Die Heisenberg`sche Unschärferelation
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Die Heisenberg’sche Unschärferelation Fachdidaktische und wissenschaftliche Interpretationen Kathrin Victoria Alpert Hauptseminar Schlüsselexperimente in der Quantenphysik“ ” Universität Ulm 19. Juni 2009 1 / 54 I. Fachdidaktischer Teil: Vorstellung eines Unterrichtskonzepts in Bezug auf die Heisenberg’sche Unschärferelation 2 / 54 Ausgangsfragen und Lernschwierigkeiten • Quantenphysik ist Stoff des Physikunterrichts in der Oberstufe • Schwierigster Themenbereich in der Schulphysik aufgrund formaler Komplexität und begrifflicher Problematik • Erarbeitung eines Unterrichtskonzepts gestaltet sich ebenfalls als schwierig: • Wo sollen einzelne Schwerpunkte gelegt werden? • Wie soll der Unterrichtsstoff vermittelt werden? 3 / 54 Lernschwierigkeiten und Fehlvorstellungen • Schüler sind von der klassischen Physik geprägt und haben somit gewisse Fehlvorstellungen bezüglich der Quantenphysik • Quantenmechanik geht über die alltäglichen Vorstellungen hinaus • Im Hinblick auf die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation ist mit folgenden Lernschwierigkeiten bzw. Begriffsschwierigkeiten zu rechnen: • ∆x, ∆p seien Messungenauigkeiten: • Abstand des gemessenen Wertes vom eigentlichen, wahren Wert: • Unkenntnis über den Ort der Messung • Genauigkeit einer Ortsmessung gibt Genauigkeit einer Impulsmessung vor (d.h. gegenläufiges Verhalten von x und p) 4 / 54 Was ist MILQ“ ? ” • MILQ“ bedeutet: ” Münchner Internetprojekt zur Lehrerfortbildung in Quantenmechanik • Fachdidaktisches Konzept zur Quantenphysik in der Oberstufe • Stellt einen Plan dar, wie die Quantenphysik in der Schule vermittelt werden kann und welche Inhalte gelehrt werden sollen • Unabhängig von Lehrplänen • Kann individuell in den Lehrplan integriert werden 5 / 54 Kategorien verschiedener Unterrichtskonzepte Fachdidaktische Unterrichtskonzepte haben unterschiedliche Schwerpunkte: 1 Konzentration auf die Prinzipien des quantenmechanischen Formalismus (z.B. Feynman-Zeiger) 2 Schwerpunkt auf begriffliche Fragestellungen der Quantenphysik 3 Quantenphysik als Basis für das Verständnis anderer physikalischer Themen (z.B. Atomphysik, Festkörperphysik, Kernphysik usw.) 4 Quantenphysik als Grundlage für technologische Anwendungen (z.B. Laser) 6 / 54 Konzeption des Münchner Internetprojekts Hier ist der Schwerpunkt auf begriffliche Fragestellungen gelegt: • Münchner Internetprojekt besteht aus zwei Hauptteilen • qualitativer Basiskurs: Deutungssfragen der Quantenphysik • quantitativer Aufbaukurs: Einblicke in die formalen Strukturen der Quantenmechanik • Aufbau als Spiralcurriculum: • Zentrale Punkte werden zweifach durchlaufen 7 / 54 Schwerpunkte und Lernziele des Unterrichtskonzepts • Einführung der Wahrscheinlichkeitsinterpretation mit Hilfe des Begriffs Präparation“ ” • Qualitative und quantitative Einführung der Heisenberg’schen Unbestimmtheitsrelation: • Motivation durch Analogie zur klassischen Physik • Veranschaulichung durch viele Gedanken-Experimente oder Computersimulationen • Saubere Definition der Begriffe: Zum Schluss soll die Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation eine untere Schranke für die gleichzeitige Präparation von Ort und Impuls sein 8 / 54 Vorstellung des Kapitels aus dem Unterrichtskonzept zur Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation 9 / 54 Ausgangssituation: Klassische Mechanik Motivation: In der klassischen Mechanik wird die Bewegung eines Objekts durch seine Bahnkurve beschrieben • Beispiel: Waagrechter Wurf • Kugel bewegt sich auf derselben Bahn, falls die Anfangsbedingungen gleich sind • Voraussetzung: Identischer Wert von Abschussort und Abschussgeschwindigkeit 10 / 54 In der klassischen Mechanik wird die Bewegung von Teilchen durch die Angabe ihrer Bahnkurve beschrieben. Ein Beispiel ist der waagerechte Wurf, bei dem Kugeln einer parabelförmigen Bahn folgen, nachdem sie von einer Abschussvorrichtung abgeschossen wurden (Abbildung 7.1). • Bau einer Abschussvorrichtung: y vx 0 x • Gleichzeitige Präparation Ort und beim Impuls Abbildung 7.1: Präparationvon und Bahnkurve waagerechten Wurf • Begriff Präparation“: Bei Messung der präparierten Größe an ” Die Kugeln bewegen sich immer der gleichen Bahn, soferndie alleStreuung die gleichen Anfangsbeeinem Ensemble von auf Teilchen verschwindet der dingungen besitzen, d.bzw. h. identische Werteklein des Abschussorts und der Abschussgeschwindigkeit. Messwerte wird sehr Man muss also eine Abschussvorrichtung bauen, mit der man Kugeln mit möglichst identischen Anfangswerten x0 , y0 , px0 , py0 von Ort und Impuls abschießen kann. Zum Herstellen dieser Anfangsbedingungen muss man somit an einem Ensemble von Kugeln die Eigenschaften „Ort“ und „Impuls“ gleichzeitig präparieren. „Präparieren“ bedeutet, dass bei Messungen der präparierten Größe an einem Ensemble von 11 / 54 Übergang zu Quantenobjekten • Unmöglichkeit 7.2 Präparationder von Ort und Impuls bei Photonen gleichzeitigen Präparation von Ort und Impuls bei Quantenobjekten Um die Unmöglichkeit der gleichzeitigen Präparation von Ort und Impuls zu zeigen, analysie• Versuch: Quantenobjekte sind die Photonen eines ren wir einen konkreten Versuch, beide Eigenschaften zugleich herzustellen. Als Quantenobmonochromatischen Laserstrahls jekte benutzen wir die Photonen eines monochromatischen Laserstrahls (Abbildung 7.2). ! y0 y Laser x Abbildung 7.2: Strahl eines Lasers • Strahl ist gut gebündelt → ∆py = 0 hatgut eine gewisse Breite in y -Richtungpy senkrecht zur Strahlrichtung Da•derStrahl Strahl sehr gebündelt ist, ist die Impulskomponente für•alle Photonen praktisch gleich Null (zum Begriff des∆y Photonenimpulses vgl. Abschnitt 1.4). Photonen sind im Bereich der Breite 0 zu finden Sie besitzen also die Eigenschaft „Impulskomponente py = 0“. Würde man Messungen der • ⇒ Es gibt pyStreuung‘ mathematischen Impulskomponente an sehr vielenim Photonen des LaserstrahlsSinn durchführen, wäre die Streuung ’ den Wert py = 0 verschwindend gering. ∆py der Messwerte um • Phtotonen sind nicht auf die Ortskomponente y präpariert Der Laserstrahl besitzt eine gewisse räumliche Breite in y-Richtung (Abbildung 7.2). Misst man diesen mit einem räumlich hochauflösenden Detektor, wird man Photonen innerhalb eines 12 / 54 7.3. Ein Maß für die „Güte“ einer Präparation 69 Experiment 7.1: Lassen Sie einen Laserstrahl durch einen engen Spalt (Breite d) fallen. Der • wird Abhilfe: der (Abbildung Streuung,7.3). in Je dem man engen Strahl hinter Verminderung dem Spalt aufgeweitet enger der einen Spalt, desto größer ist die Aufweitung. Spalt in den Laserstrahl einführt d Laser y x • ∆y0 kleiner, aber Strahlsan einem engen Spalt Abbildung 7.3:Aufweitung Aufweitung desdes Laserstrahls • ⇒ ∆py = 0 geht verloren Es handelt sich hier um die aus der Optik bekannte Beugung eines Lichtbündels am Spalt. Die • Qualitative Formulierung der lässt Heisenberg’schen Struktur der Beugungsmaxima und -minima sich deutlich erkennen. Unbestimmtheitsrelation: Es ist nicht möglich, einHinsicht Ensemble Analysieren wir, was das Versuchsergebnis in quantenmechanischer für die Eigenvon Quantenobjekten gleichzeitig auf Ort und Impuls schaften „Ortskomponente y“ und „Impulskomponente py “ bedeutet. Durch zu das Einführen des Spaltespräparieren ist der Laserstrahl unmittelbar hinter dem Spalt schmaler geworden. Das bedeutet, dass die Messwerte der Ortskomponente y in der Spaltebene weniger stark streuen. Die Streuung ist von ∆y0 auf ∆y ≈ d vermindert worden. Bedeutet diese Verbesserung der Ortspräparation, dass nun Ort und Impuls gleichzeitig gut prä13 / die 54 pariert sind? Nein, denn die allmähliche Aufweitung des Strahls hinter dem Spalt zeigt, dass Übergang zur quantitativen Formulierung der Heisenberg’schen Unbestimmtheitsrelation: In welchem Ausmaß sind Orts- und Impulspräparation unvereinbar? • Frage nach den Grenzen einer idealen Präparation • Experiment Elektronenbeugung am Einzelspalt: • Variation der Spaltbreite bewirkt Veränderung der Breite des Interferenzmusters • Bestimmung der Ortsstreuung“ und Impulsstreuung“: ” ” • An Ensemble 1: Ortsmessung in der Spaltebene • An Ensemble 2: Ortsmessung in der Schirmebene ergibt Impulsmessung 14 / 54 gen werden in ein Diagramm übertragen und ihre Standardabweichungen ermittelt. So erhält gen werden in ein Diagramm übertragen und ihre Standardabweichungen ermittelt. So erhält die Ortsstreuung ∆y und die Impulsstreuung ∆p . man die Ortsstreuung ∆y und die Impulsstreuung ∆p . Ergebnisse: man Die (7.12) und und (7.13) (7.13)gezeigt: gezeigt:Für Füreinen einenbreiten breitenSpalt Spalt DieErgebnisse Ergebnissesind sind in in den den Abbildungen Abbildungen (7.12) sich relativ Ortsstreuung, aber eine einekleine kleine Impulsstreuung (Abbildung 7.12). • Breiterergibt ergibt sicheine eine relativgroße große Ortsstreuung, aber Impulsstreuung 7.12). Spalt: große Ortsstreuung, aber kleine(Abbildung Impulsstreuung y y Verteilungder der Verteilung Impulsmeßwerte Impulsmeßwerte Verteilung Verteilung der der Ortsmeßwerte Ortsmeßwerte kleineStreuung Streuung kleine große großeStreuung Streuung breiter Spalt Spalt breiter yy !p y !p y pyp y !y !y Abbildung 7.12: Verteilung der Orts- und Impulsmesswerte für einen breiten Einzelspalt Abbildung 7.12: Verteilung der Orts- und Impulsmesswerte für einen breiten Einzelspalt • Schmaler Spalt: kleine Ortsstreuung, aber große Dagegen ist bei einem schmalen Spalt die Ortsstreuung klein, aber die Impulsstreuung groß Dagegen ist bei einem schmalen Spalt die Ortsstreuung klein, aber die Impulsstreuung groß Impulsstreuung (Abbildung 7.13). (Abbildung 7.13). Verteilung der Verteilung der Impulsmeßwerte Impulsmeßwerte Verteilung der Verteilung der Ortsmeßwerte Ortsmeßwerte kleine Streuung kleine Streuung große Streuung große Streuung schmaler Spalt schmaler Spalt !y y!y y !py py !py py 15 / 54 • Orts- und Impulsstreuung scheinen reziprok miteinander verknüpft zu sein • Veranschaulichung durch Gedankenexperiment: • Quelle präpariert die Elektronen mit der Eigenschaft Impuls“ ” • Durch die Beugung am Spalt geht die Impulseigenschaft verloren • Mit der Breite des Beugungsmusters kann die Streuung der Impulsmesswerte am Spalt abgeschätzt werden 16 / 54 pulse ist, desto breiter wird das Beugungsbild auf dem Schirm ausfallen. Daher kann man mit der Breite des Beugungsmusters auf dem Schirm die Streuung der Impulsmesswerte am Spalt abschätzen. • Großteil der Elektronen befindet sich innerhalb des Der Großteil der Elektronen auf dem Schirm innerhalb Hauptmaximumsdes der BeuHauptmaximums der wird Beugungsfigur, d.h.desinnerhalb gungsfigur registriert, also innerhalb des Winkelbereichs zwischen +α und α (Abbildung Winkelbereichs +α und −α: 7.14 (a)). (a) (b) p d ! ! ! ! p " py "py Abbildung 7.14: Abschätzung der Impulsstreuung ∆p. • → Abschätzung der Impulse ∆py in diesem Bereich Zur Abschätzung der Streuung der Querimpulse ∆py kann man sich daher auf diesen Bereich • Ausbeschränken. Abbildung b) gilt: Aus Abbildung (7.14 (b)) liest man den folgenden Zusammenhang ab: ≈ p · sin α. ∆p∆p y = p · sin α y (7.1) (1) Der Bereich des Hauptmaximums ist durch die ersten Beugungsminima begrenzt, dessen Lage aus der klassischen Optik bekannt ist: • Aus der klassischen Optik ist der Bereich des Hauptmaximums λ bekannt, der durch die ersten begrenzt (7.2)ist sin αBeugungsminima = . d λ d Im Fall der Elektronen ist λ die de-Broglie-Wellenlänge des auf Impuls p präparierten einfallenden Strahls λ = hp (vgl. Beziehung (5.3)). Also gilt: sin α = sin α = h . p·d (7.3) (2) 17 / 54 • Bei den Elektronen ist λ die de-Broglie-Wellenlänge: λ = ph • Somit gilt: sin α = h p·d (3) • Eliminierung von sin α aus (1) und (3) ergibt ∆py h = p·d p • Multiplikation auf beiden Seiten mit p und Abschätzen der Streuung ∆y durch die Spaltbreite d liefert ∆y · ∆py ≈ h • ⇒ Diese Gleichung verknüpft bei diesem Beispiel die Streuungen der Orts- und Impulskomponente 18 / 54 • Allgemeine Formulierung der Heisenberg’schen Unbestimmtheitsrelation: • Wurde ein Ensemble von Quantenobjekten so präpariert, dass die Streuung der Ortsmesswerte ∆y klein ist, wird die Streuung der Impulsmesswerte ∆py groß sein (und umgekehrt): h ∆y · ∆py ≥ 4π • Fehlvorstellung bei der Überlegung am Einzelspalt: • Es wird suggeriert, dass ein Ensemble mit großer Ortsstreuung automatisch eine kleine Impulsstreuung aufweist • Auch beide Eigenschaften können schlecht präpariert sein • Heisenberg’sche Unbestimmtheitsrelation: Untere Schranke für die gleichzeitige Präparation von Ort und Impuls 19 / 54 II. Wissenschaftlicher Teil 20 / 54 Wissenschaftlicher Teil - Überblick 1 Herleitung der Heisenberg’schen Unschärferelation aus einem Gauß’schen Wellenpaket → Expansion kalter Atome 2 Quantenmechanische Beschreibung des Lichts Darstellung verschiedener Zustände: 3 • Vakuumzustand • Kohärenter Zustand • Gequetschter Zustand 4 Anwendungsbeispiel gequetschter Zustände 5 Prinzip der Komplementarität 21 / 54 Heisenberg-Unschärfe aus Gauß-Wellenpaket • Man betrachtet ein QM-Teilchen am Ursprung mit Impuls p = ~k. • Wellenfunktion wird durch eine Gaußfunktion beschrieben: x2 1 ψ(x, 0) = √ √ e − 2a2 e ik0 x a π • Zeitliche Dynamik kann sehr einfach im Impulsraum dargestellt werden → Fouriertransformation: 1 ψ̃(k) = F[ψ(x)] = √ 2π Z∞ ψ(x)e −ikx dx −∞ 22 / 54 Heisenberg-Unschärfe aus Gauß-Wellenpaket • Ort- und Impulsbreite werden definiert als der Wert, wo 2 |ψ(x, 0)|2 bzw. |ψ̃(k)| auf den Wert e1 abgefallen ist • Man erhält dann a ∆x = 2 ∆p 1 ∆k = =√ ~ 2a • Für das Produkt aus Orts- und Impulsbreite erhält man ∆x · ∆p = ~ 2 • Gleichheitszeichen gilt, da ψ Gaußfunktion ist und ψ̃ ebenfalls → Minimale Unschärfe! • Bei anderen Amplituden gilt die Heisenberg’sche Unschärferelation ∆x · ∆p ≥ ~ 2 23 / 54 Expansion kalter Atome • Kühlen von Atomen in den Grundzustand → Kälter geht es nicht! • Anschließende Expansion → Betrachtung der Impulsverteilung, bei der die Anfangsgeschwindigkeit gegeben war • Langsamere Atome in der Mitte, schnellere fliegen weiter nach außen → Es gibt eine Geschwindigkeitsverteilung! |n = 0i Expansion Impulsverteilung 24 / 54 Expansion kalter Atome Impulsverteilung und Geschwindigkeitsverteilung FIG. 3. Absorption images of Fock states !a" ! n$0 # and !b" ! n$1 # taken after a time of flight of !a" 6 ms and !b" 10 ms. Measured distributions along z are compared to the calculated ones in !c" and !d". The calculation assumes that all the atoms are in the25 / 54 Klassische Beschreibung von Lichtfeldern • Quantenmechanische Beschreibung des Lichtes: Herleitung über das klassische Lichtfeld Eine durch die Randbedingungen bestimmte Form des stromLichtfeldes → solche Ausgangspunkt: Maxwell-Gleichungen für den undnennt man Mode. Aufgrund der Linearität der Maxwell-Gleichungen kann man aus Überlagerunladungsfreien Raum gen von Moden neue Moden konstruieren oder eine gegebene Mode in eine Linearkomanderer zerlegen. •bination Lösungen derModen Maxwell-Gleichungen sind abhängig von den Randbedingungen • Zur Quantisierung betrachten wir als einfachstes Beispiel die Lichtmoden für ein durch unendlich gut leitende parallel Platten abgeschlossenes Volumen.welches Das Licht hat eine • Einfachstes Beispiel: Lichtmode in einem Volumen, Ausbreitungsrichtung entlang z und einer Polarisation parallel zur x-Achse. Auf den durchimzwei unendlich gutFeld leitende Platten begrenzt ist: Platten Abstand L muß das verschwinden. x z y L • Licht breitet sich entlang der z-Achse aus Das Feld läßt sich schreiben als s 26 / 54 Klassische Beschreibung von Lichtfeldern • Für das elektrische Feld gilt dann s Ex (z, t) = 2ω 2 · q(t) · sin(kz) ε0 V mit q(t) als zeitabhängige Amplitude. • Für das Magnetfeld erhält man aus der zweiten Maxwell’schen Gleichung 1 By (z, t) = 2 c k s 2ω 2 · q̇(t) · cos(kz) ε0 V 27 / 54 • Klassische elektromagnetische Energie einer ebenen Welle im Volumen V ist gegeben durch Z 1 1 H= ε0 Ex2 (z, t) + By2 (z, t) dV 2 µ0 • Erinnerung an die Energie des harmonischen Oszillators für ein Teilchen mit Masse m: H= p2 1 + mω 2 q 2 2m 2 mit p = q̇ 28 / 54 • Quantisierung: p, q werden als Operatoren p̂, q̂ aufgefasst • Alle klassischen Größen werden ebenfalls zu Operatoren: p̂ 2 1 + mω 2 q̂ 2 2m s 2 2ω 2 E → Êx (z, t) = · q̂(t) · sin(kz) ε0 V s 2ω 2 1 · p̂(t) · cos(kz) B → B̂y (z, t) = 2 c k ε0 V H → Ĥ = 29 / 54 Quantenmechanische Beschreibung des HO • Einführung des Erzeuger- und Vernichteroperators â, ↠mit r 1 mω i â = √ q̂ + p̂ ~ m~ω 2 r 1 mω i † â = √ q̂ − p̂ ~ m~ω 2 • Aus der Heisenberg-Vertauschungsrelation [q̂, p̂] = i~ wird die bosonische Vertauschungsrelation [â, ↠] = 1 • Für Orts- und Impulsoperator gilt dann r ~ · (↠+ â) 2mω r m~ω p̂ = i · (↠− â) 2 q̂ = 30 / 54 QM-Beschreibung des Lichts • Einsetzen von â, ↠in den Operator für elektrische Feld ergibt r Ê (z, t) = Ê (χ) = mit χ = ωt − kz − ~ω (âe −iχ + ↠e iχ ) 2ε0 V π 2 • Für das magnetische Feld erhält man analog 1 B̂(z, t) = B̂(χ) = 2 c k mit χ = ωt − kz − r ~ω (âe −iχ − ↠e iχ ) 2ε0 V π 2 31 / 54 Einführung von Quadraturoperatoren • â, ↠sind keine hermiteschen Operatoren → keine beobachtbare bzw. messbare Größen 2 p̂ • Finde einen Ausdruck für Ĥ in der Form Ĥ = 2m + 12 mω 2 q̂ 2 mit hermiteschen Operatoren • Analog zu p̂ und q̂ definiert man jeweils für eine Feldmode mit Frequenz ω: 1 X̂ = (↠+ â) 2 1 Ŷ = i(↠− â) 2 • ⇒ Ĥ = ~ω(X̂ 2 + Ŷ 2 ) mit â = X̂ + i Ŷ und ↠= X̂ − i Ŷ 32 / 54 Einführung von Quadraturoperatoren • Für die Heisenberg-Relation gilt somit: i 2 1 2 2 ∆X̂ · ∆Ŷ ≥ 16 [X̂ , Ŷ ] = • Die Erwartungswerte von X̂ und Ŷ nennt man Quadraturkomponenten des elektromagnetischen Feldes • In der Fock-Basis erhält man für die Erwartungswerte der Quadraturkomponenten hn|X̂ |ni = hn|Ŷ |ni = 0 • Für die Varianzen gilt 1 1 (∆X̂ )2 = (∆Ŷ )2 = (n + ) 2 2 33 / 54 Elektrisches Feld im Quadraturkomponenten • Einsetzen der Quadraturoperatoren in das elektrische Feld ergibt r Ê (z, t) = Ê (χ) = 2 mit χ = ωt − kz − ~ω (X̂ cos(χ) + Ŷ sin(χ)) 2ε0 V π 2 • Veranschaulichung an einer klassischen Welle: Jede beliebige Welle mit Frequenz ω ist an einen Ort r aus zwei Wellen π 1.2 Zustände zusammensetzbar, welche des umLichtfeldes 2 phasenverschoben sind X · cos(...) φ0 Y · sin(...) Abbildung 1.2: Darstellung einer Welle durch Überlagerung zweier anderer, zueinander phasenver- Abbildung 1.3: Darstellun 34 / 54 Vakuum-Zustände • Hier befindet sich kein Photon im Feld • Für den Eigenwert der Photonenzahl im Vakuum-Zustand | 0i gilt dann: h0i = 0 • aber hÊVakuum i = 0 !"#$"%&'(%"&)*+'(% 1 2 h∆Ê Vakuum (χ)i = h∆ Ê 2 (χ)i − h∆Ê (χ)i = ,-./01")2.3"$4$54)67".)89$"%&'("5:);"&)<0=$$ 4 05&'(1+"@"5;")<".&'(+"7$54A) • Es gibt Vakuum-Fluktuationen! 2 ( ( &! /* . ,0 ' + , & # " ,0 B C".)D#""3">EF".0%-.))))))))))+&%)$5+%G.A &! /* . , # " 35 / 54 Kohärente Zustände • Eigenzustände des HO haben eine gleichverteilte Phase → nicht geeignet, um Laserstrahlung zu beschreiben • Kohärenter Zustand: Vakuumzustand | 0i, der im Phasenraum um die kohärente Amplitude verschoben wurde • Ebenfalls ein Zustand minimaler Unschärfe • Einführung des Verschiebeoperators D̂(α) = e αâ † −α∗ â • Kohärenter Zustand ist definiert als | αi = D̂(α) | 0i 36 / 54 Eigenschaften kohärenter Zustände • Erwartungswert des elektrischen Feldes für die α-Zustände: hα|Ê (χ)|αi = 2|α|E0 sin(χ) • Für die Varianz gilt analog zum Vakuum-Zustand stände: 2 2 h∆Ê α (χ)i = h∆Ê 2 (χ)i − h∆Ê (χ)i = nte Zustände : Glauber - Zustände ( Glauber 1963) y Zustände kommen einem aserfeld sehr nahe. Es sind mit minimaler Unschärfe. mit mittlerer Photonenzahl maler Schwankungsbreite. 1 4 (#x) 2 " 1 4 ! (#y ) 2 " 1 4 $ !2 Vakuum x e Zustände ‚entstehen‘ durch Verschieben des Vakuumzustands 0 mit erschiebeoperator“: 37 / 54 Gequetschte Zustände • Ausgangssituation: Alle Lichtzustände haben Unschärfe in beiden Quadraturkomponenten X̂ , Ŷ • Einführung von gequetschtem“ Licht: ” Das Rauschen von einer der beiden Quadraturkomponenten soll verringert werden • Das Rauschen der Amplitude wird auf Kosten des Phasenrauschens minimiert und umgekehrt • ⇒ Eine Schärfe nimmt zu, die andere Schärfe nimmt dafür ab 38 / 54 Erzeugung gequetschter Zustände • Wie erzeugt man gequetschtes Licht? • ⇒ Anwenden des Squeezing-Operators auf den Vakuum-Zustand, dann Verschieben mit dem Verschiebe-Operator • Formal bedeutet das | α, ξi = D̂(α)Ŝ(ξ) | 0i • mit D̂(α) = e αâ 1 † −α∗ â Ŝ(ξ) = e 2 ξ(â) 2 − 1 ξ(↠)2 2 und ξ = s · e iθ , ξ ∈ C 39 / 54 Erzeugung gequetschter Zustände • Dabei ist s der Squeezing-Parameter und 0 ≤ θ ≤ 2π die gequetschte Quadratur Gequetschtes Licht • Im Phasenraum kann man sich die Erzeugung von Formale Erzeugung über „Quetschen“ des Vakuum-Zustandes und gequetschtem Licht so veranschaulichen: anschließende Verschiebung. y y Sˆ (* ) 14 x + x 1 S e 2 Dˆ (, ) + x 1 %S e 2 14 • Der Sqeeze-Operator y 1 ) 2 Sˆ (* )ist unitär. • Der gequetschte Zustand besteht nur aus Zahlzuständen mit gerader Photonenzahl! 12 ( * & sech s $ ' "2n #! "% 1 2 # n ei) tanh s $ 2n 40 / 54 Eigenschaften gequetschter Zustände • Eigenwerte der Quadraturkomponenten unabhängig von der Quetschung des Lichtes → identisch mit dem kohärentem Zustand • Aber: Wegen unterschiedlicher Quetschung in beiden Quadraturkomponenten sind die Varianzen verschieden • Es gilt also hαξ | X̂ | αξi = Re α = |a| cos φ hαξ | Ŷ | αξi = Im α = |a| sin φ 1 θ θ (∆X̂ )2 = [e 2s sin2 ( ) + e −2s cos2 ( )] 4 2 2 θ θ 1 (∆Ŷ )2 = [e 2s cos2 ( ) + e −2s sin2 ( )] 4 2 2 → Ein Ausdruck nimmt ab, der andere dafür zu! 41 / 54 Visualisierung der einzelnen Zustände • a) Kohärenter Zustand: Kommt so aus jedem Laser • b) Gequetscher Zustand mit s > 0: Gut um die Lichtintensität zu messen • c) Gequetscher Zustand mit s < 0: Gut um die Phase des Lichtfeldes zu messen → Wichtig für ein Interferometer! 42 / 54 Anwendungen gequetschter Zustände • Messung von Gravitationswellen in einem Interferometer • Zwei fundamentale Quellen des Quantenrauschens legen die Empfindlichkeit eines solchen Interferometers fest: • photon-counting-error • radiation-pressure-error → zu hohe Intensitäten auch schlecht! ! ! " " kohärenter Zustand # höhere Intensität # 43 / 54 Anwendungen gequetschter Zustände • Abhilfe: Erzeugung gequetschten Lichts im Interferometer → Der photon-counting-error soll klein werden (d.h. Unterdrückung der Photonen-Statistik √1N ) ! ! " " # # 44 / 54 cavity from the opposite side. Therefore, it was possible to lock the FC Interferometers stably to a sideband frequency of "134 MHz, Schema des which results in a detuning frequency of "10 MHz due to the free spectral range of 124 MHz. This technique avoided sufficient to provide adequate The squeezed beam from th was injected into the SRC, pa a "=2 plate, and a Farada FIG. 1 (c experime generate length. vides fr suitable reduction recycled SHG: s OPA: o DC: dic tor; PD recycling mirror; ! 211102-2 45 / 54 Ergebnisse • Bessere Messung der Nulldurchgänge → Rauschen Phase (2005) wird reduziert: PRL der 95, 211102 PHYSICAL REVIEW LETT [1] K. S. Tho by S. W. sity Press −75 (d) [2] B. Willke e −77 [3] A. Abram (c) −79 [4] M. Ando −81 [5] F. Acerne −83 (2004). [6] R. W. P. D −85 Gravitatio −87 (a) and M. O −89 514. (b) −91 [7] B. J. Meer 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [8] C. M. Cav Frequency [MHz] [9] W. G. Un tation, and FIG. 3 (color online). Amplitude quadrature power spectra of M. O. Scu Linie b): the Rauschen bei gequetschtem Licht →with Unterhalb des dual-recycled Michelson interferometer and without [10] M. T. Jae noise reduction. A single-sideband modulation normalennonclassical Schrotrauschens (1990). was injected at certain frequencies to characterize the signal[11] A. Buonan Peaks bedeuten, dass(a)nur bestimmte Frequenzen gequetscht to-noise ratio. Shot noise measured with a blocked signal werden −71 Noise power [dBm] −73 • • 46 / 54 Prinzip der Komplementarität • Was bedeutet der Begriff Komplementarität“? ” • Quantenmechanische Objekte können sich bei verschiedenen experimentellen Bedingungen als Teilchen oder Welle verhalten wave-like-behaviour “ ↔ two-way-behaviour“ ” ” • Doppelspalt-Experiment: Es gibt zwei Möglichkeiten: • • Einzelnes Elektron kann durch beide Spalte gehen → Interferenz • Anbringen eines Which-Way-Detektors“ ” → Interferenz verschwindet • Heisenberg’sche Unschärferelation sagt hier: ∆x wird kleiner ⇒ Interferenz verschwindet 47 / 54 • Experiment von Grangier-Roch: 3 S1 P2 S2 P1 Figure 1. Simplified representation of Afshar’s experiment [28, 29]. An attenuated laser illuminates a Young’s double-pinhole lens (L) • Resultat: 8 Je mehr Weginformation, desto interferometer. wenigerA Interferenz images each pinhole S and S on two detectors P and P . A grid of thin wires 1 2 1 2 (G) with a period matching the interfringe is positioned after the lens so that the wires of the grid are exactly superimposed on the dark fringes of the interference pattern. pulses for which full and unambiguous WPI can be obtained, complementary to the observation of interference4 . The paper is organized as follows: we start with a wave-like analysis of the experiment, allowing us to determine the interference visibility V and the path distinguishability parameter D. We demonstrate that the set of these two parameters obeys inequality (1). This analysis is then compared with the experiment. The results correspond with the almost ideal case, close to the upper bound of inequality (1). 2. Afshar’s setup with a Fresnel’s biprism: a wave-optical analysis Figure 2 (a) shows the setup corresponding to two separated incident beams at normal incidence on a FB, with two output detectors P1 and P2 positioned far away from the overlapping region of the two deviated beams [15]. Each detector is then unambiguously associated with a given path of the interferometer, i.e. detector P1 to path 1 and detector P2 to path 2. The experiment depicted on figure 1 can then be reproduced by introducing a transmission grating inside the interference zone corresponding to the overlap of the two beams refracted by the biprism. A strong assumption in Afshar’s interpretation is that positioning the wires of the grid at the dark-fringe locations is enough to reveal the existence of the interference pattern, without inducing any further perturbation on the transmitted light field. However, the grid has an Figure 4. Photocounts recorded on detector P while translating the grating G 48 / 54 • Figure 4. Photocounts recorded on detector P while translating the grating 1 Verallgemeinerte“ Heisenberg’sche Unschärferelation: ” along the x-axis, for different widths a of the transmitting slits: (a) a = 20 µm (b) 50 µm, (c) 70 µm and (d) 80 µm. 2 Identical results are recorded on detecto V2 + ≤ 1steps and each point is recorded wi P2 . The grating is translated byD4-µm 3-s acquisition time. A constant averaged background due to detector dark cou mitrate D= Distinguishability undbeen V = Visibility (about 180 counts s−1 ) has subtracted from the data. The visibility evaluated a fit by a cosine function shown as a solid line. • Hierbei gilt using die folgende Beziehung: Figure 5. (a) Wave-like information V 2 and particle-like information D 2 as • Wenn ein deutliches Interferenzmuster zu sehen ist, d.h. V function of the width a of the transmitting slits. The solid lines are the theoretic großexpectations ist, dann given ist diebyWeginformation equations (10) and(D) (12)klein without any fitting parameter 2 2 (b) V + D as a function of a. • Ansonsten sind die Verhältnisse umgekehrt 49 / 54 Ende des Vortrags Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! 50 / 54 Literaturverzeichnis I Müller, Rainer und Wiesner, Hartmut: Das Münchner Unterrichtskonzept zur Quantenmechanik, http://www. didaktik.physik.uni-muenchen.de/materialien/ inhalt_materialien/milq/muc_unterricht.pdf Internetseite von MILQ (Münchner Internetprojekt zur Lehrerfortbildung in Quantenmechanik), http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/ Lehrtext zu MILQ, http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap1/ images/Lehrtext%20milq.pdf Quantum-mechanical noise in an interferometer, Phys. Review Letters, Vol.23 (8), 1981 51 / 54 Literaturverzeichnis II Demonstration of a Squeezed-Light-Enhanced Power- and Signal-Recycled Michelson Interferometer, Phys. Review Letters Vol.95 (211102), 2005 Neutral atoms prepared in Fock states of a one-dimensional harmonic potential, Phys. Review Letters, Vol. 59 (1), 1999 Squeezed-Light-Enhanced-Polarization Interferometer, Phys. Review Letters, Vol. 59 (19), 1987 Illustration of quantum complementarity using single photons interfering on a grating, New Journal of Physics, Vol. 10 (2008) Schleich, Wolfgang: Quantum Optics in Phase Space, Wiley-VCH, 2000 52 / 54 Literaturverzeichnis III Zimmermann, Claus: Skript zur Quantenoptik, Universität Tübingen, http://www.pit.physik.uni-tuebingen.de/ zimmermann/lehre/skripten/Quantenoptik.pdf Samblowski, Aiko: Verschränkung kontinuierlicher Variablen von Seitenbändern optischer Felder, http: //www.aei.mpg.de/pdf/diploma/ASamblowski_07.pdf Sengstock, Klaus; Schmidt, Malte: Quantenoptik und Atomoptik, Vorlesungsskript WS 2004/05, Universität Hamburg, http://www.physnet.uni-hamburg.de/ilp/de/ qoptik/quantenoptik-skript-10-05.pdf Sengstock, Klaus: Vortragsfolien der Vorlesung Quantenoptik und Atomoptik, Universität Hamburg, http://www.physnet.uni-hamburg.de/ilp/de/qoptik_ 07_08/Kapitel1_07_08.pdf 53 / 54 Literaturverzeichnis IV Abbildung für den harmonischen Oszillator: http://topcat.iit.bme.hu/~fercsi/docs/books/ Mathematik-Kompendium/daten/bilder/kap09/t1/ 109a021.gif 54 / 54
