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Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009
3.
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Der Stochastik-Unterricht in den Klassen 9 und 10
3.1 Die Inhalte in Klasse 9/10
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Ereignisse (Gegenereignis - Vereinigung - Schnitt)
Vierfeldertafel
Additionssatz
Unabhängigkeit
Bernoulli-Experiment
Binomialverteilung
Erwartungswert
Der Begriff „bedingte Wahrscheinlichkeit“ wird in den Standards nicht verlangt. Damit kann
auch auf eine formalisierte Schreibweise, wie z.B. PB (A) = P( A
B) , verzichtet werden!
Andererseits kann diese verkürzende Schreibweise aber auch nützlich sein. Das Buch LS
vermeidet diese völlig, während z.B. das Buch „Neue Wege“ diese verwendet – an dieser Stelle
ist es wichtig, dass das jeweilige Kollegium sich auf ein einheitliches Vorgehen verständigt!
Die „Ereignisalgebra“ im klassischen Sinne wird in den Standards ebenso nicht aufgelistet.
Die Vereinigung und der Schnitt von Ereignissen sind aber natürlich selbstverständliche
Hilfsmittel (für Additionssatz und Unabhängigkeit).
Varianz und Standardabweichung sind ebenso kein Bestandteil des Kerncurriculums wie
die Kombinatorik.
3.2 Unabhängige und abhängige Ereignisse
Für den Unterrichtsgang zum Verständnis des Begriffs „unabhängiger Ereignisse“ und zu ihrer
Notation gibt es verschiedene Wege – zwei Möglichkeiten werden vorgestellt:
Möglichkeit I: Kein PB (A) oder P( A
B) direkt ohne jede Theorie (Klett LS Seite 126)
 Ziehen aus einer Urne mit und ohne Zurücklegen
 Beobachtung: beim Ziehen mit Zurücklegen gilt: P(E  F) = P(E)  P(F)
beim Ziehen ohne Zurücklegen gilt: P(E  F)  P(E)  P(F)
 Daraus ergibt sich als „Definition und Satz zugleich“:
Wenn zwei Ereignisse unabhängig sind, dann gilt: P(E  F) = P(E)  P(F) .
Damit kann man dann unter anderem „Zuverlässigkeitsaufgaben“ bearbeiten, in denen die
Ereignisse „das Gerät A funktioniert“ und „das Gerät B funktioniert“ als unabhängig im
stochastischen Sinn betrachtet werden:
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Möglichkeit II:
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Einführung mit der Vierfeldertafel und Verwendung
der Schreibweise PB (A) = P( A
(z. B. Schroedel Neue Wege 5):
B)
Im Folgenden wird ein möglicher Gedankengang im Unterricht skizziert:
Beispiel:
... Man schätzt nach einer Untersuchung des Instituts für Demoskopie Allensbach,
dass etwa 15% der Deutschen an Flugangst leiden....
(http://www.apo-go.de/apoaktuell/reisemedizin/reisemedizin29__flugangst.cfm?style=future)
Frage:
Haben Jugendliche weniger Flugangst als Erwachsene?
Es werden 2 Ereignisse betrachtet:
A: Eine Person hat Flugangst
B: Eine Person ist jugendlich
Bei einer Befragung von 280 Jugendlichen geben 54 an, dass sie Flugangst haben.
Flugangst bei Jugendlichen p 
54
54
 0,193 oder mit der Schreibweise: PB (A) 
 0,193
280
280
Bei Jugendlichen ist der Prozentsatz derjenigen, die Flugangst haben, größer als bei der
Gesamtbevölkerung.
PB (A)  P(A)
Die Ereignisse Flugangst zu haben und Jugendlicher zu sein, sind also voneinander abhängig.
Vierfeldertafel
Man kann ablesen:
A
A
B
54
226
280
B
96
624
720
150
850
1000
PB (A) 
P(A) 
54
P(A  B)
 1000 
280
280
P(B)
1000
54
150
1000
Bei den abhängigen Ereignissen „Flugangst zu
haben und Jugendlicher zu sein“ gilt also:
P(A)  PB (A)  P(A) 
P(A  B)
P(B)
Wenn die Ergebnisse in der Vierfeldertafel nun aber folgendermaßen aussehen würden:
A
A
B
15
85
100
B
135
765
900
150
850
1000
15
15
P(A  B)
PB (A) 
 1000 
100
100
P(B)
1000
150
P(A) 
1000
Jetzt sind A und B unabhängig und es gilt: P(A) 
P(A  B)
P(B)
 P(A  B)  P(A)  P(B)
Und so erhält man die Definition und den speziellen Multiplikationssatz als Regel:
Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängige Ereignisse,
wenn gilt: PA (B)  P(B) und PB ( A)  P( A) .
Für sie gilt P(A  B)  P(A)  P(B) [spezieller Multiplikationssatz].
Ob die Schreibweisen PB (A) = P( A
B) an einer Schule verwendet werden sollen oder
nicht, sollte in der jeweiligen Fachschaft abgesprochen werden!
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Die folgenden Arbeitsblätter zeigen, wie die Schritte zur Unabhängigkeit von den Schülern
selbstständig erarbeitet werden können:
Arbeitsblatt:
Unabhängige Ereignisse
Bei einer Umfrage zum Wahlverhalten von 100 zufällig ausgewählten Personen ergaben sich
folgende Werte.
Merkmal
Partei A
(A)
Partei B
(B)
Summe
Männliche Person (M)
Weibliche Person (W)
Summe
18
22
40
27
33
60
45
55
100
Berechne mit dieser Vierfeldertafel:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau Partei A wählt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann Partei A wählt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person, die Partei A wählt, eine Frau ist?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person, die Partei A wählt, ein Mann ist?
c) Vervollständige die folgenden Baumdiagramme.
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Lösung:
Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich sofort aus den Vierfeldertafeln ablesen:
a) Frau: P(A)  0,4 und Mann: P(A)  0,4 und
b) Partei A: P(W)  0,55 und P(M)  0,45
hier kann es sich zur Vereinfachung nun anbieten, die übliche Schreibweise einzuführen:
a) PW (A)  0,4 und Mann: PM(A)  0,4 und
b) PA (W)  0,55 und PA (M)  0,45
Die vervollständigten Baumdiagramme lauten dann:
a)
b)
An diesen Baumdiagrammen lassen sich dann auch die folgenden Beziehungen ablesen:
a) Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau
Partei A wählt:
PW (A) 
P(A  W) 0,22

 0,40  P(A)
P(W)
0,55
Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann
Partei A wählt:
PM (A) 
P(A  M) 0,18

 0,40  P(A)
P(M)
0,45
b) Wahrscheinlichkeit, dass die Partei A
wählende Person eine Frau ist:
PA (W) 
P(A  W) 0,22

 0,55  P(W)
P(A)
0,40
Wahrscheinlichkeit, dass die Partei A
wählende Person ein Mann ist:
PA (M) 
P(A  M) 0,18

 0,45  P(M)
P(A)
0,40
Und wieder ergibt sich so die Definition mit dem speziellen Multiplikationssatz als Regel:
Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängige Ereignisse,
wenn gilt: PA (B)  P(B) und PB (A)  P(B) .
Für sie gilt P(A  B)  P(A)  P(B) [spezieller Multiplikationssatz].
Im Baumdiagramm sind
- bei Unabhängigkeit in der 2.Stufe die Teilbäume gleich,
- bei Abhängigkeit in der 2.Stufe die Teilbäume verschieden.
Mit der obigen Formel weist man Unabhängigkeit von zwei Ereignissen nach.
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Daran könnte sich folgendes Arbeitsblatt anschließen:
Arbeitsblatt: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bei einer Untersuchung der Rot-Grün-Blindheit an 100 zufällig ausgewählten Personen
ergaben sich folgende Werte.
Merkmal
Männliche Testperson
(M)
Weibliche Testperson
(W)
Summe
20
5
25
40
35
75
60
40
100
Rot-Grün-Blindheit
(B)
Keine Rot-Grün-Blindheit
(K)
Summe
Berechne mit dieser Vierfeldertafel:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau rot-grün-blind ist?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann rot-grün-blind ist?
Sind diese beiden Ereignisse abhängig oder unabhängig? Begründe.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rot-grün-blinde Testperson eine Frau ist?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rot-grün-blinde Testperson ein Mann ist?
Sind diese beiden Ereignisse abhängig oder unabhängig? Begründe.
c) Vervollständige die folgenden Baumdiagramme.
Lösung zum Arbeitsblatt 1:
a) Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau rotgrün-blind ist:
PW (B) 
P(B  W) 0,05

 0,125
P(W)
0,4
Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann rotgrün-blind ist:
PM (B) 
P(B  M) 0,2 1

  0,333
P(M)
0,6 3
b) Wahrscheinlichkeit, dass eine rot-grünblinde Testperson eine Frau ist:
PB (W) 
P(B  W) 0,05

 0,2
P(B)
0,25
Wahrscheinlichkeit, dass eine rot-grünblinde Testperson ein Mann ist:
PB (M) 
P(B  M) 0,2

 0,8
P(B)
0,25
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Die folgende systematische Darstellung stellt die Grundlagen Vierfeldertafel dar:
Sie ist in dieser allgemeinen Form nicht für den Unterricht gedacht!!
Der Zähler des Bruches steht im inneren Feld der Tafel, der Nenner des Bruches steht als
Zeilen- oder Spaltensumme am Rand.
Merkmal
B
B
Summe
A
P( A  B)
P( A  B)
P(A)
A
P( A  B)
P( A  B)
P( A )
Summe
P(B)
P(B)
1
3.3 Zufallsvariable und Erwartungswert
Glücksrad:
Eine Anweisung, die einem Ergebnis eines
Zufallsexperiments eine Zahl zuordnet, nennt
man Zufallsvariable
Ereignis
rot (ein Sektor
blau
grün
gelb
ganz links)
(vier Sektoren)
(fünf Sektoren)
(10 Sektoren)
5€
2€
1€
0€
1
20
1
5
1
4
1
2
Werte xi zur
Zufallsvariablen
X: Gewinn
P(X = xi)
Bei 100 Durchführungen erwartet man 5 mal 5€, 20 mal 2€, 25 mal 1€, also zusammen 90€.
Bei einer Durchführung erwartet man also 0,90€ - das ist der Erwartungswert von X.
Allgemein:
E(X) = x1  P(X = x1)  x2  P(X = x2 )  . . .  xn  P(X = xn )
„Erwartungswert von X“
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3.4 Binomialverteilung
Nachdem im Unterricht typische Beispiele sowie die Definition von Bernoulli-Experimenten und
-Ketten behandelt wurden, bietet sich zur Veranschaulichung des Ablaufs von Bernoulli-Ketten
das nach dem britischen Naturforscher und Schriftsteller Sir Francis Galton (1822-1911)
benannte Galton-Brett1 an. Grundlage dieser Veranschaulichung ist ein Gedankenexperiment,
welches von einem Idealfall ausgeht, der mit realen Galton-Brettern jedoch nicht nachgebildet
werden kann. Zur Lehrerdemonatration bzw. als Anschauungsmaterial gibt es
Demonstrationsmodelle. "Idealere" Ergebnisse lassen sich durch den Einsatz von PCSimulationen erreichen, die zudem die Variation verschiedener Parameter ermöglichen.
Anhand des Galton-Bretts lassen sich sowohl die Bernoulli-Formel wie auch die
Binomialverteilung erarbeiten. Die folgenden beiden Arbeitsblätter zeigen eine Möglichkeit, bei
der die Schüler aktiv sein können – sei es ohne (Arbeitsblatt 1) oder mit (Arbeitsblatt 2) PCSimulation:
Arbeitsblatt 1 ohne Simulationsprogramm
Das Galton-Brett
Francis Galton (1822-1911) erfand das abgebildete Brett.
Auf diesem sind mehrere Reihen von Plättchen (Nägeln) auf Lücken
befestigt. Durchfallende Kugeln treffen auf die Spitze des ersten
Plättchens und werden dort mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 nach rechts oder links abgelenkt.
Dieser Vorgang setzt sich reihenweise fort.
Die Nummer der Fächer gibt die Anzahl der erfolgten Rechtsablenkungen an.
(Zufallsvariable X: Anzahl der erfolgten Rechtsablenkungen)
Simuliere den Versuch und entscheide bei jeder Plättchenspitze mit Hilfe einer Münze,
welchen Weg (rechts oder links) die Kugel nimmt.
a) Simuliere so das Experiment für 20 Kugeln und notiere die Zahl der Kugeln in jedem
Behälter. Trage die Anzahl in einem Säulendiagramm auf.
b) Wie viele verschiedene Wege kann eine Kugel nehmen?
c) Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar und bestimme zu jedem Weg die
Wahrscheinlichkeit.
d) Am Boden des Galton-Bretts fällt jede Kugel in eine der fünf Fächer.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet der Weg in dem Fach 0 bzw. 1, 2, 3, 4?
1
Das Galton-Brett wird im Klett LS 6, Seite 150 in Form einer Aufgabe behandelt.
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Arbeitsblatt 2 mit Simulationsprogramm
Das Galton-Brett
Francis Galton (1822-1911) erfand dieses nach ihm benannte Brett. Auf diesem sind
mehrere Reihen von Plättchen (Nägeln) auf Lücken befestigt. Durchfallende Kugeln treffen
auf die Spitze des ersten Plättchens und werden dort mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 nach
rechts oder links abgelenkt. Dieser Vorgang setzt sich reihenweise fort.
Die Nummer der Fächer gibt die Anzahl
der erfolgten Rechtsablenkungen an.
0
1
2
3
4
Simuliere mit dem Programm galton.exe den Versuch mit einem Galton-Brett.
Wähle dazu als Einstellungen: n=4; p=0,5; 100 Kugeln.
a) Wähle 10 Durchgänge und notiere jeweils die Zahl der Kugeln in jedem Behälter.
Trage die Anzahl in einem Säulendiagramm auf.
b) Wie viele verschiedene Wege kann eine Kugel nehmen?
c) Stelle die Situation in einem Baumdiagramm dar und bestimme zu jedem Weg die
Wahrscheinlichkeit.
d) Am Boden des Galton-Bretts fällt jede Kugel in eine der fünf Fächer.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet der Weg in dem Fach 0 bzw. 1, 2, 3, 4?
e) Führe nun das Experiment mit den Parametern n = 1000 (10.000) und p = 0,5 durch
und vergleiche die Versuchsergebnisse mit Deinen theoretischen Überlegungen.
f)
Variation des Parameters p:
Stelle eine Vermutung für folgende Parameter auf:
n = 6; p = 0,1 (0,25; 0,4; 0,75; 0,95). Was wird dadurch simuliert? Antworte schriftlich.
Führe Simulationen mit n = 10.000 durch – notiere zu jeder Einstellung mindestens ein
Ergebnis und kommentiere jeweils die erzielten Ergebnisse.
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Im Folgenden wird der weitere Gedankengang kurz skizziert:
Erste Verallgemeinerung: Ein n-stufiges Brett
X: Anzahl der Rechtsablenkungen
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(X = k), dass eine Kugel im Fach k landet?
Da alle Wege gleichwahrscheinlich sind, gilt
P(X  k) 
Anzahl der Wege in Fach k
.
Gesamtzahl aller Wege
Durch die Untersuchung der Anzahl der möglichen Wege, die in die einzelnen Fächer führen,
ausgehenden von den Randfächern, gelangt man zum Binomialkoeffizient.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem n-stufigen Galton-Brett eine Kugel
n 1
.
n
k  2
in das k-te Fach ( k  0,...,n ) fällt, ist P(X  k)    
Zweite Verallgemeinerung: Unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten
p  P(rechts) und q  P(links)
Auch hier die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in ein bestimmtes Fach fällt.
Mit dem Baumdiagramm für ein vierstufiges schiefes Galton-Brett und den Pfadregeln erhält
man z. B. mit den fett gezeichneten Pfaden P(X  1)  4  p1  q3 .
Allgemein:
n
P(X  k)     pk  qnk ( X: Anzahl der Rechtsablenkungen der fallenden Kugel)
k 
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3.5 Binomialverteilung mit dem GTR
(1) Histogramme („seq“ : im LIST – OPS – Menü)
(2) Einfachere Version
Im Y= Register die binompdf eingeben und
ganz vorne (vor dem Y1) auf „gepunktet“
umschalten.
Das Histogramm ist einfacher zu erreichen, hat
allerdings keine senkrechten Striche mehr.
(Das WINDOW ist dasselbe wie oben.)
siehe Klett LS 6 auf Seite 147 Die waagrechten Striche liegen über den Intervallen
von x-0,5 bis x+0.5, wie es ja gewollt ist.
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(3) Simulation einer Binomialverteilung
Ein Würfel wird 15-mal geworfen. Wie oft tritt im Mittel die Augenzahl 6 auf?
a) Der 15-stufige Zufallsversuch wird 100-mal simuliert:
b) Mittlere Anzahl der Würfe mit Augenzahl 6 bei der Simulation:
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(4) Erwartungswert einer Binomialverteilung
Beispiel: n = 15 und p 
1
6
Erwartungswert: E(X) = 2,5
(5) Kumulierte Binomialverteilung
Ein Schmerzmittel zeigt bei 80 % der Patienten eine positive Wirkung.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden von 75 Patienten
a) höchstens 50 schmerzfrei?
b) mehr als 55 schmerzfrei?
c) mindestens 55 und höchstens 60 schmerzfrei?
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