Aufgabenblatt - TU Darmstadt

Theoretische Physik II:
Quantenmechanik
Hans-Werner Hammer
Marcel Schmidt ([email protected])
Wintersemester 2016/17
13. Übung
2./3. Februar 2017
Aufgabe 1 Nicht-entartete Störungstheorie: Endliche Kernausdehnung
Ein Atomkern werde als homogen geladene Kugel (Radius R) mit der Gesamtladung Z e aufgefasst. Das
Potential, in dem sich ein Hüllenelektron dann bewegt, besitzt die Form

− Z e2 3 − 1 r 22 , r < R
R
2
2R
V (~x ) =
, r ≡ |~x | .
− Z e2 ,
r ≥R
r
a) Behandeln Sie die Abweichung des Potentials V (~x ) vom Coulomb-Potential eines Punktkerns als
Störung. Wie sieht das Potential der Störung aus?
1
b) Berechnen Sie in 1. Ordnung Störungstheorie die Energieverschiebung E1s
des 1s-Zustands. Nehmen Sie dabei an, dass der Kernradius R viel kleiner ist als der Bohr-Radius a und benutzen Sie die
1
0
Näherung exp (−r/a) ≈ 1 für r ≤ R . Zeigen Sie dann, dass |E1s
| |E1s
|.
HINWEIS: Es gilt
ψ1s (r, θ , ϕ) = p
1
a3 π
e−r/a ,
a=
ħ
h2
Z me e2
.
c) Wie groß ist die Verschiebung des Grundzustands beim Wasserstoff-Atom?
HINWEIS: Es gilt aH = 0.5 · 10−10 m . Ferner liefert die Formel R = r0 A1/3 mit r0 = 1.2 · 10−15 m
und Massenzahl A eine gute Näherung für den Kernradius.
d) Wir ersetzen nun das Elektron des Wasserstoff-Atoms durch ein negativ geladenes Myon µ− . Dieses trägt die gleiche Ladung wie das Elektron, besitzt jedoch die Masse mµ ≈ 200 me . Wie groß
ist die Verschiebung der Grundzustandsenergie in 1. Ordnung Störungstheorie beim myonischen
Wasserstoff?
Aufgabe 2 Entartete Störungstheorie: Stark-Effekt
Wir betrachten nochmals das Wasserstoff-Atom. Die Elektron-Wellenfunktion
ψnl m (r, θ , ϕ) = R nl (r) Ylm (θ , ϕ)
genüge der stationären Schrödinger-Gleichung

ħ
h2
e2
Ĥ0 ψnl m (r, θ , ϕ) = −
∆−
ψnlm (r, θ , ϕ) = En ψnlm (r, θ , ϕ) .
2me
r
1
a) Geben Sie die ungestörten Eigenenergien En des Systems samt Entartungsgraden an.
~ ≡ E ~e3 eingeschaltet. Dieses induziert
b) Zum Zeitpunkt t = 0 werde instantan das elektrische Feld E
einen zusätzlichen Potentialterm
~ · ~xˆ ≡ Ĥ1 .
V̂E (~x ) = e E
Betrachten Sie im Folgenden Ĥ1 als Störung.
Drücken Sie Ĥ1 in Kugelkoordinaten aus. Skizzieren Sie das Gesamtpotential Vtot (x = 0, y = 0, z)
entlang der 3-Achse vor und nach dem Einschalten des Feldes.
c) Zeigen Sie, dass nur die Matrixelemente von Ĥ1 ungleich 0 sind, die Zustände entgegengesetzter
Parität und gleicher Magnet-Quantenzahl m verbinden.
d) Berechnen Sie – jeweils in der ersten nicht-verschwindenden Ordnung der Störungstheorie – die
Verschiebung der Grundzustandsenergie sowie die Korrektur der Wellenfunktion. Betrachten Sie
dabei nur Beiträge mit n ≤ 2 .
2
1
HINWEIS: Die Energiekorrekturen ∆Eα1 bzw.
α und die erste Korrektur der Wellenfunktion ∆ψα
∆E
lauten für einen nicht-entarteten Zustand ψα
¬ ¶
∆Eα1 = ψα Ĥ1 ψα ,
∆ψ1α =
¬
¶
X ψβ Ĥ1 ψα
β6=α
Eα − Eβ
∆Eα2 =
¬
¶2
X ψβ Ĥ1 ψα β6=α
Eα − Eβ
,
ψβ .
Weiter gelten die Relationen
2
e−r/a ,

1
r −r/(2a)
e
,
R20 (r) =
2−
a
(2a)3/2
r
3
Y10 (θ , ϕ) =
cos θ .
4π
R10 (r) =
a3/2
1
r −r/(2a)
R21 (r) = p
e
,
3/2
a
3 (2a)
e) Das Energieniveau mit n = 2 des ungestörten Atoms ist vierfach entartet. Geben Sie die entspre~ auf? Berechchenden Kombinationen (l, m) an. Wie spaltet dieses Niveau nach Einschalten von E
nen Sie die gestörten Wellenfunktionen ψα und ihre Energien in 1. Ordnung. Diagonalisieren Sie
hierfür die Matrix MH1 , welche Ĥ1 in dem Unterraum der ψα repräsentiert, d. h.
¬ ¶
(MH1 )α β ≡ ψα Ĥ1 ψβ .
¬ ¶
f) Berechnen Sie die Erwartungswerte ψα d̂3 ψα der 3-Komponente des Dipolmoment-Operators
~ˆ ≡ −e ~xˆ .
d
2