Sätze über Flächenverhältnisse

9. Jahrgangsstufe
Mathematik- Geometrie
Lehrtexte
Flächenverhältnisse
Beispiel zur Einführung
Familie Redlich will im Zuge der Dachisolierung ihres Hauses gleichzeitig das Dachgeschoss des
Hauses ausbauen. Dabei soll die Querschnittsfläche des jetzigen Dachstuhls verdoppelt werden.
?
Du bist nun der Architekt, der den Redlichs helfen soll, den gewünschten Dachausbau zu erreichen.
Welche Möglichkeiten bieten sich im Allgemeinen für die Redlichs an?
Antwort:
Die Redlichs haben grundsätzlich zwei einfache Möglichkeiten, die gewünschte Verdoppelung der
Querschnittsfläche des Dachstuhls zu verwirklichen:


Die Redlichs wählen die doppelte Höhe des Dachstuhls.
Die Redlichs verdoppeln die Grundlinie
Aus dieser Antwort lassen sich die zwei folgenden Gesetze für die Flächenverhältnisse von
Dreiecken herauslesen:
Definition:
Unter einem Flächenverhältnis versteht man einen Quotienten, dessen Zähler und Nenner aus einem
Flächeninhalt bestehen.
Satz 1
Das Flächenverhältnis zweier Dreicke mit gleichlangen Grundlinien entspricht dem Verhältnis der
entsprechenden Dreieckshöhen.
Das Flächenverhältnis zweier Dreiecke mit gleichlangen Höhen enstpricht dem Verhältnis der
entsprechenden Grundlinen.
Beweis von Satz 1
Gelte zunächst, dass beide Dreiecke die gleiche Grundlinie haben:
1
 g  h1
2
1
A2   g  h2
2
A1 
© Markus Baur
A1 12 gh1 h1


A2 12 gh2 h2
Staffelsee- Gymnasium
2006/2007
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Auf gleichen Weg lässt sich mit der Dreiecksformel der zweite Teil des Satzes beweisen.
Aus einer Experiementieraufgabe erhält man den zweiten Satz zu den Flächenverhältnissen bei
Dreiecken:
Dreieck
AB1C1
AB2C2
Flächeninhalt 2,5 cm²
10 cm²
bc
4,4 cm²
17,6 cm²
Mit Hilfe dieser Tabelle kann man folgendes über das
einem gemeinsamen Winkel:
AB3C3
AB4C4
24cm²
49,5 cm²
42,24 cm²
87,12 cm²
Flächenverhältnis von zwei Dreiecken mit
A1 b1  c1

A2 b2  c 2
Satz 2
Das Flächenverhältnis zweier Dreiecke, die in einem Winkel übereinstimmen, entspricht dem
Verhältnis der Produkte aus den Seiten, die diesen Winkel bilden.
Beweis
Für den Beweis dieses Satzes betrachtet man die nachfolgende Figur:
A
Wir betrachten an dieser Figur die folgende Dreiecksinhalte mit den nachstehend genannten
Bezeichnungen:
A0  AAB0C0
A1  AAB1C0
A2  AAB0C2
© Markus Baur
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Der erste Beweisschritt besteht nun darin, dass man die Seitenverhältnisse bildet:
A1 c1

A0 c0
Dieses Seitenverhältnis wird begründet mit Satz 1, Abschnitt 2, da die beiden betrachteten Dreiecke
in ihrer Höhe übereinstimmen und nur sich in ihrer Grundlinie unterscheiden.
A0 b0

A2 b2
Dieses Seitenverhältnis ist ebenfalls durch Satz 1, Abschnitt 2 begründet, da auch diese Dreiecke in
ihrer Höhe übereinstimmen.
Multipliziert man nun die beiden Seitenverhältnisse miteinander, dann stellt man fest:
A1  A0
c b
A
 1  1 0
A2  A0 A2 c0  b2
Damit ist der Satz bewiesen. Q.e.d.
© Markus Baur
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