Aufgabe 1 - Hu
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Aufgabe 1: 1. Bestimme die Länge der Strecke x. 2. Welches Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler beim Lösen dieser Aufgabe? 3. Welche Anlässe zum Erkunden von Zusammenhängen gibt es für die Schülerinnen und Schüler? Welche Begründungen können die Schülerinnen und Schüler finden? 4. Welche Kompetenzen werden durch das Finden der Lösung gefördert? Unser Lösungsvorschlag: 1. Gegeben: a + b + c= 22 cm, x = ? Lösungsweg: a= b → 2a + c = 22; x = c; a- 2= x; 2a + x = 22; 2a + a- 2 = 22 → 3a- 2 = 22 → 3a = 24 → a= 8; x = a- 2 = 6 2. Berechnung von Dreiecken, Wissen, dass bei gleichschenkligen Dreiecken 2 Schenkel gleich lang sind, Radius im Kreis bleibt unverändert 3. Die Schülerinnen und Schüler erkennen die Zusammenhänge zwischen Längen im Dreieck. Sie erkennen den Zusammenhang der zwei gleich langen Schenkel im gleichschenkligen Dreieck und dass der Radius der Kreisbögen die Länge der Seite x darstellt. Begründungen für ihr Vorgehen: Zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang, deshalb kann man a gleich b setzen. Die Gleichung a + b + c = 22 cm kann man nun angeben mit: 2a + c = 22 cm. Man zeichnet einen Kreisbogen auf die Seite b um den Punkt A mit der Länge der Seite x = c als Radius. Es ist angegeben, dass der Abstand des Schnittpunkts des Kreisbogens mit der Seite b vom Punkt C 2 cm lang ist. Nun weiß man, dass die Seite x = b - 2cm lang sein muss. Aber da a = b ist x = a- 2cm. Dies setzt man nun in die Gleichung 2 a + c = 22 cm. Also 2a + a- 2cm = 22 cm und formt die Gleichung um, so dass für a= 8 cm und als Lösung x = a – 2cm = 6 cm herauskommt. 4. Prozessbezogene Kompetenzen: Durch das Lösen dieser Aufgabe wird bei Schüler und Schülerinnen, für die diese Aufgabe eine Barriere enthält, welche nicht durch Abrufen einer gespeicherten Routine, sondern erst durch den Einsatz von heuristischen Strategien gelöst werden kann, die Problemlösekompetenz gefördert. Außerdem kommunizieren die Schüler miteinander, indem sie gemeinsam versuchen einen Lösungsweg für diese Aufgabe aufzustellen. Sie entwickeln einen Lösungsweg und begründen diesen, indem sie entsprechende Argumente verwenden und ihn im Klassengespräch vorstellen und eventuell verteidigen. Sie bestimmen eine unbekannte Größe, indem sie ihr Wissen zur Berechnung von Größen bzw. Längen im gleichschenkligen Dreieck anwenden. Sie gehen ordnungsgemäß mit Lineal und Zirkel bei der Konstruktion des Dreiecks vor, dadurch werden ihre feinmotorischen Fähigkeiten gefördert. Die Schüler sind selbsttätig und müssen Verantwortung für ihren Lernprozess übernehmen. Dadurch wird ihre Handlungskompetenz gefördert. Aufgabe 2: 1. Bestimme die Größe des Winkels δ. 2. Welches Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler beim Lösen dieser Aufgabe? 3. Welche Anlässe zum Erkunden von Zusammenhängen gibt es für die Schülerinnen und Schüler? Welche Begründungen können die Schülerinnen und Schüler finden? 4. Welche Kompetenzen werden durch das Finden der Lösung gefördert? Unser Lösungsvorschlag: 1. Gegeben: γ = 23°; Lösungsweg: 180° - 23° - 90° = 67°; α = β; 2α + 23° = 180° → 2α = 157° → α = 78, 5°; α = 78, 5° - 67° = 11, 5° 2. Innenwinkelsumme im Dreieck, Berechnungen im Dreieck, rechter Winkel, Radius eines Kreises bleibt unverändert, Wissen, dass gleichschenklige Dreiecke zwei gleich große Winkel haben 3. Die Schüler und Schülerinnen stellen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und der Innenwinkelsumme im Dreieck her. Sie finden heraus, dass ein Schenkel des Dreiecks der Radius des Kreisbogens ist. Sie benutzen ihr Wissen über die Größe des rechten Winkels und über die Winkelgrößen in einem gleichschenkligen Dreieck zur Berechnung der fehlenden Winkelgrößen. Begründung für ihr Vorgehen: Das Lot auf die Seite b bildet einen rechten Winkel. Damit ist der Winkel β¹ =180° -23° - 90° = 67°. Das Dreieck ABC ist gleichschenkling. Also ist α = β. Wir wissen γ = 23°. Also ist 2α = 180°- 23° = 157° → α = 78, 5° und um nun den Winkel δ zu erhalten rechnet man unter Berücksichtigung, dass β = α, δ = α - β¹ = 78,5° - 67° = 11, 5°. 4. Prozessbezogene Kompetenzen: Durch das Lösen dieser Aufgabe wird bei Schüler und Schülerinnen, für die diese Aufgabe eine Barriere enthält, welche nicht durch Abrufen einer gespeicherten Routine, sondern erst durch den Einsatz von heuristischen Strategien gelöst werden kann, die Problemlösekompetenz gefördert. Außerdem kommunizieren die Schüler miteinander, indem sie gemeinsam versuchen einen Lösungsweg für diese Aufgabe aufzustellen. Sie entwickeln einen Lösungsweg und begründen diesen, indem sie entsprechende Argumente verwenden und ihn im Klassengespräch vorstellen und eventuell verteidigen. Inhaltlich: Sie bestimmen eine unbekannte Größe, indem sie den Innenwinkelsummensatz benutzen, ihr Wissen über rechte Winkel und über gleichschenklige Dreiecke verwenden. Sie gehen ordnungsgemäß mit Lineal und Zirkel bei der Konstruktion des Dreiecks vor, dadurch werden ihre feinmotorischen Fähigkeiten gefördert. Die Schüler sind selbsttätig und müssen Verantwortung für ihren Lernprozess übernehmen. Dadurch wird ihre Handlungskompetenz gefördert. Aufgabe 3: 1. Bestimme die Größe des Winkels δ. 2. Welches Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler beim Lösen dieser Aufgabe? 3. Welche Anlässe zum Erkunden von Zusammenhängen gibt es für die Schülerinnen und Schüler? Welche Begründungen können die Schülerinnen und Schüler finden? 4. Welche Kompetenzen werden durch das Finden der Lösung gefördert? Unser Lösungsvorschlag: 1. Gegeben: α = 24° 180° = 24° + 2 ∙ α ↔ α = 78° 180° = 2 ∙ β + α ↔ β = 51° 180° = β + δ ↔ δ = 129° 180° = 24° + δ + γ ↔ γ = 27° 2. Innenwinkelsumme im Dreieck, Berechnungen im Dreieck, Nebenwinkel 3. Die Schüler und Schülerinnen stellen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und der Innenwinkelsumme im Dreieck her. Außerdem müssen sie wissen, dass sich Nebenwinkel zu 180° ergänzen. Begründung für ihr Vorgehen: Ich benenne die Ecken und restlichen Winkel sowie alle Schnittpunkte von Strecken. Man betrachtet nun das Dreieck ABC. Die Innenwinkelsumme beträgt 180°, daher kann man den Winkel α berechnen, indem man 180° = 24° + 2 ∙ α nach α umstellt. Also ist α = 78°. Anschließend betrachtet man das Dreieck CEF. Auch hier beträgt die Innenwinkelsumme 180°. Nun stellt man 180° = 2 ∙ β + α nach β um und erhält β = 51°. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°, daher kann man δ berechnen, indem man die Gleichung 180° = β + δ nach δ umstellen. So ergibt sich: δ = 129°. Schließlich betrachtet man das Dreieck ADE. Auch hier beträgt die Summe der Innenwinkel 180°. Mit der Gleichung 180° = 24° + δ + γ, erhält man für γ = 27°. 4. Prozessbezogene Kompetenzen: - Problemlösekompetenz wird gefördert - Die Schüler kommunizieren miteinander - Argumentieren - Inhaltlich: Sie bestimmen eine unbekannte Größe, indem sie den Innenwinkelsummensatz benutzen und ihr Wissen über Nebenwinkel anwenden Sie gehen ordnungsgemäß mit Lineal und Zirkel bei der Konstruktion des Dreiecks vor, dadurch werden ihre feinmotorischen Fähigkeiten gefördert. Die Schüler sind selbsttätig und müssen Verantwortung für ihren Lernprozess übernehmen. Dadurch wird ihre Handlungskompetenz gefördert. Aufgabe 4: 1. Bestimme die Größe der Fläche F. 2. Welches Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler beim Lösen dieser Aufgabe? 3. Welche Anlässe zum Erkunden von Zusammenhängen gibt es für die Schülerinnen und Schüler? Welche Begründungen können die Schülerinnen und Schüler finden? 4. Welche Kompetenzen werden durch das Finden der Lösung gefördert? Unser Lösungsvorschlag: 1. Gegeben: Seite eines Quadrates: e = 38cm, Diagonale eines weiteren Quadrates: d = 40cm A = e² = 1444cm² a² + b² = d² ↔ 2a² = d² ↔ 2a² = 1600cm² ↔ a² = 800cm² 4F = A – a² ↔ F = 161cm² 2. Satz des Pythagoras, Flächenberechnung im Quadrat 3. Die Schüler und Schülerinnen stellen Zusammenhänge zwischen den beiden Quadraten her. Begründung für ihr Vorgehen: Da die Seite des größeren Quadrates gegeben ist, kann man den Flächeninhalt A berechnen. A = e² = 1444cm². Das Viereck innerhalb des größeren Quadrates ist ein Quadrat. Die Diagonale d teilt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. Daher kann ich den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge einer Seite des Quadrates zu berechnen. Somit erhalte ich a² = 800cm². Dieser Wert ist gleichzeitig der Flächeninhalt des Quadrates innerhalb des großen Quadrates. Schließlich kann ich F berechnen, da alle 4 Dreiecke in den Ecken kongruent sind (Kongruenz muss begründet werden). Daher ist 4F = A – a² und damit F = 161cm² 4. Prozessbezogene Kompetenzen: - Problemlösekompetenz wird gefördert - Die Schüler kommunizieren miteinander - Argumentieren Inhaltlich: - Sie bestimmen eine unbekannte Größe, indem der Satz des Pythagoras angewendet wird und der Flächeninhalt eines Quadrates - Sie gehen ordnungsgemäß mit Lineal und Zirkel bei der Konstruktion des Dreiecks vor, dadurch werden ihre feinmotorischen Fähigkeiten gefördert. - Die Schüler sind selbsttätig und müssen Verantwortung für ihren Lernprozess übernehmen. Dadurch wird ihre Handlungskompetenz gefördert.
