r 1 - CCP14

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Das Bohrsche Atommodell
Jenseits der klassischen Physik:
Die Quantenbedingung für den Drehimpuls
Inhalt
• Kräfte zwischen Kern und Elektronen
• Quantenbedingung für den Drehimpuls
• Abhängig von der Quantenzahl:
– Bahnradius
– Energie
• Die Bohrschen Postulate
Das Bohrsche Atommodell
• Elektronen kreisen als geladene, mechanische
Objekte um den Kern
– Gleichgewicht zwischen Coulomb- und
Zentrifugalkraft
• Der Radius der Elektronenbahn ist konstant:
– Die Erklärung dafür erfordert die Erweiterung der
klassischen Physik zur Quantenmechanik
Das Coulombgesetz
q1  q2
F
 2
40 r
1
q1

F

F
 N
q2
r
Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an
Das Coulombgesetz für Kern und Elektron
Z e
F 
 2
40 r


e
F
F
2
1
 N
Z e
r
Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an
Vektoren für Ort, Geschwindigkeit und
Beschleunigung auf der Kreisbahn
•Konstante Winkelgeschwindigkeit
•Nullpunkt im Mittelpunkt des Kreises
Kräfte auf Bahn n
Formel
Einheit
Anmerkung
Z  e2
F
 2
40 rn
1N
Coulombkraft
F  m  rn  n
1N
Zentrifugalkraft
1
2
Die Bohrschen Postulate
• Elektronen bewegen sich auf stationären
Bahnen um den Kern
• Auf diesen Bahnen strahlen die Elektronen –
trotz Beschleunigung – keine Energie ab
• Der Bahndrehimpuls ist „gequantelt“
• Die Ausstrahlung elektromagnetischer Strahlung
erfolgt bei sprunghaftem Übergang eines
Elektrons von einer Schale höherer zu einer
Schale niederer Energie
Bohrsches Atommodell:
Kern, Ladung
Ze
Elektronenhülle ,
Z Elektronen mit
Ladung -e
auf Schalen um den
Kern verteilt
Der Drehimpuls und seine Quantisierung
Ln  m  rn  n
2
Ln  n  
1 m2kg/s
Drehimpuls
1 m2kg/s
Quantisierung des
Drehimpulses, n =
1,2,3,…
Diese Bedingung für den Drehimpuls führt auf
n=1,2,3,… mögliche Elektronenbahnen, auf jeder
hat das Elektron eine spezielle Energie En
Radien der Bahnen zur Quantenzahl n für Atome mit Z=1
(Wasserstoff und Wasserstoff ähnliche Atome mit nur einem Elektron)
Bahnradius
Einheit
Quantenzahl
r1
1
r2  4  r1
2
r3  9  r1
r4  16  r1
…
1m
3
4
..
rn  n 2  r1
n
Bohrsches Atommodell
r4=16r1
r3=9r1
r2=4r1
r1
Bohrsches Atommodell
r4=16r1
r3=9r1
r2=4r1
E1=-0,85 eV
E3=-1,5 eV
r1
E2=-3,4 eV
E1=-13,6 eV
Zusammenfassung
Bohrs Atommodell: Elektronen kreisen als geladene,
mechanische Objekte um den Kern
– Gleichgewicht zwischen Coulomb- und Zentrifugalkraft
• Die Quantenbedingung für den Drehimpuls führt
auf diskrete, mit n = 1, 2, 3, … nummerierbare
Bahnen,
– kleinster Radius r1= 0,0529 nm
• Zu jeder Bahn n bei Kernladungszahl Z und
Elektronenmasse m gehört eine eigene Energie:
En=e4mZ2/(8ε02h2) ·1/n2 [J],
– größte Bindungsenergie im Wasserstoff E1=-13,6 [eV]
• Strahlung wird nur beim Übergang zwischen
unterschiedlichen stationären Bahnen ausgesandt
Konstanten
Formelzeichen
Wert
SI Einheit
e
1,60 10-19
1C

1,05 10-34
1 Js
me
9,11 10-31
1 kg
0
10-12
,
8,85
1 F/m
Anmerkung
Elementarladung
Plancksches
Wirkungsquantum
Masse des
Elektrons
Elektrische
Feldkonstante
r4=16r1
finis
r3=9r1
r2=4r1
E1=-0,85 eV
E3=-1,5 eV
r1
E2=-3,4 eV
E1=-13,6 eV
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