Zeppelin-Gymnasium, Stuttgart Schulcurriculum Mathematik Klasse 8 Vorbemerkungen zu den Schulcurricula Mathematik der Klassen 8: 1. Zeitrahmen pro Schuljahr: 36 Unterrichtswochen zu je 4 Stunden, das sind 144 Std. 2/3 davon für das verbindliche Kerncurriculum, das sind 96 Std. Es bleiben also noch 36 Std. Davon müssen ca. 16 Std. abgezogen werden, für 4 Klassenarbeiten und ihre Besprechung, für außerunterrichtliche Veranstaltungen, für den pädagogischen Tag, für Methodenhalbtage, für Lehrerfortbildungen usw. Somit bleiben für schuleigene Inhalte theoretisch noch ca. 20 Std. 2. In der linken Spalte einer Unterrichtseinheit (Richtstundenzahl in Winkelklammern) sind die verbindlichen Inhalte aufgeführt, also das Kerncurriculum und die schuleigenen Inhalte (mit * gekennzeichnet), in eckigen Klammern die zugehörigen Leitideen. In der rechten Spalte stehen Bemerkungen zu Didaktik, Lehr- und Lernmethoden, Die methodischen Hinweise sind dabei als Anregungen und nicht als Belehrung gemeint und sollen der Fachlehrerin bzw. dem Fachlehrer bei der Unterrichtsplanung Hilfe und Denkanstoß sein. 3. Die Reihenfolge der Unterrichtseinheiten und ihre Inhalte richten sich sinnvollerweise – insbesondere hinsichtlich der Aufteilung auf die Klassen 7/8 – im Wesentlichen nach dem Lehrbuch Elemente der Mathematik (EdM) 4 (Schroedel-Verlag). Das heißt aber nicht, dass dadurch eine zeitliche Abfolge des Unterrichts vorgegeben wird. 4. Leitideen „Modellieren“ und „Vernetzung“ spielen in allen Unterrichtseinheiten eine wichtige Rolle. Sie sind in diesem Curriculum jedoch nur dort nochmals explizit aufgeführt, wo sie einen Schwerpunkt bilden. Fachspezifische Beiträge zur Methodenpflege: Die Schüler werden angeleitet, mathematische Texte (z.B. aus dem Schulbuch) zu lesen, zu verstehen und mit eigenen Worten wiederzugeben (Methodenbausteine „Kommunikation und Kooperation“, „Umgang mit Texten“, „Verbalisierung“). Die Schüler werden angeleitet, mathematische Texte (z.B. beim Erfinden eigener Aufgaben) selbst zu schreiben (Methodenbaustein „Umgang mit Texten“). Die Schüler tragen regelmäßig mathematische Sachverhalte vor (Hausaufgaben oder besondere Aufträge; Methodenbaustein „Präsentieren“). Der Einführung und dem Einsatz des graphikfähigen Taschenrechners (GTR) kommt in Klasse 8 ein besonderer Stellenwert zu! Weitere Beiträge zum methodischen Vorgehen ergeben sich aus den methodischen Hinweisen und den Projektvorschlägen. -1- Zeppelin-Gymnasium, Stuttgart Schulcurriculum Mathematik Klasse 8 Unterrichtseinheit 1 : Lineare Gleichungen ‹› Unterrichtseinheit 1 : Natürliche Zahlen ‹16›aus+ ‹Klasse 8›* 7: Lineare Gleichungen und Ungleichungen, lineare Wiederholung 1.1 Wiederholung: lineare Funktionen 1.2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 1.3 Funktionen der Form y m x c Ziele: [Algorithmus] Terme linearer Funktionen routiniert aufstellen, Punkte in Schaubildern ablesen und Funktionsterme zu Schaubildern zuordnen Lineare Gleichungssysteme (LGS) Alle Zahlenpaare der Lösungen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ordnen sich, als Punkte im KOS interpretiert, auf einer Geraden an – und umgekehrt [Algorithmus, Vernetzen] Sonderfälle erkennen (Nulllösungen, Parallelen zu den Koordinatenachsen) Erster GTR-Einsatz: Veranschaulichung der Sachverhalte und Hilfsmittel bei heuristischen Überlegungen. 1.4 Anwendungsaufgaben [Modellieren] LGS manuell (Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren), graphisch und mit Hilfe des GTR lösen. Dabei die Gleichwertigkeit der Verfahren erkennen und den jeweiligen mathematischen Wert begreifen können. Anwendungsaufgaben aus innermathematischen Aufgabenfeldern (Geometrie, Zahlenrätsel), bei Mischungsaufgaben, in Physik und Wirtschaft Methodische Hinweise: Immanentes Hervorheben der Vernetzung von algebraischem Algorithmus einerseits und graphischer Methode bzw. Anschauung andererseits Der GTR-Einführung kommt hier ein besonderer Stellenwert zu: nicht die Bedienungstechniken zum Inhalt des Unterrichts machen, sondern den GTR problemorientiert und gekoppelt an den Unterrichtsinhalten schrittweise ergründen. Bei Anwendungsaufgaben, wo der Modellierungsgedanke gegenüber dem Lösungsverfahren im Vordergrund steht, ist der GTR-Einsatz auch als (scheinbar) entlastendes Hilfsmittel besonders sinnvoll (zu rechtfertigen). -2- Zeppelin-Gymnasium, Stuttgart Schulcurriculum Mathematik Klasse 8 Unterrichtseinheit 2 : Kongruenz Unterrichtseinheit 1 : Natürliche Zahlen Ziele: 2.1 Kongruente Figuren [Raum und Form] 2.2 ‹› ‹16› + ‹8›* Definition „Kongruente Figuren“ – Eigenschaften ebener Figuren erkennen, beschreiben und begründen und umgekehrt ebene Figuren mit Hilfe vorgegebener Eigenschaften darstellen Dreieckskonstruktionen – Kongruenzsätze Kongruenzsätze (sss, sws, Ssw, wsw) erkennen und für Konstruktionen anwenden [Raum und Form, Vernetzung] (*) Konstruktionstexte erstellen (Kurzform) Beweisen (Satz und Umkehrsatz), Kongruenzsätze anwenden beim Beweisen 2.3 Beweisen – Satz und Kehrsatz (*) Weitere Sätze aus der Geometrie entdecken und Beweisstrategien darauf anwenden. [Raum und Form, Vernetzung] Methodische Hinweise: 2.4 2.5 (*) Begründen – Beweisen oder Widerlegen Optische Täuschung als Einstieg bzw. Motivation [Vernetzung, Modellierung] Der Einsatz eines dynamischen Geometrieprogramms (Euklid) ist besonders geeignet, um Sätze entdecken zu können und Aussagen zu verifizieren. (*) Haus der Vierecke Konstruktionsbeschreibungen -> Vergleich „Vorgangsbeschreibungen“ im Fach Deutsch Um das Begründen und Beweisen von den Kongruenzsätzen abzukoppeln und auf die allgemeinen Prinzipien dieser Disziplin und die fächerübergreifende Relevanz einzugehen, ist hier eine Verallgemeinerung lohnenswert (Vgl. auch Kapitel V „Überzeugen“ in Klett Lambacher Schweizer 4). Das „Haus der Viereck“ bietet sich an, um Ordnungskriterien und Struktur zu üben. -3- Zeppelin-Gymnasium, Stuttgart Schulcurriculum Mathematik Klasse 8 Unterrichtseinheit 3 : Reelle Zahlen Unterrichtseinheit 1 : Natürliche Zahlen Ziele: 3.1 Quadratwurzeln [Zahl, Algorithmus, Modellieren am Computer] 3.2 Irrationale Zahlen [Zahl] ‹› ‹16› + ‹8›* Quadratwurzel (Definition und Begriffsbildungen; rechnerisch und geometrisch) Zahlenbereichserweiterung! Die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen erkennen, verstehen und aufzeigen; Zahlenbereiche unterscheiden, Zahlen diesen zuordnen Quadrieren und Wurzelziehen als Umkehrung erkennen, Definitionsmengen von Wurzeltermen angeben können (Symbolik, Fachsprache) Rechenregeln für Quadratwurzeln, Umformen von Wurzeltermen, Zahlenterme vereinfachen 3.3 Wurzelterme und quadratische Gleichungen (*) Anwenden der binomischen Formeln [Zahl, Algorithmus] Methodische Hinweise: 3.4 (Zusatzthema Wurzelgleichungen) Klare Definitionen und Regeln müssen ständig abrufbar sein, dennoch nicht zu akademisch vorgehen, sondern Problematiken (Bsp. x2 , Wurzelterme, ...) möglichst aus dem Kontext der Aufgaben heraus entwickeln. Der Themenbereich bietet auch ein Fülle an Referatsthemen (Pythagoräer, Abzählbarkeit, Irrationalität, ... ) Hinweis: Gegebenenfalls lässt sich diese Unterrichtseinheit auch mit UE 5 verbinden. Auf diese Weise können beispielsweise zum Lösen von Gleichungen zugleich grafische Lösungsverfahren und der Einsatz des GTR mit einbezogen werden. Projekte: Intervallhalbierungsverfahren, Heronverfahren -> Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms (Excel) Zusatzbereich: Wurzelgleichungen -4- Zeppelin-Gymnasium, Stuttgart Schulcurriculum Mathematik Klasse 8 Unterrichtseinheit 4 : Wahrscheinlichkeitsrechnung ‹› Vorweg ‹ der Unterrichtseinheit 1 : Natürliche Zahlen 16methodische › + ‹8›* Hinweis aus unserem Schulcurriculum Klasse 7: 4.1 Mehrstufige Zufallsexperimente – Baumdiagramme 4.2 Die Pfadregel [Daten und Zufall, Modellieren] Durchführung von Zufallsexperimenten, Daten sammeln, Umfragen durchführen, Spiele erfinden, ... . Hier bieten sich viele handlungsorientierte Experimente an. Eine anschauliche Bildung der Begriffe Ereignis, Ergebnis (Ausgang) und eine Präzisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs (im Sinne des Laplace-Experiments) ist notwendig, trotzdem: Schwerpunkt auf dem intuitiven Herantasten (Entdecken) der Schüler und Vorsicht vor zu starkem Formalismus. Mehrstufige Zufallsexperimente sind nach EdM (Schroedel) erst Thema in Klasse 8, eine Hinführung erscheint im Rahmen der Einheit aber als sinnvoll. Ziele: Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsprozessen berechnen Darstellung stochastischer Sachverhalten in Diagrammen und Tabellen, Interpretation von Diagrammen und Tabellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen erstellen (Tabellen) Routinierter Umgang mit Prozentangaben Methodische Hinweise: Die Pfadregel als „Anteil von Anteilen“ vermitteln (wodurch die Multiplikation begründet wird); verschiedene Formulierungen der Pfadregel abwägen – die Schüler formulieren und begründen lassen Vorschläge für „besondere Aufgaben“: Probleme des partis, Efron-Würfel, Geburtstagsproblem, Ziegenproblem, ... Referate: klassische Probleme aus der Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung Auch hier ist ein GTR-Einsatz möglich (Simulationen), Materialien vorhanden ! -5- Zeppelin-Gymnasium, Stuttgart Schulcurriculum Mathematik Klasse 8 Unterrichtseinheit 5 : Quadratische Gleichungen und Funktionen ‹› Unterrichtseinheit 1 : Natürliche Zahlen ‹16› + in‹8die›*zwei getrennte Einheiten Quadratische Gleichungen und ... auch aufteilbar 5.1 Quadratische Funktionen – Eigenschaften der Normalparabel [Funktionaler Zusammenhang] Quadratische Funktionen. Andererseits empfiehlt sich aber von Beginn an eine geschickte Vernetzung, da der funktionale Aspekt mit dem algebraischen unablässig ineinander überführt werden sollte. Ziele: 5.2 Quadratische Gleichungen – graphisches und Eigenschaften und Transformationen der Normalparabel rechnerisches Lösen Funktionale Zusammenhänge erkennen, begründen und darstellen Rechnerisches und graphisches Lösen einfacher quadratischer Gleichungen GTR-Einsatz beim graphischen Lösen, insbesondere bei Anwendungsaufgaben (s.u.) 5.3 Anwenden quadratischer Gleichungen 5.4 Optimierungsprobleme Wahlthema oder Referat: Der Satz von Vieta und seine Anwendung 5.5 Quadratwurzelfunktion Methodischer Hinweis: 5.6 Potenzfunktionen [Funktionaler Zusammenhang, Algorithmus, Vernetzen, Modellieren] Charakteristische Eigenschaften von Funktionen und ihren Schaubildern Beim GTR-Einsatz muss sensibel abgewogen werden, welche Lösungsdarstellungen erwünscht sind. Wärend bei Anwendungsaufgaben Näherungswerte akzeptabel sind, muss bei rein mathematischen Inhalten auf exakte Werte (Wurzeln) bestanden werden. Hier wird insbesondere die Grundlage für eine sinnvole und kritische Verwendung des GTR bis hin zum Abitur gelegt. Die reine, zweckfreie und exakte Algebra darf neben den Anwendungsaspekten nicht zu kurz kommen. Neben dem GTR bietet sich auch der Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms an. -6-