2. Propädeutische Geometrie Klasse 5/6 2.1 Zur Entwicklung der

2. Propädeutische Geometrie Klasse 5/6
2.1 Zur Entwicklung der Schüler
● Kinder im Alter von 10-12 Jahren sind
– wissbegierig
– neugierig
– leicht zu motivieren
– anhänglich (Lehrperson ist Autorität)
– zum Spielen aufgelegt!
Abstraktionsfähigkeit begrenzt
Für den Geometrieunterricht ausnützen!
● Handlungsorientierung einbauen
● Spielerische Elemente einbauen
● Speziell im GU:
– Legespiele, z. B. Tangram
– Basteln
– Falten
– Mit Spiegel arbeiten
● Fördern und Fordern !
Der Unterschied zur Mathematik der Grundschule soll auch
deutlich werden!
2.2 Symmetrie
Arten der Symmetrie
● Achsensymmetrie
● Punktsymmetrie
● Drehsymmetrie
● Punktsymmetrie ist Spezialfall der
Drehsymmetrie
Spiegelung und Symmetrie
● Unterscheide:
– Achsenspiegelung und Achsensymmetrie
– Punktspiegelung und Punktsymmetrie
– Drehung und Drehsymmetrie
● Problem: Die Drehung ist nicht mehr Teil des
Kerncurriculums
2.3 Definieren
● Keines von den Dingen definieren wollen, die in
sich selbst so bekannt sind, dass man keine klareren
Begriffe hat, um sie zu erklären. Keinen der etwas
dunklen oder doppeldeutigen Begriffe
undefiniert lassen. Bei der Definition der Begriffe nur
vollkommen bekannte oder schon erklärte Begriffe
verwenden.
● Blaise Pascal (1623-1662)
Wichtige Begriffe erklären
● Strecke, Gerade, Orthogonal, Parallel
● Wichtig: orthogonal zueinander, parallel zueinander
Erklärung von „orthogonal“
● Beispiel:
● Faltet man ein Blatt Papier so zweimal
nacheinander, dass beim zweiten Falten die
beiden Teile der ersten Faltlinie genau
aufeinander liegen, so nennt man die beim
Falten entstandenen Geraden orthogonal.
● Oder Konstruktiv formulieren:
● Falte ein Blatt Papier einmal. Nenne die
Faltgerade g. Falte das Blatt nun noch einmal
so, dass die beiden Teile der Geraden g
aufeinander fallen. Es entsteht die Faltgerade
h. Die Geraden g und h sind orthogonal zueinander.
● Grundsätzlich sollen alle an der Tafel und im
Heft notierten Sätze so kurz wie möglich und so
präzis wie nötig sein.
2.3 Beispiel
● Die Geraden g und h sind orthogonal zueinander.
● Sie haben einen Schnittpunkt und bilden einen rechten Winkel.
Parallele Geraden
● Erklärung:
● Parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt.
Figuren
● Grundsätzlich darauf achten, dass Figuren in
unterschiedlicher Lage gezeichnet werden.
● Z. B. Quadrat parallel zu den Karolinien
gezeichnet und schräg dazu ( <-> Raute)
● Daher SuS üben lassen auch z. B. durch
folgende Aufgabe:
● Ergänze eine schief gezeichnete Strecke im
Koordinatensystem zu einem Rechteck.
Präzisierung des Sprachgebrauchs
● SuS behutsam an sprachliche Präzisierung
heranführen.
● Schüler durchaus selbst formulieren lassen,
dabei wohlwollend verbessern!
● Die Pisa-Untersuchungen haben gezeigt, dass
es einen Zusammenhang zwischen Leistungen
in Mathematik und Leseverständnis gibt.
Verbalisierung
● Verbalisierung ist ein Prozess, der den
gesamten Mathematikunterricht durchzieht.
● Die Lehrperson sollte von den SuS nicht zu viel
erwarten,
● Sprachliche Präzisierung muss mit den SuS
erarbeitet werden.
2. Zum Winkelbegriff (Kl. 6)
● Der Winkelbegriff ist relativ schwierig!
Winkel messen und zeichnen, auch schätzen
● Winkel bis zu 180°
● Beliebige Winkel
Winkeldrehscheibe:
Golf
● Der Spieler will die Kugel mit einem Schlag ins Loch bringen.
2.5 Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens:
a) Würfelkörper mit „Bauwas“.
b) Winkel in Erdkunde.
2.6 Grundkonstruktionen
● Mit „Symmetrielinien“:
– Mittelsenkrechte
– Winkelhalbierende
– Mittelparallele
● „Kleine“ Sätze im Zusammenhang mit
Grundkonstruktionen
● Satz von der Mittelparallelen im Dreieck
● Satz von der Streifenschar
Die Mittelsenkrechte
● Die Mittelsenkrechte über der Strecke AB ist
Symmetrieachse.
● Bei einer Achsenspiegelung geht der Punkt A in
B und umgekehrt und die Strecke AB als
Ganzes in sich über.
● Bei einer Achsenspiegelung an m wird A auf B
und B auf A abgebildet.
● Die Mittelsenkrechte ist die Ortslinie aller
Punkte, die von A und B gleich weit entfernt
sind.
Winkelhalbierende
● Die Winkelhalbierende ist ebenfalls Symmetrieachse für die
beiden Schenkel.
● Der Faltvorgang macht beide Aspekte, den der
Mittelsenkrechten und den der
Winkelhalbierenden deutlich.
Die Mittelparallele
● Die Mittelparallele zweier Parallelen ist
Symmetrieachse für diese Parallelen.
● Aus dieser Symmetrie folgt sofort, dass die
Mittelparallel jede Querstrecke halbiert, insbesondere:
Die Mittelparallele in einem Dreieck ist parallel zur und halb so
lang wie die zugehörige Grundseite.
Streifenschar
● Die Streifenschar ist eine Verallgemeinerung
eines einfachen Streifens:
● Sie besteht aus lauter zueinander parallelen
Geraden, bei denen je zwei gleich weit
voneinander entfernt sind.
● Dementsprechend teilt eine Streifenschar jede
Querstrecke in lauter gleich lange Abschnitte.
Beliebiges Dreieck
● In einem Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel
gegenüber und umgekehrt.
Das gleichschenklige Dreieck
● Sind in einem Dreieck zwei Seiten gleich lang,
so auch die zwei anliegenden Winkel gleich
weit und umgekehrt:
● Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich weit,
so sind auch die zwei anliegenden Schenkel
gleich groß.
● In einem Dreieck kann man von gleichen
Schenkeln auf gleiche (Basis-) Winkel
schließen und umgekehrt.
Einfache Sätze
● Die Mittelparallele in einem Dreieck ist parallel
zur Grundseite und halb so lang wie diese.
● Zeichenwerkzeuge Zirkel und Lineal
● Die Grundkonstruktionen
– sollen den SuS grundlegende Konstruktionsprinzipien vermitteln
– Die SuS mit dem Werkzeug „Zirkel und Lineal“ vertraut machen
– Den Sinn einer Konstruktion deutlich machen.
– Den Sinn von Ortslinien deutlich machen
● Bei einer Konstruktionsaufgabe müssen sich die zu
konstruierenden Punkte als Schnittpunkte von Konstruktionslinien
(Geraden oder Kreis) ergeben.
Präzisierung des Sprachgebrauchs
● SuS behutsam an sprachliche Präzisierung
heranführen.
● Schüler durchaus selbst formulieren lassen,
dabei wohlwollend verbessern!
● Die Pisa-Untersuchungen haben gezeigt, dass
es einen Zusammenhang zwischen Leistungen
in Mathematik und Leseverständnis gibt.
Verbalisierung
● Verbalisierung ist ein Prozess, der den
gesamten Mathematikunterricht durchzieht.
● Die Lehrperson sollte von den SuS nicht zu viel
erwarten,
● Sprachliche Präzisierung muss mit den SuS
erarbeitet werden.
Sprachliche Präzisierung
● Verbalisierung muss mit den Schülern
erarbeitet werden.
●- Benutzen Sie Schülerformulierungen, auch
wenn Ihnen eine bessere geläufig ist.
● Sparen Sie nicht mit Lob.
Drei Fälle
● Präzision bei „Sätzen“
● Präzision bei „Definitionen“
● Präzision bei „Konstruktionsbeschreibungen
Sätze
● Achten Sie auf eine strenge Unterscheidung von Voraussetzungen
und Folgerung, formulieren Sie in wenn ... dann Form.
● Achten Sie auf die Vollständigkeit der Voraussetzungen.
● Setzen Sie bekannte mathematische Fachbegriffe und
Abkürzungen ein.
● Definitionen
● Verwenden sie beim Definieren Worte wie ...
heißt... oder ...nennt man ..., um den
Festlegungscharakter einer Definition
hervorzuheben.
● Vermeiden sie eine unnötige Anhäufung von
charakteristischen Merkmalen.
● Benutzen Sie nach Möglichkeit
konventionelle Definitionen.
Konstruktionsbeschreibungen
● Eine Konstruktionsbeschreibung soll
– Knapp
– Präzise
– Vollständig
– In Befehlsform
● abgefasst sein!