Stochastische Unabhängigkeit

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT
Annika Pohlmann
Philipp Oel
Wilhelm Dück
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GLIEDERUNG
1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten
2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse
3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable
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BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass das
Eintreten eines anderen Ereignisses B bereits bekannt ist.
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BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
Informationen verändern Wahrscheinlichkeiten
Wenn nicht, dann sind sie UNABHÄNGIG
Beispiel:
Augensumme zweier Würfel ist mindestens als 7
Information:
i) der erste Würfel : 5
ii) der erste Würfel : 1
Rechnung an der Tafel
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WELCHE EREIGNISSE SIND VONEINANDER
(UN)ABHÄNGIG?
Beispiele:
1) A:Eine sechs wird im ersten Wurf geworfen
B:Eine sechs wird im zweiten Wurf geworfen
2)
Ein Sack mit 5 grünen, 3 roten Kugeln.
i) mit zurücklegen A: 1. Kugel grün B: 2.Kugel grün
ii) ohne zurücklegen A: 1. Kugel rot B: 2. Kugel rot
iii) ohne zurücklegen A: 1. Kugel rot B: 2. Kugel grün
3) Skatspiel mit 32 Karten.
A: Karte ist rot B: Karte ist eine 8
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STOCHASTISCHE (UN)ABHÄNGIGKEIT
Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, falls gilt:
P(A|B)=P(A) oder P(B|A)=P(B)
d.h.  P(A∩B)=P(A)∙P(B)
Abhängigkeit
Sind zwei Ereignisse nicht unabhängig, sind sie ABHÄNGIG.
d.h. wenn gilt : P(A∩B)≠P(A)∙P(B)
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EIGENARBEIT
Aufgabe 1: Ein Würfel wird einmal geworfen.
Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl größer gleich 2".
Aufgabe 2: Ein Würfel wird einmal geworfen.
Sei A das Ereignis "Gerade Augenzahl" und B das Ereignis "Augenzahl durch 3 teilbar“.
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FORMEL FÜR BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
Sind A und B stochastische unabhängig, gilt für die bedingte
Wahrscheinlichkeit:
P (A|B):=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
A,B sind Ereignisse, wobei P(B)>0 Voraussetzung ist
P(A|B)  P von A unter B
P(B)
 Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt
P(A∩B)  Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse A und B
eintreten
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BEISPIEL AN DER TAFEL
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EIGENSCHAFTEN VON WAHRSCHEINLICHKEITEN
Es seien A,B Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, E, P), wobei P(B) > 0. Dann gilt:
(i)
Sind A und B disjunkt, so ist P(A|B) = 0
und aus A ⊃ B folgt P(A|B) = 1.
Insbesondere ist stets P(∅ |B) = 0 und P(Ω |B) = 1.
(ii) P(Ω \ A|B) = 1 − P(A|B).
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EIGENSCHAFTEN VON WAHRSCHEINLICHKEITEN
Unabhängigkeit ist eine symmetrische Eigenschaft
P(A|B) = P(A) ist gleichwertig zu P(B |A) = P(B).
Die leere Menge und Ω sind von allen A ∈ E unabhängig.
Allgemeiner gilt:
Ist P(B) ∈ {0, 1}, so ist B von allen A unabhängig.
Im Fall P(B) = 0 ist nämlich auch P(A∩B) = 0
Und aus
P(B) = 1 folgt P(A ∩ B) = P(A)
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FOLGERUNGEN FÜR UNABHÄNGIGE EREIGNISSE
Es sei A ein Ereignis in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, E, P).
Dann gilt:
(i) A ist von Ω und von der leeren Menge unabhängig
(ii) Ist A unabhängig von B, so ist A auch von Ω \ B unabhängig
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SATZ VON BAYES
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Für zwei Ereignisse A und B mit P(B)>0 lässt sich die Wahrscheinlichkeit von A unter
der Bedingung, dass B eingetreten ist, durch die Wahrscheinlichkeit von B unter der
Bedingung, dass A eingetreten ist, errechnen:
𝑷(𝑩|𝑨)∙𝑷(𝑨)
P(A|B) =
𝑷(𝑩)
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SATZ VON BAYES
P(A|B) =
𝑷(𝑩|𝑨)∙𝑷(𝑨)
𝑷(𝑩)
Zur Erklärung:
P(A|B) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A und der Bedingung, dass
B eigetreten ist
P(B|A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B und der Bedingung, dass
A eigetreten ist
P(A) ist die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
P(B) ist die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B
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BEISPIEL (GEGEBENENFALLS EIGENARBEIT)
Das Auftreten einer Krankheit liegt bei 0,0002 %
Der Test hat eine Sensitivität von 95%
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand gesundes als krank getestet wird liegt bei 1%
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der positiv Getestete wirklich krank ist?
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FOLGERUNGEN AUS DER UNABHÄNGIGKEIT
Zum Erwartungswert
Das E(X+Y) = E(X)+E(Y) ist, wurde bereits festgestellt.
Wie sieht es jedoch mit E(X∙Y) aus?
Ist dieser Ausdruck gleichwertig mit E(X)∙E(Y)?
Sind X, Y : Ω → R unabhängige Zufallsvariable mit existierendem
Erwartungswert, so existiert auch der Erwartungswert von X ∙Y , und es gilt
E(X∙Y ) = E(X)∙E(Y )
Und was ist mit den abhängigen? ( Gegenbeispiel an der Tafel)
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FOLGERUNGEN AUS DER UNABHÄNGIGKEIT
Es seien X1, . . . , Xn : Ω → R Zufallsvariable, für die Erwartungswert und Varianz
existieren.
(i) Sind für beliebige i, j mit i ≠ j die Zufallsvariablen Xi,Xj unabhängig
so gilt
V (X1 + … + Xn) = V (X1) + … + V (Xn).
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UNABHÄNGIGKEIT FÜR MEHR ALS ZWEI
EREIGNISSE
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UNABHÄNGIGKEIT FÜR MEHR ALS ZWEI
EREIGNISSE- EIN BEISPIEL
Der Junge auf dem Tennisplatz
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DEFINITION
A, B1,...,Bn seien Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum. A ist von B1,...,Bn
unabhängig, wenn gilt, dass A von allen Ereignissen, die man aus B1,...,Bn
zusammenstellen kann, unabhängig ist.
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SATZ
(i) A ist unabhängig von B1,...,Bn 
(ii) A ist von beliebigen Bi, von denen man den Durchschnitt bildet, unabhängig
 es handelt sich um äquivalente Aussagen
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WAS BEDEUTET ES, DASS ALLE EREIGNISSE
VONEINANDER UNABHÄNGIG SIND?
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DEFINITION
Erste Überlegungen:
Was bedeutet es, dass Informationen über gewisse Ai, keine Konsequenz für die
Wahrscheinlichkeiten der restlichen A‘s haben. Dazu wird gefordert:
A1 ist unabhängig von A2, A3, ..., An und
A2 ist unabhängig von A1, A3 ,..., An und
..., und
An ist unabhängig von A1, A2,...,An-1
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(i) Ereignisse A1,...,An heißen unabhängig, wenn
P(Ai1  ...  Aik )= P (Ai1)    P(Aik ) gilt, und zusätzlich gilt, dass
man aus verschiedenen Kombinationen der Ereignisse die Durchschnitte bildet und
diese Wahrscheinlichkeit gleich der ausmultiplizierten Wahrscheinlichkeiten dieser
Ereignisse ist.
(ii) Ist 0   eine Teilmenge der Ereignisse so heißt 0 unabhängig, wenn jede
endliche Teilfamilie unabhängig ist.
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BEISPIEL - TAFEL
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BEMERKUNG
Jede Teilmenge einer Menge unabhängiger Ereignisse ist ebenfalls unabhängig.
Insbesondere sind in einer unabhängigen Menge von Ereignissen je zwei Ereignisse
unabhängig.
Diese heißen paarweise unabhängig.
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IRRTÜMER DER „UNABHÄNGIGKEIT“
Irrtum 1:
„A1,...,An unabhängig“ ist gleichwertig dazu, dass je zwei Ai, Aj für i ungleich j
unabhängig sind.
 Diese paarweise Unabhängigkeit folgt zwar aus der Unabhängigkeit, impliziert
diese aber nicht.
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IRRTÜMER DER „UNABHÄNGIGKEIT“
Irrtum 2:
„A1,...,An unabhängig“ heißt, dass P(A1...An ) mit P(A1)  P(An) übereinstimmt.
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UNABHÄNGIGKEIT FÜR ZUFALLSVARIABLE
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(KURZE) WIEDERHOLUNG…
Beispiel 2-facher Münzwurf (Tafel)
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Zwei Ereignisse {X ∈ B} und {Y ∈ C} sind unabhängig, wenn gilt:
P({X ∈ B} ∩ {Y ∈ C}) = P({X ∈ B}) P({Y ∈ C})
Andere Schreibweise für {X ∈ B}:
{X(w)∈B I w∈Ω}
Analog für {Y ∈ C}
Ähnlichkeit zur Formel bei Ereignissen: P(A∩B)=P(A)∙P(B)
Was bedeutet {X ∈ B} und {Y ∈ C}?
> Erläuterung am 2fachen Münzwurf (siehe Tafel)
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DEFINITION
Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig, wenn gilt:
(i) Für beliebige Borelmengen B, C in ℝ sind {X ∈ B} und {Y ∈ C} unabhängig
(ii) Für alle a, b ∈ ℝ sind die Ereignisse {X ≥ a} und {Y ≥ b} unabhängig
Die Bedingungen sind äquivalent!
Erläuterung am 2fachen Würfelwurf
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2-FACHER WÜRFELWURF
X (i,j) := i
> Augenzahl auf dem ersten Würfel
Y (i,j) := j
> Augenzahl auf dem zweiten Würfel
Also z.B. X(1,2) = 1 und Y(1,2) = 2
X (i,j) ≥ a
(umgangssprachlich: „wie viele erste Augenzahlen sind ≥ a“)
Y (i,j) ≥ b
(umgangssprachlich: „wie viele zweite Augenzahlen sind ≥ „b“)
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(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
Bsp:
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
Für a=3 und b=4
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Formel für Unabhängigkeit:
P({X≥a , Y≥b}) = P({X ≥ a}) P({Y ≥ b})
Gilt das in diesem Fall?
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b
a
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
Bsp:
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
Für a=3 und b=4
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Formel für Unabhängigkeit:
P({X≥a , Y≥b}) = P({X ≥ a}) P({Y ≥ b})
Gilt das in diesem Fall?
Allgemein für a und b? (Tafel)
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EINEN SCHRITT WEITER…
Satz:
Zwei Zufallsvariablen X, Y sind genau dann unabhängig, wenn
P({X = c} ∩ {Y = d}) = P({X = c}) P({Y = d})
für alle c im Bildbereich von X und alle d im Bildbereich von Y gilt!
(das gilt für den diskreten Wahrscheinlichkeitsraum!)
> alle möglichen Kombinationen!
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MEHR ALS ZWEI ZUFALLSVARIABLEN
Definition:
Die Zufallsvariablen X1, …, Xn sind unabhängig, wenn gilt:
Für beliebige reelle Zahlen a1, …, an sind die Ereignisse
{X1 ≥ a1}, …, {Xn ≥ an}
unabhängig.
(Eine beliebige Familie von Zufallsvariablen heißt unabhängig, wenn jede endliche
Teilfamilie diese Eigenschaft hat)
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ANHANG - TAFELANSCHRIEBE
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ZU BEDINGTEN WAHRSCHEINLICHKEITEN…
39
40
41
42
ZU FOLIE 25
43
ZU FOLIE 30
44
ZU FOLIE 35
45