Differentialrechnung I (Kapitel 12

Differentialrechnung II (Extrema) (Kap. 12.5 – 12.6)
(Haben Sie Probleme bei der Bearbeitung dieser Aufgaben, wenden Sie sich bitte an die
betreuenden Lehrkräfte!)
21.
a) Kennzeichnen Sie zunächst an den unten abgebildeten Funktionsgraphen die
Hoch- und die Tiefpunkte. Zeichnen Sie dann die zugehörigen Tangenten ein
und erläutern Sie, warum die Tangenten so eingezeichnet werden müssen.
b) Skizzieren Sie zu beiden Graphen die Graphen der ersten Ableitung f  und h .
Erläutern Sie ausführlich den Zusammenhang zwischen den beiden Graphen.
c) Erläutern Sie mit Hilfe Ihrer Ergebnisse aus a) und b) das Verfahren zur
Bestimmung der exakten Lage der Hoch- und die Tiefpunkte.
d) Die Funktionsgleichung der Funktion f lautet: f ( x )  1 x 5  1,8 x 3 . Bestimmen
5
Sie rechnerisch die exakten Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte.
(Hinweis: Die zugehörigen Funktionsgraphen sind auf der letzten Seite abgebildet. Zum Vorstellen
dieser Aufgabe halten die betreuenden Lehrkräfte während des Gruppenunterrichts eine Folie der
Graphen für Sie bereit.)
22.
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x ) 
1
4
x 4  x 3  2,5 x 2 . Erläutern Sie das
Symmetrieverhalten und das Grenzwertverhalten des Funktionsgraphen und
bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die
Extrempunkte dieser Funktion. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen anhand
Ihrer Ergebnisse.
23.
4
2
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x )   41 x  7,25 x  25 . Erläutern Sie das
Symmetrieverhalten und das Grenzwertverhalten des Funktionsgraphen und
bestimmen Sie die Extrempunkte dieser Funktion. Skizzieren Sie den
Funktionsgraphen anhand Ihrer Ergebnisse. Berücksichtigen Sie dabei, dass
unter anderem N1 5 / 0 und N2  2 / 0 Schnittpunkte mit der x-Achse von f
sind.
24.
Bei Herstellung und Verkauf eines Produkts bezeichnet man mit x den
Produktions-Output bzw. die am Markt abgesetzte (verkaufte) Menge (in
Mengeneinheiten ME). Die Erlösfunktion E mit E( x )  p  x bezeichnet den
Erlös (oder Umsatz), den man bei der abgesetzten Menge x und dem Preis p
erzielen kann. Zieht man vom Erlös die Kosten K (in Abhängigkeit von der
produzierten Menge x) ab, so erhält man den Gewinn des Unternehmens in
Abhängigkeit von der produzierten bzw. abgesetzten Menge (angegeben in
Geldeinheiten GE). Dabei gilt: G( x )  E( x )  K ( x ) [Gewinn = Erlös (Umsatz) –
Kosten]. Natürlich wollen die Unternehmen einen möglichst großen (maximalen)
Gewinn erzielen.
Untersuchen wir nun ein Unternehmen, das für seine Produktion die
Erlösfunktion E mit E ( x )  12 x
und die Kostenfunktion K mit
K( x )  0,5x 3  3,9x 2  12,4x  20,4
Funktionen
wird
die
ermittelt
hat.
Gewinnfunktion
Aus
diesen
beiden
G
erstellt
mit
G( x)   0,5x 3  3,9x 2  0,4x  20,4 .
Da keine negativen Stückzahlen produziert werden können und zudem das
Unternehmen eine maximale Produktionskapazität von 8 ME besitzt, gilt für die
Definitionsmenge der drei Funktionen: ID   0 ; 8 .
a) Skizzieren Sie die Graphen der Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion
(anhand einer Wertetabelle mit den ganzzahligen Werten von x  0 bis
x  8 ) in verschiedenen Farben in einem Koordinatensystem dar.
(Benutzen Sie dabei auf der y-Achse eine Skalierung in „Zehnerschritten“.)
b) Bestimmen Sie die Produktionsmenge x, bei der das Unternehmen den
maximalen Gewinn erzielt wird. Stellen Sie sicher, dass dort tatsächlich
ein Maximum vorliegt und geben Sie auch den zu erwartenden Gewinn
(in Geldeinheiten GE) an.
c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Kostenfunktion K kein (relatives)
Maximum besitzt.

Graphen zur Aufgabe 26:

Funktion f
Y = 0,2*X^5-1,8*X^3
Funktion h
y
Y = (1/ 4)*X^4+X^3-6,5*X^2-15*X
y
15
8
10
5
x
6
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-5
4
-10
2
-15
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-20
4
-25
-30
-2
-35
-4
-40
-45
-6
-50
-55
-8
-60
f ( x )
Y = 1000
h ( x )
y
Y = 1000
y
15
8
10
5
6
-8
4
-3
-2
-1
0
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
-10
x
-4
-6
-5
2
-5
-7
1
2
3
4
-15
-20
-25
-30
-4
-35
-6
-40
-45
-8
-50
-10
-55
-60
-12
x
1
2
3
4
5
6