Versuch: M14 – Verteilung zufälliger Fehler

E10 – Schwingkreis
Versuch:
Datum:
07.11.2005
Uhrzeit:
13:45 – 17:00 Uhr
Protokollant:
Martin Wolf
Betreuer:
Dipl.-Phys. D. Wagner
Mitarbeiter:
Martin Helfrich
1. Aufgabenstellung
1.1.
Stellen Sie eine freie gedämpfte Schwingung eines Reihenschwingkreises dar. Bei gegebener
Kapazität C soll die Induktivität L und der OHM’sche Widerstand Ri der Spule bestimmt werden.
Untersuchen Sie weiterhin den Einfluss eines Dämpfungswiderstandes R auf das
Schwingungsverhalten.
1.2.
Nehmen Sie für verschiedene Dämpfungen die Spannungs- und die Phasen-Resonanzkurve eines
Reihenschwingkreises in Abhängigkeit von der Frequenz auf und bestimmen Sie die zugehörige
Resonanzfrequenz, die Schwingungsgüte und die Bandbreite.
2. Vorbereitung
In diesem Versuch sollen in einem Reihenschwingkreises freie gedämpfte und erzwungene Schwingungen
untersucht werden.
2.1. Freie Schwingungen
Lädt man einen Kondensator C auf die Spannung U0 und entlädt ihn über eine parallel geschaltete Spule, so
müssen zu jeder Zeit die Spannungen am Kondensator und der Spule gleich groß sein:
L  I 
Q
C
(2.1)
Um Q zu eliminieren ist die zeitliche Ableitung von Gleichung 2.1 zu bilden. Diese bildet eine
Differentialgleichung mit der Lösung Gleichung 2.2 für den harmonisch schwingenden Strom und der
Eigenfrequenz Gleichung 2.3.
Iˆ  t   I 0  ei0t
1
L C
0 
(2.2)
(2.3)
Nach dem OHM’schen Gesetz gilt gleiches auch für die Spannung. Die Parallelschaltung von Spule und
Kondensator wird deshalb als elektrischer Schwingkreis bezeichnet. Durch den OHM’schen Widerstand R
der Leitungen, der wie ein in Reihe zu den anderen Bauelementen geschalteter Widerstand wirkt, tritt dabei
unvermeidliche eine Dämpfung auf. In Gleichung 2.1 ist nun zusätzlich der Spannungsabfall an R zu
berücksichtigen und man erhält Gleichung 2.4.
L  I 
Q
 RI
C
(2.4)
Die zeitliche Ableitung von Gleichung 2.4 führt zur Differentialgleichung 2.5 mit dem Dämpfungsfaktor des
elektrischen Schwingkreises nach Gleichung 2.6.
I  2    I  02  I  0

R
2 L
In Analogie zur Mechanik ergeben sich auch hier in Abhängigkeit vom Vorzeichen der Differenz
charakteristischen Lösungen für die Differenzialgleichung 2.5.



Schwingfall:
Grenzfall:
Kriechfall:
 
 
 
1
(2.5)
(2.6)
 2  02
die
Die Lösung für den hier interessierenden Schwingfall, d.h. schwache Dämpfung, beschreibt die Gleichung
2.7 und die Abbildung 2.1 mit der Kreisfrequenz nach Gleichung 2.8 und dem Phasenwinkel nach Gleichung
2.9:
I  I0  e t  cos   t   
(2.7)
  02   2
(2.8)
 

 
  arctan 
(2.9)
Abb. 2.1: Zeitlicher Verlauf einer exponentiell abklingenden gedämpften Schwingung
Aus dem Verhältnis zweier aufeinander folgender Maximalausschläge
I n und I n1 kann das logarithmische
Dekrement  nach Gleichung 2.10 bestimmt werden.
 I 
  ln  n     T
 I n1 
(2.10)
Die Schwingungsdauer T einer gedämpften Schwingung kann aus der Schwingungsdauer
T0 der
ungedämpften Schwingung und dem logarithmischen Dekrement  nach Gleichung 2.11 berechnet
werden, wobei für kleine Dämpfungen in guter Näherung die Gleichung 2.12 gilt.
  
 R T 
T  T0  1  
  T0  1  

 2 
 4  L 
2
T  T0  2  L  C
2
(2.11)
(2.12)
2.2. Erzwungene Schwingungen im Reihenschwingkreis
Die Beschreibung erzwungener Schwingungen geschieht bei elektrischen Systemen mit Hilfe des
Maschensatzes der KIRCHHOFF’schen Regeln. Dabei entsteht die Differentialgleichung 2.13.
Q
 U 0 cos a t 
C
Q  2 Q  02Q  K cos a t 
LQ  RQ 
mit 2 
(2.13)
U
R 2
1
; 0 
;K 0
L
LC
L
Es handelt sich dabei um eine inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Dieses Schwingungssystem wird harmonisch erregt. Die allgemeine Lösung der Gleichung 2.13 besteht aus
2
der Summe einer Lösung
speziellen Lösung
QH der homogenen Differenzialgleichung (z.B. Gleichung 2.5) und einer
QS der inhomogenen Differentialgleichung (z.B. Gleichung 2.13) gemäß Gleichung 2.14
mit den Bereichen: Schwingfall
  0  , periodischer Grenzfall   0  und Kriechfall   0  .
Q  t   QH  t   QS t 
Da bei vorhandener Dämpfung
  0 
(2.14)
die jeweilige Amplitude der homogenen Lösung mit
abfällt, werden im Weiteren nur Zustände betrachtet, für die
 t  1
gilt, sodass
exp   t 
QH  QS wird. Dieser
Zustand wird als stationär bezeichnet. Es gilt dann Gleichung 2.15.
Q  t   QS  t 
Für die spezielle Lösung
(2.15)
QS wird der Lösungsansatz Gleichung 2.16 verwendet.
QS  t   Q0e 
i a t  
(2.16)
Wenn beim Einsetzen des Lösungsansatzes Gleichung 2.16 in die Differentialgleichung 2.13 alle
Zeitabhängigkeiten herausfallen, ist der Lösungsansatz eine Lösung.
Q0 02  a2  i 2a  ei  K
Für
(2.17)
 erhält man die Gleichung 2.18 und für Q0 als Funktion von  die Gleichung 2.19.

2a 
2
2 
 0  a 
  arctan  
Q0 
(2.18)
K

2
0

   2 
2 2
a
(2.19)
2
a
Abb. 2.2: Reihenschwingkreis mit äußerer Anregung
Ua
In der Elektrotechnik sind jedoch für die Behandlung von Wechselstromkreisen, d.h. auch von
Reihenschwingkreisen, die Größen
U  t  und I  t  relevant. Wird die Differentialgleichung 2.13 nochmals
nach der Zeit differenziert, ergibt sich Gleichung 2.20. Mit U  U 0 e
I  t   I 0e 
i a t  
ia t
und dem Lösungsansatz
lässt sich Gleichung 2.20 durch Gleichung 2.21 darstellen. Die Division durch
schließlich zu Gleichung 2.22.
3
ia führt
LI  RI 
I dU  t 

C
dt
(2.20)
1
 2 2
 i a L  ia R   I  t   iaU  t 
C

(2.21)


1 
 R  i  a L 
 I t   U t 

C
a



(2.22)
Dafür kann in Analogie zum OHM’schen Gesetz Gleichung 2.23 der komplexe Wechselstromwiderstand Z
(Impedanz) mittels Gleichung 2.24 beschrieben werden.
Z  I t   U t 
(2.23)

1 
Z  R  i  a L 

aC 

(2.24)
Durch eine von außen angelegte Spannung
Strom
U  t   U0 cos at  fließt in einem Reichenschwingkreis ein
I  t   I0 cos at    mit dem Spitzenstrom I 0 Gleichung 2.25 und dem Phasenwinkel 
Gleichung 2.26.
I0 
U0

1 
R 2   a L 

a C 

tan  
Während die Amplitude
a L 
(2.25)
2
1
a C
(2.26)
R
Q0 a  bzw. UC a  das Maximum bei
RQ  02  2 2
hat, liegt es für
(2.27)
I 0 a  bei RI  0 . Das Maximum der aufgenommenen Leistung einer erzwungenen
Schwingung liegt in allen Fällen bei
0 .
In Abbildung 2.3 ist für unterschiedliche Dämpfungen die normierte Amplitudenfunktion der Spannung am
Kondensator U C in Abhängigkeit vom Kreisfrequenzverhältnis   a / 0 dargestellt. Man erkennt, dass
mit steigendem Dämpfungsgrad
 D   / 0 
die Amplituden-(Spannungs-)Überhöhung im Resonanzfall
stark abnimmt und gleichzeitig die Resonanzfrequenz zu kleineren Werten verschoben wird. Diese
Amplitudenüberhöhung findet nur bis zu einem Grenzdämpfungsgrad statt, für dem die Wurzel in Gleichung
2.27 noch reell ist. Diese Grenze beschriebt die Gleichung 2.28.
 1

2
0 2
Grenzdämpfungsgrades DGr fallen
DGr 
Bei Überschreiten dieses
(2.28)
die Amplituden mit zunehmenden
 ständig ab (überkritische Dämpfung). Das Verhältnis von Resonanzamplitude
und der statischen Auslenkung U 0 wird Resonanzüberhöhung genannt. Mit dem Dämpfungsgrad
Kreisfrequenzverhältnissen
UC
max
D   / 0 ergibt sich die Resonanzüberhöhung nach Gleichung 2.29.
4
Abb. 2.3: Spannungsamplitudenresonanzfunktion
UC
max
U0

1
(2.29)
2D 1  D2
Für den betrachteten Fall der geringen Dämpfung gilt in guter Näherung die Gleichung 2.30.
UC
max
U0

1
2D
(2.30)
Dies beschreibt die Güte q eines Schwingkreises, sodass näherungsweise die Gleichung 2.31 gilt.
UC
max
U0

1

1 L
q

2D
 R C
(2.31)
Die Güte eines Schwingkreises nimmt also mit steigender Resonanzüberhöhung zu. Ein wichtiges Maß für
die Trennschärfe eines Schwingkreises ist die Halbwertsbreite der Resonanzkurve. Man versteht darunter
den Abstand  der beiden Frequenzen, bei denen die Amplitude auf das
Maximalwertes abgesunken ist (vgl. Abbildung 2.4).
1/ 2 -fache ihres
Abb. 2.4: Resonanzüberhöhung und Güte eines Schwingkreises
5
Mit der Güte q des Schwingkreises hängt auch seine Bandbreite
den Abstand der Grenzkreisfrequenzen
1
und
 zusammen. Unter ihr versteht man
2 , innerhalb dessen die Amplitude auf das 1/ 2 -fache
ihres Maximalwertes abgefallen ist. Aus Gleichung 2.29 ergibt sich für die Bandbreite die Gleichung 2.32.
  2  1 
Die Darstellung des Phasenverschiebungswinkels

r
(2.32)
q
zwischen Ausgangs-
U A und Eingangsgröße U E in
Abhängigkeit von der Erregerfrequenz wird als Phasengang bezeichnet. Für die Phasenverschiebung
zwischen der Spannung am Kondensator
UC  t  und der Erregerspannung U a  t  gilt die Gleichung 2.33.




R

 a   arctan 
 1  L 
a 
C
 a

(2.33)
Abb. 2.5: Phasenresonanzfunktion
a  r ein
reinkapazitives Verhalten, d.h. die Phasenverschiebung ist Null. Für Erregerfrequenzen a  r liegt
dagegen ein reininduktives Verhalten, d.h.    . Bei der Resonanzfrequenz a  r erfolgt im
dämpfungsfreien Fall der sprunghafte Übergang vom kapazitiven zum induktiven Verhalten      . Mit
Für sehr kleine Dämpfungen zeigt der Reihenschwingkreis für Erregerfrequenzen
steigender Dämpfung wird dieser Übergang verflacht.
6
2.3. Herleitung der Formeln für die Fehlerbetrachtung
Für die spätere Fehlerbetrachtung sollen hier die Fehlerformeln hergeleitet werden. Als Ausgangsformel zur
Untersuchung des Einflusses der Dämpfung auf die Schwingungsdauer wird die Gleichung 2.11 in
Verbindung mit Gleichung 2.10 verwendet. Für die theoretische Schwingungsdauer gilt also:
Ttheor
 U 
ln 2  n 
 U n 1 
 T0  1 
4 2
Für die partitiellen Ableitungen folgt:
Ttheor
T0
U 
ln 2  n 
 U n 1 
 1
4 2
Ttheor
 T0 
U n
 U 
ln  n 
 U n 1 
Ttheor
 T0 
U n
 U 
ln 2  n 
 U n 1 
2 2  U n  1 
4 2
 U 
ln  n 
 U n 1 
 U 
ln 2  n 
 U n 1 
2 2  U n 1  1 
4 2
Für den relativen Fehler folgt damit:
Ttheor
Ttheor
 U 
 U 
ln  n   U n
ln  n   U n 1
T0
 U n 1 
 U n 1 



T0




2  Un 
2  Un 
 ln 
 ln 


 U n 1   2 2 U  1 
 U n 1  
2 2 U n  1 
n 1
2




4
4 2








Zur Bestimmung der gemessenen Schwingungsdauer wird die Gleichung 2.35 verwendet, wobei
Anzahl der Schwingungen ist, über die gemittelt wird.
Tmess 

1
tU  tU max,1
n max,n

(2.34)
n die
(2.35)
Für den Fehler folgt damit:
Tmess 
Tab. 2.1: Fehlergrenzen der Messgrößen
Messgröße
2  tU max
(2.36)
n
Messgerät
Fehlergrenze
U n / V
Cassy
0,01U n  0,005  30
U n1 / V
Cassy
0,01U n1  0,005  30
tU max / ms
Cassy
0, 01
7
3. Durchführung des Experimentes, Messwerte
Zur Durchführung des Experimentes wird die Schaltung Abbildung 3.1 verwendet.
Abb. 3.1: Verwendete Schaltung mittels Cassy-Messsystem
3.1. Freie gedämpfte Schwingung
Zur periodischen Anregung des Schwingkreises wird das „Power Cassy“ als Impulsgenerator verwendet.
Für charakteristische Dämpfungen soll
aufgenommen werden.
der
Schwingungsverlauf
mit Hilfe des
„Cassy“-Systems
Für den Fall, dass der Zusatzwiderstand (Dämpfungswiderstand) Null ist, soll der Schwingungsverlauf mit
Hilfe des „Cassy“-Systems aufgenommen werden und daraus die Schwingungsdauer, die Amplituden und
die Dämpfung der gedämpften Schwingung bestimmt werden. Die Tabelle 3.1.1 zeigt die Messwerte.
Tab. 3.1.1: Messwerte – freie gedämpfte Schwingung für
Dämpfung
R

0
R0
T0
ms
0
 exp
U max,n
U max,n1
1/ s
1/ ms
V
V
C
F
0,436
14411
0,366
14,96
12,73
1,5
Für größere Dämpfungen sollen die gleichen Messungen ebenfalls durchgeführt werden. Die Tabelle 3.1.2
zeigt die Messwerte.
Tab. 3.1.2: Messwerte – freie gedämpfte Schwingung für
R0
 exp
U max,n
U max,n1
1/ ms
V
V
0,434
0,532
6,41
5,07
10
0,437
0,671
6,03
4,50
4
10
0,437
0,971
5,18
3,39
8
5
0,442
1,563
3,57
1,79
nU max
Tmess
ms
1
10
2
Dämpfung
R

8
3.2. Reihenschwingkreis
Die Anregung des Reihenschwingkreises erfolgt in diesem Teilexperiment durch eine sinusförmige
Spannung mit konstanter Amplitude.
Die auf die Gesamtspannung normierte Spannung am Kondensator und die Phasenverschiebung soll in
Abhängigkeit von der Frequenz grafisch dargestellt werden.
Die Güte und die Bandbreite des Schwingkreises soll grafisch und rechnerisch nach Gleichung 2.31 und
2.32 für diese drei Dämpfungen ermittelt werden. Die Resonanzkreisfrequenz wird schließlich mittels
Gleichung 2.27 berechnet. Die Tabelle 3.2.1 zeigt die Mess- und Berechnungswerte.
Tab. 3.2.1: Messwerte – Reihenschwingkreis
Dämpfung R
U C ,max
U0
 qgraf
qtheor
 R , graf
R ,theor
1/ s
theor
1/ s
1/ s
1/ s
 graf
0
12,7
19,7
1415
732
14372
14411
2
10,5
10,6
1433
1352
14294
14384
4
7,4
7,3
1973
1963
14294
14303
9
4. Auswertung
4.1. Freie gedämpfte Schwingung
Für die freie gedämpfte Schwingung ohne zusätzliche Dämpfung in Form eines OHM’schen Widerstandes,
wurde für den Reihenschwingkreis eine Schwingung, wie in Abbildung 4.1.1 gezeigt, aufgenommen.
Abb. 4.1.1: Freie gedämpfte Schwingung ohne Zusatzwiderstand
Für einen Zusatzwiderstand von R  0 soll die Induktivität und der Innenwiderstand der Spule nach
Gleichung 2.3 und Gleichung 2.6 und das logarithmische Dekrement nach Gleichung 2.10 berechnet
werden. Die Tabelle 4.1.1 zeigt die berechneten Werte.
Tab. 4.1.1: Berechnete Werte für die freie gedämpfte Schwingung mit
R0

L4
mH
Ri

0,161
3,21
2,35
Für unterschiedliche Dämpfungen soll untersucht werden, ob die Dämpfung Einfluss auf die
Schwingungsdauer gemäß Gleichung 2.11 hat. Dazu wird der Fehler der gemessenen Schwingungsdauer
nach Gleichung 2.36 und der Fehler der theoretischen Schwingungsdauer nach Gleichung 2.34 bestimmt
und untersucht, ob Tmess und Ttheor innerhalb der Fehlergrenzen übereinstimmen. Die Tabelle 4.1.2 zeigt für
die unterschiedlichen Dämpfungen das logarithmische Dekrement nach Gleichung 2.10 und die berechneten
Werte der Schwingungsdauern.
10
Tab. 4.1.1: Berechnete Werte für die freie gedämpfte Schwingung mit
R0

Tmess
ms
Tmess
ms
Ttheor
ms
Ttheor
ms
1
0,235
0,434
0,002
0,436
0,002
2
0,293
0,437
0,002
0,436
0,003
4
0,424
0,437
0,002
0,437
0,003
8
0,690
0,442
0,004
0,439
0,004
Dämpfung
R

Zur Untersuchung des Einflusses soll in einem Diagramm die gemessene und die theoretische
Schwingungsdauer mit ihren Fehlerbalken in Abhängigkeit von der Dämpfung dargestellt werden.
0,448
Schwingungsdauer T / ms
0,446
0,444
0,442
0,440
0,438
0,436
0,434
0,432
0,430
0
2
4
6
8
10
Dämfpung R / Ohm
gemessene Schwingungsdauer
berechnete Schwingungsdauer
Diagramm 4.1.1: Schwingungsdauer in Abhängigkeit von der Dämpfung
An Hand der Fehlerbalken im Diagramm 4.1.1 zeigt sich, dass innerhalb der Fehlergrenzen ein Einfluss der
Dämpfung auf die Schwingungsdauer gemäß Gleichung 2.11 gemessen werden kann.
Anfügend soll der aperiodische Grenzfall und der Kriechfall des Schwingkreises grafisch dargestellt werden.
Für den aperiodischen Grenzfall wurde empirisch eine Dämpfung von R  89 bestimmt. Die grafische
Darstellung des aperiodischen Grenzfalles ist im Diagramm 4.1.2 zu sehen.
11
Diagramm 4.1.2: Aperiodischer Grenzfall der freien gedämpften Schwingung bei
Diagramm 4.1.2: Kriechfall der freien gedämpften Schwingung bei
12
R  89
R  500
4.2. Reihenschwingkreis
Für die drei Dämpfungen soll grafisch und rechnerisch die Güte q und die Bandbreite
werden. Die Werte können der Tabelle 3.2.1 entnommen werden.
 bestimmt
Die auf die Gesamtspannung normierte Spannung am Kondensator und die Phasenverschiebung in
Abhängigkeit von der Kreisfrequenz sollen schließlich für die drei Dämpfungen grafisch dargestellt werden.
Diese Darstellungen sind in den Diagrammen 4.2.1 bis 4.2.6 zu sehen.
Diagramm 4.2.1: Amplitudenresonanzfunktion für
Diagramm 4.2.2: Phasenresonanzfunktion für
13
R  0 (nur Innenwiderstand der Spule)
R  0 (nur Innenwiderstand der Spule)
Diagramm 4.2.3: Amplitudenresonanzfunktion für R  2
Diagramm 4.2.4: Phasenresonanzfunktion für R  2
14
Diagramm 4.2.5: Amplitudenresonanzfunktion für R  4
Diagramm 4.2.6: Phasenresonanzfunktion für R  4
(aber ohne Phasensprung wegen Darstellungsfehler der Auswertungssoftware)
Ein Verhalten der Resonanzfrequenz wie in Abbildung 2.3 ist in den Diagrammen 4.2.1, 4.2.3 und 4.2.5 nicht
zu erkennen, da bei diesem Auflösungsvermögen und den uns gewählten Dämpfungen eine
Resonanzfrequenzänderung auf Grund der Dämpfungen nicht erkennbar ist.
15
6. Zusammenfassung
Bei diesem Experiment konnte gezeigt werden, dass die Dämpfung gemäß Gleichung 2.11 einen Einfluss
auf die Schwingungsdauer hat.
Die bei diesem Versuch verwendete Spule (L4) hat die folgenden bei diesem Experiment bestimmte
Eigenschaften:
L  3, 21mH
Ri  2,35
Für verschiedene Dämpfungen konnte rechnerisch (aber nicht grafisch) gezeigt werden, dass sich die
Resonanzfrequenz mit zunehmender Dämpfung zu kleineren Frequenzen verschiebt. Grafisch konnte aber
gezeigt werden, dass es bei der Resonanzfrequenz zu einem Phasensprung um  zwischen Spannung und
Stromstärke kommt, der mit zunehmender Dämpfung abflacht (vgl. Diagramm 4.2.2, 4.2.4 und 4.2.6).
Unterschrift, Martin Wolf <[email protected]>, 10.11.2005
16