PPT zum Thema Skalarprodukt

Das Skalarprodukt
in Geometrie und Statistik
Flächensätze
Korrelationskoeffizient
präsentiert von Michael Spielmann
RFAG-Mathematik KT Bergische Region
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Welches Anliegen
hat der Vortrag?
• Vernetzung im Sinne eines
Spiralcurriculums
• Verankerung des Begriffes in
verschiedenen Kontexten
• Ermöglichung differenzierter Sicht auf
mathematische Begriffe
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Welche Klassenstufen werden
angesprochen?
•
•
•
•
•
Klasse
Klasse
Klasse
Klasse
Klasse
8: Ähnlichkeit
9: Kathetensatz, Pythagoras
10: Cosinus-Satz
11: Statistik, Regression
12: Vektorgeometrie
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Gliederung des Vortrages
Geometrie:
Ähnlichkeit -> Projektionssatz
(speziell Kathetensatz, Pythagoras)
Projektionssatz -> Cosinus-Satz
Cosinus-Satz -> Skalarprodukt
Statistik:
Listen sind Vektoren
Korrelationskoeffizient ist Skalarprodukt
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1.Teil: Geometrie
Wir beschränken uns auf
spitzwinklige Dreiecke.
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Höhen erzeugen
ähnliche Teildreiecke.
BEA  CAD
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Man kann die Höhen ins
Verhältnis setzen; das führt
aber zu
einem anderen Thema.
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Wir betrachten
Seitenverhältnisse:
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BEA  CDA
AB AC

AE ADVerhältnis

AB  AD  AC  AE
Flächen
Rechteck-Flächen?
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Bevor wir die Rechtecke betrachten,
beschreiben wir AD und AE.
AD ist
die orthogonale Projektion
von AC auf AB.
Seite b
Oder
Projektion pbc von b auf c
pbc
Seite c
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In der neuen
Schreibweise
notieren wir:
AB  AD  AC  AE
c  pbc  b  pcb
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Das erinnert an den
Kathetensatz
und an den Pythagoras.
Wir ergänzen die Figur.
flächengleiche
Rechtecke
sind auch hier
denkbar
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Beim spitzwinkligen
Dreieck sind die
Projektionsrechtecke
mit gemeinsamer Ecke
flächengleich.
Zwei Projektionsrechtecke
sind zu Kathetenquadraten
geworden.
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c  a  a  pba  b  b  pab
2
2
2
 a 2  b 2  a  pba  b  pab
 a  pba
 b  pab 
 a 2  b 2  2  a  pba
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Trigonometrie
es gilt
pba  b  cos 
2  a  pba  2  a  b  cos 
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Wir sind beim
Cosinussatz
angekommen.
pba  b  cos 
2  a  pba  2  a  b  cos 
c  a  b  2  a  b  cos 
2
2
2
Und der ist ja als
Verallgemeinerung
des Pythagoras
bekannt.
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Skalarprodukt
Definitionen
geometrisch
algebraisch
a b
a b
| a |  | b |  cos 
 a1b1  a2b2 
 anbn
 a  b  cos 
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Wir nutzen die Definition
mit cosinus.
a  b  a  b  cos 
Das erinnert uns an den Cosinus-Satz!
Und an die Projektionsrechtecke!
Die Fläche des Rechtecks war
a  b  cos   a  pba
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Das Skalarprodukt kann man sich als
Rechteckfläche veranschaulichen:
Die eine Rechteckseite
ist die Länge des einen
Vektors,
die andere Seite ist die
Projektionslänge des
anderen auf den ersten
Vektor.
2.Teil: Statistik
Regressionsanalyse
• Regressionsanalyse bringt zwei
Messreihen in Verbindung
• linearer Zusammenhang gesucht
• Methode der kleinsten Quadrate
• Qualitätsmaß (Korrelation)
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Diese Formeln sind bekannt.
cxy
1 n

(xi  x )( yi  y )

n  1 i 1
n
1
2
s x2 
(
x

x
)

i
n  1 i 1
1 n
2
s 
(
y

y
)
 i
n  1 i 1
cxy
m 2
sx
Covarianz
Varianzen
2
y
r
cxy
s x ·s y
Steigung
Korrelationskoeff.
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n
 (x  x )( y  y )
i 1
i
i
n
 (x  x )
i 1
i
2
Das sind
Skalarprodukte
n-dimensionaler
Vektoren.
Wir ahnen etwas.
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Regressionsgerade
verläuft durch den
Schwerpunkt
der Wolke
Koordinatensystem
in Schwerpunkt ( x / y )
legen
ui  xi  x
vi  yi  y
Vektoren
transformieren
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Nach Transformation erhalten wir
cuv
1 n

ui vi

n  1 i 1
n
1
2
su2 
u

i
n  1 i 1
Covarianz
Varianzen
1 n 2
s 
vi

n  1 i 1
cuv
m 2
su
Steigung
cuv
ruv 
 rxy
su ·sv
Korrelationskoeff.
2
v
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Spaltenvektoren
X
22
38
31
36
57
65
59
Y
U
V
W
23 -22 -27 -26,3
25 -6 -25 -7,2
36 -13 -14 -15,5
55 -8
5 -9,5
54 13
4 15,5
67 21 17 25,1
90 15 40 17,9
44 50
X
Y
0
U
0
0
Ziel:
w so bestimmen, dass
w=mu
Lineare Funktion,
Proportionalität,
minimale Quadratsumme
1895
m
 1,19
1588
1895
r
 0,806
1588  3480
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V
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w  m u
wi  m  ui
w  m u
Als
Regressionsgerade
ist gesucht
ein Vektor mit der
Eigenschaft
„Proportionalität“.
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U
V
W
-22 -27 -26,3
-6 -25 -7,2
-13 -14 -15,5
-8
5 -9,5
13
4 15,5
21 17 25,1
15 40 17,9
w  1,19·u
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u
ist die Menge der
(transformierten) Werte der
unabhängigen Größe,
v
die Menge der
(nicht passenden)
abhängigen Größe,
w  mu
die Menge der
(proportionalen) angepassten
abhängigen Größe.
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cuv
m 2
su
bekannte Formel
u v
 2
u
1 u
  v
u u
1
  pvu
u
Die Steigung der
Regressionsgeraden
(Proportionalitätsfaktor m)
ist ein
Skalarprodukt
oder
Projektionslänge geteilt
durch Länge u
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w hat Richtung von u, und
Länge ist Projektion v auf u.
w  m u
w mu
1
  pvu  | u |
u
 pvu
Länge von w ist
Projektion von v auf u
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Wie hatten wir w angepasst?
Methode der kleinsten Quadrate:
n
2
(
w

v
)
 i i
i 1
soll minimal sein
| w  v |
Dieser Betrag ist offenbar
das „Lot“
(was sicher minimal ist).
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Korrelation
Als Qualitätsmaß der Regressionsbeziehung dient
der Korrelationskoeffizient.
cxy
cuv
u ·v
r


 cos 
sx ·s y su ·sv uv
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u ·v
r
 cos 
uv
r ist ein Skalarprodukt
geometrisch geschrieben,
also:
der Cosinus des „Winkels“
zwischen den Vektoren
Sei z.B.
r  0.8
  arccos 0,8  36,8
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Die Vektoren u und v schließen
einen „Winkel von 37° “ ein.
r nahe 1 bedeutet hohe Korrelation.
Vektoriell gesehen ist dann
der Winkel zwischen u und v klein.
Wir erhalten eine andere Lesart
der Qualität der Regressionsbeziehung!
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Vielen Dank für Ihr
Interesse!
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