Übungsblatt 9 - QUANTUM

Übungen zur Quantenoptik
Johannes Gutenberg-Universität Mainz, WS08/09
Dr. Stefan Kuhr
Tutoren: Manuel Endres, Daniel Reitz
www.quantum.physik.uni-mainz.de/lectures/2008/WS0809_quantenoptik
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe auf der Abgabe an.
Übungsblatt 9
Abgabe: 20.01.
9.1 No-Cloning-Theorem (8 Punkte)
Das No-Cloning-Theorem besagt, daß man einen Quantenzustand nicht perfekt auf ein anderes
System kopieren kann, ohne dabei den ursprünglichen Quantenzustand zu verändern.
a) Als Quantenzustände betrachten wir zunächst die Polarisationszustände des Lichts mit der
Basis B = {| li, | ↔i}. Nehmen wir an, es gäbe einen perfekten „Quantenverstärker“, der den
Polarisationszustand eines Photons auf ein zweites Photon kopieren könnte, ohne dabei den
ersten zu zerstören. Wir nehmen an, daß dieser Verstärker durch einen linearen unitären
Operator Q̂ repräsentiert werden kann: Q̂| l 0i = | lli und Q̂| ↔ 0i = | ↔↔i Hierbei steht
„0 “ für den (beliebig wählbaren) Anfangszustand des zweiten Photons.
Nehmen Sie nun einen beliebigen Anfangszustand des ersten Photons |si = α| li + β| ↔i an.
Wie müßte ein perfekt geklonter Quantenzustand |ssi in der Basis B aussehen? Vergleichen
Sie diesen mit dem Zustand, den unser Quantenverstärker erzeugen würde.
[Siehe auch : W. K. Wootters und W. H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned,
Nature 299, 802 (1982)].
b) Nun beweisen wir das No-Cloning-Theorem für beliebige Quantenzustände.
Gegeben sei ein Teilchen in einem beliebigen Zustand |Ψi und ein Teilchen in einem (bekannten) Zustand |ai. Ziel ist es nun, den Zustand |ai in den Zustand |Ψi umzuwandeln,
und damit den Zustand zu klonen. Dazu wird ein unitärer Operator Û mit der folgenden
Eigenschaft gesucht:
Û |Ψi|ai = |Ψi|Ψi.
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Zeigen Sie, dass die obige Gleichung auf einen Widerspruch führt, wenn es einen solchen
Operator gäbe.
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9.2 Entanglement Swapping (12 Punkte)
In dieser Aufgabe werden Sie eine Methode kennenlernen, mit der man Verschränkung zwischen
Teilsystemen erzeugen kann, welche nie miteinander wechselwirkten. Verschränkt werden sollen
hier zwei Teilchen, die jeweils Teil eines verschränkten Zustands waren. Man spricht deshalb
von Entanglement Swapping. Die erste experimentelle Realisierung dieser Methode gelang in der
Gruppe von Anton Zeilinger in Wien. Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die Publikation dieser Ergebnisse: Jian-Wei Pan et al., Experimental Entanglement Swapping: Entangling
Photons That Never Interacted, Phys. Rev. Lett. 80, 3891 (1998).
a) Lesen Sie die Publikation bis inklusive Gleichung (3). Versuchen Sie Gleichung (3) zu
beweisen. Sie werden erkennen, dass die Vorzeichen in Gleichung (3) nicht korrekt sind.
Wie lautet die korrekte Version der Gleichung?
b) Wiederholen Sie kurz Ihre Kenntnisse über projektive Messung aus Ihrem QuantenmechanikKurs. Wie ergibt sich der Zustand nach der Messung aus dem Zustand vor der Messung?
Beschreiben Sie nun das prinzipielle Vorgehen beim Entanglement Swapping.
c) Im vorliegenden Experiment wird die nötige Bellzustands-Messung mit Hilfe eines Strahlteilers durchgeführt. Man macht sich hierbei die besonderen Eigenschaften des Zustands |Ψ− i
zu eigen. Werden die beiden Photonen eines Bellzustands an einem Strahlteiler überlagert,
so ergibt sich nur bei |Ψ− i jeweils ein Photon in einem Ausgangsarm. Für die anderen drei
Bellzustände müssen die beiden Photonen gemäß der Strahlteiler-Transformation in einem
Ausgangsarm zusammen erscheinen. Beweisen Sie dieses Verhalten unter Verwendung Ihres Wissens aus Aufgabe 8.2. Nehmen Sie an, dass die Strahlteiler-Transformation für die
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der beiden Polarisationen H und V separat gilt.
d) Beschreiben Sie kurz den verwendeten experimentellen Aufbau.
e) Wie wird im Experiment gezeigt, dass es sich beim erzeugten Zustand tatsächlich um |Ψ− i
handelt. Erklären Sie hierfür insbesondere Abbildung 3.
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