Formelsammlung
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Formelsammlung PHY116/118/119 Grundeinheiten/Abgeleitete Einheiten: Geschwindigkeit: Beschleunigung: Kraft: Energie: Leistung Druck: Ladung Elektr. Spannung: Elektr. Widerstand: 1 m/s 1 m/s2 1 N = 1 kgm/s2 1 J = 1 Nm = 1 kgm2/s2 1 W = 1 J/s = 1 kgm2/s3 1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/ms2 1 C = 1 As 1 V = 1 J/C = 1 kgm2/As3 1 " = 1V/A = 1 kgm2/A2s3 Fehlerrechnung ! Mittelwert einer Stichprobe (x1, x2, x3,…. xn): 1 n x = ! xi n i=1 Schätzung für die Abweichung des Mittelwertes vom wahren Wert: !x = n 1 (xi ! x )2 " n(n !1) i=1 Gauss’sches Fehlerfortpflanzungsgesetz für Addition/Subtraktion u = x ± y: "u = "x 2 + "y 2 Multiplikation/Division Potenzen/Wurzeln ! u = xy bzw. x / y : ru = rx + ry u=x : ru = a rx a 2 2 mit rx = "x x etc. ! Kinematik ! ! Geschwindigkeit ! ! dr (t) !" v(t) = = r (t) dt ! ! ! ! ! ! dv(t) !" Beschleunigung a(t) = = v(t) = "" r (t) dt Gleichmässig beschleunigte Bewegung in einer Dimension (z.B. in x Richtung): a x(t) = x 0 + v 0 t + t 2 2 v(t) = v0 + at Kreisbewegungen: ! d" (t) = "! (t) dt Winkelgeschwindigkeit ! (t) = Bahngeschwindigkeit v = r" Zentripetalbeschleunigung az = r" 2 = v 2 r ! ! Mechanik Aktionsprinzip: ! ! ! F = ma = m"" x Gleitreibungskraft: RG = µG N Viskose Reibungskraft: Haftreibungskraft: 0 ! RH ! µ H N Rv = !! v = !! x! ! ! mm r F12 = !" 1 2 2 , mit ! = 6.67 x 10–11 N/kg2m2 r r Gravitationsgesetz: ! " für spezielle Fälle: Wichtige Lösungen der Bewegungsgleichung "" x = f (x, x) •Harmonische Schwingung: falls F(x) = !kx , ist x(t) = A cos(! t + " ) mit ! = k / m . •Bewegung mit viskoser Reibung: Die Lösung für v(t) enthält einen exponentiell abfallenden Term proportional zu e ! ! t m ! = m!! •Gedämpfte Schwingung mit viskoser Reibung: F(x, x) x = !kx ! ! x! : Bei “schwacher” Dämpfung ( k / m > ! 2 / 4m 2 ) ! ! t k "2 2m ≈ Oszillation mit ! = ! A(t) = A(0)e und abfallender Amplitude m 4m 2 t2 Kraftstossintegral: # F(t)dt = p(t 2 ) " p(t1 ) = $p , mit Impuls p = mv t1 ! ! Arbeit einer konstanten Kraft F längs eines Wegstücks "r (Zwischenwinkel " ): ! ! ! ! !W = F " !r (Skalarprodukt), !W = F!r cos ! = F// !r ! ! ! ! ! Ist F(r ) nicht konstant so ist z.B. für eine geradlinige Bewegung entlang x: x2 Wx1!x2 = " F(x)dx x1 !W dW = !t"0 !t dt Leistung P = lim ! ! Leistung einer Kraft F an einem Objekt mit Geschwindigkeit v : ! ! P = F "v ! Kinetische Energie einer Masse m mit Geschwindigkeit v : ! Ekin = 12 mv 2 ! Potentielle Energie im Gravitationsfeld nahe der Erdoberfläche: ! E pot ( r ) = mgz Potentielle Energie einer gespannten Feder mit Auslenkung x: E pot (x) = 12 kx 2 ! ! Konservative Kraft F aus der zugehörigen potentiellen Energie E pot (r ) : " dE / dx pot $ ! allgemein: F = ! $ dE pot / dy $ $ dE pot / dz # ! In 1 D: Fx = "dE pot (x) /dx (resp. y, z oder r); ! % ' ' ' ' & Hydrostatischer Druck in einer Flüssigkeit der Dichte ! in Tiefe z: p = p0 + !gz " M g!z % Barometrische Höhenformel für Druck in Atmosphäre: p(z) = p0 exp $ ! mol ' # RT & p(r, z) = p(0, z) + 12 ! r 2" 2 Druckverteilung in mit ! rotierender Flüssigkeit: Kontinuitätsgleichung inkompressibler Flüssigkeiten ! –für v senkrecht zu Querschnittsflächen A: Fluss ! = dV / dt = Av = konstant –vektorielle Schreibweise, geschlossene Flächen A: ! = #" ! ! v " n dA = 0. Ageschlossen Bernoulli-Gleichung für laminares Fliessen inkompressibler Flüssigkeiten –allgemein im Gravitationsfeld: p + 12 ! v 2 + !gz = konstant –horizontales Fliessen: p + 12 ! v 2 = konstant Newton’sches Reibungsgesetz für ebene Strömung einer Flüssigkeit mit Viskosität " : Schubmodul " = F// A = # dv(z) F " , also v(z) = // z = z dz A! ! ! Mittlere laminare Durchflussgeschwindigkeit durch ein zylindrisches Rohr (Radius R, Länge l, Druckdifferenz "p ): ! "pR 2 v= 8l# ! Übergang zu turbulenter Strömung für ! ! v > v k " 2300 # . 2 $R Elastizitätsmodul E, definiert durch relative Stauchung/Dehnung ε bei Normalspannung " x : " = #Lx Lx = $ x / E Poissonzahl m, definiert durch Querexpansion q = "Ly Ly = m# x / E ! ! Schubmodul G, definiert durch Schubwinkel " = # /G bei Schubspannung τ : ! G= ! n ! ! Schwerpunkt von n Punktmassen mi bei ri! : rS = E 2(1+ m) ! !r m i i i=1 mtot ! ! ! ! d P ! !Ftot = = mtot "" rS = mtot aS Impuls- und Schwerpunktsatz: dt n mit mtot = ! mi i=1 ! n ! mit P = " pi i=1 Trägheitsmoment IS von n Punktmassen mi mit senkrechten Abständen di von der ! n I s = ! mi di2 Drehachse durch den Schwerpunkt: i=1 ! Trägheitsmomente spezieller Körper (Masse m): Körper Hohlzylinder mit Radius R Vollzylinder mit Radius R Hohlzylinder, Innen/Aussenradien R1, R2 Dünner langer Stab der Länge L Vollkugel mit Radius R Hohlkugel mit Radius R Rotationsache durch S Symmetrieachse Symmetrieachse Symmetrieachse senkrecht zu Stab beliebig beliebig Is mR2 mR2/2 m(R12+R22)2/2 mL2/12 2mR2/5 2mR2/3 Anteil der Rotationsenergie zur kinetischen Energie: Erot = 12 I s! 2 Drehimpuls eines Massenpunktes m bezüglich Bezugspunkt O: ! ! ! L0 = r " p ! Drehmoment auf m durch eine Kraft F bezüglich O: ! ! ! "0 = r # F ! ! ! Drehimpuls bei freier Drehung um S mit Winkelgeschwindigkeit ω: LS = I S! ! ! Satz von Steiner: Trägheitsmoment IO durch Drehachse ausserhalb S im Abstand dS: IO = I S + mtot dS2 Drehimpulssatz für Massenpunkte bzw. ausgedehnte Körper (bei ruhendem Bezugspunkt O oder O = Schwerpunkt S): ! ! dL0 "0 = dt ! dLtot,0 ! " tot,0 = dt bzw. ! Drehimpulssatz für mit v D bewegte Bezugspunkte D: ! ! ! dLtot,D ! ! ! tot,D = + mtot vD ! vS dt ! ! Spezielle Relativitätstheorie Galilei-Transformation (für mit vI bewegtes Inertialsystem in x-Richtung): x' = x " v I t ct ' = ct y' = y z' = z ! y' = y z' = z Lorentz-Transformation: ct' = ct " v I x /c 1- v I2 c 2 ! = # (ct " $x) mit ! "= ! x' = ! 1- v I2 c 2 1 ! = # (x " $ct) und ! " = v I /c 1- v I2 c 2 Relativistischer Impuls: p = "m0v ! x " vI t ! ! Relativistische Energie: E = "m0c 2 !
