VEKTORRECHNUNG 6. KLASSE
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LERNZIELKATALOG 6. Klasse: Was du beim Kapitel „Potenzen“ können solltest: Lernziel Definiere bzw. gib bzw. löse ein Beispiel Wissen, was eine Potenz ist Bsp.: Allg.: Wissen, was Exponent, Basis, Radikand bedeutet Wissen, was eine natürliche Zahl als Hochzahl bedeutet 2³ = Wissen, was eine negative ganze Zahl als Hochzahl bedeutet 2-3 = Wissen, was ein Bruch als Hochzahl bedeutet 5 Gleitkommadarstellung 4000000= 4. 10? 2 3 0,0000000004 = 4. 10? Wissen, wie Potenzen addiert werden a³ + 3a³ = Wissen, wie Potenzen subtrahiert werden 5x³ - 2x³ = Wissen, wie Potenzen multipliziert werden x7.x³ = Wissen, wie Potenzen dividiert werden x7:x³ = Wissen, wie Potenzen potenziert werden (x³)² = Wissen, wie Potenzen radiziert werden 2 Wissen, wann Potenzen nicht zusammengefasst werden können x4 3x³ + x² = Potenzen von Binomen bilden, v.a. (a+b)², (2x – 3y)²= (a-b)², (a+b)³ (4a – b).(4a + b) = oder Was du beim Kapitel „Potenzen“ können solltest: Binome zerlegen können 81x² - 18x + 1 = 16a² - 81b² = 32 Partiell Wurzel ziehen 200 x ³ 3 Nenner rational machen 81 1 2 x y x Wurzelgleichungen lösen, Definitionsgebiet bestimmen Ungleichungen lösen, Lösungsmenge angeben Potenzfunktion zeichnen, Nullstelle und Fixpunkte bestimmen, Definitionsmenge angeben, Monotonie angeben y 2 x 11 2 x 5 8 4. x 20 3. x 6 7. x 2 1 8 f: y = - .x ³ Wurzelfunktion zeichnen, Nullstelle und Fixpunkte bestimmen, Definitionsmenge angeben, Monotonie angeben f: y = 3. Mit dem Taschenrechner umgehen können (Tasten x², xy, x , n x ) und richtig eingeben Berechne mit dem TR: x0= 0n= x1= (negative Zahl) gerade Zahl = LZK 6. Klasse x 2³ = 4 27 n n x (negative Zahl) ungerade Zahl = erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „Grenzprozesse“ können solltest: oder Lernziel Definition Folge (im Unterschied zu Menge) Gib jeweils ein Beispiel: Festlegen von Folgen durch Rekursion und einen erzeugenden Term Gib jeweils die ersten fünf Glieder der Folge an: a) 2n-1 b) x1 = 1 Arithmetische Folgen: - Wie definiert? xn+1 = xn.2 Gib ein Beispiel für eine arith. Folge und berechne die ersten 5 Folgenglieder: - Wie wird das n-te Folgenglied berechnet? Geometrische Folgen: - Wie definiert? Gib ein Beispiel für eine geometr. Folge und berechne die ersten 5 Folgenglieder: - Wie wird das n-te Folgenglied berechnet? Was ist das arithmetisches Mittel? Gib das arithmetische Mittel von 12 und 36 an: Was ist das geometrisches Mittel? Gib das geometische Mittel von 25 und 81 an: Monotonie von Folgen: Beweise, dass die Folge < Formale Definition für - streng. monoton wachsend 2 4n > streng 8n 5 monoton fallend ist! - streng monoton fallend Monotonie bei Folgen nachweisen können Schranken von Folgen: Formale Definition für - untere Schranke - obere Schranke Schranken von Folgen nachweisen können. Feststellen können, ob eine Folge beschränkt ist. Was sind konvergente Folgen? 2 4n > durch –1 nach 8n 5 unten und durch 0 nach oben beschränkt ist. Beweise, dass die Folge < Was du beim Kapitel „Grenzprozesse“ können solltest: Was sind divergente Folgen? Grenzwert: Bestimme den Grenzwert a der Folge < - Wie ist der Grenzwert einer Folge definiert? 2 4n > 8n 5 - Wie kann der Grenzwert einer Folge nachgewiesen werden? - Die Grenzwertesätze zum Berechnen von Grenzwerten anwenden können. Endliche arithmetische Reihe: <3, 5, 7, 9,...> Gib die ersten 5 Glieder der zugehörigen Reihe an und berechne das 10. - Definition Reihenglied! - Das n-te Glied berechnen können. Endliche geometrische Reihe: <12, 6, 3,...> Gib die ersten 5 Glieder der zugehörigen Reihe an und berechne das 10. - Definition Reihenglied! - Das n-te Glied berechnen können. - Textaufgaben lösen können Unendliche geometrische Reihe: a) Hat die zu <12, 6, 3,...> gehörende Reihe eine Summe? Wenn ja, berechne sie. - Definition - Die Summe (so vorhanden) berechnen können. - Wann kann die Summe gar nicht berechnet werden? - Textaufgaben lösen können LZK 6. Klasse b) An einem Halbkreis vom Radius r wird ein Halbkreis von halb so großem Radius in umgekehrter Orientierung angesetzt. Setzt man dieses Verfahren fort, so erhält man eine Folge von Schlangenkurven. Berechne die Länge dieser unendlichen Kurve (hat sie eine Länge?) und die Flächeninhalte aller Halbkreise! erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „Grenzprozesse“ können solltest: TEST zu „Grenzprozesse“: 1. Gib an, ob eine arithmetische oder eine geometrische Folge vorliegt: 1, 4, 7, 10,... 27, 9, 3, 1,... 1, -2, 3, -4, 5,... 4, -8, 16, -32, 64,... 3, 1, -1, -3,... 2. Von einer arithmetischen Folge sind gegeben: a5 = 17/2, a11 = 41/2. Berechne a1, d und s12! 3. Zwischen den Zahlen 6 und 96 sollen drei Zahlen so eingefügt werden, dass sie eine geometrische Folge bilden. Wie lauten die einzufügenden Zahlen? 4. Gegeben sei die Folge < 3n 5 > 2 9n a) Gib die ersten 5 Folgenglieder an! b) Gib eine obere Schranke der Folge an und beweise sie. c) Stelle eine Vermutung bzgl. der Monotonie der Folge auf und beweise diese! d) Bestimme den Grenzwert a der Folge, beweise den Grenzwert und gib an, ab welchem Folgenglied alle weiteren in einer -Umgebung mit = 1/200 um den Grenzwert a liegen. 5. Einem Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein Quadrat eingeschrieben, dessen Eckpunkte die Seiten des ursprünglichen Quadrats im Verhältnis 5 : 12 teilen. Dem 2. Quadrat wird nach der selben Vorschrift ein 3. Quadrat eingeschrieben, usw. a) Berechne die Summe der ersten 10 Quadratumfänge! b) Berechne die Summe aller Quadratflächen (wieso kannst du davon ausgehen, dass diese unendliche Reihe überhaupt eine Summe hat?). 6. Welchen Grenzwert haben folgende Folgen: 2 n3 n2 + 1 5n 3 2n 1 LZK 6. Klasse erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „Exp. / Log.“ können solltest: oder Lernziel Gib ein Beispiel für eine Exponentialfunktion an! Beispiel: Weißt du, wie du diese Funktion zeichnest? Kannst du ein paar Eigenschaften dieser Funktion angeben? Gib die allg. Definition für die Exponentialfunktion an: Definition: Wie lautet die eulersche Zahl? Die eulersche Zahl ist der Grenzwert welcher Folge? Kannst du e³ mit dem Raschenrechner berechnen? Gib ein Beispiel einer Exponentialgleichung mit gleichen Basen und versch. Exponenten: Wie wird diese Gleichung gelöst? Gib ein Beispiel einer Exponentialgleichung mit versch. Basen und gleichen Exponenten: Wie wird diese Gleichung gelöst? Beispiel: Lösung: Beispiel: Lösung: Wie ist der Logarithmus definiert? Kannst du mit Hilfe der Definition einfache Berechnungen ohne TR durchführen? 2 log 8 = x x= , da 4 log b = 3 b= , da a log 5 = -1 a= , da a log 1 = , da a log a = , da Welche Basis hat der lg [im TR oft mit log abgekürzt]? Was ergibt daher lg1000? Welche Basis hat der ln? Was ergibt daher ln(1/e)? Was du beim Kapitel „Exponentialfunktion, Logarithmus, -funktion“ können solltest: oder Lernziel Kannst du den lg und ln mit Hilfe des z.B. lg25 = TR berechnen? z.B. ln0,2 = Kennst du die Gesetzte für das Rechnen mit Logarithmen? a log (uv) = a log a log un = a log = = Kannst du komplexere Umformungen Beispiel: Zerlege den Term: vornehmen? log (a².b³) = Beispiel: Verwandle in einen Term: ¼ . log(a² +b) – ½ . log c = Welcher Zusammenhang besteht zwischen alog x und blog x ? Formel: Berechne mit Hilfe der Formel und des TR 3log 1,7 Gib ein Beispiel für eine Logarithmusfunktion an! Beispiel: Weißt du, wie du diese Funktion zeichnest? Kannst du ein paar Eigenschaften dieser Funktion angeben? Gib die allg. Definition für die Logarithmusfunktion an: Definition: Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Logarithmus- und der Exponentialfunktion? Kannst du Exponentialgleichungen, die zu Logarithmusgleichungen führen, lösen? Kannst du Logarithmusgleichungen lösen? LZK 6. Klasse Beispiel: 2x + 2x+1 = 3x-1 Beispiel: xlgx = 100x erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „Exponentialfunktion, Logarithmus, -funktion“ können solltest: TEST zu „Logarithmus, Exponentialfunktion“ 1. a) Wie lautet die Umformung zu a log b = t ? b) Berechne ohne Taschenrechner (mittels Umformung): lne2= c) Berechne ohne Taschenrechner (mittels Umformung): lg0,1= d) Berechne ohne Taschenrechner (mittels Umformung): 3log 81 = e) Berechne die Basis: xlog9=-2 f) Berechne den Numerus: 3logx=2 2. Löse folgende Gleichungen: a) 82x-5 = 26-x Mache die Probe !! b) lg(x+3) – lg(x-3) = lg4 Gib auch die Definitionsmenge an !! c)72x+1 – 3.23x-1 = 9.23x-2 + 5.72x-1 3. Zeichen f: y=2x-1 im Bereich von ]-3, 4] und g: y = 1,5logx im Bereich von ]0, 7]! 4. Von mo Gramm Radium sind infolge radioaktiven Zerfalls t Jahre später nur mehr m=m0.e-0,000428.t Gramm vorhanden. a) Wie viel Gramm sind von m0=0,003g nach 100 Jahren noch vorhanden? b) Wie groß war eine Radiummenge von derzeit 1,5.10-6 kg vor 1000 Jahren? LZK 6. Klasse erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „Trigonometrie“ können solltest: oder Lernziel Wie ist ein (Alt-)Grad definiert und wie wird es unterteilt? Kannst du mit den TR zwischen DMS 12° 5’ 12“ = _______° und DD umrechnen? 16,375° = __° __’ __“ Wie ist der Radiant definiert? 1 rad = Kannst du mit dem TR zwischen Altgrad und Bogenmaß wechseln? 315° = ____ = ____° Mit Hilfe welcher zweier geometrischer Figuren wurden die Winkelfunktionen definiert? 1. ____________________ 2. ____________________ Welche Winkelfunktionen kennst du? 1. 2. 3. 4. Wie sind die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck definiert? 1. 2. 3. 4. Wie sind die Winkelfunktionen im Einheitskreis definiert? Kannst du die Vorzeichen der Winkelfunktionen in den 4 Quadranten des 1-Kreises angeben? Mache eine Skizze und zeichne die Winkelfunktionen für =75° und =170° ein: 1.Qu. 2.Qu. 3.Qu. 4.Qu. sin cos tan Was du beim Kapitel „Trigonometrie“ können solltest: Weißt du, wie du mit dem TR Winkelfunktionen berechnen kannst? [sowohl in Grad als auch in rad] sin45°= cos(2)= tan315°= Weißt du, wie du mit dem TR aus einer gegebenen Winkelfunktion den Winkel eruieren kannst? Zu einem gegebenen Sinuswert gibt es wie viele Winkel? sin= 0,2 = Zu einem gegebenen Cosinuswert gibt cos= - 0,8 = es wie viele Winkel? Zu einem gegebenen Tangenswert gibt es wie viele Winkel? tan= 3,6 = = = = Wo ist der tan nicht definiert? Wie sind die Polarkoordinaten definiert? Kannst du zwischen kartesischen und Polarkoordinaten umrechnen? Worauf musst du bei der Berechnung des Winkels besonders achten? a) P(-4/7) r= _____ b) r=5, =195° = ____ x=____ y=____ Was sagt der Sinussatz? In welchem Dreieck darfst du ihn anwenden? Was musst du bei der Anwendung beachten? Was sagt der Cosinussatz? In welchem Dreieck darfst du ihn anwenden? LZK 6. Klasse erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „Trigonometrie“ können solltest: Weißt du, wo du nachschauen musst, um die Formeln für die Dreiecksfläche und den Umkreisradius zu finden? Wenn ja, dann suche sie und schreibe sie hier auf: A= r= Weißt du, was Höhen-, Tiefen- und Horizontalwinkel sind? Höhenwinkel: Tiefenwinkel: Horizontalwinkel: Weißt du, was Vertikal- und Horizontalebenen sind? Vertikalebenen: Horizontalebenen: Weißt du, wie du die Sinus-Funktion zeichnest? Kannst du ein paar Eigenschaften dieser Funktion angeben? Desgleichen mit der Cosinusfunktion! Desgleichen mit der Tangensfunktion! LZK 6. Klasse erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „Trigonometrie“ können solltest: Test zu „Trigonometrie“: 1. a) Von einem Dreieck sind gegeben: a=21,6cm, b=13,3cm und =40° 54’ Mache eine Skizze, berechne c, , sowie den Umkreisradius und den Flächeninhalt. b) Von einem rechtwinkligen Dreieck (=90°) mit dem gleichen Flächeninhalt ist a mit 14cm gegeben. Berechne b, c, und . 2. Von der Spitze eines 62m hohen Turmes sieht man den Geländepunkt A unter einem Tiefenwinkel von 24,22° und nach Schwenken des Fernrohres um einen Horizontalwinkel von 76,38° den Geländepunkt B unter einem Tiefenwinkel von 29,93°. Mache eine Skizze und ermittle die Entfernung von A nach B. 3. Ein Flugzeug fliegt auf geradlinigem Kurs mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit von 540km/h über dem Boden und peilt im Abstand von 2 Minuten das selbe Funkfeuer an. Die Winkel zwischen der Flugrichtung und dem Funkstrahl betrugen 14° bzw. 21°. a) Welche Entfernung hatte das Flugzeug bei der 1. Peilung vom Funkfeuer, welche bei der 2. Peilung? b) In welcher Höhe passiert das Flugzeug das Funkfeuer? 4. Zeichne die Funktion f: y=4.cos(mit[0°,720°] und gib einen weiteren Hoch-, Tiefpunkt und eine Nullstelle außerhalb des Definitionsgebietes an. LZK 6. Klasse erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „Gleichungssysteme mit 3 Variablen“ können solltest: oder Lernziel 2 Gleichungen mit 3 Variablen lösen können (+ geometrischer Interpretation) I 3x – 2y + z = 8 II 4x +3y - z = 7 3 Gleichungen mit 3 Variablen mittels I 2x + 5y + 4z = 1 II -3x – y – 2z = -10 Eliminationsverfahren oder Cramer’scher Regel lösen können (+ III ½ x + 3y – 5z = 1,5 geometrischer Interpretation) Wissen, welche Sonderfälle bei einem Zeige an Hand der Beispiele und gib eine geometrische Interpretation: 3x3 Gleichungssystem auftreten können und wie sich das auf die I 2x – 3y + 4z = 17 Lösung auf wirkt? II –6x + 9y – 12z = -51 III x – 1,5 y + 2z = 8,5 I x + 2y + z = 12 II –x + y + z = 5 III z = 9x + 3y – 23 I 2x – 3y + 4z = 17 II –6x + 9y – 12z = 51 III x – 1,5 y + 2z = 8,5 Was du beim Kapitel „Vektorrechnung“ können solltest: oder Lernziel die Ebenengleichung in Parameter und Normalvektorform angeben können Bestimme die Ebene, in der A(-1/0/2), B(-3/0/4), C(2/2/2) liegen das vektorielle Produkt aufstellen können A(-3/1/2), B(-1/0/4), C(2/5/2) Wissen, was durch das vektorielle Produkt zweier Vektoren bestimmt wird? Antwort: Ges.: AB x AC : Wissen, wie Gerade und Ebene Wie liegen die Ebene und die Gerade zueinander liegen können. zueinander: Lagebeziehung zw. Gerade und Ebene : 2x – 3y + 7z = 2 bestimmen können 5 3 g : 9 s. 5 X 15 7 Wissen, wie zwei Ebene zueinander liegen können. Wie liegen die zwei Ebenen zueinander: Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen bestimmen können 1: x – 5y – 4z = -23 Wissen, wie drei Ebene zueinander liegen können. Wie liegen die drei Ebenen zueinander: 2: x – 2y – z = -8 Lagebeziehung zwischen drei Ebenen 1: 2x – 3y + 5z = 23 bestimmen können 2: x + y – 2z = -7 3: x – 2y – 3z = -4 Winkel zwischen Vektoren berechnen Gegeben: A(1/-3), B(5/1), C(1/3). können Bestimme den Winkel zwischen AB und AC : Winkel zwischen Gerade und Ebene berechnen können Bestimme den Winkel zwischen : 4x + y - 6z = 8 und der 1 0 Gerade g: 2 t. 3 X 3 2 Was du beim Kapitel „6. Klasse Vektorrechnung“ können solltest: Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen können Bestimme den Winkel zwischen : 4x + y - 6z = 8 und 1 0 1 : 2 t . 3 s . 2 X 3 2 3 Längen mittels vektorieller Projektion Gegeben: A(2/1/-3), B(5/2/1), berechnen können C(1/3/-2). Bestimme die Normalprojektion des Vektors AB auf AC ! Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogramm und Dreieck anwenden können Gegeben: A(2/1/-3), B(5/2/1), C(1/3/-2). Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. Volumen des Parallelepipeds und der Pyramide berechnen können Gegeben: Pyramide mit Grundfläche = Parallelogramm A(-5/2/3), B(-1/-2/1), C(3/5/0), D, S(13/0,5/20,5). Bestimme das Volumen der Pyramide. Abstand zwischen Punkt und Gerade in R2 berechnen können Geg.: A(4/3), g: y= ½ x + 3 Ges.: Normalabstand des Punktes von der Geraden Abstand zwischen Punkt und Ebene in Geg: Pyramide A(-1/2/-1), B(0/3/-2), R3 berechnen können C(4/2/1), S(0/2/3) Ges.: Länge der Pyramidenhöhe h Abstand zwischen Punkt und Gerade in R3 berechnen können Geg: Dreieck A(-1/2/-1), B(0/3/-2), C(-4/2/1) Ges.: Länge der Höhe hc Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden berechnen können 2 2 g1: 2 t. 3 X 1 1 0 2 g2: 0 t. 2 X 1 3 Berechne den (kürzesten) Abstand der Geraden! LZK 6. Klasse erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017 Was du beim Kapitel „6. Klasse Vektorrechnung“ können solltest: TEST zu „VEKTORRECHNUNG 6. KLASSE“ 1. Löse folgendes Gleichungssystem und gib eine geometrische Interpretation: x + 2y – z = 10 4x + 5y – 3z = 27 2x + 3y – z = 23 2. Gib den Abstand der windschiefen Geraden an: 5 4 g: 2 s. 1 X 3 0 6 4 h: 10 t. 7 X 1 4 3. Gegeben sind die Punkte A(1|2|0), B(1|4|0), C(5|2|2) und S(1|2|4) einer dreiseitigen Pyramide mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und dem Punkt S als Spitze. a) Zeige, dass das Dreieck ABC rechtwinkelig ist und bestimme die Größen der übrigen Winkel des Dreiecks. b) Ermittle Normalvektorform. c) Berechne das Volumen der Pyramide. d) Bestimme den Winkel zwischen der Kante AS und der Seite AB. 4. Gegeben ist die Ebene x + y + z = 5 und der Punkt P(1/-2/3). a) Berechne des Abstand des Punktes von der Ebene. b) Gib die Koordinaten des an der Ebene gespiegelten Punktes an. LZK 6. Klasse erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger 08.4.2017
