Grundwissen Daten

Grundwissen Wahrscheinlichkeit
1. Zufallsversuche
Ziehen von Spielkarten, Setzen auf eine Zahl im Roulette, oder die Ziehung der Lottozahlen sind
Zufallsversuche. Hierbei kann nicht vorausgesagt werden, welches Ergebnis eintritt.
Man kann aber schon vorher alle möglichen Ergebnisse in der Ergebnismenge S angeben.
5 6 7 8
rot
grün
gelb
Foto: scheo
blau
Foto: molazim in 4teachers
 Glücksrad:
𝑆 = {𝑟𝑜𝑡; 𝑔𝑒𝑙𝑏; 𝑏𝑙𝑎𝑢; 𝑔𝑟ü𝑛}
 Würfeln:
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
 Schnick-Schnack-Schnuck: 𝑆 =
{𝑆𝑐ℎ𝑒𝑟𝑒; 𝑆𝑡𝑒𝑖𝑛; 𝑃𝑎𝑝𝑖𝑒𝑟}
Wenn bei Zufallsversuchen Chancengleichheit herrscht, wenn also jedes Ergebnis die gleiche
Chance hat einzutreten, spricht man von Laplace-Versuchen (Marquis de Laplace war ein
französischer Mathematiker).
Glücksrad
Würfel
8
1
7
2
6
3
5
Münzen
4
Foto: scheo
Foto: molazim in 4teachers
Die Mittelpunktswinkel der
Kreissektoren sind gleich groß.
Selbsterklärend
Der Versuch hat 8 mögliche
Ergebnisse => n = 8
6 kongruente Quadrate als
Seitenflächen.
(Wir gehen von einer
gleichmäßigen Dichte des
Materials aus)
Der Versuch hat 6 mögliche
Ergebnisse => n = 6
Die Wahrscheinlichkeit eines
1
1
Ergebnisses beträgt =
Die Wahrscheinlichkeit eines
1
1
Ergebnisses beträgt =
Die Wahrscheinlichkeit eines
1
1
Ergebnisses beträgt =
𝑛
8
𝑛
6
Der Versuch hat 2 mögliche
Ergebnisse => n = 2
𝑛
2
1
Merke: Bei einem Laplace-Versuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses 𝑛
2. Ereignisse
Dazu ein Beispiel:
In dem Becher befinden sich nummerierte Kugeln von denen eine Kugel blind gezogen werden
soll.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass eine 4 gezogen wird?
1. Zuerst stellen wir die Anzahl n aller möglichen Ergebnisse fest:
Es gibt insgesamt 8 Kugeln im Becher d.h., es gibt acht mögliche Ergebnisse
4
6
1
1
3
2. Danach stellen wir die Anzahl m der günstigen Ergebnisse fest:
Es gibt 2 Kugeln mit der 4 d.h., es gibt zwei günstige Ergebnisse.
Alle günstigen Ergebnisse zusammen nennt man Ereignis.
3
4
2
3. Zuletzt berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass die 4
gezogen wird.
Anzahl der günstigen Ergebnisse
2
1
P(E) = Anzahl der möglichen Ergebnisse = 8 = 4
Kurz:
Sonderfälle:
𝑃(𝐸) =
𝑚
𝑛
Wenn 𝑃(𝐸) = 0 spricht man von einem unmöglichen Ereignis
Wenn 𝑃(𝐸) = 1 spricht man von einem sicheren Ereignis
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man P(E) =
Anzahl der günstigen Ergebnisse
m
=n
Anzahl der möglichen Ergebnisse
3. Zusammengesetzte Ereignisse
Auch dazu ein Beispiel:
In einer Lostrommel befinden sich 10 rote Kugeln, 8 gelbe Kugeln, 12 blaue Kugeln, 15 grüne
Kugeln und 5 schwarze Kugeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote oder eine gelbe Kugel gezogen wird?
Dazu bestimmen wir die Einzelwahrscheinlichkeiten 𝑃(𝑟𝑜𝑡) 𝑢𝑛𝑑 𝑃(𝑔𝑒𝑙𝑏).
P(rot)
P(gelb)
1. n = 50 (es sind insgesamt 50 Kugeln in der
Lostrommel)
2. m = 10
10
3. 𝑃(𝑟𝑜𝑡) = 50
1. n = 50 (es sind insgesamt 50 Kugeln in der
Lostrommel)
2. m = 8
8
3. 𝑃(𝑔𝑒𝑙𝑏) = 50
𝑃(𝑟𝑜𝑡 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑔𝑒𝑙𝑏) = 𝑃(𝑟𝑜𝑡) + 𝑃(𝑔𝑒𝑙𝑏)
10
8
18
𝑃(𝑟𝑜𝑡 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑔𝑒𝑙𝑏) = 50 + 50 = 50 = 0,36 𝑜𝑑𝑒𝑟 36%
Die Chance, eine rote oder eine gelbe Kugel zu ziehen liegt bei 36%.
SUMMENREGEL
Bei zusammengesetzten Ereignissen werden die Einzelereignisse addiert:
P(E) = P(E1 ) + P(E2 )
4. Gegenereignis
Hin und wieder ist es geschickter (meist auch schneller), mit einem „ Trick“ zum Ergebnis zu
kommen.
Wir bleiben bei dem Beispiel:
In einer Lostrommel befinden sich 10 rote Kugeln, 8 gelbe Kugeln, 12 blaue Kugeln, 15 grüne
Kugeln und 5 schwarze Kugeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine rote Kugel gezogen wird, also 𝑃(𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑟𝑜𝑡 )?
In diesem Fall ist es geschickter, das Gegenereignis 𝑃(𝐸̅ ) zu berechnen, also 𝑃(𝑟𝑜𝑡)
10
𝑃(𝑟𝑜𝑡) =
50
𝑃(𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑟𝑜𝑡) = 1 − 𝑃(𝑟𝑜𝑡)
10 4
𝑃(𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑟𝑜𝑡) = 1 −
= = 0,8 = 80%
50 5
Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses wird so berechnet:
𝑃(𝐸̅ ) = 1 − 𝑃(𝐸)
5. Zweistufiger Zufallsversuch mit Reihenfolge
a) Versuche mit Zurücklegen
Beispiele:
R
Foto: scheo
B
G
W S
Ziehen einer Kugel mit
anschließendem Zurücklegen
Zweimaliges Drehen des
Glücksrades
Gleichzeitiges Werfen zweier
Münzen
Das Beispiel „Münzen werfen“ soll ein Baumdiagramm verdeutlichen:
1. Stufe
2. Stufe
Mögliche
Ergebnisse
(W;W)
Summenregel
(W;Z)
(Z;W)
(Z;Z)
Produktregel (auch Pfadregel genannt)
Dieser Wahrscheinlichkeitsbaum weist 4 Pfade auf wovon jeder zu einem möglichen Ergebnis ,
einem geordneten Paar, führt. Es gibt demnach 4 mögliche, in unserem Fall sogar gleich
wahrscheinliche Möglichkeiten.
1 1
1
𝑃(𝑊; 𝑊) = 2 ∙ 2 = 4
1 1
1
1 1
1
𝑃(𝑊; 𝑍) = 2 ∙ 2 = 4
nach der Produktregel
𝑃(𝑍; 𝑊) = 2 ∙ 2 = 4
1 1
1
𝑃(𝑍; 𝑍) = 2 ∙ 2 = 4
Die Wahrscheinlichkeit eines zweistufigen Zufallsversuches mit Zurücklegen berechnet man
entlang dem Pfad.
𝑃(E) = P(1. Stufe) ∙ P(2. Stufe)
b) Versuche ohne Zurücklegen
Beispiel:
Es wird zweimal
hintereinander eine Kugel
gezogen und nicht
zurückgelegt. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass
zweimal eine rote Kugel
gezogen wird?
B
R
R
B
B
𝑛 2
=
𝑚 5
Jetzt muss berücksichtigt werden, dass diese blaue Kugel nicht mehr zurückgelegt wird. Somit
ändert sich die Gesamtzahl der Kugeln auf m = 4 und die Anzahl der günstigen Ergebnisse n sinkt
von 2 auf .
𝑛 1
2. 𝑆𝑡𝑢𝑓𝑒: 𝑃(𝑅) = =
𝑚 4
2 1
2
Nach der Produktregel lässt sich die Frage beantworten: 𝑃(𝑅; 𝑅) = 5 ∙ 4 = 20 = 0,1 = 10%
1. 𝑆𝑡𝑢𝑓𝑒: 𝑃(𝑅) =
Die Wahrscheinlichkeit eines zweistufigen Zufallsversuches ohne Zurücklegen berechnet man
auch entlang dem Pfad.
𝑃(E) = P(1. Stufe) ∙ P(2. Stufe)
Zu beachten ist aber hierbei, dass sich sowohl m als auch n verändert.
6. Zweistufiger Zufallsversuch ohne Reihenfolge
Beispiel:
Es werden Kugeln
gleichzeitig gezogen. Wie
groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens eine blaue Kugel
dabei sein wird?
B
R
R
B
B
Wenn zwei Zufallsversuche gleichzeitig durchgeführt werden, erhält man als Ergebnis ungeordnete
Paare. Das ist so zu verstehen, dass Paare wie (R;B) und (B;R) nicht zu unterscheiden sind. Aus
diesem Grund werden die Wahrscheinlichkeiten der Paare addiert.
In unserem Beispiel erhalten wir folgende Lösungspaare {(𝐵; 𝐵); (𝐵; 𝑅); (𝑅; 𝐵)}
Somit gilt:
𝑃(𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑏𝑙𝑎𝑢𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙) = 𝑃(𝐵; 𝐵) + 𝑃(𝐵; 𝑅) + 𝑃(𝑅; 𝐵)
3 2
3 2
2 3
18
𝑃(𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑏𝑙𝑎𝑢𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙) = 5 ∙ 4 + 5 ∙ 4 + 5 ∙ 4 = 20 = 90%
Die Wahrscheinlichkeit eines zweistufigen Zufallsversuches ohne Reihenfolge berechnet man
indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten der geordneten Paare addiert.