Kosten
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Beipielpool 001 a) Anwendung der Differentialrechnung Die Kostenfunktion eines Produkts sei K(x) = 10x2 + 5x + 1.000 für die Kapazität x [0 / 20]. Preis und abgesetzte Menge hängen mit p(x) = 500 – 20 x zusammen. Berechnen Sie die Gewinngrenzen und die zugehörigen Preise und den Cournotpunkt (2,36 u. 14,14 ME 452,9 u. 217,1 GE C(8,25/335) b) Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze für die Kostenfunktion K(x) = 3x2 +20x + 507 im Intervall [0 / 50]. (98) 002 a) Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion mit folgenden Bedingungen: Sättigungsmenge bei 25 ME. Der Absatz bei einem Preis von 675 GE/ME beträgt 10 ME. Um den Absatz um 10 % zu erhöhen, muss man den Preis auf 588 GE/ME senken. Wie hoch ist die Elastizität an der Stelle 10 ME? (K(x) = 3x2 – 150x + 1875 0,8) b) Die Nachfragefunktion sei p(x) = 5 (x – 25)2. Wie hoch sind Sättigungsmenge und Prohibitivpreis? Wo liegt der Cournotpunkt, wenn die Grenzkosten immer 1.000 GE/ME sind? (25 ME 3.125 GE/ME C(5 / 2000) ) 003 a) Ermitteln Sie die Nachfragefunktion aus der Elasitizität (x) = Error!, wenn der Prohibitivpreis 2.000 GE/ME beträgt. ( p(x) = 20x2 – 400x + 2000) b) Ermitteln Sie die Nachfragefunktion aus (x) = Error! mit p(10) = 406. (p(x) = 3000 • e–0,2x ) 004 a) Ermitteln Sie grafisch den Cournotpunkt für folgende Situation: Lineare Nachfrage mit: bei einem Preis von € 1.000,-- pro Stk können 400 Stk. abgesetzt werden. Eine Preissenkung von 20 % erhöht den Absatz um 25 %. Die Kostenfunktion ist quadratisch und lautet K(x) = 0,1 x2 + 800 x + 3.000 Maßstab: Abszisse: 1 cm ... 100 Stk. Ordinate: 1 cm ... 200 €/Stk. Platzbedarf: 10 cm nach oben und 15 cm nach rechts 1.300) C(230 / b) Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: die minimalen Grenzkosten betragen 100 GE/ME und treten bei 10 ME auf. Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 5 ME sind 325 GE/ME. Die Kosten an beim Beschäftigungsgrad 5 ME betragen 4.125 GE. ( K(x) = 3x3 – 90x2 + 1000x + 1000) ) 005 Ermitteln Sie den Verlauf der Nachfragefunktion aus (x) = Error!. Der Prohibitivpreis sei 100 GE/ME. ( p(x) = 10 100 – x2 ) 006 Die Nachfragefunktion eines Produktes sei quadratisch mit folgenden Eigenschaften: bei einem Preis von 1.800,-- €/ME können 20 ME abgesetzt werden. Wird der Preis um 5 % reduziert, wächst der Absatz um 3,8 %. Der Prohibitivpreis ist 5.000,-- €/ME. Wie hoch ist die Elastizität der Nachfrage beim Verkaufspreis 1.800,-- €/ME? ( p(x) = 2x2 – 200x + 5000) 007 Berechnen Sie den Cournotpunkt für K(x) = 2x + 20 und p(x) = Error! ( C(7,32 / 4,93) ) 008 Ermitteln Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus folgenden Werten: Die Kapazität des Betriebes ist 40 ME. Die Grenzkosten bei der Auslastung 20 % sind 314,4 GE / ME. Bei der Auslastung 30 % sind die Grenzkosten 290,4 GE / ME. Die Kosten bei der Produktion von 10 ME betragen 9.500 GE. Die Fixkosten sind 6.000 GE. (K(x) = 0,2x3 – 9x2 + 420x + 6000) 009 Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze für die Kostenfunktion K(x) = 0,1x3 – 4,5x2 +210x + 3000! im Intervall [0 / 50] (LPU = 260,71 ) 010 Ermitteln Sie für K(x) = 3x2 + 10x + 300 und p(x) = 250 – 3x die Gewinngrenzen samt zugehörigen Preisen und den Cournotpunkt! (1,29 u. 38,71 246,12 u. 133,88 C(20/ 190)) 011 Ermitteln Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion aus folgenden Fakten: bei einem Preis von 900 €/Stk. können 10.000 Stk. abgesetzt werden. Um den Absatz um 20 % zu steigern, muss der Preis auf €/ Stk. 784,-- gesenkt werden. Der Prohibitivpreis ist €/Stk. 1.600,--. Verwenden Sie 1 ME = 1.000 Stk. und 1 GE/ME = 1 €/Stk. (p(x) = x2 – 80x + 1600) 012 Ermitteln Sie für die Nachfragefunktion p(x) = Error! den maximalen Erlös, die Sättigungsmenge und den Prohibitivpreis! (107,34 GE 100 ME 20 GE/ME) 013 Ermitteln Sie den maximalen Gewinn für K(x) = 300 · e0,2x und einem festen Verkaufspreis von 8.000 € / Stk.! (155.714,1 GE) 014 Ermitteln Sie grafisch den Cournotpunkt für folgende Situation: Lineare Nachfrage mit der Sättigungsmenge 8.000 Stk. Bei einem Preis von 350 €/Stk. können 2.400 Stk. abgesetzt werden. Die Grenzkosten sind konstant und sind aus folgender Tabelle zu berechnen: x 3000 4000 5000 6000 K 600.000 800.000 1.000.000 1.200.000 Maßstab: Abszisse: 1 cm ... 1.000 Stk. Ordinate: 1 cm ... 100 €/Stk. 015 Zeichnen Sie in die beiliegende Grafik den Cournotpunkt und die Gewinngrenzen ein. Lesen Sie die Gewinngrenzen und die Cournotmenge ab und geben Sie diese Mengen mit den zugehörigen Preisen so genau wie möglich an! 1000 900 800 700 p(x) 600 500 Kd(x) 400 300 200 K'(x) 100 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 016 Ermitteln Sie den Verlauf der Nachfragefunktion aus (x) = Error!. Der Prohibitivpreis sei 100 GE/ME. ( p(x) = 100 • e–0,1x ) 017 Ermitteln Sie die Gleichungen der Teile eines linear-progressiven Kostenverlaufs aus: Bis zur Auslastung 20.000 Stk. sind die Grenzkosten konstant und 12 €/Stk. Die Fixkosten betragen € 50.000,--. Der progressive Teil schließt ohne Fixkostensprung an und die Grenzkosten steigen bis zur Auslastung von 50.000 Stk. auf 25 €/Stk. Im Übergangspunkt sind die Grenzkosten stetig. ( K1(x) = 12x + 50.000 K2(x) = 0,000217x2 + 3,33x + 136.666,7) 018 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze, die Gewinngrenzen und die Stelle des maximalen Gewinns für K1(x) = 500 + 3x für x [0/100] K2(x) = 0,2x2 – 2x – 1.000 für x (100 / 500) bei einem festen Preis von 20 GE/ME (8 GE/ME, 29,4 ME 144,58 ME x = 100) 019 Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Kostenfunktion aus folgenden Fakten: Die Kosten für 10 ME betragen 5.300 GE, für 6 ME sind die Kosten 2.660 GE. Die Grenzkosten bei 15 ME sind 1.080 GE/ME. (K(x) = 30 x2 + 180 x + 500) 020 Ein Betrieb hat eine Kapazität von 5.000 Stk. Die Kostenfunktion ist linear mit konstanten Grenzkosten von 3 € / Stk. Bei einer Auslastung von 30 % betragen die Kosten € 6.500,-- . Berechnen Sie die Gleichung dieser Kostenfunktion. Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze! Ermitteln Sie die Gewinngrenzen und den Cournotpunkt für die Nachfragefunktion p(x) = 200 – 0,03 x ! K(x) = 3x + 2000 LPU = 3,4 €/Stk. [10,2 / 6.556,5] C(3283,3 / 101,5) 021 Ermitteln Sie die Stelle des maximalen Gewinns für K(x) = 3x + 200 und einer Nachfragefunktion p(x) = Error!. (71,64 GE) 022 Wie hoch sind Prohibitivpreis, Sättigungsmenge und maximaler Erlös für eine Nachfragefunktion p(x) = 7x2 – 420 x + 6.300? (6.300, 30, 28.000) 023 a) Ermitteln Sie die Parameter einer S-förmigen Kostenfunktion mit folgenden Bedingungen: Die Kosten beim Beschäftigungsgrad 5 ME betragen 30.625 GE Die Grenzkosten bei dieser Auslastung sind 3.425 GE/ME. Erhöht man den Beschäftigungsgrad um 40 %, sind die Grenzkosten nur mehr 3.089 GE/ME. Der Übergang vom degressivem zum progressivem Kostenverlauf findet bei 10 ME statt. (a = 7 b = –210 c = 5.000 d = 10.000) b) Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze für K(x) = 5x2 + 20x + 50.000 (1.020) 024 a) Ermitteln Sie die Nachfragefunktion, wenn die Elastizität η(x) = Error! und p(10) = 9 ist. Wo tritt der maximale Erlös auf? p(x) = Error! b) Ermitteln Sie die Nachfragefunktion aus η(x) = Error!mit dem Prohibitivpreis 200 GE/ME. p(x) = 200 • e–0,2x 025 a) K(x) = 300 · e0,1x sei die Kostenfunktion im Bereich x [0 / 30 ME]. Berechnen Sie die Gewinngrenzen und die Stelle des maximalen Gewinns für einen festen Preis von 500 GE/ME. (0,64 und 42,64 xmax = 28,1 ME b) Die Nachfragefunktion eines Produktes ist p(x) = Error!. Berechnen Sie die Parameter so, dass die Sättigungsmenge 30 ME beträgt. Bei einem Preis von 20 GE/ME ist der Absatz 6 ME. (a = –10 b = 300) 026 a) Berechnen Sie den maximalen Erlös für p(x) = Error!! E(15,44) = 238,26 b) Berechnen Sie den Cournotpunkt für K(x) = 3x2 + 8x + 200 und p(x) = 500 – 5x C(30,75 / 346,25) 027 a) Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion K(x) = 0,8 x2 + 120 x + 8000. Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze! – K; (x) = 0,8 x + 120 + Error! Error! = 0,8 – Error! = 0 x = 100 ME – K; (100) = 0,8 · 100 + 120 + 80 = 280 GE/ME 028 Berechnen Sie die Break-even für einen Betrieb mit der Kostenfunktion K(x) = 0,8x2 + 120x + 80.000 und der Nachfragefunktion p(x) = 2.000 – 5x . Zwischen welchen Preisen kann ein Gewinn erzielt werden? 0,8 x2 + 120 x + 80.000 = 2000 x – 5x2 x1 = 50,38 p(50,38) = 1.748,07 p(273,75) = 631,24 029 x2 = 273,75 Berechnen Sie für K(x) = 0,8x2 +120x + 80.000 und p(x) = 2.000 – 5x den Cournotpunkt, den Prohibitivpreis und die Sättigungsmenge. 1,6x + 120 = 2000 – 10x xc = 162,1 ME pc = 1.189,66 GE/ME PP = 2.000 GE/ME SM = 400 030 Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: Die Kapazität des Betriebes ist 70 ME. Die minimalen Grenzkosten treten beim Beschäftigungsgrad 10 % auf und betragen 90 GE/ME. Die Grenzkosten bei 20 %iger Auslastung sind 4.500 GE/ME. Für die Produktion von 20 ME fallen Kosten von 79.500 GE an. K" (7) = 42 a + 2 b =0 K' (7) = 147 a + 14 b + c = 90 K' (14) = 588 a + 28 b + c = 4.500 a = 30 K (20) = 8.000 a + 400 b + 20 c + d = 79.500 b = – 630 c = 4.500 d = 1.500 031 Die Kostenfunktion eines Betriebes ist K(x) = x2 + 15x + 3.000. Wie hoch muss ein fester Verkaufspreis sein, dass der Break-even bei 20 ME liegt? K(20) = 400 + 300 + 3000 = 20 p p = 185 GE/ME. 032 Berechnen Sie für p(x) = Error! den maximalen Erlös. E(x) = Error! Error! = Error! = 0 500 x + 1000 – 6x2 – 12x = 500 x – 3x2 x = 16,37 E(16,37) = 401,8 GE 033 3x2 – 12x + 1000 = 0 Ermitteln Sie eine lineare Nachfragefunktion aus: die Sättigungsmenge ist 800 Stk. und bei einem Preis von 10.000 €/Stk. können 300 Stk. abgesetzt werden. 0 = 800 a + b 16.000 und 10.000 = 300 a + b 10.000 = –500a a = –20 b = 034 Berechnen Sie eine Nachfragefunktion aus (x) = Error! mit dem Prohibitivpreis 300 €/Stk. – – Error! = Error! Error! = Error! – Error!+ C = ln p p = K · e–0,5x 300 = K p(x) = 300 · e–0,5x 035 Gegeben ist der Verlauf der Elastizität (x) = Error! . Berechnen Sie die Nachfragefunktion mit p(0) = 300 – Error! = Error! Error! = Error! ln(x – 150) + C = ln p p = K (x – 150) und 300 = – 150 K K = – 2 p(x) = 300 – 2x 036 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für einen Betrieb mit einer linearen Kostenfunktion (Fixkosten € 80.000,-- und konstante Grenzkosten von € 4,30). Die Kapazität beträgt 50.000 Stk. Um welchen Prozentsatz ist die langfristige Preisuntergrenze höher als die Grenzkosten? – K; (50.000) = 4,3 + Error! = 5,9 037 Error!– 1 = 37,2 % Berechnen Sie die Break-even für einen Betrieb mit der Kostenfunktion K(x) = 3x3 –18x2 + 300x +1.000 und der Nachfragefunktion p(x) = 2.000 – 50x – 5x2. Zwischen welchen Preisen kann ein Gewinn erzielt werden? 3x3 – 18x2 + 300 x + 1000 = 2000 – 50x – 5x2 x1 = 0,6 p(0,6) = 1.968,4 p(12,4) = 617,1 038 x2 = 12,4 Berechnen Sie für K(x) = 3x3 – 18x2 + 300x +1.000 und p(x) = 2.000 – 50x – 5x2 den Cournotpunkt, den Prohibitivpreis und die Sättigungsmenge. 6x2 – 36x + 300 = 2000 – 100x – 15x2 xc = 7,2 ME pc = 1.382,3 PP = 2.000 GE/ME SM = 15,65 039 Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: Die Kapazität des Betriebes ist 20 ME. Bei einer Auslastung von 20 % betragen die Kosten 7.560 GE und die Grenzkosten 600 GE/ME. Die Kosten bei einer Auslastung von 30 % sind 8.200 GE. Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 15 % sind 1.020 GE/ME. K(4) = 64 a + 16 b + 4 c + d = 7560 K'(4) = 48 a + 8 b + c = 600 K(6) = 216a + 36 b + 6 c + d = 8200 K'(3) = 27 a + 6 b + c = 1020 1000 040 a = 20 b = – 420 c = 3000 d = Berechnen Sie die Gleichung einer Nachfragefunktion der Form p(x) = Error!mit folgenden Werten: der Prohibitivpreis beträgt 300 GE/ME, die Sättigungsmenge ist 60 ME und die Nachfrage bei einem Preis von 125 GE/ME beträgt 10 ME. p(0) = Error! = 300 b = 300 c p(60) = 0 = Error! b = – 60 a p(10) = 125 = Error! 1250 + 125c = 10a + b 10 a + b – 125 c = 1250 a = – 50 b = 3000 c = 10 p(x) = Error! 041 Berechnen Sie für p(x) = Error! den maximalen Erlös und die Sättigungsmenge. E(x) = p(x) · x = Error! Error!= Error! = 0 x = 16,396 E(16,396) = 134,4 SM = 100 042 Berechnen Sie die lineare Nachfragefunktion aus: bei einem Preis von 600 €/Stk. werden 1.000 Stk. abgesetzt. Bei einer Preissenkung um 6,67 % steigt der Absatz um 20 %. Wie hoch ist die Elastizität bei einem Preis von 500 € / Stk.? 600 = 1000 a + b und 560 = 1200 a + b a = – 0,2 b = 800 500 = 800 – 0,2x x = 1.500 (1.500) = – Error! = 1,67 043 Berechnen Sie eine Nachfragefunktion aus (x) = Error! mit dem Prohibitivpreis 300 €/Stk. – – Error! = Error! Error! = Error! – Error!+ C = ln p p = K · e–0,2x 300 = K p(x) = 300 · e–0,2x 044 Gegeben ist der Verlauf der Elastizität (x) = Error! . Berechnen Sie die Nachfragefunktion mit p(0) = 50 – Error! = Error! Error! = Error! Error! = Error! = Error! + Error! 104 = A(x – 100) + B(x + 4) 1 104 = 104 B B = 1 104 = –104 A A = – –ln(x + 4) + ln(x – 100) + C = ln p p = Error! und 50 = –25 K K = – 2 p(x) = Error! 045 a) b) 046 047 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für einen Betrieb mit der Kapazität 400 Stk. und der Kostenfunktion K(x) = 0,002 x2 + 15 x + 50.000. Error! = 0,002 – Error! = 0 BO = 5.000 LPU = Error!(400) = 140,8 € / Stk. Berechnen Sie die Gewinngrenzen und die zugehörigen Preise und den maximalen Gewinn für eine progressive Kostenfunktion mit den Fixkosten 100 GE/ME, beim BG 10 betragen die Grenzkosten 602 GE/ME und die Kosten 3.120 GE. Die Nachfragefunktion ist p(x) = 200 – 5x K(x) = ax2 + bx + c 2 · a · 10 + b = 602 und 3.120 = 100 a + 10 b + 100 a = 30 b = 2 K(x) = 30x2 + 2x + 100 p(x) = 200 – 5x Gewinngrenzen 30x2 + 2x + 100 = 200x – 5x2 x [0,5 / 5,1] p [174,5 / 197,5] Gmax : 60x + 2 = 200 – 10x xc = 2,83 Gmax (2,83) = 525,7 – 345,7 = 180 Konstruieren Sie den Cournotpunkt für folgende Situation: Linearer Kostenverlauf und lineare Nachfragefunktion. Für 20.000 Stk Produktion betragen die Kosten € 440.000,--, bei 22.000 Stk sind die Kosten € 460.000,--. Die Nachfragefunktion hat eine Sättigungsmenge von 80.000 Stk und einen Prohibitivpreis von 40 €/Stk. Verwenden Sie auf der Abszisse den Maßstab 1 cm = 10.000 Stk. und auf der Ordinate 1 cm = 10 €/Stk. 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 Zeichnen Sie die Stückkostenfunktion, die Nachfragefunktion, den Grenzerlös und die linearen Grenzkosten für folgende Werte: x 2 4 6 8 10 K 49 81 121 169 225 K’ 14 18 22 26 30 p 36 12 Bezeichnen Sie die Gewinngrenzen und den Cournotpunkt. y-Achse 1:10 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 4 5 6 7 8 80 85 90 95 70 60 50 40 30 20 10 0 0 048 049 1 2 3 9 10 Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: Die minimalen Grenzkosten treten an der Stelle x = 7 auf und betragen 559 GE/ME. die Kosten an der Stelle 10 betragen 8.700 GE und die Grenzkosten an dieser Stelle sind 640 GE/ME. 0 = 42a + 2b 559 = 3 · 49a + 14b + c 8.700 = 1000a + 100b + 10c + d 640 = 300a + 20b + c a = 3 b = –63 c = 1.000 d = 2.000 Berechnen Sie den maximalen Erlös für p(x) = Error! E’ = 0 x = 4,72 E(4,72) = 11,1 GE 050 Der Verlauf der Elastizität ist = Error!. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion mit p(2) = 5,946.Bei welchem Beschäftigungsgrad ist der Erlös maximal. = – Error! = Error! Error! = Error! ln p = Error! – Error!+ C p = K Error! mit 5,946 = K · Error! K = 5 p = 5 Error! = Error! Emax bei 20 + 8x – x2 = 3x x = 7,62 051 Ermitteln Sie die Gleichung einer linearen Nachfragefunktion mit folgenden Eigenschaften: 11 12 13 14 15 16 1 Bei einem Preis von 272 GE/ME können 7 ME verkauft werden. Die Elastizität der Nachfrage beim Absatz von 20 ME beträgt 2,75. p(x) = ax + b 272 = 7a + b und 2,75 = – Error! 55a = – 20a – b b = – 75a 272 = 7a – 75a a = –4 und b = 300 p(x) = 300 – 4x 052 Die Elastizität der Nachfrage ist = Error! mit p(20) = 54,9. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion. = – Error! = Error! Error! = Error! ln p = Error! + C e–0,2x mit 54,9 = K · e–0,2 · 20 K = 2.997 p(x) = 2.997 e–0,2x p= K· 053 Ein Betrieb hat eine Kapazität von 80.000 Stk. und Fixkosten von € 200.000. Bis zum Beschäftigungsgrad 60 % sind die Grenzkosten konstant mit 45 €/Stk. Dann steigen die Grenzkosten und erreichen bei 100 % Beschäftigungsgrad den Wert 70 €/Stk. Der Grenzkostenverlauf und der Kostenverlauf sind stetig. Wie lauten die Gleichungen der beiden Teile der Kostenfunktion. Rechnen Sie mit 1 ME = 1.000 Stk und 1 GE = € 1.000-K1(x) = 45x + 200 für x [0/48] K2(x) = ax2 + bx + c und Error! = 2ax + b K1’(48) = 45 = 96a + b = K2’(48) und 70 = 160a + b a = 0,39 und b = 7,5 K1 (48) = 2.360 = 2.304 a + 48 b + c c = 1.100 K2(x) = 0,39x2 + 7,5x + 1.100 054 Berechnen Sie die Gleichung einer progressiven Kostenfunktion aus: die Kapazität des Betriebes beträgt 20.000 Stück. Die Kosten beim Beschäftigungsgrad 15 % betragen € 6.800,-Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 50 % betragen € 5,-- pro Stück. Wird der Beschäftigungsgrad um die Hälfte gedrosselt, dann verringern sich die Grenzkosten um 40 %. Verwenden Sie: 1 ME = 1.000 Stk. 1 GE = 100 € K(x) = ax2 + bx + c und K’(x) = 2ax +b 68 = 9a + 3b + c 50 = 20a + b 30 = 10a + b 20 = 10a a = 2 055 a) x [0 / 20] b = 10 c = 20 K(x) = 2x2 + 10x + 20 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für einen Betrieb mit der Kapazität 400 Stk. und der Kostenfunktion K(x) = 4 x2 + 300 x + 100.000 Error! = 4 – Error! = 0 BO = 158,1 LPU = Error!(158,1) = 1.564,9 € / Stk. b) 056 Berechnen Sie die Gewinngrenzen und den maximalen Gewinn für eine progressive Kostenfunktion mit K(x) = 30x2 + 2x + 80 bei einem festen Preis von 120 GE/ME. K(x) = 30x2 + 2x + 80 p(x) = 120 Gewinngrenzen 30x2 + 2x + 80 = 120 x x [0,9 / 3,1] Gmax : 60x + 2 = 120 x = 1,97 Gmax (1,97) = 236 – 200 = 36 a) Berechnen Sie den maximalen Erlös für p(x) = Error!. Error! = Error! = Error! = 0 E(12,8) = 123,1 b) 057 a) Ermitteln Sie eine Nachfragefunktion der Form p(x) = ax 2 + bx + c mit: die Sättigungsmenge ist 85 ME, der Prohibitivpreis beträgt 2.000 GE/ME und bei einem Preis von 1.000 GE/ME können 50 ME abgesetzt werden. 0 = 7.225a + 85b + c und 2.000 = c und 1.000 = 2.500a + 50b + c a = –0,1 b = –15 c = 2.000 Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: Die minimalen Grenzkosten treten an der Stelle x = 5 auf und betragen 2.550 GE/ME. Die Fixkosten betragen 1.000 GE. Die Grenzkosten an der Stelle 10 betragen 3.000 GE/ME 0 = 30a + 2b b) 3.000 = 300a + 20b + c 2.550 = 75a + 10b + c a = 6 b = –90 c = 3.000 d = 1.000 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für ein Produkt mit einer linearen Kostenfunktion. Die Fixkosten betragen € 30.000,-- und die konstanten Grenzkosten sind 55,-- €/Stk. Die Kapazität des Betriebes ist 3.000 Stk. – BO ist rechter Randpunkt = 3.000 K; (3.000) = 55 + Error! = 65 €/Stk. 058 Der Verlauf der Elastizität ist = Error!. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion mit p(10) = 40.Bei welchem Beschäftigungsgrad ist der Erlös maximal. = – Error! = Error! Error! = Error! ln p = ln x2 + 3x – 150 + C p = K (x2 + 3x – 150) mit 40 = K · (–20) K = –2 p = 300 – 6x – 2x2 Emax bei 300 – 12x – 6x2 = 0 x = 6,14 059 Für die Nachfragefunktion p(x) = Error! ermitteln Sie die Stelle des maximalen Erlöses und die Elastizität für den Preis 40 GE/ME. Error! = Error! = Error! = 0 x = 17,42 p(30) = 40 p(28,611) = 44 4 (x) = = 0,463 63 %; 10 % 060 Berechnen Sie die Gewinngrenzen für einen linear-progressiven Kostenverlauf: K1(x) = 5x + 50 für x [0 / 40] K2(x) = 0,55x2 – 39x + 930 für x [40 / 60] bei einem konstanten Preis von 8 GE/ME. 5x + 50 = 8x x = 16,7 und 0,55x2 – 39x + 930 = 8x x = 54,33 061 Ein Betrieb hat eine linear-progressiv verlaufende Kostenfunktion. Die Fixkosten betragen 50 GE und die Grenzkosten im linearen Teil sind 3 GE/ME. Berechnen Sie die Gleichung des progressiven Teils, wenn an der Übergangsstelle x = 20 Kosten und Grenzkosten stetig verlaufen und die Kosten bei der Erzeugung von 28 ME 182 GE betragen. K1(x) = 3x + 50 für x [0/20] K2(x) = ax2 + bx + c und Error! = 2ax + b K1’(20) = 3 = 40a + b = K2’(20) und K1 (28) = 182 = 784a + 28b + c und K2(20) = K1(20) = 110 = 400a + 20b + c a = 0,75 b = –27 c = 930 K2(x) = 0,75x2 – 27x + 930 a) Ein Produkt hat konstante Grenzkosten von 40 €/Stk. und Fixkosten von 360.000 €. Die Kapazität beträgt 20.000 Stk.. Wo liegt das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze. Welcher Preis muss verlangt werden, damit der Break-even bei 30 % Beschäftigungsgrad auftritt? 062 K(x) = 40x + 360.000 für x [0 / 20.000]. Betriebsoptimum ist der rechte Randpunkt BO = 20.000 und die LPU = Error! = 40 + 18 = 58 €/Stk. = LPU p · 6.000 = 40 · 6.000 + 360.000 p = 100 €/Stk. b) Ein Betrieb hat eine Kostenfunktion von K(x) = 10x2 + 300x + 49.000 für x [0 ME / 150 ME]. Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze. Wie hoch muss der Verkaufspreis sein, wenn er um 60 % über der langfristigen Preisuntergrenze liegen soll? – K; (x) = 10x + 300 + Error! Error! = 10 – Error! = 0 x = BO = 70 1.700 GE/ME p = 1,6 · 1.700 = 2.720 GE/ME c) Error!(70) = LPU = Berechnen Sie den maximalen Gewinn für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 300x + 49.000 und den konstanten Marktpreis 2.700 GE/ME. K’ = E’ 20x + 300 = 2.700 20x = 2.400 x = 120 G(120) = 120 · 2.700 – 229.000 GE = 95.000 GE = Gmax 063 a) Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenkurve aus: Die Kosten beim Beschäftigungsgrad 4 ME sind 6.240 GE, beim BG 10 ME sind sie 10.800 GE. Die minimalen Grenzkosten sind 724 GE/ME und treten beim BG 8 ME auf. K(x) = ax3 + bx2 + cx + d K(4) = 6240 = 64a + 16b + 4c + d K(10) = 10.800 = 1000a + 100b + 10c + d K“(8) = 6 · a · 64 + 2 · b = 0 und K’(8) = 3 a 64 + 2b · 8 + c a = 3 b = –72 c = 1.300 d = 2.000 b) Berechnen Sie die Gewinngrenzen und den maximalen Gewinn für K(x) = 3x3 – 70x2 + 1.400x + 1.500 und p(x) = 3000 – 150x. G(x) = p(x) · x – K(x) G’(x) = –9x2 – 160x + 1.600 = 0 xgmax = 7,14 G(7,14) = 4.753,7 Gewinngrenzen G(x) = 0 x1 = 0,99 ME und x2 = 12,6 ME 064 a) Eine Nachfragefunktion hat die Form p(x) = Error!. Ermitteln Sie die Parameter a, b und c aus: Bei einem Preis von 7,5 GE/ME können 10 ME verkauft werden. Senkt man den Preis um 2,5 GE/ME, dann können um 50 % mehr verkauft werden. Die Sättigungsmenge beträgt 40 ME. 7,5 (10 + c) = 10a + b p(x) = Error! und 5(15 + c) = 15a + b und 0 = 40a + b a = –5 b = 200 c = 10 b) Berechnen Sie den maximalen Erlös für p(x) = Error!. E(x) = p(x) · x c) Maximum bei E’(x) = 0 x = 14,5 ME E(14,5) = 126 Eine Nachfragefunktion lautet p(x) = 300 – 0,2x. Welche Menge wird bei einem Preisniveau von 100 GE/ME verkauft. Um welchen Prozentsatz ist der Preis für eine Absatzsteigerung von 20 % zu senken? 100 = 300 – 0,2x x = 1.000 065 p(1.200) = 300 – 0,2 · 1.200 = 60 also um 40 % weniger Konstruieren Sie den Cournotpunkt aus folgenden Bestimmungsstücken: die Grenzkosten verlaufen linear und betragen für 80 ME 26 GE/ME. Wird der Beschäftigungsgrad um 25 % gesenkt ,dann sinken die Grenzkosten um 4 GE/ME. Die Nachfragefunktion ist linear mit einer Sättigungsmenge von 200 ME. Bei einem Verkaufspreis von 10 GE/ME können 150 ME abgesetzt werden. 60 Wie hoch ist der Prohibitivpreis? Maßstab: 50 x: 1 : 20 y: 1:5 K' 40 C (50 / 30) Prohibitivpreis = 40 GE/ME 30 20 p E' 10 0 066 In der Grafik sind die Durchschnittskosten Kd, die konstante Preisfunktion p und die lineare Grenzkostenfunktion K’ eingezeichnet. Ermitteln Sie aus der Grafik: den Gewinnbereich, die langfristige Preisuntergrenze, den maximalen Gewinn! in 100 €/Stk. 0 50 100 150 200 250 12 11 10 9 8 Kd 7 p 6 5 Gewinnbereich: Schnittpunkte p mit Kd x [20.000 Stk. / 70.000 Stk.] 4 langfristige 1 3 K' 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Beschäftigungsgrad in 1.000 Stk. 90 100 110 Preisuntergrenze = minimales Kd = 500 €/Stk. Stelle des maximalen Gewinns = Schnittpunkt von E’ = p mit K’ 47.000 Stk, multipliziert mit dem Stückgewinn = p – Kd = 600 – 510 = 90 ergibt Gmax = 90 · 47.000 4,3 Mio. € 067 Der Verlauf der Elastizität einer Nachfragefunktion sei (x) = Error!, wobei bei einem Preis von 78,8 GE/ME eine Menge von 6 ME abgesetzt werden können. Wie hoch ist der maximale Erlös? (x) = Error! = Error! Error! = Error! ln p = ln (400 – x) – ln(x + 4) + C p(x) = Error! mit 78,8 = Error! K = 2 p(x) = Error! maximaler Erlös bei x = 36,2 ME und E(36,2) = 655,2 068 Berechnen Sie die Nachfragefunktion aus (x) = Error! mit p(4) = 13,53. (x) = Error! = Error! = K e–2 K = 100 Error! = Error! ln p = – Error! + C p(x) = K e–0,5x 13,53 p(x) = 100 e–0,5x 069 Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion aus: bei einem Preis von 567 GE/ME werden 3 ME verkauft, die Sättigungsmenge ist 10 ME und die Elastizität an der Stelle 8 ist 11/48 0,23. Wird der Erlös an dieser Stelle bei Preisreduktion größer oder kleiner? Wie stark ändert sich der Erlös (in Prozent) bei einer Preisreduktion von 10 %? p(x) = ax2 + bx + c p(3) = 567 = 9a + 3b + c und 0 = 100a + 10b + c und Error! = Error! 11 · 8 (16a + b) = – 48(64 a + 8b + c) a = 3 b = –30 c = 200 Erlös wird kleiner, weil die Elastizität kleiner als 1 ist, und das heißt, dass z.Bsp bei einer Preisreduktion von 10 % die Absatzerhöhung nur 2,3 % ist. Der Faktor für den Erlös ist daher 0,9 · 1,023 = 0,92. Der Erlös wird daher um 8 % sinken. 070 Ein linear-progressiver Kostenverlauf mit Fixkostensprung hat folgende Eigenschaften: im linearen Teil bis 80 ME betragen die Grenzkosten 22 GE/ME und die Kosten beim Beschäftigungsgrad 80 ME sind 5.760 GE. Der progressive Teil schließt stetig an und auch die Grenzkosten sind stetig an der Stelle 80. Die Grenzkosten bei der Vollauslastung von 120 ME betragen 218 GE/ME. Um weitere Aufträge annehmen zu können, investiert der Betrieb und die Kosten haben bei x = 120 einen Fixkostensprung von 2.000 GE. Allerdings sinken die Grenzkosten dadurch auch auf 10 GE/ME und die Kapazität erhöht sich bis 200 ME. Berechnen Sie die Gleichungen aller drei Teile der Kostenfunktion und die langfristige Preisuntergrenze. K1(x) = kx + F mit 5760 = 22 · 80 + F F = 4.000 K1(x) = 22x + 4.000 mit x [0 / 80] K2(x) = ax2 + bx + c mit K1(80) = K2(80) = 5.760 = 6400a + 80b + c und Error! = Error! = 22 = 160a + b und Error! = 218 = 240a + b a = 2,45 b = – 370 c = 19.680 K2(x) = 2,45x2 – 370x + 19.680 mit x (80/120) K2(120) = 10.560 K3(120) = 12.560 = 120 · 10 + f f = 11.360 K3(x) = 10x + 11.360 für x [120/200] Betriebsoptimum: lokal Error!= 0 liefert x = 89,625 mit Error!2(89,625) = 69,162 – Randpunkt K; 3(200) = 66,8, das ist weniger, also Betriebsoptimum bei x = 200 mit LPU = 66,8 GE/ME. 071 a) Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: Die Kapazität des Betriebes beträgt 40 ME. Die minimalen Grenzkosten treten beim Beschäftigungsgrad 50 % auf und betragen 800 GE/ME. Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 25 % betragen 9.500 GE/ME und die Kosten bei 75 % BG sind 335.000 GE. K(x) = ax3 + bx2 + cx + d K“(20) = 0 K’(20) = 800 K’(10) = 9.500 K(30) = 335.000 a = 29 b = –1740 c = 35.600 d = 50.000 K(x) = 29x3 – 1740x2 + 35.600x + 50.000 b) Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für einen Betrieb mit der Kostenfunktion K(x) = 5x2 + 2.000x + 10.000 in x [0 / 80] Error! = Error! = 0 x = 44,72 ME LPU = Error!(44,72) = 2.447,2 GE/ME c) Berechnen Sie die Parameter der Kostenfunktion K(x) = ax2 + bx + c so, dass die langfristige Preisuntergrenze bei der Produktionsmenge 30 ME auftritt und 680 GE/ME beträgt. Die Fixkosten seien 1.800 GE. – K; (x) = ax + b + Error! Error! = a – Error! es gilt: Error!(30) = 680 = 30a + b + Error! und Error!(30) = 0 = a – Error! und K(0) = 1.800 = c K(x) = 2x2 + 560x + 1.800 072 a) Ein Betrieb hat einen Kostenverlauf mit konstanten Grenzkosten von 30 €/Stk. und Fixkosten von € 50.000,--. Die Kapazität beträgt 5.000 Stk. Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze. Wo liegt der Break-even, wenn der Verkaufspreis um 80 % über der langfristigen Preisuntergrenze liegt? – K(x) = 30x + 50.000 für x [0 / 5.000] K; (5.000) = 30 + Error! = 40 GE/ME = LPU (Randextrem) 30x + 50.000 = 40 · 1,8 x 30x + 50.000 = 72x x = 1.190,5 ME = 23,8 ‚% BG b) Berechnen Sie die Gewinngrenzen und den maximalen Gewinn für K(x) = 5x2 + 2x + 200 mit p(x) = 300 – 2x G(x) = p(x) x – K(x) = –7x2 +298x – 200 G(x) = 0 x1 = 0,68 ME und x2 = 41,9 ME Error! = 298 – 14x = 0 21,2 ME Gmax = G(21,2) = 2.971,6 GE c) Berechnen Sie die Parameter der Nachfragefunktion p(x) = ax + b so, dass die Gewinngrenzen mit der Kostenfunktion K(x) = 200 + 4x bei x = 4 und x = 10 liegen. G(x) = ax2 + bx – 200 – 4x G(4) = 0 16a + 4b – 200 – 16 = 0 und G(10) = 100a + 10b – 200 – 40 = 0 a = – 5 b = 74 p(x) =74 – 5x 073 a) b) c) Berechnen Sie die Gewinngrenzen für K(x) = 20x + 800 und p(x) = Error! mit den zugehörigen Preisen. G(x) = p(x) · x – K(x) = 0 x1 2 und x2 98 p(2) = 411,8 GE/ME und p(98) = 28,2 GE/ME Berechnen Sie den Cournotpunkt für K(x) = 20x + 800 und p(x) = Error! Error! = 0 26,1 ME p(26,1) = 3.236,7 GE/ME Die Nachfragefunktion p(x) = Error! hat eine Sättigungsmenge von 80 ME. Die Nachfrage bei einem Preis von 24 GE/ME ist 20 ME. Erhöht man den Preis auf 30 GE/ME, dann sinkt die Nachfrage auf 16,25 ME. Berechnen Sie die Parameter a, b und c. p(80) = 0 0 = Error! 0 = 80a + b a = – 10 b = 800 c = 5 p(20) = 24 = Error! p(16,25) = 30 = Error! 074 Ermitteln Sie graphisch den Cournotpunkt: die Nachfrage ist linear. Bei einem Preis von 80 €/Stk. können 70.000 Stk. abgesetzt werden. Verringert man den Preis um die Hälfte, dann können 57,14 % mehr Stück abgesetzt werden. Die Kosten laufen linear mit folgenden Werten: K(100.000) = 7.000.000,-- und K(110.000) = 7.400.000,--. Verwenden Sie 1 cm = 20.000 Stk und 1 cm = 20 €/Stk. p(70.000 Stk.) = 80 €/Stk. (3,5 cm/4 cm) p(110.000) = 40 €/Stk. (5,5 cm / 2 cm) 160 Nachfrage Grenzkosten 140 Grenzerlös Cournotpunkt Konstruktionslinie 120 100 80 60 40 20 0 0 20.000 40.000 60.000 80.000 100.000 120.000 140.000 160.000 075 Konstruieren Sie den Cournotpunkt für folgende Situation: Nachfrage linear mit einem Prohibitivpreis von 360 GE/ME und p(10.000) = 260. Die Kostenfunktion verläuft linear progressiv. Die Grenzkosten sind konstant mit 190 GE/ME bis zu einer Stückzahl von 5.000 ME. Dann steigen sie linear und erreichen bei einem Beschäftigungsgrad von 10.000 ME den Wert 230 GE/ME. Verwenden Sie 1 cm = 5.000 ME und 1 cm = 50 GE/ME. 400 Nachfrage Grenzkosten 350 Grenzerlös Cournotpunkt Konstruktionslinie 300 250 200 150 100 50 0 0 10.000 20.000 30.000 40.000 076 a) Ein Betrieb mit der Kostenfunktion K(x) = ax2 + bx + c hat Fixkosten von € 100.000,-- und eine Kapazität von 400 Stk. Die langfristige Preisuntergrenze liegt bei 39,5 % Beschäftigungsgrad und beträgt 1.564,9 €/Stk. Berechnen Sie die Parameter a und b. Error!(0,395 · 400 = 158) = 0 = a – Error! a = 4 – K; (158) = a · 158 + b + Error! = 1.564,9 b = 300 b) Wie hoch muss der feste Verkaufspreis sein, damit bei der Kostenfunktion K(x) = 30x2 + 2x + F der maximale Gewinn bei x = 1,97 auftritt und 36 GE hoch ist? Berechnen Sie die Fixkosten und die Gewinngrenzen. K(x) = 30x2 + 2x + 80 p(x) = a 60 ·1,97 + 2 = a a = 120 120 · 1,97 – (30 · 1,972 + 2 · 1,97 + F) = 36 F = 80 Gewinngrenzen 30x2 + 2x + 80 = 120 x x [0,9 / 3,1] c) Die Nachfragefunktion p(x) = Error! liefert bei 12,8 ME einen maximalen Erlös von 123,1. Berechnen Sie die Parameter a und b.. Error! = Error! = Error! = 0 für x = 12,8 61,44b + 4a = 0 und Error!· 12,8 = 123,1 a + 12,8b = 161,6 a = 200 b = –3 E(12,8) = 123,1 077 . a) b) Ermitteln Sie eine Nachfragefunktion der Form p(x) = ax 2 + bx + c mit: die Sättigungsmenge ist 85 ME, der Prohibitivpreis beträgt 2.000 GE/ME und bei einem Preis von 1.000 GE/ME können 50 ME abgesetzt werden. 0 = 7.225a + 85b + c und 2.000 = c und 1.000 = 2.500a + 50b + c a = –0,1 b = –15 c = 2.000 Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: Die minimalen Grenzkosten treten an der Stelle x = 5 auf und betragen 2.550 GE/ME. Die Fixkosten betragen 1.000 GE. Die Grenzkosten an der Stelle 10 betragen 3.000 GE/ME 0 = 30a + 2b c) 078 a) b) 3.000 = 300a + 20b + c 2.550 = 75a + 10b + c a = 6 b = –90 c = 3.000 d = 1.000 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für ein Produkt mit einer linearen Kostenfunktion. Die Fixkosten betragen € 30.000,-- und die konstanten Grenzkosten sind 55,-- €/Stk. Die Kapazität des Betriebes ist 3.000 Stk. – BO ist rechter Randpunkt = 3.000 K; (3.000) = 55 + Error! = 65 €/Stk. Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für einen Betrieb mit der Kapazität 400 Stk. und der Kostenfunktion K(x) = 0,002 x2 + 15 x + 50.000. Error! = 0,002 – Error! = 0 BO = 5.000 LPU = Error!(400) = 140,8 € / Stk. Berechnen Sie die Gewinngrenzen und die zugehörigen Preise und den maximalen Gewinn für eine progressive Kostenfunktion mit den Fixkosten 100 GE/ME, beim BG 10 betragen die Grenzkosten 602 GE/ME und die Kosten 3.120 GE. Die Nachfragefunktion ist p(x) = 200 – 5x K(x) = ax2 + bx + c 2 · a · 10 + b = 602 und 3.120 = 100 a + 10 b + 100 a = 30 b = 2 K(x) = 30x2 + 2x + 100 p(x) = 200 – 5x Gewinngrenzen 30x2 + 2x + 100 = 200x – 5x2 x [0,5 / 5,1] p [174,5 / 197,5] Gmax : 60x + 2 = 200 – 10x xc = 2,83 Gmax (2,83) = 525,7 – 345,7 = 180 Berechnen Sie den maximalen Erlös für p(x) = Error! Berechnen Sie die Gleichung einer S-förmigen Kostenfunktion aus: Die minimalen Grenzkosten treten an der Stelle x = 7 auf und betragen 559 GE/ME. die Kosten an der Stelle 10 betragen 8.700 GE und die Grenzkosten an dieser Stelle sind 640 GE/ME. E’ = 0 x = 4,72 E(4,72) = 11,1 GE 0 = 42a + 2b 559 = 3 · 49a + 14b + c 8.700 = 1000a + 100b + 10c + d 640 = 300a + 20b + c a = 3 b = –63 c = 1.000 d = 2.000 c) 079 Konstruieren Sie den Cournotpunkt für folgende Situation: Linearer Kostenverlauf und lineare Nachfragefunktion. Für 20.000 Stk Produktion betragen die Kosten € 440.000,--, bei 22.000 Stk sind die Kosten € 460.000,--. Die Nachfragefunktion hat eine Sättigungsmenge von 80.000 Stk und einen Prohibitivpreis von 40 €/Stk. Verwenden Sie auf der Abszisse den Maßstab 1 cm = 10.000 Stk. und auf der Ordinate 1 cm = 10 €/Stk. 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 080 Konstruieren Sie den Cournotpunkt mit folgenden Angaben: Die Nachfragefunktion ist lineare. Der maximale Erlös tritt bei 100 Stk. auf und beträgt € 4.000,--. Die Kosten verlaufen progressiv mit K(x) = 0,3x2 + 10x + F. 140 120 100 K' 80 60 40 p E' 20 0 0 50 100 150 200 081 Berechnen Sie die Gleichungen eines linear-progressiven Kostenverlaufs mit Fixkostensprung aus: im Bereich [0 / 3.000] verläuft die Kostenfunktion linear mit Fixkosten von € 40.000,-- und Kosten von € 460.000,-- bei einer Produktion von 1.200 Stk. Die Kostenfunktion und die Grenzkostenfunktion verlaufen an der Übergangsstelle stetig. Die Kosten bei x = 4.000 250 95 betragen € 1.477.500,--. Verwenden Sie eine quadratische Funktion für den zweiten Teil der Kostenfunktion. Der Fixkostensprung beträgt € 300.000,-- beim Beschäftigungsgrad 5.000 Stk. und die neuen Grenzkosten sind um 150 €/Stk. kleiner als im ersten linearen Teil. K1(x) = ax +b mit K1(1.200) = 460.000 = a · 1.200 + 40.000 a = 350 K1(x) = 350x + 40.000 K2(x) = ax2 + bx + c mit K2(3.000) = 9.000.000 a + 3.000 b + c = 1.090.000 und K2(4000) = 1.477.500 = 16.000.000 a + 4.000 b + c und K1’ (3.000) = 350 = K2’(3.000) = 6.000 a + b a = 0,0375 b = 125 c = 377.500 K2(x) = 0,0375x2 + 125x + 377.500 K3(5.000) = K2(5.000) + 300.000 = 1.940.000 + 300.000 = 2.240.000 = 200 · 5.000 + d d = 1.240.000 K3(x) = 200x + 1.240.000 082 Ermitteln Sie die langfristige Preisuntergrenze für K1(x) = 2x + 5 mit x [0 / 10], K2(x) = 0,5x2 – 8x + 55 mit x [10 / 15] und K3(x) = x + 44,5 für x [15 / 30] Stückkostenminimum im Teil 1 = 2 + 0,5 = 2,5 im Teil 2: Error! = 0 = 0,5 – Error! = 0 x = – – 44 10,488 mit K; (10,488) = 2,49 im Teil 3 = K; 3(30) = 1 + 5;30 = 2,483 LPU(BO bei x = 30 = 2,483 083 Ermitteln Sie die Bereiche in denen Gewinn erzielt werden kann für K1(x) = 2x + 5 mit x [0 / 10], K2(x) = 0,5x2 – 8x + 55 mit x [10 / 15] und K3(x) = x + 44,5 für x [15 / 30] und einem festen Preis von 2,8 GE/ME. Gewinngrenzen: 2x + 5 = 2,8x x = 6,25 0,5x2 – 8x + 55 = 2,8x (x1 = 8,22) und x2 = 13,38 und x + 44,5 = 2,8x x = 24,7 daher Gewinn in [6,25/13,38] und in [24,7 / 30] 084 Ermitteln Sie den maximalen Gewinn für K1(x) = 2x + 5 mit x [0 / 10], K2(x) = 0,5x2 – 8x + 55 mit x [10 / 15] und K3(x) = x + 44,5 für x [15 / 30] und einem festen Preis von 2,8 GE/ME. G(10) = E(10) – K(10) = 28 – 25 = 3 GE G2(x) = 2,8 x – 0,5x2 + 8x – 55 Error! = –x + 10,8 = 0 x = 10,8 G(10,8) = 3,32 G(30) = 30 · 2,8 – 30 – 44,5 = 9,5 daher Gewinnmaximum = G(30) = 9,5 085 Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis für die lineare Nachfragefunktion mit p(x) = 40 – 4x und einer Angebotsfunktion der Form a(x) = Error! mit folgender Eigenschaft: bei einem Preis von 51,5 GE/ME werden 10 ME angeboten. Error!= 51,5 m = 1.000 Gleichgewicht bei Error! = 40 – 4x x = 2,8 mit p(2,8) = 28,8 GE/ME 086 Berechnen Sie die Nachfragefunktion p(x) aus der Elastizität (x) = Error! mit dem Prohibitivpreis 3 GE/ME. Bei welchem Beschäftigungsgrad tritt der maximale Erlös ein? (x) = Error! = – Error! Error! = –0,1 dx ln p = – 0,1 x + C p(x) = K · e–0,1x mit 3 = K also p(x) = 3 e–0,1x max. Erlös bei = 1 x = 10 087 Eine lineare Nachfragefunktion hat eine Elastizität von Error! bei einer Menge von 6 ME. Bei einem Preis von 12 GE/ME kann ein Absatz von 7 ME erzielt werden. p(x) = ax + b 12 = 7a + b und Error! = – Error! = – Error! = – Error! –12a = 18a + 3b –30a = 3b –10a = b 12 = 7a – 10a 12 = –3a a = –4 und b = 40 daher p(x) = 40 – 4x 088 Eine S-förmige Kostenfunktion K(x) = 2x3 + bx2 + 400x + 2.000 hat minimale Grenzkosten bei x = 8. Wie groß ist b? Error! = 12x + 2b = 0 für x = 8 96 = – 2b b = – 48 089. Berechnen Sie für K(x) = 4x3 – 168x2 + 5.500x + 30.000 und p(x) = 30.000 – 500x im Intervall [0 / 60] die Kostenkehre und die minimalen Grenzkosten und den Cournotpunkt. Error! = 24x – 336 = 0 x = 14 Error!(14) = 3.148 Cournotpunkt E’ = K’ x = 25,32 mit p(25,32) = 17.342,24 090 Die Nachfragefunktion p(x) = Error! hat einen Prohibitivpreis von 100 GE/ME, eine Sättigungsmenge von 150 ME und bei einem Preis von 8,2 GE/ME können 27 ME abgesetzt werden. Berechnen Sie die Parameter a, b und c. 100 = Error! 100c – b = 0 und 0 = Error! und 8,2 = Error! 118,4 + 86c – 2a – b =0 a = – 2 b = 300 c = 3 091. Berechnen Sie für die Nachfragefunktion p(x) = Error! und K(x) = x2 + 10x + 5 den maximalen Erlös und die Gewinngrenzen. Error! = 0 x = 35,83 mit Emax(35,83) = 256,7 E(x) = K(x) x1 = 0,17 und x2 = 9,26 092 Berechnen Sie die Gleichung für den progressiven Teil einer linear progressiven Kostenfunktion mit K1(x) = 30x + 500 in [0 / 10] mit folgenden Bedingungen: Der Übergang erfolgt stetig und stetig differenzierbar und die Grenzkosten an der Stelle x = 15 betragen 100 GE/ME. K2(x) = ax2 + bx + c mit K1(10) = 800 = 100a + 10b +c und K1’(10) = 30 = 20a + b und 100 = 30a +b a = 7 b = –110 c = 1.200 093 Die Elastizität einer Nachfragefunktion (x) = Error! mit p(4) = 10. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion. (x) = Error! = – Error! Error! = Error! ln p = ln(x – 5) + C p = K(x – 5) mit 10 = K(4 – 5) K = – 10 und p(x) = 50 – 10x 094 Die Elastizität einer Nachfragefunktion (x) = Error!. Berechnen Sie die Stelle des maximalen Erlöses. (x) = 1 x = 35 095 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für K(x) = 10x 2 + 5x + 360 im Intervall [0 / 20]. – K; (x) = 10x + 5 + Error! Error! = 10 – Error! = 0 10x2 = 360 x = 6 Error!(6) = 125 GE/ME 096 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für K(x) = 80x + 300 im Intervall [0 / 20]. – Randpunkt K; (20) = 80 + Error! = 95 GE/ME 097 Eine Nachfragefunktion hat überall die Elastizität 2. Wie lautet die Gleichung dieser Nachfragefunktion? (x) = 2 = – Error! Error! = Error! ln p = – Error! + C p = x–1/2 K 098 Eine Kostenfunktion geht bei x = 10 ME vom degressiven in den progressiven Teil über. Die Kosten beim Beschäftigungsgrad 4 betragen 27.088 GE, bei einem doppelt so hohen Beschäftigungsgrad 40.144 GE. Die Grenzkosten beim Beschäftigungsgrad 20 sind 5.000 GE/ME. Berechnen Sie die Kostenfunktion. K(x) = ax3 + bx2 + cx + d Error!(10) = 0 K(4) = 27.088 K(8) = 40.144 Error!(20) = 5.000 a = 7 b = – 210 c = 5.000 d = 10.000 K(x) = 7x3 – 210x2 + 5000x + 10000 099 Berechnen Sie für K(x) = 8x2 + 10x + 3000 und p(x) = Error! die Gewinngrenzen und den Cournotpunkt. E(x) = K(x) x1 = 2,1 und x2 = 9,2 Error! = Error! xc = 5,0 mit p(5,02) = 830,73 100 Eine quadratische Nachfragefunktion hat eine Sättigungsmenge von 8 ME. Bei einem Preis von 105 GE/ME werden 5 ME verkauft. An dieser Stelle ist die Elastizität 0,42. Berechnen Sie die Nachfragefunktion. p(x) = ax2 + bx + c mit 0 = 64a + 8b + c und 105 = 25a + 5b + c und (5) = – Error! = 0,42 0,42 · 5 (10a + b) = –105 a = 5 b = – 100 c = 480 101 Berechnen Sie die Gewinngrenzen für eine linear progressive Kostenfunktion mit Fixkostensprung mit K1(x) = 30x + 100 in [0 / 10], K2(x) = 5x2 – 70x + 600 in (10 / 15) und K3(x) = 5x + 800 in (15 / 30]. Der Verkaufspreis sei 50 GE/ME. Gewinngrenzen bei x1 = 5 (Teil 1) und x2 = 17,78 (Teil 3) die Lösungen x3 = 7,1 und x4 = 16,9 (Teil 2) sind nicht relevant, weil nicht im Definitionsbereich liegend. 102 Die Elastizität einer Nachfragefunktion (x) = Error! mit p(3) = 47. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion. (x) = Error! = – Error! Error! = Error! ln p = ln(x – 50) – ln(x + 2) + C p = Error! mit 47 = Error! K = – 5 und p(x) = Error! 103 Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze für K(x) = 7x3 – 210x2 + 5.000x + 10.000 mit x [0 / 40]. Error! = Error! = 0 x = 17,4 und Error!(17,37) = 4.040 GE/ME 104 Berechnen Sie die Fixkosten und die konstanten Grenzkosten für den linearen Teil einer linearprogressiven Kostenfunktion mit K2(x) = 0,5x2 – 6x + 37 in [8 / 10] als progressiven Teil. Grenzkosten und Kosten verlaufen stetig. K1(x) = ax + b mit K1(8) = K2(8) = 21 = 8a + b und Error!(8) = a = Error!= 8 – 6 = 2 a = 2 und b = 5 daher Fixkosten 5 GE und Grenzkosten 2 GE/ME 105 Berechnen Sie den Gleichgewichtspreis für die Angebotsfunktion s(x) = 5 + 4x und die Nachfragefunktion d(x) = 23 – 2x. Welcher Angebotsüberhang ergibt sich für einen Marktpreis von 20 GE/ME? s(x) = a(x) 5 + 4x = 23 – 2x xg = 3 mit s(3) = d(3) = 17 20 = 5 + 4xs xs = 3,75 23 – 2xd = 20 xd = 1,5 x = 2,25 ME 106 Berechnen Sie den Verlauf der Elastizität der Nachfrage für die Erlösfunktion E = 200x – 2x2. p(x) = 200 – 2x Error! = – 2 (x) = Error! = Error! – 2 = Error! 107 Berechnen Sie eine Nachfragefunktion aus dem Verlauf der Elastizität (x) = Error!. Bei einem Preis 200 GE/ME können 60 ME abgesetzt werden. Wie hoch ist der maximale Erlös? Es liegt eine lineare Kostenfunktion vor. Wie hoch sind die konstanten Grenzkosten, wenn die Cournotmenge xc = 30 ME beträgt? Error! = – Error! Error! = Error! ln p = ln (x – 80) + C p = K(x – 80) mit p(60) = 200 200 = K(60 – 80) K = – 10 p(x) = 800 – 10x Maximaler Erlös: (x) = 1 80 – x = x x = 40 p(40) = 400 GE/ME Emax (40) = 400 GE/ME · 40 ME = 16.000 GE/ME K(x) = ax + b Error! = Error!(800x – 10x2) = 800 – 20x Error! = a = 200 108 Error!(30) = 800 – 20 · 30 = Berechnen Sie eine Nachfragefunktion aus dem Verlauf der Elastizität (x) = Error! . Bei einem Preis von 110,36 GE/ME können 10 ME abgesetzt werden. Error! = – Error! Error! = –0,1 dx ln p = –0,1 x + C p = K e–0,1x mit p(10) = 110,36 110,36 = K e–1 K = 300 p(x) = 300 e–0,1x 109 Berechnen Sie eine Nachfragefunktion aus dem Verlauf der Elastizität (x) = Error! mit dem Maximalpreis 89,4. Error! = – Error! Error! = Error! ln p = lnError! – lnError!+ C ln p = ln Error! für x 30 p(x) = K Error! 89,4 = p(0) = 8,94 K K = 10 daher p(x) = 10 Error! = Error! 110 Von einer linearen Nachfragefunktion kennt man den Prohibitivpreis 1.000 GE/ME. Die Elastizität an der Stelle x = 50 beträgt 3. Berechnen Sie die Gleichung der Nachfragefunktion. Um welchen Prozentsatz ändert sich der Erlös, wenn man beim Absatz 50 ME den Preis um 10 % senkt? p(x) = ax + b (x) = Error! daher p(0) = 1.000 = b (50) = 3 3 · 50 a = – (50a + b) –200a = b a = – Error! = – 5 p(x) = 1.000 – 5x = – Error! rel. Abs.änd. = – · rel. Preisänd. = – 3 · (–0,1) = 0,3 rel Erlösänderung = 0,9 · 1,3 = 1,17 also um 17 % höher oder p(50) = 750 daher E(50) = 37.500 daher E(65) = 43.875 d.s. + 17 % 675 = 1000 – 5x x = 65
