Christoph Jacob

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Theoretische Biophysikalische Chemie
Geometrieoptimierung und Übergangszustände
Christoph Jacob
DFG-CENTRUM FÜR FUNKTIONELLE NANOSTRUKTUREN
0
Jacob: Theoretischeund
Biophysikalische Chemie
KIT –04.12.2012
Universität desChristoph
Landes Baden-Württemberg
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
DFG-Centrum für funktionelle Nanostrukturen
www.kit.edu
Modellierung von Biomolekülen
Potentialenergiefläche
⇒ Eel = Eel (R 1 , . . . , R N )
Kernkoordinaten R 1 , . . . , R N
Modelliere Energie mit Kraftfeldern
klassische Wechselwirkungen zwischen
den Atomen (Federn, Elektrostatik, etc.)
Klassische Dynamik der Kerne
⇒ löse klassische Bewegungsgleichungen
PI
mi
Ṗ I = −F I = −∇I Eel
Ṙ I =
1
04.12.2012
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DFG-Centrum für funktionelle Nanostrukturen
Kraftfeld-Näherung
“Standard”-Kraftfeld
Eel (R 1 , . . . , R N ) =
1 bonds
1 angles θ
kj (θj − θj0 )2
ki (ri − ri0 )2 +
∑
2 i
2 ∑
i
+
1 torsions
cos(nn ωn − γn )
2 ∑
n
1
qI qJ
4πe0 |R I − R J |
I J >I
"
12 6 #
σIJ
σIJ
+ ∑ ∑ 4eIJ
−
|R I − R J |
|R I − R J |
I J >I
+∑ ∑
2
04.12.2012
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DFG-Centrum für funktionelle Nanostrukturen
Grenzen der Kraftfeld-Näherung
Kraftfeld-Parameter müssen gefittet werden
schwierig für “ungewöhnliche” Elemente (z.B. Übergangsmetalle)
Grenzen der Form der Kraftfelder
keine Bindungsbrüche möglich
Atomtypen sind festgelegt
Partialladungen sind festgelegt
Elektronen werden vernachlässigt
⇒ keine Wellenfunktion
nur Berechnung der Energie möglich
keine spektroskopischen Eigenschaften (Wechselwirkung mit Licht)
keine Photochemie (angeregte Zustände)
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Quantenchemie
Quantenmechanik:
Elektronische Wellenfunktion: Ψel = Ψel (r 1 , . . . , r N )
Koordinaten der Elektronen: r 1 , . . . , r N
→ löse elektronische Schrödinger-Gleichung
Ĥ {R } Ψ{R } = Eel (R 1 , . . . , R N )Ψ{R }
Quantenchemie
Wellenfunctionstheorie (WFT)
Dichtefunktionaltheorie (DFT)
→ Energieberechnung ist sehr aufwändig
Kraftfeldmethoden
vernachlässige Elektronen und modelliere Eel direkt
→ Energieberechnung sehr schnell
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Potentialenergiefläche
⇒ elektronische Energie hängt von den Kernkoordinaten {R I } ab:
E = E (R 1 , . . . , R N )
→ elektronische Energie definiert Potentialenergiefläche (PES)
Beispiel: zweiatomiges Molekül
VK
x
A
d
B
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d
→ alle Rechnungen liefern die PES nur punktweise
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“Absuchen” der Potentialenergiefläche
Molekulardynamik
löse klassische Bewegungsgleichungen
→ Dynamik auf der PES (in einem bestimmten Bereich)
Berechnung von theromodynamischen Größen
→ freie Energien (enthalten Entropiebeiträge!)
Quantenchemische Molekulardynamik
→ verwende Quantenchemie für Berechnung der Energie und Kräfte
Ab initio Molekulardynamik (AIMD)
Car–Parinello Molekulardynamik (CPMD)
deutlich weniger Zeitschritte möglich → kürzere Simulationsdauern
Alternative: Betrachte nur wenige ausgewählte Punkte auf der PES
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“Absuchen” der Potentialenergiefläche
chemisch interessant: Stationäre Punkte auf der Potentialenergiefläche
→ Minima:
stabile Konfigurationen eines Moleküls, Gleichgewichtsstrukturen
→ Sattelpunkte 1. Ordnung:
Übergangszustande (ÜZ),
d.h. Punkte maximaler Energie entlang von ‘Reaktionswegen’
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order saddle point is desired.
Most optimization methods determine the nearest stationary point, but a multidimensional function may contain many (in some cases very many!) different stationPotentialenergiefläche
Maximum
Maximum
Energy
Saddle
point
Saddle
point
Minimum
Perpendicular
coordinates Minimum
Reaction coordinate
Figure 12.1
Illustrating a multi-dimensional energy surface
Minimum: alle Strukturänderungen führen zu höherer Energie
Introduction
to Computational
Chemistry, Maximum
Second Edition.entlang
Frank Jensen.
Sattelpunkt
1. Ordnung:
einer
© 2007 John Wiley & Sons, Ltd
(Reaktions-)
Koordinate, Minimum in Bezug auf alle anderen
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Charakterisierung stationärer Punkte
Wie lassen sich die interessanten stationären Punkte finden?
Beispiel: Minimum bei einem zweiatomiges Molekül
E
A
d
B
d
r0
Bedingung für stationären Punkt:
dE
=0
dd
zusätzliche Bedingung für Minimum:
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d2 E
≥0
dd 2
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Charakterisierung stationärer Punkte
Wie lassen sich die interessanten stationären Punkte finden?
allgemein: 3M Kernkoordinaten; E = E (R 1 , . . . , R N )
Bedingung für stationäre Punkte:
dE dE dE dE
dE T
Gradient: g = ∇E =
,
,
,
,...,
=0
dx1 dy1 dz1 dx2
dzN
Zweite Ableitungen:
Hessematrix: H =

d2 E
2
 dx2 1
 dE
 dy1 dx1

..
.
d2 E
dx1 dy1
d2 E
dx1 dz1
d2 E
dx1 dx2
d2 E
dy12
d2 E
dy1 dz1
d2 E
dy1 dx2
..
.
..
.
..
.
...


. . .


..
.
Bedingung für Minimum: alle Eigenwerte von H sind ≥ 0
Bedingung für Sattelpunkt 1. Ordnung: ein Eigenwert von H
ist < 0, alle anderen Eigenwerte von H sind ≥ 0
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Stationäre Punkte auf der Potentialenergiefläche
Wie finden wir die interessanten stationäre Punkte?
Ist es möglich, die Potentialenergiefläche systematisch abzusuchen?
Beispiel: 10 Atome, 24 (= 3N − 6) Koordinaten
→ 10 Punkte pro Koordinate entsprechen 1024 Energieberechnungen!
→ 100 Punkte pro Koordinate entsprechen 10240 Energieberechnungen!
⇒ Das globale Minimum zu finden ist ein sehr schwieriges Problem
verwende “chemisches Wissen” und betrachte sinnvolle Strukturen
→ lokale Minima, Übergangszustände zwischen lokalen Minima
Was brauchen wir jetzt?
Berechnung von Gradienten (und Hessematrix)
Rechenverfahren
zur Geometrieoptimierung (d.h. zur Suche lokaler Minima)
zur Suche von Übergangszuständen
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Geometrieoptimierung
→ suche lokales Minimum, ausgehend von geeigneter Startstruktur
Wie wählt man die Startstruktur?
"rate" Startstruktur
→ ausgehend von chemischer
Problemstellung
berechne Wellenfunktion
und Energie
Gradient klein
berechne Gradient
Gradient zu gross
bestimme neue Struktur
Ende
Konvergenzkriterium? z.B.
1/2
|g | = ∑ gI2,α
<t
I ,α
Wie lässt sich der Schritt zur
neuen Struktur bestimmen?
Ziel: möglichst wenige Schritte
(Berechnung von Energie und Gradient ist aufwändig)
Berechnung der Hessematrix sollte vermieden werden
(noch aufwändiger)
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Minimierungsverfahren
Wie lässt sich ein Schritt von einer (Start-)Struktur in Richtung
eines Minimums bestimmen?
Beispiel: Geometrieoptimierung bei einem zweiatomiges Molekül
E
A
d
B
Startpunkt
Gradient
d
r0
→ folge dem negativen Gradienten, d.h., R i +1 = R i + ∆R i = R i − αg i
→ wie lässt sich die Schrittweite α bestimmen?
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The critical point here is the choice of the step size α. If the step is
Minimierungsverfahrengradient down the potential though but may miss the minimum alo
up the valley on the opposite side. If the step is too short, we m
“Steepest Descent”-Minimierung
many steps, which in turn means too many (costly) evaluations of e
Schritt entlang des negativen Gradienten:
∆R i = αd i
d i = −g i
Wahl der Schrittweite α?
zu klein → zu viele Schritte
II Geometry optimization and normal modes of vibration
zu groß → schießen über Minimum hinaus
FIG. 11: Steepest descent minimization
⇒ ”line search”:
Wähle α so, dass die EnergieOne
in Richtung
way to overcome this problem is to perform a line search alo
des Gradienten d i = −g i minimal
wird on this line. In other words, we are looking for a va
find a minimum
→ Berechne Energie an mehreren Punkten
$
#
∂
∂
∂
10
, ∂y
, ∂z
using nabla — the formal vector of partial derivatives ∇ ≡ ∂x
entlang einer Linie
→ Konvergenz ist garantiert
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FIG. 12: 20
Line search
is the minimum along the search direction ek :
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Minimierungsverfahren
“Steepest Descent”-Minimierung: Probleme
384
OPTIMIZATION(Problem
TECHNIQUES
Viele Schritte
in ähnliche Richtung
bei “schmalen Tälern”)
Figure 12.2
Steepest descent minimization
Konvergenz nahe des Minimums immer langsamer
descent path oscillates around the minimum path, as illustrated in Figure 12.2, and this
is particularly problematic
for surfaces having long narrow valleys.
Besser: “Conjugate
Gradient”-Minimierung
Furthermore, as the minimum is approached, the rate of convergence slows down.
The steepest descent will actually never reach the minimum, it will crawl towards it at
Idee: Wähle
Richtung
d i der Schritte orthogonal zu allen vorherigen
an ever
decreasing speed.
An accurate line search requires several function evaluations along
each search
g tifairly
g i crudely, or a
direction. Often the minimization along the line is only
FR carried out
disi simply
= −taken
gi +
β i the
di−
β
=
single step
along
negative
gradient
direction.
In
the
latter
case, the
1
i
t g
gprevious
step size is varied dynamically during the optimization; if the
step
1 reduced
i −1 i −
15
04.12.2012
the function value, the next step is taken with a slightly longer step size, but if the function values increased, the step size is reduced. Without an accurate line
search, the
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guarantee for lowering of the function value is lost, and the optimization may poten-
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Minimierungsverfahren
Taylor-Entwicklung der Potentialenergiefläche um R i :
E (R ) = E (R i ) + g i · (R − R i ) + 21 (R − R i )t · H i · (R − R i ) + · · ·
Minimum dieser Taylor-Entwicklung (bis zur zweiten Ordnung):
0=
dE
= g i + H i · (R − R i )
dR
⇒H i · (R − R i ) = −g i
⇒ Newton-Raphson-Verfahren:
Berechne Schritt in Richtung Minimum aus dieser Taylor-Entwicklung:
∆R i = −H i−1 · g i
→ führt für quadratische Potentialenergiefläche direkt zum Minimum
Problem: Berechnung der Hessematrix in jeden Schritt ist aufwändig
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Minimierungsverfahren
⇒ Quasi-Newton-Verfahren
Verwende anstelle der exakten Hessematrix eine genäherte
Starte z.B. mit einer Einheitsmatrix (→ steepest-descent)
bessere Start-Hessematrizen sind auch möglich
z.B. aus einfachen Regeln oder aus voller quantenchemischer Rechnung
nutze in jedem Schritt den Gradienten g i ,
um die genäherte Hessematrix H̃ i zu verbessern
verschiedene Update-Formeln sind möglich, z.B. BFGS:
H̃ i = H̃ i −1 +
∆g i ∆g ti
∆g ti ∆R ti−1
H̃ i −1 ∆R i −1 ∆R ti−1 H̃ i −1
∆g ti H̃ i −1 ∆R ti−1
Quasi-Newton-Verfahren konvergieren oft schnell und zuverlässig
→ Standard-Verfahren in den meisten Quantenchemie-Programmen
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Wahl der Koordinaten
⇒ Konvergenz einer Quasi-Newton-Optimierung ist besser, je näher
die PES der quadratischen Form (Taylor–Entwicklung) ist
→ hängt stark von der Wahl der Koordinaten ab
Mögliche Koordinaten für Geometrieoptimierung
kartesische Koordinaten
einfach, aber nicht an das “chemische” Problem angepasst
→ oft schlechte Konvergenz
interne Koordinaten
verwende Bindungslängen, Winkel, Torsionswinkel, etc.
→ meist gute Konvergenz, aber Definition von 3M − 6 Koordinaten schwierig
redundante interne Koordinaten
verwende “zu viele” interne Koordinaten
→ meist gute Konvergenz, einfache automatische Definition möglich
kompliziertere Koordinaten sind ebenfalls möglich
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Geometrieoptimierung: Zusammenfassung
Ausgangspunkt: chemisch sinnvolle Startstrukturen
Minimierungsverfahren:
steepest descent: konvergiert immer, aber sehr langsam
besser: conjugate gradient, quasi-Newton (z.B. BFGS)
→ alle diese Verfahren vermeiden die Berechnung der Hessematrix
für Biomoleküle ist es oft sehr schwer “echte” Minima zu finden
in der Quantenchemie
Rechnungen meist auf einzelne Minima beschränkt
Ausgangspunkt für Berechnung weiterer Eigenschaften
(z.B. zur Berechnung von Spektren)
mit Kraftfeldmethoden
Ausgangspunkt für Molekulardynamiksimulation in der Umgebung
eines Minimums
Voroptimierung für quantenchemische Rechnungen
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d to occur along the path of least energy, and this path forms the basis
te theory.1 The Transition State is the configuration that divides the
duct parts of the surface (i.e. a molecule that has reached the transintinue on to product), while the geometrical configuration of the
along the reaction path is called the Transition Structure. The tranFür Beschreibung
Reaktionen
von Interesse:
a macroscopic
ensemble with achemischer
Boltzmann energy
distribution, while
ucture refers to the microscopic system. The two terms are often used
und Strukturen
Edukt und Produkt
and shareEnergien
the same acronym,
TS. In the von
multi-dimensional
case, the → Reaktionsenthalpie ∆Hr
saddle point on the potential energy surface, a maximum in the reacEnergie und Struktur des Übergangszustandes → Reaktionsgeschwindigkeit
irection and a minimum along all other coordinates.
Übergangszustände
Energy
Theorie des Übergangszustands:
krate =
∆G #
TS
kT
h
e−∆G
# /RT
Freie Enthalpie des ÜZ
∆G# = ∆H # − T ∆S #
∆G=0
∆G0
aus quantenchem. Rechnungen:
Reactant
Perpendicular
coordinates
Reaction coordinate
matic illustration of a reaction path
∆H # = ETS − EReactant
Product
Entropiebeiträge ∆S # :
→ spätere Vorlesung
20
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Christoph Jacob:
Theoretische Biophysikalische
Chemie
classical
theory where
the dynamics
along the
reaction coordinate is
y, while the perpendicular directions take into account the quantiza-
DFG-Centrum für funktionelle Nanostrukturen
Optimierung von Übergangszuständen
“Ein-Struktur”-Methoden
beginne mit geeigneter Startstruktur
verwende (Quasi-)Newton-Optimierung, um ÜZ zu optimieren
folge dem Eigenvektor zu einem negativen Eigenwert von H “bergauf”
→ gute Start-Hessematrix für Quasi-Newton-Verfahren nötig
Startstruktur nahe am Übergangszustand nötig
gute Wahl der Koordinaten noch wichtiger als bei Minimierung
ÜZ-Suche mit Ein-Struktur-Methoden
Geometrieoptimierung für Edukte und Produkte
suche gute Startstruktur (z.B. Linear Transit)
in der Regel volle Berechnung der Hessematrix für Startstruktur
→ verwende diese als Start für Quasi-Newton-Verfahren
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04.12.2012
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Optimierung von Übergangszuständen
Wie findet man geeignete Startstrukturen für ÜZ-Suche?
Einfachstes Vorgehen: folge einer (geratenen) Reaktionskoordinate
z.B. Bindungslänge oder -winkel, die sich während der Reaktion ändern
Linear Transit: variiere diese Koordinate in gleichmässigen Schritten
für jeden Schritte, optimiere alle anderen Koordinaten
Maximum entlang dieses Pfades sollte nahe beim ÜZ liegen
linear transit
TS
Reaktionspfad
(minimum energy path)
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04.12.2012
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Optimierung von Übergangszuständen
Alternative: “Zwei-Struktur”-Methoden
Idee: starte398von Edukten und
Produkten,
und kreise ÜZ ein
OPTIMIZATION
TECHNIQUES
Figure 12.7
Illustration of the saddle method; energy minima on the hyperspheres are denoted
by •
Weitere Alternative:
“Mehr-Struktur”-Methoden
Idee: Starte mit linearer Interpolation zw. Edukten und Produkten
A related idea is used in the Line-Then-Plane (LTP) algorithm, where the constrained optimization is done in the hyperplane perpendicular to the interpolation line
optimiere Strukturen
entlangOPTIMIZATION
des
gesamten
Reaktionspfades
between
the two end-points, rather
than on a hypersphere.
400
TECHNIQUES
23
23
04.12.2012
The Ridge method initially locates the energy maximum along the LST path connecting the reactant and product, and defines two points on either side of the energy
maximum.24 These points are allowed to relax in the downhill direction a given distance, and a new energy maximum is located along the interpolation line connecting
the two relaxed points, and the cycle is repeated. As the saddle point is approached,
the two ridge points gradually contract on the actual TS. This method requires a careful
adjustment of the magnitude of the “side” and “downhill” steps as the optimization
proceeds.
The Step-and-Slide algorithm25 is a variation where the reactant and product structures
are stepped along the LST line until they have energies equal to a preset value.
Figure 12.9 Illustration of the chain method; initial points along the path are denoted by x, and
Both
structures
then by
optimized
with respect to minimizing the distance between
points
areare
denoted
•
Christoph Jacob: relaxed
Theoretische
Biophysikalische
Chemie
DFG-Centrum für funktionelle Nanostrukturen
them, subject to being on an isoenergetic contour surface. The energy is increase, followed by another step-and-slide optimization, and this sequence is continued until the
Übergangszustände: Zusammenfassung
Optimierung von Übergangszuständen ist deutlich
schwieriger als normale Geometrieoptimierung
Ein-Struktur-Methoden:
gute Startstruktur und Start-Hessematrix sind essentiell
Mehr-Struktur-Methoden:
meist deutlich robuster, aber oft nicht verfügbar
Nach der Übergangszustands-Optimierung:
Zur Überprüfung immer Berechnung der Hessematrix nötig!
in der Quantenchemie
Beschreibung von chemischen Reaktionen (→ Aktivierungsenergie)
aber: Reaktionsgeschwindigkeiten erfordern sehr genau Energien
ausserdem: Entropiebeiträge erfordern Molekulardynamik-Simulationen
mit Kraftfeldmethoden
Übergangszustände können nicht beschrieben werden!
24
04.12.2012
Christoph Jacob: Theoretische Biophysikalische Chemie
DFG-Centrum für funktionelle Nanostrukturen
Referenzen
Grafiken zum Teil aus:
F. Jensen, Introduction to Computational Chemistry,
John Wiley & Sons, Chichester (2007).
M. Elstner, T. Kubar, Vorlesungsskript
Theoretische Biophysikalische Chemie, KIT (2011).
M. Reiher, Ch. R. Jacob, S. Fux, Vorlesungsskript Quantenchemie,
ETH Zürich (2008).
25
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