Übungsaufgaben Fortgeschrittene Atomphysik

Wahlpflichtfach Atomphysik I
Wintersemester 2008/09
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
Übungsblatt 03
Besprechung1 : 25./26. November
Aufgabe 2 (Zeeman–Effekt im Wasserstoffatom)
In der Vorlesung wurde der Zeeman–Effekt im Wasserstoffatom für den Grundzustand S1/2 behandelt. Dabei wurde zunächst nur der Hamiltonoperator
Ĥ = a Iˆ · ŝ/~2 + gs µB Bz ŝz /~ mit gs = 2 betrachtet, mit Kernspin Iˆ und
Elektronenspin ŝ.
a) Berechnen Sie die neuen
Eigenenergien
für den vollständigen Hamiltonm
2
operator Ĥ = a Iˆ · ŝ/~ + gs ŝz − gp mpe Iˆz µB Bz /~ mit gp = 5.6.
b) Bei welchem Magnetfeld schneiden sich die beiden energetisch höher liegenden Niveaus?
c) Welche Energieaufspaltung haben die Zustände für große Magnetfelder?
Aufgabe 3 (Lebensdauer des 2S Zustandes des Wasserstoffatoms)
Der 22 S1/2 -Zustand von Wasserstoff liegt auf Grund des Lamb-Shifts um
δLamb = 1.058 GHz höher als der 22 P1/2 Zustand. Ohne äußeres elektrisches
Feld hat der 22 S1/2 Zustand eine natürliche Lebensdauer von 1/8 s und zerfällt via eines zwei-Photonen Prozesses in den Grundzustand 12 S1/2 . Der
22 P1/2 Zustand hat hingegen eine sehr kurze Lebensdauer, weil er durch ein
einzelnes Photonen in den Grundzustand zerfallen kann. Das Einschalten eines elektrischen Feldes E verkürzt die Lebensdauer des 22 S1/2 Zustands, weil
ihm der 22 P1/2 beigemischt wird.
a) Geben Sie zunächst die normierten Wellenfunktionen |n, l, ml i für den
Grundzustand n = 1 und die 4 angeregten Zustände n = 2 an. Stellen Sie
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons graphisch dar.
b) Die Lebensdauer τ eines angeregten Zustandes |n0 , l0 , m0l i ist durch den Ein3
stein A Koeffizient τ −1 = Γ = A = 3πεω0 ~c3 |hn, l, ml |d|n0 , l0 , m0l i|2 bestimmt.
Berechnen Sie die Lebensdauer der angeregten Zustände |2, 0, 0i, |2, 0, ±1i
und |2, 1, 0i für Zerfälle nach |1, 0, 0i. Benutzen Sie als Übergangskreisfre1
Jonas Metz; Raum: 4-108; Tel: 64 953; E-Mail: [email protected]
1
quenz ω = 1.54 · 1016 Hz.
Hinweis: Der Dipoloperator dˆ = q · r̂ für linear polarisiertes Licht in z–Richtung ist in Kugelkoordinanten durch dˆ = q · r̂ · cos θ gegeben.
c) Befindet sich ein Atom im Zustand 22 S1/2 in einem elektrischen Feld E,
so wird ein Anteil des 22 P1/2 Zustandes beigemischt. Dies beschleunigt den
Zerfall. Benutzen Sie nicht entartete Störungstheorie erster Ordnung, um
diese Beimischung zu berechnen. Die Störung ist dabei durch HE = −dˆ· E
gegeben. Wie verändert sich dadurch die Lebensdauer des 22 S1/2 Zustandes?
Hinweis: Benutzen Sie im folgenden stets den polarisierte Zustand mit mJ =
+1/2. Wie ändert sich die Rechnung, falls das Atom nicht polarisiert ist?
d) Weil die Störung des 22 P1/2 Energieniveaus vergleichbar ist mit der Aufspaltung durch den Lamb Shift, ist die Störungsrechnung aus Aufgabe c)
nicht anwendbar. Deshalb soll nun eine genauere Methode verwendet werden.
Der effektive Hamiltonoperator im elektrischen Feld E ist durch
2
ˆ 2 P1/2 i h22 S1/2 |d|2
ˆ 2 P1/2 i
iγ/2 Ω/2
h2 P1/2 |d|2
Heff = −E
ˆ 2 S1/2 i h22 S1/2 |d|2
ˆ 2 S1/2 i = −~ Ω/2 −δ
h22 P1/2 |d|2
(3.1)
def
2
gegeben, wobei der 2 P1/2 Zustand den Energienullpunkt definiert, δ = δlamb −
def
ωLaser das Detuning und Ω = 2h22 S1/2 |dˆ· E|22 P1/2 i die Rabikreisfrequenz.
Die Linienbreite γ des 22 P1/2 Zustandes wird eingeführt, um im 2–Niveaumodell zu bleiben2 , während der Zerfall des ungekoppelten 22 S1/2 Zustandes
vernachlässigt wird. Ermitteln Sie die neuen Eigenwerte und die neuen Eigenzustände.
e) Zeigen Sie, dass für kleine Felder E die Beimischung des 22 P1/2 Zustandes
Ω/2
zum 22 S1/2 Zustand δ+iγ/2
ist. Berechnen Sie schließlich die Lebensdauer des
2
2 S1/2 Zustandes im elektrischen Feld.
2
Der effektive Hamiltonoperator ist ein empirischer Ansatz (nicht–hermitesch).
2