05 Was wir in der Schule niemals lernen

WAS WIR IN DER SCHULE
NIEMALS LERNEN
über Ecklinien
Den Satz von Stewart hat man uns in der Schule vorenthalten!
Dabei
kann
man
mit
ihm
ganz
einfach
etwa
die
Länge
der
Seitenhalbierenden berechnen. Auch der Satz des Pythagoras ist darin
enthalten.
Er berechnet die Länge einer Ecktansversalen t (Strecke von einer
Ecke bis zum Teilpunkt T auf der Gegenseite) zu
t = √{ a²v + b²w - c²vw }
wobei v das Verhältnis des ersten Abschnitts x auf c zu c ist, auf der
Ecktransversalen-Teilpunkt T liegt,
v =AT/c
und w das Verhältnis des zweiten Abschnitts y auf c zu c
w=TB/c
Da dabei x+y = c ist, also BT = c – AT
folgt über BT/c = (c – AT)/c = 1 - AT/c
w = 1-v oder
www.Udo-Rehle.de
ist,
für
v+w = (AT+TB)/c = 1
2
08.04.2017
Abb. 1: Ecklinie mit Teilungspunkt T auf der Gegenseite
t² = a²v + b²w - c²vw
Die Seite wird im selben Verhältnis wie die Fläche geteilt:
AT/TB = A∆ATC/A∆BTC
www.Udo-Rehle.de
3
08.04.2017
Abb.2:
c(t²+xy) = a²x+ b²y
Ist v =½, dann ist T die Mitte von c, und man spricht von einer
Seitenhalbierenden (Medianen Abb.2) sc.
t = sc = √{ ½a²v + ½b² - ¼c² } = ½√{2a²+2b² -c²}
½√(200-100)= 5
Seitenhalbierende
sa = ½ √[2(b²+c²) - a²]
½√(2x164-36)= ½√292=√73 ≈ 8,544003745
sb = ½ √[2(a²+c²) - b²]
= ½√(2x136-64)= 2√13 ≈ 7.211102551
Daraus folgt Σ si² = sa² +sb² + sc²= ¾ Σ ai²=3/8(u² -16rR - 4r²)
Beispiel der Abb.2:
www.Udo-Rehle.de
6²+8²+10²=200
4
Σ si² = 150
u=24, R=5, r=2
08.04.2017
Und falls außerdem (zu v =½) die Ecktransversale t halb so groß wie
die Gegenseite ist
t=R und c=2R
R² =½{a²+b²} - R²
(a²+b²-2R²)=2R²
a²+b²=4R²=c²
folgt daraus der Satz des Pythischen
Wir haben also damit nebenbei den Satz bewiesen, dass wenn in einem
Dreieck die Seitenhalbierende halb so groß wie die Gegenseite ist, dann
handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck!
Abb.3: Die Winkelhalbierende (Winkelsymmediane)
teilt die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden Seiten!
x :y = 8:6 = 4/3 = 5,7142857143 : 4,2857142857
x = 4/(3+4) von 10 und y = 3/(3+4) mal 10
www.Udo-Rehle.de
5
08.04.2017
Wenden wir Satz von Stewart t = √{ a²v + b²w - c²vw } auf die
Winkelhalbierenden an:
v= b/(a+b) =4/7 und w =a/(a+b) = 3/7
t = √{ a²b/(a+b) + b²a/(a+b) - c²ab/(a+b)² }
t = √{ 36x4/7 + 64x3/7 - 100x12/49 }=√23,51020408…
≈4,8487732214 ( Abb.3)
wc = √{a³b+a²b²+b²a²+b³a –c²ab}/(a+b) = √{ab(a+b)² -c²} / (a+b)
Die Winkelhalbierende wα = √{bc(b+c)² -a²} : (b+c)
oder
wa = 2bc cos½α /(b+c)
wa = 2x8x10 cos18,435 /(8+10)=8,432740427 ( Abb.3)
Im Dreieck liegt immer der größeren Seite auch der größere Winkel
gegenüber. Sind zwei Winkel gleich, dann sind die Gegenseiten auch
gleich. Sind alle Winkel gleich (also 180°:3 =60°), dann auch alle Seiten
(gleichseitiges Dreieck)! Analog besitzt der kleineste Winkel die längste
Seitenhalbierende (wα in der Abb. 2), und der größte Winkel die kleinste
Winkelhalbierende (wγ in der Abb. 2). Sind nun in einem Dreieck zwei
Winkelhalbierenden gleich lang, so sind auch zwei Seiten gleich lang
(Steiner-Lehmus).
Da die Winkelhalbierenden die Gegenseiten im Verhältnis der anliegenden
Seiten teilt, ist Produkt aller drei Teilungsverhältnisse somit
a/b mal b/c mal c/a = 1
Oder anders gesagt, in der Abb. 3 verhält sich
AT zu BT wie 40/7 zu 30/7 also AT/BT = 4/3
www.Udo-Rehle.de
6
08.04.2017
Auf der Seite a gilt BTa zu TaC wie 5 mal 6/9 zu 4 mal 6/9 (4+5=9)
also BTa/TaC=5/4
und schließlich auf der Seite b gilt CTb zu TbA wie 3 mal 8/8 zu 5 mal 8/8
also CTb / TbA = 3/5
Das Produkt der Verhältnisse ist genau EINS
BTa/TaC CTb / TbA AT/BT = 4/3 x 5/4 x 3/5 = 1
oder äquivalent dazu
|AT|+|BTa|+|CTb|
=
|TB|+|TaC|+|TbA|
Und das besagt der Satz von CEVA, dass beide Produkte der
Seitenabschnitte, die keine gemeinsame Ecke haben, gleich sein
müssen, und dies in allen Fällen, wenn sich drei Ecktransversalen in einem
Punkt schneiden. Sogar die Umkehrung gilt!
Wenn wir die Abschnitte auf den Seiten vertauschen und die Teilpunkte
wieder mit den Gegen-Ecken verbinden, dann schneiden sich die drei
Ecktransversalen auch in einem Punkt – dem (grünen in der Abb.4 )
isotomisch transformierten Punkt. Demgegenüber kann man auch an
den
Winkelhalbierenden
spiegeln,
und
zwar
die
Sietenhalbierenden
(Mediane), die dann den Symmedian (Lemoinepunkt) als Schnitt liefern.
Der Gergonne-Punkt und der Nagel-Punkt sind das Musterbeispiel für
isotomische Konjugation oder Transformation (durch Punktspiegelung
an den Seitenmitten erhaltene Ecktransversalenschnitt), während der
Schwerpukt S sozusagen isotomisch selbstkonjugiert ist. Die isogonal
Konjugierte (d.h. durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden erhaltene
Punkt) des Schwerpunkts wird Symmedianpunkt (oder LemoinePunkt) genannt (Abb.4).
Die isotomische Konjugation des letzteren sei der dritte Brocard-Punkt.
www.Udo-Rehle.de
7
08.04.2017
Abb.4: Isotomische und isogonale . Die Mitte der Höhe ist der LemoinePunkt als isogonales Konjugat des Schwerpunkts S, der mit seinem
isotomischen Konjugat (oder Transformat) identisch ist
(d.h. Vertauschung des Schnittverhältnisse auf den Seiten).
Aber kaum eine Spiegelung liefert einen gemeinsamen Schnittpunkt, wie
zB. wenn man die Seitenhalbierenden an den grünen Ecktransversalen
spiegelt, entsteht das violette Schnittdreieck.
Abb.5: Im Allgemeinen schneiden sich drei Ecktransversalen
www.Udo-Rehle.de
8
08.04.2017
selbstverständlich nicht in einem Punkt, sondern in einem Dreieck,
wie hier im ∆A1B1C1
TaB : TaC= 2,323 : 3,677 =0,6318
TbC : TbA= 6,196:1,804 = 3.4346
TcB : TcC =3,4833333333:6,51666666=0.534526842
Produkt 1,11599 ≈ 1,2 ≠ 1 ( Sinus-Form von CEEVA, S.12 unten)
Offenbar gilt hier der Satz von CEVA nicht
|ATc|+|BTa|+|CTb|
≠
|TcB|+|TaC|+|TbA|
oder kürzer, wenn c im Verhältnis c1 : c2 geteilt wird usw.
x1 : x2 (x für die Seiten a, b
und c):
a1 b1 c1 ≠ a2 b2 c2
Für den Flächeninhalt des Seitenschnittdreiecks TaTbTc gilt1:
A(∆TaTbTc) = (ATc BTa CTb + BTc CTa ATb)/(4RABC)
Beispiel Abb.5:
A(TaTbTc) = (50,14099+43,22266)/20= 93,3636/20 = 4,668
Der Flächeninhalt des Transversalen-Schnittdreiecks A1B1C1 mit den drei
Seiten-Teilungsverhältnisssen x = a1 : a2, y = b1 : b2 und z = c1 : c2 ist2
A(Innnenschnitt∆) = [xyz+1/(xyz)-2] / [ (1+1/x+y)(1+1/y+z)(1+1/z+x) ]
oder
A(∆A1B1C1) = A (a1b1 c1 – a2 b2 c2)²
/{( a1b1 + a2b2 + a1b2) (b1c1+ b2c2 + b1c2)(a1c1 + a2c2 + c1a2)}
1
4R = abc / AAbC
2
Näheres dazu in Peter BAPTIST, Die Entwicklung der neueren Dreiecksgeo., BI 1992
www.Udo-Rehle.de
9
08.04.2017
Wenn nun das Dreieck ∆A1B1C1 zu einem Punkt schrumpf, dann haben wir
mit xzy = 1 /( xyz)3 den Satz von Ceva,
bzw. der Zähler verschwindet, was heißt, dass a1 b1 c1 = a2 b2 c2
also xzy = a1 b1 c1 / a2 b2 c2 = 1 sein muss!
Abb.6a: Die drei Ecktransversalen schneiden sich fast  in einem Punkt
A(∆TaTbTc) = (ATc BTa CTb + BTc CTa ATb)/(4RABC)
= 7,55424x7,05847x6,50026 + 6,44576x5.94153x8,49974/(½65) =
= (346,60281+325,52029x2/65) = 20,68071
Das stimmt ja mal so was von überein, wie man sich das wünscht!
3
Nur die EINHEIT ist mit ihrem Kehrwert identisch!
www.Udo-Rehle.de
10
08.04.2017
Abb.6b: Das Schnittgebilde ist kein Schnittpunkt, sondern
ein zum Ausgangsdreieck ABC ähnliches Dreieck
Die Länge der Seite SU sei zu berechnen:
|B1C1| = (a1b1c1 – a2 b2 c2) b |BTb| /{( b1c1 + bc2)(ba1 + a2b2)}
Die Seiten werden ebenfalls Null, wenn sich die Transversalen in
einem Punkt schneiden und `Ceva´ gilt:
a1b1c1 = a2 b2 c2
Beispiel Abb.6, 7 und 8:
Seitenlänge B1C1 = SU =
= (346,60281-325,52029)x15x11.20044/
[(7,55424x6,50026+6,44576x15)x(7,05847x15 + 5.94153x8,49974)]
= 3542,0025/(145,7909241x156,3785102) ≈ 0,155360
www.Udo-Rehle.de
11
08.04.2017
Abb.7: Das Ankreisdreieck des rechtw. Dreiecks 6, 8 und 10
(das übrigens genau den fünffachen Flächeninhalt hat)
mit drei sich in einem Punkt schneidenden Transversalen
a1:a2 =(c sin α1 ): (b sin α2)
a2 : a1=16,47629 : 1,41225 : = 11,66666879
(b sin α2) : (c sin α1 ) = 18,97367 sin57,8477 : 14,14213 sin5,58724
= 11.6666814
Nach dem Sinussatz verhalten sich zwei Winkel wie ihre Gegenseiten.
Es ist
a1:a2 =(c sin α1 ): (b sin α2)
Beispiel Abb.7.:
a2 : a1=16,47629 : 1,41225 : = 11,66666879
(b sin α2) : (c sin α1 ) = 18,97367 sin57,8477 : 14,14213 sin5,58724
= 11.6666814
Man kann zeigen, dass das CEVA-Teilverhältnissprodukt mit
www.Udo-Rehle.de
12
08.04.2017
(sin α1 : sin α2) (sin β1 : sin β2) (sin γ1 : sin γ2) = 1
äquivalent ist!
Klar, dass kopunktale4 isogonal Konjugierte sich wieder in einem Punkt
schneiden müssen, da die Winkel an der Winkelhalbierenden
gespiegelt werden, so dass die Sinenverhältnisse kehrwertig
sind!
Beispiel der Abb. 7:
sin α1 : sin α2 = 3,95284622
sin β1 : sin β2= 0,1149977065
sin γ1 : sin γ2 = 2,199887
Sinen-Produkt = 0.999987825
und die Teilverhältnisse sind 9.89949 : 4,24264 = 2,333332548
15,81139:3,16228 ≈ 5
1,41225 : 16,47629 = 0,08571407762
Verhältnisprodukt = 0,9999972357
Nehmen wir als Gegenbeispiel die Abb.6a oder 8 und schauen,
wie gut der `Sinus-CEVA´erfüllt ist :
Hier werden alle Winkel in 30°-Winkel zu den Seiten hin geteilt!
(sin 30:sin 23,1301) ( sin 30 : sin 37,38014) ( sin 29,48976 : sin 30) =
= 0,7607
Und egal, wie herum sie auch die Sinen drehen mögen, es kommt stets
eine deutliche Abweichung von der 1 heraus!
4
= sich in P schneidende
www.Udo-Rehle.de
13
08.04.2017
Abb.8: Hat das Transversalendreieck
denselben Winkel (hier mit 30°) zu den Seiten,
dann ist es dem Ausgangsdreieck ähnlich.
Sein Flächeninhalt ist hier etwa
ein Drittel des Ausgangsdreiecks;
der Streckungsfaktor k also 1/√3
Abb.9a: Liegen die Ecken eines ähnlichen Dreiecks auf den Seiten
(d.h. die Winkel zu den Seiten sind gleich), dann haben sie einen
gemeinsamen Brocardpunkt ( folgende Abbildungen)!
www.Udo-Rehle.de
14
08.04.2017
Abb.9b: Die drei ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke haben
eine gemeinsamen Brocard-Punkt B: Ecktransversalen durch B1 und
B2 bilden stets den einen gleichen Winkel ω zu den Seiten
Abb.9c: Verlängert man die Brocardtransversalen bis zum Umkreis, dann
entstehen zwei mit dem Ausgangsdreieck kongruente Dreiecke
www.Udo-Rehle.de
15
08.04.2017
Abb.9d: Das Fußpunktdreieck des Brocardpunktes
ist dem Ausgangsdreieck ABC ähnlich!
Abb.9e: Die beiden Brocardpunkte B1 und B2 und das Umkreizentrum Mu
liegen auf dem Brocardkreis. Die Mittelsenkrechte –genannt BrocardAchse - von B1B2 schneidet diesen im Lemoinepunkt. Das zweite
Brocard-Dreieck ist rechtwinklig und seine Hypotenusenmitte ist
Zentrum des Brocard- und des Lemoine-Kreises!
www.Udo-Rehle.de
16
08.04.2017
Abb.10:Konzentrische Kreise von Brocard und Lemoine.
Beim rechtwinligen Dreieck ist der Lemoinepunkt die Mitte der Höhe.
Die Seitenparallelen durch den Lemoinepunkt schneiden die Seiten
in sechs Punkten Der Lemoinekreis ist Umkreis dieses Sechsecks aus
den drei gleichlangen Antiparallelen P1P2, P3P4 und P5P6.
P1P2P5P6 bildet ein Rechteck,
dessen Diagonale die Hypotenuse des 2. Brocard-Dreiecks ist.
Bilden die Ecktransversalen zu den Dreiecksseiten die gleichen
Winkel, dann treffen sie sich i.a. nicht in einem Punkt (in Abb.8a sind es
30°!) Das Schnitt–Dreieck ist aber ähnlich zum Ausgangsdreieck.
Außer für den Winkel von 90° (Höhen) und für den sog. Brocard-Winkel
www.Udo-Rehle.de
17
08.04.2017
Omega=ω5, bei denen schneiden sie sich nämlich genau in einem Punkt
schneiden. Lezterer wird BROCARD-Punkt6 B bezeichnent. Er ist Schnitt
der je drei Beikreise durch je zwei Ecken (hellblau und pink), die dabei
jeweils noch eine Dreieckseite tangieren (2 Möglichkeiten).
Sie bilden zwei gleich große Cevadreiecke (Abb. 11a).
cot ω = Σ cot αi =cot α + cot β + cot γ = ( a² + b² + c²) / (4A)
= u/(4r) – (4R+r)/u
Die Cotangens-Summen-Formel kann man nicht für rechtwinklige
anwenden, da ja cot 90°=∞ !
Für rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenuse c gilt:
sin ω = ab/√ {(c²+a²)b²+ a²c²}
= 2A/(√Σ ai²ak²
(i ≠ k)) 7
Für Beweise verweise ich auf´s Internet oder auf
>>Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks<< von E. Donath,
DVW1976.
Beispiel: Standard-Dreieck 13, 14 und 15
cot ω = Σ ai²/(4x84)= 147,5/84 = 1,755952381
ω = 29,6611462°
sin Omega = ur/√ {(½u)4 + r²(4R+r)²-½ru²(4R - r)}
insbesondere für rechtwinklige Dreiecke
ω = sin-1 ab/√[ (c²+a²)(c²-a²)+ a²c²]
Standart-Beispiel 3,4 und 5 :
sin ω = 12/√(64 + 11² - ½12²x9) = 12/√769 = 0,432731
bzw. 3x4/{√(25+9)(25-9)+ 15x9}= 12/√769
ω = 25,64100582°
5
6
7
Er ist immer ≤ 30°
 http://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html
Σ ai²ak² = (½u)4 - ½u²(4rR - r²) + (4rR+r²)² +
Standard-Beispiel:
i≠k
a ²a ² = 115 249 214 – (42²:2)x(130-16) –(130+16)² =
i≠k i k
115 249
sin ω wird damit 0.4948695123 und Omega =29,6611462°
sin ω = 2A/(√Σ ai² ak² (i ≠ k)) = 168/Wurz115 249= 0,49486952123
www.Udo-Rehle.de
Σ
18
08.04.2017
Abb.11a: Die beiden Brocard-Punkte B1 und B2
Man kann die ω-Winkel im oder gegen den Uhrzeigersinn anlegen!
Die Ecktransversalen durch den ersten Brocardpunkt B1
schneiden die Seiten in drei Punkten, die ein
zum Ausgangsdreieck ABC ähnliches Dreieck bilden.
Abb.11b: Das Fußdreieck des ersten Brocardpunktes B1 ist zum
Ausgangsdreieck ähnlich (k = 99/200; k²mal 84=20,58)
www.Udo-Rehle.de
19
08.04.2017
Abb.11c: Die Verlängerungen der ersten Brocard-Transversalen B1
schneiden sich mit dem Umkreis in jeweils drei Punkten, die zum
Ausgangsdreieck konkurent (identisch) sind.
Die Verlängerungen des zweiten Borcardpunktes
bis zum Umkreis bilden ein Dreieck derselben Fläche 84.
www.Udo-Rehle.de
20
08.04.2017
Abb.11d: Die Mittelsenkrechte der beiden Brocard-Punkte B1 B2
heißt Brocard–Achse. Sie ist nicht die Euler-Gerade, denn sie geht nicht
durch den Schwerpunkt S, sondern durch den aus dem Umkreiszentrum
Mu und Lemoinepunkt gebildeten Durchmesser des Brocardkreises,
der natürlich durch die beiden Brocardpunkte B1 und B2 geht.
Abb.12a: Der Brocard-KREIS und Lemoine-Kreis sind konzentrisch!
Die Parallelen zu den Seiten durch den Lemoinepunkt schneiden
www.Udo-Rehle.de
21
08.04.2017
die Dreiecksseiten in einem Tucker-SECHSECK,
durch die der Lemoinekreis verläuft.
Drei Diagonalen im Sechseck
(pinkt gestrichelt) sind gleich lang
und antiparallel zu den Seiten.
Das zweite Brocard-Dreieck ist durch die drei-Verbindungen des
Lemoinepunktes (Symmedianpunkt) mit den Ecken A, Bund C, die sich
jeweils im Brocardkreis schneiden, definiert.
Der Durchmesser des BROCARD-Kreises
MuL = R√(1-4 sin² ω)/COS ω
Der Radius des (ersten) Lemoine-Kreises
r
Lemoinekreis
= ½R /cos ω
Das sog. 2. Brocard-Dreieck8 hat den Flächeninhalt
A2.Brocard∆ = A (Σ ai²)( Σ ai4 - Σ ai ak²
(i ≠ k)
)
/{(2a²+2b²-c²)(2a²+2c²-b²)(2c²+2b²-a²)}
A
Lemoine-Sechseck
=
A ( Σ ai4 + Σ ai² ak²
(i ≠ k)
) / (Σ ai²)².
MAN KANN ALLE GRÖSSEN AUCH nur IN DEN RADIEN UND UMFANG AUSDRÜCKEN zB.
A
Lemoine-Sechseck
=½ur{ (3/16)u4 +
/
Beispiel Abb.12a:
{¼u4
3r²(4R+ r)² - 6u²rR -2,5u²r²
+ 4r²(4R+r)² - 2ru²(4R+r) }
ω = 29,6611462°
√(1-4 sin² ω)= 0,142886889
65/8√(1-4 sin² ω)/ cos 29,6611462° = 1,3360168024 OK
MuLemoinePunkt = 2rBrocard = 1.336018024264864
Das erste Brocard-Dreieck entsteht aus den Schnitten der Brocard-punkt-Verbindungen
mit den Ecken des Dreiecks ABC, die auf dem Brocardkreis liegen.
8
www.Udo-Rehle.de
22
08.04.2017
Lemoine-Kreisradius
r
A
Lemoine-Sechseck
Lemoinekreis
= 65 /(16cos 29,6611462° ) = 4,675089623
rLemoine= 4,675089623373004≈4,68
A ( Σ ai + Σ ai² ak² (i ≠ k) ) / (Σ ai²)²
4
=
Σ ai4 =117 602
Σai²ak² = 115 249
117 602 + 115 249 = 232 851
Σ ai² = 590
232 851/590²=0,6689198506 mal 84 ist 56,18926745
A
Lemoine-Sechseck
= 56,18926745
=A{ 3/16 u4 + 3r²(4R+ r)² - 6u²rR -2,5u²r²}/{¼u4 + 4r²(4R+r)² - 2ru²(4R+r) }
Σai4 = ⅛u4
Σ
a ²a ² =
i≠k i k
+2r²(4R+r)² -ru²(4R+3r)=388 962 + 42 632 -313 992 = 117 602
(½u)4 + r²(4R+r)²-½ru²(4R - r) =194 481+ 21316-100548=115 249
[Σai²]² = ¼u4 + 4r²(4R+r)² - 2ru²(4R+r)=777 924 + 85 264 -515 100 = 590²
A
Lemoine-Sechseck
=
84x(117 602 +115 249) / 348100 = 56,18926745
Das 2. Brocard-Dreieck
A2.Brocard∆ = A (Σ ai²)( Σ ai4 - Σ ai ak²
(i ≠ k)
)
/{(2a²+2b²-c²)(2a²+2c²-b²)(2c²+2b²-a²)}
Σ ai4 - Σ ai ak²
=
117 602 - 115 249 = 2 353
mal Σ ai² = 590 wird 1 388 270
geteilt durch
505x 592 x 673 = 201 200 080
13²+14²=365 mal 2 = 730
minus 15² ergibt 505
13²+15²= 394 mal 2 = 788
minus 14² ergibt 592
14²+15²= 421 mal 2 = 842
minus 13² ergibt 673
84/144.93= 0,7595955946
- Abb.11d:
www.Udo-Rehle.de
23
A2.Brocard∆ ≈ 0,5792605089
08.04.2017
Abb.12b:
Brocardkreis und Lemoinekreis beim stumpfwinkligen
Der Brocardwinkel ist hier deutlich kleiner als 30º, nämlich ω=17,1º.
Das Lemoinesecheck hat beim nicht-spitzen Dreieck nur noch zwei
gleichlange Antiparallelen
Abb.13a: Die Sechsecksdiagonalen durch den Lemoinepunkt L sind gleich
und die Transversalen durch L halbieren die drei gleichlangen
antiparallelen Sechseckseiten
www.Udo-Rehle.de
24
08.04.2017
Abb.13b: Der Lemoinekreis teilt die Seiten in Abschnitte,
die sich wie die Quadrate der Seiten verhalten a²:b²:c².
Die vom Lemoinkreis herausgeschnittenen Sehnen verhalten sich
wie die Kuben der Dreieckseiten a³:b³:c³!
Der Lemoinepunkt hat noch einige weitere Eigenschaften.
Beipielsweise ist seine Abstandsquadratsumme zu den Seiten minimal,
was L´Huillier 1809 schon bewies. Auch der Lemoinekreis hat noch
weitere erstaunlich Eigenschaften: Er teilt die Seiten in Abschnitte, die
sich wie die Quadrate der Seiten verhalten. Und die von ihm
herausgeschnittenen Sehnen verhalten sich wie die Kuben der
Dreieckseiten!
Beisp. Abb.13b:
CL2 : L2L3= 1,22921059
a² . b² = 1,22921059
L2L3 : AL3 = 0,7448535632
und b²: c² = 0,7748535628
b³ : a³ = 0,362822951 die dritte Wurzel ist 1,108697699
und das ist gleich L1L5 : L1L3 = 1,1086977
L1L3 : L3L5= 0,9568604328 hoch 3 mal c³
und daraus die dritte Wurzel 2,24482187 = a
www.Udo-Rehle.de
25
08.04.2017
Kommen wir nun zu noch zwei schönen Sätzen, die aber auch nicht in
der Schule gelehrt werden:
Abb.14: Das Teilverhältnis durch das Mi die Winkelhalbierenden teilt,
ist die Summe der Teilverhältnisse der auf den beiden benachbarten
Seiten durch deren Teilpunkte
Der Satz von AUBEL
Die Ecktransversale wird in einem Verhältnis geteilt, das die Summe der
Teilverhältnisse der anliegenden Seiten ist!
CMi : MiT =
CTa : TaA +
CTb : TbB
Dies gilt natürlich nicht nur für die Winkelhalbierenden und Mi sondern für
jeden
Ecktransversalen-Schnittpunkt
P!
Bei
den
Seitenhalbierenden
erinnert man sich, dass sie sich im Verhältnis 2 zu 1 schneiden!
1:1+1.:1 = 2:1
Beispiel Abb.14:
www.Udo-Rehle.de
26
08.04.2017
3/5 +4/5 = 7/5
4/3 + 5/3 = 3 oberer Eckabschnitt ist 3 mal länger
3/4 + 5/4 = 2
oberer Eckabschnitt ist doppelt so lang
Die Summe der Quotienten der Verhältnisse, wie sich die oberen
Abschnitte sich zu gesamten Ecktransversalenlängen verhalten, ist
immer genau 2.
CMi : CT +
AMi : ATa +
BMi : BTb = 2
Man denke wieder an die Seitenhalbierenden, wo alle Verhältnisse zweiDrittel sind:
Beispiel Abb.14:
2/3+2/3+2/3 = 2
7/(5+7) + 3/( 3+1) +2/(2+1) = 7/12+3/4+2/3 = 2
Auch dies gilt natürlich nicht nur für die Winkelhalbierenden und Mi
sondern für alle Ecktransversalen und ihr Schnittpunkt P.
www.Udo-Rehle.de
27
08.04.2017
Ein weiterer Satz von CARNOT soll zitiert werden:
Fällt man von einem inneren Punkt P die drei Lote auf die Seiten,
mit den Fußpunkten X Y und Z, dann gilt für die Seitenabschnitte
AX²+ BY+CZ² = XB²+YC²+ZA² -(Abb.15ff)
Bei den Mittelsenkrechten leuchtet das unmittelbar ein!
Abb.15a: CARNOT´s zweiter Satz
www.Udo-Rehle.de
28
08.04.2017
Abb.15b: Mit GEOGEBRA kann man den Punkt P bewegen: Wenn der
Punkt P zur Ecke C wird wandern auch Y und Z nach C, und zwei
Quadrate tendieren gegen NULL (hier Q3=0,04431 und Q2=0,00259)!
Abb.16:
Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck
und bewegen P zur Höhen-Ecke C,
dann gilt a²+q² =b²+p²
b²-a²=q²-p²=(p+q)(p-q)=c(p-q)
b²-a²=400-225= 175
q²-p²=256-81=175
p≈9, q≈16, c≈25 und c(p-q)=25(16-9)=175
Die Differenz der Kathetenquadrate ist die mit der Hpyotenuse
multiplizierte Hypotenusenabschnittsdifferenz!
Das gilt aber nicht nur für rechtwinklige Dreiecke!
b²-a²= c(p-q) 15²-13²=14(9-5) (Abb. 24)
www.Udo-Rehle.de
29
08.04.2017
Abb.17:Wir können die Seitenteilpunkte auch auf den Lotrechten bewegen
www.Udo-Rehle.de
30
08.04.2017
Abb.18: Hatten wir zuvor besondere Sechsecke, so können wir auch an
besonderen Vierecke den Satz von CARNOT anwenden:
Wenn wir einen Höhenfußpunkt als Teilpunkt nehmen und ihn noch weiter
außerhalb des Dreiecks senkrecht solange bewegen bis die Teilpunkt zu
den Ecken werden, so dass ein Viereck mit sich senkrecht schneidenden
Geraden entsteht (hier steht EB normal auf AC steht), dann wird
die Quadratsummen der beiden Gegenseiten gleich!
Das gilt für alle Vierecke mit sich rechtwinklig schneidenden
Diagonalen (Brahmagupta-Vierecke)
www.Udo-Rehle.de
31
08.04.2017
Abb. 19: Der Carnot-Satz gilt sogar noch für Punkte P,
die außerhalb des Dreiecks liegen!
(P ist über das Dreieck hinaus beweglich!)
Abb.20: 15 Stellen Genauigkeit!
www.Udo-Rehle.de
32
08.04.2017
Abb.21: CARNOT mit fünf Quadraten:
AX²+CZ² = XB²+YC²+ZA²
Wir können auch einen Teilpunkt so zur Ecke werden lassen,
dass nur ein Teilverhältnis verschwindet (gegen Null geht),
so dass ein Quadrat die Fläche Null bekommt
und verschwindet (hier Fläche Q2 = 0,00488),
( den inneren Punkt)
Rote und blaue Quadrate haben beide die Summe ≈207,5
www.Udo-Rehle.de
33
08.04.2017
Abb.22: P liegt weit außerhalb
und der Satz von Carnot gilt noch immer,
auch wenn sich die Quadrate überschneiden!
Abb.23: Für die Höhen gilt „CARNOT1+2“ (Σ H zu Ecken=2R+2r)
AHc²+BHa²+CHb²= 9²+5,385…²+6,6²= 153,5540828
BHc²+CHa²+ AHb² = 5²+7,615…²+8,4² = 153,5540828
Ceva: AHc BHa CHb = BHc CHa AHb = 319,8461538…
www.Udo-Rehle.de
34
08.04.2017
Für die Entfernungssumme von Höhenschnittpunkt H zu den Seiten
gilt, Σ AiH = 2(r+R), wie wir schon nach einem anderen Satz von Carnot
wissen und diese ist die mit dem Umkreisdurchmesser multiplizierte
Kosinensumme9
(- Kapitel3 Abb.13)!
AH+BH+CH = 2(r+R)
= 2R
Σ cos αi
Im Beispiel Abb.23 ist das Σ AiH = 2(4+81/8) = 24¼
ha |AH|=126
=
bc cos α = 126
hb |BH| = 70
=
ac cos β = 70
hc |CH|= 12x 8,25=99 = 14x15cos 59,49°= ab cos γ =99
Tatsächlich ist AH = 2R cos α, BH = 2R cos β
und CH = 2R cosγ,
wie wir am Ende dieser Datei noch sehen werden!
Für rechtwinklige mit der Hypotenuse c folgt HC=0 d.h. H=C,
HA = b und HB= a.
Die Höhen berechnen sich bekanntlich zu hk= al am/(2R) und damit ist mit
HHk = = alam/(2R) - 2Rcos αk
(k≠l≠m)
die Abstandssumme von H zu den Seiten so berechenbar:
= ha+hb+hc - 2(r+R)
Σ HHi = Σ hi - Σ AiH
Es ist also ratsam, die Höhensumme Σ hi = ha+hb +hc des Dreiecks zu
berechnen! Dazu berechnen wir erstmals die Höhen selbst:
9
Übrigens ist Σ AiH = 2R{1 +4 xyz/(abc) } = 2R(1 + 4 sin ½αi )
r = xyz/A = 4R xyz/(abc)
Σ cos αi= 1+4 ∏ sin ½αi
www.Udo-Rehle.de
weil
zB. Standard 13,14 und 15 r=6x5x8/84=4
bzw.
∏ sin ½αi
35
= xyz/(abc)=Ar/(4AR)
08.04.2017
Die Höhe ha durch A steht senkrecht auf a
ha = r(a+b+c)/a = r + r(b+c)/a
ist also um r(b+c)/a länger als der Inkreisradius r10!
Beispiel: a=13, b=14 und c=15
ha =
2A/a=2x84/13= 12
12/13
und auch11
ha = bc/(2R) =15x14/(65/4)=12x14/13 = 12,9230769231=1212/13…
4(14+15)/13=116/13=812/13
Abb. 24: Höhen sind Mittelsenkrechten des Antimittendreiecks
Dessen Höhen sind hier grün!
hb = 2A/b= 2x84/15= 11,2=4 + 4(13+14)/15 = 4+4x1,8= 4+7,2
hc = 2A/c = 2x84/14 = 12
10
11
hc = ab/(2R)=13x15x4/65 = 12
ha = 2A/a= ru/a= r(a+b+c)/a = ra/a+r(b+c)/a = r + r(b+c)/a
daraus ergibt sich abc=4AR
www.Udo-Rehle.de
36
08.04.2017
Probe:
ha : hb : hc = 1/a : 1/b :1/c
1212/13 : 11,2 =1,153846154 =
15:13
11,2 : 12 = 0.9333 und 1/15 :1/14= 14/15…= 0.9333.
Die Summe der Höhen ist
Σ hi =2A (1/a+1/b+1/c) = 2r + (⅛u²+½r²)/R
= 2r + u²/(8R) + r²/(2R)
Beispiel: 1/13+1/14+1/15 = 0,215018315 mal 168 ergibt 36,12307692
Σ hi = 12 12/13 +12+ 11,2
2r=8
= 36,12307692
½r²/R=64/65 und ⅛u²/R= 27,123846154
2x4+ 42²/65 +64/65 = 36,12307692
Die Summe der reziproken Seitenlängen ist
1/a+1/b+1/c = Σai-1= ⅛u/(rR) + 2/u + r/(2uR)
denn das Produkt der Seiten ist ∏a i= 4AR=2urR und
Σ 1/ai = Σ ai ak ( i≠k) /∏ai= (¼u²+4rR+r²)/(2urR)12
12
ab+ac+bc = Σ
a a = ¼u²+4rR+r²
i≠k i k
=
1,5 Σai² - 2 Σxi² = ½ Σai² + 8rR+2r²=
=
rra + rrb
++
rrc
+
rarb
+
rarc
+
rcrb
Denn
u² = Summe Seitenquadrate + 2 mal Summe Seitenprodukte
u² = ½u²-8rR-2r² + 2(¼u²+4rR+r²)
www.Udo-Rehle.de
37
08.04.2017
Damit ist
Σ HHi = ⅛u²/R + ½r²/R
-2R
Beispiel ⅛u²/R= 27,123846154 ½r²/R=64/65 z subtrahieren 2R=65/4
= 11,87307692
Das Produkt der Höhen Π hi ist
ha hb hc = (ab BHa CHb + bc AHc CHb + ac AHc BHa ) /(2R)
= 2A²/R
oder
A =½√(2Rhahbhc)
Beispiel Abb. 24:
12 x 11,2 x (12
12/13
) = 1736,861538
13x15x5,385x6,6 + 15x14x9x6,6 + 14x13x9x5,385= 1736,93
2A²/R = 84²x16/65 = 1736,861538
www.Udo-Rehle.de
38
08.04.2017
Für die Höhe hc von der Ecke C zur Seite c gilt auch
hc = b sin α = 2R sinα sin β
da sin β =b/(2R)
:
Die Höhensumme ist Σ hi = 2R Σ sinαi sinαk (i≠k)
hc = ab/(2R)
liefert Σ ai ak(i≠k) /(2R),
also ist Σ ai ak = 4R² Σ sinαi sinαk(i≠k)
oder
Σ sinαi sinαk
(i≠k)
= (¼u/R)²+ r/R +(½r/R)²
Der Höhenabschnitt HHa = 2R cos γ cos β
AHb= 2R cos α cos γ
HHc = 2R cos α cos β
___________________
Σ HHi = 2R Σ cos αi cos αk
(i≠k)
(beachte bei der Summierung immer nur über i ≠ k)
d.h.
Σ cos αi cos αk = (¼u/R)² + (½r/R)²
Beispiel Abb.24 für HHa
-1
cosβ cosγ = 0.1952662722
HHa =3,173076924
mal 65 durch 4 ist
cos α cos β = 0,23077
mal 65 =15,00012 geteilt durch4 HHc ≈ 3,75
cos α ≈0,6
cos α cosγ = 0,3046180913
mal 65/4 ist HHb =4,95
_________________________________________________________
Summe
cos αi cos αk =0,730065
(u/4R)² + (r/2R)² -1 = 1,292307692²+ (16/65)² -1
www.Udo-Rehle.de
39
= 0 ,7306508876..
08.04.2017
Weil
hahb+hahc+hbhc = (1/ha 1/hb 1/hc ) / (1/ha+1/hb +1/hc ) ist, und
der Dreiecksumfang u = √ [ ∏ hi ∑ hi
-1
∑ sin αi / ∏ sin αi] =
= √ [(hahb+hahc+hbhc) (sin α + sin β +sin γ)/ (sin α sin β sin γ)],
Σ sin αi = u/ (2R) geteilt durch  sin αi = ur / (2R)²
mit Σ1/hi =1/r und Π hi= 2A²/R folgt
Σhihk
(i≠k)
= A²/(2rR) =½(ru²)/R
Beisp.: a=13, b=14 und c=15
Σ1/hi = 1/(12 12/13) +1/12+1/11,2 = 0,25 =1/r
Π hi = 12
12/13
*12* 11,2
(12+11,2)x12
12/13
= 1736,861538…= 42²/(2*65/8)
= 2A²/R
+ 12 x 11,2 = 434,2153846
(84²: 65)x4= 434,215…
Das Produkt der Höhenabschnitte ist konstant:
AH |HHa| = BH |HHb| = CH |HHc| = 4R² cos αi= ¼[u² - 4(r+2R)²]
Standard_Beispiel ( Abb. 24):
4,95x6,25 =30,9375
8,25x3,75 = 30,9375
( = 495/169)
≈3.173 x 9,75= 30.93675
1.)
2.)
 cos αi = 0,1171597633
mal 65²/16
(r+2R)² =4+65/4=20,25 quadriert 410,0625
4mal20,25²= 1640,25 und [u² - 4(r+2R)²] =42²-1640,25
= 123,75
123,75 geteilt durch 4= 30.93675 ( = 495/169)
Merke:
 cos αi =[u² - 4(r+2R)²] / (4R)² (übrigens Σ cos² αi=1-2  cos αi )
www.Udo-Rehle.de
40
08.04.2017
Zum Schluss noch der halbe Summe der Seitenquadrate= ½Σai²
ha |AH| + hb |BH| + hc |CH|= ab cos γ + bc cos α + ac cos β
=½(a²+b²+c²)
= ur Σcot αi
= R Σ(ai sin αi)
= 2R² Σsin αi²
= 4R² Σ (cot αi)] / [Σ (cot αi)-∏ cot αi]
Man stellt fest dass
ha = 12
12/13
|AH|= 9,75 also
ha |AH|=126
Könnte das nicht bc cos α sein?
d. h.
ab cos γ = 13x15 cos γ = hc |CH|=12x 8,25= 99
cos γ = hc |CH|/(ab) = ab|CH|/(2Rab) = CH/(2R)
ha |AH|=126
=
bc cos α = 126
hb |BH| = 70
=
ac cos β = 70
hc |CH|= 12x 8,25= 99
=
ab cos γ =99
2R = 16,25=65:4
cos α = HA / (2R) = 9,75 / 16,25 = 0,6
 α = 53,13010235
cos β = HB / (2R) = 6,25:16,25=0,384615… β = 67,38013505..
cos γ = HA /(2R) = 8,25:16,25=0,50769.. γ 59,48976259
www.Udo-Rehle.de
41
08.04.2017