die letztere liefert neben den Eigenenergien Eα die Eigenzustände |αi
und somit die Wellenfunktionen ψα (x) = hx|αi. Mit diesen können dann alle Observablen berechnet werden.
Sei |ni mit n = 1, 2, 3, . . . ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum
unseres quantenmechanischen Problems. Die Eigenzustände |αi mit H|αi = Eα |αi
können dann durch Einschieben einer Eins dargestellt werden:
|αi =
∞
X
n=1
|nihn|αi =
1
∞
X
n=1
cnα |ni.
(2.1)
2
PROJEKT 2. STATIONÄRE SCHRÖDINGERGLEICHUNG:
Die Wellenfunktionen sind dann durch die Koeffizienten cnα = hn|αi bestimmt,
ψα (x) = hx|αi =
∞
X
n=1
cnα hx|ni.
(2.2)
Durch Einschieben der gleichen Eins und Linksmultiplikation mit einem Zustand hm|
erhält man aus der Eigenwertgleichung H|αi = Eα |αi die Beziehung
∞
X
n=1
hm|H|nicnα = Eα hm|αi
(2.3)
und somit für festgehaltenes α das (unendlich–dimensionale) Eigenwertproblem für die
Matrix Hmn := hm|H|ni
∞
X
Hmn cnα = Eα cmα .
(2.4)
n=1
2.2
Sphärische symmetrische Diskretisierung
Ein unendlich–dimensionales Problem kann man natürlich nicht numerisch behandeln.
Wie wir sehen werden, besteht eine geeignete Näherung oft darin, sich auf N Basiszustände zu beschränken. Das Eigenwertproblem
N
X
n=1
Hmn cnα ≈ Eα cmα
(2.5)
für m = 1, . . . N ist durch Diagonalisation der N × N –Matrix Hmn lösbar.
Wie gross man N wählen muss, hängt vom jeweiligen Hamiltonoperator und dem
gewählten Basissystem ab. Im allgemeinen wird man die Symmetrien des zugrundeliegenden Problems ausnutzen, um eine geeignete Wahl des Basissystems zu treffen. Im
folgenden werden wir nur sphärisch symmetrische Schrödingergleichungen betrachten.
Somit ist es wichtig, beim Abschneiden des Basissystems den Drehimpuls l als gute
Quantenzahl zu erhalten. Zur Konstruktion eines geeigneten Basissystems betrachten
wir die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen in einer sphärischen Box mit Radius R. Der Winkelanteil der zugehörigen Wellenfunktion ist durch Kugelfunktionen
gegeben,
hx|n = {ilm}i ∝ Ylm (θ, φ).
(2.6)
Für den Radialanteil der Wellenfunktion, jl (kil r), gilt, dass er am Rand der Box (r = R)
verschwindet:
jl (kil R) = 0.
(2.7)
Durch diese Bedingung werden die Impulse kil diskret (quantisiert). Weiterhin sind
dann die sphärischen Besselfunktionen orthogonal:
Z
0
R
drr2 jl (kil r)jl (kjl r) = δij
1
αil2
(2.8)
3
2.3. ENTWICKLUNG DER ZU BESTIMMENDEN LÖSUNG
mit der Normierung
αjl =
Somit sind die
 q
 jπ 2/R3
 (1/j
für l = 0
q
l−1 (kjl R))
2/R3
für l > 0
.
(2.9)
film (x) = αil jl (kil r)Ylm (θ, φ)
(2.10)
eine Orthonormalbasis in der sphärischen Box:
Z
|x|≤R
d3 xfi∗′ l′ m′ (x)film (x) = δii′ δll′ δmm′ .
(2.11)
Diese Orthonormalbasis ist vollständig für Funktionen, die in dieser Box regulär sind
und auf dem Rand verschwinden.
2.3
Entwicklung der zu bestimmenden Lösung
Die Wellenfunktion unseres Systems mit Wechselwirkung soll nun durch Entwicklung
in dieser Basis konstruiert werden:
ψα (x) = hx|αi =
X
ilm
hx|ilmihilm|αi =
X
cnα fn (x).
(2.12)
n={ilm}
Hierzu soll die Diagonalisierung der Matrix Hmn durch Symmetrien vereinfacht
werden. Von den beiden Anteilen der Matrix
Hmn = hm|H|ni = hm|T |ni + hm|V |ni
(2.13)
2
h̄
ist die kinetische Energie des Teilchens mit der Masse M , T = − 2M
∆, per Konstruktion
bereits diagonal:
hi′ l′ m′ |T |ilmi = δii′ δll′ δmm′
(h̄c)2 2
k .
2M c2 il
(2.14)
Ein sphärisch symmetrisches Potential V (r) führt auf die Matrixelemente
hi l m |V |ilmi =
Z
d3 xhi′ l′ m′ |xiV (r)hx|ilmi =
=
Z
drr2 V (r)αi′ l′ jl′ (ki′ l′ r)αil jl (kil r)
′ ′
′
= δll′ δmm′ αi′ l αil
Z
Z
′
m
dΩYlm
′ (θ, φ)Yl (θ, φ) =
drr2 V (r)jl (ki′ l r)jl (kil r).
(2.15)
Die Matrix Hi′ l′ m′ ilm ∝ δll′ δmm′ ist somit blockdiagonal. Dies ist der formale Ausdruck dafür, dass bei sphärischer Symmetrie die verschiedenen Drehimpulszustände
nicht koppeln: Der Drehimpuls L2 und Lz ist erhalten.
Somit ist es ausreichend für ein fest vorgegebenes l die Matrix Hi′ i zu diagonalisieren. Hierbei ist jedoch zu berücksichtigen, dass die Zustände (2l + 1)–fach entartet
sind, da sie von m unabhängig sind.
4
PROJEKT 2. STATIONÄRE SCHRÖDINGERGLEICHUNG:
2.4
Numerische Methode
Die numerische Behandlung verlangt zwei Abschneideparameter:
1. Einen endlichen Radius R der Box. Dies definiert den kleinstmöglichen Impuls
(Infrarot–Cutoff).
2. Die Zahl der betrachteten Zustände N . Dies definiert den größtmöglichen Impuls
(Ultraviolett–Cutoff).
Die Impulse sind somit h̄kil mit jl (kil R) = 0 und i ≤ N .
2.4.1
Bestimmung der Nullstellen der sphärischen
Besselfunktionen
Zur Berechnung der sphärischen Besselfunktionen benutzen wir die Rekursionsrelation
2l + 1
jl (x) − jl−1 (x),
(2.16)
jl+1 (x) =
x
in der Form allerdings nur für x > l. Mit den Startwerten
sin x
sin x cos x
j0 (x) =
, j1 (x) = 2 −
(2.17)
x
x
x
liefert diese Aufwärtsrekursion verlässliche Ergebnisse. Für x < l ist diese Rekursionsrichtung jedoch instabil, die Abwärtsrekursion
2l + 1
jl−1 (x) =
jl (x) − jl+1 (x),
(2.18)
x
dagegen ist stabil. Dies nützen wir für folgenden Algorithmus: Starte mit jM (x) = 0
und const.jM −1 (x) = 1 für M >> l, löse Rekursion bis j0 (x) und bestimme durch den
bekannten Wert von j0 (x) die Konstante const.. Berechne damit das benötigte jl (x).
Die Nullstellen von jl (x) liegen immer zwischen zwei Nullstellen von jl−1 (x). Somit
kennen wir vorab die Zahl der Nullstellen. Diese bestimmen wir mit dem Newton–
Raphson–Verfahren iterativ, d.h. wiederhole
jl (xi )
xi+1 = xi − ′
(2.19)
jl (xi )
bis die Nullstelle genügend genau bekannt ist. Die Ableitung berechnet man aus einer
der beiden Relationen
l+1
l
jl′ (x) = jl−1 (x) −
jl (x) = jl (x) − jl+1 (x).
(2.20)
x
x
2.4.2
Numerische Integration
Für die numerische Integration der stark oszillierenden Integranden in den Matrixelementen hat sich die einfache Trapezregel bewährt: Teile das Integrationsintervall [0, R]
in Nint äquidistante Abschnitte, ri = iR/Nint , i = 0, . . . Nint und ∆r = R/Nint , und
benutze die Näherungsformel
Z
0
R


Nint
X−1
1
1
f (ri ) + f (rNint ) ∆r.
drf (r) =  f (r0 ) +
2
2
i=1
(2.21)
5
2.4. NUMERISCHE METHODE
2.4.3
Numerische Diagonalisation
Für die numerische Diagonalisation können wir eine Jacobi–Routine benutzen. Vorgegeben ist eine symmetrische Matrix hij = H(i, j) =< i|H|j >, wobei der erste Index i
die Zeile und der zweite Index j die Spalte bezeichnen soll. Ziel der Diagonalisation ist
es, eine orthogonale Transformation auf eine neue Basis, die Basis der Eigenvektoren
zu H,
H|αi = Eα |αi
zu finden. Dies bedeutet
hβ|H|αi = δβα Eα =
X
i,j
hβ|iihi|H|jihj|αi = At hA
(2.22)
Dabei beinhalten die Spalten der Transformationsmatrix für diese orthogonale Transformation,
Aiα = hi|αi ,
(2.23)
die verschiedenen Entwicklungskoeffizienten zu einem vorgegebenem Eigenvektor α.
Aus der Sicht der Matrizenrechnung suchen wir also eine orthogonale Transformationsmatrix A mit At = A−1 so, dass die transformierte Matrix
h′ = At hA
auf allen nichtdiagonalen Plätzen eine “0” aufweist. Betrachten wir als Beispiel die
elementare Drehmatrix Apq . Diese Matrix ist im Wesentlichen die Matrix der Identität
bis auf die Elemente
Apq
= Apq
= c = cos ϕ
pp
qq
pq
pq
Apq = −Aqp = s = sin ϕ
(2.24)
h′ = (Apq )t hApq
(2.25)
Bilden wir nun
so ist h′ij = hij für alle Elemente bis auf solche aus den Zeilen und Spalten p und q.
Für diese Elemente gilt
h′pp = c2 hpp + s2 hqq − 2sc hpq ,
h′qq = c2 hqq + s2 hpp + 2sc hpq ,
h′pq = h′qp =
c2 − s2 hqp + sc (hpp − hqq ) .
(2.26)
Für die anderen Elementen in diesen Zeilen und Spalten (i 6= q und i 6= p) gilt
h′pi = h′ip = c hip − s hiq ,
h′qi = h′iq = c hiq + s hip .
(2.27)
Durch eine geeignete Wahl von c und s können wir die außerdiagonalen Elemente
h′pq = h′qp in (2.26) zum Verschwinden bringen. Definiert man t := tan ϕ = s/c so
ergibt sich für die Hilfsgröße
Θ=
hqq − hpp
c2 − s2
=
2cs
2hqp
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PROJEKT 2. STATIONÄRE SCHRÖDINGERGLEICHUNG:
die Bestimmungsgleichung
t2 + 2tΘ − 1 = 0 ,
√
=⇒
t = −Θ ± Θ2 + 1 .
Die Elemente der Transformationsmatrix (2.24) sind somit durch
c= √
1
,
+1
t2
s = tc ,
gegeben.
Wenn man nun in einem ersten Schritt das vom Absolutwert größte Nichtdiagonalelement von h durch die Transformation (2.25) zu 0 macht, so kann man leicht zeigen,
dass durch diese Transformation keines der nichtdiagonalen Matrixelemente von h′ vom
Betrag her größer ist als das, welches gerade zu 0 gemacht wurde. Wendet man also dieses Verfahren immer wieder an, so werden die nichtdiagonalen Matrixelemente immer
kleiner. Das Verfahren kann gestoppt werden, wenn alle nichtdiagonalen Matrixelemente von h′ kleiner als ein vorgegebenes ǫ sind. Die gesamte Transformationsmatrix ergibt
sich dann zu
A = Ap1 q1 Ap2 q2 · · · Apn qn
2.5
Streuquerschnitte (weiterführend)
Die Berechnung der Eigenenergien und der zugehörigen Wellenfunktionen mittels der
Diagonalisation des Hamiltonoperators ist besonders geeignet, wenn man die Eigenschaften von gebundenen Zuständen (E < 0) bestimmen möchte. Allerdings lassen sich
mit dieser Methode auch die Eigenenergien und Wellenfunktionen von Streuzuständen
(E > 0) berechnen. Eine charakterische Größe für diese Zustände ist die Streuphase.
In diesem Abschnitt sind einige wesentlichen Formeln der elementaren Streutheorie
zusammengefasst.
Für die Streuung an einem (kurzreichweitigen) Zentralpotential läßt sich die Wellenfunktion als Superposition einer einlaufenden ebenen Welle und einer auslaufenden
Kugelwelle schreiben:
eikr
ψ(x, t) = eikx + f (Ω)
.
(2.28)
r
Hierbei hat die einfallende Welle die Dichte 1 und die Stromdichte h̄k/M , die ausfallende Welle die Dichte |f |2 /r2 und die Stromdichte (h̄k/M )(|f |2 /r2 )r̂. Somit ist die
Zahl der pro Zeiteinheit in dΩ gestreuten Teilchen
h̄k
|f (Ω)|2 dΩ.
M
Dividiert man dies durch den Betrag des einfallenden Stroms erhält man den Streuquerschnitt
dσ(Ω) = |f (Ω)|2 dΩ.
(2.29)
2.5. STREUQUERSCHNITTE (WEITERFÜHREND)
7
Die Richtung des einfallenden Wellenpakets bestimmt eine Symmetrieachse. Man
kann das Koordinatensystem somit so legen, dass die Wellenfunktion ψ unabhängig
vom Winkel φ wird:
X
X χl (r)
Pl (cos θ); f (θ) =
fl Pl (cos θ).
ψ(r, θ) =
r
l
l
Der Vergleich von
eikx + f (θ)
eikr X
eikr
= ((2l + 1)il jl (kr) + fl
)Pl (cos θ)
r
r
l
mit der asymptotischen Form
r→∞
χl −→al sin(kr − lπ/2 + δl )
ergibt:
al = i l
(2l + 1) iδl
e ;
k
Somit gilt:
f (θ) =
fl =
(2l + 1) iδl
e sin δl .
k
∞
1X
(2l + 1)eiδl sin δl Pl (cos θ).
k l=0
Man erhält den differentiellen Streuquerschnitt
dσ
1 X
′
(E) = 2
(2l + 1)(2l′ + 1)ei(δl −δl ) sin δl sin δl′ Pl (cos θ)Pl′ (cos θ)
dΩ
k ll′
(2.30)
(2.31)
und nach Integration über den Winkel
σtot =
∞
X
σl
mit σl =
l=0
4π
(2l + 1) sin2 δl .
k2
(2.32)
Dabei ist für ein attraktives Potental δl stets größer als 0.
In der Born’schen Näherung, d.h. in niedrigster Ordnung Störungstheorie, ergibt
sich die Streuphase zu
2M k Z ∞
δl (E) ≈ − 2
drr2 V (r)jl2 (kr) .
(2.33)
0
h̄
Die Streuphasen und somit die Streuquerschnitte lassen sich aus den Eigenwerten
und Eigenvektoren der Hamiltonmatrix wie folgt gewinnen: Die Energie der Streulösung
Eα ergibt sich aus der Diagonalisierung von Hmn als Eigenwert. Die zugehörige Wellenzahl ist
q
2M c2 Eα,l
.
(2.34)
kα,l =
h̄c
Die Phasenverschiebung δl ergibt sich dann aus der Beziehung
jl (kα,l R + δl ) = φ(R) = 0.
(2.35)
Falls die Energie der Streulösung der i-te Eigenwert der Diagonalisierung ist, dann folgt
für die Streuphase:
kα,l R + δl = ki,l R
=⇒
δl = (ki,l − kα,l )R .
Dabei ist für ein attraktives Potental δl stets größer als 0.
(2.36)
8
PROJEKT 2. STATIONÄRE SCHRÖDINGERGLEICHUNG:
2.6
Aufgaben
Aufgabe 2.1:
a. Bestimmen Sie die Nullstellen für die sphärischen Besselfunktionen jl (x), l =
0, 1 . . . 100 im Intervall des Argumentes x zwischen x = 0 und x = 75.
b. Hat die Besselfunktion j125 (x) eine Nullstelle in diesem Intervall [0, 75] für x?
c. Berechnen Sie für R = 5fm die Wellenzahlen kli (siehe auch Teilaufgabe a)
d. Überprüfen Sie die Orthonormalität der normierten Besselfunktionen durch numerische Integration.
Aufgabe 2.2:
Diagonalisieren Sie die symmetrische N × N –Matrix, die definiert ist durch die Matrixelemente
N
+i+j
Aij =
i+j
für N = 2, 5, 12, 25 unter Benutzung einer Jacobi–Routine, siehe z.B. Kapitel 11.1 in
Press et al., “Numerical Recipes”.
Aufgabe 2.3:
Lösen Sie die Schrödingergleichung für die Bewegung eines Nukleons in einem Atomkern. Wählen Sie hierzu als Radius für die Box R = 10 fm. Die Masse des Nukleons
beträgt 939 MeV/c2 . (Hinweis: h̄c = 197.3MeV fm.)
a. Betrachten Sie dazu das Woods–Saxon–Potential
V (r) =
V0
1 + exp
r−r0
a0
mit einer Potentialtiefe V0 = −60MeV, einem Radius r0 = 3fm und einer Oberflächendicke a0 = 0.4fm. Visualisieren Sie den Potentialverlauf. Berechnen Sie
die stationären Lösungen. Plotten Sie die Wellenfunktionen für die Lösungen mit
Energien Enl < 0 und welche mit Enl > 0 (d.h. Streulösungen).
b. Überprüfen Sie die numerische Stabilität der Lösungen durch eine Variation der
Boxgröße R und der Zahl der Basisfunktionen
2.7. LITERATUR
2.7
9
Literatur
Zur Quantenmechanik gibt es naturgemäß sehr viele Lehrbücher. Stellvertretend sei
hier
• F. Schwabl, Quantenmechanik (QM I), Springer-Lehrbuch,
genannt.
Relationen für sphärische Besselfunktionen sind u.a. auch in
• I.N. Bronstein, Taschenbuch der Mathematik,
• I. Stegun und M. Abramowitz, Handbook of Mathematical Functions,
gegeben.
Alle hier verwendeten numerischen Methoden und Algorithmen werden in
• W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, Numerical Recipes in C++: The
art of scientific computing,
beschrieben. Von diesem Buch gibt es mehrere Versionen (Fortran, F90, C, C++, usw.).