Aufgabe 1 - Hu

Aufgabe 1:
1. Bestimme die Länge der Strecke x.
2. Welches Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler beim Lösen dieser
Aufgabe?
3. Welche Anlässe zum Erkunden von Zusammenhängen gibt es für die Schülerinnen
und Schüler? Welche Begründungen können die Schülerinnen und Schüler finden?
4. Welche Kompetenzen werden durch das Finden der Lösung gefördert?
Unser Lösungsvorschlag:
1. Gegeben: a + b + c= 22 cm, x = ? Lösungsweg: a= b → 2a + c = 22; x = c; a- 2= x;
2a + x = 22; 2a + a- 2 = 22 → 3a- 2 = 22 → 3a = 24 → a= 8; x = a- 2 = 6
2. Berechnung von Dreiecken, Wissen, dass bei gleichschenkligen Dreiecken 2 Schenkel
gleich lang sind, Radius im Kreis bleibt unverändert
3. Die Schülerinnen und Schüler erkennen die Zusammenhänge zwischen Längen im
Dreieck. Sie erkennen den Zusammenhang der zwei gleich langen Schenkel im
gleichschenkligen Dreieck und dass der Radius der Kreisbögen die Länge der Seite x
darstellt.
Begründungen für ihr Vorgehen: Zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang, deshalb
kann man a gleich b setzen. Die Gleichung a + b + c = 22 cm kann man nun angeben
mit: 2a + c = 22 cm. Man zeichnet einen Kreisbogen auf die Seite b um den Punkt A
mit der Länge der Seite x = c als Radius. Es ist angegeben, dass der Abstand des
Schnittpunkts des Kreisbogens mit der Seite b vom Punkt C 2 cm lang ist. Nun weiß
man, dass die Seite x = b - 2cm lang sein muss. Aber da a = b ist x = a- 2cm.
Dies setzt man nun in die Gleichung 2 a + c = 22 cm. Also 2a + a- 2cm = 22 cm und
formt die Gleichung um, so dass für a= 8 cm und als Lösung x = a – 2cm = 6 cm
herauskommt.
4. Prozessbezogene Kompetenzen: Durch das Lösen dieser Aufgabe wird bei Schüler
und Schülerinnen, für die diese Aufgabe eine Barriere enthält, welche nicht durch
Abrufen einer gespeicherten Routine, sondern erst durch den Einsatz von heuristischen
Strategien gelöst werden kann, die Problemlösekompetenz gefördert. Außerdem
kommunizieren die Schüler miteinander, indem sie gemeinsam versuchen einen
Lösungsweg für diese Aufgabe aufzustellen. Sie entwickeln einen Lösungsweg und
begründen diesen, indem sie entsprechende Argumente verwenden und ihn im
Klassengespräch vorstellen und eventuell verteidigen.
Sie bestimmen eine unbekannte Größe, indem sie ihr Wissen zur Berechnung von
Größen bzw. Längen im gleichschenkligen Dreieck anwenden.
Sie gehen ordnungsgemäß mit Lineal und Zirkel bei der Konstruktion des Dreiecks
vor, dadurch werden ihre feinmotorischen Fähigkeiten gefördert. Die Schüler sind
selbsttätig und müssen Verantwortung für ihren Lernprozess übernehmen. Dadurch
wird ihre Handlungskompetenz gefördert.
Aufgabe 2:
1. Bestimme die Größe des Winkels δ.
2. Welches Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler beim Lösen dieser
Aufgabe?
3. Welche Anlässe zum Erkunden von Zusammenhängen gibt es für die Schülerinnen
und Schüler? Welche Begründungen können die Schülerinnen und Schüler finden?
4. Welche Kompetenzen werden durch das Finden der Lösung gefördert?
Unser Lösungsvorschlag:
1. Gegeben: γ = 23°; Lösungsweg: 180° - 23° - 90° = 67°; α = β; 2α + 23° = 180° →
2α = 157° → α = 78, 5°; α = 78, 5° - 67° = 11, 5°
2. Innenwinkelsumme im Dreieck, Berechnungen im Dreieck, rechter Winkel, Radius
eines Kreises bleibt unverändert, Wissen, dass gleichschenklige Dreiecke zwei gleich
große Winkel haben
3. Die Schüler und Schülerinnen stellen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und der
Innenwinkelsumme im Dreieck her. Sie finden heraus, dass ein Schenkel des Dreiecks
der Radius des Kreisbogens ist. Sie benutzen ihr Wissen über die Größe des rechten
Winkels und über die Winkelgrößen in einem gleichschenkligen Dreieck zur
Berechnung der fehlenden Winkelgrößen.
Begründung für ihr Vorgehen: Das Lot auf die Seite b bildet einen rechten Winkel.
Damit ist der Winkel β¹ =180° -23° - 90° = 67°. Das Dreieck ABC ist
gleichschenkling. Also ist α = β. Wir wissen γ = 23°. Also ist 2α = 180°- 23° = 157°
→ α = 78, 5° und um nun den Winkel δ zu erhalten rechnet man unter
Berücksichtigung, dass β = α, δ = α - β¹ = 78,5° - 67° = 11, 5°.
4. Prozessbezogene Kompetenzen: Durch das Lösen dieser Aufgabe wird bei Schüler
und Schülerinnen, für die diese Aufgabe eine Barriere enthält, welche nicht durch
Abrufen einer gespeicherten Routine, sondern erst durch den Einsatz von heuristischen
Strategien gelöst werden kann, die Problemlösekompetenz gefördert. Außerdem
kommunizieren die Schüler miteinander, indem sie gemeinsam versuchen einen
Lösungsweg für diese Aufgabe aufzustellen. Sie entwickeln einen Lösungsweg und
begründen diesen, indem sie entsprechende Argumente verwenden und ihn im
Klassengespräch vorstellen und eventuell verteidigen.
Inhaltlich: Sie bestimmen eine unbekannte Größe, indem sie den
Innenwinkelsummensatz benutzen, ihr Wissen über rechte Winkel und über
gleichschenklige Dreiecke verwenden.
Sie gehen ordnungsgemäß mit Lineal und Zirkel bei der Konstruktion des Dreiecks
vor, dadurch werden ihre feinmotorischen Fähigkeiten gefördert. Die Schüler sind
selbsttätig und müssen Verantwortung für ihren Lernprozess übernehmen. Dadurch
wird ihre Handlungskompetenz gefördert.
Aufgabe 3:
1. Bestimme die Größe des Winkels δ.
2. Welches Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler beim Lösen dieser
Aufgabe?
3. Welche Anlässe zum Erkunden von Zusammenhängen gibt es für die Schülerinnen
und Schüler? Welche Begründungen können die Schülerinnen und Schüler finden?
4. Welche Kompetenzen werden durch das Finden der Lösung gefördert?
Unser Lösungsvorschlag:
1. Gegeben: α = 24°
180° = 24° + 2 ∙ α
↔
α = 78°
180° = 2 ∙ β + α
↔
β = 51°
180° = β + δ
↔
δ = 129°
180° = 24° + δ + γ ↔
γ = 27°
2. Innenwinkelsumme im Dreieck, Berechnungen im Dreieck, Nebenwinkel
3. Die Schüler und Schülerinnen stellen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und der
Innenwinkelsumme im Dreieck her. Außerdem müssen sie wissen, dass sich
Nebenwinkel zu 180° ergänzen.
Begründung für ihr Vorgehen: Ich benenne die Ecken und restlichen Winkel sowie
alle Schnittpunkte von Strecken. Man betrachtet nun das Dreieck ABC. Die
Innenwinkelsumme beträgt 180°, daher kann man den Winkel α berechnen, indem
man 180° = 24° + 2 ∙ α nach α umstellt. Also ist α = 78°.
Anschließend betrachtet man das Dreieck CEF. Auch hier beträgt die
Innenwinkelsumme 180°. Nun stellt man 180° = 2 ∙ β + α nach β um und erhält β =
51°. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°, daher kann man δ berechnen, indem man die
Gleichung 180° = β + δ nach δ umstellen. So ergibt sich: δ = 129°.
Schließlich betrachtet man das Dreieck ADE. Auch hier beträgt die Summe der
Innenwinkel 180°. Mit der Gleichung 180° = 24° + δ + γ, erhält man für γ = 27°.
4. Prozessbezogene Kompetenzen:
- Problemlösekompetenz wird gefördert
- Die Schüler kommunizieren miteinander
- Argumentieren
-
Inhaltlich:
Sie bestimmen eine unbekannte Größe, indem sie den Innenwinkelsummensatz
benutzen und ihr Wissen über Nebenwinkel anwenden
Sie gehen ordnungsgemäß mit Lineal und Zirkel bei der Konstruktion des Dreiecks
vor, dadurch werden ihre feinmotorischen Fähigkeiten gefördert.
Die Schüler sind selbsttätig und müssen Verantwortung für ihren Lernprozess
übernehmen. Dadurch wird ihre Handlungskompetenz gefördert.
Aufgabe 4:
1. Bestimme die Größe der Fläche F.
2. Welches Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler beim Lösen dieser
Aufgabe?
3. Welche Anlässe zum Erkunden von Zusammenhängen gibt es für die Schülerinnen
und Schüler? Welche Begründungen können die Schülerinnen und Schüler finden?
4. Welche Kompetenzen werden durch das Finden der Lösung gefördert?
Unser Lösungsvorschlag:
1. Gegeben: Seite eines Quadrates: e = 38cm,
Diagonale eines weiteren Quadrates: d = 40cm
A = e² = 1444cm²
a² + b² = d² ↔ 2a² = d² ↔ 2a² = 1600cm²
↔ a² = 800cm²
4F = A – a² ↔ F = 161cm²
2. Satz des Pythagoras, Flächenberechnung im Quadrat
3. Die Schüler und Schülerinnen stellen Zusammenhänge zwischen den beiden
Quadraten her.
Begründung für ihr Vorgehen: Da die Seite des größeren Quadrates gegeben ist, kann
man den Flächeninhalt A berechnen. A = e² = 1444cm².
Das Viereck innerhalb des größeren Quadrates ist ein Quadrat. Die Diagonale d teilt
das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. Daher kann ich den Satz des Pythagoras
anwenden, um die Länge einer Seite des Quadrates zu berechnen. Somit erhalte ich a²
= 800cm². Dieser Wert ist gleichzeitig der Flächeninhalt des Quadrates innerhalb des
großen Quadrates.
Schließlich kann ich F berechnen, da alle 4 Dreiecke in den Ecken kongruent sind
(Kongruenz muss begründet werden). Daher ist 4F = A – a² und damit F = 161cm²
4. Prozessbezogene Kompetenzen:
- Problemlösekompetenz wird gefördert
- Die Schüler kommunizieren miteinander
- Argumentieren
Inhaltlich:
- Sie bestimmen eine unbekannte Größe, indem der Satz des Pythagoras angewendet
wird und der Flächeninhalt eines Quadrates
- Sie gehen ordnungsgemäß mit Lineal und Zirkel bei der Konstruktion des Dreiecks
vor, dadurch werden ihre feinmotorischen Fähigkeiten gefördert.
- Die Schüler sind selbsttätig und müssen Verantwortung für ihren Lernprozess
übernehmen. Dadurch wird ihre Handlungskompetenz gefördert.