Eigenschaften und Anwendungen des Lotfußpunktdreiecks

Eigenschaften und Anwendungen des
Lotfußpunktdreiecks
Yimin Ge
Juni 2006
Es sei 4ABC ein Dreieck und P ein beliebiger Punkt. Seien X, Y und Z die Lotfußpunkte
von P auf BC, CA und AB (in dieser Reihenfolge).
Das Dreieck 4XY Z heißt Lotfußpunktdreieck oder auch Pedal-Dreieck des Punktes P in
Bezug zum des Dreiecks 4ABC.
Das Lotfußpunktdreieck hat einige besondere und bei Aufgaben oft sehr nützliche Eigenschaften, welche wir nun untersuchen möchten:
Satz 1 Für die Seitenlängen des Lotfußpunktdreieckes gilt:
YZ =
AP · BC
2R
ZX =
BP · CA
2R
wobei R der Umkreisradius von 4ABC ist.
1
XY =
CP · AB
2R
Beweis: Die Punkte A, Z, P, Y liegen auf dem Thaleskreis über AP , somit ist
kreisradius von 4AZY . Nach Sinussatz, angewandt auf 4AZY , gilt daher
AP
2
der Um-
YZ
.
AP
Andererseits gilt nach Sinussatz, angewandt auf 4ABC
sin α =
sin α =
BC
.
2R
Somit gilt
AP · BC
.
2R
Die Gleichungen für die anderen Seiten folgen analog.
YZ =
Das Lotfußpunktdreieck kann im Extremfall auch zu einer Strecke ausarten. Dies ändert
am oben angeführten Beweis von Satz 1 nichts, jedoch wollen wir nun untersuchen, wann
dieser Fall eintritt.
Satz 2 (Satz von Simson) Die Punkte X, Y und Z liegen dann und nur dann auf einer
Geraden, wenn P auf dem Umkreis von 4ABC liegt.
2
Beweis: Um Fallunterscheidungen bezüglich der Anordnungen der Punkte zu ersparen, seien
in diesem Beweis alle Winkel orientierte Winkel modulo 180◦ (siehe [2]). Da ]P XB =
]P ZB = 90◦ , liegen die Punkte P, X, Z, B auf einem Kreis. Nach Peripheriewinkelsatz gilt
somit ]ZXP = ]ZBP = ]ABP . Analog erhält man ]Y XP = ]Y CP = ]ACP . Die
Punkte X, Y, Z liegen genau dann auf einer Geraden, wenn ]ZXY = 0◦ . Nun gilt aber
]ZXY = ]ZXP + ]P XY . Daher gilt:
]ZXY
⇐⇒ ]ZXP + ]P XY
⇐⇒ ]ZXP − ]Y XP
⇐⇒ ]ABP − ]ACP =
⇐⇒ ]ABP
=
=
=
=
=
0◦
0◦
0◦
0◦
]ACP.
Nun gilt aber ]ABP = ]ACP genau dann, wenn A, B, C, P auf einem Kreis liegen.
Falls P auf dem Umkreis von 4ABC liegt, so bezeichnet man die Gerade, die durch
X, Y und Z geht, auch als Simsongerade oder Wallacegerade des Punktes P im Bezug zum
Dreieck 4ABC.
Im Folgenden wollen wir nun einige Beispiele betrachten, bei denen wir die obigen Erkenntnisse anwenden können:
Aufgabe 1 (IMO 1993, 2a):
Sei D ein Punkt im spitzwinkeligen Dreieck 4ABC sodass ∠ADB = ∠ACB + 90◦ und
AB · CD
AC · BD = AD · BC. Berechne
.
AC · BD
3
Lösung: Sei 4XY Z das Lotfußpunktdreieck von D im Bezug zum Dreieck 4ABC, wobei X
dem Punkt A, Y dem Punkt B und Z dem Punkt C gegenüberliegt. Aus AC ·BD = AD·BC
folgt nach Satz 1, dass ZX = ZY , d.h. das Lotfußpunktdreieck ist gleichschenklig. WeiXY
AB · CD
=
ist. Bezeichnen wir
ters folgt nach Satz 1, dass das gesuchte Verhältnis
AC◦ · BD
XZ
∠ACB = γ, dann gilt nach Vorraussetzung ∠ADB = 90 + γ
Betrachten wir nun die Winkelsumme im Viereck ADBC, so gilt ∠DAC + ∠DBC =
360◦ − γ − (360◦ − 90◦ − γ) = 90◦ . Andererseits gilt aber, da AZDY und BZDX Sehnenvierecke sind, ∠DAC = ∠DAY = ∠DZY sowie ∠DBC = ∠DBX = ∠DZX. Somit
gilt ∠XZY = ∠XZD + ∠Y ZD = 90◦ , womit das Lotfußpunktdreieck XY Z ein gleichschenklig rechtwinkeliges Dreieck mit Hypothenuse XY ist. In einem gleischenklig
√ rechtwinkeligen Dreieck ist das Verhältnis von Hypothenuse zur Kathete bekanntlich 2. Somit gilt
XY
AB · CD √
=
= 2.
XZ
AC · BD
Aufgabe 2 (IMO 1996, 2 ):
Sei P ein Punkt innerhalb des Dreiecks 4ABC, sodass ∠AP B − ∠ACB = ∠AP C − ∠ABC.
Die Punkte D und E seien die die Inkreise der Dreiecke AP B und AP C. Zeige, dass die
Geraden AP, BD und CE einen gemeinsamen Punkt haben.
Lösung: Sei 4XY Z das Lotfußpunktdreieck von P im Bezug zum Dreieck 4ABC, wobei
X dem Punkt A, Y dem Punkt B und Z dem Punkt C gegenüberliegt. Die Geraden BD
und CE sind die Winkelsymmetralen von ∠ABP und ∠ACP . In jedem Dreieck teilt eine
Innenwinkelsymmetrale die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten,
AB
daher teilt die Gerade BD die Strecke AP im Verhältnis
und die Gerade CE teilt die
BP
4
AC
Strecke AP im Verhältnis
. Die Geraden BD und CE schneiden sich genau dann auf
CP
AP , wenn sie die Strecke AP im gleichen Verhältnis teilen, wenn also gilt:
AB
AC
=
⇐⇒ AB · CP = AC · BP ⇐⇒ XY = XZ
BP
CP
wobei Letzteres aus Satz 1 folgt. Es bleibt also zu zeigen, dass das Lotfußpunktdreieck
4XY Z gleichschenklig (mit XY = XZ) ist. Dies zeigen wir, indem wir ∠XY Z = ∠XZY
beweisen. Da AY P Z und CXP Y Sehnenvierecke sind, gilt:
∠P Y Z = ∠P AZ = ∠P AB
sowie
∠P Y X = ∠P CX = ∠P CB
Betrachten wir nun die Winkelsumme im Viereck ABCP , so gilt ∠P AB + ∠P CB = 360◦ −
∠ABC − (360◦ − ∠AP C) = ∠AP C − ∠ABC. Nun gilt aber ∠P AB + ∠P CB = ∠P Y Z +
∠P Y X = ∠XY Z. Daher gilt
∠XY Z = ∠AP C − ∠ABC.
Analog erhalten wir
∠XZY = ∠AP B − ∠ACB.
Somit bleibt zu zeigen, dass ∠AP B − ∠ACB = ∠AP C − ∠ABC gilt. Dies ist aber laut
Voraussetzung richtig.
Aufgabe 3 (IMO 2003, 4 ):
Sei ABCD ein Sehnenviereck. Ferner seien P, Q und R die Fußpunkte der Lote von D auf
die Geraden BC, CA und AB (in dieser Reihenfolge). Man beweise, dass P Q = QR dann
und nur dann gilt, wenn sich die Winkelhalbierenden der Winkel ∠ABC und ∠ADC auf der
Geraden AC schneiden!
5
Lösung: 4P QR ist das (in dem Fall laut Satz 2 zu einer Strecke ausgeartetes) Lotfußpunkdreieck des Punktes D im Bezug zum Dreieck 4ABC. Nach Satz 1 gilt somit
PQ =
DC · AB
2R
sowie
QR =
AD · BC
2R
wobei R der Umkreisradius von 4ABC ist. Somit gilt P Q = QR dann und nur dann, wenn
AB
AD
DC · AB = AD · BC ⇐⇒
=
. Da in jedem Dreieck eine Innenwinkelsymmetrale
BC
DC
AB
AD
die gegenüberliegend Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten teilt, gilt
=
dann
BC
DC
und nur dann, wenn die Winkelsymmetralen von ∠ABC und ∠ADC die gemeinsame Seite
AC der Dreiecke ABC und ADC im gleichen Verhältnis teilen, sich also auf AC schneiden.
Bemerkung: Wie diese Lösung zeigt ist die Bedingung, dass D auf dem Umkreis von 4ABC
liegt, völlig irrelevant.
Literatur
[1] H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited, The Mathematical Association of
America , 1967
[2] Darij Grinberg: Orientierte Winkel modulo 180◦ ,
http://de.geocities.com/darij_grinberg/Dreigeom/OrWinkel.zip, 2005
[3] Mathlinks: IMO 1993, Aufgabe 2,
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=372303, 1993
[4] Mathlinks: IMO 1996, Aufgabe 2,
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=3459, 1996
[5] Mathlinks: IMO 2003, Aufgabe 4,
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=96, 2003
[6] Math4U: Lotfußpunktdreiecke,
http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/PD5.html, 1998-2001
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