M-Ausg.Fachdidaktik
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Ausgewählte Kapitel der Fachdidaktik Günter Hanisch [email protected] Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 1 Beweisen im MU Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 2 Aufgabe Um die Höhe h eines Turmes, der auf einem Hang steht, zu ermitteln, wurden die beiden Höhenwinkel α und β zur Spitze S und zum Fußpunkt F des Turmes gemessen und desgleichen die Länge s der Standlinie vom Instrument zum Fußpunkt (siehe Zeichnung). Berechnen Sie h! Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 3 Herleiten vs. Beweisen Herleiten: Durch geschickte Aufgabenstellung ergibt sich der Satz von selbst. Beweisen: Durch geschickte Aufgabenstellung wird eine Vermutung gefasst und anschließend bewiesen. Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 4 Beispiel Pythagoras: Herleiten: Ähnliche Dreiecke Beweisen: Zuerst rechtwinklige Dreiecke zeichnen lassen und Kathetenquadrate addieren und Differenz zum Hypotenusenquadrat bilden. Daraus Vermutung. Beweis zB durch Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 5 Fläche des großen Quadrats = (a+b)2 = c2 + 4 ∙½ a b a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 6 Beweisarten • direkter Beweis Überführe die eine Seite der Gleichungen (der Folgerungen, der Äquivalenz) mit Hilfe von erlaubten Umwandlungen direkt in die andere Seite (evtl. Bottom-up-Trick nutzen). Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 7 Beweisarten • indirekter Beweis Nimm an, dass der zu beweisende Satz nicht stimmt und zeige, dass sich dann eine unsinnige Aussage ergeben würden (die gleichzeitig wahr und falsch sein müsste, z.B. 1=0 und 1 ungleich 0). Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 8 Es gibt unendlich viele Primzahlen Angenommen es gäbe nur die Primzahlen p_1, p_2, ..., p_n, also endlich viele und p_n wäre die größte. Dann dürfte die daraus gebildete größere Zahl „p_1 ∙ p_2 · p_3 · ∙∙∙ ∙p_n + 1“ keine weitere Primzahl sein. Gleichzeitig müsste sie aber eine sein, da sie sich durch keine der Primzahlen p_i teilen lässt. Es verbleibt immer Rest 1 => Annahme kann nicht wahr sein. Sie würde zu einer unsinnigen Aussage führen, die gleichzeitig w und f sein müsste.. Günter Hanisch, Fachdidaktik, 9 Fakultät für Mathematik, Uni-Wien Beweisarten • Gegenbeispiel Um die Falschheit einer Aussage zu bewiesen, genügt es, ein Gegenbeispiel zu finden. Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 10 Komplexe Zahlen können nicht geordnet werden. Was ist größer: 0 oder i? Annahme: i>0 | . i i2 > 0 Widerspruch Annahme: i<0 | . I i2 > 0 Widerspruch Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 11 Beweisarten • vollst. Induktion Soll bewiesen werden, dass eine Gleichung für alle natürlichen Zahlen n gilt, genügt es zu zeigen, dass sie (1.) für n = 1 und (2.) für jeden Nachfolger stimmt. Dazu nimmt man an, dass sie für irgendeine allgemeine Zahl k stimme und zeigt, dass sie dann auch für k+1 stimmen muss. Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 12 Summenformel für arithm. Reihe Zu zeigen: 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 n = 1: 1=1 ok Formel stimmt also für n=1. n = k: Wenn 1+2+3+…+k = k(k+1)/2 Wenn die Formel für n = k stimmt,… n=k+1: dann 1+2+3+…+k+(k+1) = k(k+1)/2 +(k+1) = (k2+3k+2)/2 = (k+1)(k+2)/2 Daher stimmt sie auch für n=k+1. Somit stimmt die Formel für n=1 und für jeden Nachfolger, folglich für alle Zahlen n aus ℕ. Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 13 • • • • • • • • : lernen = nicht durchfallen : nicht lernen = durchfallen zusammen: nicht lernen + lernen = durchfallen + nicht durchfallen ausklammern: ( 1 + nicht ) lernen = ( 1 + nicht ) durchfallen durch ( 1 + nicht ) teilen: Günter Hanisch, Fachdidaktik, lernen = durchfallen Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 14 Warum soll man beweisen? • • • • • • • • • • • • • • Um Sätzen Glaubhaftigkeit zu verleihen; weil man durch das Herleiten es besser verstehen kann; weil es nur in M geht; weil Beweisen (spätestens seit den Griechen) zur M gehört und man dadurch die Arbeitsweise von Mathematiker/innen kennenlernt und dadurch auf das Studium vorbereitet wird; M ist die exakte Wissenschaft und das sollen die Schüler(innen) erkennen; weil man verstandene Konzepte nicht auswendig lernen muss; Beweise üben das logische Argumentieren und Begründen; damit die Schüler/innen sehen, wie ein Beweis durchgeführt wird; die Beweismethoden lassen sich zum Teil auch im Alltagsleben verwenden; weil man leichter erkennt, welche Voraussetzungen für einen Satz notwendig sind; um auch Unglaubliches glaubhaft zu machen, wie 0, 9̇ = 1 oder Nichtordnung der komplexen Zahlen oder …; um die historische Entwicklung zu zeigen; weil Beweise schön sein können. Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 15 Heranführen an Beweise • • • • • • • • Schreibe auf, wie alt du bist. Addiere 5. Multipliziere das Ergebnis mit 2. Addiere dazu 10. Multipliziere das Ergebnis mit 5. Sag mir das Ergebnis. Ich sage dir, wie alt du bist. Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 16 Heranführen an Beweise • Bestimme die Endziffern der Zahlen 54, 64, 74 ohne die dahinter liegende Multiplikation konkret durchzuführen! • Goldbach’sche Vermutung: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen. Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 17 Beweise Im Dreieck ABC schneiden einander die Höhen AE und BF im Punkt S. Winkel FSA misst 40° und Winkel SAB misst 20°. Schreiben Sie einen Beweis für die folgende Behauptung: " ΔABC ist gleichschenklig"! Geben Sie geometrische Begründungen für die einzelnen Schritte Ihres Beweises an! Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 18 |ℕ| = |ℤ| = |ℚ| abzählbar unendlich Zwischen den Mengen ℕ und ℚ lässt sich z.B. folgende Bijektion angeben: Man starte bei 0 und durchwandere die positiven ℚ-Zahlen diagonalweise (s. Abb.). Dabei nummeriere man fortlaufend alle vollständig gekürzten Brüche zuzüglich ihrer negat. Gegenzahl. Diese Zuordnung ist eineindeutig und es verbleiben keine partnerlosen Zahlen. • Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 19 ℕ| < |ℝ| überabzählbar unendlich Beschränken wir uns auf die Zahlen zwischen 0 und 1. Denken Sie sich irgendeine Liste aus, in der Sie versuchen, die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in ihrer Dezimaldarstellung untereinanderzuschreiben! So eine Liste könnte folgendermaßen aussehen: Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 1. Zahl: 2. Zahl: 3. Zahl: 4. Zahl: 5. Zahl: usw. 0 .5148309752971... 0 .4354354354354... 0 .1415926540308... 0 .9819025736626... 0 .6392347543742... . .. . . . . . . . . . .20. . ... Das Cantor'sche Verfahren besteht darin, eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 anzugeben, die nicht in der Liste enthalten ist. Und das geht verblüffend einfach: Wählen Sie einfach ein Zahl, deren erste Nachkommastelle (Zehntel-Stelle) mit der ersten Nachkommastelle der ersten Zahl (im obigen Beispiel: 5) nicht übereinstimmt, deren zweite Nachkommastelle (Hundertstel-Stelle) mit der zweiten Nachkommastelle der zweiten Zahl (im obigen Beispiel: 3) nicht übereinstimmt, deren dritte Nachkommastelle (Tausendstel-Stelle) mit der dritten Nachkommastelle der dritten Zahl (im obigen Beispiel: 1) nicht übereinstimmt, usw. So eine Zahl ist von allen bereits in der Liste stehenden Zahlen verschieden. (Sie unterscheidet sich von der n-ten Zahl der Liste in der n-ten Nachkommastelle). Wir haben die relevanten Stellen des obigen Beispiels eingefärbt und eine Zahl hinzugefügt, die sich von allen angegebenen Zahlen unterscheidet: Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 21 Das Cantor'sche Verfahren besteht darin, eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 anzugeben, die nicht in der Liste enthalten ist. Und das geht verblüffend einfach: Wählen Sie einfach ein Zahl, •deren erste Nachkommastelle (Zehntel-Stelle) mit der ersten Nachkommastelle der ersten Zahl (im obigen Beispiel: 5) nicht übereinstimmt, •deren zweite Nachkommastelle (Hundertstel-Stelle) mit der zweiten Nachkommastelle der zweiten Zahl (im obigen Beispiel: 3) nicht übereinstimmt, •deren dritte Nachkommastelle 1. Zahl: 0. 5148309752971. . . • (Tausendstel-Stelle) mit der dritten 2. Zahl: 0. 4354354354354. . . • Nachkommastelle der dritten Zahl 3. Zahl: 0. 1415926540308. . . •(im obigen Beispiel: 1) nicht 4. Zahl: 0. 9819025736626. . . •übereinstimmt, usw. 5. Zahl: 0. 6392347543742. . . usw. . .. . . . . . . . . . . . . ... neue Zahl: 0. 64204. . . . . . . . . . . Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 22 So eine Zahl ist von allen bereits in der Liste stehenden Zahlen verschieden. (Sie unterscheidet sich von der n-ten Zahl der Liste in der nten Nachkommastelle). Die relevanten Stellen des obigen Beispiels sind eingefärbt und es wurdeeine Zahl hinzugefügt, die sich von allen angegebenen Zahlen unterscheidet: Dieses Verfahren kann man immer anwenden, ganz gleich, welche Liste von Zahlen zunächst hingeschrieben wurde. (Aufgrund der Bedeutung, die die auf der "Diagonale" des obigen Schemas stehenden Ziffern haben, wurde es "Diagonalverfahren" genannt). Das Argument zeigt, dass so eine Liste nie alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 umfassen kann (und daher auch nicht die ganze Menge R). Womit bewiesen ist: Die Menge R ist überabzählbar. Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 23 Achtung: Nicht alles ist ein Beweis Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 24 • • • • • • • • lernen = nicht durchfallen nicht lernen = durchfallen addieren: nicht lernen + lernen = durchfallen + nicht durchfallen ausklammern: ( 1 + nicht) lernen = ( 1 + nicht) durchfallen durch ( 1 + nicht) kürzen: lernen = durchfallen Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 25 2=1 Es sei: a = b |* a a^2 = ab |- b^2 a^2 - b^2 = ab - b^2 (a + b)*(a-b) = b *(a-b) | /(a - b) a+b=b 2b = b (wegen a=b) | / b 2=1 Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 26 4=5 -20 = -20 16 - 36 = 25 - 45 16 - 36 + (9/2)^2 = 25 - 45 + (9/2)^2 (4 - 9/2)^2 = (5 - 9/2)^2 4 - 9/2 = 5 - 9/2 4=5 Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 27 Eine Mücke und ein Elefant wiegen gleich viel! Das Gewicht des Elefanten beträgt x Das Gewicht der Mücke beträgt y Beide zusammen wiegen 2v Also ergeben sich folgende zwei Gleichungen: x - 2v = -y x = -y + 2v Wir multiplizieren die linken und die rechten Seiten der beiden Gleichungen miteinander: x * x - 2vx + v * v = y * y - 2vy + v * v oder: (x - v) (x - v) = (y - v) (y - v) Wenn wir nun die Quadratwurzeln aus beiden Seiten ziehen, erhalten wir: x-v=y-v x=y Günter Hanisch, Fachdidaktik, 28 Elefant = Mücke Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 1€=1c 1 € = 100 c = (10 c)^2 = (0,1 €)^2 = 0,01 € = 1c Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 29 3 > 12 5>2 5-6>2-6 (-1) > (-4) (-1) * (-3) > (-4) * (-3) 3 > 12 Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 30 1=2 • sin(π) = 0; sin(2π ) = 0 • π = 2π • 1=2 Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 31 Angewandte Aufgaben Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 32 Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 33 DIDAKTISCHE FUNKTIONEN DER ANWENDUNGSORIENTIERUNG IM MU (nach Winter) • • • • • • • • • • • • • ● Angewandte Mathematik als Lehrstoff - Rechnen mit Größen, Dreisatz, Prozentrechnung - elementare Stochastik - konstruktive und berechnende Geometrie - angewandte Analysis - ... ● Sachbezogenheit als Lernprinzip - Umweltphänomene als Einstiege - Verkörperung der Begriffe in Situationen - angewandte Übungsaufgaben ● Wirklichkeitserschließung als Lernziel - Befähigung zum besseren Verständnis der aktuellen Lebenswelt - Vorbereitung zur Meisterung von Situationen des späteren (privaten, beruflichen, gesellschaftlichen) Lebens Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 34 Kriterien für die Auswahl und didaktische Strukturierung von Anwendungen (nach Winter) • • • • • • • Hilfe für die heutige Existenz der Schüler/innen Hilfe für die mutmaßliche spätere Existenz der Schüler/innen Authentizität des verwendeten Materials Zugänglichkeit der Anwendungssituation Reichhaltigkeit der Sachsituation an sachkundlich-mathematischen Problemstellungen Schwierigkeit des Modellbildungsprozesses und der benötigten mathematischen Begriffe und Methoden Eignung der Sachsituation für den zu behandelnden mathematischen Stoff Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 35 COMPUTEREINSATZ IM MATHEMATIKUNTERRICHT Positive Aspekte / Chancen: • • • • • • • • • • • • schnelle Visualisierung und Veranschaulichung (auch dynamisch und/oder dreidimensional) Routinen-Abgabe Konzentration auf Wesentliches Motivationscharakter des Mediums Motivation zu Begründungen Experimentelle Mathematik Erschließen neuer Aufgabenkulturen, unkompliziertere Variation der Aufgaben Möglichkeit zu Entdeckendem Lernen Nutzbarkeit realistischer Anwendungsdaten Korrektur algebraischer Fehler individuelles, selbstbestimmtes und –kontrolliertes Arbeiten Zukunftsvorbereitung (Medienkompetenz) Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 36 COMPUTEREINSATZ IM MATHEMATIKUNTERRICHT Negative Aspekte / Gefahren • • • • • • • • (noch) geringeres Algebra-Training Verlust von Wissen und Techniken unkritischer, 'blinder' Einsatz zu spielerisches, unsystematisches Vorgehen Überlagerung des Wesentlichen durch Syntaxprobleme hoher Zeitbedarf organisatorische Probleme (Einarbeitungsphase, Anfälligkeit, Verfügbarkeit, Einsetzbarkeit in Prüfungen, 'Missbrauch') Gefahr der Einschränkung von Phantasie und Vorstellungskraft Günter Hanisch, Fachdidaktik, Fakultät für Mathematik, Uni-Wien 37
