QUANTENMECHANIK (T3)

QUANTENMECHANIK (T3)
Übersicht Teil A
I. Grundbegriffe der Quantenmechanik
Prof. Dieter Lüst
Arnold-Sommerfeld-Zentrum für theoretische Physik
II. Einfache Anwendungen der Quantenmechanik
III. Bewegung eines Teilchens im Zentralfeld
Ludwig-Maximilians-Universität München
Übersicht Teil B
IV. Störungstheorie für stationäre Probleme
V. Zeitabhängige Probleme
VI. Materie im elektromagnetischen Feld
VII. Der Spin
VIII. Relativistische Quantenmechanik
Klein-Gordon-Gleichung
Eine Einführung in die Quantenmechanik
Dirac-Gleichung
Literatur:
A.S. Dawydow: Quantenmechanik
Schwabl, Quantenmechanik
Messiah, Quantenmechanik
Nolting, Quantenmechanik
2
I. GRUNDBEGRIFFE DER QUANTENMECHANIK
- Rayleigh–Jeans–Gesetz:
u(ω, T ) =
1. Wellenfunktionen
1.1. Die Grenzen der klassischen Physik
+∞
Z
u(ω)dω = ∞,
Ultraviolettkatastrophe
0
- Wien (empirisch)
MATERIE
kB T 2
ω
π 2 c3
Wiensches Strahlungsgesetz:
ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG
u(ω, T ) ≈ Aω 3 exp
Teilchendynamik (Newton)
Wellendynamik (Maxwell)
Ort, Impuls
Feldgröße
Ab 1900:
−gω
T
(ω → ∞)
quantentheoretisch:
- Planck (1900)
⇒ deterministische Darstellung
Interpolationsformel
atomare und subatomareTeilchen und deren Wechselwirkungen
u(ω, T ) =
können nicht im Rahmen der klassischen Phyisk beschrieben werden.
A) Eletromagnetische Strahlung wird in Quanten absorbiert und emittiert (Pho-
h̄
ω3
π 2 c3 exp h̄ω − 1
kB T
Ableitung durch die Hypothese, daß Energie von den Wänden nur
tonen).
in ganzzahligem Vielfachen von h̄ω an die Strahlung abgegeben (und
E = h̄ω,
ω = 2πν
h̄ = 1.054 · 10−27 ergsec
absorbiert) wird.
u(ω, T ) = A
∞
X
nh̄ωP (nh̄ω)
n=0
E = pc,
Energie
ω = kc,
k : Wellenvektor
p = h̄k
exp
P (nh̄ω) = P
∞
−nh̄ω
kB T
n=0 exp
a) Spektraldichte der Hohlraumstrahlung u(ω, T ) = V −1 dE/dω
b) Photoelektrischer Effekt
klassisch:
3
4
−nh̄ω
kB T
Maximale Energie der Elektronen:
Emax =
Berechnung vom Radius r, Geschwindigkeit v, Energie E
1
mv 2 ≤ h̄ω − W,
2
Kräftegleichgewicht:
W : Austrittsarbeit
mv 2
Ze2
,
=
r2
r
v=
nh
mr
1
λc n 2
Zα
1
v = (Zα)c
n
1
1
En = − (Zα)2 mc2 2
2
n
c) Compton–Effekt
r=
λ0 − λ =
2πh̄
(1 − cos θ)
me c
λc =
h̄
me c
mc2 = 0.51 M eV
Comptonwellenänge λc = 3.86 · 10−13 m
(me = 0.91 · 10
−27
e2
1
=
,
h̄c
137
Feinstrukturkonstante
n = 1, Z = 1 :
E1 = −13.6 eV
α=
g)
B) Wellencharakter der Ausbreitungseigenschaften atomarer Teilchen:
Welle–Teilchen–Dualismus:
de Broglie-Hypothese 1924.
Experimenteller Beweis: Davisson und Germer 1927
Beugung: Maxima bei
sin θ =
p = h̄k =
h
,
λ
2πh̄
n
xp
E=
h̄2 k 2
2m
Materiewellen!
Monitore
C) Quantisierung des Drehimpulses
Bohrsches Atommodel 1913:
Beugungsbild
Folgerungen:
Postulate:
1. Teilchenbahn nicht genau definiert:
1. Elektronenbahn mit Drehimpuls nh̄ ist eine Kreisbahn: L = mrv = nh̄
2. elektromagnetische Strahlung bei Übergang in eine andere Bahn; ω =
E−E 0
h̄
”Unschärfe”→ Wahrscheinlichkeitsbeschreibung
2. Meßprozeß und Beobachtbarkeit nicht unabhängig ⇒ gleichzeitige Messung mehrerer Eigenschaften nur mit Einschränkung möglich.
5
6
stehende Welle
1.2. Wellenpakete und Unschärferelation
Postulat: Freie Bewegung eines Teilchens mit der Energie E und dem Impuls p
wird durch folgende Wellenfunktion beschrieben:
ψ(x, t) = Aei(kx−ωt)
E=c
p
p2
+
m 2 c2
⇒
2
∆x =
→
√
2α um x = 0
1
∆k = √
2α
um k = k0
(ii) ω = ω(k) :
vp =
vp = c
→
⇒ ∆x · ∆k = 1
p
k=
h̄
Phasengeschwindigkeit
π − x2
e 2α
α
|g(k)|2 = e−2α(k−k0 )
(de Broglie–Welle)
E
ω= ,
h̄
|f (x)|2 =
s
E
ω
=
k
p
eikx e−iωt , ω = ω(k)
propagierendeWelle
m2 c 2
1+ 2 ≥c
p
Mathematische Realisierung des Teilchencharakters bei Wellenbeschreibung
+∞
Z
f (x, t) =
dk g(k) eikx−iωt ,
g(k) um k = k0 konzentriert
−∞
ω(k) = w(k0 ) + (k − k0 )
durch Wellenpakete
d2 ω dω 1
+ (k − k0 )2 2 dk k0 2
dk k0
2
Gauß’sches Paket: g(k) = e−α(k−k0 ) ⇒
(i) ω = 0 :
 
2  




dω 1

−2
  x − dk · t


2 √
ω
d
it
k
 0

i(k0 x−ω(k0 )t)
−
π α+
·exp
f (x, t) = e




2 dk 2 k0

2 



4 α + it2 ddkω2 

k
+∞
Z
f (x) =
dk g(k) eikx
−∞
0
um k = k0 konzentriert.
Phasengeschwindigkeit
z.B. Gauß’sches Paket: g(k) = e−α(k−k0 )
2
Teilchen um x0 =
+∞
+∞
Z
Z
02
0
−α(k−k0 )2 ikx
ik0 x
f (x) =
dke
e
=e
dk 0 e−αk +ik x ,
−∞
−∞
k 0 = k − k0
f (x) = e
ik0 x
x
0 −α(k0 −i 2α
)
dk e
−∞
7
2
e
−x2
4α
=
r
π ik0 x − x2
e 4α
e
α
Gruppengeschwindigkeit
(∆x)2 = α +
→ Wellenpaket zerfließt
8
ω(k0 )
≥c
k0
dω · t konzentriert
dk k0
Ausdehnung des Wellenpaketes:
+∞
Z
vp =
vg =
dω <c
dk k0
1 d2 ω 2
t
4α dk 2 k0
Teilchen mit Impuls p, Energie p2 /2m
vg =
Metrik des Zustandsraumes:
Z
Z
Z
dV |ψ1 + ψ2 |2 = dV ψ1∗ ψ1 + dV ψ1∗ ψ2
Z
Z
+ dV ψ2∗ ψ1 + dV ψ2∗ ψ2
dω p
h̄k
=
=
dk k0
m
m
⇒ ω(k) =
∆x∆k ≥ 1
h̄k 2
2m
Hilbertraum H:
a) H ist linearer Vektorraum der meßbaren (|ψ| < ∞) und normierbaren
⇒ ∆x∆p ≥ h̄
Heisenberg 1926
(|ψ| < ∞) komplexwertigen Funktionen.
b) In H ist ein Skalarprodukt definiert durch:
Ort–Impuls–Unschärfebeziehung
hψ1 |ψ2 i =
1.3. Wellenfunktion und Vektorraum der Zustände
Norm
Cauchy-Schwarzsche Ungl.
tes ist vollständig beschrieben durch eine komplexwertige Wellenfunktion ψ(x, t)
Dreiecksungleichung
zu jeder Zeit.
Nullvektor
Superpositionsprinzip: Falls ψ1 und ψ2 mögliche Wellenfunktionen sind,
dann ist auch ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 (c1 , c2 ∈ C) eine mögliche Wellenfunktion.
Postulat: Die Zustände des quantenmechanischen Systems eines Massepunktes
sind Elemente eines linearen Raumes H (Vektorraum) der Funktionen ψ mit
den üblichen Verknüpfungen der Addition und Multiplikation mit komplexen
Zahlen (nach den Regeln eines Vektorraumes).
Bezeichnung:
dV ψ1∗ (x)ψ2 (x)
hψ1 |ψ2 i∗ = hψ2 |ψ1 i
p
|ψ| = hψ|ψi
komplexe Konjugation
Annahme: Der Zustand eines quantenmechanischen Systems eines Massepunk-
Z
|hψ1 |ψ2 i| ≤ |ψ1 | · |ψ2 |
|ψ1 + ψ2 | ≤ |ψ1 | + |ψ2 |
hψ|ψi = 0 → |ψi Nullvektor
Orthogonalität
ψ1 ⊥ψ2 wenn hψ1 |ψ2 i = 0
c) H ist vollständig, d.h. jede unendliche Folge von Vektoren ψn mit:
|ψn − ψm | → 0
(n, m → ∞)
besitzt einen Grenzwert
ψ = lim ψn ,
n→∞
ψ∈H
Wellenfunktion
ψ(x)
Zustand
ψ
Entwicklungssatz: Es gibt Systeme von abzählbar vielen, paarweise orthog-
Zustandsvektor
|ψi
onalen, normierbaren Vektoren |ϕn i, d.h.
Interpretation: |ψ(x, t)|2 dV gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen zur
R
Zeit t im Volumenelement dV bei x zu finden. Dabei wird dV |ψ(x, t)|2 = 1
angenommen (ψ wird auf 1 normiert).
9
hϕm |ϕn i = δm,n
die eine vollständige Basis in H bilden.
10
für alle m, n,
2. Quantenmechanische Messungen
Jede Zustandswelle ψ ∈ H läßt sich in diese Basis entwickeln:
|ψi =
X
n
cn |ϕn i.
2.1. Erwartungswerte von Ort und Impuls
Erwartungswert
Bezeichnung:
=
Mittelwert in
Die Entwicklungskoeffizienten sind gegeben durch:
gegebenen Zustand
Observable
cn = hϕn |ψi.
=
Ort:
hxi =
Bezeichnung:
x|ψ(x)|2 dV
= hψ|xψi
Der Satz der Entwicklungskoeffizienten cn heißt Darstellung von |ψi in der Basis
{|ϕn i}.
Z
Meßgröße
Impuls:
Wellenfunktion eines freien Teilchens mit dem Impuls p:
Interpretation:
ψp (x) =
Sei
ψ(x) =
X
Z
cn ϕn (x),
n
|ψ(x)|2 dV = 1.
i
1
e h̄ p·x ,
3/2
(2π)
ψ(x) =
Dann folgt aus:
|ψ(x)|2 =
=
XX
m
X
n
ψ̂(k) =
c∗m cn ϕ∗m (x)ϕn (x)
n
2
2
|cn | |ϕn (x)| + gemischte Terme,
daß |cn |2 die Wahrscheinlichkeit ist, den Zustand |ϕn i in |ψi anzutreffen.
Z
d3 k
ψ̂(k)eik·x ,
(2π)3/2
d3 x
ψ(x)e−ik·x .
(2π)3/2
|ψ(k)|2 ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wellenzahlen.
hpi = hψ|pψi
Z
= d3 k h̄ k |ψ̂(k)|2
Z
Z
= d3 k ψ̂ ∗ (k) h̄ k
=
=
Z
Z
3
∗
d k ψ̂ (k)
3
d x
Z
hpi =
11
Z
p = h̄k,
Z
d3 x
ψ(x) e−ik·x
(2π)3/2
d3 x
ψ(x) ih̄ ∇x e−ik·x
(2π)3/2
d3 k
ψ̂ ∗ (k) e−ik·x (−ih̄∇x )ψ(x),
(2π)3/2
R
d3 x ψ ∗ (x) (−ih̄ ∇) ψ(x)
12
Impulsoperator:
p = −ih̄∇x
→ in der Quantenmechanik gibt es nur lineare Operatoren
Ortsoperatoren im Impulsraum:
hxi =
Z
Exkurs über lineare Operatoren
d3 k ψ̂ ∗ (k) (ih̄ ∇k ) ψ̂(k)
x = ih̄ ∇k
Verallgemeinerung:
Erwartungswert ganzer rationaler Funktionen F1 (x) und F2 (p):
hF1 (x)i =
hF2 (p)i =
Z
Z
d3 x ψ ∗ (x) F1 (x) ψ(x)
a) Multiplikation mit komplexen Zahlen(λA) ψ = λ Aψ
b) Addition
(A + B) ψ = Aψ + Bψ
c) Multiplikation
(BA) ψ = B (Aψ)
d) Einheitsoperator 1
1ψ = ψ
e) Inverser Operator A−1
A−1 Aψ = ψ
f) Adjungierter Operator A+
hψ|A+ φi = hA+ ψ|φi
Z
d3 x ψ ∗ (x) F2 (−ih̄ ∇x ) ψ(x)
p2
+ V (x)i
hEi = h
2m
Z
h h̄2
i
= d3 x ψ ∗ (x) −
∇2x + V (x) ψ(x)
2m
dV ψ ∗ (Aφ) =
Z
dV (A+ ψ)∗ φ
(AB)+ = B + A+
Produkt
g) Selbstadjungierter (hermitescher)
A = A+
Operator
2.2. Operatoren physikalischer Größen
⇒ hψ|Aψi =
Def.: Der Operator A ist auf einer Funktionsmannigfaltigkeit {ψ} definiert,
wenn eine Vorschrift A gegeben ist, die jedem ψ aus {ψ} ein ψ 0 aus
=
{ψ} zuordnet mit:
Z
Z
dV ψ ∗ A ψ
dV (Aψ)∗ ψ
∈ R (d.h. reell)
ψ 0 = A ψ.
h) Kommutator
Superpositionsprinzip:
[A, B] = AB − BA
i) Projektor
A(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 Aψ1 + c2 Aψ2 ,
Def.: Ein Operator P , der auf einen Untervektorraum U von H projeziert,
wobei ψ1 , ψ2 Zustände in H, c1 , c2 ∈ C.
13
heißt Projektor.
14
U sei durch die Basis |ln i, n = 1..N , aufgespannt. Dann gilt:
P |ψi =
⇒ P =
X
n
X
n
a) Vertauschungsrelationen
[xi , xj ] = 0
|ln ihln |ψi
[pi , pj ] = 0
|ln ihln |
⇒ P = P +,
P = P2
[xi , pj ] = ih̄δi,j
→ Unschärferelation
Beweis:
∂
∂
−
xi ψ
∂xj
∂xj
∂
∂
ψ − xi
ψ + δi,j ψ
= ih̄ xi
∂xj
∂xj
[xi , pj ] = −ih̄ xi
A sei der Operator einer physikalischen Größe
= ih̄ δi,j ψ
Forderung: Der Erwartungswert hψ|Aψi ist reell.
b) Drehimpuls eines Massenpunktes mit Impuls p:
⇒ A = A+
(hermitesch)
L = x × p,
Li = ijk xj pk
Postulat: Jede Meßgröße der Quantenmechanik ist in eineindeutiger Weise ein
linearer, hermitescher Operator im Hilbertraum der Zustände zuge-
Hermitizität:
+
L+
i = ijk (xj pk )
ordnet.
= ijk pk xj
= ijk (−ih̄δk,j + xj pk )
Produkte von hermiteschen Operatoren
= Li
Satz: Das Produkt AB hermitescher Operatoren A und B ist hermitesch,
Vertauschungsrelationen:
falls [A, B] = 0.
Beweis : (AB)+ = B + A+ = AB
⇔ [A, B] = 0
[Li , Lj ] = ih̄ ijk Lk
Aus zwei nicht vertauschbaren hermiteschen Operatoren A und B lassen sich
[L1 , L2 ] = ih̄ L3
hermitesche Operatoren S und G konstruieren:
[L1 , L1 ] = 0
1
(AB + BA)
2
G = i(AB − BA)
S=
Produkte von Orts- und Impulsoperatoren:
15
16
2.3. Eigenzustände und Eigenwerte von Operatoren
Gegeben sei ein Zustand |ψi. Untersuchen der quadratischen Abweichung
vom Mittelwert hψ|A|ψi = hAi des hermitischen Operators A :
∆A = A − hAi
Mittlere quadratische Abweichung einer physik. Größe:
2
2
h(∆A) i = hψ| (A − hAi) |ψi ≥ 0
Welcher Zustand |ψi erfüllt h(∆A)2 i = 0 ?
Scharfer Zustand
h(∆A)2 i = 0 =⇒ (A − hAi) |ψi = 0
Observable A hat scharfen Wert im Zustand ψ
Def.: Zustände |ψi und komplexe Zahlen λ, die der Gleichung A|ψi = λ|ψi
genügen, heißen Eigenzustände bzw. Eigenwerte des Operators A.
Bezeichnungen: Die Gesamtheit der Eigenwerte heißt Eigenwertspektrum.
Es kann diskret oder/und kontinuierlich sein. Eigenwerte mit r linear unabhänigen Eigenzuständen heißen r-fach entartet.
Satz.: Ist A hermitesch, so sind die Eigenwerte rell und die Eigenzustände
orthogonal.
Beweis:
hψ|Aψi = λhψ|ψi = hAψ|ψi =
(hψ|Aψi)∗ = λ∗ hψ|ψi
A|ψn i = λn |ψn i ⇒
hψ1 |Aψ2 i − hAψ1 |ψ2 i = (λ2 − λ1 )hψ1 |ψ2 i = 0
λ1 6= λ2 ⇒ hψ1 |ψ2 i = 0
Bei Entartung von λn (r-fach) ist die Wahl eines orthonormierten Systems
von r Eigenfunktionen ψn,l
(l = 1..r) mit Aψn,l = λn ψn,l möglich.
17
Eigenschaften des Eigenwertproblems A|ni = λn |ni, A = A†
Orthonormierung:
diskr. Spektrum
hn|mi = δn,m
= δ(n − m)
Vollständigkeit:
X
n
kont. Spektrum
|nihn| = 1
|nihn| ist Projektor
⇒ Eigenvektoren sind Basis
Entwicklung von Zuständen:
X
cn |ni
diskr. Spektrum
|ψi =
n
cn = hn|ψi
Z
|ψi = dn c(n)|ci
kont. Spektrum
c(n) = hn|ψi
Z
X
cn |ni + dm c(m)|mi
|ψi =
n
für Operatoren mit diskr. u. kont. Spektrum
Operatordarstellung bei kont. Eigenbasis:
Z Z
A=
dm dn |nihn|A|mihm|
Z Z
=
dm dn |niδ(n − m)λ(n)hm|
Z
= dn λ(n)|nihn|
Entwicklung von Operatoren:
hn|A|mi = λn δnm
(Matrixelement)
X
XX
A=
λn |nihn| =
|nihn|A|mihm|
n
n
m
Darstellung des Operators A in (diskr.) Eigenbasis
18
f (A) =
X
Ortsdarstellung: Basis {|xi}:
f (λn )|nihn|
n
z.B. A2 =
X
n
=
λn |nihn| ·
XX
n
m
X
m
|ψi =
λm |mihm|
λn λm |niδnm hm| =
X
n
λ2n |nihn|
(Falls gilt
R
Z
Z
dx |xihx|ψi =
dx ψ(x)|xi
dx|xihx| =1 wie vorausgesetzt)
Operatordarstellung in {|xi} Basis (x–Darstellung):
Eigenwertprobleme
Beispiele:
a) Eigenzustände des Impulsoperators p in einer Dimension:
p|pi = p|pi ⇔ −ih̄
d
ψp (x) = pψp (x)
dx
1
i
⇒ ψp (x) = √ exp( px)
h̄
2π
A=
Z
dx
Z
dx0 |x0 ihx0 |A|xihx|
hx0 |A|xi:
Matrixelemente
Beispiel Potential: hx0 |V(x)|xi = V (x)δ(x − x0 )
Impulsdarstellung: Basis {|pi}:
Das erfüllen alle reellen p ⇒ kont. EW–Spektrum σk (p) = {−∞ ≤ p ≤ +∞}
Z∞
Normierung:
dx ψp∗ (x)ψp0 (x) = δ(p − p0 )
|ψi =
Z
dp |pihp|ψi =
Z
dp ψ(p)|pi
−∞


Z∞
−∞
Beispiel kinetische Energie:

eikx dx = 2πδ(k)
hp|
b) Eigenzustände des Ortsoperators x in einer Dimension:
x|xi = x|xi ⇔ ih̄
p2 0
p2
|p i =
δ(p − p0 )
2m
2m
d
ψx (p) = xψx (p)
dx
1
i
⇒ ψx (p) = √ exp(− px)
h̄
2π
2.4. Unbestimmtheitsrelation
ebenfalls kontinuierl. EW–Spektrum σk (x) = {−∞ ≤ x ≤ +∞}
Z∞
Normierung:
dp ψx∗ (p)ψx0 (p) = δ(x − x0 )
−∞
∗
Es ist ψp (x) = (ψx (p)) = (hp|xi)∗
⇒
Eigenzustände |pi bzw. |xi bilden vollständige Basis
19
ψp (x) = hx|pi
Def: Im Zustand ψ hat die physikalische Größe A den Wert λ, wenn hAi = λ
und h(∆A)2 i = 0 (∆A = A − hAi) .
Satz: A hat genau den Wert λ im Zustand ψ, wenn λ Eigenwert zu A ist
und ψ Eigenzustand.
20
Beweis:
Für welche Zustände gilt das Gleichheitszeichen?
Sei A|ni = λn |ni
|φi = −
h(∆A)2 i = hψ|(A − hAi)2 |ψi
X
hψ|(A − hAi)2 |ψi
=
=
n
2
2
(λn − λ) (hn|ψi) = 0
hn|ψi = 0 für n = n0 ⇒ λ = λn0
⇒
Satz: Zwei Größen A und B mit [A,B]= iC können nicht simultan scharfe
Zum Beispiel: A=x,
1
hCi2
4
B=p
∂
ip0
x − x0
+
−
2h(∆x)2 i ∂x
h̄
ψ(x) = 0
Differentialgleichung
Werte haben, falls C6=0. Es gilt die Unschärferelation:
h(∆A)2 i · h(∆B)2 i ≥
hCi∆A
+ i∆B |ψi = 0
2h(∆A)2 i
Ort und Impuls: ∆A = x − x0 , C = h̄
∂
− p0
∆B = −ih̄
∂x
n
X
2
ψ(x) = 2πh(∆x) i
−1/4
(x − x0 )2
p0 x
exp −
+i
4h(∆x)2 i
h̄
In diesen Zuständen gilt:
2
⇒ h(∆x)2 ih(∆p)2 i ≥
h̄
4
h(∆x)2 ih(∆p)2 i =
h̄2
4
Das ist die Heisenbergsche Unschärferelation.
Beweis:
2.5. Bestimmung des Zustandes eines quantenmechanischen Sys-
|φi = (µ∆A − i∆B)|ψi,
µ∈R
hφ|φi = hψ|(µ∆A + i∆B)(µ∆A − i∆B|ψi
Postulat: Der Zustand eines quantenmech. Systems ist durch die Werte
= µ2 h(∆A)2 i + h(∆B)2 i − µih[∆A, ∆B]i
eines vollständigen Systems unabhängiger physikalischer Größen, deren Oper-
= µ h(∆A) i + h(∆B) i + µhCi
2
hCi
hCi2
2
2
≥0
= h(∆A) i µ +
+
h(∆B)
i
−
2h(∆A)2 i
4h(∆A)2 i
atoren miteinander vertauschen, festgelegt. Die Werte sind die Eigenwerte der
2
Für µ = −
tems
hCi
2h(∆A)2 i
2
2
folgt die Behauptung.
Zwei Eigenwerte sind genau dann in jedem Zustand ψ simultan scharf
meßbar, d.h. h(∆A)2 i = 0 und h(∆B)2 i = 0, wenn A und B vertauschen,
[A,B]= 0.
Operatoren in diesem Zustand.
Def.: Ein Satz vertauschbarer Operatoren ist vollständig, wenn die simultanen Eigenzustände eindeutig bestimmt sind, d.h. wenn der Satz der zuge
hörigen Eigenwerte nicht entartet ist.
Im allgemeinen gibt es verschiedene vollständige Sätze von Operatoren
z.B. freies Teilchen:
21
22
a) Impulskomponenten p1 , p2 , p3
A H R ⊗ HL
XX
A=
Anm |ϕn ihϕm |
Darstellung von A:
b) E, Drehimpulsquadrat L2 und eine Projektion des Drehimpulses auf eine
n
Achse (meist z) Lz .
A|ψi (HR ⊗ HL ) · HR HR
Bezeichnung: Im Falle des diskreten Spektrums bilden die Eigenwerte einen
hψ|A HL · (HR ⊗ HL ) HL
vollständigen Satz von Quantenzahlen.
Matrixdarstellung Anm :
Wiederholung:
Einheitsoperator:
Rechtsvektoren
|ψi HR
bra
Linksvektoren
hΦ| HL
ket
Anm = hϕn |A|ϕm i
Anm = δn,m ⇒ 1 =
X
A|ψi = A
cl |ϕl i
Zustandsvektoren im Hilbertraum:
=
=
|ψ 0 i =
XXX
n
m
n
m
XX
P
|ψi =
hψ| =
⇒ hϕn |ψi =
n
X
m
=
Darstellung von |ψi
X
n
X
n
|ϕ̃n i =
c∗n hϕn |
hϕ̃n | =
cm hϕn |ϕm i
hϕ̃n |ϕ̃m i =
= cn
c∗n
l
|ϕm ihϕn |
Anm cl |ϕn ihϕm |ϕl i
Anm cm |ϕn i
0
n cn |ϕn i,
Basiswechsel:
Basis: |φn i, hϕn |
n
n
c0n = Anm cm
→ Matrizenmultiplikation
hΦ|ψi
hϕm |ϕn i = δm,n
X
|ψi =
cn |ϕn i
P
l
Skalarprodukt: Abbildung HL · HR → C
X
m
=
= hψ|ϕn i
X
m
X
m
cn |ϕn i
c̃n |ϕ̃n i
Unm |ϕm i
∗
Unm
hϕm |
XX
k
X
l
∗
hϕl |ϕk i Unl
Umk
∗
Unk
Umk
k
Operator:
A : |ψi HR → |ψ 0 i HR
hψ| HL → hψ 0 | HL
23
⇒
X
= δn,m
∗
Unk
Umk = δn,m
k
⇒ U +U = 1
Unitäre Matrix (U −1 = U + )
24
+
c̃∗n = c∗m Unm
⇒ c̃n = Unm cm ,
(Multiplikation mit unitärer Matrix)
Operator:
+
Ãnm = Unl
Alk Ukm ,
Eigenwertproblem:
λn - Eigenwert,
hm|ni = δm,n
Ã = U + AU
Impulsoperator p̂: Eigenwerte p
Z
p 0
1
ei h̄ x
hx|pi = dx0 δ(x − x0 ) √
2π
1
i px
=√
e h̄
2π
A|ni = λn |ni
|ni - Eigenvektor
→
3. Zeitliche Entwicklung quantenmechanischer Zustände
Basis
A=
XX
m
n
3.1. Schrödingergleichung
Anm |ϕn ihϕm |
X
|ni =
m
A=
m
=
X
n
⇒
n
ih̄
∂
ψ(~r, t) =
∂t
=
|nihn|A|mihm|
=
λn |nihn|
ih̄
(Diagonalisierung von (Alk ) )
Übergang von der Eigenbasis |ni von A in die Eigenbasis |ñi des Operators B:
|ψi =
Z
Z
Z
Ep
~
h̄
=
p
~2
2mh̄
1
d3 p g(p)ei( h̄ ~rp~−t
Ep
h̄
)
1
d3 p g(p) Ep ei( h̄ ~rp~−t
d3 p g(p)
p̂2
ψ(~r, t)
2m
Ep
h̄
)
1 h̄ ~ 2 2 i( 1 ~rp~−t Ep )
h̄
5 e h̄
2m i
Naheliegende Verallgemeinerung:
+
λn δn,m = Unl
Alk Ukm
|ψi =
ω=
ψ(~r, t) =
Unm |ϕm i
Darstellung in Eigenbasis:
XX
~k = p~ ,
h̄
Wellenpaket:
X
n
X
n
cn |ni
h h̄2
i
∂
~ 2 + V (~r) ψ(~r, t)
ψ(~r, t) = −
5
∂t
2m r
für ein Teilchen mit der Masse m und dem Potential V (~r).
Postulat: Die Zeitentwicklung eines Zustands ψ ist gegeben durch die Diffenrentialgleichung 1.Ordnung:
c̃n |ñi
cn = Unm cm
ih̄
∂
∂t ψ(t)
= H(t) ψ(t).
Der lineare, hermitesche Operator H heit Hamiltonoperator (entspricht der
Operator A: Eigenfunktionen |ϕλn i
Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik).
25
26
Satz: Die Zeitentwicklung erfolgt so, daß die Metrik invariant ist, d.h.:
hψ(t)|Φ(t)i = hψ(t0 )|Φ(t0 )i.
Speziell:
hψ(t)|ψ(t)i = 1,
Beweis:
ih̄
R
dx |ψ(x, t)|2 = 1
∂
hψ|Φi = −hHψ|Φi + hψ|HΦi
∂t
= −hψ|H + Φi + hψ|HΦi
3.2. Stationäre Zustände
Voraussetzung
=0
H Energieoperator
Die möglichen Eigenwerte von H sind Energieeigenwerte. Das Spektrum
des Operators H (also die Menge der Energieeigenwerte) kann diskret und/oder
kontinuierlich sein.
H|ni = En |ni
X
H=
En |nihn|
=0
n
Separation der Variablen
Wahrscheinlichkeitsdichte
ρ(~r, t) = ψ ∗ (~r, t)ψ(~r, t)
∂
ρ(~r, t) + div~j = 0
∂t
∂
∂t H
H zeitunabhängig
~j : Wahrscheinlichk.stromdichte
~j = h̄ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
2mi
Zeitentwicklung: |ψ(t)i =
⇒
X
n
ih̄
X
cn (t)|ni
n
X
∂
cn (t)H|ni
cn (t)|ni =
∂t
n
X
=
cn En |ni
n
Beweis:
∂
∂
∂ ∗
ψ ψ = ψ∗ ψ + ψ ψ∗
∂t
∂t
∂t
2
2
~p
~p
1
1
= ψ∗
+V ψ− ψ
+ V ψ∗
ih̄
2m
ih̄
2m
~
i p
pψ − ψ~pψ∗)
=
(ψ ∗ ~
ih̄ 2m
h̄
∇ (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
=−
2mi
= −div~j
⇒
ih̄
∂
cn (t) = En cn
∂t
cn (t) = an e−iωn t
, ωn =
En
h̄
Erwartungswerte im Zustand |ψn (t)i = e−iωn t |ni
hAi = hψn (t)|A|ψn (t)i
= eiωn t hn|A|nie−iωn t
= hn|A|ni
Erwartungswerte zeitunabhängig ⇒ ψn (t) stationäre Zustände.
27
Grundzustand (tiefste Energie)
E 0 , ψ0
Angeregte Zustände
E n ≥ E0
28
Energieniveaus
V (x)
3.3. Extremaleigenschaften der Energieeigenwerte
H, Eigenwerte En , Eigenzustände |ni
H|ni = En |ni hn|mi = δn,m
3.4. Zeitliche Änderung der Erwartungswerte
Satz 1:Minimaleigenschften des Grundzustandes
E0 = minψ {hψ|H|ψi},
hψ|ψi = 1
Beweis:
hψ|H|ψi =
=
X
n
X
n
En hψ|nihn|ψi ≥ E0
⇒ hψ|H|ψi ≥ E0
hψ|H|nihn|ψi =
X
n
hψ|nihn|ψi
Observable A, Erwartungswert hψ|A|ψi = hAi
∂
∂
∂
d
hAi = hψ| A|ψi + h ψ|A|ψi + hψ|A| ψi,
dt
∂t
∂t
∂t
∂
−1
1
= hψ| A|ψi + hψ|
H A|ψi + hψ|A H|ψi
∂t
ih̄
ih̄
∂
1
= hψ| A + [A,H]|ψi
⇒
∂t
ih̄
∂
ih̄ |ψi = H|ψi
∂t
d A = ∂ A + 1 [A,H]
dt
∂t
ih̄
Satz 2: Extremaleigenschaften angeregter Zustände
Def: Eine Observable A, die nicht explizt von der Zeit abhängt
∂
∂t A
=0
und mit dem Hamiltonoperator vertauscht ([A,H] = 0) heißt”Konstante der
En0 = minψ {hψ|H|ψi},
hψ|ψi = 1
Bewegung”. Der Erwartungswert hAi in einem beliebigen Zustand ist zeitun-
abhängig.
, i = 0, .., n0 − 1
hψ|ii = 0
Bsp.:
Bewegung eines Teilchens in einer Dimension
kinetische Energie:
h̄
p2
i=
h
2m
2m
Z
2
3
|∇ψ| d x ≥ 0
ψ(~x) soll möglichst kleine Änderung haben
potentielle Energie:
hVi =
Z
ψ ∗ (x)Vψ(x) dx
p2
+ V(x),
[x,p] = ih̄1,
2m
1
p
= [x,H] =
ih
m
1
dV
= [p,H] = −
ih̄
dx
dV
=−
dx
H=
⇒
dx
dt
dp
dt
2
d x
m 2
dt
[x,p2 ] = 2ih̄p
Das sieht zwar genau wie eine klassische Bewegungsgleichung aus, ist aber eine
2
|ψ| groß im Bereich mit kleinem V
Operatorgleichung.
29
30
Erwartungswert und Entwicklung von x um x0 = hxi,
∆x = x − x0 1.
klassischer Limes h̄ → 0
→Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung der Wirkungsfunktion.
d2
dV (x0 ) 1 d3 V (x0 )
dV
m 2 x0 = −h
i=−
−
h(∆x)2 i
dt
dx
dx0
2 dx30
S0 (~r, t) =
Zt
L(~r,
d~r 0
, t ) dt0
dt0
L(~r,
d~r 0
, t ) Lagrangefunktion
dt0
t0
mit
dV
d2 V (x0 )
1 d3 V (x0 )
dV (x0 )
1+
∆x +
∆x2
=
2
dx
dx0
dx0
2 dx30
(Bahnkurve eines Teilchens ist in der klassischen Mechanik normal zur Fläche
S0 = const.)
Näherungsweise klassisch, falls gilt:
Impuls
3 dV 1 d V h(∆x)2 i
3
dx0 2 dx0 p~ = ∇S0 ,
hpi2
p2
i=
2m
2m
⇒
und die kinetische Energie groß ist.
∂S0
∂t
h̄∇2 S (∇S)2
1 dλ
1
2π dx
h(∆p)2 i hp2 i
Die klassische Beschreibung ist möglich, wenn das Potential glatt
E=−
klassische Näherung gut für
und
für klassische Beschreibung muß weiterhin gelten:
h
Energie
d3
dx3 V
klein
⇔
p
dV mit p = 2m(E − V )
p mh̄ dx
3
2π
p
=
h̄
λ
stationäre Zustände:
S(~r, t) = σ(~r) − Et
3.5. Quasiklassische Näherung
Entwicklung vonσ(~r) nach h̄:
Beschreibt den Übergang von der Quantenmechanik zu klassischen Mechanik.
(Analogie: Übergang von der Wellenoptik zur Strahlenoptik)
Wellenfunktion eines Teilchens
σ = σ0 +
h̄
σ1 +
i
2
h̄
σ2 + · · ·
i
ih̄ 2
1
(∇σ)2 + V (~r) − E −
∇ σ=0
2m
2m
⇒ gekoppeltes Gleichungssystem:
ψ(~r, t) = e
⇒
i
r,t)
h̄ S(~
,
S(~r, t) komplexe Funktion
1 (∇S)2 + V (~r) − ih̄ ∇2 S
− ∂S = 2m
2m
∂t
31
1
(∇σ0 )2 + V (~r) − E = 0
2m
1
1 2
(∇σ0 )(∇σ1 ) +
∇ σ0 = 0
m
2m
(∇σ1 )2 + 2(∇σ0 )(∇σ2 ) + ∇2 σ1 = 0,
32
usw.
Bsp.:
1 Dimension
die Lösung der exakten Schrödingergleichung.
dσ0
=±
dx
⇒ σ0 (x) = ±
p
2m(E − V (x))
Zx
x0
p
1 dλ
1
2π dx
2m(E − V (x)) dx
(3)
1 σ 00
1 ∂
dσ1
= σ10 = − 00 = −
(ln σ00 )
dx
2 σ0
2 ∂x
1
⇒ σ1 = − ln(σ00 ) + const.
2
Wellenfunktion bis 0(h̄2 )


 x




i Z
 i Zx
1 
ψ(x) = p
p(x0 ) dx0 + c2 exp −
p(x0 ) dx0 
c1 exp


 h̄
 h̄
|p|
0
Impuls
(1)
0
p(x) =
p
|x − xi | ⇒
⇒
p(x) imaginär
0
0
Wellenfunktion nimmt in den verbotenen Bereich hinein exponentiell ab. Für
Anschlußbedingungen i.a. exakte Lösung bei den Umkehrpunkten nötig.
2m(E − V (x)) = σ00
0
1
⇒ |ψ(x)| ∼ 2
p
E = V (xi )
→
p(xi ) = 0
|ψ(x)| → ∞ für x → xi
Quasiklassische Näherung ist bei kleinen Impulsen unbrauchbar. Das erfordert
33
p(x) = ik(x)


 x




i Z
 i Zx
1 
p(x0 ) dx0 + c2 exp −
p(x0 ) dx0 
ψ(x) = p
c1 exp


 h̄
 h̄
|p|
klassisch erlaubter Bereich E > V (x)
p(x) ist reell.

 x
Z
A
1
p(x0 ) dx0 + const.
⇒ ψ(x) = √ sin 
p
h̄
Umkehrpunkte xi :
Näherung gültig
klassisch verbotener Bereich bei E < V (x)
2
(2)
λ
4π
34
II. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK
4.2. Freie Bewegung
4. Eindimensionale Probleme
V (x) = 0
4.1. Separation der dreidimensionalen Schrödingergleichung
(const.)
2mE
d2
ψ(x) = − 2 ψ(x)
dx2
h̄
Teilchen der Masse m, Potential V (~x)
Sei
V (~x) = V1 (x1 ) + V2 (x2 ) + V3 (x3 ) .
ψ(x) = C1 e
So kann die Schrödingergleichung
h̄2
∂
(∂ 2 + ∂22 + ∂32 ) ψ + (V1 + V2 + V3 ) ψ
ih̄ ψ = −
∂t
2m 1
durch einen Produktansatz gelöst werden:
ψ (~x, t) = ψ
(1)
(x1 , t) · ψ
(2)
−
− 2mE
2 x
h̄
+ C2 e
−
p
− 2mE
2 x
h̄
ψ wächst exponentiell
⇒ C 1 , C2 = 0
→
ψ(x) = 0
E>0
(x2 , t) · ψ
(3)
(x3 , t)
⇒ Eindimensionale Eigenwertprobleme
h
E<0
p
ψ(x) = C1 sin(kx) + C2 cos(kx),
k=
de-Broglie-Wellen
i
h̄2 2
∂i + Vi (xi ) ψn(i)i = Eni ψn(i)i ,
2m
Eigenwertspektrum kontinuierlich:
i = 1, 2, 3
E=
Ist ψni (xi ) ein vollständiges Sytem von Eigenzuständen, so ist
h̄2 k 2
2m
(x1 ) ψn(2)
(x2 ) ψn(3)
(x3 )
ψn1 n2 n3 (~x) = ψn(1)
1
2
3
4.3. Das diskrete Spektrum
ein vollständiges System.
t
ψ(~x, t) = e−iE h̄
3
Y
Potential V (x):
ψn(i)i (xi )
i=1
E = E n1 + E n2 + E n3
a) V ≥ V0
b) lim V (x) = V±
x→±∞
35
36
−∞<k <∞
r
2mE
h̄2
Beweis:
d
2m ψ(x) = 2 V (x) − E ψ(x)
2
dx
h̄
2
lim ψ(x) = 0
E = hψ|Hψi
Z
p̂2
+
dx V (x) |ψ(x)|2
=
2m
p̂2
+ min{V (x)}
≥
2m
(N ormierbarkeit)
x→±∞
Sturm-Liouville-Eigenwertproblem
Satz 4:
Satz 1: Die Eigenfunktionen sind reell wählbar.
E < V∞ = min{V+ , V− }
Beweis:
∗
Beweis: Mit ψ ist auch ψ Lösung, da V (x) reell.
lim ψ(x) = lim c e
x→±∞
Satz 2: Die Eigenwerte sind nicht entartet.
Betrachte Wronski-Determinante:
ψ1
W (ψ1 , ψ2 ) = 0
ψ1
W ist unabhängig von x:
ψ2 = ψ1 ψ20 − ψ2 ψ10
ψ0 E < V+
p 2m
h̄2
Verteilung der diskreten Eigenwerte:
lim ψ(x) = 0,
x→±∞
ψ1 ψ20 − ψ2 ψ10 = 0,
⇒
E ≥ min{V (x)} +
ψ 00
2m = 2 V (x) − E < 0
ψ
h̄
W =0
d
d
ln ψ1 =
ln ψ2
dx
dx
ψ 00 = 0
oszillierendes Verhalten
→
ψ=0
(II) nicht-klassischer Bereich: E < V (x)
ψ 00
>0
ψ
ψ1 = c ψ 2
ψ von x-Achse weggekrümmt
p̂2
2m
→ monotones Verhalten
37
V 0 < E < V∞
(I) klassisch erlaubter Bereich: E > V (x)
Wendepunkt:
38
=0
E < V−
ψ zu x-Achse gekrümmt
Wegen
⇒
(V± −E) x
2
dW
= ψ1 ψ20 − ψ2 ψ10
dx
2m = ψ1 ψ2 2 V (x) − E − V (x) + E
h̄
=0
Satz 3:
x→±∞
⇒
Beweis: Seien ψ1 und ψ2 Lösungen mit gleichem E.
∓
Satz 5: Eigenfunktionen ψn nach steigenden Energien E0 < E1 < E2 .
Speziell:
Die n-te Eigenfunktion hat (n − 1) Nullstellen (Knoten), zwischen denen min-
V (x) =
destens eine Nullstelle jeder höheren Eigenfunktion fällt.
lim ψ(x) = lim C e
Anzahl der Knoten im klassisch erlaubten Bereich:
2 φ(x2 ) − φ(x1 )
N∼
=
2π
11
Nmax ∼
=
π h̄
dx
x1
p
∞ |x| > a
0
V →∞
−
V →∞
Symmetrie des Potentials
p 2m
h̄2
2m(V∞ − V (x))
Im Bereich |x| ≤ a,
k=
q
2m
E
h̄2
:
k
ψ−
= C sin(kx)
Randbedingung: ψ(±a) = 0
ganz allgemein gilt für
i = 1..N
ist groß → unwichtig)
n± =
1, 3, 5...
ψi (x) = C1 e
ki x
2, 4, 6...
+ C2 e
ψ stetig, differenzierbar
39
,
ki =
r
k± =
Energieeigenwerte:
E0 =
h̄2 00
ψ + V i ψi = E i ψi
2m i
−ki x
⇒
π
n±
2a
1
Normierung: C = √
a
E n = E 0 n2 ,
−
|x| > a
V (x) = V (−x)
k
ψ+
= C cos(kx),
Der unendlich tiefe Kasten als Beispiel eines diskreten Spektrums:
( dV
dx
=0
ψ± (x) = ± ψ± (−x)
4.4. Stückweise konstante Potentiale
xi < x < xi+1 ,
(V −E) |x|
→ Eigenfunktionen haben bestimmte Parität:
Anzahl der gebundenen Zustände
V (x) = Vi
|x| ≤ a
Aus der Normierbarkeit folgt:
ψ = |ψ| eiφ(x)
Zx2
2m
2 Vi − E
h̄
40
h̄2 π 2 1
8m a2
von links:
4.5. Kontinuierliches Spektrum
lim ψkl = eikx + rl (k) e−ikx
x→−∞
Potential V (x) :
lim V (x) = V±
x→±∞
(V− = 0)
lim ψkl = Sl (k) eipx
x→+∞
von rechts:
lim ψkr = e−ipx + rr (k) eipx
x→+∞
lim ψkr = Sr (k) e−ikx
x→−∞
dV
=0
dx
|x| > x0
Wellenpaket ϕ(k) um k = k0 konzentriert.
von links:
Asymptotisches Verhalten:
x → −∞ :
ψk (x) = a e
ikx
+ be
−ikx
,
k=
r
x → −∞
2mE
h̄2
E = En
1. Term:
l
ψ (x, t) =
Z
t
dk ikx
√
+ rl (k) e−ikx e−iEk h̄
e
2π
hxi = h̄ kmo t
2. Term: Phase
x → +∞ :
ψk (x) = c eipx + d e−ipx ,
p=
r
k2
rl (k) = |rl (k)| eiθl
2mV+
−
h̄2
Entwicklung
Wellenpakete:
ψ(x, t) =
Z
θl = θl (k0 ) + (k − k0 )
t
dk
√
ϕ(k) ψk (x) e−iEn h̄
2π
Linear unabhängige Lösungen, die von links bzw.
Wellen entsprechen.
rechts einfallenden
⇒
entgegengesetzte Richtung
41
hxi = −
dθl dk k0
dθl h̄k0
t +
m
dk k0
42
t → −∞
WT = lim
h̄k0
v=
m
t→+∞
=
Z
Z∞
0
dx |ψd (x, t)|
dk 2
dp |ϕ Sl
|
dp
2
=
= lim
Z
Z∞
t→+∞
−∞
dx |ψd (x, t)|2
dk |ϕ(k)|2 |Sl (k)|2
dk
dp
p
dk
=
dp
k
Transmissionsvermögen:
t → +∞
v=−
h̄k0
m
h̄p
m
v0 =
T (k) = |Sl (k)|2
p(k)
k
Streulösungen der eindimensionalen Schrödingergleichung
Satz 1: a) Gilt E < V+ , so R = 1 (Totalreflexion)
b) Gilt E > V+ , so R + T = 1 (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit)
Streuwahrscheinlichkeit:
Beweis a) p = ik, k reell
Wronski-Determinante:
1) einlaufende Welle: t → −∞
Wahrscheinlichkeit:
Z∞
W0 = 1 = lim
t→−∞
−∞
dx |ψ l (x, t)|2 =
Z
W (ψl , ψl∗ ) = ψl
dk |ϕ(k)|2
x → −∞ ⇒ (eikx + re−ikx )(−ik)(e−ikx − reikx )−
(ik)(eikx − re−ikx )(e−ikx + reikx )
2) reflektierte Welle: t → +∞
Wr = lim
Z∞
t→+∞
−∞
d ∗
d
ψ − ψl∗ ψl
dx l
dx
dx |ψ l (x, t)|2 =
Z
= − 2ik(1 − |r(k)|2 )
=0
dk |ϕ(k) rl (k)|2
Die Wronski-Determinante ist unabhängig vom Ort.
Reflexionsvermögen:
R(k) = |rl (k)|2
3) Durchgehende Welle: t → +∞
Z
t
dk
√
ψd (x, t) =
ϕ(k) Sl (k) eipx e−iEk h̄
2π
Z
dp dk i(px−ω k )
t
ϕ(k) Sl (k)
e
=
2π
dp
43
Sl e−ikx = 0
x → +∞
Satz 2: Es gilt p Sl = k Sr (p, k reell)
Beweis: Die Streuwahrscheinlichkeit hängt nicht von der Richtung ab.
Tl = |Sl |2
ω=
En
h̄
Satz 3: Phase(Sl ) = Phase(Sr )
44
p
k
= |Sr |2 = Tr
k
p
V0 < 0
4.6. Endlicher Kasten, Resonanzzustände, Tunneleffekt
Fortsetzung der gebundenen Zustände ins Kontinuum
V (x) =
V0
0
|x| ≤ a
|x| > a
ψI = eikx + r e−ikx
ψII = c1 e
ipx
+ c2 e
−ipx
p=
ψIII = S eikx
r
2m
(E − V0 )
h̄2
5. Der harmonische Oszillator
5.1. Der eindimensionale harmonische Operator
Anschlußbedingungen:
e−ika + r eika = c1 e−ipa + c2 eipa
p
c1 e−ipa − c2 e−ipa
e−ika − r eika =
k
ika
S e = c1 eipa + c2 e−ipa
p
c1 eipa − c2 e−ipa
S eika =
k
(3), (4) ⇒
c1,2 =
(1), (2) ⇒
−ika
2e
k
1 ∓ipa
S eika 1 ±
e
2
p
= c1 e
−ipa
p
p
1+
+ c2 eipa 1 −
k
k
4E|E − V0 |
⇒ T = |S| =
4E|E − V0 | + V02 | sin(2pa)|2
ψ(−a) (1)
Ein Teilchen der Masse m befindet sich im harmonischen Potential
ψ 0 (−a) (2)
V (x) =
ψ(a) (3)
ψ 0 (a) (4)
m 2 2
ω x
2 0
ω0 ... klassische Oszillatorfrequenz
Stationäre Schrödingergleichung:
h
−
m 2 2i
h̄2 d2
+
ω x ψ̃(x) = E ψ̃(x)
2m dx2
2 0
charakteristische Länge:
x0 =
r
h̄
,
ω0 m
ξ=
x
x0
ψ̃(x) = ψ(ξ)
charakteristische Energie:
2
1
h̄ ω0 ,
2
Potentialwall V0 > 0
Resonanzzustände: T = 1, p =
π
2a n,
n = 1, 2, ....
45
⇒
ε=
1
2
E
h̄ ω0
d2
ψ(ξ) + ε − ξ 2 ψ(ξ) = 0
2
dξ
46
Asymptotisches Verhalten:
Spektrum diskret
d2
ψ = ξ 2 ψ,
dξ 2
ψ(ξ) ∼ e∓
ξ2
2
1 + 0(ξ)
Ansatz für Eigenfunktionen:
ψE (ξ) = e−
ξ2
2
Hermite’sche Differentialgleichung
Potenzreihenansatz:
∞
X
En+1 − En = h̄ ω0
n-ter angergeter Zustand enthält n Oszillatorquanten.
Hε (ξ)
d
d2
Hε − 2ξ
Hε + (ε − 1) Hε = 0
2
dξ
dξ
Hε (ξ) =
En äquidistant:
nur gebundene Zustände (lim|x|→∞ V = ∞)
↔
Zustände haben positive oder negative Parität (Potential invariant unter x →
−x)
H0 (ξ) = 1,
cn ξ n
H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2,
H1 (ξ) = 2ξ,
H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ
n=0
Rekursionsformel:
für allgemeines ε:
lim Hε (ξ) = eξ
2
ξ Hn (ξ) = n Hn−1 (ξ) +
ξ→∞
Endliche Lösungen: spezielles ε : ε = 2n + 1
→
d
Hn = 2n Hn−1 (ξ)
dξ
n = 0, 1, 2...
Potenzreihe bricht ab.
Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert von ξ im Zustand n:
Hermite’sche Polynome Hn (ξ):
Rodriguez-Formel:
M ittelwert
Hn (ξ) = (−1)n eξ
2
2
d
e−ξ
n
dξ
2
1
h̄ ω0 ,
En = n +
2
ψn (x) = cn e
− 12
x
x0
Normierung:
c n = p√
2
π
ξψn =
x
Hn
x0
ξ 2 ψn =
− 12
{ψn }: vollständiges Orthonormalsystem
47
n!
2
Z∞
x0
⇒
r
dξ ψn2 (ξ) ξ = 0
−∞
h∆ξ in = hξ in =
n = 0, 1, 2...
1
2n
hξin =
n
Energieeigenwerte:
Eigenfunktionen:
1
Hn+1 (ξ)
2
Z∞
dξ ψn (ξ) ξ 2 ψn (ξ)
−∞
n
ψn−1 +
2
r
n+1
ψn+1
2
1p
1
1p
n(n − 1) ψn−2 + n +
(n + 1)(n + 2) ψn+2
ψn +
2
2
2
hξ 2 in = n +
48
1
2
hx2 in = n +
⇔
⇒
En = m ω02 hx2 in
1 h̄
1 2
x
= n+
2 m ω0
2 0
analog der klassischen Formel
Grundzustand:
E0 =
a|0i = 0
Angeregter Zustand:
|ni = cn (a+ )n |0i
Allgemeines Matrixelement:

1

h̄
n 2

δm,n−1
m ω0 2
hψn |x|ψm i = 1

 h̄(n+1) 2 δ
2m ω0
En = h̄ ω0 n +
Beweis:
Nebenrechnung:
i
h
a+ a (a+ )n |0i = (a+ )2 a(a+ )n−1 + (a+ )n |oi
h
i
= (a+ )n+1 a + n(a+ )n |0i
1 + n
= h̄ ω0 n +
(a ) |0i
2
Erzeugung:
1 x
i
a+ = √
− x0 p
h̄
2 x0
Vernichtung:
1 x
i
a= √
+ x0 p
h̄
2 x0
⇒
+
1
2
h
i
1
H (a+ )n |0i = h̄ ω0 a+ a (a+ )n + (a+ )n |0i
2
m,n+1
5.2. Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
a+ a |ni = n |ni
Quantenzahloperator:
N = a+ a
[a, a ] = 1
Normierung:
Hamiltonoperator:
hn|ni = 1 = c2n h0|an (a+ )n |0i
m 2 2
p2
+
ω x
2m
2 0
1
= h̄ ω0 a+ a +
2
= c2n n h0|an−1 (a+ )n−1 |0i
H=
hΦ|H|Φi :
h̄ ω0
:
2
1
1
h̄ ω0 hΦ|a+ a + |Φ ≥ h̄ ω0
2
2
⇒
⇒
= c2n n!
1
cn = √
n!
Besetzungsdarstellung:
a |ni =
hΦ|a+ a|Φi = haΦ|aΦi ≥ 0
49
+
a |ni =
√
√
n |n − 1i
n + 1 |n + 1i
50
Übergang zur Ortsdarstellung:
Energieeigenwerte:
1 a= √
ξ+
2
1 ξ−
a+ = √
2
1
(a+ )n
ψn =
n!
3
En1 n2 n3 = h̄ ω0 (n1 + n2 + n3 + )
2
∂ ∂ξ
∂ ∂ξ
Grundzustand:
ψ0
Allgemein: Zustände mit gleicher Quantensumme n = n1 + n2 + n3 sind ener-
n1 = n2 = n3 = 0,
E0 =
3
2
h̄ ω0
erster angergter Zustand: dreifach entartet
getisch entartet.
Bedingung
aψ0 = 0
→
Differentialgleichung:
Entartungsgrad:
1
σn = 3 + 3(n − 1) + (n − 1)(n − 2)
2
1 2
n≥1
= (n + 3n + 2),
2
∂ ψ0 (ξ) = 0
ξ+
∂ξ
ψ0 (ξ) = N0 e−
⇒
ξ2
2
∂ n − ξ 2
ψn ∼ ξ −
e 2
∂ξ
2
(6)
gerade
1
(3)
ungerade ψ(~x) = ψ(−~x)
0
(1)
gerade ψ(~x) = ψ(~x)
(Äquivalent zu Rodriguez-Formel!)
5.3. Der dreidimensionale isotrope harmonische Oszillator
V (~x) =
m 2 2
ω ~x ,
2 0
Separationsansatz, da
~x = (x1 , x2 , x3 ),
~x2 = x2
III. BEWEGUNG EINES TEILCHENS IM ZENTRALFELD
V = V (x1 ) + V (x2 ) + V (x3 )
ψn1 n2 n3 (~x) = c~n e
− 12
x2
x2
0
Hn 1 (
x1
x2
x3
) H n2 ( ) H n3 ( )
x0
x0
x0
Ziel: Lösung der stationären Schrödingergleichung
a) diskretes Spektrum (gebundene Zustände)
− 32
c~n = x0
3
1
π − 4 (2n1 +n2 +n3 n1 ! n2 ! n3 !)− 2
b) asymptotisches Verhalten von ψ (Streuzustände)
Lösung der dreidimensionalen Schrödingergleichung ist im allgemeinen nicht
{ψ~n } vollständiges Orthonormalsystem
51
möglich. Eine Vereinfachung ergibt sich für Kugelsymmetrie.
52
6. Der Bahndrehimpuls
Klassisch:
E =
6.1. Separation der Winkelkoordinaten
~2
1 L
1
+ V
mωr2 +
2
2 2mr2
Komponenten:
Teilchen der Masse m im Zentralfeld V (r)
Lz = −ih̄ ∂φ
p2
+ V (r)
2m
h̄2
( ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 ) + V (r)
=−
2m
L± = Lx ± iLy
h̄
= √ e±iφ ±∂θ + i cotgθ ∂φ
2
~ 2 = L + L + L − L+ + L 2
L
H=
Kugelkoordinaten :
z
im kartesischen Koordinatensystem:
im Punkt ~r lokales Koordinatensystem ( lr , lθ , lφ )
[L1 , L2 ] = ih̄ L3
~ 2] = 0
[Li , L
1
~ = ( ∂ r , 1 ∂θ ,
∂φ )
5
r
r sinθ
h
i
1
2
2
~ 2 = 4 = ( 1 ∂r r )2 +
(
sinθ
∂
)
+
∂
5
θ
φ
r
r2 sin2 θ
Definition: Radiale Komponente des Impuls
pr = ih̄
Drehimpulsoperator:
1
r
∂r r
⇒
i = 1, 2, 3
[Li , H] = 0 ,
~ 2 , H] = 0
[L
~ 2 , Lz
Satz von vertauschbaren Operatoren H , L
Bestimmung der simultanen Eigenzustände
~ 2 ψ = λL ψ
L
= p+
Lz ψ = λ z ψ
~ = ~r × p~
L
H=
und zyklisch
Hψ = Eψ
~2
L
p2r
+
+ V (r)
2m
2mr2
Ansatz für ψ :
ψ( r, θ, φ ) = λ(r) A(θ) B(ψ)
6.2. Drehimpulseigenzustände
2
~ 2 = − h̄
L
sin2 θ
(sinθ ∂θ )2 + ∂φ2
Eigenfunktionen von Lz
Schrödingergleichung in Kugelkoordinaten:
"
#
~2
L
p2r
+ V (r) ψ(r, θ, φ) = E ψ(r, θ, φ)
+
2m
2mr2
53
−ih̄ ∂φ B(φ) = λz B(φ) ,
B(φ) = eimφ
B(φ) = B(φ + 2π)
m = 0, 1, 2, 3...
54
λz = mh̄
Orthogonalität:
Z
~2
Eigenzustände von L
"
#
~2
∂ ∂2
∂ 1
1
L
sinθ
+
+ 2 ψ( θ, φ ) = 0
sinθ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
h̄
Gleichung für Kugelflächenfunktionen
"
#
1
∂ ∂2
∂ 1
+ l(l + 1) Ylm ( θ, φ ) = 0
sinθ
+
sinθ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
für
(
⇒
l
∞ X
X
l=0 m=−l
Zu jedem Eigenwert l gehören 2l + 1 Funktionen ψlm mit magnetischen Quantenzahlen
a)
2l + 1 (l − m)!
4π (l + m)!
!1/2
0
Ylm ∗ (θ, φ)Ylm (θ0 , φ0 ) = δ(Ω − Ω0 )
Ylm ∗ (θ, ∂) = (−1)m Yl−m (θ, ∂)
b)
m=0
i
1 h
2
2
2
(sin
Plm = l (l + 1) Plm
θ
∂
)
−
m
θ
sin2 θ
Plm (cosθ) =
1
δ(θ − θ0 )δ(φ − φ0 )
sin θ
komplexe Konjugation
Plm (cosθ) eimφ
: Legendrefunktionen, erfüllen die Gleichung
⇒
0
dφ = 4π)
Eigenschaften der Ylm
Explizite Abhängigkeit von φ:
−
sin θdθ
Z2π
Die Ylm bilden ein vollständiges Orthogonalsystem auf der Einheitssphäre.
m = −l, −l + 1, ... l
Plm (cosθ)
dΩ =
Zπ
= δ(cos θ − cos θ 0 )δ(φ − φ0 ) =
l = 0, 1, 2, ...
Ylm (θ, φ) = (−1)m
Z
Vollständigkeit:
~ 2 = h̄2 l (l + 1)
L
ψ < ∞
0
(θ, φ) = δll0 δmm0
dΩYlm ∗ (θ, φ)Ylm
0
Yl0
l
(sinθ)m
dl+m
2
cos
θ
−
1
2l l! d(cosθ)l+m
Legendrefunktionen:
=
Pl (u) =
~ 2 Ylm = h̄2 l (l + 1) ψlm
L
Lz Ylm = h̄ m Ylm
L± Ylm = h̄
r
mit m = −l, ..l
l (l + 1) − m (m ± 1)
Ylm±1
2
55
Y00
c)r
=
Tabelle:
1
4π
Y11
56
=−
r
2l + 1
Pl (cos θ)
4π
l
1 dl
u2 − 1
2l l! dul
r
3
sin θaiφ
8π
r
3
=
cos θ
4π
r
15
1
sin θ cos θeiφ
Y2 = −
18π
Y10
d)
Y22
Y20
=
=
r
r
7. Die radiale Schrödingergleichung
15
sin2 θe2iφ
32π
5
3 cos2 θ − 1
16π
7.1. Allgemeine Eigenschaften
Additionstheorem
l
X
2l + 1
Ylm ∗ (θ1 , φ1 )Ylm (θ2 , φ2 )
Pl (cos α) =
4π
m=
ψE,lm (~r) = χl (r)Ylm (θ, φ)
1
χl (r) = Rl (r)
r
l
Schrödingergleichung
⇒
−
h̄2 l(l + 1)
p2r
+
+ V (r) χl (r) = E χl (r)
2m
2mr2
h̄2 d2 R
h̄2 l(l + 1)
Rl = E R l
+
V
(r)
+
2m dr2
2m r2
a)
e)
Parität
b)
P ψ(~x) = ψ(−~x)
χl (r) < ∞ ⇒ R → 0
r→0
Z
Z∞
2
hψ|ψi = dr r2 |χl (r)| = dr|Rl |2
0
Verhalten am Ursprung:
P Ylm = (−1)l Ylm
lim r2 V (r) = 0
Annahme
R00 −
r→0
l(l + 1)
R=0
r2
Lösung
r→0
R1 = rl+1
R2 = r−l
Reguläre Lösung:
ψE,lm (~r) ∼ rl ,
57
58
r→0
r > 0 : Problem reduziert sich auf Lösung der eindim. Schrödingergl. mit
h̄
hEi =
2m
”effektivem Potential”
Veff (r) = V (r) +
h̄2 l(l + 1)
,
2m r2
V (r) = −
R(0) = 0
Z
dr
(
∂R
∂r
2
)
l(l + 1) 2m
+
+ 2 V (r) R2
r2
h̄
A
rn
h̄ 1 + l(l + 1) 2mA
⇒ hEi ∼
− 2 2
2m
r2
h̄ r
V (r) < 0
(
n>2
n<2
R
dR
∼ !)
dr
r
Minimum der Energie für r = 0
⇒
Sturz ins Zentrum.
rmin 6= 0 endlich (klass. Mechanik: für alle n rmin = 0)
2)
E > 0: eine oszilierende Eigenfunktion für jedes E
1
Rl ⇒ kl sin kr − lπ + δl (k) ,
für r → ∞
2
r
2mE
und δl (k) der Streuphasenfaktor ist.
Wobei k =
h̄2
V (r) > 0 ⇒ hEi > 0
(V (r → ∞) = 0)
Energiespektrum:
Teilchen kann sich vom Zentrum bis ins Unendliche entfernen → freie Bewegung
im Unendlichen.
1)
E < 0: abzählbar viele diskrete Eigenwerte für jedes l, EigenfunkZusammenfassung:
2
~
H, L , Lz bilden einen vollständigen Satz vertauschbarer Observable Die Eigen-
tionen Rnl bilden vollständige Basis
funktionen sind:
1
Rl (r)Ylm (θ, φ)
r
⇒ Zustand mit Drehimpuls h̄l und auf eine Achse proje zierten Drehimpuls h̄m
ψE,l,m (~r) =
(hier die z-Achse)
Mittelwert der Energie:
59
60
Bezeichnung:
l
7.2. Freie Bewegung
azimutale Quantenzahl
l
=
0,
1,
2,
3,
s
p
d
f
V (r) = 0, keine Zentralkräfte
m
magnetische Quantenzahl
ψE,l,m (r, θ, φ) = χ(r)E,l,m Ylm (θ, φ)
Entartung: diskretes Spektrum: (2l + 1) - fache Entartung von Enl
χl =
⇒
mit k 2 =
2mE
h̄2
1
Rl (r)
r
l(l + 1)
d2
2
−
+ k Rl (r) = 0
dr2
r2
und der Randbedingung: Rl (0) = 0
Lösung der DGL:
1)
Satz: Energieeigenwerte zu gebenen l der Größe nach ordnen: E0l < E1l <
l=0
R0 (r) = A sin kr
χk0 =
E2l < · · ·
⇒
Beweis:
l größer
→
En,l < En,l+1
V größer
→
∀n, l
2)
l 6= 0
2 sin kr
π r
χkl (r) = χ̄kl (x)
E größer.
⇒
Lösungen:
jl (x) = Il+ 12 (x)
l(l + 1)
d2
2 d
χ̄kl (x) = 0
+1−
+
dx2
x dx
x2
Das ist die DGL der sphärischen Besselfunktionen
nl (x) =
61
x := kr
r
pπ
2x (−1)
sphär. Bessel fkt.
l+1
I−l− 12 (x)
62
sphär. Neumannfkt.
Wobei I die normale normale Besselfunktion ist. Die allgemeine Lösung
Allgemeine Lösung zur Energie E und Drehimpuls l:
ist die Linearkombination:
ψklm (~r) = [Ajl (kr) + Bnl (kr)] Ylm (θ, φ)
χ̄(kr) = Ajl (kr) + Bnl (kr)
Il+ 12 (x) = (−1)l
I−l− 12 (x) =
r
r
π l
x
2x
π l
x
2x
l d
xdx
d
xdx
Hinweis: Falls Bewegung im gesamten Raum einschließlich r = 0 erfolgt ist
l sin x
x
B=0
Falls freie Bewegung außerhalb von r > r0 ist A, B 6= 0.
Satz: Das Funktionensystem der ψklm bildet eine voll- ständige Basis:
cos x x
Beispiel: Entwicklung der ebenen Welle nach diesem System:
~
eik~r = 4π
l
∞ X
X
l=0 m=−l
Beispiele: niedrigste Ordnung
j0 (x) =
wobei k̂ =
sin x
,
x
n0 (x) = −
j1 (x) =
cos x
,
x
Asymptotik:
sin x cos x
−
x2
x
n1 (x) = −
xl
⇒
cos x sin x
−
x2
x
jl →
⇒
(−i)l
2
−1
63
Ve f f =
l(l + 1)
r2
3(2l + 1)
xl+1
1
cos x π2 (l + 1)
x
1
π
nl → sin x − (l + 1)
x
2
Eine Fouriertransformation der DGL führt zur Legendre-DGL ⇒ Integral-
jl (x) =
Vergleich mit klassischer Bewegung:
jl →
darstellung der jl :
Z1
~k
~r
ist.
und r̂ =
~
|~r|
|k|
xl
3(2l + 1)
nl → −
xl
il jl (kr)Ylm (k̂) · Ylm (r̂)
Pl (u)eixu du
kinetische Energie = eff. pot. Energie
r
l(l + 1)
r = rl =
k
r < rl ⇒ Wellenfunktion nimmt exponentiell ab ⇒ geringe Wahrschein64
8. Das Coulomb - Problem
lichkeit, Teilchen im Raumgebiet r < rl zu treffen.
8.1. Einleitung
7.3. Unendlich tiefer Kasten
kugelsym. Potential V (r) =
r>a
ψklm = 0
r≤a
freie Welle
0
∞
r≤a
Zwei Teilchen mit:
r>a
ψklm (~r) = Ajl (kr)Ylm (θ, φ), B = 0 da r = 0 zugelassen
Anschlußbedingungen: ψklm (a) = 0 ⇒ nur bestimmte k - Werte möglich.
⇒ Eigenwertgleichung jl (ka) = 0
jl (xnl ) = 0 Nullstelle xnl : Bestimmen von x in Abhängigkeit von n, l;
kn,l =
Masse
m1
m2
Ladung
Z1 e
Z2 e
~r1
~r2
p
~1
p~2
Potential im Abstand r = |~r1 − ~r2 |
Z1 Z2 e 2
r
p
~21
p
~2
H=
+ 2 + V (r)
2m1
2m2
xnl
a
V (r) =
⇒
2
p2
h̄2 knl
=
2m
2m
2 2
h̄ xnl
=
quadrat. in xnl
2ma2
Enl =
Separation der Schwerpunktsbewegung:
~ = m1~r1 + m2~r2
R
m1 + m 2
P~ = p~1 + p
~2 = ih̄∇R
Schwerpkt.
Gesamtimpuls
~r = ~r1 − ~r2
p
~=
~2
m2 p~1 − m1 p
= −ih̄∇r
m1 + m 2
M = m 1 + m2 ,
µ=
Relativimpuls
m1 + m 2
m1 m2
p~2
p~2
p~2
P~ 2
+
= 1 + 2
2M
2µ
2m1
2m2
Termschema
65
66
H = HR + Hr
8.2. Energiespektrum
P~ 2
HR =
2M
p~2
Hr =
+ V (r)
2µ
~ ~r) = EΨ(R,
~ ~r)
HΨ(R,
freie Schwerpunktsbewegung
Relativbewegung
~ ~r) = φ(R)ψ(~
~
Ψ(R,
r)
~ = ER φ(R)
~
HR φ(R)
Z1 = −Z2 = 1
Wasserstoffatom:
−
h̄2 2 e2
∇ −
ψ(~r) = Eψ(~r),
2µ
r
E = E R + Er
ψ(~r) =
Hr ψ(~r) = Er ψ(~r)
Z1 · Z2 < 0
⇒
Unschärferelation
pr = h̄
h̄2
|Z1 Z2 e2 |
−
2µr2
r
Rl00
2µe2
l(l + 1)
2µE
Rl = 0
+
+
−
h̄r
r2
h̄2
Dimensionslose Variable:
r0 : Gleichgewichtsabstand im Grundzustand
E 0 (r0 ) = 0 = −
⇒
r0 =
atomare Einheiten: Länge a0 =
µe4
Energie E0 = 2 = 27.21 eV
h̄
k=
h̄2
|Z1 Z2 e2 |
+
µr03
r02
h̄2
1
·
µe2 |Z1 Z2 |
E0 = E(r0 ) = −
Rl (r) m
Yl (θ, φ)
r
Radialgleichung:
gebundener Zustand
E(r) =
E<0
1 µe4
(Z1 Z2 )2
2 h̄2
h̄2
= 5.3 · 10−9 cm (Bohrscher Radius)
µe2
r
−
2µE
h̄2
x = 2kr
1
e2
ν=
=
ka0
h̄c
r
−
µc2
2E
1
d2
l(l + 1) ν
Rl = 0
−
+ −
dx2
x2
x 4
reguläre Lösung α → 0, Rl ∼ xl+1
asymptotisch (x → ∞)
h d2
1i
−
Rl = 0,
2
dx
4
⇒
67
x
x
R l ∼ c 1 e− 2 + c 2 e 2
c2 = 0
68
Ansatz:
nr = 0, 1, 2, ...
Rl : xl+1 e
h
x
−x
2
radiale Quantenzahl
ul (x)
i
d2
d
−
(l
+
1
−
ν)
ul = 0
+
(2l
+
2
−
x)
dx2
dx
Zufällige Entartung in l.
z.B.
n=1
x F 00 + (b − x) F 0 − a F = 0
Zustand
1s
n=2
2s 2p
n=3
3s 3p 3d
Differentialgleichung für konfluente hypergeometrische Funktion:
F (a, b, x) = 1 +
∞
X
a (a + 1)...(a + n − 1) xn
,
b (b + 1)...(b + n − 1) n!
n=1
b ∈ Z
Allgemein:
0≤l ≤n−1
zusätzlich:
(2l + 1)-fache Entartung in m
⇒
Für große n wird F exponentiell.
gesamter Entartungsgrad:
n−1
X
(2l + 1) = n2
l=0
Potenzreihe muß abbrechen!
Bohrsche Frequenzbedingung:
wähle a = −nr ,
⇒ F (a, b, x)
⇒
nr = 0, 1, 2, ...
h̄ ωmn = Em − En =
Polynom vom Grad nr
E0 1
1
−
2
m2
n2
n>m
m=1
Lyman
ultraviolett
m=2
Balmer
sichtbar
m=3
Paschen
infrarot
Quantisierungsbedingung:
l + 1 − ν = −nr ,
l2
ν= 2
h̄
r
me2
,
−2E
n = nr + l + 1 = 1, 2, 3, ...
Für jedes l gibt es unendlich viele Energieeigenwerte, die sich bei E = 0 häufen.
nr = 0, 1, 2, ...
Enr ,l = −
E0
,
2n2
E0 =
Hauptquantenzahl
69
me4
h̄2
Zufällige Entartung ist Ausdruck einer höheren Symmetrie des Hamiltonoperators mit V (r) =
1
r
als der Kugelsymmetrie.
70
Separation der Variablen in Kugelkoordinaten als auch in parabolischen Koor-
8.3. Kontinuierliches Spektrum, Streuzustände
dinaten möglich.
Coulomb-Potential invariant unter 4-dimensionalen Drehungen.
E>0
E=
h̄2 k 2
2m
V (r) =
Asymptotisches Verhalten (r → ∞):
Eigenfunktionen:
Rl (r) ∼ C1 eikρ + C2 e−ikρ
h d2
i
d
x 2 + (2l + 2 − x)
− (l + 1 − ν) ul (x) = 0
dx
dx
ul = F (−nr , 2l + 2, x) ∼ L2l+1
nr (x)
ρ=
r
a0
C1 , C2 ± 0
Lösungen der Differentialgleichung: Hyperbolische Funktionen.
zugeordnete Laguerr’sche Polynome vom Grad nr
Rkl (ρ) = e±ikρ ρl+1 F (l + 1 ±
d n
1
Lbn = x−b ex
xn+b e−x
n!
dx
nr :
Z1 Z2 e 2
r
Konvergiert immer
⇒
Z1 Z2
, 2l + 2, ∓2ikρ)
ik
keine Energiequantisierung
Anzahl von Knoten (Schnittpunkten mit der x-Achse)
Lb0 = 1,
Lb1 = 1 + b − x,
−3/2 2
Xnr l (x) = a0
n2
s
Lb2 = 12 (b + 2)(b + 1) − (b + 1)x + 12 x2
(n − l − 1)! l − x 2l+1
x e 2 Ln−l−1 (x),
(n + l)!
ψnlm (r, θ, φ) = Xnr l
ψ100 = 2(a0 )
2r Y m (θ, φ),
na0 l
x
−3/2 − a0
e
Y00
ψ200 = 2(2a0 )−3/2 (1 −
ψ21m
2r
; nr = n−l−1
na0
Parität (−1)l
δ=0
Streuung unabhängig von φ
Differentialgleichung:
[4 + k 2 −
= h~r|1si
r
)e
Y00
2a0
2
r
− r
= √ (2a0 )−3/2 (
)e 2a0 Y1m
2a
3
0
− 2ar
0
x=
Einfacher Fall:
= h~r|2si
= h~r|2pi
2γk
]ψ(~r) = 0 ,
r
γ=
Ansatz:
ψ = eikz g(r − z)
u = ik(r − z)
f (u) = g(r − z)
71
Z1 Z2 e 2 m
1 λ
=
2
2π
a0
h̄ k
72
[u
d2
d
+ iγ]f (u) = 0
+ (1 − u)
2
du
du
f (θ)
Streuamplitude
2θ
konfluente hypergeometrische Differentialgleichung
f (θ) = γ
ψ = Aeikz F (−iγ, 1, ik(r − z))
ei[−γln(sin 2 )]
2ksin2 θ2
Wirkungsquerschnitt:
asymptotisches Verhalten:
σ(Ω) = |f (θ)|2 =
2
[u
d
d
− a]F (a, b, u) = 0
+ (b − u)
du2
du
Z Z e2 2 1
1 2
4E
sin4 θ2
Rutherfordsche Streuformel:
Ansatz:
lim F (a, b, u) = uα eλu
|u|→∞
1) σ(Ω) ∼ (Z1 Z2 )
Bestimmung von α, λ:
a
1
u(λ2 + 2λ ) + bλ − α − λu + 0( ) = 0
u
u
2
1) λ − λ = 0,
λ1 = 0,
2) 2λα + bλ − α − a = 0
2) für alle Energien besteht dieselbe Winkelabhängigkeit
λ2 = 1
α1 = a,
3) σ ∼ E −2
α2 = a − b
F (a, b, u) → C1 (−u)−a + C2 ua−b eu
a = −iγ,
lim
|r−z|→∞
b=1
C 2
=γ
C1
F (−iγ, 1, ik(r − z)) → eiγlnk(r−z) + γeik(r−z)
eiγlnk(r−z) Γ(1 − iγ)
2krsin2 θ2 Γ(iγ)
u = ik(r − z) = ikr(1 − cosθ) = ikr2sin2
lim
|r−z|→∞
9. Streutheorie
aus Integraldarstellung
ψ → ei[kz+γlnk(r−z)] + f (θ)
einfallende Welle + gestreute Kugelwelle
73
e
θ
2
i(kr−γln2kr)
r
9.1. Resolvente und Schrödingersche Integralgleichung
,
Betrachten Schrödingergleichung:
∂
h̄2
ih̄ ψ(~r, t) = −
∇r + V (~r) ψ(~r, t)
∂t
2m
Betrachte Zeitentwicklung von ψ(t). Dazu einseitige Fouriertransformation:
74
R(z) =
ψz =
Z∞
X
n
e
izt
0
lim ψ(t) < ∞,
ψ(t)dt = F {ψ}z
z∈C
Rf (z) =
∂
F {ih̄ ψ} = ih̄
∂t
Z∞
eizt
0
= ih̄ eizt ψ|∞
0 −
Z
∂ izt
e ψdt
∂t
= −ih̄ψ(t = 0) + h̄zψz
ψz = iRf (z)ψ0 +
Schröd.gl.
1 f
R V ψz
h̄ z
Die freie Bewegung wird durch den ersten Term, der Einfluß des Potentials
durch den zweiten Term charakterisiert.
⇒
(h̄z − H)ψz = ih̄ψ0
Berechung von Rf (z):
ψ0 = ψ(t = 0)
ψzf = Rf (z)ψ0
1 - Dimension:
Rücktransformation:
ψ(t) =
1
2π
∞+i0
Z
e−izt ψz dz
−∞+i0
Resolvente:
R(z) =
1
z − H/h̄
⇒ ψz = iR(z)ψ0
∂
H = 0,
∂t
H|ni = En |ni
75
En
h̄
1
z − H0 /h̄
(h̄z − H0 )ψz = ih̄ψ0 + V ψz
∂ψ
dt
∂t
ωn =
Eigenwerte von H entsprechen den Polen von R(z). Die Aufspaltung von
p2
H in H = H0 + V,
H0 =
ergibt die freie Resolvente:
2m
ψz analytisch für Im(z) > 0
t→∞
1
|nihn|,
z − ωn
h̄2 d2
h̄z +
ψzf (x) = ih̄ψ0 (x)
2m dx2
Fouriertransformation bezüglich x:
Z
1
dkeikx ψ(k)
ψ(x) =
2π
h̄2 k 2
h̄z −
ψ f (k) = ih̄ψ0 (k)
2m
1
ψ f (k) = i
2 ψ0 (k)
z − h̄k
2m
= ihk|Rf (z)|kihk|ψ0 i
76
Rücktransformation:
hx|Rf (z)|x0 i =
=
Z
ψz (~r) = ψzf (~r) −
dkhx|kihk|Rf |kihk|x0 i
1
2π
Z∞
0
dkeik(x−x )
−∞
p=
=
⇒
r
v(~r) =
1
2
z − h̄k
2m
2mz
,
h̄
Re(p) > 0
!
−im 1 ip|x−x0 |
e
h̄ p
Z
m
V (x) = 2 V (x)
h̄
Z
1
~
d3 keik·~r ψ(~k)
ψ(~r) =
(2π)3
1
k 2 = k12 + k22 + k32
h~k|Rf (z)|~ki =
2 ,
z − h̄k
2m
Z
0
1
1
~
d3 keik(~r−~r )
h~r|Rf |~r0 i =
|~r − ~r0 | = R
2
2
(2π)
z − h̄k
2m
k dk
2m 1
h̄ (2π)2
Z∞
dkk
2
o
=
m
1
=
h̄(2π)2 iR
Z2π
0
0
Z∞
−∞
dφ
Z1
d(cos θ)
−1
eikR cos θ
2
z − h̄k
2m
eikR − e−ikR
1
ikR
(p + k)(p − k)
dk
eikR − e−ikR
(p + k)(p − k)
=
1
m
(−2πi)
h̄(2π)2 iR
=
m eipR
h̄2π R
↑ Integralgleichung
9.2. Die Streuamplitude
h̄p2
= h̄z
2m
Z
i~
p(~
r −~
r0 )
f
3 0e
v(~r)ψz (~r0 )
ψp~ (~r) = ψp~ (~r) − d ~r
|~r − ~r0 |
ψz (~r) = ψp~ (~r),
3-Dim:
Z∞
m
V (~r)
2πh̄2
eip(~r−~r )
v(~r0)ψz (~r0 )
|~r − ~r0 |
0
1
dx0 eip|x−x | V 0 (x0 )ψz0 (x0 )
p
0
2m 1
=
h̄ (2π)3
0
d3 r 0
Lippmann-Schwinger-Gleichung
Im(p) > 0,
ψz (x) = ψzf (x) − i
Z
peipR
−peipR
−
2p
2p
ψp~f (~r) = ei~p·~r
Annahme: V (~r) sei hinreichend stark lokalisiert:
Z
V (r) 3
2
lim r V (r) = 0, derart, daß
d r existiert
r→∞
r
0
r
Integral in Lipp.-Schwinger.-Gl. nach Potenzen in
entwickelbar:
r
0 r
1
1
1
+
0
=
|~r − ~r0 |
r
r
0
~r
|~r − ~r0 | = r ~r − r
r
~r
= r 1 − 2~r0 + · · ·
r
≈ r − ~r0 · ~r + · · ·
Einsetzen in die Lipp.-Schw.-Gl. ergibt:
ψp~ (~r) = ei~r·~r + fp~ (Ω)
r→∞
77
freie Welle
eikr
r
78
(asympt. Form!)
mit
fp~ (Ω) = f (~
p0 , p~) = −
Aufgabe 1
Z
0
0
e−i~p ·~r v(~r0 )ψp~ (~r0 )d3~r0
Freier Fall:
(~
p0 = ~ˆr · p)
f heißt Streuamplitude.
V (x) = mgx,
x>0
ψ ist als Summe der ungestörten und einer gestreuten Welle darstellbar: auslaufende Welle mit Amplitude f (i.a. nicht isotrop)
elastisch reflektierende Grundfläche
→
V (0) = ∞
nur diskrete Spektren
Schrödingergleichung:
Setze asymptotische Form in L–S–Gleichung ein:
ei~p·~r + f
eipr
= ei~p·~r −
r
"
Z
0
d3~r0
0
e
i~
p·~
r0
eipr e−i~p ·~r 0 0
V (~r )
r
eipr
+ 0 f (~
p0 , p~)
r
−
0
Randbedingungen:
ψ(0) = 0,
#
1
p ,p
~) −
f (~
p , p~) = f (~
(2π)3
0
0
mit
0
0
p ,p
~) =
f (~
Z
Z
p0 , ~k)
d3 kf (~
ψ(∞) = 0
(ψ(x) = 0, x ≤ 0)
charakeristische Länge:
1
2m2 g
= 3,
l
h̄2
⇒ Integralgleichung für f (~
p0 , p~)
0
h̄2 d2 ψ(x)
+ mgx ψ(x) = E ψ(x)
2m dx2
4π
f (~k, p~)
2
p − k2
Dimensionsloser Parameter λ (Energie)
λ
2mE
= 2
2
l
h̄
Längenvariable:
3
d ~re
−i(~
p0 −~
p)·~
r
0
v(~r) = −ṽ(~
p − p~)
Das ist die Fouriertransformierte des Potentials nach dem Impulsübertrag p
~0 −~
p.
79
x
− λ
l
(Zähle Koordinate nicht vom Boden sondern vom klassischen Umkehrpunkt bei
ξ=
80
x = λl = E/mg aus.)
Bestimmungsgleichung für Energieeigenwerte
2
d ψ
− ξψ = 0
dξ 2
⇒
λ1 = 2, 33 ;
λ2 = 4, 09 ;
λ3 = 5, 52
Randbedingungen:
ψ(−λ) = 0,
ψ(∞) = 0
Gute Näherung: Asymptotisches Verhalten der Besselfunktion
J 13 (z) →
Lösung:
1
ψ ∼ ξ2
r
..π
2
cos(z −
)
πz
12
3
ξψ ∼ ξ 2
1
ψ0 ∼ ξ − 2
J− 13 (z) →
3
ψ 00 ∼ ξ − 2
r
2
π
cos(z − )
πz
12
Lösung: Airy-Funktion:
ψ(ξ) = C Ai(ξ)
J (z) + J
⇒
Im einzelnen gilt:
1
3
− 13
(z) :
r
π
3
cos(z − )
πz
4
Nullstellen liegen bei:
ξ > 0:
Ai(ξ) =
kv (z)
1 ξ 12
π 3
modifizierte Hankelfunktion:
lim kv (z) =
z→∞
ξ<0:
k 13
r
2
3
ξ
3
2
zn =
⇒
π −z
e
2z
ξ = −ξ
Randbedingungen:
π
1 π
2 32
π
λn = + (2n − 1) = (2n − ) ,
3
4
2
2 2
λ1 = 2, 32;
En =
2 3 i
1 p h 2 32 ξ + J− 13
ξ2
Ai(−ξ) =
ξ J 13
3
3
3
λ2 = 4, 08;
1 i
h̄2 h 3π 2n
−
,
2ml2 4
2
Aufgabe 2:
ψ(−λ) = 0
⇒
J 13
2
2 3 3
λ 2 + J− 13
λ2 = 0
3
3
81
Kugelsymmetrisches Problem:
82
λ3 = 5, 51
n = 1, 2, 3
Molekülpotential:
V (r) = −2D
V 0 = 2D
Minimum: bei a = 1 Gute Näherung:
1
r
−
1 2r2
⇒
rf 00 + (2λ − 2βr) f 0 − 2(λβ − γ 2 ) f = 0
f (r) = F (λ −
Klassische Schwingungsfrequenz für kleine Amplituden (r − 1 << 1):
θ
λ−
γ2
= −n,
β
Trägheitsmoment für Abstand a = 1
⇒
θ = m a2
n = 0, 1, 2, ..
C
ψ(r, θ, ϕ) =
χl (r) ψlm (θ, ϕ)
r
γ 2 + l(l + 1) i
d2 χl h 2 2γ 2
−
χl = 0
+
−β
+
dr2
r
r2
β2 = −
kleine r:
2ma2
E,
h̄2
γ2 =
2
⇒
λ(λ − 1) = γ + l(l + 1)
⇒
1
λ= +
2
83
n+
1 2
2
1
2
γ4
q
2 2
+ γ 2 + l + 12
l << γ)
h
i
1
1
1
2
1
3
1
3
1
E = D −1 + (n + ) + 2 (l + )2 − 2 (n + )2 − 3 (n + )(l + )2 + ..
γ
2
γ
2
γ
2
γ
2
2
mit
h̄2
1
=
2
γ
2θD
1
h̄ω
=
,
γ
2D
2ma2
D
h̄2
γ2 + l +
h̄2
2ma2 (n << γ,
1
h̄3 ω
h̄2
=
=
3
2
γ
4θD
2ωθD
χl (r) ∼ rλ
r
E=−
n = 0, 1, 2, ..
Entwicklung nach Potenzen von 1/γ:
Exakte Lösung:
γ2
, 2λ, 2βr)
β
Endliches Polynom, wenn:
2D
θ
h̄2
1
l(l + 1),
E = −D + h̄ω (n + ) +
2
2θ
χl ∼ e−βr
Lösung: konfluente hypergeometrische Reihe
V (r) = −D + D(r − 1)2 − ..
ω=
⇒
χl = rλ e−βr f (r)
⇒
1
1
−
r2
r3
r
χl → 0
r→∞
⇒
1 h̄2
3h̄2
(h̄2 /2θ)2
1
1
1
1
E = −D+h̄ω(n+ )+ (l+ )2 −
(n+ )2 −6
(n+ )2 (l+ )2
2 2θ
2
2θ
2
h̄ω
2
2
Wiederholung
84
Integralform der Schrödingergleichung:
∂
h̄2 2
ih̄ ψ(~r, t) = −
∇ + V (~r) ψ(~r, t)
∂t
2m
ψz =
Z∞
Integralgleichung:
f (~
p 0, p
~) = f 0 (~
p 0 , p~) −
mit
2 2
eizt ψ(t)dt,
h̄ p
~
= h̄z
2m
z : komplexe Energie,
0
⇒
R(z) =
1
z − H/h̄
⇒
ψz = iR(z)ψ0
H = H0 + V
1 f
R V ψz
h̄ z
−~
p)·~
r
V (~r) = −
m e 0
V (~
p − p~)
2πh̄2
h̄~
p
m
In das Raumwinkelelement dΩ pro Zeiteinheit gestreute Teilchen:
ψeinf = ei~p~r ⇒ ~j =
Lokalisiertes Potential: ⇒ Entwicklung in Potenzen von
f =−
0
∗
∗
~j = n~v = h̄ ψeinf
∇ψeinf − ψeinf ∇ψeinf
2mi
1
z − H0 /h̄
eipr
,
r
Streuamplitude: f (~
p 0, p
~) = −
d3 re−i(~p
9.3. Wirkungsquerschnitt
Fouriertransformation im Ortsraum
Z
ip|~
r−~
r 0|
m
i~
p·~
r
3 0 e
ψp~ (~r) = e
−
r
V (~r 0 ) ψp~ (~r 0 )
d
|~r − ~r 0 |
2πh̄2
ψp~ (~r) = ei~p·~r + f (~
p 0 , p~)
Z
Stromdichte der einfallenden Teilchen
ψz = iRf (z)ψ0 +
Rf (z) =
m
2πh̄2
d3 k 0 0 ~
4π
f (~
p , k) 2
f (~k, p
~)
3
(2π)
p − k2
Ve ist die Fouriertransformierte des Potentials.
(h̄z − H)ψz = ih̄ψ0
Resolvente
f 0 (~
p 0 , p~) =
Z
dN = jσ(Ω)dΩ,
σtot =
Z
σ(Ω)dΩ,
σ(Ω) : diff. Streuquerschnitt
σtot : totaler Streuquerschnitt
r0
r
asymptotisch für r → ∞
m
2πh̄2
m
hψ f |V |ψi
2πh̄2
Z
d3 r 0 e−i~p
0
·~
r0
V (~r 0 ) ψp~ (~r 0 )
λ l,
85
db
l Potentialreichweite
86
R
Form des Wellenpaketes χ(~r),
g(~k) =
Z
|χ(~r)|2 d3 r = 1
~
um ~k konzentriert
d3 re−ik·~r χ(~r),
=
Z
E
~0
~
d3 k 0 g(~k 0 − ~k) ei(k ·(~r−b)− h̄
0
E0
t − ~k 0 · ~b + (~k 0 − ~k) · ~s + · · ·
h̄
i
h
E
= −~k~b + kr − t + (~k 0 − ~k)(v̂r − ~v t − ~b + ~s) + 0 (~k 0 − ~k)2
h̄
freies Wellenpaket
ψ~bf (~r)
k 0r −
⇒ Phase
⇒ für t → ∞ :
t)
E
~~
ψ~b (~r, t) → ψbf (~r, t) + e−ik·b f~k (Ω)
ei(kr− h̄ t)
χ(v̂(r − vt) + ~s − ~b)
r
2
h̄k 0
= E + h̄~v (~k 0 − ~k) + · · ·
E0 =
2m
=e
Z
−i~
k·~b i~
k·~
r −i E
h̄ t
~0 ~
~
~0 ~
d3 k 0 g(~k 0 − ~k) ei(k −k)·(~r−b) e−i~v ·(k −k)
|
{z
}
χ(~r − ~b − ~v t)
Wellenpaket mit Geschwindigkeit ~v
e
Wahrscheinlichkeit für eine Streuung eines Teilchens in das Raumwinkelgebiet
(Ω, Ω + dΩ)
Streuendes Wellenpaket:
ψ~b (~r, t) =
Z
PG (Ω) =
~0~
g(~k 0 − ~k)e−ik ·b ψ~k 0 (~r)e
0
−i Eh̄
t
ψ~k 0 (~r) stationäre Lösung der Schrödingergleichung. Nun t → ±∞:
~ 0 ·~
r
ψ~k 0 (~r) = eik
+ f~k (Ω)
eik
r
für t → ∞
ψ~b (~r, t) →
ψbf (~r, t)
+ lim
t→∞
mit:
0
Z
~k 0 = k + v̂(~k 0 − ~k) + · · · ;
Z∞
r2 dr|ψb (~r, t)|2
0
= |f~k (Ω)|
2
' |fk (Ω)|
2
0
r
0
E0
1
~0~
g(~k − ~k)f~k 0 (Ω) ei(k r− h̄ t−k ·b) d3 k 0
r
Z∞
2
dr χ(v̂(r − vt) + ~s − ~b)
Z∞
−∞
dz|χ(v̂z + ~s − ~b)|2 ,
0
v̂ =
Teilchenstrahl der Intensität
1
cm2 sec
mit d2 b einfallenden Teilchen pro Flächen-
einheit um ~b (⊥~k)
~v
v
E 0 = E + h̄~v (~k 0 − ~k) + · · ·
~ 0 −~
k)·~
s
f~k 0 (Ω) = f~k (Ω)ei(k
z = r − vt
~s :
Phasenänderung
87
Streuwahrscheinlichkeit pro einfallenden Strom:
88
σ(Ω) =
Z
f~k (Ω) hängt nur von Ω ab.
d2 bP~b (Ω)
f (~k 0 , ~k) =
= |fk (Ω)|2
Z∞
−∞
dz
Z
∞
X
fl (k 0 , k)Pl (cos(θ))
l=0
d2 b|χ(v̂z + ~s − ~b)|2
=
∞ X
l
X
fl
l=o m=−l
Z∞
−∞
dz
Z
∗
4π
Y m (k̂ 0 )Ylm (k̂)
2l + 1 l
Eingesetzt in Integralgleichung:
d b|χ(v̂z + ~s − ~b)| = 1 wegen Normierung von χ und Integration über
2
2
gesamtes Wellenpaket
f (~k , ~k) =f (~k , ~k) −
0
0
⇒
·
σ(Ω) = |fk (Ω)|2
0
X X
l,m l 0 ,m 0
wegen
Z∞
0
dp
p2
·
2
2
(2π) k − p2 + i0
0
4π
4π
Y ∗m (k̂ 0 )Ylm (k̂) ·
2l + 1 2l 0 + 1 l
Z
m
m0
dΩp Yl (p̂)Yl 0 (p̂) = δll 0 δmm 0
fl0 fl 0
π
= f (~k , ~k) −
2
0
0
9.4. Partwellenzerlegung und Streuphasen
⇒
Z∞
k2
0
Z
0
dΩp Ylm (p̂)Ylm
(p̂)
0
X 1
p2 dp
f 0 fl Pl (~k 0 · ~k)
2
− p + i0
2l + 1 l
l
k̂ 0 · k̂ = cos θ
Z
π
p2 dp
f 0 (k 0 , p)fl (p, k)
2
2(2l + 1)
k − p2 + i0 l
Integralgleichung für die l–Komponente der Streuamplitude f
fl (k 0 , k) = fl0 (k 0 , k) −
V (~r) = V (r) Zentralpotential
fl0 (k 0 , k)
2l + 1
=−
2
Z1
d(cos θ)Pl (cos θ)
−1
m
= − 4π(2l + 1)
2πh̄2
Z∞
m
2πh̄2
Z
~0 ~
d3 re−i(k −k)·~r V (~r)
|
{z
}
Ve (~k 0 − ~k) Fouriertr. von V
dr r2 jl (k 0 r)jl (kr)V (r)
0
Für die letzte Gleichung entwickelt man die ebene Welle nach Kugelfunktionen.
Bei kugelsymmetrischen Potential ist der Drehimpuls ein Integral der Bewegung. Zustände mit verschiedenen Drehimpulsen nehmen daher unabhängig
voneinander an der Streuung teil. Eine Darstellung als Überlagerung von Partialwellen mit verschiedenen Drehimpulsen wird dadurch sinnvoll.
89
f (~k 0 , ~k) =
X
fl (k 0 , k) Pl (cos θ)
l
Drücke fl durch Streuphase aus:
90
Einfallende ebene Welle:
Vergleiche mit
eikz =
∞
X
ψ(r) = eikz + f (θ)
(2l + 1) il jl (kr) Pl (cos θ)
ikr
r
l=0
r→∞
eikz ≈ (kr)−1
= (kr)−1
jl (kr) ∼
sin(kr −
kr
lπ
2 )
⇒
(kr >> l)
oder
fl =
l=0
∞
i
X
lπ
i h −i(kr− lπ )
2
e
(2l + 1) il Pl (cos θ)
− ei(kr− 2 )
2
erster/zweiter Term in der eckigen Klammer: ein/auslaufende Kugelwelle
ψ(r) = (kr)−1
∞
X
(2l + 1) il Rl (r) Pl (cos θ)
l=0
δl = relle Phasenverschiebung = Streuphase
∞
i X
(2l + 1) (1 − Sl )
2k
l=0
Differentieller Wirkungsquerscnitt:
σ(Ω) = |
(V (r) ∼ r +n , n ≥ −1)
∞
X
fl Pl (cos θ)|2
l=0
Totaler Wirkungsquerschnitt:
Rl (r) ∼ r
l+1
i
lπ
+
(−1)l (1 − Sl ) eikr
Rl (r) = sin(kr −
2
2
i
lπ
i h −i(kr− lπ )
2
e
=
− Sl (k) ei(kr− 2 )
2
Streuung ändert die Amplitude der vom Zentrum ausgehenden Welle.
91
δ ∈ (0, π) oder δ ∈ (− π2 , π2 )
⇒
f (0) =
Rl (0) = 0
d2
l(l + 1) Rl = 0,
−
dr2
r2
δ→0
Vorwärtsstreuung (θ = 0, Pl (1) = 1)
Rl (r) ist eine Lösung der radialen Schrödingergleichung:
d2
l(l + 1)
2mV (r)
2
Rl (r) =
−
+
k
Rl (r)
dr2
r2
h̄2
2l + 1 iδl
e sin δl
k
mit (Sl − 1) = 2i eiδl sin δl
V →0
Gestreute Welle:
r→∞
l=0
∞
X
lπ
(2l + 1) il Pl (cos θ) sin(kr − )
2
l=0
r→0
∞
i X
(2l + 1) (1 − Sl ) Pl (cos θ)
2k
f (θ) =
σtot =
Z
d(Ω) dΩ =
∞
X
l=0
mit
4π
|fl |2
2l + 1
4π
= 2 (2l + 1) sin2 σl
k
σl =
92
σl
⇒
⇒
4π
Im{fl }
k
σl =
optisches Theorem:
⇒
tential klein
⇒
σtot =
Aufenthaltswahrscheinlichkeit für Wellen mit
⇒
große l nehmen nicht an Streuung teil
Nur S-Wellen-Streuung (Struktur des Potentials wird nicht gesehen)
Streulänge:
⇒
σl =
⇒
4π
(2l + 1)
k2
σlR = (2n + 1)
π
,
2
n = 0, 1, ...
f~k (Ω) = −a
σtot = 4π a2
erreicht bei:
Beispiel: Streuung an der harten Kugel
V (r) =
δlR
δ(E) =
⇒
l(l + 1) > kr0 am Po-
4π
Im{f (0)}
k
Maximale Streuung: | sin δl | = 1
Sei δl (E0 ) =
p
δlR
∞ r<a
0
r>a
+ a(E − E0 ) + ...
sin2 δl = 1 − a2 (E − E0 )2 + ...
ψklm (~r) = χkl (r)Ylm (θ, φ),
E=
h̄2 k 2
2m
r>a
χkl (r) = al jl (kr) + bl nl (kr)
Asymptotik:
(f reieW elle)
r→∞
χkl →
1
1
sin(kr − lπ + δl )
kr
2
Asymptotik von jl , nl :
jl (kr) → sin(kr −
Verhalten bei kleineren Frequenzen:
nl (kr) → − cos(kr −
Reichweite des Potentials: r0
für Energien mit kr0 << 1
χkl (r) =
⇒
lπ
)
2
λ=
93
2π
k
>> r0
lπ
)
2
1
cos δl jl (kr) + sin δl nl (kr)
kr
tanδl =
94
bl
al
Randbedingung:
χkl (a) = 0
→
a jl (ka) + b nl (ka) = 0
IV. NÄHERUNGSMETHODEN fÜR STATIONÄRE PROBLEME
⇒
⇒
fig141.eps
σl =
tanδl = −
jl (ka)
nl (ka)
4π(2l + 1)
jl2 (ka)
2
2
k
jl (ka) + n2l (ka)
10. Störungstheorie für das diskrete Spektrum
l=0:
σ0 = 4π a2
sin2 ka 2
10.1. Rayleigh-Schrödinger-Störungstheorie
ka
Grenzfall kleiner Energien:
lim σtot = lim σ0 = 4π a2
k→0
Exakte Lösung nur für einfache Probleme bekannt.
k→0
4-facher klassischer Wirkungsquerschnitt
Grenzfall großer Energien:
Untersuchung von atomaren, nuklearen oder Elementarteilchen-Problemen
→
lim σtot = 2π a2
Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenfunktio-
nen des Hamiltonoperators
k→∞
2-facher klassischer Wirkungsquerschnitt. klassisches Phänomen der Wellenoptik:
Systeme, die sich nicht sehr von idealisierten Systemen mit bekannten Lösungen
unterscheiden
σtot = πa2 (Streuung) + πa2 (Schatten)
Babinetsches Prinzip
Korrekturen zur exakten Lösung
Eigenzustände des Hamiltonoperators H0 bekannt:
H0 |ni = En0 |ni,
95
hn|mi = δn,m
96
Zu finden seien Eigenzustände von
H = H0 + V,
Entwicklung in Eigenfunktionen von H0 :
|N (k) i =
V : kleine Störung
H|N i = EN |N i
λ: dimensionloser Parameter (Kopplungskonstante)
entwickeln sich die Eigenzustände stetig von |ni nach |N i.
|N i = |ni + λ|N (1) i + λ2 |N (2) i + ...
En = En0 + λEn(1) + ...
(Beweis der Konvergenz i.A. sehr kompliziert)
X
0
hm|N (l) i(En0 − Em
) λl =
hn|N i = 1 = hn|ni + λhn|N (1) i + λ2 hn|N (2) i + ...
X
l=0
mit |ni = |N (0) i
i = 1, 2, ..
X
XX
k=1 l=0
λk+l En(k) hm|N (l) i
1
hm|V |N (k−1) i − En (1)hm|N (k−1) i
0 − E0
E
n
m
m
− ... − En(k−1) hm|N (1) i
|mi
X
m6=n
|
En = En0 + hn|V |N i
Energiekorrektur
|
hm|V |ni
+...
0
En0 − Em
{z
}
|mi
|N (1) i
En = En0 + hn|V |ni +
hn|En |N i = hn|H0 |N i + hn|V |N i
97
k=1
λk En(k) hm|N i
λl+1 hm|V |N (l) i −
|N i = |ni +
En |N i = (H0 + V )|N i
Bestimmung von |N i:
∞
X
0
⇒ hm|N (k) i(En0 − Em
) =hm|V |N (k−1) i − En(1) hm|N (k−1) i + En(2) hm|N (k−2) i
+ ... + En(k−1) hm|N (1) i
Bestimmung von En :
⇒
λk En(k) |N i
Koeffizientenvergleich in λk :
⇒ |N (k) i =
Wahl der Normierung von |N i
k=1
0
hm|N i (En0 − Em
) = λhm|V |N i −
l=0
Dann gilt:
hn|N (i) i = 0,
∞
X
multipliziere mit hm|:
sind analytische Funktionen von λ, d.h. wenn λ von 0 nach 1 variiert wird,
⇒
m6=n
|mihm|N (k) i
(En0 − H0 ) |N i = λ V |N i −
Annahme: Eigenzustände von
Hλ = H0 + λV
X
{z
X
n6=m
}
(1)
En
98
+
|hn|V |mi|2
+...
E0 − E0
| n {z m }
(2)
En
1. Ordnung: Matrixelement des Störoperators im ungestörten Zustand
2. Ordnung: Grundzustand
E00
−
0
Em
Matrixelement von Dz :
m
m m
cos θYlm (θ, φ) = Am
l+1 Yl+1 + Al Yl−1
< 0 → Energieabsenkung
Am
l
=
Normierung des gestörten Zustands:
r
l 2 − m2
4l2 − 1
0
m l l
hnr0 l0 m0 |Dz |nr lmi = eδmm0 (δl0 ,l+1 Am
l+1 + δl0 ,l−1 Al )rn0r nr
hN |N i−1 = Z , Renormierungskonstante der Wellenfunktion
(Störung z kommutiert mit Lz → ∆m = 0)
hN |N i = 1 + λ2 hN (1) |N (1) i + O(λ3 )
0
rnl 0rl nr
Normierung wird erst in 2. Ordnung geändert
10.2.
Statische elektr.
=
Z∞
⇒
Polarisierbarkeit und quadratischer
Stark-Effekt
⇒
Teilchen mit Ladung e in Zentralfeld, Eigenzustände :
Störungstheorie nach V = −Dz E
|ni = |nr , l.mi
→
1
Rn l (r)Ylm (θ, φ)
r r
~ ·E
~ = −Dz · E
V = −D
hn|Dz |ni = 0
Teilchen in Zentralfeld hat kein permamentes Dipolmoment
Annahme: Eigenvektoren nicht entartet in nr , l
En0 r ,l 6= En0 0r ,l0
En0 = En0 r l
~ = (0, 0, E)
Störung durch elektrisches Feld E
dr Rn0r l0 (r)rRnr l (r)
0
|N i = |nr lmi +
X
n0r l0 6=nr l
(sonst
En0
1
= ∞)
0
− Em
|n0r l0 mi(−E)
hn0r l0 m|Dz |nr lmi
En0 0 l0 − En0 r l
Induziertes elektrisches Dipolmoment
hN |Dz |N i = αN E + 0(E 2 )
Dipoloperator Dz = ez = er cos θ
99
100
r
αN : statische Polarisierbarkeit
αN = 2
X
0 6=E 0
En
0
n
|hn|Dz |n0 i|2
En0 0 − En0
h
i
2 l+1,l
2 l−1,l
= 2e2 (Am
+ (Am
l+1 ) anr
l ) a nr
0
anl rl =
X
n0r
10.3. Rayleigh-Schrödinger-Störungstheorie für entartete Zustände
0
(rnl 0rl nr )2
En0 0 l0 − En0 r l
r
Es sei
Makroskopische Eigenschaft: statische Dielektrizitätskonstante
0 = 1 + 4πN α
H0 |ni i = En0 |ni i,
Falls hni |V |nj i 6= 0
i = 1, 2, ...k
i 6= j
Im Grundzustand: α0 > 0
ist die einfache Störungstheorie divergent:
hni |V |nj i
→∞
En0 i − En0 j
Energieeigenwerte: Quadratischer Stark-Effekt
1
Enr lm = En0 r l + αnr lm E 2 + O(E 3 )
2
Lösung: Jede Linearkombination der |ni i ist ebenfalls Eigenzustand zur Energie
En0
Weitgehende Aufhebung der m-Entartung
Enr lm = Enr l−m
⇒
Man wähle die Linearkombination
|nα i =
→ l + 1 Niveaus
k
X
i=0
cαi |ni i,
so daßhnα |V |nβ i = 0 für α 6= β
f ig141.epsf ig141.eps
101
Für hermitesche V immer möglich
102
α = 1, 2, ..n
Nach Diagonalisierung der Matrix hni |V |nj i (des Operators V im Unterraum
der |ni i) ist einfache Störungstheorie anwemdbar:
|Nα i = |nα i +
X
m6= alle nβ
Enα = En0 + hnα |V |nα i +
|mi
X
hm|V |nα i
+ ...
0
En0 − Em
m6= alle nβ
|hm|V |nα i|2
+ ...
0
En0 − Em
10.4. Linearer Stark-Effekt und spontanes Dipolmoment
(H0 invariant gegen Transformation im Unterraum (|si, |pi))
E0 − ∆ − E ±
−DE
−DE
E0 + ∆ − E±
⇒
p
E ± = E 0 ± ∆2 + D 2 E 2 =
(
|pi :
Ep = E0 + ∆
linearer Starkeffekt
Energieeigenwerte in 1. Ordnung
E± nicht analytisch in E
f ig142.epsf ig142.eps
Mit hs|V |si = hp|V |pi = 0
hp, m|V |si = −δm,0 DE
e
D = e A01 r(10) = = √
3
Z∞
dr Rp (r)rRs (r)
0
Eigenwertgleichung (H − E± )|nα i = 0
(H0 + V + E± )|nα i = 0
103
2
∆
E0 ± |{z}
DE ± 12 DE
Diagonalisierung des Störoperators V = −Dz E = −ezE im Unterraum der
(|si, |pi)
=0
E0 ± ∆ ± 12 D2 E 2 + ... |DE| << ∆
(einfache Störungstheorie für |DE| << ∆)
E± :
Es = E0 − ∆
cαp
det(..) = 0
Seien zwei Energieniveaus mit l 6= l 0 fast entartet
|si :
cαs
104
∆ << |DE|
Eigenvektoren:
cαs
cαp
= const.
1. angeregter Zustand:
DE
E0 − ∆ − E α
→ const
DE
∓DE
(|DE| >> ∆)
i
h
E1 = min hψ1 |H|ψ1 i, hψ1 |ψ1 i = 1, hψ1 |ψ0 i = 0
ψ
usw.
Falls |si Grundzustand, ist der neue Grundzustand:
i
1 h
|0i = √ |si + |p, m = 0i
2
Beispiel: Eigenwerte und Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators:
H =−
Dipolmoment:
1
ψ(x, λ) = A exp(− λx2 ) → 0 (x → ±∞)
2
h0|Dz |0i = D
Dipolmoment unabhängig vom E-Feld ⇒
h̄2 d2
ma2 2
+
x
2m dx2
2
spontanes Dipolmoment
hψ|ψi = 1
hψ|H|ψi =
10.5. Rayleigh-Ritz-Variationsverfahren
Minimum bei λ =
Verfahren stützt sich auf Minimaleigenschaften des Grundzustands
h
i
E0 = min hψ|H|ψi, hψ|ψi = 1
mω
h̄
Z
⇒
ψHψdx =
A=
λ 14
π
1 h̄2 λ mω 2 +
4 m
λ
mω 14
h̄ω
mω 2
,
ψ0 (x) =
x )
exp(−
2
πh̄
2h̄
Stimmt mit exaktem Ergebnis überein!
⇒
E0 =
ψ
Variationsansatz:
|ψi = |ψ0 (λ1 , λ2 , ...λn )i
λ1 ...λn
1. angeregter Zustand hψ1 |ψ0 i = 0
1
ψ1 (x, λ) = Bx exp(− λx2 )
2
Variationsparameter
hψ1 |H|ψ1 i =
Minimum bei λ =
Auffinden des Minimums von hψ0 |H|ψ0 i durch Lösung des Gleichungssystems
∂
hψ0 |H|ψ0 i = 0
∂xi
mω
h̄
⇒
, i = 1..n
ψ1 =
(Bei Existenz von mehreren Lösungen vergleiche hψ0 |H|ψ0 i)
105
⇒
3 h h̄2 λ mω 2 i
+
4 m
λ
E1 =
3
h̄ω
2
2 12 mω 34
mωx2 √
x exp −
π
h̄
2h̄
106
3
2λ 2
, B2 = √
π
11. Born’sche Entwicklung der Streuamplitude
Born’sche Näherung: Ersetze (auslaufende) Kugelwelle durch (einlaufende)
ebene Welle:
f =−
11.1. Born’sche Näherung
m
hψb |V |φa i
2πh̄2
~
ψb = eikb ~r
f (~k 0 , ~k) = f 0 (~k 0 , ~k) −
eikr
→ eika r
r
φa = eika r + f
Lippman-Schwinger Gleichung:
Z
4π
d3 p
f 0 (~k 0 , p
~)f (~
p, ~k)
3
2
(2π) k − p2 + i0
Fouriertransformierte des Potentials
f 0 (~k 0 , ~k) = −V (~k 0 − ~k)
Z
m
~0 ~
=−
d3 r e−i(k −k)~r V (~r)
2πh̄2
Entwicklung von f nach Potenzen des Potentials.
einlaufende Welle
auslaufende Welle
Gültigkeitsbedingung:
m Z
ik|~
r −~
r 0|
3 e
d r
V (~r 0 )φa (~r 0 )
|ψb (~r)| >> 2
0
|~r − ~r |
2πh̄
⇒
Ekin >> V
,V ∼
Z
d3 r
1
V (~r)
r
Zentralpotential:
|~k 0 | = |~k| = k,
q = |~k − ~k 0 | = 2k sin
θ
2
1.Iteration der Lippman-Schwinger Gleichung
f (~k 0 , ~k) = f 0 (~k 0 , ~k) −
Z
4π
d3 p
f 0 (~k 0 , p
~)f 0 (~
p, ~k) + ...
(2π)3 k 2 − p2 + i0
Born’sche Näherung: (1.Ordnung Störungstheorie)
f = f 0 = −V (~k 0 − ~k)
⇒
σ(Ω) = |f~k (Ω)|2
m 2 Z
~0 ~
d3 r e−i(k −k)~r V (~r)
=
2πh̄2
m 2
|hψb |V |ψa i|2
=
2πh̄2
Streuung von Zustand b (einfallende Welle) nach Zustand a (gestreute Welle)
107
Ve (q) =
Z
d3 r e−i~q~r V (r)
= 2π
Z−1
Z∞
d cos θ dr r2 e−iqr cos θ V (r)
−1
Z∞
= 2π
0
dr r2 V (r)
0
4π
=
q
Z
e−iqr − eiqr
−iqr
dr rV (r) sin qr
108
⇒
σ(θ) =
m 2
θ
|Ve (2k sin )|2
2
2
2πh̄
11.2. Elastische Streuung schneller Elektronen
Streung von Elektronen an Ladungsverteilung: Kern mit Ladung ZK , Elektronenhülle mit Ladung ZH
⇒ Ionenladung ZI = ZK + ZH
4π
Ladungsverteilung eρ(r)
Z∞
ρ(r)r2 dr = ZI
0
Potential V (r) folgt aus Poissongleichung
4V (r) = −4πρ(r)e2
Fouriertransformation
ρ̃(~
q) =
Z
d3 re−i~q·~r ρ(~r)
q 2 Ve (~
q ) = 4πe2 ρ̃(~
q)
⇒ Streuamplitude in Bornscher Näherung:
2m
ρ̃(~k 0 − ~k)
f 0 (~k 0 , ~k) = − 2 e2 4π
h̄
(~k 0 − ~k)2
θ
|~k 0 − ~k| = 2k sin( )
2
⇒
2
|Fk (θ)|2
e2
4Ek
sin4 ( θ2 )
Formfaktor:
θ
Fk (θ) = ρ̃ 2k sin
2
Fouriertransformation der Ladungsverteilung
σ(θ) =
109
110
Fk (θ) = Z
⇒
Rutherford Formel ⇒
Messung der Abweichung
⇒
V. ZEITABHÄNGIGE PROBLEME
Ladungsverteilung
Kleinwinkelstreung: Entwicklung nach q
12. Bewegungsgleichungen

1
q · ~r)2 + · · ·
r2 ρ(r) 1 − (~
3!
0
1
θ
Fk (θ) = ZI − ZH 4k 2 sin2
r2 + · · ·
6
2 0
Fk (θ) = 4π
Z∞

Z1
cos2 θd cos θ =
−1
mittlerer quadratischer Radius der Hülle:
r02
=
4π
Neutrales Atom: ZI = 0
R
drr2 ρH (r)r2
4π
R
=
4π drr2 ρH
lim σ(θ) =
θ→0
r0
3a0
2
2 2
ZH
r0 ,

1
3
12.1. Unitäre Transformationen
Betrachten Übergang Impulsdarstellung – Ortsdarstellung:
R
drr4 ρ(r)
ZH
hx|ai =
Z
dphx|pihp|ai
= S(x, p)hp|ai
h̄2
a0 = 2
e m
S(x, p) Matrix mit kontinuierlichen Indices
wegen
hp|ai =
divergiert nicht wie in Ruth. Formel.
Z
dxhp|aihx|ai
= S −1 (p, x)hx|ai
∗
S −1 (p, x) = hp|xi = (hx|pi) = (S(x, p))
∗
= S † (p, x)
S†S = 1
S ist unitär
Definition: Ein linearer Operator U heißt unitär, wenn gilt U −1 = U †
Satz 1: Transformationen U |ψi der Zustandsvektoren bilden H auf sich
ab und laßen das Skalarprodukt invariant.
111
112
Beweis:
Satz 2:
U† =
a) Jedem hermiteschen Operator A (A = A† ) läßt sich eineindeutig ein
∞
X
1
(−iA)n = e−iA
n!
n=0
⇒
UU† = 1
unitärer Operator U zuordnen durch die Cayley-Transformation:
U = (A − i1)(A + i1)−1
A = i(1 + U )(1 − U )−1
Definition: Operator B heißt zu A unitär äquivalent, wenn B = AU =
U AU −1
Beweis:
⇒
U † = (A − i1)−1 (A + i1)
U † U = (A − i1)−1 (A + i1)(A − i1)(A + i1)−1
=1
Einer physikalischen Größe können unendlich viele unitär äquivalente
Operatoren zugeordnet werden. Unter unitären Transformationen A → U AU −1
und |ψi → U |ψi bleiben invariant:
1) Linearität, Hermtizität
b) Die komplexen Eigenwert von U liegen auf dem Einheitskreis
Beweis:
A=
X
n
U=
X (an − i)
n
=
X
n
2
A =
X
n
f (A) =
X
2) Vertauschungsrelationen [A, B] = C
an |nihn|
(an + i)
|nihn|
[AU , BU ] = U AU −1 U BU −1 − U BU −1 U AU −1
= U [A, B]U −1 = U CU −1 = CU
e−iφn |nihn|
a2n |nihn|
f (an )|nihn|
n
3) Eigenwertspektrum:
A|ψi = a|ψi
AU |ψU i = U AU −1 U |ψi = aU |ψi
= a|ψU i
Eigenvektoren von U orthogonal
Bemerkung: Sei A ein hermitescher Operator, so ist U = eiA unitär.
113
4) Algebraische Beziehungen A + B, A · B
114
5) Matrixelemente
Der Zeitentwicklungsoperator genügt der Differentialgleichung:
U
hψm
|AU |ψnU i = hψm |A|ψn i
ih̄
∂
U (t, t0 ) = Ht U (t, t0 ),
∂t
U (t0 , t0 ) = 1
bzw. der äquivalenten Integralgleichung
Bemerkung: verschiedene Schreibweise für bestimmten Zustand zu gegebenem
1
U (t, t0 ) = 1 +
ih̄
Zeitpunkt. Verschiedene Gestalt, Zustand gleich ⇒ zeitliche Änderung durch
unitäre Transformation.
Verschiedene Beschreibungsmöglichkeiten ⇒ ver-
Zt
Ht0 U (t0 , t0 )dt0
t0
schiedene Bilder.
Satz 1:
12.2.
U (t, t0 ) · U (t0 , t0 ) = U (t, t0 )
Zeitentwicklungsoperator
speziell
zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems wird beschrieben
U (t0 , t) = U −1 (t, t0 ) = U † (t, t0 )
durch:
ih̄
∂
ψt = H t ψt
∂t
Satz 2: Gegeben sei ein unitärer Operator Ut Durch:
mit dem zeitabhängigen hermiteschen Hamiltonoperator Ht
ψt → ψtU = Ut ψt
Zu je zwei Zeitpunkten t und t0 gibt es einen unitären Operator U (t, t0 )
derart, daß für alle ψ ∈ H gilt:
−1
At → A U
t = U t A t Ut
ist eine eineindeutige Abbildung des Vektors und des Operators in H auf sich
selbst gegeben, für die gilt
ψt = U (t, t0 )ψt0
U
hψtU |AU
t |ψt i = hψt |A|ψt i
Die physikalischen Aussagen, die aus ψt , At bzw ψtU , AU
t folgen, sind identisch.
U heißt Zeitentwicklungsoperator
115
116
S
AH
t = U (0, t)At U (t, 0)
spezielle Ut
Zeitabhängigkeit
1) Schrödingerbild der QM
Ut = 1
ih̄
Zeitliche Änderung des Zustandes wird dann durch Änderung des Zus-
∂
d H
At = −(Ht U (t, 0))† ASt U (t, 0) + U (0, t)ASt (Ht U (t, 0)) + U (0, t) ih̄ ASt U −1
dt
∂t
∂ S
= −U Ht U −1 U ASt U −1 + U ASt U −1 U Ht U −1 + ih̄U
A U −1
∂t t
tandsvektors beschrieben
ψtS = U (t, 0)ψ0
Falls H nicht explizit von der Zeit abhängt
∂H
=0
∂t
⇒
⇒
i
U (t, 0) = exp − Ht
h̄
Betrachten Operatoren, deren Eigenwertspektrum sich zeitlich nicht ändert.
∂ S
Dann kann die Darstellung gewählt werden mit
A =0
∂t
d H
1 H H
At =
A , Ht +
dt
ih̄ t
∂ S
A
∂t t
H
Explizit zeitunabhängige Operatoren sind im Heisenbergbild zeitunabhängig,
wenn
[A, H] = 0 ⇒ AS = AH . Dies gilt insbesondere für den Hamiltonoperator
selbst.
3) Wechselwirkungsbild
2) Heisenbergbild
Ht = H0 + V,
H0 zeitunabhängig
Ut = U0 (0, t) = exp(iH0 t/h̄)
Ut = U (0, t) = U −1 (t, 0)
ψtI = exp(iH0 t/h̄)ψtS
Wellenfunktionen sind zeitunabhängig:
ψtH = U (0, t)ψtS = ψ0S
macht Zeitabhängigkeit von H0 rückgängig.
VtI = eiH0 t/h̄ VtS e−iH0 t/h̄
Operatoren
⇒
117
118
ih̄
∂ I
ψ = VtI ψtI
∂t t
Formale Lösung

1
ψtI = T exp 
ih̄
⇒
Beweis:
∂ iH0 t/h̄ S e
ψt = −H0 ψtI + eiH0 t/h̄ (H0 + V )ψtS
ih̄
∂t
= VtI ψtI
ψtI
=
ψtI0
1
+
ih̄
Zt

Zt
t0

dt1 VtI1  ψtI0
13. Zeitabhängige Störungstheorie
dt0 VtI0 ψtI0
t0
Entwicklung nach Potenzen in V durch Iteration
13.1. Übergange 1.Ordnung. Die goldene Regel der QM
ψtI = ψtI0 +
Zt
dt1 VtI1 ψtI0 +
t0
1.Ordnung:
Zt
dt1 VtI1 ψtI0
2 Z t
1
ih̄
2
Zt
dt1
t0
Zt1
t0
dt2 VtI1 VtI2 ψtI0 + · · ·
Ht = H 0 + V t ,
H0
n
t0
2.Ordnung:
1
ih̄
t0
dt1
X
Zt1
dt2 VtI1 VtI2 ψtI0
VtI1 VtI2
vertauschen nicht!
En0 |nihn|
System für t < 0 im Zustand |ni, d.h. Vt = 0 für t < 0
t0
Problem: Wahrscheinlichkeit Pn→m (t), daß Vt einen Übergang des SysIntegration erfolgt zeitgeordnet in der Reihenfolge t1 > t2 > t3 > · · ·
Wahrscheinlichkeitsamplitude:
Einführung eines Zeitordnungsoperators T
T (At1 , Bt2 ) =
Zt
t0
dt1
Zt1
t0
dt2 · · ·
tZ
n−1
t0
dtn VtI1 VtI2 · · · VtIn
hm|ψtS i = hm|e−iH0 t/h̄ ψtI i

At1 Bt2 , für t1 > t2 ;
Bt2 At1 , für t2 > t1
=e
 t

Z
Zt
Zt
1 
= T
dt1 dt2 · · · dtn VtI1 VtI2 · · · VtIn 
n!
t0
119
tems von |ni nach |mi verursacht (hn|mi = 0)
t0
t0
0
−iEm
t/h̄
0
= e−iEm t/h̄
1
hm| |ni +
ih̄
1
ih̄
Zt
0
Zt
0

dt1 eiH0 t/h̄ VtS1 e−iH0 t/h̄ |ni
dt ei(Em −En )t/h̄ hm|VtS1 |ni
0
120
0
⇒
2
Pn→m (t) = hm|ψtS i
2
Zt
1
0
0
i(Em −En )t/h̄
S
=
dt1 e
hm|Vt1 |ni
h̄
0
= En0
Em
0
Em
6=
En0
⇒ Pn→m ∼ t2
(P < 1)
Pn→m oszilliert in t
0
kontinuierliches Spektrum:
mit
lim
Zeitlich konstante Störung
t→∞
sin2 (xt)
= πδ(x)
x2 t
2π
0
t|hm|V |ni|2 δ(Em
− En0 )
h̄
= Γn→m t
Pn→m (t) =
Vt =
0
t < 0;
V
t≥0
2
0
sin((Em
− En0 )t/2h̄) 2
Pn→m (t) = |hm|V |ni|
0 − E 0 )/2
(Em
n
Übergangsrate
2π
0
− En0 )
|hm|V |ni|2 δ(Em
h̄
Goldene Regel der QM
Γn→m =
Gültigkeit: t 2πh̄
∆E
Übergang von Zuständen mit fast gleicher Energie
zeitlich periodische Störung
Pn→m 6= 0 für alle |mi mit hm|V |ni 6= 0
0
P groß für Zustände mit Em
− En0 t < 2πh̄
2πh̄
(Unschärferelation)
∆E =
t
Vt =
⇒
Energieerhaltung bis auf
0
121
0
t<0
Ve
−iωt
t>0
mit
Zt
Diskretes Spektrum:
eiωmn t e−iωt hm|V |nidt
122
ωmn =
0
− En0
Em
h̄
⇒
Übergangsrate:
sin((ωmn − ω) 2t ) 2
h|m|V |ni|2
Pn→m (t) = (ωmn − ω)/2 Γn→m =
2π
0
|hm|V |ni|2 δ(Em
− En0 − h̄ω)
h̄
hδAint
−1
=
ih̄
⇒
hδAint =
Z∞
−∞
Z∞
−∞
0
n
dt1 XA,B
(t − t1 )b(t1 )
XA,B
gilt auch für diskretes Spektrum
0
dt1 Θ(t − t1 )hn|Ae−i(H0 −En )(t−t1 )/h̄ B − Bei(H0 −En )(t−t1 )/h̄ A|nib(t1 )
lineare Antwortfunktion
0
0
n
XA,B
(t) = ih̄Θ(t)hn|Ae−i(H0 −En )t/h̄ B − Bei(H0 −En )t/h̄ A|ni
i
= Θ(t)hn| AIt , B |ni
h̄
X
i
= Θ(t)
hn|A|mihm|B|nie−iωmn t − hn|B|mihm|A|nieiωmn t
h̄
m
13.2. Lineare Antwortfunktion
Betrachten Änderung des Erwartungswertes des zeitunabhängigen OperaX(t − t1 ) = 0
tors A unter Einfluß der Störung
t < t1
Kausalität
Fouriertransformation:
Vt = −Bb(t)
b(t) =
B hermitescher zeitunabhängiger Operator
Z∞
dω
b(ω)e−i(ω+i0)t
2π
Z∞
dω
b(ω)e−iωt hδAinω
2π
−∞
b(t) Stärke der Störung,
lim b(t) = 0.
t→∞
Für t → −∞ : System im Zustand |ni
hδAint
zeitabhängige Änderung von hAi: Antwort
X hn|A|mihm|B|ni
hn|B|mihm|A|ni
− 0
XA,B (ω + i0) =
0 − E 0 − h̄ω − i0
0 − h̄ω − i0
Em
En − E m
n
m
|ψtnI i = eiH0 t/h̄ |ψtnS i
Zt
−∞
−∞
n
hδAinω = XA,B
(ω + i0)b(ω)
hδAint = hψtn |A|ψtn i − hn|A|ni
1
= |ni +
ih̄
=
0
dt1 eiH0 t1 /h̄ (−B)b(t1 )e−iEn t1 /h̄ |ni
123
0
1) Diskretes Spektrum: Pole bei Übergangsfrequenz: Em
− En0 = ±h̄ω
124
2) kontinuierliches Spektrum: Verzweigungsschnitt: X(ω + i0) = X 0 (ω) ±
13.3. Dynamische Polarisierbarkeit
00
iX (ω)
1
P
=
∓ iπδ(x)
x + i0
x
P
: Hauptwert,
x
Auf ein Elektron im Zentralfeld (Atom) wirke ein zeitlich veränderliches
iπδ(x)
: halbes Residuum
el.mag. Feld.
Störoperator in führender Ordnung:
B = Dz
b(t) = E(t)
Absorbtion:
X 00 (ω) = π
:
Dipoloperator
~ = (0, 0, E)
: elektr. Feld, E
Eigenzustände von H0 : |nr lmi
X
0
0
hn|A|mihm|B|niδ(h̄ω − Em
+ En0 ) − hn|B|mihm|A|niδ(h̄ω − Em
+ En0 )
m
hn0r l0 m0 |Dz |nr lmi 6= 0
für m0 = m, l0 = l + 1
induziertes Dipolmoment:
δhDz iω = XDz Dz (ω + i0)E(ω)
XD z D z
: Polarisierbarkeit
α(ω + i0) = XP P (ω + i0) =
e2 X
f n0 n
2
m 0 ωn0 n − (ω + i0)2
n
Oszillatorstärken:
f n0 n =
2m
2
ωn0 n |hn0 |Dz |ni|
e2 h̄2
Messung der Antwortfunktion: Eigenfrequenzen, Matrixelemente hn|A|mihm|B|ni
Übergangsfrequenzen:
125
126
ω
n0 n
En0 0 − En0
=
h̄
~
~ + 5χ;
~0 = A
φ0 = φ −
Eichtransformation A
VI Materie im elektromagnetischen Feld
1 ∂
c ∂t χ
Bewegungsgleichungen
14. Stationäre Probleme
m
∂2
~v = ~k,
∂t2
~k = eE
~
~ + e ( ∂ ~r) × B
c ∂t
Hamiltonsche Formulierung
14.1. Massenpunkt im elektromagnetischen Feld
∂
∂
H,
xi =
∂t
∂pi
H=
Teilchen mit Masse m, Ladung e
Observable und Vertauschungsrelationen:
Ortsoperator ~r = (x1 , x2 , x3 )
[xi , pj ] = ih̄δij
~ = ~r × p
Drehimpulsoperator L
~
[L1 , L2 ] = ih̄L3
1
e~ 2
+ eφ
(~
p − A)
2m
c
Übergang zur Quantenmechanik
[xi , xj ] = [pi , pj ] = 0
Impulsoperator p~ = (p1 , p2 , p3 )
∂
∂
H
pi = −
∂t
∂xi
p~
~ φ
A,
→
Impulsoperator
klassische Variable, Funktionen von ~r (vertauschbar)
Hamiltonoperator
H=
Bewegung im elektromagnetischen Feld:
2
p2
e
~+A
~ · p~) + e A2 + eφ + V
−
(~
p·A
2m 2mc
2mc2
~−A
~·p
~
p~ · A
~ = −ih̄ div A
~ r , t), φ(~r, t)
elektromagnetisches Potential A(~
~ −
~ = rotA,
~ E
~ = −5φ
elektromagnetische Felder B
127
Coulomb-Eichung:
1 ∂ ~
c ∂t A
Lorentz-Eichung:
~=0
div A
~+
div A
1 ∂
c ∂t φ
kommutierend
=0
128
i.a. nicht kommutierend
~ φ, so
Satz : Ist ψt (~r) Lösung der Schrödingergleichung zu den Potentialen A,
Kanonischer Impuls: nicht beobachtbar.
ist
e
ψt0 (~r) = ei h̄c χt (~r) ψt (~r),
e~
Uχ−1 p~Uχ = p~k + 5χ
c
~
p~k = −ih̄5,
χt (~r) reell
Lösung zu den mit χ umgeeichten Potentialen.
e
Uχ = ei h̄c χt (~r ) heißt Eichtransformation des Zustands ψ.
Mechanischer Impuls: beobachtbar.
e~
∂
= m ~r
p
~m = p~k − A
c
∂t
Beweis:
ih̄∂t ψt0 = Uχ (ih̄
∂
e ∂
ψt −
χt ψt )
∂t
c ∂t
~
~→A
~ + 5χ,
A
Hψt0 =
1 ∂
χ
c ∂t
~ = (0, 0, B),
B
e ~ e~ 2 0
1
1 ∂
(~
p− A
χ)ψt0
− 5χ) ψt + e(φ −
2m
c
c
c ∂t
p
~Uχ = −ih̄
Hψt0
φ→φ−
14.2. Bewegung im homogenen Magnetfeld
Landaueichung
ie ~
5χ Uχ + Uχ p~
h̄ c
e~ 2
1
e ∂
(~
p − A)
χt ]ψt
= Uχ [
+ eφ −
2m
c
c ∂t
~ =0
E
~ = (−By, 0, 0),
A
H=
p2y
e
1
p2
(px + By)2 +
+ z
2m
c
2m 2m
Freie Bewegung in z-Richtung
q.e.d.
hψt0 |A|ψt0 i = hψt |Uχ−1 AUχ |ψt i
Ansatz
ψ(x, y, z) = eikz z eikx x χ(y)
!
= hψt |A|ψt i
Postulat: Beobachtbar sind nur Observable, die unter Eichtransformation invariant sind.
~=0
div A
Hψ =
h p2
i
h̄2 kz2
1
e
y
+
+
(h̄kx + By )2 ψ
2m
2m
2m
c
Eindimensionaler verschobener harmonischer Oszillator
y0 = −
Beispiel:
ch̄kx
eB
Frequenz 2ωL
129
130
Lamorfrequenz
ändert sich nur die Phase der Wellenfunktion
|e|B
,
2mc
ωL =
h̄ωL = µB B
e
ψ(~r, t) → e ih̄c χ(~r) ψ(~r, t)
Bohrsches Magneton
µB =
χ00 (y) +
|e|h̄
2mc
magnetisches Moment
2m
h̄2 kz2
2
− 2mωL
[E
−
(y − y0 )2 ]χ(y) = 0
2m
h̄2
Energieeigenwerte
Phasenänderung entlang Pfad 1/2
E = (2n + 1)h̄ωL +
h̄2 kz2
2m
e
(χQ − χS )
h̄c
ZS
e
~ dr
=
5χ
h̄c
φ1/2 =
n = 0, 1, 2..
Landau-Niveaus
1
ψnkz kx (x, y, z) = ceikz z eikx x e− 2 (y−y0 )
rB =
r
2
2
/rB
y − y 0
Hn
rB
{z
}
|
Hermitesches Polynom
Q,1/2
e
=
h̄c
ZS
Q,1/2
h̄
2mωL
Z
Z
h̄c
~ dr + A
~ dr
(φ2 − φ1 ) = − A
e
2
1
I
~ dr
= A
14.3. Aharonow-Bohm-Effekt
=
Z
~ df
B
F,12
ψ(~r, t)
Wellenfunktion eines Teilchens für
~ = 0,
A
6= 0
~
Meßmethode für A
φ=0
~ = 0)
Bei Einschalten eines wirbelfreien Vektorpotentials (B
~
~ = −5χ,
A
~ = rotA
~=0
B
131
~ dr
A
132
15. Zeitabhängige elektromagnetische Felder
Sichtbares Licht:
krA '
15.1. Elementare Theorie der WW eines qm. Systems mit el.-magn.
Strahlung
⇒
2πrA
∼ 10−3
λ
~
e−ik·~r = 1 − i~k · ~r + ...
Dipolnäherung
hn|Vω |mi ' −
Wechselwirkungsoperator
Wegen
e ~
e2 ~ 2
Vt = −
A
A·p
~+
mc
2mc2
e h 2πh̄N i1/2
hn|n̂ · p
~|mi
m ωV
p~
i
= − [~r, H]
m
h̄
~=0
div A
Entwicklung nach α =
e2
hc
=
hn|~
p|mi = −iωmn
1
137
elektrisches Dipolmoment (n → m)
~ nm
n̂ · D
Berechne Übergangsrate für Emission eines Quants der Energie h̄ω und Polar-
~ = A0 n̂ cos(~k · ~r − ωt)
A
A0 bestimmt Dichte
ωV
~ nm = ehn|~r|mi
D
e ~
A·p
~
1. Ordnung Vt = − mc
N
V
h 2πh̄N i 12
isation n̂ im Raumwinkelelement dΩ
der Photonen mit ω, ~k, n̂
= h̄ω,
N
E2
A2 ω 2
A2 ω 2
h̄ω =
= 0 2 sin2 (~k · ~r − ωt) = 0 2
V
4π
4πc
8πc
~ = A0 n̂ ω sin(~k · ~r − ωt)
~ = −1 ∂ A
E
c ∂t
c
Vt = V ω e
e
Vω = −
m
iωt
r
+
Vω+ e−iωt
2πh̄N −i~k·~r
e
(n̂~
p)
ωV
Phasenraumelement im Impulsraum:
V ω2
V p2 dpdΩ
(Dichte der Endzustände) ·2 (Feldzustände der Photonen)
=
c3 (2π)3 h̄
(2πh̄)2
Z
dΓn→m = d(h̄ω) (dΓn→m (ω))
Gesamtwahrscheinlichkeit
Im Atom: Ausdehnung der Wellenfunktion rA ∼ 10
Γn→m ∼ N
133
cm
c
Phasenraumelement im V -Raum:
2
2π V ω2
dΩ hn|Vω |mi δ(En − Em − h̄ω)
dΓn→m (ω) = 3
3
c (2π) h̄
h̄
Übergangsrate für Emmision eines Photons mit h̄ω
2
2π Γn→m =
hn|Vω |mi δ(En − Em − h̄ω)
h̄
Matrixelement
r
e 2πh̄N
~
p)|mi
hn|e−ik·~r (n̂~
hn|Vω |mi = −
m
ωV
−5
p=
=
Γnm =
Z
3
N ωmn
~ nm |dΩ
|n̂D
2πc3 h̄
dΓnm =
4N ω 3
|Dnm |2
3h̄c3
Ω
: induzierte Emmision (proportional Zahl der Photonen im
134
Anfangszustand)
(Quantifiserung des elektromagnetischen Feldes:)
∂
hn|(~
p · n̂)(~k · ~r)|n0 i = −ih̄khn|x |n0 i
∂y
∂
∂
∂
i
∂
x
+y
− y |n0 i)
= − h̄k(hn|
|n0 i + hn|x
2
∂y
∂x
∂y
∂x
{z
}
|
elektr. Quadrupoloperator
elektromagnetische Quadrupolstrahlung E2:
N → N + 1 : spontane Emmision - Nullpunktsschwingung des elektromagnetis-
∆l = 0, ±2,
chen Feldes
∆m = 0, ±1, ±2
magnetische Dipolstrahlung M1:
Polarisation der Strahlung und Auswahlregel:
~ hn|Dz |n0 i 6= 0, m = m0 , l0 = l ± 1
(i) n̂||D,
Auswahlregel:
∆l = 0,
∆m = 0, ±1


sin θ cos φ


~r = r ·  sin θ sin φ 
cos θ
lineare Polarisation im Zentralfeld
n̂ · ~r = r(nx sin θ cos φ + ny sin θ sin φ + nz cos θ)
r
(ii) n̂ ⊥ D, n̂ = x̂ ± iŷ (zirkular polarisiert)
r
hn|x + iy|n0 i ∼ δm0 ,m±1 δl0 ,l±1
∆m = ±1
∆l = ±1
⇒
n̂ · ~r = r
Winkelintegral
Höhere Multipolelemente
r
4π
3
Z
~
p · n̂(1 − i~k · ~r + ..)|ni
hn|~
p · n̂ e−ik·~r |n0 i = hn|~
i) nx = ny = 0
n̂||y,
135
~k||x
⇒
3
Y1,0 (θ, φ) = cos θ
4π
3
Y1,±1 (θ, φ) = ∓ sin θe±iφ
8π
−nx + iny
nx + iny
√
√
Y1,−1 +
Y1,1 + nz Y1,0
2
2
∗
dΩ Yl,m
Y1,0 ±1 (θ, φ) Yl 0 ,m 0
m = m 0, l 0 = l + 1
linear polarisiert im Zentralfeld
136
ii) nz = 0
zirkular polarisiert ∆m = ±1, ∆l = ±1
15.2. Streuung von Licht an einem atomaren System
Ausrichtung in Anfangszustand in z–Richtung
Betrachten Prozeß
ν +a → ν0 +b
ν: Photon, a: Atom
a=b
Rayleighstreuung (elastisch)
a 6= b
Ramanstreuung
|ψ(t)i =
=
X
n
X
n
an (t)e−iEn t/h̄ |ni
|nihn|ψ S (t)i =
X
n
|nihn|ψ I (t)ie−iE0 t/h̄
X
dam (t)
ih̄
hm|Vt |nian (t)eiωnm t
=
t
n6=m
Vt = V eiωt + V † e−iωt
hm|Vt |ni =
(
ω iωt
e
Vmn
Emission
†ω −iωt
e
Vmn
Absorbtion
Dipolnäherung
ω
Vmn
= iωmn
2πh̄
ω
12 ~ mn
n̂ · D
Streuung als Zweistufenprozeß
a+ν → c → b+ν0
0
a+ν →d+ν+ν →b+ν
137
138
0
erst Absorbtion
erst Emission
Übergangsrate
1. Ordnung Störungstheorie für jeden Elementarprozeß
Γaν→bν 0 =
2π
|Mba |2 δ(Ef − Ei )
h̄
Matrixelement Mba
1.Stufe
0 − 12
2
Mba = −2πe (ωω )
dac
†ω i(ωca −ω)t
e
= Vca
dt
dad
ω 0 i(ωda +ω 0 )t
ih̄
e
= Vda
dt
i(ωca −ω)t
ω† e
ac (t) = Vca
h̄(ω − ωca )
ih̄
ad (t) =
ω0
Vda
dab
=
dt
(∗)
(∗∗)
Einfallender Fluß: Geschwindigkeit c
Dichte der Endzustände (Energie h̄ω 0 ): d3 p 0 =
σνa→ν 0 b (Ω) =
0
Vbcω ac (t)ei(ωbc +ω
0
)t
c6=b
+
ωω
c2
Ramanstreung:
†ω
Vbd
ad (t)ei(ωdb −ω)t
d6=b
(∗,∗∗)
i(Ef −Ei )t/h̄
Ef = Eb + h̄ω
ω0
dΩ
(2πc)3 h̄
2
2 X 0
0
e
(n̂ · ~rbc )(n̂ · ~rca ) (n̂ · ~rbc )(n̂ · ~rca ) −
h̄c ω − ωca
ω 0 + ωca
c6=b
2
Stokesstreuung
ω0 < ω
Antistokes Streuung
ω0 > ω
a = b, ω 0 = ω, n̂ = ẑ
Rayleighstreuung:
= Mba e
0
Ei = Ea + h̄ω
isotropes System: (n̂ · 0 ~rac )(n̂ · ~rca ) = (n̂ 0 · n̂)|Zca |2
2
2
2
X
ω
2e ωca |Zca | σRay (Ω) = 4 (n̂ 0 · n̂)2
2 )
c h̄(ω 2 − wca
c6=a
4
Übergangswahrscheinlichkeit
2
Paν→bν = |ab (t)| = 4|Mba |
0
Für t h̄
ist P ∼ t
Ef − E i
2
sin2
(Ef −Ei )t
2h̄
(Ef − Ei )2
(n̂ 0 · n̂) = sin θ
klass. Streuquerschnitt:
kl
σRay
(Ω) =
139
2
i(ωda −ω 0 )t
e
h̄(ω 0 + ωda )
X
(n̂ 0 · ~rbc )(n̂ · ~rca ) (n̂ · ~rbc )(n̂ 0 · ~rca )
−
ω − ωca
ω 0 + ωca
in dΩ und Endenergie h̄ω 0 = Ea − Eb + h̄ω
03
ih̄
ωbc ωca
c6=b
Differentieller Wirkungsquerschnitt für Streung von Photonen mit Energie h̄ω
2.Stufe
X
X
ω4 2 2
α sin θ
c4
140
α : Polarisierbarkeit
α=
X 2e2 ωca |Zca |2
c6=a
2 − ω2 )
h̄(ωca
Divergiert für ω = ωca . Abhilfe: endliche Lebensdauer von |ci
ωca → ωca + i
⇒
γca
2
|ac (t)|2 = e−γca t
ac (t) ∼ e−
γca
2
t iωca t
e
Streuresonanzen bei ω ≈ ωca , Breite γca
2
σmax
=
141
4
4ωca
2
c
e2
h̄c
2
142
|Zca |2
sin2 θ
2
γca
16. Der Spin
b) Der Eigenraum Uj von J 2 wird aufgespannt von den (2j + 1) gemeinsamen Eigenvektoren von J 2 und J0 |jmi, wobei Jo |jmi = h̄m|jmi gilt.
m = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j heißt Magnetquantenzahl
16.1. Algebraische Behandlung des Drehimpulses
c) J± |jmi = h̄
p
j(j + 1) − m(m ± 1)|j, m ± 1i
Drehimpulseigenwerte
Beweis:
Betrachten Hilbertraum H
a) Sei |vi gemeinsamer Eigenvektor zu J~2 , J0
geg.: 3 hermitesche Operatoren J1 , J2 , J3
hv|vi = 0
[J1 , J2 ] = ih̄J3
J0 |vi = h̄µ|vi
Mögliche Eigenwerte
Def.:
und sei
J 0 = J3
†
J± = J1 ± iJ2 = J∓
⇒
J 2 |vi = h̄2 λ|vi
und zyklisch
1
J~2 = J12 + J22 + J32 = (J+ , J− + J− J+ ) + J02
2
1
2
= J+ J− + J0 − [J+ , J− ] = J+ J− + J02 − h̄J0
2
[J~2 , Ji ] = 0,
J~2 , J0 simultan meßbar
J± |vi = |v± i
Dann ist
hv± |v± i = hv|J∓ J± |vi
= hv|J 2 − J02 ∓ h̄J0 |vi
= h̄2 λ − h̄2 µ2 ∓ h̄µ
= h̄[λ − µ(µ ± 1)] ≥ 0
[J0 , J± ] = ±h̄J±
Theorem:
J0 |v± i = J0 J± |vi = h̄(µ ± 1)|v± i
J 2 |v± i = J 2 J± |vi = J± J 2 |vi
a) J~2 hat die Eigenwerte h̄2 j(j + 1), wobei
j = 0, 1, 2 · · · ganzzahlig oder
j = 12 , 32 , 52 halbzahlig.
= h̄2 λ|v± i
−1
1
(λ − µ(µ ± 1)) 2 J± |vi ist normierter Eigenzustand von J~2
h̄
und J0 mit Eigenwerten h̄2 λ, h̄(µ ± 1)
⇒
j heißt Drehimpuls- oder Spinquantenzahl.
143
144
b)
Wahl der Quantisierungsachse: z.B. ẑ
h̄2 λ = hv|J 2 |vi
Eigenvektoren
= hv|J02 |vi + hv|J12 |vi + hv|J22 |vi
≥
hv|J02 |vi
2
≥0
≥0
= h̄ µ
⇒ λ ≥ µ2
hσ|σ 0 i = δσ,σ 0
Schreibe λ = j(j + 1) ⇒ größtmögliches µ zu gegebenen λ = j(j + 1)
ist
h̄
| ↑i
2
h̄
Sz | ↓i = − | ↓i
2 2
2
~ | ↑ / ↓i = h̄ 1 1 + 1 | ↑ / ↓i
S
2 2
3
= h̄2 | ↑ / ↓i
4
Sz | ↑i =
|σi = | ↑ / ↓i
Jeder Zustand |ψi des Spins kann nach | ↑i und | ↓i entwickelt werden.
µmax = j
|ψi = | ↑ih↑ |ψi + | ↓ih↓ |ψi
kleinstmögliches µ
Matrixschreibweise: Zustand als Spinor
µmin = −j
| ↑i =
1
0
h↑ |ψi
| ↓i =
0
h↓ |ψi
1
Darstellung der Spinoperatoren:
c)
|vi sei Eigenvektor zu λ = j(j + 1) und µ = j
N -maliges Anwenden von J− muß kleinsten Eigenwert µ = −j ergeben,
d.h. j − N = −j
Bahndrehimpuls
l
Spin
s
⇒
j = N/2
h↑ |Sz | ↑i
h↑ Sz | ↓i
h↓ |Sz | ↑i h↓ |SZ | ↓i
=
h̄
2
1 0
0 1
Aus Vertauschungsrelationen folgt:
ganzzahlig
h↑ |Sx Sz − Sz Sx | ↑i = −ih̄h↑ |Sy | ↑i
h̄
= h↑ |Sx − Sx | ↑i = 0
2
h↑ |Sx Sz − Sz Sx | ↓i = −ih̄h↑ |Sy |\doi
halbzahlig oder ganzzahlig
= −ih̄h↑ |Sx | ↓i
Spin 12
j=
~ = (Sx , Sy , Sz ),
Spinoperator S
1
2
⇒
m=±
[Sx , Sy ] = ih̄Sz
145
1
2
⇒
h̄
Sx =
2
0
δ
δ∗
0
mit |δ| = 1, Konvention δ = 1
146
h̄
Sy =
2
0
iδ ∗
−iδ
0
1
~ = h̄ ~σ
Operatoren durch die Pauli Matrizen S
2
2
Darstellung der Spin
σx =
0 1
1 0
,
σy =
0 −i
i
0
,
σz =
1 0
0 1
S+ = Sx + iSy =
h̄
2
S− = Sx − iSy =
h̄
2
S+
1
S−
1
Eigenschaften der Paulimatrizen:
(i) σx2 = σy2 = σz2 =
1 0
0 1
=E
0
0
=
0
=
0
0
1
0 2
0 0
0 0
2 0
= h̄
= h̄
0 1
0 0
0 0
1 0
S+
=
1
S−
1
=
0
1
0
0
0
16.2. Addition von Drehimpulsen
(ii) [σx , σy ] = 2iσz und zyklisch
Gesamtspin
~2
~ =S
~1 + S
S
(v) Jede komplexe 2 × 2 Matrix kann in E und σi entwickelt werden:Aµν =
~ · ~σ
αδµν + β
h̄
Sx =
2
h̄
Sy =
2
h̄
Sz =
2
147
~1 und S
~2
Betrachten zwei Spin 12 -Systeme S
| ↑↑i, | ↑↓i, | ↓↑i, | ↓↓i
(iv) (~a · ~σ ) ~b · ~σ = ~a · ~b E + i a × ~b · σ
0 1
1 0
0 −i
i
0
1
0
0 −1
[S1x , S2y ] = 0,
[Sx , Sy ] = ih̄Sz
Es gilt
Sz | ↑↑i = (S1z + S2z )| ↑↑i = (
h̄ h̄
+ )| ↑↑i
2
2
Sz | ↓↓i = −h̄| ↓↓i
Sz | ↑↓i = Sz | ↓↑i = 0
⇒
Eigenwerte von Sz : 0, ±1
S=1
Triplett Sz = −1, 0, +1
148
0
→ Eigenwerte ±1
(iii) Antikommutatorrelation.: σi σj + σj σi = {σi , σj } = 2δij
S=0
Singulett Sz = 0
Wegen
~ 2 | ↑↑i = h̄2 S(S + 1)| ↑↑i
S
[~j, ~j1,2 ] = 0
~ 2 + 2S10 S20 + S1+ S2− + S1− S2+ )| ↑↑i
~ ↑↑i = (S
~2 + S
S|
1
2
h̄ h̄
3 2 3 2
)| ↑↑i
= ( h̄ + h̄ + 2
4
4
22
= 2h̄2 | ↑↑i
2
J~12
|j1 j2 jmi = h̄2 j12 (j12 + 1)|j1 j2 jmi
J~2 |j1 j2 jmi = h̄2 j(j + 1)|j1 j2 jmi
2
= h̄ S(S + 1)| ↑↑i
⇒
S=1
~ 2 mit S = 1, m = 1
| ↑↑i ist Eigenvektor zu S
Analog
~ 2 mit S = 1, m = −1
| ↓↓i ist Eigenvektor zu S
J0 |j1 j2 jmi = h̄m|j1 j2 jmi
⇒ |S = 1, m = 1i
|j1 j2 jmi =
⇒ |S = 1, m = −1i
1
1
1
|S = 1, m = 0i = √ S− | ↑↑i = √ (S1− + S2− )| ↑↑i = √ (| ↑↓i + | ↓↑i)
h̄ 2
h̄ 2
2
X
j10 j20 m01 m02
|j10 j20 m01 m02 ihj10 j20 m01 m02 |j1 j2 jmi
Es gilt
hj10 j20 m10 m20 |j1 j2 jmi 6= 0
Triplettzustände S = 1
| ↑↑i
1
√ (| ↑↓i + | ↓↑i) | ↓↓i
2
wenn j10 = j1 , j20 = j2 , m01 + m02 = m
Singulettzustände S = 0, m = 0
1
√ (| ↑↓i − | ↓↑i)
2
Zwei beliebige Drehimpulse J~1 , J~2
⇒
|j1 j2 jmi =
X
m1 ,m2
m1 +m2 =m
|j1 j2 m1 m2 ihj1 j2 m1 m2 |j1 j2 jmi
(Clebsch-Gordon-Koeffizienten)
J~12 |j12 , m12 i = h̄2 j12 (j12 + 1)|j12 , m12 i
0
|j12 , m12 i = h̄m12 |j12 , m12 i
J12
16.3. Spin- und Bahnfreiheitsgrade
~ +S
~
z.B. Gesamtdrehimpuls J~ = L
|j1 j2 m1 m2 i = |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i
Gesucht Eigenzustände von J~2 , J0 , J~ = J~1 + J~2
149
Betrachte Teilchen mit Spin
1
2
Zustand spezifiziert durch Wahrscheinlichkeitsamplitude, das Teilchen am Ort
150
~r mit Spinprojektion ↑ (↓) zu finden
Proton
ψ(~r) =
ψ↑ (~r)
ψ↓ (~r)
Neutron
g = 5, 59
g = −3, 83
Totales magnetisches Moment des Elektrons
ψ↑ (~r) = h~r, ↑ |ψi
ψ↓ (~r) = h~r, ↓ |ψi
Totale Wahrscheinlichkeit, das Teilchens am Punkt ~r zu finden
µ
~ tot =
~ :
Klassische Energie eines magnetischen Moments in Magnetfeld B
Quantenmechanisch:
~ r , t)
HSpin = −~
µSpin B(~
|ψ↑ (~r)|2 + |ψ↓ (~r)|2
Normierung
Z
e ~
~
(L + 2S)
2mc
d3 r (|ψ↑ (~r)|2 + |ψ↓ (~r)|2 ) = 1
17.2. Zeeman-Effekt des H-Atoms
17. Der Spin im Magnetfeld
H=
17.1. Das magnetische Moment des Spins
~ hat magKlassisches Teilchen der Ladung e, Masse m und Bahndrehimpuls L
1
e ~~
e~ 2
e
−
(~
p − A)
SB − 2
2m
c
mc
r
~ = (0, 0, B), Eichung A
~ = − 1 ~r × B
~
Statisches Magnetfeld B
2
H=
p2
e2
~ + 0(B 2 )
−
−µ
~ tot B
2m
r
netisches Moment
µBahn =
e ~
L
2mc
Gilt auch quantenmechanisch, aber Komponenten von µ
~ nicht simultan meßbar
Magnetisches Moment eines Eigendrehimpulses (Spins) hat die Größe
µ
~ Spin
e ~
=g
S
2mc
µ
~ tot =
e ~
~
(L + 2S)
2mc
Energieverschiebung in erster Ordnung:
~
∆Enlmσ = hnlmσ| − µ
~ tot B|nlmσi
= µB B(m + 2σ)
g heißt Lande’scher g-Faktor
Elektron
Aufspaltung eines p-Zustands (l = 1)
g=2
151
152
µB =
|e|h̄
2mc
~
−~
µB
wird beobachtet in stationären Feldern (> 1 kGauss)
VIII. RELATIVISTISCHE QUANTENTHEORIE
Hohe Frequenzen ⇒ relativistische Wellengleichung
Überprüfen Begriffe der nichtrelativistischen Quantenmechanik auf Brauchbarkeit.
Nichrelativistische Quantenmechanik: man kann kein Teilchen beliebig genau in Raum und Zeit lokalisieren ⇒ Impuls-, Energieunschärfe.
Relativistische Quantenmechanik: man kann ein Teilchen nicht in einem
beliebig kleinen Raumbereich lokalisieren:
∆x <
p2
h̄
⇒
> 2mc2
4mc
2m
⇒ Bildung von Teilchenpaaren
⇒ Vorstellung von unveränderlicher Teilchenzahl verliert ihren Sinn,
z.B. bildet ein schnelles Elektron im Umfeld Photonen,
ein Photon bildet Elektron-Positron-Paare usw.
Lawinenartiges Anwachsen der Teilchenzahl ⇒
Teilchenschauer in kosmischer Strahlung.
⇒ wir benötigen eine Theorie, die in relativistischer Art und Weise
Erzeugung oder Vernichtung von Teilchen beschreibt
= Quantenelektrodynamik.
Hier: (erste Etappe)
relativistische Wellengleichung,
153
154
aber konstante Teilchenzahl.
2
Lichtkegel: Raumzeitpunkte, in denen ein im Weltpunkt 0 ausgesandter
2
p relativistisch, aber p /2m < 2mc .
Lichtstrahl eintrifft.
Weltlinie von Teilchen mit v < c nur innerhalb des Lichkegels möglich.
18. Relativistische Teilchen mit Spin 0. Klein-Gordon-Gleichung
18.1. Klassisch relativistische Dynamik
Relativistische Kausalität
Norm = relativistischer Abstand eines Viererverktors:
P
|x| = (x0 )2 − 3i=1 (xi )2 .
2
Abstand definiert durch metrischen Tensor:

Betrachten Raum-Zeit-Punkt:
0
1
2
3
x = ct, (x , x , x ) = ~x
1
0
0
 0 −1 0

gµν = 
 0 0 −1
Lichtkegel: v ≤ c
Bewegung nur innerhalb des Lichtkegels möglich.
0
0
0
0

0 


0 
−1
kontravariante Vektoren: aµ , z.B. xµ
kovariante Vektoren: aµ , z.B. ∂/∂xµ .
aµ = gµν aν Summationskonvention.
Skalarprodukt: aµ bµ = aµ gµν bν = a0 b0 − ~a · ~b
Norm:
aµ aµ


 < 0 , raumartig
= 0 , lichtartig
=


> 0 , zeitartig
Relativistische Koordinatentransformation (Änderung des Bezugssystems):
Loentztransformation:
x0
µ
= Ω µ ν xν
verallgemeinerte Drehung im 4-d Raum
155
156
reell:
18.2. Relativistische Mechanik
Ω∗µν = Ωµν
Erhalten Norm:
Teilchen der (Ruhe-)Masse m mit Geschwindigkeit ~v = d~x/dt.
p
Relativistische Masse: M = m/ 1 − v 2 /c2
mechanischer Impuls: ~π = M~v
Ωµν Ωµλ = δν λ
SO(1,3)-Transformationen “orthogonal”.
Energie: E = M c2
raumartig → raumartig
mechanischer Vierererimpuls: π µ = (M c = E/c, ~π )
Norm: πµ π µ = m2 c2 /(1 − v 2 /c2 ) − v 2 m2 /(1 − v 2 /c2 ) = m2 c2
lichtartig → lichtartig
Lorentzkovarianz!
zeitartig → zeitartig
Explizite Konstruktion für Zeit und eine Raumkoordinate:
Ωµ ν =
Ωµν =
Ω
µν
=
cosh φ
sinh φ
sinh φ
cosh φ
cosh φ
sinh φ
− sinh φ
− cosh φ
cosh φ
sinh φ
− sinh φ
− cosh φ
cosh2 φ − sinh2 φ = 1
Relativistische Energie-Impulsbeziehung:
p
p~2
~π 2 c2 + m2 c4 ≈ mc2 +
E =
2m
Eigenzeit (Zeit im Ruhesystem)
r
v2
µ 1/2
dτ = (dxµ dx )
=
1 − 2 dt
c
(Bewegte Uhren gehen langsamer)
Vierergeschwindigkeit: uµ = dxµ /dτ = π µ /m
18.3. Teilchen der Ladung e im elektrischen Feld
xµ = (ct, vt) , xµ xµ = t2 (c2 − v 2 ) = t2 c2 (1 − v 2 /c2 )
µ
x 0 = t(c cosh φ + v sinh φ, c sinh φ + v cosh φ)
~ Felder E
~ und B)
~
(Potential φ, A,
d~π
~ + 1 ~v × B)
~
= e(E
dt
c
d
d
d
(πµ π µ ) = 0 = c2 M M − ~π ~π
dt
dt
dt
d
1 ~π d~π
e
~
M = 2
·
= 2 (~v · E)
dt
c M dt
c
Hamiltontransformation:
⇒
157
158
~
kanonischer Impuls: p~ = ~π + eA/c
Relativistische Energie-Impulsbeziehung:
p
p~2 c2 + m2 c4
E =
µ
kanonischer Viererimpuls: p = (M c + eφ/c, p
~)
Hamiltonfunktion:
H(~x, p~) = eφ + c
r
e ~ 2
p
~2 − A
+ m 2 c2
c
⇒
s
2
∂
h̄ ~
ih̄
ψ(~r, t) = c
∇ c2 + m2 c4 ψ(~r, t)
∂t
i
|
{z
}
nichtlokaler Operator
Z
=
d3 r 0 K(~r − ~r 0 ) ψ(~r 0 , t)
Bewegungsgleichungen:
d~x
∂H
~π
= ~v =
=
dt
∂~
p
M
K(~r − ~r 0 ) =
~
∂H
d~
p
~ + e dA
~ + ~v × B
= −
= e E
dt
∂~x
c
c dt
Z
p
0
d3 p
ei~p(~r−~r )/h̄ c p~2 + m2 c2
3
(2πh̄)
nichtlokale Gleichung; verknüpft ψ(~r, t) mit ψ(~r 0 , t).
p
Für |~
p| ≤ mc ist der Term p~2 + m2 c2 ungefähr konstant
⇒ Beiträge zum Integral für |~r − ~r 0 | ≥ h̄/|~
p| ≥ h̄/mc.
18.4. Klein-Gordon-Gleichung
∂ψ(~r, t)/∂t hängt ab von ψ(~r 0 , t) außerhalb des Lichtkegels:
relativistische Kausalität ist verletzt.
Quantenmechanik: Phasenänderung der Wellenfunktion in Raum und Zeit
hängt mit Impuls p~ und Energie E (eines Teilchens) zusammen:
Ausweg: Quadrieren der E(~
p)-Relation:
E2 = p
~ 2 c2 + m 2 c4
ψ(~r, t) = ei(~p·~r−Et)/h̄
Aus Energie-Impuls-Relation E = p2 /2m folgt die Schrödingergleichung
ih̄
∂
1
ψ(~r, t) =
∂t
2m
h̄ ~
∇
i
Korrespondenzprinzip:
E → ih̄
∂
∂t
h̄ ~
p
~ → ∇
i
159
2
ψ(~r, t)
ih̄ ∂
c ∂t
2
ψ(~r, t) =
h̄ ~
∇
i
2
ψ(~r, t) + m2 c2 ψ(~r, t)
Klein-Gordon-Gleichung
Kopplung an elektromagnetische Felder:
∂
∂
ih̄ → ih̄ − eφ
∂t
∂t
h̄ ~
e~
h̄ ~
∇ → ∇− A
i
i
c
i
c2
ih̄
∂
− eφ
∂t
2
ψ(~r, t) =
h̄ ~
e~
∇ − A(~
r , t)
i
c
160
2
ψ(~r, t) + m2 c2 ψ(~r, t)
Verhalten unter Lorentztransformation
h 1 ∂2
2 2 i
~ 2 + m c ψ(~r, t) = 0
−
∇
2
2
h̄2
|c ∂t{z
}
∂µ ∂ µ
⇒ Wenn ψ Lösung ist, so ist auch ψ ∗ Lösung
1 ∂2
1 ∂2
m2 c 2
m2 c 2
∗
2
2
~
~
ψ−ψ 2 2 −∇ +
ψ∗ = 0
⇒
ψ
−∇ +
c2 ∂t2
c ∂t
h̄2
h̄2
Kontinuitätsgleichung
∂
~ · ~j(~r, t) = 0
ρ(~r, t) + ∇
∂t
invariant unter Lorentztransvormationen
Dichte
ih̄
ρ(~r, t) =
2mc2
Invarianz der Wellengleichung ⇒ ψ 0 (~r 0 , t 0 ) = ψ(~r, t): Transformationsverhalten eines Skalars
∂
∂
ψ − ψ ψ∗
ψ
∂t
∂t
∗
Stromdichte:
~ − ψ ∇ψ
~ ∗
~j(~r, t) = h̄ ψ ∗ ∇ψ
2im
Z
18.5. Eigenschaften der Klein-Gordon-Gleichung
3
d rρ(~r, t) = const =
>0
<0
kovariante Schreibweise
j µ = (cρ, ~j)
(i) Differentialgleichung 2. Ordnung in der Zeit
Anfangsbedingung für ψ und ∂ψ/∂t
⇒
Zusätzlicher Freiheitsgrad –
Antiteilchen
ψ = ei(~p~r−Et)/h̄
2 Lösungen für E: E = ±c
p
p 2 + m 2 c2
positive und negative Energie.
Teilchen mit negativer Energie =
Antiteilchen
∗
Z (ii) ρ = ψ ψ keine gute Wahrscheinlichkeitsdichte mehr,
da
d3 rψ ∗ ψ 6= const
Konstitution einer anderen Kontinuitätsgleichung. Der Differentialoperator der
Klein-Gordon-Gleichung ist reell.
161
Kontinuitätsgleichung:
∂ µ
j =0
∂xµ
ρ(~r, t) kann nicht als Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden
eρ(~r, t) : Ladungsdichte
~j(~r, t) : elektrische Stromdichte
Für neutrale Teilchen ψ(~r, t) reell ⇒ ρ, ~j = 0
ρ, ~j im elektromagnetischen Feld
∂
∂
1
∗
ψ ih̄ − eφ ψ + ψ ih̄ − eφ ψ ∗
ρ(~r, t) =
2mc2
∂t
∂t
~ − eA
~ ψ + ψ − h̄ ∇
~ − eA
~ ψ∗
~j = 1 ψ ∗ h̄ ∇
2m
i
c
i
c
162
Zustände negativer Energie und Antiteilchen
Konjugiert komplexe Klein-Gordon-Gleichung:
#
"
2
2
∂
h̄
e
1
~ + A
~ + m2 c2 ψ ∗ (~r, t)
ih̄ + eφ ψ ∗ (~r, t) =
∇
c2
∂t
i
c
positive Energie: Betrachten freies Teilchen in Ruhe (~
p = 0):
ψ(~r, t) = e−imc
2
Im Koordinatensystem bewegt mit −~v :
p~ = r
m~v
v2
1− 2
c
0
⇒ Wenn ψ Lösung der K.-G.-Gleichung mit Ladung e ist, dann ist ψ ∗ Lösung
⇒ ρ = 1, ~j = 0
t/h̄
Ep = r
,
0
mit Ladung −e. Die Wellenfunktion eines Antiteilchens ist die konjugiert komplexe einer Lösung negativer Energie:
mc2
1−
ψ(E > 0) = ψ ∗ (E < 0)
v2
c2
ψ 0 (~r 0 , t 0 ) = ei(~p·~r −Ep t )/h̄ = ψ(~r, t) = e−imc
Ep
⇒ ρ(~r 0 , t 0 ) =
>1
mc2
2
~j(~r 0 , t 0 ) = p~ = p~c ρ(~r 0 , t 0 )
m
Ep
2
Beispiel: geladene π-Mesonen: π + , −π −
t/h̄
Übergang K.-G.-Gleichung zur Schrödingergleichung
Nichtrelativistischer Grenzfall
Unitäre Transformation: ψ(~r, t) = φ(~r, t)e−i
2
t/h̄
,
E = −mc2
E = E 0 + mc2 ,
~j = 0
⇒ ρ = −1,
Interpretation: positive Dichte von Antiteilchen mit Energie +mc
⇒
2
Im Koordinatensystem bewegt mit −~v :
ψ 0 (~r 0 , t 0 ) = ei(~p·~r
p~ = r
t
Nichtrelativistische Näherung:
Lösungen negativer Energie
ψ(~r, t) = eimc
mc2
h̄
0
−Ep t 0 )/h̄
m~v
2
1−
v
c2
Ep = r
,
mc
v2
c2
Ep
mc2
p
~c2
~
~j(~r 0 , t 0 ) = − p
=
ρ(~r 0 , t 0 )
m
Ep
ρ(~r 0 , t 0 ) = −
Teilchen mit Ladung e
eρ(~r, t) Ladungsdichte
> 0 Teilchen
< 0 Antiteilchen
Koppeln Antiteilchen ans elektromagnetische Feld mit der Ladung −e
163
∂
φ ∼ E 0 φ mc2 φ
∂t
2
∂
imc2
∂
⇒ ψ=
φ−
φ e−imc t/h̄
∂t
∂t
h̄
ih̄
2
imc2
≈−
φ e−imc t/h̄
h̄
2
m2 c 4
∂2
2imc2 ∂
φ
+
ψ
≈
φ
e−imc t/h̄
∂t2
h̄ ∂t
h̄2
2
1−
E 0 mc2
⇒
ih̄
∂
h̄2 ~ 2
φ=−
∇ φ
∂t
2m
ρ → φ∗ φ
~ − φ∇φ
~ ∗
~j → h̄ φ∗ ∇φ
2mi
164
19. Propagatortheorie – Kausalität
Störungstheorie : H = H0 + V
1
ψ(t) = ψ(t0 ) +
ih̄
Huygensches Prinzip:
Wenn die Wellenfunktion ψ(x, t) bekannt ist zur Zeit t, kann ψ(x 0 , t 0 ) gefunden
werden, indem man jeden Raumpunkt x zur Zeit t als Quelle einer Kugelwelle
ansieht. Die Amplitude der vom Punkt x zur Zeit t 0 am Punkt x 0 angekommene
Welle ist proportional zu ψ(x, t)
Zt
dt1 V (t1 )ψ(t0 ) +
t0
1
ih̄
2 Z t
dt1
t0
Zt1
dt2 V (t1 )V (t2 )ψ(t0 )
t0
+···
Zeitordnug t1 > t2 > t3
#
" R
=T e
1
ih̄
t
t0
dtt1 V (t1 )
ψ(t0 )
Proportionalitätskonstante: i G(x 0 , t 0 ; x, t)
0
0
0
0
ψ(x , t ) = i
Z
3
0
0
d x dt G(x , t ; x, t) ψ(x, t)
⇒ G(x 0 , t 0 ; x, t) = G0 (x 0 , t 0 ; x, t)
Z
+
dt1 dx1 G0 (x 0 , t 0 ; x1 , t1 )V (t1 , x1 )G0 (x1 , t1 ; x, t)
t 0 >t1 >t
G(x , t ; x, t): Greensfunktion, Propagator
G(x 0 , t 0 ; x, t)
6= 0 t 0 > t Kausalität (Keine Wirkung ohne Ursache)
= 0 t0 < t
+
Z
dt1 dt2 dx1 dx2 G0 (x 0 , t 0 ; x1 , t1 )V (x1 , t1 )G0 (x1 , t1 ; x2 , t2 )
t 0 >t2 >t1 >t
V (x2 , t2 )G0 (x2 , t2 ; x, t) + · · ·
0
0
⇒ G(x , t ; x, t) = 0
Retadierte Greensfunktion
0
t <t
wenn G0 (x 0 , t 0 ; x, t) = 0
t0 < t
Betrachten Schrödingergleichung:
i
∂
−H
∂t 0
ψ(x 0 , t 0 ) = 0
Greenfunktion:
i
∂
−H
∂t 0
freie Bewegung:
G0 (x 0 , t 0 ; x, t) ∼ θ(t 0 − t)
G(x 0 , t 0 ; x, t) = δ(t − t 0 )δ(x − x 0 )

−1
θ(t) = lim 
→0
2πi
Gesucht: G(x 0 , t 0 ; x, t)
Überprüfe Kausalität:
165
Z∞
−∞
166

e−iωt 
dω
ω + i
Klein-Gordon Gleichung und freie Propagatoren
H0 (x 0 ) = −
1 ∂2
2m ∂~x 02
∂2
1 2 ∂2
−
=
2
c ∂t
∂~x2
G0 (~x 0 , t 0 ; ~x, t) = G0 (~x 0 − ~x, t 0 − t)
G0 (~x 0 − ~x, t 0 − t) =
i
Z
(
0
0
d3 p
dω ei~p·(~x −~x) e−iω(t −t) G0 (~
p, w)
4
(2π)
m2 c2 /h̄2 = m2 in einem Einheitensystem, in dem c = h̄ = 1.
∂
1 ∂2
G0 (~x 0 − ~x, t 0 − t) =
+
∂t 0
2m ∂~x 02
Z
0
0
p~2
d3 p
G0 (~
dω
ω
−
p, w) e−iω(t −t) ei~p·(~x −~x)
4
(2π)
2m
⇒
2
ω−
p~
2m

δ(x) = 1
2π
G0 = 1
G0 (~
p, ω) =
Z∞
−∞
1
(2π)4
G(x − y) =
+ m2 ) G(x, y) = δ 4 (x − y)
Z
d4 p e−ip·(x−y) G(p)
(−p2 + m2 )G(p) = 1
G(p) =

dωeiωt 
−1
(p0 ± i)2 − p
~ 2 − m2
1
G ret (x) = −
adv
(2π)4
Z
d4 p
e−ip·x
(p0 ± i)2 − p~ 2 − m2
Lorentzinvariante Distribution?
1
ω ± i −
p
~2
2m
m2 = 0
⇒
G(x) =
1
θ(±x0 ) δ 4 (xµ xµ )
2π
Nichtverschwindender Träger nur auf dem Lichtkegel!
Singularität im Nenner wird durch Retardierungsbedingung festgelegt.
⇒ G0 (~x 0 − ~x, t 0 − t) =
Z
3
d p i~p·(~x
e
(2π)3
0
−~
x)
= −iθ (±(t 0 − t))
=
Z∞
−∞
Z
m2 = 0
⇒
Nichtverschwindender Träger innerhalb des
−iω(t 0 −t)
dω e
2π ω −
p
~2
2m
± i
Vorwärtslichtkegels für Teilchen mit ω > 0
Rückwärtslichtkegels für Teilchen mit ω < 0
d3 p i~p·(~x 0 −~x)−i p~2 (t 0 −t)
2m
e
(2π)3
Retadierte Greensfunktion
Avancierte Greensfunktion
167
168
19.1. Spinor-Formulierung der Klein-Gordon-Gleichung
Ladungsdichte:
ρ(~r, t) = |φ(~r, t)|2 − |χ(~r, t)|2 = ψ † τ3 ψ
Einfache Interpretation der Klein-Gordon-Gleichung durch Zerlegung in zwei
Differentialgleichungen 1. Ordnung in der Zeit
Dt = ih̄
∂
− eΦ,
∂t
ψ † = (φ∗ , χ∗ )
~ r = h̄ ∇
~ − eA
~
D
i
c
Strom:
~ r2 ψ + m2 c4 ψ
Dt2 ψ = c2 D
⇒
mit
φ=
1
1
[ψ +
Dt ψ]
2
mc2
χ=
1
1
[ψ −
Dt ψ]
2
mc2
h
i
~ − (∇ψ
~ † )τ3 (τ3 + iτ2 )ψ
~j(~r, t) = h̄ ψ † τ3 (τ3 + iτ2 )∇ψ
2m
e ~ †
Aψ τ3 (τ3 + iτ2 )ψ
−
mc
Normierungsbedingung:
Dt ψ = mc2 (φ − χ)
ψ = φ + χ,
Z
Dt ψ = Dt (φ + χ) = mc2 (φ − χ)
d3 r ρ(~r, t) =
Z
d3 r ψ † τ3 ψ = ±1
Z
d 3 r ψ † τ3 ψ 0
Skalarprodukt:
1 ~2
1
Dt2 ψ = Dt (φ − χ) = D
(φ + χ) + mc2 (φ + χ)
2
mc
m r
0
hψ|ψ i =
1 ~2
D (φ + χ) + mc2 φ
⇒
Dt φ =
2m r
1 ~2
D (φ + χ) − mc2 χ
Dt χ = −
2m r
2 gekoppelte Differentialgleichungen
Hamiltonoperator
ih̄
∂ψ
= Hψ
∂t
Spinorschreibweise
ψ(~r, t) =
Pauli-Matrizen
τ1 =
ih̄
0 1
1 0
"
∂ψ
1
=
∂t
2m
,
τ2 =
φ(~r, t)
χ(~r, t)
0 −i
i
e~
h̄ ~
∇ − A(~
r , t)
i
c
2
2x2-Matrix-Gleichung
0
,
H=
τ3 =
1
0
0 −1
#
(τ3 + iτ2 ) + mc2 τ3 + eΦ1 ψ
e~
h̄ ~
∇− A
i
c
2
(τ3 + iτ2 ) + eΦ + mc2 τ3
H ist hermitesch bezüglich des eingeführten Skalarprodukts
hψ|Hψ 0 i = (hψ 0 |Hψi)∗
da τ3 (τ3 + iτ2 ) = (τ3 − iτ2 )τ3
⇒
169
1
2m
Eigenvektoren reell, Eigenfunktionen orthogonal
170
Ladungskonjugierter Zustand (Vorzeichen der Ladung umgedreht)
Dt = ih̄
Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten:
∂
− eΦ
∂t
Ep = mc2 +
wegen φ(e) = χ∗ (−e) und χ(e) = φ∗ (−e)
ψc =
χ∗
φ
∗
ψ (+)
p
= τ1 ψ
=
∗
1
−v 2 /(2c2 )
"
1
τ1 H (e)τ1 = −
2m
ih̄
∂
ψ
∂t
∗
e~
h̄ ~
∇+ A
i
c
= −ih̄
2
2
#
(τ3 + iτ2 ) − eΦ + mc τ3 = −H(−e)
ψ(~r, t) =
=
s
ψ(~r, t) =
mc2 i(~p·~r−Ep t)/h̄
e
Ep
Z
Antiteilchenspinor
(−)
mc2 + Ep
2
mc − Ep
(Normierung:
mc2 − Ep
mc2 + Ep
171
= τ1 ψ p(+)
~
R
†
d3 r ψ (+)
τ3 ψ(~r, t)e−i~p·~r/h̄
p
Z
†
d3 r ψ (−)
τ3 ψ(~r, t)ei~p·~r/h̄
p
(−)
(ψ (−)
)† τ 3 ψp ) = 1 )
p
Falls ψ(~r, t) normiert
Z
(−)
Z
vp∗ (t) = −
ψp~ (~r, t) = ψp~ e−i(~p·~r−Ep t)/h̄
1
ψp(−) = p
2 Ep mc2
d3 p i~p·~r/h̄
e
ψ p~ (t)
(2πh̄)3
i
d3 p h
up (t)ψ (+)
ei~p·~r/h̄ + vp∗ (t)ψ (−)
e−i~p·~r/h̄
3
p
p
(2πh̄)
up (t) =
ψ p(+)
(~r, t) = ψ (+)
ei(~p·~r−Ep t)/h̄
~
p
1
= p
2 Ep mc2
Z
up , vp : Amplituden der Teilchen- bzw. Antiteilchenzustände
Teilchenspinor
ψp†
1
∗
ψ p (t) = up (t)ψ (+)
+ v−p
ψ (−)
p
−p
Normierte Wellenfunktion freier Teilchen
(+)
ψp~ (~r, t)
−v 2 /(2c2 )
Entwicklung von ψ nach freien Teilchen- bzw. Antiteilchenzuständen
∂
ih̄ ψ c = H(−e)ψ c
∂t
Teilchen:
=
†
τ3 ψ (−)
=0
ψ (+)
p
p
∂ ∗
ψ = H ∗ (e)ψ ∗ = −τ1 H(−e)τ1 ψ ∗
∂t
⇒
ψ (−)
p
Orthogonalität:
τ1 ist der Operator der Ladungskonjugation
∗
m 2
v
2
d3 rψ † τ3 ψ =
Z
d3 r
(|up |2 − |vp |2 ) = ±1
(2πh̄)3
Amplituden up , vp können beliebig groß sein
⇒
viele Teilchen-Antiteilchenpaare
172
19.2. Reflexion an einer Potentialschwelle
Reflexionskoeffizient
p−k
b
=
a
p+k
Transmissionskoeffizient
2p
d
=
a
p+k
k reell, b/a, d/a 6= 1
(ii)
Stationäre Klein-Gordon-Gleichung in einer Dimension
(Ep − V )2 ψ(x) = c2 (−h̄2
ψ(x) =
k = iκ,
2
d
+ mc2 )ψ(x)
dx2
aeipx/h̄ + be−ipx/h̄
de
Ep − mc2 < V < Ep + mc2
x<0
−ikx/h̄
κ=
1
c
q
d.h. V < 2mc2
m2 c4 − (Ep − V )2
Totalreflexion: |b/a| = 1
V > Ep + mc2
(iii)
(V > 2mc2 )
x>0
k reell, Teilchenstrom für x > 0 mit Gruppengeschwindigkeit
2 2
2
2 4
c k = (Ep − V ) − m c
Anschlußbedingung: ψ und
∂ψ
∂x
vg =
stetig bei x = 0
vg > 0 für k < 0
a+b=d
p(a − b) = kd
Ladungsdichte x > 0
⇒
h̄2 c2 k
h̄2 k
∂Ep
=
=−
∂k
Ep − V
m
Reflexionsamplitude b/a > 1
ρ(x) =
⇒
b=
p−k
a
p+k
d=
2p
a
p+k
Ep − V 2
|d| < 0
mc2
Interpretation: Erzeugung von Teilchen-Antiteilchenpaaren an
der Potentialschwelle (Ladungserhaltung)
(i)
Ep > V + mc2
1
k= 2
h̄
q
Teilchen fließen nach links (x < 0) - abstoßendes Potential
Antiteilchen nach rechts (x > 0) - anziehendes Potential
Medium wird polarisiert
(Ep − V )2 − m2 c4
Reflexion und Transmission, b und d endlich
173
Folgerung: Einteilchenbild versagt, wenn das Potential V > 2mc2 ⇒
Vielteilchenproblem mit Wechselwirkung ⇒
relativistische Quantenfeldtheorie
174
1 ∂2
2m0 Ze2
l0 (l0 + 1)
2
0 0
+
ϕ(r) = 0
r−
2m E + h̄
r ∂r2
r2
r
19.3. Gebundene Zustände
dimensionslose Variable
r00
Gebundener Zustand der Energie E
Wechselwirkungsparameter
ψ(~r, t) = e−iEt/h̄ ψ(~r)
h̄
2m0 |E 0 |
2m0 Ze2
=
h̄2
Ladungsdichte
ρ(~r) =
e[E − eφ(r)]
|ψ(~r)|2
mc2
ρ > 0 für E > eφ (klassisch erlaubter Bereich)
Spin-0-Teilchen im Coulomb-Potential:
Verhalten für x → ∞
z.B. π − (Pion) im Feld des Atomkerns
Potenzreihenansatz:
ρ < 0 für E < eφ
Ze
eφ(~r) = −
r
2
"
Ze2
E+
r
2
+ h̄ c ∇ − mc
4
#
E2
− m 2 c2
c2
+ h̄
2
m0 =
E
c2
⇒
∞
X
n=0
ψ(~r) = 0
r
r0
2m0 c2
|E 0 |
1/2
d2
−
1
φ(x) = 0
dx2
→ φ(x) ∼ e−x
∞
X
a n xn
an xn+s − 2(n + s − 1)xn+s−1
+ (n + s + 1)(n + s) − l 0 (l 0 + 1)xn+s−2 + xn+s−1 − xn+s
Koeffizientenvergleich
ψlm (θ, φ)ϕ(r)
2m0 E 0 =
x=
= Zα
Einsetzen in DGL ergibt:
e−x
1 ∂2
l(l + 1) − (Zα)2
r
−
r ∂r2
r2
,
n=0
Drehimpulseigenfunktionen:
ψ(~r) =
r00
φ(x) = e−x xs
e
α=
h̄c
2 2~ 2
1/2
l0 (l0 + 1)
1 d2
x−
+ −1 ϕ=0
x dx2
x2
x
2
Klein-Gordon-Gleichung:
=
2Ze2 E
+
ϕ(r) = 0
r c2
xs−2
: s(s + 1) = (l 0 (l 0 + 1)
xn+s−1
: [−2(n + s + 1) + ]an
= 0
⇒ s = l0
+ [(n + s + 2)(n + s + 1) − l 0 (l 0 + 1)]an+1 = 0
⇒ rekursiv:
an+1 =
−2(n + s + 1) + an
(n + s + 2)(n + s + 1) − l 0 (l 0 + 1)
E2
− m 2 c2
c2
Normierbarkeit der gebundenen Zustände ist nur dann gewährleistet, wenn
0
0
2
l (l + 1) = l(l + 1) − (Zα) ,
175
l’ nicht ganzzahlig
die Reihe abbricht, d.h. wenn an = 0 für n > ν (Reihe bricht ab mit xs+ν )
176
angenommen ψl+0 + iψl−0 ist Lösung:
= ν = 2(ν + l 0 + 1),
0
ν = 0, 1, 2
jr ∼ ψl+0
0
r l+ · r l−
∂
∂
1
ψl−0 − ψl−0
ψl+0 =
= 2
∂r
∂r
r
r
mit n 0 = ν + l 0 + 1
En0 0 = −m 0 c2
Z 2 α2
2n 0 2
Energieeigenwerte:
1
En0 0 = − γνl Eνl
2
Z 2 α2
Z 2 α2
γνl =
q
2
2 = 0
n
ν + 12 + (l + 12 )2 − (Zα)2
Z 2 α2
Z 2 α2
4 4
1+
=
+ 0(Z α )
n2
n(l + 12 )
Das ist dieselbe Formel wie bei nichtrelatistischer Rechnung des Wasserstoffatoms
Drehimpulsquantenzahl
Hauptquantenzahl
1
l±0 = − ±
2
s
1
2
l+
2
n=ν+l+1
− (Zα)
2
Eνl = √
Entwicklung nach Zα 1
l±0
=

l −
2
1 (Zα)
2 l+ 12
 −l − 1 +
+···
2
1 (Zα)
2 l+ 12
+···
Spektrum π–mesonischer Atome
(i)
Verhalten der Wellenfunktion am Ursprung:
ψl 0 (r) ∼ el
0
l−0 ist auszuschließen, da ψl 0 (r) nicht normierbar (l 6= 0) bzw. (auch für l = 0)
1
der radiale Strom wie 2 divergiert, d.h. eine Quelle bei r = 0 existieren würde
r
j=
h̄
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
2im
177
mc2
3
n
|Zα|2
|Zα|2
4 4
= mc2 − mc2
−
α
)
1
+
+
0(Z
2n2
n2
4
1 + γνl
l + 12
n
3
− >0
4
l + 12
⇒ Niveauabsenkung
(ii) l - Entartung wird in Ordnung (Zα)4 aufgehoben - Feinstruktur
(iii) (Zα)2 > l(l + 1)
⇒
l 0 komplex
l(l + 1) − (Zα)4
r2
negativ ⇒ Teilchen stürzt ins Zentrum. Aber Teilchen- Antiteilchen-
Interpretation: effektives Zentrifugalpotential Veff =
erzeugung
178
20. Relativistische Teilchen mit Spin 1/2 – Dirac Gleichung
gilt auch für endliche Drehwinkel ω, denn:
~r 0 (ω + δω) = ~r 0 (ω) + δω ω̂ × ~r 0 (ω)
20.1. Drehungen im Orts- und Spinraum
⇒
diese Differentialgleichung wird gelöst durch ♣ :
Ortsraum: Ortsoperator ~r
Eigenzustände des Ortsoperators
d~r 0
= exp
dω
~r|~r0 i = ~r0 |~r0 i
i
~
ω
~ ·L
h̄
~r 0 |~r0 i = ~r00 |~r0 i
δ~
ω=ω
b δω
~r 0 = ~r + δ~
ω × ~r = ~r +
i
i
i
~
~
~
(ω̂ · L)~r − ~r (ω̂ · L) exp − ω
~ · L = ω̂ × ~r 0
h̄
h̄
h̄
Transformation von Ortseigenzuständen
infinitesimale Drehung um Achse ω
b mit Winkel dω:
Drehimpulsoperator:
d~r 0 (ω)
= ω̂ × ~r 0 (ω)
dω
i
i
0
~
~
~r exp − ω
~ · L |~r0 i = ~r0 exp − ω
~ · L |~r0 i
h̄
h̄
i
~ ~r]
[δ ω̂ · L,
h̄
⇒
~ = ~r × p~
L
h̄
[Li , rk ] = ijl [rj pl , rk ] = ijl rj δlk
i
[δ~
ω × ~r]n = nik δωi rk
i
~ |~r0 i = |~r 0 i
exp − ω
~ ·L
0
h̄
infinitesimal:
|~r00 i = |~r0 + δ~
ω × ~r0 i
i
~
ω · L |~r0 i
= 1 − δ~
h̄
Kommutator legt Darstellung als unitäre Transformation nahe (♣)
Drehimpulsoperator ist Generator (Erzeuger) von Drehungen im Ortsraum
~r 0 = exp
i
i
~
~
ω
~ · L · ~r · exp − ω
~ ·L
h̄
h̄
179
Spinraum:
180
Eigenzustände des Spinoperators:
h̄
~·n
S
b|b
n ↑i = |b
n ↑i
2
h̄
~·n
n ↓i
S
b|b
n ↓i = − |b
2
i
~ · m|m
~
~
b
↑i
~ ·S S
S·n
b d(~
ω )|m ↑i = exp − ω
h̄
h̄
=
d(~
ω )|m ↑i
2
n
b ist Quantisierungsachse
Infinitesimale Drehung der Quantisierungsachse m
b nach n
b
n
b=m
b + δ~
ω×m
b
~ ·n
d.h. (d(~
ω )|m ↑i) ist Eigenzustand |n ↑i von S
b.
infinitesimal:
~·n
~·m
~ ω × m)
~·m
S
b=S
b + S(δ~
~ =S
b + ijk δωi mj Sk
~ |m ↑i
|n ↑i = |m̂ + δ~
ω × m̂ ↑i = (1 − iδ~
ω · S/h̄
Spinvertauschungsrelationen:
[Si , Sj ] = ih̄ijk Sk
Eigenwert der Spin-1/2 Darstellung der Drehgruppe: Drehung um 2π: d(2π ω̂) =
Unitäre Transformation
~·n
S
b = exp
i
i
~
~
~
b exp − ω
ω
~ ·S S·m
~ ·S
h̄
h̄
~ durch die Paulimatrizen (Spin 1 ):
Darstellung von S
2
~ = h̄ ~σ
S
2
Drehoperator:
⇒ Spinoperator ist Generator von Drehungen im Spinraum.
i
~ · ~σ
d(~
ω ) = exp − ω
2
n
∞
X 1
i
− ω
~ · ~σ
=
n!
2
n=0
ω
ω
= cos − iω̂ · ~σ sin
2
2
Transformation von Spineigenzuständen (♣) :
i
~
|n ↑i = exp − ω
~ · S |m ↑i
h
181
−1
Die Darstellungen d(~
ω ) und d(~
ω + 2π ω̂) sind physikalisch gleichwertig
⇒ Darstellung ist doppelwertig.
20.2. Lorentztransformation des Spins
Betrachte zuerst Lorentztransformation des Bahndrehimpulses:
~ = ~r × p~,
L
Produkt zweier Vektoren

0

Lij = xi pj − xj pi =  −L3
L2
182
L3
0
−L1
−L2


L1 
0
Erweiterung auf vierdimensionale Vektoren:

µ1
µ2
0
L3
−L3
0
0
 −µ1

Lµν = 
 −µ2
−µ3
Verhalten bei räumlicher Spiegelung
L2
−L1
µ3

−L2 


L1 
0
Zeitartige Komponenten:
E
p − ~r
µ
~ = x p~ − p ~r = ct~
c
0
0
~r → −~r,
p~ → −~
p
~ → L,
~
L
µ
~ → −~
µ
Lorentztransformation des Spins (Eigendrehimpuls)
~ = h̄ ~σ
S
2
~ → S,
~
L
(σ Operator)
ih̄
α
~
2
α1 , α2 , α3 neuer Satz dynamischer Freiheitsgrade (Erzeuger von Lorentztransµ
~→
formationen im Spinraum)
Der Operator
∂
1
h̄ ~
− (ih̄ )~r
µ
~ = ct ∇
i
c
∂t
ist Erzeuger von infinitesimalen Lorentztransformationen
Lorentztransformation in Koordinatensystem, das sich mit Geschwindigkeit −~v
bewegt
(Erwartungswert von α → 0 bei v/c → 1)

0
iα1
 −iα1
0

σ µν = 
 −iα2 −σ3
Lorentztransformation von σ
0
−iα3
σ||0 = σ|| ,
L µν = Ωµα Ωνβ Lαβ
In Richtung ~v :
0
~σ⊥
=
L0|| = L|| ,
µ0|| = µ||
α
~ 0⊥ =
transversale Richtung:
~ ⊥ + ~v × µ
~
c
~ 0⊥ = Lq
L
2
1 − vc2
µ
~ 0⊥ =
~
µ
~ ⊥ − ~vc × L
q
2
1 − vc2
(Gleiche Transformation wie elektromagnetisches Feld)
183
σ2
µν
Algebraische Eigenschaften

iα2
iα3
σ3
−σ2 


σ1 
0
−σ1
0
iα04 = iα4
α
~σ⊥ + ~vc × ~i~
q
2
1 − vc2
i~
α⊥ − ~vc × ~σ
q
2
1 − vc2
σi σj + σj σi = 2δij
[σx , σy ] = 2iσz
σi2 = 1
und zyklisch
σj σk − σk σj = 2ijkl σl
Algebraische Eigenschaften der α1 , α2 , α3 ergeben sich aus
184
(i) Algbraische Eigenschaften des Spinoperators
Aber ~σ und α
~ verhalten sich verschieden bei Raumspiegelung
~σ → ~σ
σj σk = ijkl σl + δjk
Pseudovektor
α
~ → −~
α
Vektor
Definieren Paritätsoperator im Spinraum (β)
(ii) der Eigenschaft, daß ~σ Rotation der inneren Freiheitsgrade erzeugt und
β −1~σ β = ~σ
oder
β~σ = ~σ β
β −1 α
~ β = −~
α
oder
β~
α = −~
αβ
α
~ sich unter Rotation wie ein Vektor transformiert
Infinitisimale Drehung von α
~
eiδ~ω~σ/2 α
~ e−iδ~ω~σ /2 = α
~+
i
[(δ~
ω · ~σ )~
α−α
~ (~σ · δ~
ω)]
2
Es gilt β 2 = 1, β = ±1 Eigenwerte
Matrixdarstellung von α
~ , ~σ , β:
Dimension der Darstellung ist geradzahlig N = 2, 4, ...
Beweis:
(äquivalent zu α
~ →α
~ + δ~
ω×α
~)
det(β −1 αi β) = det(αi ββ −1 ) = det(αi ) = det(−αi ) = (−1)N det(αi )
αj σk − σk αj = 2ijkl αl
⇒
⇒
(iii) der Invarianz der Spinvertauschungsrelation bei Lorentztransformation
~v in z-Richtung
2

v
σx2 − i vc (σx αy + αy σx ) −
−
i
α
σ
x
y
~σx02 =  q c  =
2
2
1 − vc2
1 − vc2
⇒
σy0 σz0 = iσx0 =
σi αj + αj σi = 0,
+
σy0 σx0
α2j = 1
αj σk = ijkl αl
α i αj + α j αi = 0
Ergebnis: Die αi genügen der gleichen Algebra wie die σi
185
β~
α = −~
αβ
β∼1
⇒
α
~ =0
Darstellung im nichttrivialen Fall ausgeschlossen
N = 4 : kleinste mögliche Darstellung
Explizit:
~σ =
i 6= j
⇒
= σx2 = 1
v
v
v
v
= (σx − i αy )(σy + i αx ) + (σy + i αx )(σx − i αy ) = 0
c
c
c
c
⇒
N = 2 : (~σ )2dim und 1 spannen vollständiges System auf
β~σ = σβ
(σy + i vc αx )σz
iσx + v αx σz
σx − v α y
q
= q c
== i q c
2
2
2
1 − vc2
1 − vc2
1 − vc2
⇒
σx0 σy0
v2 2
c2 α y
N gerade
~
T
0
0
T~
,
α
~=
T~
0
T~
0
,
β=
1
0
0 −1
mit den 2x2 Matrizen
T1 =
0 1
1 0
T2 =
0 −i
i
186
0
T3 =
1
0
0 −1
1=
1 0
0 1
0=
0 0
0 0
Lorentztransformation von β
β − i ~v · β~
α
β 0 = eα|| φ/2 βe−α|| φ/2 = eα|| φ/2 β = q c
v2
1 − c2
Eigenschaften: wie die Paulimatrizen sind auch die α
~ , ~σ , β spurlos
tr~σ =
4
X
~σαα = tr~
α = trβ = 0
α=1
Def. : β Zeitkomponenten von (β, β~
α)
Interpretation von α
~ als Erzeugende von Lorentztransf. im Spinraum
β0α
~ 0⊥ = Lv β~
α⊥ L−1
α⊥
v = β~
βα|| − vc β
β 0 α|| = eα|| φ βα|| = q
2
1 − vc2
Der Operator Lv , der eine Lorentztransformation in ein mit der Geschwindigkeit
−~v bewegtes Koordinatensystem bewirkt, ist
~
Lv = ei(i~α·φ)/2
⇒
formation wie Vierervektor)
v
tanh φ =
c
~ = ~v φ,
φ
(β, β~
α) ist Vierervektor (transformiert sich unter Lorentztrans-
α)
γ µ = (β, β~
Transformation von ~σ : ~σ 0 = L~σ L−1
σ||0 = ~σ 0 · ~v = Lσ|| L−1 = σ||
0
σ⊥
=e
α|| φ/2
=e
α|| φ
~σ⊥ e
~γ =
−α|| φ/2
0
−T~
T~
0
Eigenschaften der γ µ :
~σ⊥
= (1 cosh φ + α|| sin φ)~σ⊥
=
=
mit
~σ⊥ + vc α||~σ⊥
q
2
1 − vc2
~
~σ⊥ − ci ~v × α
q
v2
1 − c2
1
i
(~v · α
~ )σ⊥ = − ~v × α
~
c
c
187
(i) Hermitizität
γ 0 = (γ 0 )+ ,
~γ = −(~γ )+
(ii)
(γ 0 )2 = 1,
(γ i )2 = −1,
188
i = 1, 2, 3
(iii)
20.3. Dirac-Gleichung
(γ µ γ ν + γ ν γ µ ) = 2g µν ,
g µν

1 0
0
 0 −1 0

=
 0 0 −1
0
0
0
0

0 


0 
−1
Ziel: Relativistische kovariante DGL 1.Ordnung in der Zeit aus EnergieImpuls-Relation
p µ p µ = m 2 c2 ,
(iv)
i µ ν
[γ , γ ] = 0µν
2
h
∂
, p
~ → ∇ folgt.
∂t
i
Kann pµ pµ als Quadrat eines Operators geschrieben werden? Ja, mit Hilfe der
die mit Hilfe der Ersetzung E → ih̄
γµ
2
1 µ ν
(γ γ + γ ν γ ν )
2
= pµ g µν pν = pµ pν
(pµ pµ ) = pµ γ µ pν γ ν = pµ pν
= pµ pν g µν
(v) Jede 4x4 Matrix läßt sich als Linearkombination der 16 Matrizen
1, γ µ , σ µν , γτ γ µ , γτ
⇒
p
pµ pµ = pµ γ µ = ±mc
Wähle + Vorzeichen (willkürliche Konvention). Damit
darstellen mit
γτ = γ 0 γ 1 γ 2 γ 3
pµ γ µ Ψ = mcΨ
⇒
Es gilt
Ψ :vierkomponentiger Spinor. Nach Multiplikation mit β
[γτ , αi ] = 0
ih̄
γτ ist invariant unter eigentlicher Lorentztransformation, aber
βγτ β = −γτ
ist Pseudoskalar
γτ γ µ
ist Pseudovektor
γµ
ist Vektor
σ
ist (antisymmetrischer) Tensor
1
ist Skalar
189
Hamiltonop. H = c~
α · p~ + βmc2 wirkt auf 4-komponentigen Spinor.
~
Kopplung ans el.mag. Feld:(φ, A):
Klassifikation der Basisvektoren
γτ
µν
∂Ψ
h̄
= c~
α ∇ + βmc2 Ψ
∂t
i
Diracgleichung
∂
∂
h̄
h̄
e~
→ ih̄ − eφ,
∇ → ∇− A
∂t
t
i
i
c
h̄
e~
∂
2
α
∇ − A + βmc Ψ
ih̄ − eφ Ψ = c~
t
i
c
Vektorpotential koppelt direkt an innere Freiheitsgrade (Spin)
ih̄
190
Magnetische Kopplungskonstante g = 2 des Spins an ein Magnetfeld ergibt
sich aus der Dirac-Gleichung im nichtrelativistischen Limes.
mit
Ψ=
Φ
χ
Φ=
∂
ih̄
∂t
Φ
χ
=c
2 Komponenten.:
e~
h̄
∇− A
i
c
φ↑
φ↓
0 ~τ
~τ
0
,
χ=
Φ
χ
χ↑
χ↓
+ mc
2
~ = h̄ ~τ
Spinoperator S
c
→ Pauligleichung mit gyromagnetischen Faktor g = 2, d.h. magnetisches Mo-
1
ment
0
0 −1
Φ
χ
h̄
e~
∇− A
· ~τ χ + eφ + mc2 Φ
i
c
h̄
e~
∂
∇− A
· ~τ χ + eφ + mc2 χ
ih̄ Φ = c
∂t
i
c
ih̄
∂
χ=c
∂t
+ cφ
Φ
χ
eines Spin
Da α
~ und β hermitesch sind, genügt der adjungierte Spinor der Gleichung:
Ψ† = (Φ∗ , χ∗ )
Wellenfunktion
⇒
∂
ih̄ χ ∼ mc2 χ ≈ c
∂t
χ=
1
2mc
t/h̄
e~
h̄
∇ − A · ~τ Φ − mc2 χ
i
c
h̄
e~
∇− A
· ~τ Φ
i
c
e~
∂
h̄
†
−ih̄ − eφ Ψ = c − ∇ − A Ψ† α
~ + mc2 Ψ† β
∂t
i
c
(Ψ† Diracgl. − Ψ adj. Diracgl.)
⇒
∂
(Ψ† Ψ) + ∇(Ψ† c~
αΨ) = 0
∂t
Kontinuitätsgleichung
2
2
2
2
ρ = Ψ† Ψ = |φ↑ | + |φ↓ | + |χ↑ | + |χ↓ | ≥ 0
ρ kann hier wieder als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden (nicht
Eingesetzt in die Gleichung:
∂
1
ih̄ Φ =
∂t
2m
e ~
S
mc
Wahrscheinlichkeitsdichte und -Strom
im nichtrel. Limes:
2
1
Teilchen ist
2
µ
~=
Ψ ∼ e−imc
2
∂
e ~ ~
1 h̄
e~
ih̄ Φ =
∇− A Φ−
2S · HΦ + eφ + mc2 Φ
∂t
2m i
c
2mc
⇒
Φ hat zwei Spineinstellungen:
2
2
h̄
h̄
eh̄ e~
e~
~+A
~ × ∇ · ~τ Φ
Φ−
∇×A
∇− A
· ~τ Φ =
∇− A
i
c
i
c
c
~+A
~ × ∇ Φ = rotA
~ Φ−A
~ × ∇Φ + A
~ × ∇Φ = HΦ
~
∇×A
gilt dann:
2
h̄
e~
∇ − A · ~τ Φ + eφ + mc2 Φ
i
c
wegen τj τk = δij + ijkl τl
mehr als Ladungsdichte)
~j = cΨ† α
~ Ψ · · · Wahrscheinlichkeitsstrom
(c~
α · · · Geschwindigkeitsoperator)
191
192
Verhalten der Dirac-Gleichung bei Lorentz-Transformation:
Eigenzustände zu β und σz
(~r, t) → (~r 0 , t 0 )
(±)
(~
α, β) → (~
α 0, β 0)
Ψ(~r, t) → Ψ 0 (~r 0 , t 0 )
Lv βL−1
v ih̄
(+)
⇒
0
0
Ψ (~r , t ) =

1 0
0 0
(+)
σz u0↓
=
L−1
r , t)
v Ψ(~
(+)
−u0↓
(−)
(−)
σz u0↓ = u0↓

1
(−)
σz u0↑
=
(−)
−u0↑
0
0
0

0 


0 
0
−1
0
0

0 


0 
 0 −1 0

σz = 
0 0 1
0
20.4. Lösung der Diracgleichung für freies Teilchen
0
0 1 0

β=
 0 0 −1
(+)
σz u0↑ = u0↑
h̄ 0 0 0 0
∂ 0 0 0
∇ Ψ (~r , t ) + mc2 Ψ 0 (~r 0 , t 0 )
Ψ (~r , t ) = Lv βc~
αL−1
v
∂t 0
i
0
(±)
βu0↑↓ = ±u0↑↓
0 −1
(Bei Antiteilchen Spinoreinstellung entgegengesetzt zu Eigenwerten)
Im Ruhesystem des Teilchens
Ψ(~r, t) = e−iEt/h̄ u
p
u · · · Spinor unabhängig von ~r, t in die Dirac-Gleichung eingesetzt
Eu = βmc2 u
Energieeigenwerte
~
E = mc2
(Teilchen)
E = −mc2
(Antiteilchen)
(+)
u0↑
0
(+)
u0↓
0
193
(−)
u0↓
 
0
0
 
=  ,
1
0
(−)
u0↑
2
t/h̄ ±
u0σ
Bemerkung: Skalar Ep0 t 0 − p~ · ~r 0 = mc2 t
Ψ 0 (~r 0 , t 0 ) = e±i(~p·~r
 
0
1
 
=  ,
0
p~c2
, Ep =
Ep
p 2 c2 + m 2 c4
Ψ 0 (~r 0 , t 0 ) = L−1
r, t) = e−~α·φ/2 e∓imc
v Ψ(~
Eigenwerte von β = ±1
Vier linear unabhängige Lösungen
 
1
0
 
=  ,
0
Lorentz-Transformation in KS mit Geschwindigkeit ~v = −
 
0
0
 
= 
0
1
0
~
−Ep0 t 0 )/h̄ −~
e α·φ/2 u±
0σ
φ
φ (±)
~
(±)
(±)
u
up~σ = e−~α·φ/2 u0σ = cosh − α
~ · vb sinh
2
2 0σ
−pc
v
= tanh φ =
,
c
Ep
φ
cosh =
2
r
Ep + mc2
,
2mc2
194
tanh
−pc
φ
=
2
Ep + mc2
(±)
up~σ
=
(+)
up↑ =
(+)
up↓ =
r
r
r
(−)
r
(−)
r
up↓ =
up↑ =
Ep + mc2
2mc2
1+


Ep + mc2 

2mc2 


Ep + mc2 


2mc2 
c~
p·α
~
Ep + mc2
1
0
pz c
Ep +mc2
c(px +ipy )
Ep +mc2
0
1
c(px −ipy )
Ep +mc2
zc
− Epp+mc
2
(±)
u0σ
Spinors:
ū = u† β

Das Produkt ū1 u2 = u†1 βu2 ist Lorentz-invariant





⇒ Vollständigkeitsrelation:

Jeder 4-komponentige Spinor läßt sich nach den vier Basisspinoren up~σ , b =





(b) (b 0 )
ūp~σ up~σ 0 = b δbb 0 δσσ 0
Ep + mc2
2mc2




c(px −ipy )
Ep +mc2
pz c
Ep +mc2
0
1

(b) (b)
bup~σ ūp~σ = 1
(b)
(b)
(b)
±1, σ =↑↓ entwickeln. Die Spinoren up~σ und ūp~σ genügen den Gleichungen:
(±)
(±)
(βEp − cβ~
α · p~) up~σ = ±mc2 up~σ

−
X
b=+/− σ=↑/↓
zc
− Epp+mc
2

c(p
+ip
) 
x
y

Ep + mc2 
 − Ep +mc2 


2
2mc
1


0

X
(±)
(±)
ūp~σ (βEp − cβ~
α·p
~) = ±mc2 ūp~σ
20.5. Teilchenstrom




µ
Spinorientierung nur bei Bewegung in z-Richtung erhalten
Ψ̄(~r, t)γ Ψ(~r, t) =
1
ρ(~r, t), ~j(~r, t)
c
Verhalten unter Lorentz-Transformation:
Normierung:
Ψ 0 (~r 0 , t 0 ) = L−1 Ψ(~r, t)
adjungierter Spinor u† = (u∗1 , u∗2 , u∗3 , u∗4 )
Ψ̄ 0 (~r 0 , t 0 ) = Ψ̄(~r, t)L
(b) † (b 0 )
up~~σ up~~σ 0
=
Ep
δbb 0 δσσ 0
mc2
⇒
nicht Lorentz-invariant, Zeitkomponente eines 4-Vektors. Daher Einführung
eines Lorentz-invarianten Skalarproduktes mittels eines modifizierten adjungierten
195
⇒
Ψ̄ 0 (~r 0 , t 0 )γ µ Ψ 0 (~r 0 , t 0 ) = Ψ̄(~r, t)Lγ µ L−1 Ψ(~r, t)
Ψ̄(~r, t)γ µ Ψ(~r, t) ist Vierervektor
196
Lγ µ L−1 = γ µ 0
~ Ψ + − h̄ ∇ − e A
~ Ψ̄ Ψ
~j(~r, t) = 1 Ψ̄ h̄ ∇ − e A
2m
i
c
i
c
1 ∂
h̄
∇ × (ΨσΨ) −
P̄ sii~
αΨ
+
2m
c ∂t
= ~jKonvektion + ~jint
Viererdivergenz:
c∂µ (Ψγ µ ψ) =
∂
ρ + ∇ · ~j = 0
∂t
Kontinuitätsgleichung
Wahrscheinlichkeitsstromdichte:
ρ = Ψ† (~r, t)Ψ(~r, t)
Stromdichte:
~j = cΨ† (~r, t)~
αΨ(~r, t)
ρ(~r, t) = Ψ† (~r, t)Ψ(~r, t)
1
∂
∂
=
Ψ̄ ih̄ − eφ Ψ + −ih̄ − eφ Ψ̄ Ψ
2m
∂t
∂t
h̄
∇ Ψ̄i~
αΨ
+
2mc
= ρKonvektion + ρint
Aus Kontinuitätsgleichung folgt :
Z
ρ(~r, t)d3 r = const > 0
”Gordon”-Zerlegung von Dichte und Strom:
h̄
1
e~
∂
†
ji = cΨ αi Ψ =
Ψ αi β ih̄ − eφ Ψ − β~
α·
∇− A Ψ
2mc
∂t
i
c
1
h̄
e
∂
~ Ψ† β~
+
α αi Ψ
−ih̄ − eφ Ψ† β + − ∇ − A
2mc
∂t
i
c
Aufspaltung in konvektiven und inneren Anteil.
†
~j
Konv , ρKonv gleiche Form wie für Klein-Gordon-Gleichung bis auf Ψ → Ψ̄
∂ P~
~j
,
~+
int = c∇ × µ
∂t
ρint = −∇ · P~
h̄
Ψ̄~σ Ψ, e~
µ · · · Magnetisierungsdichte des Teilchens
µ
~=
2mc
h̄
Ψ̄(−i~
α)Ψ, eP~ · · · Polarisierungsdichte des Teilchens
P~ =
2mc
Ψ̄σ µν Ψ transformiert sich wie Tensor 2. Stufe unter Lorentz-Transformation.
†
∂
-Terme:
∂t
mit
−h̄ ∂
Ψ̄iαi Ψ
2mc ∂t
mit el.-mag. Feldstärketensor:
h̄
~ + P~ · E
~
~ ·H
Ψ̄F µν σµν Ψ = e µ
2mc
Energiedichte, Lorentz-Skalar
Innerer und konvektiver Anteil Anteil von ρ sind getrennt erhalten:
αi βαj = −βαi αj = −β(iijk σk + δij )
Ebene Welle:
ρint = 0,
197
jint = 0,
∂
ρ + div~jint = 0
∂t int
ρKonv =
Ep
,
mc2
p
~c2
p
~
~j
Konv = m = Ep · · · Gruppengeschwindigkeit
198
20.6. Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung
Korrekturen zur ϕ-Gleichung
2 ∂
ieh̄ ~
1 ~
2
~σ ϕ
P
P
ih̄
−
mc
~
σ
−
eφ
ϕ
−
~
σ
E~
=−
kan
kan
4m2 c2
∂t
4m2 c2
Nur höhere Ordnung
v2
c2
ψ=
∂ϕ
=c
ih̄
∂t
∂χ
=c
∂t
ih̄
χ=
1
2mc
mit
(~a~b)(~b~σ ) = ~a~b + i~σ (~a × ~b)
ϕ
2
eh̄
~
P~kan ~σ = p~2 − i~σ rotA
ic
χ
e~
h̄
∇ − A ~τ χ + (eφ + mc2 )ϕ
i
c
Korrekturen zum g-Faktor vernachlässigen
e~
h̄
∇− A
~τ ϕ + (eφ + mc2 )ϕ
i
c
χ∼e
⇒
∂
h̄
e~
1
ih̄
∇− A
~τ ϕ −
−
eφ
χ
i
c
2mc2
∂t
2
⇒
1
χ∼
=
2mc
??
e~
h̄
1
∇− A
~τ φ −
i
c
2mc2
1
2mc
∂
ih̄ − mc2 − eφ ??
∂t
4
1
−
4m2 c2
P~kan
~
~ = −∇φ − 1 ∂ A
E
c ∂t
h̄
e~
∂
e~
h̄
2
∇ − A ~σ ih̄ − mc − eφ
∇ − A ~σ ϕ
i
c
∂t
i
c
199
ih̄
p2
∂
− mc2 − eφ ϕ =
ϕ
∂t
2m
⇒
−
ϕ ist Ordnung
v2
c2
p4
??
~ ϕ
+
p
~
E
8m3 c2
4m2 c2
nicht normiert
ψ=
v
c4
Korrekturen zur Pauligleichung
mit
~ + i~σ E
~ σ = P~ E
~ − i~σ h̄ rotE
~ × p~
E~
i
Korrektur zur ϕ-Gleichung
e~
h̄
∇− A
~τ ϕ + 0
i
c
h̄
e~
= ∇ − A,
i
c
−imc2 t/h̄
ϕ ∼ e−imc .. ??
P~kan ~σ
1=
=
'
'
Z
Z
Z
Z
1+
2
Pkan
8m2 c2
ϕ
d3 r ψ + ψ
d3 r (ϕ+ ϕ + χ+ χ)
d3 r (ϕ+ ϕ + ϕ+
d3 r ψ + ψ
200
2
Pkan
ϕ)
4m2 c2
Multiplikation der ϕ-Gleichung mit
Relativistisches Teilchen ist ausgeschmiert über räumlichen Bereich
P2
1 + kan
8m2 c2
1
eφ(~r) → eφ(~r + δ~r) = eφ(~r) + (δ~r∇)2 eφ(~r)
2
(ein Term fällt weg: Zittern isotrop)
= eφ(r) +
e ~ 2
∂
1 p4
p~ − A
−
ψ = mc2 +
ψ
∂t
2m
c
8m3 c2
h̄2
eh̄
eh̄ ~
2
~
~σ H +
−
~σ E × p~ ψ + eφ +
5 eφ ψ
2mc
4m2 c2
8m2 c2
4
p
8m3 c2
eh̄
~
σH
2mc ~
eh̄
~
σ E
4m2 c2 ~
2
h̄
8m2 c2
rel.
kinet.
Energiekor.
Pauliterm
× p~
52 eφ
Spin-abhängige Terme:
"
#
~ × p~
E
eh̄
~ +
−
~σ H
2mc
2mc
~ ... Magnetfeld im Laborsystem
H
???term
Magnetfeld im Ruhesystem des Teilchens
~
~ + E × p~
~0 =H
H
mc
Poisson-Gleichung:
52 eφ = −4πQ(~r)
z.B. Coulomb-Potential:
φ=−
⇒
Spin-Bahn-Kopplung
Spin-Bahn-Kopplung
???-Term
⇒
11
(δ~r)2 ∇2 eφ(r)
23
2
1
h̄
= eφ(r) +
∇2 eφ(r)
6 mc
Pauligleichung mit relativisticher Korrektur
ih̄
(Comp-
tonwellenlänge)
2
ih̄e
1 2
~ = h̄ ∇eφ
,
eφ
p
~
E
p
8m2 c2
4m2 c2
8m2 c2
⇒
h̄
mc
Ze2
r
"
#
~ × p~
E
eh̄
eh̄
~ +
~ × p~
?? = −
~
σ
~σ H
+
E
2mc
mc
4m2 c2
2. Term: Ruhesystem des Teilchens kein Inertialsystem (gekrümmte Bahn)
Klassisch: Eigendrehimpuls eines Teilchens auf einer gekrümmten Bahn präzediert
mit Rate (Thomas-Präzession)
???-Term:
πh̄2
Ze2 δ(~r)
2m2 c2
~ =
dΩ
~v. × ~v
2c2
führt zur positiven Verschiebung des S-Energieniveaus (?? Wechsel-
wirkung)
Pseudo-Erklärung des ???-Terms (Zitterbewegung):
201
202
20.7. Dirac-Gleichung im Coulomb-Potential - H-Atom
Kugelsymmetrie, spinunabhängige Potentiale
Eigenwerte von J~2 und Jz sind
h̄2 j(j + 1),
Gebundene Zustände
h̄M
1 3
, ..,
2 2
j=
M = −j, −j + 1, ..j
ψ(~r, t) = e−iEt/h̄ ψ(vr)
Eψ(~r) = Hψ(~r),
H = c~
α
eφ(~r) = −
h̄
∇ + βmc2 + eφ(~r)
i
Eigenwerte von K sind k
2
K =1+
Ze2
r
~
~σ L
h̄
!2
+
~
2~σ L
1
1
= 2 J~2 +
h̄
4
h̄
Erhaltungsgrößen:
~ + h̄ ~σ
J~ = L
2
[pi , Lj ] =
⇒
h̄
ijk pk
i
c
~ H] = c[L,
~ α
p×α
~
[L,
~ p~] = h̄~
i
h̄
h̄
c
~σ , H = c [~σ , α
~p
~] = − h̄∂p × α
~
2
2
i
~ H] = 0
[J,
Gesamtdrehimpuls ist Erhaltungsgröße
Genauso: [Jz , H] = 0
Operator
K =β
→
1
j+
2
2
Umschreibung der Dirac-Gleichung in Gleichung 2.Ordnung in ∂/∂t
Definiere Operator
1
∂
P =
β ih̄ − H + 1
2mc2
∂t
"
#
2
h̄
eh̄
∂
1
2
2 2
~
P β ih̄ − H ψ = 2 (ih̄ − eφ) −
∇ −m c −
(−i~
αE) ψ = 0
∂t
c
i
c
dabei benutzt:
Jz ist Erhaltungsgröße
[K, H] = 0
1
k=± j+
= ±1, ±2, ...
2
⇒
[αi , σj ] = 2iijk αk
⇒
1
k = j(j + 1) + =
4
2
~
~σ L
1+
h̄
!
K ist Erhaltungsgröße
h̄
∂
~
∇, ih̄ − eφ = −ih̄eE
i
∂t
Lösungen der Dirac-Gleichung sind automatisch Lösungen der Gleichung 2.
Ordnung (nicht umgekehrt)
Die Operatoren K, J~2 , Jz bilden einen Satz vertauschbarer Observabler für
Lösungen der Dirac-Gleichung ergeben sich aus den Lösungen der Gleichung 2.
203
204
Betrachte simultane Eigenzustände von Λ und K sowie J~2 und Jz
Ordnung durch
s
ψ Dirac = P ψ 2.Ordn.
Beweis
∂
∂
P β ih̄ − H ψ = β ih̄ − H P ψ = 0
∂t
∂t
"
1
c2
ih̄
∂
− eφ
∂t
2
−
h̄
∇
i
2
− m 2 c2 −
#
Λψ = ±λψ
~2 −
h̄ Λ(Λ + 1) = L
2
⇒

2
h̄∇
i
2
2 4
2
2EZe
h̄ ∂
E − m c
+
+
r−

c2
rc2
r ∂r2
~2
L
Eigenwerte?
Ze2
h̄c
2
− ih̄
Ze2
αr
c
l0 (l0 + 1) = ±λ(±λ + 1)
~2
h̄ ∂ 2
L
r+ 2
2
r ∂r
r
2
2
2
E 2 − m 2 c4
2EZe2 1 ∂ 2
l0 (l0 + 1)
+
+
r−
ψ=0
r ∂r2
r2
h̄2 c2
rh̄2 c2
2
=−
Ze2
h̄c
Ersetze Term in Differentialgleichung duurch h̄2 Λ(Λ + 1)
mit
−
mit
eh̄
~ ψ=0
(−i~
αE)
c
Coulomb-Potential
#
" 2 2
Ze2
1
ih̄Ze2
h̄
2 2
E+
∇ −m c + 2 α
~ r̂ ψ = 0
−
c2
r
i
r c
λ=
k2
αr = α
~ r̂
Ze2
c
2
r

2
− ih̄ Zec αr 
ψ = 0
2
Gleiche Gleichung wie Klein-Gordon-Gleichung
⇒
Energieeigenwerte
E=h
mc2
1+
Definiere Operator
~
iZe
~σ L
Ze2
Λ = −βK −
αr = −1 −
−i
αr
h̄c
h̄
h̄c
i1/2
Ze2 2
h̄cn0
n0 = l0 + 1 + v,
v = 0, 1, 2, ...
2
Zulässige Werte von l 0
Es gilt
~ = 0, αi αj + αj αi = 0
mit ~rL
[Λ, K] = 0
~ =0
[Λ, J]
h̄
~ ~rα
~)
mit [L,
~ ] = (~r × α
i
2
2
Λ =K −
Ze2
h̄c
2
205
,
h̄
h̄
[~σ , ~rα
~ ] = − (~r × α
~)
2
i
α2r = 1
Λ+ = λ
Λ− = −λ
l0 = λ
(l0 = −λ)
(l0 = −λ − 1)
l0 = λ − 1
l0 = −λ − 1, −λ sind auszuschließen, da die zugehörige Eigenfunktionen nicht
normierbar sind bzw. der radiale Strom bei r = 0 divergiert
206
Definiere Hauptquantenzahl
Feinstruktur:
Λ = −λ,
2P3/2 − 2P1/2 =
n = |k|, |k| + 1
Zα2
= 104 M Hz
16
Ersetze l durch i bei Klein-Gordon-Gleichung
Λ = λ,
⇒
n = |k| + 1, |k| + 2
Energieeigenwerte
E = mc2



1+
n−j−
1
2
(Ze2 /h̄c)2
q
2
+
j + 12 −
−1/2

Ze2 2 
h̄c
− ?(j + 1)-fache Entartung bzgl. der magnetischen Quantenzahl
− Entartung in j aufgehoben
− Reelle Eigenwerte für Ze2 /h̄c < 1, Z < 137
− Zwei Energieleitern für jeden Wert von j − |k| −
1
2
Gesamtzahl der Energieniveaus doppelt so großwie bei Spin 0
Nichtrelativistisch
~2
L
' K(K − 1)
h̄
l =k−1=j−
l = |k| = j +
1
2
1
2
⇒
l(l + 1) = k(k − 1)
für k > 0
für k < 0
Nichtrelativistischer Limes
Z 2 α2
n
mZ 2 e4
E = mc −
1+
2 2
2
n
j+
2h̄ n
2
1
2
3
−
4
+ ...
Termschema
207
208