Aufgaben

In einem Informatik-Kurs bestehend aus 100 Studenten, haben 54 Studenten Mathematik, 69
Chemie und 35 beide Fächer belegt. Wenn wir zufällig einen Studenten auswählen, wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass er Mathematik oder Chemie (oder beide) belegt hat?
dass er keins von diesen beiden Fächern belegt hat?
dass er Chemie aber nicht Mathematik belegt hat?
M
C
M
C
19
35
34
12
Für die Elektrotechnik-Studenten einer Universität ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem
Bachlor- Abschluss ein Master-Studium zu beginnen gleich ¼ , für Maschinenbau-Studenten
dagegen gleich . Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass Studenten beider Fächer nach dem Bachlor-Abschluss ein Master-Studium
beginnen.
dass Studenten der Elektrotechnik oder der Maschinenbau (oder beider Fachrichtungen)
nach dem Bachlor-Abschluss ein Master-Studium beginnen.
Lösung: Unabhängige Ereignisse und Additionssatz a) 1/12
b) 1/2
Bei einer Prüfung sind 25% der Prüflinge in Physik, 15% in Chemie und 10% in beiden
Fächern durchgefallen. Wenn wir zufällig einen Prüfling auswählen, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit,
dass er in Physik durchfiel, wenn man weiß, dass er Chemie nicht bestanden hat?
dass er in Chemie durchfiel, wenn man weiß, dass er Physik nicht bestanden hat?
dass er in Physik oder Chemie (oder beide) durchfiel?
Lösung: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Additionssatz a) 2/3 b) 2/5
c) 3/10
Die Feuerwehr einer kleinen Ortschaft besitzt ein Feuerwehrfahrzeug und einen
Krankenwagen. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Feuerwehrfahrzeug einsatzbereit
ist, beträgt 0,98 und, dass der Krankenwagen einsatzbereit ist, beträgt 0,92. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass beide Fahrzeuge gleichzeitig verfügbar sind.
Lösung: Unabhängige Ereignisse 0,9016
! Die Noten von 10 Bachlor- 30 Master- und 10 PhD-Studenten (Doktoranden) eines
Informatikkurses waren wie folgt.
StudienAbschluss
Bachlor
Master
PhD
Gut
3
10
5
18
Note
Befriedigend
2
12
5
19
Ausreichend
5
8
0
13
10
30
10
50
1
Wenn man aus diesem Kurs einen Studenten zufällig auswählt und heraus findet, dass er die
Prüfung mit Gut bestanden hat, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er ein MasterStudent ist? Lösung: Bedingte Wahrscheinlichkeit: 10/18
" In einer Packung befinden sich 5 Speicherchips Zwei davon sind defekt. Jemand wählt
nacheinander zufällig ohne Zurücklegen zwei Chips heraus. Definieren Sie die jeweiligen
Ereignisse für die beiden Züge und zeichnen Sie den Wahrscheinlichkeitsbaum.
Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse.
Ereignis E 0 : kein Chip defekt.
Ereignis E 1 : genau ein Chip defekt.
Ereignis E 2 : zwei Chips defekt.
Lösung: Wahrscheinlichkeitsbaum und abhängige Ereignisse für die Züge: a) 3/10 b) 6/10 c) 1/10
# In einer Packung befinden sich 5 Speicherchips Zwei davon sind defekt. Jemand wählt
nacheinander zufällig ohne Zurücklegen zwei Chips heraus.
$
Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten 2 Chips zu erhalten,
so dass der Zustand der beiden Chips unwichtig ist
so dass von den beiden Chips keiner defekt ist.
so dass von den beiden Chips genau einer defekt ist.
% so dass beide Chips defekt sind.
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Lösung: Kombinatorik: a) 10 b) 3 c) 6 d) 1
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$$
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür 2 Chips zu erhalten,
so dass von den beiden Chips keiner defekt ist.
so dass von den beiden Chips genau einer defekt ist.
% so dass beide Chips defekt sind.
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**
Lösung: Definition der Wahrscheinlichkeit: a) 3/10 b) 6/10 c) 1/10
( Eine Packung enthält 11 Speicherchips. Von diesen Chips sind 6 aus Japan und 5 aus
Korea. Bestimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit dafür 4 Chips ohne Zurücklegen
auszuwählen,
falls 2 aus Japan und 2 aus Korea stammen sollen.
falls alle aus Japan stammen sollen.
Lösung: Mit Hilfe der Formeln der Kombinatorik und der Definition der Wahrscheinlichkeit
a) 150 / 330
b) 15 / 330
) Eine Packung enthält 500 Stück „400MHz-Prozessoren“ und 500 Stück 600MHzProzessoren. Die Anzahl von intakten sowie von defekten Mikroprozessoren in der Packung
ist in der folgenden Tabelle gegeben.
Prozessor
Intakt
Defekt
400MHz
480
20
500
600MHz
490
10
500
970
30
Gesamtzahl: 1000
Wenn man aus dieser Packung zufällig einen Mikroprozessor auswählt und heraus findet, dass
dieser ein 400MHz-Prozessor ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser
Prozessor defekt ist?
Lösung: Bedingte Wahrscheinlichkeit: (20/1000) : (500/1000) = 20/500 = 0,04
2
*
++ + ,
./
01& 12
. ++
Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden
anderen Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet. Im Spiel befinden sich also noch ein
Gewinn und eine Niete.
Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das
andere Tor zu wählen
Wie soll sich der Kandidat entscheiden, um seine Gewinnchance zu erhöhen?
Soll er stehen bleiben oder das Tor wechseln?
1
2
3
Kandidat wählt ein Tor
1
2
3
Moderator macht ein Tor auf, hinter dem sich
eine Ziege befindet
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21
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Kandidat
wählt Tor 1
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Auto hinter
Tor
Moderator öffnet
Tor
1 / 2
A
T
1 / 3
T
1 / 2
1 / 3
A
A
T
1
T
T
0
0
1 / 3
0
1 / 3
3
2
3
0
1 / 3
2
2
T
3
1 / 3
/
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Wechsel
3
0
1
1 / 3
2
1
NichtWechsel
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8
2 / 3
, 01
9 5
01
0
$1 1
+++ Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeiten für das
Ziegenproblem bei einem Wechsel und bei einem Nicht-Wechsel.
3
Aufgrund von Erfahrungen und statistischen Untersuchungen geht die
Flugsicherheitsbehörde davon aus, dass im Flughafen C&B 0,1% der Passagiere
(unabsichtlich oder absichtlich) mit sich verbotene Gegenstände mitführen. Ein Scanngerät
der Marke G&E soll zur Kontrolle der Passagiere eingesetzt werden. Dieses Gerät hat die
Eigenschaft, dass es in 98% der Fälle Alarm schlägt, wenn ein Passagier verbotene
Gegenstände bei sich hat. Und in 1% der Fälle schlägt das Gerät auch Alarm, wenn ein
Passagier keine verbotenen Gegenstände bei sich hat.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei Passagier-Kontrollen in diesem
Flughafen dieses Gerät Alarm schlägt?
Lösung: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: 0,01097
Wenn bei Passagier-Kontrollen in diesem Flughafen dieses Gerät Alarm schlägt,
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Passagier keine verbotenen
Gegenstände bei sich hat (Fehlalarm)?
Lösung: Satz von Bayes:: 0,91066 0,911
Wenn bei Passagier-Kontrollen in diesem Flughafen das Gerät Alarm schlägt, wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Passagier tatsächlich verbotene
Gegenstände bei sich hat?
Lösung: Satz von Bayes: 0,089 oder 1 – 0,911 = 0,089
% In diesem Flughafen werden durchschnittlich in einem Jahr mit dem Gerät
100’000 Passagiere gescannt. Wie oft würde dann das Scanngerät Alarm
schlagen und wie viele davon wären dann Fehlalarme?
Lösung: 1097 Alarme und 999 Fehlalarme
Das Scann-Gerät der der Marke G&E soll nun auch im Flughafen von Gotham-City
eingesetzt werden, in dem nach statistischen Untersuchungen 20% der Passagiere mit sich
absichtlich verbotene Gegenstände mitführen.
In wie viel Prozent der Fälle schlägt in diesem Flughafen dieses Gerät Alarm?
Wenn in diesem Flughafen das Gerät Alarm schlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass der Passagier tatsächlich verbotene Gegenstände bei sich hat?
Eine Produktionsanlage in einem Elektronikkonzern stellt Mikrochips mit einem Ausschuss
von 10% her. Zur Aussonderung werden die hergestellten Chips mit einem Prüfgerät geprüft.
Durch das Prüfgerät werden 97% aller defekten Chips aussondiert.
Leider werden durch das Prüfgerät auch 5% aller nicht-defekten Chips aussondiert.
Wie groß ist der Anteil aller aussondierten Chips aus der Gesamtproduktion. (Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip aussondiert wird)
Lösung: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: 0,142
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein aussondierter Chip auch tatsächlich
defekt ist?
Lösung: Satz von Bayes: 0,683
4
, 4
5
4
60
.
3
1$
Ein System, das aus einer Serien-Schaltung mit zwei Komponenten besteht, funktioniert
dann, wenn beide einzelnen Komponenten gleichzeitig funktionieren.
A
B
Die Komponenten A bzw. B seien unabhängig von einander, und P(A) = 0,99 bzw.
P(B) = 0,98 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A bzw. B
funktionieren.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems).
dass das System ausfällt. (F: Ausfall des Systems).
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe:
$
der Definition von unabhängigen Ereignissen (und ggf. den Additionssatzes).
$$
eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und ggf. des
Additionssatzes).
$
Das System funktioniert, wenn A UND B gleichzeitig funktionieren.
$$
A:
Komponente A funktioniert.
B
A : ______________________
A
B : ______________________
B
B : ______________________
B
A
B
R : System funktioniert
F : System funktioniert nicht.
5
! Ein System, das aus einer Parallel-Schaltung mit zwei Komponenten besteht, funktioniert
dann, wenn mindestens einer der beiden Komponenten funktionieren.
B
A
Die Komponenten A bzw. B seien unabhängig von einander, und P(A) = 0,99 bzw.
P(B) = 0,98 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A bzw. B
funktionieren.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems).
dass das System ausfällt. (F: Ausfall des Systems).
&
$
$$
$
'
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe:
der Definition von unabhängigen Ereignissen (und ggf. den Additionssatzes).
eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und ggf. des
Additionssatzes) .
Das System funktioniert, wenn A ODER B (oder beide) funktionieren.
$$
A:
Komponente A funktioniert.
B
A : ______________________
A
B : ______________________
B
B : ______________________
B
A
B
R : System funktioniert
F : System funktioniert nicht.
6
" Folgendes gemischtes System ist gegeben.
A
B
C
Die Komponenten A , B bzw. C seien unabhängig von einander, und P(A) = 0,9 P(B) = 0,9
bzw. P(C) = 0,8 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A , B bzw. C
funktionieren.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems).
dass das System ausfällt. (F: Ausfall des Systems).
&
$
$$
$
'
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe:
der Definition von unabhängigen Ereignissen und des Additionssatzes.
eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und des
Additionssatzes) .
Das System funktioniert, wenn „A UND B“ ODER C (oder alle) funktionieren.
$$
A:
_____________________
A : ______________________
B : ______________________
B : ______________________
C : ______________________
C : ______________________
7
# Die Airline D&A bestellt für ihre Langstreckenflüge dreistrahlige Passagierjets der Marke TriStar mit Turbinen vom Hersteller R&R. Diese haben nach Angaben des Herstellers während
eines Langstreckenfluges eine Ausfallwahrscheinlichkeit von p = 0,01. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass während eines Langestreckenflugs
keine Turbine ausfällt (Ereignis E 0 )?
eine Turbine ausfällt (Ereignis E 1 )?
2 Turbinen ausfallen? (Ereignis E 2 )
% alle 3 Turbinen ausfallen? (Ereignis E 3 )
.
&
$
$$
'
A:
Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe:
eines Ereignisbaums.
einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
_____________________
A : ______________________
B : ______________________
B : ______________________
C : ______________________
C : ______________________
E0 =
P( E 0 ) =
E1 =
P( E 1 ) =
E2 =
P( E 2 ) =
E3 =
P( E 3 ) =
_________________________________________________________
________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________________________________________
_________________________________________________________
________________________________________________________
8
( Beim Ausfallen der Turbinen gerät ein Flugzeug in Absturzgefahr. Die Wahrscheinlichkeit für
die Absturzgefahr des Flugzeugtyps aus der vorigen Aufgabe
beträgt 0,001, wenn keine Turbine ausfällt.
beträgt 0,1, wenn eine Turbine ausfällt.
beträgt 0,7, wenn 2 Turbinen ausfallen.
beträgt 1, wenn alle 3 Turbinen ausfallen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug in Absturzgefahr gerät?
& '
Lösung mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeiten und Satz der totalen
Wahrscheinlichkeit.
: ______________________
: ______________________
: ______________________
: ______________________
G : Flugzeug gerät in die Absturzgefahr.
G
=
P( G ) =
_________________________________________________________
________________________________________________________
9
) Ein Bergsteiger verwendet beim Klettern ein Seilsystem, das aus 2 Seilen gleicher Qualität
besteht. Das erste Seil A ist fest gespannt und trägt die ganze Last. Das zweite Seil B ist ein
wenig länger als Seil A und trägt keine Last, so lange Seil A noch funktioniert. Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Seil beim Tragen seines Gewichts zerreißt, beträgt 0,01.
Falls Seil A zerreißt, übernimmt Seil B seine Aufgabe. In diesem Fall ist aber die
Wahrscheinlichkeit, dass B zerreißt 0,02. Denn wegen der Trägheit von Seil B und die
schnelle Zugkraft, die es erfährt, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass es zerreist. Das
Seilsystem fällt dann aus, wenn beide Seile zerreißen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
das Seilsystem versagt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das
Seilsystem zuverlässig funktioniert
Lösung: Abhängige Ereignisse a) 0,00002 b) 1 – 0,00002
3
/
10