03 Eulergerade und Feuerbachkreis

3.
E U L E R SCHE–G E R A D E
Feuerbachkreis
Einige Mathelehrer sind der Meinung1, dass die Schüler vom Dreieck nur
wissen müssten, dass es einen Umkreis hat (mit dem Schnitt der
Mittelsenkrechten als Zentrum Mu) und einen Inkreis (mit dem Schnitt
der Winkelhalbierenden als Zentrum Mi).
Dieser Meinung kann ich mich allerdings nicht anschließen!
Abb.1: Links das Mittendreieck:
Alle Strecken sind halb so groß (k=-½), Flächen k²=¼ so groß
Rechts ist das doppelt so große Antimittendreieck
zum himmelblauen Ausgangsdreieck ABC
mit dem Streckungsfaktor k=-2 mit vervierfachtem Flächeninhalt!
Alle drei haben denselben Schwerpunkt ( = Streckungszentrum)
In der Schule erfährt man noch, dass die Seitenhalbierenden sich in einem
Punkt, - dem Schwerpunkt S -, im Verhältnis 2 zu 1 schneiden. Und
vielleicht erfährt man auch noch, dass es einen Höhenschnittpunkt H gibt,
der das Umfangszentrum des Anti-Mittendreiecks ist. Das Mittendreieck
(Medianendreieck) ist das aus den drei Seitenmitten gebildete Dreieck
MaMbMb. Das Anti-Mittendreieck ist dasjenige Dreieck, dessen Seitenmitten
genau das Ausgangsdreieck ABC bilden. Es liegt direkt ähnlich zum
Mittendreieck mit dem Streckungszentrum S und k=4 (Abb.1).
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ein Kreis mit dem Radius Null, den sie Standpunkt nennen (A. Einstein)
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Abb.2a: Der Höhenschnittpunkt H
als Mittelsenkrechtenschnitt des Anti-Mittendreiecks
Die Seitenhalbierenden2 aller drei Seiten teilen das Mittendreieck in
sechs Teildreiecke mit gleichgroßem Flächeninhalt, deren Umfangszentren
auf dem van LAMOEN-Kreis liegen.
Man könnte sie auch Flächenhalbierende nennen! Tatsächlich werden sie aber auch
Schwerlinien genannt, da an einem Faden aufgehängt, die Fadenlinie stets durch das
Gravitationszentrum S verläuft. Oder man nennt sie auch Mediane, denn die
Spiegelung einer Seitenhalbierenden an der gleicheckigen Winkelhalbierenden
heißt Symmediane: Die symmtrischen Mediane. Nach der Umkehrung des Satzes von
Ceva schneiden sich diese auch in einem Punkt, dem Symmedianpunkt, der zuweilen
auch als Punkt von Lemoine oder Grebe bezeichnet wird.
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Abb.2b: Der Höhenschnittpunkt H als Schnittpunkt
der an den Seiten gespiegelten Dreiecke u. Umkreise (gestrichelt)
sowie das Höhenfußdreieck HaHbHc (hellblau)
Den Höhenschnittpunkt H kann man auch durch Spiegelungen des
Umkreises an den Seiten (Umklappung um die Seiten) als Schnitt dieser
erhalten. Oder man spiegelt gleich das komplette Dreieck an allen Seiten
und lässt die Verbindungslinien von Ecke und Spiegelgegenecke sich
schneiden.
Je rechtwinkliger das Dreieck wird, desto mehr wandert dieser zu der
rechtwinkligen Ecke hin. Das zart-rosarote Fußpunktdreieck der Abb. 2b
entartet dann zu einem Punkt – nämlich H - bzw. eigentlich zu einer
Strecke (hier Aha bzw. BHb in der folgenden Abb.), da zwei Fußpunkte sich
in der Ecke vereinen!
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Abb.2c: beim Annähern an ein rechtwinkliges Dreieck (Grenzfall)
wandert die Umkreismitte Mu zur Mitte der längsten Seite Mb,
die ja immer dem größten Winkel gegenüber liegt.
Das H-Fußpunktdreieck HaHbHc und das dazu ähnlich liegende Dreieck
des an den Seiten gespiegelten Höhenschnitts
verschwinden plötzlich bei der Bewegung des Punktes
zur Rechtwinkligkeit;
genauer gesagt wird es zum Strich der einzigen Höhe
(der nicht-trivialen Höhe im rechtwinkligen Dreieck)
und der an der Hypotenuse gespiegelte Umkreis wird Fixkreis
(der aber nicht punktweise fix bleibt – kein Fixpunktkreis ist)
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Abb.2d: Die Fläche des Fußpunktdreiecks HaHbHc ist größer als die von ABC.
H liegt weit außerhalb des `Geschehens´
Der von dem Holländer Floor van LAMOEN 2000 in Amer. Math. Monthly
propagierten Kreis3 war den alten griechischen Geometer sicher ganz
unbekannt. Er wurde erstmals 2001 von Kin Y Li bewiesen. Einen Beweis
wurde mit Hilfe der Kieperthyperbel geführt!
van Lamoen Circle -- from Wolfram MathWorld
Another Proof of van Lamoen's Theorem and Its Converse forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200516.pdf
van Lamoen Circle - Go Geometry gogeometry.com/.../triangle-centroid-six-circumcent.
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Abb.3a: Beim gleichseitigen Dreieck liegen die Umkreismitten
der durch die Seitenhalbierenden entstandenen
sechs Teildreiecke auf dem Mittendreiecks-Inkreis = SPIEKER-Kreis
Abb.3b: Der Van Lamoen-Kreis als Ort aller Umkreismitten der sechs flächengleichen
Teildreiecke mit S und einer Seitenmitte.
Sein Zentrum hat als besonderer Dreieckspunkt die Bezeichnung X(1153)
(=Kimberling-Nummer)
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In
der
Schule
erfährt
man
weder
etwas
von
der
Eulergeraden HMu noch vom Feuerbachkreis (Abb. 4a), dem
Seitenmittenkreis, dessen Zentrum genau in der
Mitte zwischen
Höhenschnitt H und Umkreiszentrum Mu liegt!
Abb.4a: Der Umkreis des Mittendreiecks ist der Feuerbachkreis rF = ½R
Abb.4b: Der Feuerbachkreis (pink gestrichelt) hat sein Zentrum in der Mitte von HMu
und geht durch alle Seitenmitten und den Höhenfußpunkt (hier rechtwinkliger Fall).
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Abb.5: Im rechtwinkligen Dreieck ist diese Strecke HMu
die Seitenhalbierende CMc der Hypotenuse,
die solange ist, wie der Umkreisradius R
und halb so lang wie die Hypotenuse c=2R.
Das Zentrum des Feuerbachkreises ist die Mitte dieser Strecke von der
rechtwinkligen Ecke C (=H Höhenschnittpunkt)
bis zur Hypotenusenmitte Mc = Mu
(Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten; dem Umkreiszentrum).
Sein Radius ist halb so groß wie der Umkreisradius R (als Großbuchstabe
geschrieben, zur Unterscheidung vom Inkreisradius r).
rFeuerbach= ½R
Der Feuerbachkreis des rechtwinkligen Dreiecks ist der
Thaleskreis über der Seitenhalbierende CMc der Hypotenuse!
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Abb.6: Auf der Eulergeraden HMu (hier eines spitzwinkligen Dreiecks)
liegt immer der Schwerpunkt doppelt so weit vom Höhenschnitt H entfernt,
wie vom Umkreiszentrum Mu : HS = 2 SMu.
Auch hier ist das Zentrum des Feuerbachkreises die Mitte von HMu
Abb.7: Eulergerade HMu eines stumpfwinkligen Dreiecks
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Abb.8a: Feuerbachscher Kreis = Neunpunktekreis
für das natürliche Dreieck mit den Seiten 13, 14 und 15
Die EULER-Strecke HM lässt sich auch berechnen
u
(siehe zB. bei H. S. M. Coxeter4):
Sie ergibt sich als Wurzel aus dem Neunfachen UmkreisradiusQuadrat vermindert um die Summe der Seitenquadrate!
|HMu| = √(9R² - Σai²)
NEBENBEI ERGIBT SICH, dass a²+b²+c² < 9R² ist
(Außer für das Gleichseitige, bei dem Gleichheit gilt)
Beispielsweise ist der Umkreisradius R = 8
1/8
für das natürliche Dreieck
mit den Seiten 13, 14 und 15
Beweis bei Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, 1983
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Für die Summe der Seitenquadrate ergibt sich: 13²+14²+15² = 590
Das 9-fache Umkreisradiusquadrat ist (8+1/8)² = 65² : 64 = 4225/64.
Somit wird |HMu|² = 4,140625 und die
Länge von HMu = √4,140625 ≈ 2,034852575
Der Feuerbachradius ist immer die Hälfte, also 4
und sein Zentrum F ist die Mitte von HMu:
1/16
HF = FMu
Vergrößerung der Abbildung 8a für die Länge der Eulerstrecke MuH
Nun ist ja S von H,
- von der Umkreismitte des doppelt so großen ähnlichen
Antimittendreiecks mit k=-2 -,
doppelt so weit entfernt wie von Mu:
HS : SMu = 2 : 1
Ein Drittel von HMu ist etwa 0,6782841915 und zwei Drittel 1,356568383
2. Beispiel der Abb.7: Der stumpfe Winkel ist γ ≈105,28°
Daraus lässt sich der Umkreisradius mit R c/(2 sin 105,28°) berechnen zu
5/(2x0,96465) ≈ 2,5916. (α=53,13° liefert 2,5937, β≈21,59° etwa 2,595)
9R²-Σai² ≈ 60,448 – (5²+4,15²+1,91²) ≈ 14,5774 (bzw. 14,765)
(je kleiner die Winkel, desto größer die Abweichungen)
 HMu ≈ 3,818 (bzw. 3,84) und Geogebra liefert 2-stellig gerundet 3,82
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Abb.8b: EULERsche Gerade und Feuerbachscher Kreis
mit eingezeichneten ähnlichen Dreiecken:
Das durch die Seitenmitten gehende Mittendreieck,
das am Feuerbachzentrun F gespiegelte Mittendreieck
der halbierenden größeren Ecken-Höhenschnittpunkt-Abschnitte
und das Kontaktdreieck aus den Berührpunkten des Inkreises vom selbst nicht
ähnlichen H-Fußdreieck
sind dem Ausgangsdreieck ABC ähnlich!
Das durch die Umkreistangenten an den Dreieckecken gebildete Tangentendreieck, und
das durch die verlängerten Höhen bis zum Umkreis gebildete Dreieck (von dem nur die
Ecken gezeichnet sind)
sind dem H-Fußdreieck direkt ähnlich
Der Feuerbachkreis wird auch Neunpunktekreis genannt (Abb.8a), weil
er außer durch die drei Seitenmitten Ma, Mb und Mc
auch noch durch die drei Höhenfußpunkte Ha, Hb und Hc geht
und durch die Mitten der drei von den Ecken her kommenden (längeren)
Höhenabschnitte HA, HB und HC.
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Abb.9: Mittendreieck (pink gestrichelt;)
Höhenfußpunktdreieck (hellblau gestrichelt)
und pink durchgezogen ist das an F gespiegelte Spiekerdreieck
Verbinden
wir
die
drei
Seitenmitten,
dann
erhalten
wir
das
Mittendreieck5 MaMbMc, das vom Ausgangsdreieck durch eine zentrische
Streckung am Schwerpunkt S mit k=-½ erhalten wird. Wir können aber
auch
die
anderen
drei
im
Dreiecksinneren
liegenden
Feuerbachkreispunkte, - welche die oberen (größeren oder vom Eckpunkt
her kommenden) Höhenabschnitte halbieren -, als Dreieck betrachten.
Dieses Dreieck ist genau so groß, sogar kongruent, es geht nämlich durch
eine zentrische Streckung am Feuerbachzentrum F mit k=-1 aus dem
Mittendreieck hervor (Abb.10a).
Dieses zerlegt das das Dreieck in vier kongruente Dreiecke und hat einen Inkreis mit
einem halb so großen Inkreisradius ½r, den man Spiekerkreis nennt. Er schneidet die
drei Ankreise senkrecht. Seine Mitte heißt Spiekerzentrum und liegt auf der 2.
Eulergeraden SMi, (typische 2:1 Teilung durch S), die auch Nagelgerade heißt, da sie
durch den Nagelpunkt geht. Die Spiekerpunkt-Dreiecksecken-Verbindungen sind parallel
zu den Winkelhalbierenden vom ∆ABC. Übrigens sind die Dreiecke aus zwei Seitenmitten
und dem gegenüberliegenden Höhenfußpunkt alle flächengleich zum Mittendreieck, da sie
durch Scherung an der Mittenparallelen auseinander hervor gehen.
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Abb.10a:Das Mittendreieck gespiegelt am Zentrum F des Feuerbachkreises ergibt
das Höhenabschnittmittendreieck.
Abb.10b: Der Feuerbachkreis ist ein Thaleskreis zB. über MaM_AH
wo Ma Mb M_AH H_BH ein Rechteck bilden
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Abb.10c: Zum Höhenfußpunktdreieck
bzw. Ausgangsdreieck ähnlich liegende Dreiecke
Die Spiegelpunkte von H an den Seiten
bilden ein zum H-Fußdreieck ähnliches Dreieck (schwach pink)
ebenso das 3. Fußdreieck (weiß)
und
das am Feuerbachzentrum
punktgespiegelte Fußdreieck,
das die oberen Höhenabschnitte halbiert (grün)
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Allgemeines Lotfußpunktdreieck
Abb.11: Umfang und Fläche des Fußdreiecks
Verbinden wir die Höhenfußpunkte (Schnitte der Senkrechten auf der
Seite durch die jeweils gegenüberliegenden Ecke), dann erhalten wir das
Fußpunktdreieck. Allgemein kann man von jedem inneren Dreieckpunkt
P ein Fußpuntdreieck PFPaPFPbPFPc
erhalten, wenn man die Lote von P
auf die Seiten fällt. (rot bei der Abb.11).
Die Seitenlängen des Fußdreieckes sind:
| LPFaLPFb | = CP ·c / (2R)
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(= CP sinγ),
| LPFcLPFb | =AP ·a /(2R)
(= AP sinα),
| LPFaLPFc | =BP ·b /( 2R)
(= BP sinβ)
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Der Flächeninhalt des Lotfußpunktdreiecks (kurz Fußdreieck) ist
AFußdreieck == ½{R²-MuP²} ∏ sinαi = {(R²-MuP²)/(2R)²} A
also das Sinenprodukt sin αi sin β sin γ
multipliziert mit der halben
Potenz des Punktes in Bezug auf den Umkreis6.
Für das Fußdreieck7 von Mu erhalten wir das Mittendreieck
= ¼ der Dreiecksfläche A=2R² sinα sinβ sinγ
2x0,636 x(65/8)² = 83,971875 ≈ 84
Beispiel Abb.11: R ist der Umkreisradius vom ∆ABC (hier 65/8).
A=2R² sinα sinβ sinγ
2x0,636 x(65/8)² = 83,971875 ≈ 84
Die Entfernung des Punktes P zu Mu ist etwa 3,1, was eine Potenz von
55,37 ergibt. Mit dem Sinenprodukt von 0,636 wird die Fußfläche etwa
17,61.
Beispiel Abb.11b: P kann auch außerhalb liegen!
Die Potenz von P bezüglich dem Umkreis ist nach dem Satz des Pythischen
MuP²-R² = PT² = 11,911²
Mit dem Sinenprodukt 0,636 multipliziert und halbiert ist die Fläche
A = 45.13
Geogebra liefert 45,128 siehe Abb.11b.
Einen Beweis findet sich zB. in Emil Donath´s
>>Merkwürdige Punkte und Linien des ebenen Dreiecks<<, VEB 1976
7
Liegt P auf dem Umkreis, tritt eine Entartung ( A = 0 ) ein, denn die Entfernung zu Mu
ist ja gerade R und die Potenz somit Null:-Das Dreieck wird zur StreckeSIMSON-Gerade
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Abb.11b:
Fußdreieck bezüglich eines äußeren Punktes
Abb.11c: Die Simsonstrecke L1L3 als entartetes Fußdreieck
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Die Projektionen können (müssen) u. U. auf die verlängerten Seiten
erfolgen, wie L3 und M3 in der Abb. 11c
Abb.11d: Die Simsonsche Geraden antipodaler Punkte stehen aufeinander senkrecht
Die Mitte der Strecke von P zum Höhenschnitt
H liegt auf der
Simsongeraden und auch auf dem Feuerbachkreis (grün), dessen Zentrum
ja die Mitte von HMu ist.
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Kommen wir nun zum Fußpunktdreieck des Fußpunktdreiecks und vor
allem
dessen
drittes
Fußpunktdreieck,
das
immer
ähnlich
zum
Ausgangsdreieck ist!
Abb.12: Zweites Fußpunktdreieck bezüglich demselben Punkt P
Abb.12c: Das dritte Fußpunktdreieck bezüglich desselben Punktes P
hat wieder dieselben Winkel wie das Ausgangsdreieck ∆ABC
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Im speziellen Fall der Abb.13a ist der innere Punkt das Umkreiszentrum
Mu bzw. der Höhenschnittpunkt H. Im ersten Fall P=Mu bekommen wir
das Mittendreieck mit den halb-so-langen Seitenlängen, im letzteren das
H-Fußpunktdreieck.
Nach dem Satz von CARNOT ist übrigens die Summe der Abstände
des Umkreiszentrums Mu zu den Seiten
MuMa+ MuMb +MuMc = (r+R) =
r + R = R ( cos α + cos β + cos γ)
2x65/8 x (cos 53,13 + cos 67,38+cos 59,49) ≈ 24.249875
2x4 + 2x65/8 = 24,25 -- Abb.13a
Speziell im rechtwinkligen Dreieck ist Mu die Hypotenusenmitte mit dem
Abstand 0 zu c, und daher sind die Abstände von Mc zu den Katheten
zusammen (die Summe der beiden Nebenhöhen) gleich der Radiensumme
r+R = ½(a+b)!
Und da das Antimittendreieck doppelt so große Längen hat, und die Höhen
die Mittelsenkrechte des Antimittendreiecks sind, folgt: Die Längen der
oberen (längeren, von der Ecke her kommenden) Höhenabschnitts HA, HB
und HC sind doppelt so lang wie die Abstände des Umkreiszentrums zu
den Seitenmitten.
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Abb.13a:
Die
Summe
der
größeren
Höhenabschnitte
ist
die
Durchmessersumme8 von In- und Umkreis.
AH+BH+CH = 2(r+R)
= 2R
Σ cos αi
Es gilt nämlich
AH = 2R cos α, BH = 2R cos β
und CH = 2R cosγ
wie wir noch im Kapitel 5 sehen werden!
Wiederholen wir die Prozedur des Lote-Fällens vom Lotfußpunktdreieck
und bilden das zweite Fußpunktdreieck zu demselben inneren Punkt P
und von diesem noch das dritte, dann ist das dritte Fußpunktdreieck
zum Ausgangsdreieck immer ähnlich. Es ist allerdings nicht direkt
durch eine zentrische Streckung an einem Zentrum erhältlich, sondern es
ist meistens drehgestreckt (Abb.14)!
Weitere interessante Sätze finden Sie im Buch von C. Adams:
Die merkwürdigen Eigenschaften des geradlinigen Dreiecks
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Abb.14: Das dritte Fußpunktdreieck hier bezüglich der Umkreismitte Mu
ist immer zum Ausgangsdreieck ABC ähnlich!
Hier ist das erste Fußpunktdreieck das zu ∆ABC ähnliche Mittendreieck!
Allgemein ist bei einem n-Eck bezüglich einem festen Innenpunkt
das n-te Fußpunkt-n-Eck zum Ausgangsvieleck wieder ähnlich
(siehe dieselben Winkel bei Abb. 15a und b)!
Einen Beweis dafür finden Sie z.B. bei Coxeter!
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Abb.15a: Das 4. Fußpunktviereck ist wieder ähnlich
Abb.15b: Vergrößertes 4. Fußpunktviereck
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Abb.16a: In jedem spitzwinkligen Dreieck ist schon das zweite H-Fußpunktdreieck
ähnlich zum Ausgangsdreieck ∆ABC,
mit dem Streckungszentrum Z2 = H-Fußpunkt des Fußpunktdreiecks
der zugleich Inkreiszentrum ist,
denn es ist das Kontaktdreieck (Abb. 17b und 19)
Das dritte Fußpunktdreieck bezüglich dem Höhenfußpunkt H des
Ausgangsdreiecks ist natürlich auch ähnlich zum Ausgangsdreieck ∆ABC.
Es ist das Mittendreieck des zweiten Fußpunktdreiecks (k=½). mit
dem
Ähnlichkeitszentrum
Z_23
(Abb.16c),
was
der
gemeinsame
Schwerpunkt des zweiten und dritten Fußpunktdreiecks ist. Alle diese
genannten Punkte, die Ähnlichkeitszentren nämlich, liegen auf der
Eulergeraden HMu des Ausgangsdreieck ∆ABC
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Abb.16b:Verbindungen entsprechender Ecken der ähnlichen Dreiecke liefern die auf der
Euler-Geraden liegenden Streckungszentren
Abb.16c: Vergrößerte Ansicht der Ähnlichkeitszentren
Das Ähnlichkeitszentrum vom 2. und 3. Füßpunktdreieck ist der Schwerpunkt Z_23,
der von H (= Umkreiszentrum des 2.) halb so weit entfernt liegt, wie vom
Höhenfußpunkt H2 des 2. Fußpunktdreiecks.
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Abb.17a: Die Seiten des H-Fußpunktdreiecks sind Antiparallelen
Hier wird die Antiparallelität zur Grundseite c dargestellt
Wir wissen, dass das Fußpunktdreieck bezüglich der Inkreismitte Mi das
Kontaktdreieck liefert, und das Fußpunktdreieck bezüglich Mu ist das
Mittendreieck. Grund genug sich das Fußpunktdreieck bezüglich H mal
genauer anzuschauen. Die Verbindungsstrecke zweier Fußpunkte verläuft
antiparallel zur dritten Dreiecksseite. Die Höhenfußpunktseiten bilden
nämlich mit dem Ausgangsdreieck ein zu diesem ähnliches Dreieck, aber
mit entgegengesetztem Drehsinn. Mit dem Dreieck werden gerade - die
anderen beiden Dreieckswinkel `verdreht herum` - also antiparallel zur
Gegenseite zum einschließenden Winkel gebildet. Beispielweise verläuft
die Höhe hc = HaHb antiparallel zur Seite c, die dem einschließenden
Winkel γ gegenüber liegt. Die Winkel der Höhenfußpunktseite hc zu den
anliegenden Dreiecksseiten a und b bilden die Winkel β mit a und den
Winkel α mit der Seite b (Abb.15a). Im Dreieck kommen also alle
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Dreieckswinkel α, β und γ vor nur gespiegelt herum. Das Dreieck CHaHb ist
ungleichsinnig ähnlich zum Ausgangsdreieck ABC.
Abb.17b: Die Höhen sind die Winkelhalbierenden des
Höhenfußpunktdreieck und H ist dessen Inkreiszentrum
(dessen Berührpunkte das zweite Fußpunktdreieck bilden,
das zum Ausgangsdreieck ähnlich ist).
Ein zum Fußpunktdreieck zentrisch ähnlich gelegenes Dreieck
erhält man durch Spiegelung von H an den Seiten
(=Verlängerung der Höhe bis zum Schnitt mit dem Umkreis)
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Abb.17c: Der Flächeninhalt des Höhenfußpunktdreiecks
ist das doppelte Produkt der Ausgangsfläche mit dem Kosinenprodukt
A Fußpunkt∆= 2A cos α cos β cos γ
= 2A ∏cos αi =ur (Σai²/(8R²) -1)9
A
Fußpunkt=
2x336x0,1171598813 = 78,73144026
Jetzt wollen wir aber wieder ein bisschen rechnen! Durch die Höhe ha
teilen wir der Winkel Alpha in zwei Winkel α1 = 90- β und α2 = 90- γ.
Entsprechendes geschieht mit den anderen Dreieckswinkeln β und γ
(Abb. 17c). Für die Winkel des Fußpunktdreiecks ergibt sich, dass sie
jeweils das Doppelte der Winkel 90°- α, 90°- β und 90°- γ sind, also die
9
Bei rechtwinkligen Dreiecken verschnwindet das Fußdreieck, denn der Kosinus ist für
90° ja Null: ∏cosαi = Σai²/(8R²)
-1
Null, wenn Σai² =8R² ist, das ist der Satz des
Pythischen! Aber ein Fußdreieck kann natürlich auch rechtwinklig sein, z.B. das
Ankreisdreieck (= AntifUßdreieck) eines rechtwinkligen Dreiecks ( 5. Kapitel Abb. 7).
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doppelten Komplement-Winkel zu den Dreieckswinkeln
αi oder
die
Supplementwinkel zu 2Alphai etc.: 2x(90°- αi) = 180°- 2αi
WINKELSUMME.
180°- 2α + 180°- 2β + 180°- 2γ = 180°
Wir wollen die Seitenlängen des Höhen-Fußpunktdreiecks berechnen10:
Es verhält sich CHb zu a (=cos γ im rechtw. ∆AHbC)
wie die Parallelenabschnitte HaHb zu c
(verdrehen Sie das zu ABC ähnliche Dreieck CHaHb ,
so dass HaHb parallel zu c liegt und wenden Sie den 2. Strahlensatz an!)
HaHb = c
HbHc = a
b
Fußpunkt∆
Fußpunkt
Fußpunkt=
=c cos γ=28 cos 59,49=14.215
=a cos α = 26 cos 53,13=15,600037
HaHc = b cos β =30 cos 67,38=11,5384
Alternativ dazu ist
c
Fuß
= HaHb = CHb sin γ2 + CHa sin γ1
HbHc = BHa sin β2 + BHb sin β1
b
Fuß
= HaHc = AHc sin α2 + AHb sin α1
HaHb = 13,2 sin 22,82° + 15,23 sin 36,87°
HaHb = a
Fuß
= 14,2256047
=16,8 sin 30,51° + 18 sin 22,62°
= 15,45
und last but not least
=10,77 sin 36,87°+ 10 sin 30,51°
Addiert ergibt sich der Umfang u
= 11,53890277
Fuß
= 41,315
Der Umfang des H-Fußpunktdreiecks ist
uFuß = a |cos α| + b |cos β| + c |cos γ|
Beweise siehe zB. bei E. Donath „Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen
Dreiecks“, VEB 1976
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bzw. alternativ dazu11
u
Fußpunktdreieck
weil ja
= R(sin2α + sin2β +sin2γ)=
Σ sin 2αi = 4  sin αi
. ist.
= 4R sin α sin β sin γ
Und da das Sinenprodukt  sin αi = ur/ (2R)² ist, folgt:
U
u
H-Fußpunkt∆
Fußdreieck
=
ur/R
(= 2A/R )
= 2r (sinα + sinβ + sinγ)
da ja u/ (2R) = Σ sin αi ist
In unserem Beispiel ist u=84, r=8 und R=65:4
ergibt
uFuß = 84x32/65 =41,35384615
(auch 2A/R = 2x4x84/(65:4) = 84x32/65)
Das Produkt der Sinen12 ist
sin 53,13° sin 67,38 ° sin 59,49 ° = 0,636213
und somit ist mit 65 zu multiplizieren ( R=65/4 )
und es ergibt sich der Umfang des Fußpunktdreiecks:
u
Fuß
≈ 41,35385111
65/4(sin 2x53,13° + sin 2x67,38 °+sin 2x59,49 °) = 41,35..
Die Sinensumme liegt zwischen Null und 2,6 während das Sinenprodukt
zwischen Null und 0.65 liegt (einem viermal kleineren Wert13)!
Beweise siehe zB. bei E. Donath „Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen
Dreiecks“, VEB, Berlin 1976
12
Bekanntlich ist sin2α + sin2β +sin2γ =4(sin α mal sin β mal sin γ)
11
sin 53,13° + sin 67,38 °+sin 59,49 ° = 2,5845 unterscheidet sich nicht erheblich von
sin2α + sin2β +sin2γ die Sinensumme der doppelten Winkel ist hier 2,526
Das Sinenprodukt ist wegen sin αi =ai /(2R) und abc =4AR
sin α sin β sin γ = abc/(2R)³ = ur/(4R²)
(d.h. A=½ R² ∏sin αi )
Hier ist das Sinenprodukt 84x8/(65²/4)≈0.636….
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Aufsummation ergibt 41,21 bzw. 41,3
zum Vergleich: u
ABC
=84 ist mehr als doppelt so groß!
Übrigens hat das Fußdreieck unter den einbeschriebenen Dreiecken
den kleinsten Umfang im spitzwinkligen Ausgangsdreieck!
Wenden wir uns dem Flächeninhalt zu. Für die Fläche eines Dreiecks gilt14:
A = ¼u² tan ½α tan ½β tan ½γ
Die Fläche des Ausgangsdreiecks ist somit
A = 42²(tan ½ 53,13° x tan ½67,38 ° x tan ½59,49 °) =
A=42² (tan ½ 26,565° x tan 33,69 ° x tan ½29,745 °)= 42²x0,190476
= 336
(4x84)
(Abb.17c)
Die Fußpunktdreiecksfläche ist demnach das Tangensprodukt15 von 90-αi
AFuß = ¼uFuß² tan (90°-α) tan (90°-β) tan (90°-γ)
= ¼x41,35²(tan 22,62° x tan 30,51 ° x tan 36,87°) =
427,4556x0.18415 = 78,716
Andererseits erhält man für die Fußdreicksfläche HaHbHc nur mit den
Maßen des Ausgangsdreiecks ABC:
A (HaHbHc) = 2A cos α cos β cos γ
= abc∏cos αi/(2R)
(denn abc=4AR)
= A (∑ai²/(4R²) -2)
Das Cosinenprodukt16: cos 53,13° cos 67,38 °cos 59,49 ° =
0,1171598813
13
14
GeometrieFormelsammlung.pdf von Birgit Vera Schmidt vom 9. Juni 2009
Auch ist r=½u tan ½α tan ½β tan ½γ =½u ∏tan αi
= 42 x0,190476 =8
Beweise siehe zB. bei E. Donath „Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen
Dreiecks“, VEB, Berlin 1976
15
Eine andere Formel folgt daraus weil  tan (90-αi) = cos αi /sin αi =  cot αi ist
AFuß = ¼uFuß²(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²)/ (4A)³
(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²) /(16x84)³= 447 068 160: 1344³=0,1841
mal 41,35² geteilt durch4 ergibt etwa 78,716
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bzw. über cos α cos β cos γ = ½∑ai²/4R² -1 berechnet:
Mit ½∑ai²=½(28²+30²+26²)=2360/2=1180 und 4R²= 65²/4 = 1056,25 wird
½∑ai² /(4R²)= 1180/1056,25=1,117159763 und ½∑ai²/(4R²) -1 = 0,117159763
Merke: Das Kosinenprodukt liegt immer zwischen -1 und 1/8 = 0,125
(Die Kosinensumme zwischen 1 und 1,5
- wie sie Sinensumme der ½αi
Die Summe der Kosinen der Halbwinkel liegt zwischen 2 und 2,6)
Abb.18: Das Höhen-Fußpunktdreieck ist ähnlich zum Tangentendreieck
und zum Dreieck aus den
Spiegelpunkten von H an den Dreieckseiten
16
4R² cos α cos β cos γ = ½∑ai² - 4R² Corrado CIAMBERLINI, Bolletino della Unione
Mathematica Italiana (2), 5 von 1943, Seiten 37-41
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Weitere Formeln für die H-Fußpunktdreiecksfläche HaHbHc sind
AFuß
AFuß
==
¼u²Fußpunkt cot α cot β cot γ17
==¼u²Fußpunkt/(
AFuß
==
tan α +tan β + tan γ)=
½R²(sin2α sin2β sin2γ)
18
AFuß =={ur/(2R) }² [(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²)]/(4A)³
AFuß == ½{R²-MuH²} sinα sinβ sinγ = A {R²-MuH²}/(2R)²
wobei R²-MuH² die Potenz von H bezüglich des Umkreises ist
Beispiele:
cot α cot β cot γ= cot 53,13° cot 67,38 °cot 59,49 ° = 0,18415..
tan 53,13° + tan 67,38°+ tan 59,49° =5,4303 Kehrwert 0,184152
(1/∏ tan = 5,43 =1/Σ tan αi)19
¼x41,35x 0,18415= 78,7168
sin 70,26=0,9412349785
sin 134,76=0,7100624911
sin 118,98=0,8747888843
______________________
Produkt =0,5846526
½R²(sin2α mal sin2β mal sin2γ) =65²/32 x 0,5846526=77,192
also noch etwas ungenauer
17
Weil  cot αi = [(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²) (4A)³ was übrigens zugleich das
Tangensprodukt von 90-αi ist,
und wegen u Fuß = ur/R folgt
AFuß={ur/(2R) }² [(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²)]/ (4A)³
Das Sinensumme der doppelten Winkel ist das vierfache Sinenprodukt der einfachen
Dreieckswinkel; aber hier ist das Sinus-P R O D U K T der doppelten Winkel!
19
Es ist tan α tan β tan γ = tan α + tan β + tan γ
18
und 1/(tan ½α
tan ½ β
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tan ½γ ) = 1/tan ½α + 1/ tan ½β + 1/tan ½γ
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Weil  cot αi = [(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²)]/ (4A)³ ist, wird
AFuß={ur/(2R) }² [(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²)]/ (4A)³
={ur/(2R)
}²= (84x8x2/65)²=20,6769².= 427,535.
26²=676
28²=784
30²=900
(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²)=1008x792x560= 447 068 160
(4A)³= 1344³ =117 411 971
[(a²+b²–c²)(a²+c²–b²)(b²+c²–a²)]/117 411 971
447068160:1344³= 0,1841517857
0,1841517857mal 427,535
gibt 78,73136094
Das dürfte der genaueste Wert sein!
¼u²Fußpunkt = {84x8/(65/2)² } =427,535
(41,35²/4=427,455625 ist ungenauer)
Allgemein ist das Fußdreieck bezüglich eines Punktes P
AFußdreieck == ½{R²-MuP²} ∏sinαi = {(R²-MuP²)/(2R)²} A
also das Sinenprodukt sinαi sinβ sinγ
multiplizuiert mit der halben Potenz
des Punktes in bezug auf den Umkreis.
Dabei ist AAUS∆ = 2R² ∏sinαi die Fläche des Ausgangsdreiecks
bzw. das Sinenprodukt ist eben  sin αi = ur/ (2R)²
In unserem Standardbeispiel bzw. dem doppelten in Abb.17c ist nun der
Abstand des Höhenschnitts H vom Umkreiszentrum Mu
HMu = 2,03485257451246 bzw. das Doppelte
was quadriert 4,140624998 bzw. das Vierfache davon ist!
Die Potenz von H ist genau 61,875
mal dem halben Sinenprodukt ergibt
19,68284024 bzw. das Vierfache gibt auch 78,73136094
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Abb.19: Das Kontaktdreieck der Inkreis-Berührpunkte des HFußpunktdreiecks ist als zweites Fußpunktdreieck bezüglich H zum
Ausgangsdreieck ABC ähnlich.
Das Zentrum Z der zentrischen Streckung
liegt auf der Eulergeraden
Wie wir noch im nächsten Kapitel über SEITENBERÜHRKREISE sehen
werden, gilt für die Fläche des Kontaktdreiecks: A
2.FPD
= 4A³/(uabc)
Damit wird das zweite Fußpunktdreieck,
das Kontakt-Dreieck des Fußpunktdreiecks
mit dem Flächeninhalt
4 x 78,73144026³/(41,35x14,22x15,45x11,53) = 18,555
Geogebra liefert 18,448 (Abb.20)
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Abb.20: Die Fläche des zweiten H-Fußpunktdreiecks ist 18,45
Sein Mittendreieck ist das 3. H-Fußpunktdreieck (¼Fläche)
Rechnen wir mit 18,5 und bestimmen den Streckungsfaktor
k² = 336/18,5 = 18,11
Die Wurzel daraus gibt 4,26
Wir werden gleich zeigen, dass k=1/(2∏ cos αi) ist
1/(2x0,1171598813)= 4,2676725
Das Kontaktdreieck des 1. Höhen-Fußpunkt-Dreiecks ist, wie wir auch im
nächsten
Kapitel
flächenmäßig mit 2A
über
∏
SEITENBERÜHRKREISE
beweisen
werden,
sin ½αi verbucht! Und da für die Winkel des 1.
Fußpunktdreiecks es sich gerade so ergibt, dass sie jeweils das Doppelte
der Winkel von 90°- α, 90°- β und 90°- γ sind, wird die Hälfte eben zum
Komplent der Dreieckswinkel. Da des Sinus einen Winkel zuglleich der KoSinus
seines
Komplements
ist,
erhalten
wir
für
den
Inhalt
des
Kontaktdreiecks eben 2A1.Fuß∏ cos αi
Nun ist aber
A
1.Fußpunkt∆=
2A cos α cos β cos γ und wir erhalten
einen quadratischen Ausdruck für die zweite H-Fußpunktdreiecksfläche in
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den Maßen des Ausgangsdreiecks, so wie wir es ja erwarten, denn beide
sind ja mit dem Streckungsfaktor k ähnlich zueinander, und das Verhältnis
der Flächen ist dann eben k²:
Es folgt, die 2. Fußdreicksfläche ist
A2.Fuß∆ = 4AAusgangs∆ (∏ cos αi )²
Beispiel Abb. 20:
Das
2x2x336x0,1171598813²=2x9,224166= 18,4483
Verhältnis
zweier
entsprechender
Stecken
des
Ausgangsdreiecks und des 2. H-Fußpunktdreiecks ergibt sich
somit zu √(336:18,4483) also k=4,267676.
Abb.21: Streckungsfaktor ist k = 4,267676… (Kehrwert 0.234195266)
1/k = 2
∏ cos αi =
13, 14 und 15 Beispiel
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2[u² - 4(r+2R)²] / (4R)²
2x{42²-4x(4+65/4)²/(½65)²} =0,2343195266
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Abb.22: Suchen wir das Antifußdreick eines Dreiecks,
dann ist dies das Ankreisdreieck
(die Zentren der Ankreise sind hier Xa, Xb und Xc),
Dann ist das Kontaktdreick diesem ähnlich.
Es ist das zweite Fußdreieck bezüglich Mi.
Weil das Inkreiszentrum zugleich Höhenschnitte des Ankreisdreiecks ist,
haben wir das zweite Fußdreieck bezüglich Mi .
Für den Flächeninhalt gilt dann
AKontakt∆ = 4AAnkreis∆ (∏ cos αi )²
Das Kosinenprodukt ist ≈0,123
und man erhält für das Kontaktdreieck einen Flächeinhalt von 20,67.
Seine Seiten haben etwa ein Viertel der Länge des Ankreises.
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