M-Ausg.Fachdidaktik

Ausgewählte Kapitel der
Fachdidaktik
Günter Hanisch
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Günter Hanisch, Fachdidaktik,
Fakultät für Mathematik, Uni-Wien
1
Beweisen im MU
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2
Aufgabe
Um die Höhe h eines Turmes,
der auf einem Hang steht, zu
ermitteln, wurden die beiden
Höhenwinkel α und β zur Spitze
S und zum Fußpunkt F des
Turmes gemessen und
desgleichen die Länge s der
Standlinie vom Instrument zum
Fußpunkt (siehe Zeichnung).
Berechnen Sie h!
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3
Herleiten vs. Beweisen
Herleiten: Durch geschickte Aufgabenstellung ergibt sich
der Satz von selbst.
Beweisen: Durch geschickte Aufgabenstellung wird eine
Vermutung gefasst und anschließend bewiesen.
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4
Beispiel Pythagoras:
Herleiten: Ähnliche Dreiecke
Beweisen: Zuerst rechtwinklige Dreiecke zeichnen lassen und
Kathetenquadrate addieren und Differenz zum
Hypotenusenquadrat bilden. Daraus Vermutung.
Beweis zB durch
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5
Fläche des großen Quadrats = (a+b)2
= c2 + 4 ∙½ a b
a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab
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6
Beweisarten
• direkter Beweis
Überführe die eine Seite der Gleichungen (der
Folgerungen, der Äquivalenz) mit Hilfe von
erlaubten Umwandlungen direkt in die andere
Seite (evtl. Bottom-up-Trick nutzen).
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7
Beweisarten
• indirekter Beweis
Nimm an, dass der zu beweisende Satz nicht
stimmt und zeige, dass sich dann eine unsinnige
Aussage ergeben würden (die gleichzeitig wahr
und falsch sein müsste, z.B. 1=0 und
1 ungleich 0).
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8
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Angenommen es gäbe nur die Primzahlen
p_1, p_2, ..., p_n, also endlich viele und p_n
wäre die größte. Dann dürfte die daraus
gebildete größere Zahl „p_1 ∙ p_2 · p_3 · ∙∙∙
∙p_n + 1“ keine weitere Primzahl sein.
Gleichzeitig müsste sie aber eine sein, da sie
sich durch keine der Primzahlen p_i teilen
lässt. Es verbleibt immer Rest 1 => Annahme
kann nicht wahr sein. Sie würde zu einer
unsinnigen Aussage führen, die gleichzeitig w
und f sein müsste..
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9
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Beweisarten
• Gegenbeispiel
Um die Falschheit einer Aussage zu bewiesen,
genügt es, ein Gegenbeispiel zu finden.
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10
Komplexe Zahlen können nicht
geordnet werden.
Was ist größer: 0 oder i?
Annahme: i>0 | . i
i2 > 0 Widerspruch
Annahme: i<0 | . I
i2 > 0 Widerspruch
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11
Beweisarten
• vollst. Induktion
Soll bewiesen werden, dass eine Gleichung für
alle natürlichen Zahlen n gilt, genügt es zu zeigen, dass sie (1.) für n = 1 und (2.) für jeden
Nachfolger stimmt. Dazu nimmt man an, dass sie
für irgendeine allgemeine Zahl k stimme und
zeigt, dass sie dann auch für k+1 stimmen muss.
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Summenformel für arithm. Reihe
Zu zeigen: 1+2+3+…+n = n(n+1)/2
n = 1: 1=1 ok Formel stimmt also für n=1.
n = k: Wenn 1+2+3+…+k = k(k+1)/2
Wenn die Formel für n = k stimmt,…
n=k+1: dann 1+2+3+…+k+(k+1) =
k(k+1)/2 +(k+1) = (k2+3k+2)/2 = (k+1)(k+2)/2
Daher stimmt sie auch für n=k+1.
Somit stimmt die Formel für n=1 und für jeden
Nachfolger, folglich für alle Zahlen n aus ℕ.
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: lernen = nicht durchfallen
: nicht lernen = durchfallen
zusammen:
nicht lernen + lernen = durchfallen + nicht
durchfallen
ausklammern:
( 1 + nicht ) lernen = ( 1 + nicht )
durchfallen
durch ( 1 + nicht ) teilen:
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lernen = durchfallen
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Warum soll man beweisen?
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Um Sätzen Glaubhaftigkeit zu verleihen;
weil man durch das Herleiten es besser verstehen kann;
weil es nur in M geht;
weil Beweisen (spätestens seit den Griechen) zur M gehört und man dadurch
die Arbeitsweise von Mathematiker/innen kennenlernt und
dadurch auf das Studium vorbereitet wird;
M ist die exakte Wissenschaft und das sollen die Schüler(innen) erkennen;
weil man verstandene Konzepte nicht auswendig lernen muss;
Beweise üben das logische Argumentieren und Begründen;
damit die Schüler/innen sehen, wie ein Beweis durchgeführt wird;
die Beweismethoden lassen sich zum Teil auch im Alltagsleben verwenden;
weil man leichter erkennt, welche Voraussetzungen für einen Satz notwendig
sind;
um auch Unglaubliches glaubhaft zu machen, wie 0, 9̇ = 1 oder Nichtordnung
der komplexen Zahlen oder …;
um die historische Entwicklung zu zeigen;
weil Beweise schön sein können.
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Heranführen an Beweise
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Schreibe auf, wie alt du bist.
Addiere 5.
Multipliziere das Ergebnis mit 2.
Addiere dazu 10.
Multipliziere das Ergebnis mit 5.
Sag mir das Ergebnis.
Ich sage dir, wie alt du bist.
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16
Heranführen an Beweise
• Bestimme die Endziffern der Zahlen 54, 64,
74 ohne die dahinter liegende Multiplikation
konkret durchzuführen!
• Goldbach’sche Vermutung: Jede gerade
Zahl, die größer als 2 ist, lässt sich als
Summe von zwei Primzahlen darstellen.
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Beweise
Im Dreieck ABC schneiden einander
die Höhen AE und BF im Punkt S.
Winkel FSA misst 40° und
Winkel SAB misst 20°.
Schreiben Sie einen Beweis für
die folgende Behauptung:
" ΔABC ist gleichschenklig"!
Geben Sie geometrische Begründungen
für die einzelnen Schritte Ihres Beweises an!
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|ℕ| = |ℤ| = |ℚ| abzählbar
unendlich
Zwischen den Mengen ℕ und ℚ
lässt sich z.B. folgende Bijektion
angeben: Man starte bei 0 und
durchwandere die positiven
ℚ-Zahlen diagonalweise (s. Abb.).
Dabei nummeriere man
fortlaufend alle vollständig
gekürzten Brüche zuzüglich ihrer
negat. Gegenzahl. Diese Zuordnung ist eineindeutig und es
verbleiben keine partnerlosen Zahlen.
•
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19
ℕ| < |ℝ| überabzählbar unendlich
Beschränken wir uns auf die Zahlen zwischen 0 und 1. Denken Sie
sich irgendeine Liste aus, in der Sie versuchen, die reellen Zahlen
zwischen 0 und 1 in ihrer Dezimaldarstellung
untereinanderzuschreiben!
So eine Liste könnte folgendermaßen aussehen:
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1.
Zahl:
2.
Zahl:
3.
Zahl:
4.
Zahl:
5.
Zahl:
usw.
0 .5148309752971...
0 .4354354354354...
0 .1415926540308...
0 .9819025736626...
0 .6392347543742...
. .. . . . . . . . . . .20. . ...
Das Cantor'sche Verfahren besteht darin, eine reelle Zahl zwischen 0 und 1
anzugeben, die nicht in der Liste enthalten ist. Und das geht verblüffend
einfach: Wählen Sie einfach ein Zahl,
deren erste Nachkommastelle (Zehntel-Stelle) mit der ersten Nachkommastelle
der ersten Zahl (im obigen Beispiel: 5) nicht übereinstimmt,
deren zweite Nachkommastelle (Hundertstel-Stelle) mit der zweiten
Nachkommastelle der zweiten Zahl (im obigen Beispiel: 3) nicht
übereinstimmt,
deren dritte Nachkommastelle (Tausendstel-Stelle) mit der dritten
Nachkommastelle der dritten Zahl (im obigen Beispiel: 1) nicht übereinstimmt,
usw.
So eine Zahl ist von allen bereits in der Liste stehenden Zahlen verschieden.
(Sie unterscheidet sich von der n-ten Zahl der Liste in der n-ten
Nachkommastelle).
Wir haben die relevanten Stellen des obigen Beispiels eingefärbt und eine Zahl
hinzugefügt, die sich von allen angegebenen Zahlen unterscheidet:
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21
Das Cantor'sche Verfahren besteht darin, eine reelle Zahl zwischen 0 und 1
anzugeben, die nicht in der Liste enthalten ist. Und das geht verblüffend
einfach: Wählen Sie einfach ein Zahl,
•deren erste Nachkommastelle (Zehntel-Stelle) mit der ersten
Nachkommastelle der ersten Zahl (im obigen Beispiel: 5) nicht übereinstimmt,
•deren zweite Nachkommastelle (Hundertstel-Stelle) mit der zweiten
Nachkommastelle der zweiten Zahl (im obigen Beispiel: 3) nicht
übereinstimmt,
•deren dritte Nachkommastelle
1. Zahl: 0. 5148309752971. . .
• (Tausendstel-Stelle) mit der dritten
2. Zahl: 0. 4354354354354. . .
• Nachkommastelle der dritten Zahl
3. Zahl: 0. 1415926540308. . .
•(im obigen Beispiel: 1) nicht
4. Zahl: 0. 9819025736626. . .
•übereinstimmt, usw.
5. Zahl: 0. 6392347543742. . .
usw.
. .. . . . . . . . . . . . . ...
neue
Zahl:
0. 64204. . . . . . . . . . .
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So eine Zahl ist von allen bereits in der Liste stehenden Zahlen
verschieden. (Sie unterscheidet sich von der n-ten Zahl der Liste in der nten Nachkommastelle).
Die relevanten Stellen des obigen Beispiels sind eingefärbt und es
wurdeeine Zahl hinzugefügt, die sich von allen angegebenen Zahlen
unterscheidet:
Dieses Verfahren kann man immer anwenden, ganz gleich, welche Liste
von Zahlen zunächst hingeschrieben wurde. (Aufgrund der Bedeutung, die
die auf der "Diagonale" des obigen Schemas stehenden Ziffern haben,
wurde es "Diagonalverfahren" genannt).
Das Argument zeigt, dass so eine Liste nie alle reellen Zahlen zwischen 0
und 1 umfassen kann (und daher auch nicht die ganze Menge R). Womit
bewiesen ist:
Die Menge R ist überabzählbar.
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Achtung: Nicht alles ist ein
Beweis
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•
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•
•
•
•
•
•
lernen = nicht durchfallen
nicht lernen = durchfallen
addieren:
nicht lernen + lernen = durchfallen + nicht durchfallen
ausklammern:
( 1 + nicht) lernen = ( 1 + nicht) durchfallen
durch ( 1 + nicht) kürzen:
lernen = durchfallen
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25
2=1
Es sei: a = b |* a
a^2 = ab |- b^2
a^2 - b^2 = ab - b^2
(a + b)*(a-b) = b *(a-b) | /(a - b)
a+b=b
2b = b (wegen a=b) | / b
2=1
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4=5
-20 = -20
16 - 36 = 25 - 45
16 - 36 + (9/2)^2 = 25 - 45 + (9/2)^2
(4 - 9/2)^2 = (5 - 9/2)^2
4 - 9/2 = 5 - 9/2
4=5
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Eine Mücke und ein Elefant
wiegen gleich viel!
Das Gewicht des Elefanten beträgt x
Das Gewicht der Mücke beträgt y
Beide zusammen wiegen 2v
Also ergeben sich folgende zwei Gleichungen:
x - 2v = -y
x = -y + 2v
Wir multiplizieren die linken und die rechten Seiten der beiden
Gleichungen miteinander:
x * x - 2vx + v * v = y * y - 2vy + v * v
oder:
(x - v) (x - v) = (y - v) (y - v)
Wenn wir nun die Quadratwurzeln aus beiden Seiten ziehen, erhalten wir:
x-v=y-v
x=y
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Elefant = Mücke
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1€=1c
1 € = 100 c
= (10 c)^2
= (0,1 €)^2
= 0,01 €
= 1c
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3 > 12
5>2
5-6>2-6
(-1) > (-4)
(-1) * (-3) > (-4) * (-3)
3 > 12
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1=2
• sin(π) = 0; sin(2π ) = 0
• π = 2π
• 1=2
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Angewandte Aufgaben
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DIDAKTISCHE FUNKTIONEN DER
ANWENDUNGSORIENTIERUNG IM MU
(nach Winter)
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•
•
•
•
● Angewandte Mathematik als Lehrstoff
- Rechnen mit Größen, Dreisatz, Prozentrechnung
- elementare Stochastik
- konstruktive und berechnende Geometrie
- angewandte Analysis
- ...
● Sachbezogenheit als Lernprinzip
- Umweltphänomene als Einstiege
- Verkörperung der Begriffe in Situationen
- angewandte Übungsaufgaben
● Wirklichkeitserschließung als Lernziel
- Befähigung zum besseren Verständnis der aktuellen Lebenswelt
- Vorbereitung zur Meisterung von Situationen des späteren (privaten,
beruflichen, gesellschaftlichen) Lebens
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Kriterien für die Auswahl und didaktische Strukturierung von
Anwendungen
(nach Winter)
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Hilfe für die heutige Existenz der Schüler/innen
Hilfe für die mutmaßliche spätere Existenz der Schüler/innen
Authentizität des verwendeten Materials
Zugänglichkeit der Anwendungssituation
Reichhaltigkeit der Sachsituation an sachkundlich-mathematischen
Problemstellungen
Schwierigkeit des Modellbildungsprozesses und der benötigten
mathematischen Begriffe und Methoden
Eignung der Sachsituation für den zu behandelnden mathematischen Stoff
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COMPUTEREINSATZ IM
MATHEMATIKUNTERRICHT
Positive Aspekte / Chancen:
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schnelle Visualisierung und Veranschaulichung (auch dynamisch und/oder
dreidimensional)
Routinen-Abgabe
Konzentration auf Wesentliches
Motivationscharakter des Mediums
Motivation zu Begründungen
Experimentelle Mathematik
Erschließen neuer Aufgabenkulturen, unkompliziertere Variation der Aufgaben
Möglichkeit zu Entdeckendem Lernen
Nutzbarkeit realistischer Anwendungsdaten
Korrektur algebraischer Fehler
individuelles, selbstbestimmtes und –kontrolliertes Arbeiten
Zukunftsvorbereitung (Medienkompetenz)
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COMPUTEREINSATZ IM
MATHEMATIKUNTERRICHT
Negative Aspekte / Gefahren
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(noch) geringeres Algebra-Training
Verlust von Wissen und Techniken
unkritischer, 'blinder' Einsatz
zu spielerisches, unsystematisches Vorgehen
Überlagerung des Wesentlichen durch Syntaxprobleme
hoher Zeitbedarf
organisatorische Probleme (Einarbeitungsphase, Anfälligkeit, Verfügbarkeit,
Einsetzbarkeit in Prüfungen, 'Missbrauch')
Gefahr der Einschränkung von Phantasie und Vorstellungskraft
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