Besondere Linien und Punkte im Dreieck

Name:
Alles rund ums Dreieck
Station 6
Besondere Linien und Punkte
im Dreieck
Aufgabe
Betrachte folgende Begriffe. Schreibe diese an die richtige Stelle neben den Dreiecken.
Höhenlinie
Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
Mittelsenkrechte
Mittelpunkt des Umkreises
Schwerpunkt des Dreiecks
Mittelpunkt des Inkreises
Punkt mit dem kürzesten Abstand zu den Seiten
a)
Christian Wolf: Mathe an Stationen spezial: Satzgruppe des Pythagoras
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
b)
c)
d)
13
Anwendungsaufgaben
Bearbeite die folgenden Aufgaben in deinem Heft.
Aufgabe 1
Für die drei Ortschaften A-Dorf, B-Dorf und C-Dorf wird ein gemeinsames Schwimmbad geplant. Es
soll ein Ort M gefunden werden, der von allen drei Dörfern gleich weit entfernt ist. Für die Entfernungen der drei Ortschaften voneinander gilt: |AB| = 4,6 km; |BC| = 6,3 km; |AC| = 3,1 km.
Konstruiere den Punkt M und gib seine Entfernung von den Orten an.
Aufgabe 2
Aus einer dreieckigen Metallplatte mit den Seitenlängen a = 130 cm, b = 80 cm und c = 110 cm soll
ein Kreis ausgefräst werden. Sein Abstand vom Rand soll an jeder Stelle mindestens 10 cm groß
sein. Wie groß kann der Kreis höchstens werden?
Zeichne im Maßstab 1 : 20.
Aufgabe 3
Ein Segelschiff befindet sich 2,1 km vom Leuchtturm entfernt. Der Winkel
seiner Fahrtrichtung zum Abstand beträgt 34°. Das Schiff ändert seinen
Kurs nicht. In welchem kleinsten Abstand fährt das Schiff an dem
Leuchtturm vorbei?
Löse zeichnerisch.
34°
2,1 km
Aufgabe 4
Ein Vermessungsunternehmen misst in einer Stadt die
Höhe des Fernsehturms mit 135 m aus. Dazu wird von
zwei unterschiedlichen Punkten gemessen. Überprüfe mit
den Angaben aus der Zeichnung, ob das Unternehmen
richtig gemessen hat.
Löse zeichnerisch.
S
58°
43°
B
14
50 m
A
Christian Wolf: Mathe an Stationen spezial: Satzgruppe des Pythagoras
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
Alles rund ums Dreieck
Name:
Station 7
Station 3
Name:
Satz des Pythagoras –
Puzzle (1)
Aufgabe 1
Satz des Pythagoras
Male die Quadrate der drei Skizzen in unterschiedlichen Farben an (z. B. Quadrate der ersten
Skizze = orange; Quadrate der zweiten Skizze = rot; Quadrate der dritten Skizze = gelb).
Schneide die nummerierten Teile aus und versuche, sie in das jeweilige große Quadrat zu puzzeln.
Was stellst du fest?
4
4
5
1
3
2
5
3
1
2
Christian Wolf: Mathe an Stationen spezial: Satzgruppe des Pythagoras
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
4
5
3
1
2
21
Name:
Station 4
Beweise (1)
In der Literatur sind weit über 100 Beweisführungen zu dem berühmten Satz des Pythagoras bekannt. Hier findest du drei.
Aufgabe 1
b) Art:
a) Art:
Kleine Quadrate:
Kleine Quadrate:
+
+
+
Großes Quadrat:
=
Großes Quadrat:
=
Großes Quadrat:
b) Was fällt dir auf?
Christian Wolf: Mathe an Stationen spezial: Satzgruppe des Pythagoras
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
c) Art:
Kleine Quadrate:
=
Satz des Pythagoras
Bei der sogenannten Auszählmethode zählt man die Kästchen in den Quadraten und vergleicht sie
untereinander. Zähle die Kästchen in jedem Quadrat und notiere sie.
Bestimme außerdem, um welche Dreiecke es sich handelt.
Aufgabe 2
Das „Schaufelrad“ ist ein geometrischer
Beweis. Schneide die nummerierten
Teilflächen der beiden Kathetenquadrate
rechts aus und klebe sie so in das Hypotenusenquadrat, dass dieses vollständig
bedeckt ist.
Was kannst du über die Größe der Quadratflächen aussagen?
1
C
2
A
3
B
4
5
23
Name:
Station 4
Beweise (2)
Das Ziel der algebraischen Lösung ist, geeignete Terme oder Gleichungen
aufzustellen und durch Termumformungen die Behauptung herzuleiten oder
zu widerlegen.
Um die genaue Beweisführung zu erhalten, musst du die Abschnitte ausschneiden und in die richtige Reihenfolge bringen.
Arbeite im Heft.
b
a
b
a
c
a
1
b
c
c
c
a
b
Teilflächenberechnung:
c
b
Fläche Dreieck =
1
–a–b
2
a
2
3
4
a
c
c
c
b
a
5
b
a
b
a
b
c
c
c
a
c
b
Fläche des großen Quadrates
besteht aus 5 Teilflächen
a
(4 Dreiecke und ein kleines
Quadrat)
b
a2 2ab b2 2ab c 2
2ab
a
b
c
c
c
a
24
a
a
Fläche großes Quadrat = 4 · Dreieck + 1 kleines Quadrat
6
7
b
b
Satz des Pythagoras
b
a
c
(a b)2 4 1 a b c 2
2
a2 + b2 = c2
b
c2 = Fläche kleines Quadrat
c
c
b
Flächeninhalt großes Quadrat =
(a + b) · (a + b) = (a + b)2
a
Christian Wolf: Mathe an Stationen spezial: Satzgruppe des Pythagoras
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
Satz des Pythagoras
Aufgabe 3
Name:
Station 5
Rechnen mit Pythagoras I
Aufgabe 1
Du weißt jetzt: a2 + b2 = c2 gilt nur für rechtwinklige Dreiecke (Satz des Pythagoras).
Berechne die fehlenden Flächeninhalte.
a)
Satz des Pythagoras
9 cm2
b)
5c
m
?
20 cm2
?
8 cm
Aufgabe 2
Bestimme den Flächeninhalt der beschrifteten Quadrate.
i)
1
h)
5
8
g)
1
Christian Wolf: Mathe an Stationen spezial: Satzgruppe des Pythagoras
© Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
1
a)
3
f)
b)
2
11
c)
e)
4
d)
38
25